gráficos de funções - colégios nobel de funcoes.pdf · ruggero – material complementar de...

RUGGERO – MATERIAL COMPLEMENTAR DE MATEMÁTICA – 25.02.2015

1

1. Função

Uma forma simples de dizer o que é uma função é: “Uma função é uma variável (y) que depende de

outra (x)” Nosso esquema mental é: y é a função – ou variável dependente; x é a variável – ou variável independente.

Preste atenção! Nem sempre os nomes das variáveis são x e y, o

exemplo a seguir mostra isso. Exemplo: A área de um quadrado é uma função do

comprimento da diagonal do mesmo quadrado. Vamos expressar a área (A) como uma função da diagonal (d). Isto é, vamos expressar como a variável A depende da variável d:

Sabemos que a área, A, de um quadrado em função do lado, L, é dada por

(1) A = L × L Sabemos, também, que aplicando o Teorema de

Pitágoras a diagonal, d, de um quadrado em função do lado, L, é dada por

(2) d 2 L= ⋅ Então

(3) d

L2

=

Substituindo (3) em (2) obtemos

(4) d d

A2 2

= ×

Ou seja

(5) 2d

A2

=

Aí está: o valor da variável A depende do valor da

variável d. 2. Gráfico

Para entender corretamente o que é o gráfico de uma função primeiro é bom lembrar que:

a) o gráfico é traçado no Plano Cartesiano (eixo x × eixo y);

b) no plano cartesiano cada ponto é associado a um par ordenado (x, y);

EXERCÍCIO

a) Marque no plano acima os pontos de

coordenadas A (2, 3), B (3, 2), C (−4, 2), D (2, −4), E (−3, −3), F (−1, −3), G (−3, −1), H (−1, 4).

b) Dê as coordenadas dos pontos I, J, K, L. Pense no que queremos dizer quando falamos que

o gráfico da função y = f(x) é a curva abaixo:

Lembre-se: cada ponto sobre esta curva – como, na

verdade, cada ponto do plano – está associado a um par ordenado (x, y).

Nos pontos que formam a curva o valor de y é igual ao valor de f(x).

Se quando você fala você entende o que está dizendo, vai ver que é isto que significa escrever y = f(x).

Ou seja, os pontos que formam o gráfico de y = f(x) são os pontos da forma (x, f(x)).

Matemática

Prof. Piloto

Gráficos de Funções


2

Definição: O gráfico de uma função y = f(x) é o conjunto

dos pares ordenados da forma (x, f(x)). Quando marcamos estes pontos no Plano

Cartesiano representamos, visualmente, como a função (y) depende da variável (x). Observe:

2.1 Traçando Gráficos Quando começamos a estudar gráficos, lá no

Ensino Fundamental, fazíamos algo assim: Para traçar o gráfico de uma função como, por

exemplo,

y = x2 – 3x, Fazíamos uma cruzinha com x e y sobre os braços

da cruz, íamos dando valores para x e calculando os valores correspondentes de y obtendo assim alguns pares ordenados. Aí marcávamos estes pares ordenados no plano e os uníamos meio de qualquer jeito obtendo, normalmente, uma linha toda quebradinha. Como abaixo:

x y= f(x) (x, f(x))

0 0 (0, 0)

1 -2 (1, -2)

-1 4 (-1, 4)

2 -2 (2, -2)

-2 10 (-2, 10)

3 0 (3, 0) Gráfico de principiante

Estudantes mais adiantados, no entanto, fazem assim:

Primeiro: analisam a função e, normalmente, identificam o aspecto geral do gráfico. Isto é, concluem se o gráfico:

É uma reta, ou É uma parábola, ou É uma curva ascendente (que sobe para a direita

como no desenho), ou É uma curva descendente (que desce para a

direita), ou É uma curva com o formato de uma onda (como os

gráficos de y = senx ou de y = cosx), ou É uma curva que, da esquerda para a direita, vem

subindo (ou descendo) descreve uma(s) onda(s) e volta a subir (ou descer) (como os gráficos de muitos polinômios de grau maior que dois), ou

Tem a forma de uma letra “V” (como o gráfico da função y = IxI)

Segundo: localizam alguns pontos importantes do gráfico, por exemplo: onde o gráfico corta o eixo y (basta calcular o valor de f(0), se 0 pertencer ao domínio da função), onde o gráfico corta o eixo x (nos valores de x que são as raízes da equação f(x) = 0)

Terceiro: traçam um esboço elegante do gráfico. Para concluir você deve observar que é preciso

conhecer o aspecto geral de alguns gráficos importantes e neste material a maioria deles é apresentada adiante.

3. Gráficos de Funções Polinomiais

As funções polinomiais são da forma

y = a0 + a1x + a2x2 + … + anxn 3.1. Funções Constantes

y = a0

O gráfico é uma reta horizontal

3.2. Funções polinomiais de grau 1

Função Afim y = a0 + a1x (a0 ≠ 0)

ou, na forma mais comum

y = a1x + a0 (a1 ≠ 0)

Ou, ainda:

y = ax + b

y

x

a0

Valor da variável

Valor da função

(x, f(x))

y = f(x)

Este comprimento é o valor da função. É mais fácil lê-lo projetando-o no eixo y


3

3

x

a2 > 0

2 1

O gráfico é uma reta inclinada

Observação: Se a função é da forma Vd = a1.Vi + a0, o gráfico é uma reta. Se o gráfico é uma reta a função é da forma Vd = a1.Vi + a0 (ou seja, y = ax + b). Reforçando:

Jamais o gráfico pode ser uma reta se a função não for da forma Vd = a1.Vi + a0!!!! Exemplos:

Função Linear (a0 = 0)

3.3. Funções Polinomiais de Grau 2 (Quadráticas)

y = a0 + a1x + a2x2 ou na forma mais comum

y = a2x2 + a1x + a0 (a2 ≠ 0)

Ou ainda:

y = ax² + bx + c

Ou seja Vd = a2.(Vi)2

+ a1.Vi + a0

O gráfico é uma parábola

(1) o polinômio y = ax2 + bx + c tem duas raízes reais distintas (∆ = b² − 4ac > 0)

(2) o polinômio y = ax2 + bx + c tem duas raízes reais iguais (∆ = b² − 4ac = 0)

(3) o polinômio y = ax2 + bx + c não tem raízes reais (∆ = b² − 4ac < 0)

3.4. Funções Polinomiais de Grau n

São as funções da forma

y = anxn + an-1xn-1 + ... +a2x2 + a1x + a0

O aspecto geral do gráfico depende de n ser par ou ímpar e do sinal de an

y

x

a1 < 0

a0

y

x

a1 > 0

a0

y

x

a1 > 0

y

x

a1 < 0

x

a2 < 0

3

2 1


4

• Se n for ímpar oriente-se pelo gráfico da função y = a1 x + a0 (reta “crescente” se a1 > 0 e decrescente se a1 < 0). Então:

Reta

Função polinomial de grau ímpar

Na “porção do meio” do gráfico pode haver

ondulações, porém, as “pontas” seguem, ou um padrão crescente (se an > 0) ou um padrão decrescente (se an < 0).

Se n for par oriente-se pelo gráfico da função y = a2 x2 + a1 x + a0 (parábola com concavidade para cima se a2 > 0 e parábola com concavidade para baixo se a2 < 0).

Parábola

Função Polinomial de grau par

Na “porção do meio” do gráfico pode haver

ondulações, porém as “pontas” seguem um padrão que acompanha os “ramos” de uma parábola (para cima se an > 0, para baixo se an < 0).

Exemplo 01

y = x³ − 6x² + 11x − 6

Exemplo 02

y = − x5 + 6x³ − 4x²

Exemplo 03

y = x4 − 8x² + 16

Exemplo 04

y =− x4 + 4x³ + 4x² +4x + 5 4. Gráficos Importantes 4.1 Função Modular

y

x

y = x


5

4.2 Funções y = senx e y = cosx

y = senx

y = cosx

4.3 Função Exponencial

4.4 Função Logarítmica 4.5 Hipérbole Equilátera

y = bx (b > 1)

y = logb x (b > 1)

y = logb x (0 < b > 1)

y = x1

y = bx (0 < b > 1)

1

1


6

Observação: Nas aplicações (por exemplo, no estudos

dos gases nRT

VP

= , sendo P a variável independente)

normalmente a variável independente é positiva. Então o gráfico tem só o “ramo” direito.

5. Alterando a Função e Traçando o Gráfico

A seguir considere que n é um número positivo e que o gráfico de y = f(x) é conhecido. 5.1 y = f(x) + n

O gráfico é obtido deslocando-se o gráfico de y = f(x) n unidades para cima. Veja a figura.

5.2 y = f(x) – n

O gráfico é obtido deslocando-se o gráfico de y = f(x) n unidades para baixo. Veja a figura.

5.3 y = f(x + n)

O gráfico é obtido deslocando-se o gráfico de y = f(x) n unidades para a esquerda. Veja a figura.

5.4 y = f(x – n)

O gráfico é obtido deslocando-se o gráfico de y = f(x) n unidades para a direita. Veja a figura.

5.5 y = |f(x)|

O gráfico é obtido conservando-se a parte do gráfico de y = f(x) que fica acima do eixo x ou que nele toca, e refletindo-se no eixo x a parte do gráfico de y = f(x) que fica abaixo deste eixo. Veja a figura.

1y , x 0

x= >


7

5.6 y = f(|x|)

O gráfico é obtido conservando-se a parte do gráfico de y = f(x) que fica à direita do eixo y ou que nele toca, e refletindo-se no eixo y esta mesma parte. Veja a figura.

5.7 y = – f(x)

O gráfico é obtido refletindo-se o gráfico de y = f(x) no eixo x. Veja a figura.

6. As funções y = senx e y = cosx

6.1 y = n ∙ senx e y = n ∙ cosx

O gráfico de y = senx ou de y = cosx é “esticado” (se n>1) ou “espremido” (se n<1), verticalmente, por um fator n. observe que as raízes permanecem as mesmas.

6.2 y = sen(nx) e y = cos(nx)

O gráfico de y = senx ou de y = cosx é “esticado” (se n>1) ou “espremido” (se n<1), horizontalmente, por um fator n. observe que as raízes não são mais as mesmas.


8

7. Funções definidas por mais de uma sentença

Para traçar o gráfico de uma função como a dada a seguir

3x 2, se x 1 (1ª sentença)

f(x) x² 1, se 1 x 3 (2ª sentença)

x 13, se x 3 (3ª sentença)

+ <= + ≤ <− + ≥

1º) Divida o eixo x nas regiões dadas em cada

sentença. Na função dada as regiões são: R1: x<1,

R2: 1 ≤ x < 3 e R3: x ≥ 3.

2º) Trace o gráfico da função sobre cada região observando como a função é definida naquela região.

Neste momento é bom ler cada sentença

começando pela região e pulando para a definição da função.

Assim, por exemplo, leia: • a primeira sentença assim:

“se x < 1, então, f(x) = 3x + 2”

Assim você já sabe que na região x < 1 o gráfico de f(x) será o “pedaço” da reta de equação y = 3x + 2 que fica sobre aquela região.

• a segunda sentença assim:

“se 1 ≤ x < 3, então, f(x) = x² + 1”

Assim você já sabe que na região 1 ≤ x < 3 o gráfico de f(x) será o “pedaço” da parábola de equação y = x² + 1 que fica sobre aquela região.

• a terceira sentença assim:

“se x ≥ 3, então, f(x) = −x + 13”

Assim você já sabe que na região x ≥ 3 o gráfico de f(x) será o “pedaço” da reta de equação y = −x+13 que fica sobre aquela região. Portanto, o gráfico de

3x 2, se x 1

f(x) x² 1, se 1 x 3

x 13, se x 3

+ <= + ≤ <− + ≥

é

ATIVIDADE 01) Trace os gráficos das funções

a) x, se x 0

f(x)x, se x 0

>= − ≤

b) x, se x 0

f(x)x, se x 0

<= − ≥

c) x 1, se x 1

f(x)x 1, se x 1

− ≥= − + <

d) x² 2, se 1 x 1

f(x)2x 3, se x 1 ou x 1

+ − ≤ ≤= − < − >

e)

sen x, se 0 x

f(x) x² 1, se x 0

x 5, se x

≤ ≤ π= − < − > π

f)

2

2x, se x 1

f(x) x³ 1, se 1 x 4

log x, se x 4

<= + ≤ < ≥


9

EXERCÍCIOS PROPOSTOS 01)

A) 5. (Unicamp 2014) Considere as funções f e g, cujos gráficos estão representados na figura abaixo.

O valor de f(g(1)) g(f(1))− é igual a

a) 0. b) – 1. c) 2. d) 1.

B) (NOBEL) Sendo f e g as funções dadas no item

(A) calcule os valores de:

a) f(g -1(2)) supondo g restrita ao intervalo [2,1]. b) g(f -1(-1)) supondo f restrita ao intervalo [-1,1]. c) (gof)(0) d) (fog)(0)

C) (UEM I 2008) As figuras a seguir apresentam os

gráficos de três funções f: ℝ → ℝ, p: ℝ → ℝ e q: ℝ → ℝ.

Analisando esses gráficos, assinale o que for

correto.

01) ( )f q (0) 0=o

02) ( )p q f (2) 0=o o

04) ( )f p (1) 0− =

08) ( ) ( )p p (1) f f (1)=o o

16) Se restringirmos o domínio da função f ao

intervalo [0,2], então ( )1p f (3) 3− =o .

D) (NOBEL) Considere o gráfico e calcule

a) f(1) b) ( )( )f f 1

c) ( )( )( )f f f 0

d) ( )1f 4−


10

02) (Unesp 2014) Os gráficos de duas funções f(x) e g(x), definidas de � em ,� estão representados no mesmo plano cartesiano.

No intervalo [– 4, 5], o conjunto solução da

inequação f(x) g(x) 0⋅ < é:

a) { }x / 1 x 3 .∈ − < <�

b) { }x / 1 x 0 ou 3 x 5∈ − < < < ≤�

c) { }x / 4 x 1 ou 0 x 3 .∈ − ≤ < − < <�

d) { }x / 4 x 0 .∈ − < <�

e) { }x / 4 x 1 ou 3 x 5 .∈ − ≤ < − < <�

03) (Insper 2013) No gráfico estão representadas duas

funções: f(x) do primeiro grau e g(x) do segundo grau.

O gráfico que melhor representa a função

h(x) = f(x) + g(x) é

a)

b)

c)

d)

e)

04) (Epcar (Afa) 2013) O gráfico abaixo descreve uma

função f : A B→

Analise as proposições que seguem.

I. A *= � II. f é sobrejetora se [ ]B – –e, e= �

III. Para infinitos valores de x A,∈ tem-se

( )f x –b=

IV. ( ) ( ) ( ) ( )f –c – f c f –b f b 2b+ + =

V. f é função par. VI. ( )x | f x d∃ ∈ = −/ �

São verdadeiras apenas as proposições

a) I, III e IV b) I, II e VI c) III, IV e V d) I, II e IV


11

05) (Enem PPL 2013) O quadrado ABCD, de centro O e lado 2 cm, corresponde à trajetória de uma partícula P que partiu de M, ponto médio de AB, seguindo pelos lados do quadrado e passando por B, C, D, A

até retornar ao ponto M.

Seja F(x) a função que representa a distância da

partícula P ao centro O do quadrado, a cada instante de sua trajetória, sendo x (em cm) o comprimento do percurso percorrido por tal partícula. Qual o gráfico que representa F(x)?

a)

b)

c)

d)

e)

06) (Espm 2011) A figura abaixo representa o gráfico

cartesiano da função f (x).

Sabendo-se que f (1) = 2, e que a parte

aparentemente retilínea inclinada é uma semi reta, o

valor de f ( )f π

a) 1

b) 32

c) 34

d) 2

e) 52

07) (Epcar (Afa) 2011) Considere o gráfico da função

real p : A B→

Analise as alternativas abaixo e, a seguir, marque a

falsa.

a) ( ) { }p x 0 x | x 0 ou c x r≤ ⇔ ∈ < ≤ ≤�

b) p(p(p(p(p(r))))) p(p(p(p(r))))=

c) Existe um único x A∈ tal que ( )p x c=

d) ( ) { } ] ]Im p r c,c= − ∪ −


12

08) (Fgv 2010) A figura indica o gráfico da função f, de domínio [–7,5], no plano cartesiano ortogonal.

O número de soluções da equação f(f(x)) = 6 é

a) 2. b) 4. c) 5. d) 6. e) 7

09) (Espm 2014) A função f(x) ax b= + é estritamente

decrescente. Sabe-se que f(a) 2b= e f(b) 2a.= O

valor de f(3) é:

a) 2 b) 4 c) 2− d) 0 e) 1−

10) (Enem 2013) Deseja-se postar cartas não

comerciais, sendo duas de 100g, três de 200g e uma de 350g. O gráfico mostra o custo para enviar uma carta não comercial pelos Correios:

O valor total gasto, em reais, para postar essas cartas é de a) 8,35. b) 12,50. c) 14,40. d) 15,35. e) 18,05.

11) (Espcex (Aman) 2012) A função real f(x) está

representada no gráfico abaixo.

A expressão algébrica de f(x) é

a) ( ) = ≥

- sen x , se x < 0f x

cos x , se x 0

b) ( ) = ≥

cosx , se x < 0f x

senx , se x 0

c) ( ) = ≥

- cosx , se x < 0f x

senx , se x 0

d) ( ) = ≥

senx , se x < 0f x

cosx , se x 0

e) ( ) −= ≥

senx, se x < 0f x

cos x, se x 0

12) (Fgv 2010)

a) Construa o gráfico das funções f(x) = 2 + sen x e g(x) = 2 + cos 2x para 0 ≤ x ≤ 2 π .

b) Admita que f(x) e g(x) indiquem as cotações das ações das empresas F e G na bolsa de valores de São Paulo no intervalo de horas 0 ≤ x ≤ 2 π (x = 0 indica 12h00, e x = 2 π ≈ 6,28 indica, aproximadamente, 18h17). Determine algebricamente (equações e/ou inequações) o intervalo de horas, com 0 ≤ x ≤ 2 π , em que a cotação das ações da empresa F foi maior ou igual à cotação das ações da empresa G.


13

13) (Unesp 2010) Em situação normal, observa-se que os sucessivos períodos de aspiração e expiração de ar dos pulmões em um indivíduo são iguais em tempo, bem como na quantidade de ar inalada e expelida. A velocidade de aspiração e expiração de ar dos pulmões de um indivíduo está representada pela curva do gráfico, considerando apenas um ciclo do processo.

Sabendo-se que, em uma pessoa em estado de

repouso, um ciclo de aspiração e expiração completo ocorre a cada 5 segundos e que a taxa máxima de inalação e exalação, em módulo, é 0,6 1/s, a expressão da função cujo gráfico mais se aproxima da curva representada na figura é:

a) ( ) 2 3V t sen t .

5 5π =

b) ( ) 3 5V t sen t .

5 2π =

c) ( ) 2V t 0,6cos t .

5π =

d) ( ) 2V t 0,6sen t .

5π =

e) ( ) ( )5V t cos 0,6t .

2π=

14) (Unifesp 2004) Considere a reta de equação

4x - 3y + 15 = 0, a senoide de equação y = sen(x) e

o ponto P = , 32π

, conforme a figura.

A soma das distâncias de P à reta e de P à senoide é:

a) (12 2 )

5π+

b) (13 2 )

5π+

c) (14 2 )

5π+

d) (15 2 )

5π+

e) (16 2 )

5π+

15) (Espcex (Aman) 2014) Na figura abaixo, está

representado o gráfico da função y = Iog x.

Nesta representação, estão destacados três

retângulos cuja soma das áreas é igual a:

a) Iog2 + Iog3 + Iog5 b) log30 c) 1+ Iog30 d) 1 + 2log15 e) 1 + 2Iog30

16) (Espm 2012) A figura abaixo mostra o gráfico da

função f(x) = 2x. A área da região sombreada, formada por retângulos, é igual a:

a) 3,0 b) 3,5 c) 4,0 d) 4,5 e) 5,0


14

17) (Insper 2014) A figura abaixo mostra o gráfico do polinômio P(x), de 5° grau e coeficientes reais, que apresenta uma única raiz real.

O número de raízes reais do polinômio Q(x), dado,

para todo x real, pela expressão Q(x) 2 P(x),= − é igual a

a) 1. b) 2. c) 3. d) 4. e) 5.

18) (Insper 2014) Sendo k uma constante real positiva,

considere o gráfico do polinômio de 3° grau P(x), mostrado na figura.

Dentre as figuras a seguir, a única que pode

representar o gráfico da função Q(x), definida, para

todo x 0,≠ pela lei P(x)

Q(x)x

= é

a)

b)

c)

d)

e)

19) (Mackenzie 2014) Se a função f : →� � é definida

por xf(x) | 3 1|,= − a afirmação correta sobre f é

a) ( ) ( )D f e Im f .= =� �

b) f é uma função crescente para todo x real. c) f não é injetora nem sobrejetora. d) f é injetora mas não é sobrejetora.

e) ( ) *Im f .+= �


15

20) (Espcex (Aman) 2013) Na figura abaixo estão representados os gráficos de três funções reais, sendo a 1> e b 0.>

Gráficos fora de escala As expressões algébricas que podem representar

cada uma dessas funções são, respectivamente,

a) y x a b;= − − x1

y a1 b = + +

e x a

yx a

+=−

b) y x a b;= − + ( )xy 1 a b= + + e x

y ax

= +

c) y x a b;= + − x1

y ba = +

e x a

yx a

+=+

d) y x a b;= − + x1

y ba = +

e x

y ax

= +

e) y x a b;= + + x1

y a1 b = + +

e x a

yx a

+=−

21) (Espm 2012) A figura em destaque representa o

gráfico da função y = f(x).

Assinale a alternativa que melhor se aproxima do

gráfico da função y = f(x – 1).

a)

b)

c)

d)

e)

22) (Epcar (Afa) 2012) Considere a figura abaixo que

representa um esboço do gráfico da função real f

Sabe-se que ( ) ( )g x f x 3u,= − ( ) ( )h x g x u= + e

( ) ( )j x h x .=

Um esboço do gráfico que melhor representa a função j é

a)

b)

c)

d)


16

23) (Insper 2012) A figura a seguir mostra o gráfico da função f(x).

O número de elementos do conjunto solução da

equação f(x) 1= , resolvida em � é igual a

a) 6. b) 5. c) 4. d) 3 e) 2.

24) (Fgv 2012) No plano cartesiano, os pontos (x, y) que

satisfazem a equação + =x y 2 determinam um

polígono cujo perímetro é:

a) 2 2

b) +4 2 2

c) 4 2

d) +8 4 2

e) 8 2 25) (Espcex (Aman) 2012) Na figura abaixo, dois

vértices do trapézio sombreado estão no eixo x e os outros dois vértices estão sobre o gráfico da função real ( ) = kf x log x, com >k 0 e ≠k 1. Sabe-se que o

trapézio sombreado tem 30 unidades de área; assim, o valor de + −k p q é

a) −20 b) −15 c) 10 d) 15 e) 20

26) (Fatec 2011) A figura apresenta parte do gráfico da função f : ] 1+ ∞ → �[ I

Assinale a alternativa que melhor representa o gráfico da função g(x) = - f(x - 1) + 1

a)

b)

c)

d)

e)


17

27) (Espcex (Aman) 2011) A represa de uma usina hidroelétrica está situada em uma região em que a duração do período chuvoso é 100 dias. A partir dos dados hidrológicos dessa região, os projetistas concluíram que a altura do nível da represa varia, dentro do período chuvoso, segundo a função real

2

t8, para 0 t 20

5

t 4tN(t) , para 20 t 50

100 53t

21, para 50 t 10025

+ ≤ <

= − + ≤ <− + ≤ ≤

Em que N(t) é a altura do nível da represa, medido

em metros, t é o número de dias, contados a partir do início do período chuvoso.

