gestão de aprovisionamentos · de tempo antes do nível do stock ser 0. tem que se calcular o...

Mestrado em Matemática Aplicada à Economia e Gestão - Logística e Gestão de Operações 1º Ano 2º Semestre

Módulo de Logística Docente : Maria da Conceição da Fonseca 1

Gestão de Aprovisionamentos

Um controlo eficiente do fluxo de materiais ao longo de um sistema logístico de abastecimento é essencial para qualquer empresa.

A constituição de stocks (aprovisionamentos) tem vantagens

• Melhora o nível de serviço • Reduz os custos totais da cadeia logística • Permite lidar melhor com a incerteza na procura dos clientes e nos tempos de

entrega • Disponibilidade todo o ano de produtos sazonais • . . .

Ter produtos em stock pode ter custos muito elevados ( o custo anual pode ser 30% do valor dos materiais em armazenamento.



Gestão de Aprovisionamentos

Conjunto de recursos de determinado tipo que são • consumíveis (em função de padrões de procura), gerando receitas • reaprovisionáveis (por aquisição ou por produção), gerando custos

Os recursos podem ser matéria-prima, componentes, produtos semi-acabados, produtos finais.

As principais decisões numa política de gestão de stocks são Quando encomendar Quanto encomendar Com o objetivo de minimizar os custos e atingir um certo nível de serviço.



Uma medida da eficiência da gestão de stocks numa empresa é a inventory turnover ratio (ITR) = custo das mercadorias vendidas / custo médio das mercadorias em stock Mede a velocidade de conversão do stock em vendas. Um valor alto é geralmente indicação de uma boa gestão de stocks.

Módulos desejáveis num sistema informático de apoio à gestão de stocks

Sistema de informação Registo de transações, processamento de ficheiros,etc. Um bom controlo dos items em stock é essencial (leitura dos códigos de barras, armazéns equipados com contagem automática de items, etc. )

Análise estatística e previsão Otimização

Algoritmos para dedução de políticas ótimas

Simulação Análise de cenários, avaliação de alternativas



Custos relevantes para a tomada de decisões em gestão de aprovisionamentos

Custos de armazenamento (custos de posse, holding cost) Custos em que se incorre por ter os materiais armazenados. Incluem: • custos de oportunidade (por existir capital imobilizado) • custos de manutenção (espaço ocupado, equipamento, energia, etc.) • seguros •Deterioração • obsolência

Custos de encomenda (de compra ou de produção) Custos associados com a aquisição de bens. Incluem: • custos fixos (custos administrativos, custos de transporte, num ambiente de produção são normalmente custos de set-up das máquinas, custos de aprendizagem, etc.) • custo unitário de aquisição (pode ou não depender da quantidade adquirida e do instante da aquisição)

Custos de rotura Penalizam situações em que não se tem em stock a quantidade necessária para satisfazer a procura. Dependem em grande parte do comportamento dos clientes e são difíceis de avaliar. • se a procura não é satisfeita temos custos de perda direta e custos de perda indireta (relacionados com o efeito negativo nos clientes, difíceis de quantificar) • backorder costs , quando a procura é satisfeita com atraso. Além do efeito negativo nos clientes existe uma penalização relacionada com custos de espera, receitas atrasadas, etc.)



Classificação dos Modelos de Gestão de Stocks

Os modelos podem ser caracterizados de acordo com um conjunto de critérios

Número de tipos de artigos - um tipo de artigo - vários tipos de artigos (neste caso é importante considerar as possíveis interacções entre artigos. Por exemplo em caso de rotura certos artigos podem substituir outros, podem competir em termos de espaço ou capital, etc.)

Horizonte temporal - Finito - Infinito

Processos de reposição - Instantâneo (por ex. Entrega de uma encomenda por camião) - Mediato (por ex. a uma taxa constante como output de um processo produtivo)

Tempo de entrega (tempo entre o pedido de uma encomenda e a sua receção) - Instantâneo - Mediato (e, neste caso, pode ser determinístico ou probabilístico)



Políticas de Controlo - Revisão Contínua Encomendas feitas em função da quantidade em stock a qual é continuamente monitorizada. - Revisão Periódica Encomendas feitas em instantes pré-determinados (possível excepção:situações de rotura). Podemos considerar dois tipos - Revisão periódica com quantidade fixa de encomenda - Revisão periódica com nível pré-estabelecido.

Revisão periódica com quantidade fixa Revisão periódica com nível pré-estabelecido



Padrão da Procura (usualmente supõe-se que a procura se manifesta de forma contínua, mesmo quando ocorre discretamente no tempo) - Determinística ( o comportamento da procura é perfeitamente conhecido) * Determinística e estática (taxa de procura constante) * Determinística e dinâmica (taxa de procura variável) - Estocástica (a procura é descrita como um processo estocástico) * Estacionária no tempo (variável aleatória com distribuição conhecida) * Não estacionária (por ex. Sazonal. Recorre-se a modelos de previsão)

Modelos determinísticos versus modelos estocásticos

Num modelo determinístico onde a procura, os custos e os tempos de entrega são conhecidos o objetivo é obter um equilíbrio entre os diferentes tipos de custos. Nos modelos estocásticos em que existe uma incerteza associada a certos dados é impossível satisfazer toda a procura. Assim, uma restrição no nível de serviço do cliente (por ex. a procura do cliente é satisfeita com determinada probabilidade) é geralmente adicionada ao modelo.



Modelos Determinísticos de Horizonte Temporal Infinito

Notação e Terminologia

R taxa de entrada (número de unidades compradas ou produzidas por unidade de tempo)

D taxa de procura (número de unidades pedidas por unidade de tempo)

tempo de entrega A custo fixo de encomenda (não depende da quantidade a encomendar)

c custo unitário de aquisição (preço de cada unidade comprada ou produzida. Pode depender de Q, c(Q))

h custo unitário de armazenamento (por unidade e por unidade de tempo)

p custo unitário de rotura (por unidade em falta e por unidade de tempo)

Dados

Variáveis

Q quantidade a encomendar (a comprar ou produzir)

T (comprimento do) período de tempo (entre 2 pedidos consecutivos de encomenda= tempo entre 2 reposições)

r ponto de encomenda (nível de stock que despoleta a colocação de um pedido de nova encomenda)

K custo global por unidade de tempo (depende pelo menos de Q :

K(Q)=custos de aquisição+armazenamento+rotura)

I(t) quantidade em stock no instante t

S(t) quantidade em falta no instante

médias e máximos max max, , , I I S S



Modelo determinístico Básico (EOQ – Economic Order Quantity)

Hipóteses

Só um tipo de artigo Horizonte temporal infinito Procura determinística, contínua e constante no tempo (taxa D) Tempo de entrega determinístico e constante Reposição instantânea Rotura não permitida

Parâmetros de custos • A : custo fixo de encomenda • c : custo unitário de aquisição (preço de cada unidade comprada ou produzida) • h : custo unitário de armazenamento (por unidade armazenada e por unidade de tempo)

Variáveis de Decisão

Q : quantidade a encomendar (a comprar ou a produzir) T : (comprimento do) período de tempo (intervalo entre 2 reposições)



Cenários possíveis

Q > DT quantidades em stock cada vez maiores Q < DT rotura Q = DT situação de equilibrio

O que interessa é o cenário que corresponde a uma situação de equilibrio. Assim,

** Q

TD

onde representam respetivamente a quantidade ótima a encomendar e o intervalo de tempo ótimo entre 2 reposições.

* *, TQ

Q

T=Q/D T T



Falta determinar que minimize os custos globais por unidade de tempo. *Q

Custos globais por período

Q

Custos globais por unidade de tempo

Custos globais por unidade de tempo

( ) ( )2

QA c Q h T

( )2

hQ

A DD

QK c

Q

Custos de encomenda

Custos de armazenamento

2

hQcD

Q

AD



Por derivação obtem-se

* 2ADQ

h

Exemplo

Um restaurante tem uma procura anual constante de 3800 caixas de refrigerante. Uma caixa de refrigerante custa 22 euros. O custo de uma encomenda é de 20 euros e o custo de armazenamento de 50% do custo por caixa. O restaurante trabalha 250 dias por ano. Determine a quantidade ótima a encomendar e o intervalo ótimo entre 2 encomendas.

Neste caso tem-se A=20 c=22 h=0.5x22=11 D= 3800 A quantidade ótima a encomendar é O intervalo de tempo entre 2 encomendas é isto é, 0.0309x250=7,73 dias de trabalho O custo global por ano é

* 2 20 380011.55 caixas

11Q

** 117,55

0.0309 anos3800

QT

D

*

*( ) 2 2 20 3800 11 22 3800 84893.06 euros/ano

2

A D h QK Q c D ADh cD

Q



Exemplo

No caso deste exemplo A encomenda anual seria de 12 caixas de refrigerantes O intervalo de tempo entre 2 encomendas seria

𝑇 =𝑄

𝐷 = 12

3800 = 0.0031 anos

isto é, 0.031x250=7,75 dias de trabalho O custo global por ano é

Na maioria dos casos não faz sentido que as quantidades encomendadas ou o tempo entre encomendas seja fraccionário. Felizmente o custo total não é muito sensível a variações das quantidades encomendadas, numa vizinhança da quantidade ótima

𝑄 = 12

𝐾 𝑄 =𝐴×𝐷

𝑄+ c × 𝐷 +

ℎ×𝑄

2 = 20×3800

12 +22 × 3800 +

11×12

2 = 8999.3 euros por ano



Incorporação do tempo de entrega

Podemos considerar que o tempo de entrega é diferente de 0 contrariamente ao que aconteceu no EOQ

Sendo (tempo de entrega) constante basta encomendar , unidades de tempo antes do nível do stock ser 0. Tem que se calcular o nível do stock que despoleta a colocação de um pedido de encomenda, isto é, r D

*Q

L = d = D



Variante do Modelo Deterministico Básico : Desconto por quantidades

As hipóteses deste modelo são as mesmas do modelo deterministico básico exceto no que diz respeito ao custo unitário de aquisição que em vez de ser constante (c) depende da quantidade encomendada (c(Q)). Neste caso tem-se

0 0

j 1

1

se

( ) c se

se

j j

n n

c Q q

c Q q Q q

c Q q

0 1com .... nc c c

( )2

i i

dK hQf Q c d

Q

Custo total por unidade de tempo

)(1 Qf

Q

)(2 Qf

)(Qfn

)(1 Qf

Q

)(2 Qf

)(Qfn

1q 2q1nq

)(1 Qf

Q1q 2q1nq

)(2 Qf )(Qfn



Determinação da quantidade ótima a encomendar

O valor ótimo de é igual • ou a •ou a algum ponto de salto

Basta calcular e comparar os valores de • usando • e usando para todos os

*Q

~ 2ADQ

h

~

jq Q

~

( )K Q~

( )c Q

( )jK q ( )j jc q c~

: jj q Q



Variantes do Modelo Deterministico Básico : Rotura permitida e/ou reposição não instantânea

R taxa de entrada (número de unidades compradas ou produzidas por unidade de tempo) D taxa de procura (número de unidades pedidas por unidade de tempo) tempo de entrega A custo fixo de encomenda (não depende da quantidade a encomendar) c custo unitário de aquisição (preço de cada unidade comprada ou produzida. Pode depender de Q, c(Q)) h custo unitário de armazenamento (por unidade e por unidade de tempo) p custo unitário de rotura (por unidade em falta e por unidade de tempo)



Variáveis

Q quantidade a encomendar (a comprar ou produzir) T (comprimento do) período de tempo (entre 2 pedidos consecutivos de encomenda= tempo entre 2 reposições) r ponto de encomenda (nível de stock que despoleta a colocação de um pedido de nova encomenda) K custo global por unidade de tempo (depende pelo menos de Q : K(Q)=custos de aquisição+armazenamento+rotura) I(t) quantidade em stock no instante t S(t) quantidade em falta no instante médias e máximos Durante um período (0,T) max max, , , I I S S

0( )

T

I I t dt

Modelos com Rotura permitida

Q-Smax

Smax

T T1

Modelos com reposição não instantânea

Imax

T1 T



Os custos globais são

Custos de encomenda + custos de armazenamento + custos de rotura

isto é

A cQ h I T p ST

Modelos com Rotura permitida e reposição não instantânea

Smax

T T1

T0

(R-D)t-Smax

Imax

T2



Os custos globais por unidade de tempo são

max

1( , ) ( )

ADK Q S A cQ h I T p ST cD h I p S

T Q

Nota QT

D

e podem deduzir-se por via geométrica como funções de I

S

maxS

Tem-se

1T Instante em que se atinge o nível máximo de stock

1T é o instante que verifica ( )R D t Q Dt

logo 1

QT

R



2T Instante em que se atinge o nível zero de stock , em que se entra em rotura

2T é o instante em que se verifica max 0Q S Dt

logo max2

Q ST

D

0T Instante em que se atinge o nível zero de stock , em que deixa de haver rotura

é o instante em que se verifica max( ) 0R D t S

logo max0

ST

R D

max max1D

I Q SR

Tem-se ainda



Smax

T T1

T0

Imax

T2

2 0 max( )

2

T T II 0 max 2 max( )

2 2

T S T T SS

Substituindo em

max( , )AD

K Q S cD h I p SQ

e derivando em ordem a e Q maxS



*

*

max

* * *

max

2 ( , 0)

2

( )

( , ) 2

AD R h pQ h p

h R D p

ADh R DS

p h p R

p R DK K Q S cD ADh

h p R

e tem-se ainda

**

* * *

max max(1 )

QT

D

I Q D R S



Modelos com Rotura permitida

Fazendo R

*

*

max

* * *

max

2 ( , 0)

2

( )

( , ) 2

AD h pQ h p

h p

ADhS

p h p

pK K Q S cD ADh

h p



Modelos com Reposição não instantânea

Fazendo p

*

* *

2 ( , 0)

( ) 2

AD RQ h p

h R D

R DK K Q cD ADh

R



Exemplo

Uma empresa importa determinado componente para montar televisores. A linha de montagem da empresa opera a um ritmo constante e necessita de 1500 destes componentes por mês. Os custos de cada encomenda são de 150 €, cada componente custa 30 € e os custos de posse podem ser aproximados pela taxa anual de crédito da empresa na banca que é de 20%. Um ano tem 12 meses e considera-se que cada mês tem 22 dias úteis. O tempo de entrega é de 10 dias úteis.

Este modelo é o determinístico básico considerando tempo de entrega. Assim, a quantidade a encomendar é

* 2 2 150 1500 12948.68

0.2 30

ADQ

h

O ponto de encomenda é 1500

10 681.822

r D

O intervalo de tempo entre 2 encomendas é *

* 948.680.632 mes 0.632 22 13.9 dias

1500

QT

D

Custo global anual

*( ) 2 2 150 1500 12 0.2 30 30 1500 12 545692.1K Q ADh cD €/ano



A empresa considera a hipótese de haver rotura de stock e estima em 15€ o custo de rotura por unidade em falta e por ano (perda devida a ter a linha de montagem parada por falta de componentes e funcionamento posterior fora do horário normal de trabalho para recuperar o atraso)

Neste caso , em que se permite rotura, tem-se :

* 2 ( ) 2 150 1500 12 (0.2 30 15)1122.5

0.2 30 15

AD h pQ

hp

O número máximo de componentes em falta é

*

max

2 2 150 1500 12 0.2 30320.71

( ) 15 (0.2 30 15)

ADhS

p h p

Custo global anual

Intervalo de tempo entre 2 encomendas *

* 1122.50.748 mes 0.748 22 16.5 dias

1500

QT

D

* *

max

2( , )

2 150 1500 12 0.2 30 15 30 1500 12 544810.7

0.2 30 15

ADhpK Q S cD

h p

€/ano



Exemplo Uma editora está a planear produzir um livro de procura constante de 7000 exemplares por ano (distribuída uniformemente ao longo do ano). O custo de produzir um livro é de 14 €, o custo de posse está estimada numa taxa anual de 20% e o custo de preparação das máquinas para iniciar a produção é de 150 €. As máquinas têm uma capacidade de produção de 50000 livros por ano (264 dias úteis, 12 meses). O tempo de set-up para iniciar a produção do livro é de 15 dias úteis.

Trata-se de uma situação em que a reposição não é instantânea.

* 2 2 150 7000 50000 = =933.9

0.2 14 (50000-7000)

AD RQ

h R D

A quantidade de livros a produzir de cada vez é

* * 50000 7000( ) 2 14 7000 2 150 7000 0.2 14 100248.6

50000

R DK K Q cD ADh

R

O livro deve ser produzido em intervalos de *

* 933.90.133 ano 0.133 264 35.1 dias uteis

7000

QT

D

Custo global anual

€/ano

Ponto de encomenda a partir do qual se deve iniciar a produção do livro 15

7000 397.7264

r D



Modelos para múltiplos tipos de artigos

Quando se consideram vários tipos de produtos em armazenamento as políticas de aprovisionamento para estes produtos estão interligadas uma vez que existem restrições e custos conjuntos.

Vamos considerar apenas o caso em que existe um limite no investimento total para aprovisionamentos ou um limite na capacidade do armazém e o modelo EOQ.

Consideremos que existem em armazenamento n produtos e que a área de aramazenamento requerida por cada unidade de produto 𝑗 é 𝑎𝑗

Seja 𝑄𝑗 𝑗 = 1,…𝑛 a quantidade a encomendar de cada produto.

Para cada produto tem-se

𝐾(𝑄𝑗) = 𝐴𝑗×𝐷𝑗

𝑄𝑗 + 𝑐𝑗 × 𝐷𝑗 +

ℎ𝑗×𝑄𝑗

2

Considere-se que a área máxima do armazém é b



Modelos para múltiplos tipos de artigos

Modelo matemático

É um problema de programação não linear. Em primeiro lugar resolve-se o problema sem restrições de capacidade, obtendo-se para cada 𝑗 = 1,… , 𝑛

Qj∗=2×𝐴𝑗×𝐷𝑗

ℎ𝑗

Se a solução obtida respeitar as restrições de capacidade então é ótima e as encomendas para cada produto 𝑗 = 1, … , 𝑛 são Qj

∗ Caso contrário pode usar-se um software que resolva programação não linear.

𝑀𝑖𝑛 𝐾(𝑄𝑗)

𝑛

𝑗=1

𝑠. 𝑎. 𝑎𝑗

𝑛

𝑗=1

𝑄𝑗 ≤ 𝑏

𝑄𝑗 ≥ 0 , 𝑗 = 1, … , 𝑛



Exemplo

A empresa Malver distribui malas de viagem e mochilas para todo o país. Os modelos que se vendem mais são o executivo para as malas de viagem e o casual para as mochilas. A procura anual para as mochilas casual é de 150 000 unidades, o valor unitário é de 30 euros e o custo anual de armazenamento por cada unidade é de 20% do valor. As malas executivo têm uma procura anual de 100 000 unidades, um valor unitário de 45 euros e um custo anual de armazenamento por cada unidade de 20% do seu valor. Em ambos os casos o custo de encomenda é de 250 euros. O gestor da empresa decidiu restringir a 75000 euros o capital médio investido no aprovisionamento dos dois tipos de artigos .

Sejam 𝑄1 e 𝑄2 respetivamente, a quantidade de mochilas casual e malas executivo . A restrição relativa ao capital médio investido no aprovisionamento é

30 𝑄1

2 + 45

𝑄2

2 ≤ 75000



Calcular

Q1∗=2×250×150000

0.2×30 = 3535.53 mochilas casual

Q2∗=2×250×100000

0.2×45 = 2357.02 malas executivo

30 3535.53

2 + 45

2357.02

2 = 106065.9 euros > 75000

Esta solução não verifica a restrição imposta. Resolve-se usando o solver do Excel para programação não linear. Obtém-se

Q1∗ = 2500 mochilas casual

Q2∗ = 1666.66 ≈ 1667 malas executivo

Custo total anual 9024998 euros.



Modelos Estocásticos de horizonte Infinito

Em qualquer sistema de gestão de stocks há duas variáveis de decisão fundamentais - Quanto encomendar - Quando encomendar

Se a procura for determinística o valor de uma fixa automaticamente o valor da outra ( ) Se a procura for probabilística pode tomar-se uma das seguinte opções: Permitir que os períodos entre encomendas sejam de dimensão variável; Permitir que as encomendas sejam de dimensão variável Assim, existem 2 tipos de sistemas de controlo Revisão Contínua , sistemas baseados na monitorização do nível de stock (quantidade a encomendar fixa e duração dos períodos variável) Revisão Periódica , sistemas baseados na “monitorização” do calendário (duração dos períodos fixa e quantidade a encomendar variável)

* *T Q D



Modelos Estocásticos de horizonte Infinito Política de Revisão Contínua

Quantidade a encomendar fixa Quanto ? Duração dos períodos variável Quando ? Logo que

Q

( )I t r

Variáveis de decisão e Q r



Hipóteses

Só um tipo de artigo Horizonte temporal infinito Procura aleatória mas estacionária e com distribuição conhecida Tempo de entrega constante e pequeno Reposição instantânea Rotura permitida Procura totalmente satisfeita, possivelmente com atraso (em caso de rotura)

Parâmetros de custos • A : custo fixo de encomenda não nulo • c : custo unitário de aquisição • h : custo por unidade possuída e por unidade de tempo • p : custo por unidade em falta, independentemente do tempo de rotura

Modelação da Procura : procura durante o tempo de entrega (com densidade e distribuiçao )X f F

: procura por unidade de tempoY

Se e vem .E X E Y



Nível de serviço por período =P[não haver rotura num período] = ( )F r P X r

Número médio de unidades em falta no período é ( ) ( ) ( )r

r x r f x dx

Problema Pretende determinar-se e de modo a minimizar o valor esperado do custo global por unidade de tempo

Logo

Custos globais esperados por período . . . . ( )A c Q h Q I p r

Onde o nível médio do stock é (aproximação por majoração) 2I Q r

( , ) ( )2

A Q pK Q r c h r r

Q Q

E T Q e (a procura é totalmente satisfeita)

*Q *r

( , )K Q r



Minimização de K

Anulando as derivadas parciais de K, obtem-se um sistema de 2 equações não lineares (a 2 incógnitas), cuja solução define um ponto mínimo. Condições de estacionariedade:

2

0 0

2(1) 2 ( ) onde

(2) ( ) 1 onde

AQ Q W r Q

h

Q pF r W

W h

Resolução heurística A partir de e usando (1) e (2) alternadamente Calcular aproximações sucessivas Até haver convergência aparente satisfatória

0Q1 1 2 2, , , ,...r Q r Q



Exemplo O armazenamento de determinado medicamento tem uma procura durante o tempo de entrega que segue uma distribuição uniforme em (0, 100). O custo fixo de encomenda é de 100 u.m., o valor médio da procura por unidade de tempo é 1000, o custo unitário de armazenamento é 2 u.m. E o custo por unidade em falta é 10u.m. Determine a quantidade fixa a encomendar e o ponto de encomenda.

