MATERIAL EXTRA PARA ESTUDO - GRANDEZAS ESCALARES E VETORIAIS - Prof. Gilmar

Existem grandezas físicas que ficam completamente determinadas quando conhecidos os seus valores numéricos e suas respectivas unidades de medida. Estas grandezas são chamadas de grandezas escalares.Ex.: massa = 5 kg , temperatura = 20 ºC, tempo = 10 h, volume = 20

Por outro lado, existem grandezas que , além do valor numérico e da unidade de medida necessitam de uma direção e de um sentido para que fiquem completamente determinadas. Estas grandezas são chamadas de grandezas vetoriais.Ex.: deslocamento: 10 m, vertical, para baixo velocidade: 10 km/h, horizontal, para a direita força: 100 N, horizontal, para a esquerda

VETORES

Vetor é um ente matemático representado por segmento de reta orientado. O comprimento desse segmento de reta representa o valor numérico (módulo ou intensidade do vetor); a reta suporte do segmento de reta determina a direção do vetor; e a orientação do segmento de reta indica o sentido.

Um vetor pode ser deslocado no espaço, desde que mantenha seu módulo, direção e sentido.

Um vetor só é negativo, se tiver seu sentido invertido.

Diremos que dois vetores são eqüipolentes quando têm o mesmo módulo, mesma direção e o mesmo sentido. Se, entretanto, os vetores tiverem a mesma direção e o mesmo módulo, porém sentidos opostos, diremos que os vetores são simétricos. Quando tiverem somente a mesma direção, os vetores são chamados colineares. Se tiverem direções diferentes são chamados de concorrentes.

OPERAÇÕES COM VETORES

SOMARegra do polígono:

A regra do polígono pode ser utilizada na adição de qualquer número de vetores. Para a sua aplicação, devemos colocar os vetores de modo tal que: a origem do segundo vetor coincida com a extremidade do primeiro; a origem do terceiro coincida com a extremidade do segundo; e assim sucessivamente. O vetor resultante ou vetor soma é determinado ligando-se a origem do primeiro à extremidade do último vetor traçado.

Regra do paralelogramo:

A regra do paralelogramo é aplicada somente à adição de dois vetores. Sem alterar o módulo, a direção e o sentido de cada vetor, desenhamos os dois vetores com suas origens coincidentes. A partir da extremidade do vetor , traçamos um segmento de reta paralelo ao vetor . Em

seguida, a partir da extremidade do vetor , traçamos um outro segmento paralelo ao vetor . O

vetor resultante é obtido pela ligação do ponto de origem comum dos vetores ao ponto de cruzamento dos segmentos de reta traçados.

Sendo θ o ângulo formado entre os vetores e , calculamos o módulo do vetor soma através da

expressão:

Casos Particulares da regra do paralelogramo:

1º) Ângulo θ = 0º

Se o ângulo θ, entre o vetor e o vetor , mede 0º, os vetores possuem mesma direção e

sentido. Nesse caso, o módulo do vetor resultante é dado pela soma dos módulos dos vetores e

.

2º) Ângulo θ = 90º

Nesse caso, o vetor e o vetor são perpendiculares entre si. O módulo do vetor

resultante é obtido através da aplicação do teorema de Pitágoras:

3º) Ângulo θ = 180º

O vetor e o vetor possuem mesma direção, mas sentidos contrários. Nesse caso, o

módulo do vetor soma é dado pelo módulo da diferença entre os módulos dos vetores e .

SUBTRAÇÃO

Na subtração vetorial, faz-se uma soma, porém invertendo-se um dos vetores.

Ex: -

Conserva-se o sentido de e inverte-se o sentido de , somando-se os vetores logo em seguida,

como na figura.

Também pode-se determinar a subtração unindo-se as origens dos vetores e traçando o vetor diferença nas extremidades dos vetores. O vetor diferença deve apontar para o primeiro vetor. (no exemplo o primeiro vetor seria o vetor )

DECOMPOSIÇÃO VETORIAL

Um vetor pode ser escrito como a soma de dois ou mais vetores quaisquer. Em algumas situações,

podemos decompor um vetor em suas componentes x e y, traçando retas imaginárias paralelas aos

eixos que vão desde o final do vetor v até o eixo, conforme a figura abaixo. Podemos calcular o

valor de vx e vy usando trigonometria básica. Assim: