Geometria de Posição

Conceitos primitivos Prof. Jarbas

Conceitos primitivos

• A partir do mundo real, matemáticos da antiguidade, como Euclides (séc. III a.C.) estabeleceram entes com os quais construíram a geometria. Três desses entes destacam-se por serem conhecidos intuitivamente. São eles: o ponto, a reta e o plano.

O Ponto • Olhando-se a noite para um céu estrelado

vêem-se as estrelas, que, intuitivamente, podem ser consideradas pontos. Em geometria, o ponto, elemento concebido sem dimensão, massa nem volume, é uma noção primitiva.

A Reta • Suponha agora que fosse possível esticar,

indefinidamente e nos dois sentidos, um fio de elástico. Em nossa imaginação, e apenas nela, visualizaríamos o que chamamos de reta. Em geometria, o conceito de reta – concebido intuitivamente – também é uma noção primitiva.

O Plano • Considere o tampo liso de uma mesa, sem

nenhum tipo de fresta ou ondulação. Esse tampo possibilitaria a visualização concreta de um plano. Entretanto, o conceito geométrico de plano implica que, por intuição, ele seja entendido ilimitadamente em todas as direções. Plano é uma noção primitiva.

• Representando os conceitos de modo geométrico, temos, então:

A

ponto r

reta α

plano

• A proposição usada por Hilbert (1862 – 1943), e normalmente adotada por nós, é a seguinte:

• Os pontos são indicados por letras maiúsculas (A, B, C etc.).

• As retas são indicadas por letras minúsculas (r, s, t etc.).

• Os planos são indicados por letras gregas (α,β,γ etc.).

POSTULADO: SÃO CONSTATAÇÕES QUE NÃO NECESSITAM SER PROVADAS PARA QUE SEJAM CONSIDERADAS VERDADEIRAS.

TEOREMAS: PROPOSIÇÕES QUE PODEM SER DEMONSTRADAS, PARTINDO DE FATOS JUSTIFICÁVEIS.

Posições primitivas, postulados ou axiomas.

Postulados da existência

P1 – Em uma reta e fora dela existem infinitos pontos

Observação: Os pontos pertencentes a uma mesma reta são chamados de “Pontos colineares”.

A C E

D B

F

P2 – Em um plano e fora dele existem infinitos pontos

α

A

B C

E

F

D

r

Observação: Os pontos pertencentes a um mesmo plano são chamados de “Pontos Coplanares”.

Por um ponto passam infinitas retas.

P3 – Postulados da determinação da reta Dois pontos distintos determinam uma única reta

r

A

B

P4 – Postulados da determinação do plano

Três pontos não-colineares(não alinhados) determinam um único plano; ou seja se A, B e C são três pontos não colineares, então existe um único plano ao qual os pontos A, B e C pertencem simultaneamente.

α

A

C

B

P5 – Postulado da inclusão

Se dois pontos distintos de uma reta pertencem a um plano, a reta está contida (está inclusa) nesse plano.

α

r A

B

A α B α

A r

B r

r α ∩

"Por um ponto fora de uma reta só podemos traçar uma paralela a

esta reta."

O Postulado de Euclides é a base da geometria que estamos estudando,

que por este motivo é denominada de Geometria Euclidiana.

P6 -

Segmentos de reta e semirreta

Todo ponto de uma reta, separa-a em duas partes às quais ela pertence.

A B O r

OA e OB são semi-retas opostas de origem O.

Exercícios Resolvidos:

1- Classifique em verdadeiro(V) ou Falso(F). Sobre pontos, retas e planos.

a) Por três pontos, passa uma única reta.

b) Por três pontos, passa um único plano.

c) Por um ponto passam pelo menos duas retas.

d) Duas retas que têm dois pontos distintos comuns são coincidentes.

V

F

V

F

e) Por um ponto passam infinitas retas.

f) Três pontos pertencentes a um plano são sempre colineares.

V

F

Segmentos Consecutivos: Dois segmentos de reta são consecutivos se, a extremidade de um deles é também extremidade do outro, ou seja, uma extremidade de um coincide com uma extremidade do outro.

AB e BC

são consecutivos

MN e NP

são consecutivos

EF e GH

não são consecutivos

Segmentos Colineares: Dois segmentos de reta são colineares se estão numa mesma reta.

AB e CD

são colineares

MN e NP

são colineares

EF e FG

não são colineares

Sobre segmentos consecutivos e colineares, podemos ter algumas situações: Os segmentos AB, BC e CD são consecutivos e colineares, mas os segmentos AB e CD não são consecutivos embora sejam colineares, mas os segmentos de reta EF e FG são consecutivos e não são colineares

Segmentos Adjacentes: Dois segmentos consecutivos e colineares são adjacentes, se possuem em comum apenas uma extremidade e não têm outros pontos em comum. MN e NP são adjacentes, tendo somente N em comum. MP e NP não são adjacentes, pois existem muitos pontos em comum.

Segmentos Congruentes: são aqueles que têm as mesmas medidas. No desenho ao lado, AB e CD são congruentes. A congruência entre os segmentos AB e CD é denotada por AB CD, onde “ " é o símbolo de congruência.

Ponto médio de um segmento: M é o ponto médio do segmento de reta AB, se M divide o segmento AB em dois segmentos congruentes, ou seja, AM MB. O ponto médio é o ponto de equilíbrio de um segmento de reta.

Medida de um segmento(Comprimento do segmento): Medir um segmento é comparar este segmento com outro, não nulo, escolhido como padrão.

A medida de um segmento será indicado por m( ). AB AB

Operações com segmentos: Adição

Operações com segmentos: Subtração

Exercícios Resolvidos:

1- Classifique em verdadeiro(V) ou Falso(F). Sobre pontos, retas e planos.

F

F

F

F

F

V

a) Se dois segmentos são consecutivos, então eles são colineares; b) Se dois segmentos são colineares, então eles são consecutivos; c) Se dois segmentos são adjacentes, então eles são colineares; d) Se dois segmentos são colineares, então eles são adjacentes; e) Se dois segmentos são adjacentes, então eles são consecutivos; f) Se dois segmentos são consecutivos, então eles são adjacentes;

3) Em relação ao cubo acima responda:

a) Quantas retas passam por um dos seus vértices ?

b) Qual é o número de retas determinadas?

c) Cite quatro planos que contém a diagonal AC da face superior?

8x7/2 =28

7

Solução do item c :

PL(ACB) = PL(ACD) = PL(ABCD) PL(ACE) = PL(ACG) = PL(ACEG)

PL(ACH) PL(ACF)

c

Atividades de Sala

Postulados

Ponto, reta e plano

Teoremas

x

a)Dentre as retas suportes das arestas da

pirâmide, quantas passam pelo vértice da

pirâmide?

b) Dentre os planos determinados pelos vértices

da pirâmide, está o plano da base,PL(ABC). Quais

são os outros planos determinados pelos vértices

da pirâmide? PL(VBC), PL(VAC) e PL(VAB)

Três retas

PL(ABC) e PL(ABG) 2

8x7/2 =28

5 faces + PL(VAC) + PL(VBD)= 7

FIM