Tem-se então ~ (0,100)

100

1000

2

10

X U

A

h

p



1

1

0

01 1

11

1002 2 2

1001 1 1 1

1 1

2

11

2 100 1000316.23

2

316.23 2: ( ) 1 1 0.93675

10 1000

0.93675 logo 93.67100

1 ( ) (100 ) ( )( ) ( )

100 2 100 2 100 2 100

502 100

rr

Q

Q hr F r

p

rr

x r r r rr x r dx

rr

Calcular

0

2

1 1

2 2

2

2 ( ) 319.4

: ( ) 1 (2 319.4 /10 1000) 0.93612

93.162

pQ Q r

h

r F r

r

e pode continuar

2

0 0

2(1) 2 ( ) onde

(2) ( ) 1 onde

AQ Q W r Q

h

Q pF r W

W h



Modelo Estocástico de período único

Este modelo é usado, em particular, para problemas de aprovisionamento em que há apenas uma oportunidade para encomendar, para fazer face à procura num dado período (conhecido na literatura como Newsboy/Newsvendor Problem). É um modelo que se aplica especialmente a produtos perecíveis, isto é, produtos que podem estar em armazém num período muito limitado de tempo a partir do qual deixam de poder ser vendidos.

Produtos perecíveis (neste contexto) Periódicos tais como revistas e jornais Flores vendidas numa florista Preparação de comida num restaurante Árvores de Natal Roupas de determinada estação (por ex. casacos de Inverno) Cartões alusivos a certas festividades Vestuário da moda Reservas de voos numa companhia de aviação ...



Notação

*

X

I

Q

: procura total no período (variável aleatória, com distribuição conhecida : quantidade que poderá estar em stock no início do período : quantidade que deverá estar disponível em stock no início do período

F

Hipóteses A encomenda está disponível em stock no início do período (o tempo de entrega

é nulo ou pelo menos determinístico) Se durante o período ocorrer rotura do stock a procura posterior não será

satisfeita Se no fim do período houver excedentes o artigo perde parte do seu valor

económico



Custos

: custo fixo de encomenda ( 0)

: custo por cada unidade em falta

: custo por cada unidade em excesso

: custo unitario de aquisiçao (nao dependente da qauntidade a encomendar)

: valor unitario de ven

A A

u

w

c

V

da no periodo

: valor residual unitario pos-periodo ("salvados","saldos",etc.)

: custo de armazenamento (contabilizavel para a quantidade em excesso)

v

h

Tem-se 0

(representa a perda do lucro)

( representa o capital perdido)

v c V

u V c

w c v h c v



Pretende-se resolver o seguinte Problema Determinar que minimiza (custos globais esperados no período) No início do período pode já existir uma certa quantidade em stock, , que poderá ser usada para fazer face à procura (por si só , ou em complemento com a quantidade a encomendar). O problema será então determinar a quantidade ideal a encomendar.

*Q

( ) ( , )K Q E K Q x

I



Soluções para o problema em estudo

Caso A decisão ótima é encomendar onde é o quantil

0; continuaA X

*max( ,0)Q I

*Q *( )u

F Qu w

Caso A decisão ótima é encomendar onde é menor valor admissível que satisfaz

0; discretaA X

*max( ,0)Q I

*Q*( )

uF Q

u w



Caso Custos globais esperados A decisão ótima é se não encomendar; caso contrário encomendar onde e é o mais pequeno dos valores que satisfazem a equação Casos particulares Se a equação a resolver é uma equação polinomial do 2º grau

Se de valor médio , tem-se

0; continuaA X

*Q I

*s

*( )u

F Qu w

( ) ( )

onde ( ) . ( ) ( ) . ( ) ( )q q

K Q A G Q

G q u x q f x dx w q x f x dx

*I s

*( ) ( )G s K Q

~X Uniforme

~X Exponencial * * 2As Q

w

gestão de aprovisionamentos · de tempo antes do nível do stock ser 0. tem que se calcular o...

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