CENTRO UNIVERSITRIO JORGE AMADO - UNIJORGE

PAULO VINICIUS LISBOA PEREIRA

Problema de arvore geradora de custo mnmo aplicado a SEPs.

Salvador

2015

PAULO VINICIUS LISBOA PEREIRA

Problema de arvore geradora de custo mnmo aplicado a SEPs.

Pr-projeto apresentado para o Projeto

Integrador como requisito bsico para a

apresentao do mesmo no Curso de

Engenharia Eltrica.

Orientador (a):

Salvador

2015

SUMRIO

1 INTRODUO TEMA E PROBLEMATIZAO ............................................. 4

2 OBJETIVOS ................................................................................................................ 5

4 METODOLOGIA ....................................................................................................... 6

5 REFERENCIAL TERICO ...................................................................................... 7

6 RESULTADOS ESPERADOS ............................................................................... 121

7 REFERNCIAS ........................................................................................................ 13

1 INTRODUO TEMA E PROBLEMATIZAO

Reconfigurar a rede do sistema eltrico de potncia (SEP) em tempo hbil de

fundamental importncia para momentos de contigncia. A necessidade de realimentar

cargas principais, evitar sobrecarga da rede, manter sua radialidade so um dos principais

problemas encontrados.

Muito dos algoritmos usados para esta reconfigurao. Algoritmos genticos um

dos principais utilizados. Porm vemos que a computao evolucionria tem aumentado

consideravelmente. Estes algoritmos criam de forma aleatria as configuraes inicias da

rede podendo ter uma infinidade de solues, muitas delas sem nenhuma possibilidade de

ser escolhida. Levam a um custo computacional que possivelmente prejudique a efiincia

do algoritmo utilizado tanto pela no radialidade da rede quanto por perdas exessivas.

Uma soluo para este problema iniciar uma configurao com as caracteristicas

e radialidade e com uma reduo nas perdas por potncia. Algoitmos para gerar rvores

mnimas tem se mostrado eficientes para esta configurao inicial.

Dentre estes algoritmos esto o algoritmo de kruskal, Prim e Boruvka. Cada um

deles dependem da forma como so guardadas as informaes de suas florestas este

problema solucionado com uma adequada representao das estrutura de dados da

implementao do algoritmo e da linguagem de computao utilizada.

2 OBJETIVOS

Pretende-se alcanar com este trabalho com uma soluo para o problema de

configurao inicial na reconfigurao de redes de distribuio de energia. Foi feito uma

anlise dos clebres algoritmos de gerao de rvores de custo mnimo.

2.1 OBJETIVO GERAL

Este trabalho tem como objetivo analisar os algoritmos de gerao de rvores de

custo minmo.

2.2 OBJETIVO ESPECFICO

Os objetivos especficos deste trabalho aplicar os algoritmos de MST para

sistemas eltricos de potncia. Leva-se em considerao o tipo de estrutura de dados que

este sistema armazenado pelo computador e a sua radialidade.

3 METODOLOGIA

Os programas foram feitos na linguagem C. Visto suas caracteristicas de

manipulao de baixo nivel. O sistema eltrico de potncia representado em estrutura de

dados pode levar a um consumo de memria que inviabiliza as aplicaes com e

implicaes.

Como base no teste usaremos o conjunto teste proposto pelo IEEE Instituto de

engenheiros eletricistas e eletrnicos teremos como ponto de partida o sistema IEEE

14, 30 ,118 barras. Os arquivos exemplos est em formato .txt e possuem uma

organizao especfica para acesso das informaes. Onde tabelas so acessadas por suas

colunas e linhas. Isto torna a utilizao em programas mais simples.

O resultado dos programas foram guardados em arquivos de texto. E seguem com

normas do sistema IEEE de barras.

Figura 1- Sistema IEEE 14 barras.

4 REFERNCIAL TERICO

1. rvores geradoras mnimas.

Uma subarvore de um grafo G qualquer rvore T que seja subgrafo de G. Isto significa que todo vrtice de T e toda aresta de T pertence a G. Para simplificar podemos chamar de rvore no lugar de subarvore.

Uma rvore geradora T uma subarvore de G que possua todos os vrtices de G. Para saber se um grafo T uma subarvore de G deve-se fazer uma busca em largura ou em profundidade do grafo. A anlise deve ser para existir em T ao menos uma aresta que liga cada par de vrtice de G (FEOFILOFF, 2015).

Seja G uma rvore com custo em suas arestas. Entendemos custo como um avalor associado a cada aresta de um grafo. Este pode ser positivo, negativo at mesmo nulo. Seja U uma coleo de grafos de G um elemento T de U tem custo mnino se seu custo for igual ou menor que qualquer outro elemento de U. Ou seja se T tem custo mnimo no existe outro elemento com custo menor que T em G.

Uma rvore geradora mnima do ingls Minimum Spanning Tree MST - de um grafo com custo em suas arestas uma rvore gerado com custo mnino. Consideramos que este problema s tem soluo se o grafo for conexo e se as arestas tem custos diferentes, caso no seja a prpria rvore uma MST.

Existem duas propriedades de substituio de arestas uma adiciona uma aresta em uma rvore geradora e cria um cilclo outra retira uma aresta definindo um corte.

Uma rvore geradora de custo mnimo uma MST se e somente se toda a aresta

Figura 2- Exemplo de MST (Feofillo, 2015)

Figura 3 - MST (Feofillo, 2015)

fora de T tem custo mximo no ciclo no trivial, entenda como ciclo trivial o ciclo existente em apenas dois vrtices de um grafo.

2. Algoritmo de Prim

O algoritmo, apartir do primeiro vrtice, vai conectando os ramos com menor custo at formar a rvore (Amazifem, 2005). Para entendimento do algoritmo de Prim necessrio recorrer ao conceito de franja, ou seja, o conjunto de vrtices de um grafo. O algoritmo comea com apenas um vrtice de T.

Enguanto a franja de T no vazia faa: Seja e uma aresta de T que tem custo mnimo acrescente e a T

Devolva T

Algumas formas so mais eficientes para a implementao do algoritmo de Prim. Nestas so usadas estrutura de dados fila prioritria. Para evitar repetir o clculo da aresta com menor custo. Tambm existe uma implementao para grafos densos que utiliza a matriz de adjacncia de um grafo.

3. Algoritmo de Boruvka.

Mais um dos algoritmos para resoluo da rvore geradora mnima. O custo de suas arestas so positivos, negativos ou nulos. E sua soluo existe se e somente se o grafo for conexo.

A principio supem-se que cada arestas so arcos ati-paralelos e para facilitar a sua representao, com as estruturas de dados consagradas na computao, o seu custo vai ser igual ao custo de uma das arestas do arco. Outra simplificao que apenas um dos arcos do grafo pode ser selecionado para fazer parte da rvore geradora. Isto se d devido ao algoritmo manipular apenas um deles por vez.

A ltima adaptao utilizada sobre o conceito de franja, j citado, esta se torna o conjunto de arcos de sada de T, ou seja, o conjunto de vrtices de sada de T. Podemos acrecentar ainda que um arco externo a uma floresta T em G se tiver pontas em duas rvore diferentes de F. Ainda podemos dizer que cada arco externo a F esta na franja de F.

Antes de apresentar o algoritmo iniciaremos a primeira interao com cada rvore de F com apenas um vrtice. O processo interativo se d da seguinte forma:

Enquanto existir algum arco externo a F faa

Para cada rvore T de F

Escolha um arco de custo mnimo na franja de T

Seja B o conjunto de todos os arcos escolhidos

Seja B' um subconjunto maximal de B tal que

F+B' no tem ciclos de comprimento 3

Seja B'' o conjunto dos arcos antiparalelos aos de B'

Acrescente B' e B'' a F

Devolva F

Pode-se diminuir o tempo de processamento deste algoritmo de forma significativa. Ao perceber que o conjunto de arcos no possuem dependncias para a escolha do custo mnimo da franja. Indicando uma tima opo para o processamento paralelo.

Algoritmo de kruska

Seja G = ( v, e ) com n arestas. Sendo G pertencente a um grafo D. G inicialmente formado apelnas por um vrtice de D. Os vrtices de menor custo so adicionados e sempre que um vrtice adicionado verificamos a formao de ciclos ciclos maior ou igual a 3 as interaes acabam quando o nmero de vrtices de G igual a D (Amazifem, 2005). Pode-se descrever o algoritmo de Kruska da seguinte forma:

Enquanto existe aresta externa a F faa

Seja a uma aresta externa de custo mnimo

Acrescente a a F

Devolva T

Sendo uma floresta geradora de G qualquer floresta que possua os vrtices de G. E F uma floresta geradora de G e tem uma aresta com uma ponta fora de F, e dentro do conjunto de vrtices de G, e esta aresta esta ligada a outra subfloresta geradora de F. Ento F e F + a, sendo a aresta externa, uma floresta.

