geometria analítica i (ap 01)
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1. INTRODUÇÃO A Geometria Analítica tem por objetivo conciliar os fatos
geométricos com as relações algébricas. Permite, assim, que a Álgebra e a Geometria se relacionem, o que possibilita um estudo sistemático das figuras geométricas, bem como, reciprocamente, a interpretação geométricas das relações algébricas. 2. SISTEMA CARTESIANO ORTOGONAL
O sistema cartesiano ortogonal é formado por dois eixos perpendiculares entre si, que se cruzam num ponto denominado origem das coordenadas e que determinam um plano chamado plano cartesiano. No plano cartesiano abaixo temos os seguintes pares ordenados:
����, ��� ��, �� ���� , ��� ��� , ���
3. PONTO 3.1. Distância entre dois pontos
Dados dois pontos distintos � e , a distância entre eles é a medida de ����� dada em unidade de medida de comprimento. A distância entre esses pontos é indicada por ���, � ou �. Considerando o plano cartesiano acima temos que a distância entre os pontos � e dar-se-á por:
���,�� � ���� � ���� � ��� � ����
3.2. Ponto médio de um segmento
Dados dois pontos distintos ����, ��� e ��, ��, podemos obter as coordenadas do ponto médio de �����, cujas coordenadas são ���� , ���.
�� � �� � ��� �� � �� � ���
3.3. Condição de alinhamento de três pontos
Dados três pontos distintos, podemos verificar se estão alinhados ou não utilizando apenas suas coordenadas. Se três pontos distintos estão alinhados, então:
��� �� 1� � 1�� �� 1� � 0
3.4. Área de um triângulo Dados os pontos ����, ���, �� , �� e ���� , ��� em um
plano cartesiano, caso eles não estejam alinhados, é possível calcular a área da região triangular cujos vértices são esses pontos. A área, cujo valor deve ser positivo, é dada por:
�∆��" � |$|�
� ��� �� 1� � 1�� �� 1� e | | é o módulo de .
3.5. Baricentro de um triângulo (2)
Denomina-se baricentro ou centro de gravidade de um triângulo o ponto %��& , �&�, interseção das três medianas desse
triângulo.
�' � �� � �� � �"(
�' � �� � �� � �"(
�%%� � 21 ;%%+ � 21 ;�%%, � 21
4. RETA 4.1. Equação geral da reta
Sejam os pontos ����, ��� e �� , �� pertencentes a uma reta - no plano cartesiano e um ponto ,��, �� qualquer dessa reta.
Como s pontos �, e , são colineares:
� � � 1�� �� 1� � 1� � 0
Daí temos que, ��� � ��� � �� � ���� � ��� � ��� � 0. Fazendo: ��� � �� � /;�� � ��� � 0;��� � ��� � 1, temos: 2� � 3� � 4 � 5 4.2. Equação reduzida da reta
Considera /� � 0� � 1 � 0 a equação geral da reta -. Quando isolamos o � obtemos a equação reduzida da reta -.
/� � 0� � 1 � 0 ⇒ 0� � �/� � 1 ⇒ � � �/0 � � 10
Fazendo:� /0 � 78 � 10 � 9.
Temos, � � :� � ;
AP1 - Geometria Analítica I Matemática 3
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4.3. Inclinação e coeficiente angular de uma reta Considere o plano cartesiano abaixo e uma reta - cuja
inclinação é < em relação ao eixo �, a qual é medida no sentido anti-horário do eixo para a reta.
Chama-se inclinação da reta = a medida do ângulo >. O coeficiente angular ou declividade da reta é um número real : que expressa a tangente trigonométrica de >, isto é: : � ?@>.
Dependendo da inclinação podem ocorrer casos:
1º caso: 0° B < B 90° ⇒ DE< F 0 ⇒ 7 F 0; 2º caso: 90° B < B 180° ⇒ DE< B 0 ⇒ 7 B 0; 3º caso: < � 90° ⇒ DE< não é definida 4º caso: < � 0° ⇒ DE< � 0 ⇒ 7 � 0. 4.4. Cálculo do coeficente angular
De modo geral, se ����, ��� e �� , �� são pontos distintos de uma reta - não-paralela ao eixo �, a declividade ou o coeficiente angular dessa reta é dada por:
: � �� � ���� � ��
4.5. Equação da reta que passa por um ponto (3)
Considere uma reta - e um ponto ,��, �� qualquer desta reta. A equação da reta que passa pelo ponto ,H��H, �H� e tem coeficiente angular 7I é dada por: � � �5 � :=�� � �5�. 4.6. Posição relativa entre duas retas (3) Consideremos duas retas distintas, r e s, em um plano cartesiano. Essas retas podem ser paralelas ou concorrentes. 4.6.1 Retas paralelas
Dadas duas retas = e J distintas e não-verticais, elas são paralelas entre si se, e somente se, seus coeficientes angulares são iguais, isto é: := � :J
4.6.2 Retas concorrentes Dadas duas retas = e J distintas e não-verticais, elas são concorrentes se, e somente se, seus coeficientes angulares são diferentes, isto é: := K :J
4.6.3 Retas perpendiculares Dadas duas retas = e J distintas cujos coeficientes angulares são, respectivamente, 7I e 7L elas são perpendiculares se, e somente se, := ∙ :J � �N
4.7. Ângulo entre duas retas (3) Considere duas retas concorrentes - e O oblíquas ao eixo � e ao eixo � e não perpendiculares entre si. Nesse caso, temos:
?@> � P := �:JN �:= ∙ :JP 4.8. Distância entre ponto e reta
A distãncia de um ponto ����, ��� a uma reta -: /� � 0� � 1 � 0 é dada por:
���, =� � |2 ∙ �� � 3 ∙ �� � 4|√2� � 3�
TESTE DE VESTIBULAR
Questão 1Questão 1Questão 1Questão 1
(FEI - SP) Num sistema de coordenadas cartesianas são dados os pontos ��0, 0� e ,�3, T�. Determine a alternativa cuja expressão representa a distância do ponto , ao ponto � em função de T.