Segundo esse modelo matemático, o número de dias, dentro do período chuvoso, em que a altura do nível da represa é maior ou igual a 12 metros é

a) 40 b) 41 c) 53 d) 56 e) 60

28) (Espm 2012) Sejam x e y números naturais e F(x,y)

uma função tal que

( )( )

y se x 0

F x,y = x se y 0

F x 1, y 1 se x 0 e y 0

= = − − > >

O valor de F(52,70) é:

a) 24 b) 18 c) 15 d) 6 e) 11

29) (Insper 2011) O gráfico a seguir representa uma

função polinomial do quarto grau p(x), tal que p(0) = 1.

Dos pares de funções abaixo, aquele em que g(x)

tem exatamente duas raízes reais distintas e h(x) não admite raízes reais é

a) g(x) p(x) 1= − e h(x) p(x) 3.= − b) g(x) p(x) 2= − e h(x) p(x) 2.= + c) g(x) p(x) 1= + e h(x) p(x) 3.= + d) g(x) p(x) 2= + e h(x) p(x) 2.= − e) g(x) p(x) 1= − e h(x) p(x) 3.= +

30) (Unicamp 2014) O gráfico abaixo exibe a curva de

potencial biótico q(t) para uma população de micro-organismos, ao longo do tempo t.

Sendo a e b constantes reais, a função que pode

representar esse potencial é

a) q(t) at b.= +

b) tq(t) a b .=

c) 2q(t) at bt.= + d) bq(t) a log t.= +

31) (Enem PPL 2013) Em um experimento, uma cultura

de bactérias tem sua população reduzida pela metade a cada hora, devido à ação de um agente bactericida.

Neste experimento, o número de bactérias em função do tempo pode ser modelado por uma função do tipo

a) afim. b) seno. c) cosseno. d) logarítmica crescente. e) exponencial.

32) (Mackenzie 2011) Dadas as funções reais definidas

por ( ) 2 2f x x 4 x e g(x) x 4x= − = − considere

I, II, III e IV abaixo.

I. Ambas as funções possuem gráficos simétricos em relação ao eixo das ordenadas.

II. O número de soluções reais da equação f(x) = g(x) é 3.

III. A soma de todas as raízes das funções dadas é 4.

IV. Não existe x real tal que f(x) < g(x). O número de afirmações corretas é

a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4


18

GABARITO 01) A – d B – a) 1 b) 0 c) 0 d) 1 C – 11 D – a) 2 b) 4 c) 4 d) 2 02) C 03) C 04) A 05) A 06) D 07) C 08) D 09) C 10) D 11) A 12) a)

b)

≥+ ≥ +

+ ≥ + −

≥ −

≥ − −

+ − ≥

2 2 2

2 22 2

2 2

2 21

22 1 0

f(x) g(x)

senx cos( x)

senx cos x sen x

senx cos x sen x

senx sen x sen x

sen x senx

Re solvendo a inequação, temos:

senx = -1 logo x = 3 π /2 (16h e 43 min).

senx = 12

logo π /6 ≤ x ≤ 5 π /6 (12h e 31min ≤ x ≤ 14h e 37

min). 13) D 14) E 15) D 16) B 17) C 18) B 19) C 20) D 21) B 22) A 23) B 24) E 25) B 26) A 27) D 28) B 29) C 30) B 31) E 32) B

gráficos de funções - colégios nobel de funcoes.pdf · ruggero – material complementar de...

Documents