Uma caracterista importante sobre o algoritmo seu carter guloso, ou seja, ele pega a aresta que acredita ser mais promissora isto sem se dar conta da influncia no grafo como um todo e adiciona a MST.

4. Aplicao para sistemas de distribuio de energia.

As caraceristicas avaliadas necessrias para uma boa aplicao dos algoritmos para gerar as MST esto no tratamento de grafos esparos. Estes so grafos com poucas vrtices. Sistemas eltricos de potncia so de natureza esparas.

O tempo de processamento do algoritmo importante para aplicaes no setor de operao do sistema. Um algoritmo eficiente uma ferramenta importante para uma tomada de deciso eficiente numa contigncia.

Outra caracteristica da aplicao que o custo das aresta comumente pode referir

a uma grandeza eltrica, no lugar da usual distncia. Sistema onde o custo mnino por ser,

como exemplo, a queda de tenso, a potncia dissipada, o nmero de cargas desligadas

ou ainda a importncia desta carga para o sistema. Neste trabalho foi utilzado a resistncia

e a reatncia das linhas e os seus respectivos quadrados. Visto a relao que o quadrado

desta grandeza tem com a perda de potncia nas linhas.

Figura 5 - Algoritmo de Kruskal (Feofillo, 2015)

Figura 4 - Algoritmo de Prim (Feofillof, 2015)

5 RESULTADOS ESPERADOS

Esperava-se que fosse encontrado resultado significativamente diferentes. Tento

em vista as caracteristicas dos algoritmos. Porm Prim, Kruskal e Boruvka divergiram

apenas na ordem das arestas. O que mostra que no quesito acurcia estes algoritmos so

equivalentes. Vale resaltar que todos os presentes aqui foram implementados por fora

bruta, ou seja, no tiveram estrutra de dados especializada filas prioritrias ou union

find.

Figura 6 - Algoritmo de Prim IEEE 1 barras.

Figura 7- Algoritmo de Boruvka IEEE 14 barras.

Ainda possuindo uma limitao na forma de processar mais de uma informao

sobre as linhas. Os algoritmos de custo mnimo aqui apresentados so univariveis.

Entretanto os problemas encontrados em SEPs so multivariveis. Esta limitao, porm,

pode ser superada com a aplicao de diversos algoritmos de inteligncia artificial que

so por natureza multimodais. Boa parte dos algoritmo da computao evolutiva ou

computao natural como o algoritmo gentico ou os algoritmos de otimizao por

enxame de particulas so bons candidatos para tais problemas.

O tempo foi computado pra o processamento dos algoritmos Prim, Kruskal e

Boruvka. visvel a diferena do custo computacional do algoritmo de Kruskal para o de

Boruvka. Isto era esperado na literatura onde vemos que o custo do algoritmo de Kruskal

proporcional a V(E + V), onde V vrtices e E arestas. E como E < V2, podemos

simplificar para V3. J o algoritmo de Prim tem o custo de VE com algumas

generalizaes que firam aceitas ao de Kruskal podemos supor sem perda por

generalizao que o seu custo V3. J o algoritmo de Boruvka possui um custo de tempo

E logV log*. Seguindo os exemplos anteriores teramos um custo de E logV. Isto pode

ser visto na tabela abaixo, onde Boruvka tem um maior desempenho e este fica evidente

quando V aumenta.

IEEE 14 IEEE 30 IEEE 118

PRIM 0.005000 0.016000 0.309000 KRUSKAL 0.009000 0.028000 0.398000 BORUVKA 0.007000 0.013000 0.088000

6 REFERNCIAS

FIORAVATI, CELSO JUNIOR. Reconfigurao de alimentadores em sistemas de

distribuio usando uma methaeuristica e espao de busca reduzido: Celso

Fioravati Junior Ilha Soltera.[s.n.], 2014 108 f.: il.

FEOFILOFF, Paulo. Disponvel em : <

http://www.ime.usp.br/~pf/algoritmos_para_grafos/index.html#contents>. Acessado em 1

de Junho de 2015.

7 Apndices

Figura 8 - Algoritmo de Boruvka IEEE 30 barras.

Figura 9- Boruvka IEEE 118 barras.

Figura 11 - Kruskal IEEE 30 barras

Figura 10 - Kruskal IEEE 118 barras.

Figura 12 - Prim IEEE 30

Figura 13- Prim IEEE 118 barras.