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Geometria Euclidiana Plana -Um pouco de historia

Profa. Ariane Piovezan Entringer

Ariane Piovezan Entringer Geometria Euclidiana Plana - Introducao

Introducao

Daremos inıcio ao estudo axiomatico da geometria estudada noensino fundamental e medio, a Geometria Euclidiana Plana.

Faremos uso do metodo utilizado por Euclides em seu livro OsElementos, o metodo axiomatico.

A palavra geometria vem do grego geometrien

geo : terra

metrien: medida.


Os Elementos de Euclidese um tratado matematicoe geometrico consistindo de13 livros escrito pelo matematicogrego Euclides em Alexandriapor volta de 300 a.C. Os4 primeiros livros, que hoje podeser pensando como capıtulos,tratam da Geometria Planaconhecida da epoca, enquantoos demais tratam da teoria dosnumeros e da geometria espacial.


Um pouco de historia

No livro 1 dos Elementos de Euclides, inicia-se o estudo dageometria plana, hoje conhecida como Geometria Euclidiana Planaem sua homenagem. Inicialmente ele define os objetos geometricoscujas propriedades deseja-se estudar. Sao 23 definicoes, entre asquais encontramos as definicoes de ponto, reta, cırculo, triangulo,retas paralelas, etc. Em seguida ele enuncia 5 nocoes comuns, quesao afirmacoes admitidas como verdades obvias. Sao elas:

1 Coisas iguais a uma mesma coisa sao tambem iguais.

2 Se iguais sao adicionados a iguais, os totais obtidos sao iguais.

3 Se iguais sao subtraıdos de iguais, os totais obtidos sao iguais.

4 Coisas que coincidem uma com a outra sao iguais.

5 O todo e maior do que qualquer uma de suas partes.


Metodo Axiomatico

O que Euclides faz e construir axiomaticamente a geometria plana,atravez do metodo axiomatico.

O que e o metodo axiomatico?

A estrutura teorica de cada area da Matematica e disposta em:

O Conceito Primitivo;

Os Axiomas ou Postulados;

As Definicoes; os Teoremas, Lemas e Corolarios.


Um Conceito e Primitivo quando e tido como verdade e isentode definicao. Os exemplos classicos sao:“ponto”,“reta”, “plano”.Nao os definimos, apenas os aceitamos.

Axiomas sao afirmativas (conjunto de regras) aceitas semcomprovacao e que determinam as propriedades de algunsconceitos primitivos.

Uma teoria e axiomatica quando e construıda a partir de axiomasou postulados.


Uma teoria axiomatica e tanto mais elegante quanto menor for seunumero de axiomas e estes devem ser escolhidos com apreocupacao de que sejam:

* Consistentes: nao conduz a teoremas contraditorios.

* Suficientes: a teoria pode ser desenvolvida sem a necessidadede outros axiomas.

* Independentes: quando nenhum outro pode ser demonstradoa partir dos demais.

Conceitos Primitivos ⇒ Axiomas ⇒ Teoremas / Lemas ⇒Corolarios


Durante muito tempo distinguiu-se axioma de postulado. Osaxiomas eram proposicoes evidentes por si mesmas; e postulados,proposicoes que se pediam fossem aceitas sem demonstracao.

Atualmente, axiomas e postulados sao designacoes das proposicoessem demonstracao.

Constituem o ponto de partida de uma teoria dedutiva.


A Geometria de Euclides foi a primeira teoria matematica a seraxiomatizada. Ele apresentou, em sua famosa obra Os Elementos,um conjunto de cinco axiomas e cinco postulados.

Axiomas:

A1 Coisas iguais a uma terceira sao iguais entre si.

A2 Se quantidades iguais sao adicionadas a iguais, os totais saoiguais.

A3 Se quantidades iguais sao subtraıdas de iguais, os restos saoiguais.

A4 Coisas que coincidem uma com a outra sao iguais.

A5 O todo e maior do que qualquer de suas partes.


Postulados:

P1 Pode-se tracar uma (unica) reta ligando quaisquer doispontos.

P2 Pode-se continuar (de uma unica maneira) qualquer reta finitacontinuamente em uma reta.

P3 Pode-se tracar um cırculo com qualquer centro e comqualquer raio.