(A) � � √9 � TU (B) � � T � 3 (C) � � 3T
(D) � � √9 � 6T � TU (E) � � 9 � T
Questão 2Questão 2Questão 2Questão 2
(UFMG – MG) Sabendo que a distância entre dois pontos ��0; 1� e �D; 2D� é √13, o valor de D é:
�A��A��A��A� �1 � √61�/5�B��B��B��B� 2�C��C��C��C� 3�D��D��D��D� �2 � √61�/2�E��E��E��E� N.D.A.
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Questão 3Questão 3Questão 3Questão 3
(UFPR - PR) Suponha que duas partículas P e Q se movem no plano cartesiano, de modo que em cada instante t a partícula P está no ponto �2D, 3 � D� e a partícula Q está no ponto �4D, 3D �2�. Com base nessas informações, avalie as seguintes afirmativas:
I. As partíclas colidem uma com a outra no instante D � `a.
II. Ambas as partíclas passam pelo ponto �4, 1�. III. No instante D � 1, a distância entre as partículas é √5.
Determine a alternativa correta. (A) Somente as alternativas II e III são verdadeiras. (B) Somente a afirmativa II é verdadeira. (C) Somente a afirmativa III é verdadeira. (D) Somente as afirmativas I e II são verdadeiras. (E) Somente as alternativas I e III são verdadeiras.
Questão 4Questão 4Questão 4Questão 4
(UFMG – MG) Seja b��1, /� um ponto do 3º quadrante. O valor de / para que a distância do ponto ,�/, 1�ao ponto b seja 2, é:
(A) �1 � √2
(B) 1 � √2
(C) 1 � √2
(D) �1 � √2 (E) �1
Questão 5Questão 5Questão 5Questão 5
(UFMG – MG) A área de um quadado que tem ��4, 8� e ��2, 2� como vértices opostos é: �A��A��A��A� 36 (B)(B)(B)(B) 20 (C)(C)(C)(C) 18 (D)(D)(D)(D) 16 (E)(E)(E)(E) 12
Questão 6Questão 6Questão 6Questão 6
(UFV - MG) Considere, no plano cartesiano com origem O, um triângulo cujos vértices �, e � têm coordenadas (�1, 0), (0, 4) e (2, 0), respectivamente. Se 7 e 9 são pontos médios de ����� e �����, respectivamente, a área do triângulo c�+ é igual a:
(A) `
d e. /.
(B) f
` e. /.
(C) 1 e. /.
(D) d
U e. /.
(E) N.R.A.
Questão 7Questão 7Questão 7Questão 7
(FGV - RJ) Uma reta do plono cartesiano contém os pontos (2, 3) e (14, 7). O ponto ,(2002, 670):
(A) Pertence a essa reta. (B) Está sobre esta reta. (C) Esta abaixo desta reta. (D) Não pertence ao plano cartesiano. (E) É a origem do plano cartesiano.
Questão 8Questão 8Questão 8Questão 8
(Unifor - CE) Considere a reta -, representada na figura a seguir. Sua equação é:
(A) √3� � � � 1 � √3
(B) √3� � � � 1 � √3
(C) √3� � � � �1 � √3
(D) √3� � � � �1 � √3
(E) √3� � � � √3
Questão 9Questão 9Questão 9Questão 9
(UFRS – RS) As retas r e s da figura interceptam-se no ponto de ordenada:
(A)(A)(A)(A) d
U
(B)(B)(B)(B) `
d
(C)(C)(C)(C) h
a
(D)(D)(D)(D) i
`
(E)(E)(E)(E) jj
k
Questão 10Questão 10Questão 10Questão 10
(UFMG – MG) Observe figura. A ordenada do ponto de intersecção da reta r com o eixo das ordenadas é:
(A)(A)(A)(A) 2 � 3√3
(B)(B)(B)(B) 3 � 2√3
(C)(C)(C)(C) 2 � √3
(D)(D)(D)(D) 3 �U√d
d
(E)(E)(E)(E) 3√3 � 2
Questão Questão Questão Questão 11111111
(UFPB - PB) A melhor arma contra o câncer é identificar preccimete a doença. Em um exame de rotina, foi encontrado em um paciente um pequeno nódulo, de área equivalente à o triângulo cujos vértices são os pontos de interseção das retas � � 1, � � � � 1 � 0 e � � � � 2 � 0. Qual a área ocupada pelo nódulo?
(A) j
a e. /.
(B) j
` e. /.
(C) 1 e. /.
(D) d
U e. /.
(E) N.R.A.