P4 Todos os angulos retos sao iguais.

Observacao: Euclides define angulos sem falar em medida eangulo reto como um angulo que e igual ao seu suplementar.Daı, a necessidade do Postulado 4.


P5 Se uma reta secante a duas outras forma angulos de ummesmo lado dessa secante, cuja soma e menor que doisangulos retos, entao essas retas, se prolongadassuficientemente, encontrar-se-ao em um ponto desse mesmolado.

O 5◦ Postulado e o famoso postulado das paralelas. Atualmente eapresentado com as seguintes palavras:

Por um ponto P exterior a uma reta m, considerados em ummesmo plano, existe uma unica paralela a reta m.

Muitos acreditavam que quando Euclides chegou ao Postulado 5nao soube como demonstra-lo e entao resolveu deixa-lo comopostulado.Diferentemente dos demais postulados, este se parece muito maiscom um teorema do que com uma simples afirmacao que podemosaceitar sem demonstracao.


Renomados matematicos tentaram provar o 5◦ Postulado deEuclides, pois o consideravam menos intuitivo e de redacao maiscomplicada. Porem, essa pretencao nao foi alcancada, pois o 5◦

Postulado nao e uma consequencia logicas dos quatro anteriores.

Substituindo tal postulado, surgiram as geometrias nao-euclidianas.


Um fato interessanteA primeira proposicao do livro I de Euclides e a seguinte:

Proposicao

Existe um triangulo equilatero com um lado igual a um segmentode reta dado.

Demonstracao.

Existe uma falha nesta demonstracao. Se queremos contruir ageometria a partir dos axiomas, precisamos justificar todaafirmacao a partir deles. Nao existe nenhum postulado que garanteque o ponto de intersecao entre os dois cırculos existe.


Vemos, assim, que os postulados de Euclides nao sao suficientespara demonstrar todos os resultados da geometria plana.

Neste curso vamos axiomatizar a geometria de tal forma que osaxiomas sejam suficientes para demonstrar todos os resultadosconhecidos desde o ensino fundamental.


Definicoes, Teoremas e Demonstracoes

? Uma definicao e um conceito que e feito em funcao de termosconsiderados previamente conhecidos.Por exemplo, “um segmento de reta e uma parte ou porcao dareta limitada por dois pontos”. Observe que sao conhecidosos termos ponto, reta e parte, dentre outros.

Partindo-se de uma teoria devidamente axiomatizada, surgem asdefinicoes, as porposicoes ou teoremas, corolarios, leis e regrasmatematicas.


? Teorema e uma afirmacao que pode ser provada e de grandeimportancia,

? Proposicao e uma sentenca nao associada a algum outroteorema, de simples prova e de importancia matematica “menor”,

? Lema e um “pre-teorema”, um teorema que serve para ajudarna prova de outro teorema maior,

? Corolario e uma consequencia direta de outro teorema ou deuma definicao, muitas vezes tendo suas demonstracoesomitidas, por serem simples.

? conjectura e o termo usado para afirmacoes que ainda naoforam provadas, mas que acredita-se que sao verdadeiras.Alguns teoremas continuam a ser chamados de conjecturas(Conjectura de Poicare).

Observacao: A distincao entre Lema, Teorema e Proposicao e umtanto quanto arbitraria.


Um teorema e aceito como logicamente verdadeiro somentemediante uma prova ou demonstracao.

O enunciado de um teorema compreende duas partes distintas:

hipotese: conjunto de condicoes aceitas como verdadeiras;

tese: verdade logica que se pretende demonstrar a partir dahipotese.

O raciocınio que permite concluir o estabelecimento da tese,supondo compreendidas as condicoes da hipotese e chamado dedemonstracao.

Hipotese → Demonstracao → Tese


Existem, basicamente, duas formas de demonstrar um teorema. Osmetodos:

Direto - que se utiliza das informacoes contidas na hipotese eoutros resultados pertinentes e que atraves de uma sequencialogica coerente chega ao resultado ou tese.

Indireto - tambem conhecido como metodo de reducao aoabsurdo (ou metodo da contradicao). Sua estrategia ebaseada na negacao logica da proposicao tese e consequentecontradicao da hipotese.


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