geometria analítica i (ap 01)

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1. INTRODUÇÃO A Geometria Analítica tem por objetivo conciliar os fatos

geométricos com as relações algébricas. Permite, assim, que a Álgebra e a Geometria se relacionem, o que possibilita um estudo sistemático das figuras geométricas, bem como, reciprocamente, a interpretação geométricas das relações algébricas. 2. SISTEMA CARTESIANO ORTOGONAL

O sistema cartesiano ortogonal é formado por dois eixos perpendiculares entre si, que se cruzam num ponto denominado origem das coordenadas e que determinam um plano chamado plano cartesiano. No plano cartesiano abaixo temos os seguintes pares ordenados:

��, �� , �� , �� , ��

3. PONTO 3.1. Distância entre dois pontos

Dados dois pontos distintos � e , a distância entre eles é a medida de �� dada em unidade de medida de comprimento. A distância entre esses pontos é indicada por ��, � ou �. Considerando o plano cartesiano acima temos que a distância entre os pontos � e dar-se-á por:

��,��

3.2. Ponto médio de um segmento

Dados dois pontos distintos ��, �� e ��, ��, podemos obter as coordenadas do ponto médio de ��, cujas coordenadas são �� , ��.

��

3.3. Condição de alinhamento de três pontos

Dados três pontos distintos, podemos verificar se estão alinhados ou não utilizando apenas suas coordenadas. Se três pontos distintos estão alinhados, então:

�� 1� � 1�� 1� � 0

3.4. Área de um triângulo Dados os pontos ��, ��, �� , �� e �� , �� em um

plano cartesiano, caso eles não estejam alinhados, é possível calcular a área da região triangular cujos vértices são esses pontos. A área, cujo valor deve ser positivo, é dada por:

�∆��" � |$|�

� �� 1� � 1�� 1� e | | é o módulo de .

3.5. Baricentro de um triângulo (2)

Denomina-se baricentro ou centro de gravidade de um triângulo o ponto %��& , �&�, interseção das três medianas desse

triângulo.

�' � �� "(

�' � �� "(

�%%� � 21 ;%%+ � 21 ;�%%, � 21

4. RETA 4.1. Equação geral da reta

Sejam os pontos ��, �� e �� , �� pertencentes a uma reta - no plano cartesiano e um ponto ,��, �� qualquer dessa reta.

Como s pontos �, e , são colineares:

� � � 1�� 1� � 1� � 0

Daí temos que, �� 0. Fazendo: �� /;�� 0;�� 1, temos: 2� � 3� � 4 � 5 4.2. Equação reduzida da reta

Considera /� � 0� � 1 � 0 a equação geral da reta -. Quando isolamos o � obtemos a equação reduzida da reta -.

/� � 0� � 1 � 0 ⇒ 0� � �/� � 1 ⇒ � � �/0 � � 10

Fazendo:� /0 � 78 � 10 � 9.

Temos, � � :� � ;

AP1 - Geometria Analítica I Matemática 3


4.3. Inclinação e coeficiente angular de uma reta Considere o plano cartesiano abaixo e uma reta - cuja

inclinação é < em relação ao eixo �, a qual é medida no sentido anti-horário do eixo para a reta.

Chama-se inclinação da reta = a medida do ângulo >. O coeficiente angular ou declividade da reta é um número real : que expressa a tangente trigonométrica de >, isto é: : � ?@>.

Dependendo da inclinação podem ocorrer casos:

1º caso: 0° B < B 90° ⇒ DE< F 0 ⇒ 7 F 0; 2º caso: 90° B < B 180° ⇒ DE< B 0 ⇒ 7 B 0; 3º caso: < � 90° ⇒ DE< não é definida 4º caso: < � 0° ⇒ DE< � 0 ⇒ 7 � 0. 4.4. Cálculo do coeficente angular

De modo geral, se ��, �� e �� , �� são pontos distintos de uma reta - não-paralela ao eixo �, a declividade ou o coeficiente angular dessa reta é dada por:

: � ��

4.5. Equação da reta que passa por um ponto (3)

Considere uma reta - e um ponto ,��, �� qualquer desta reta. A equação da reta que passa pelo ponto ,H��H, �H� e tem coeficiente angular 7I é dada por: � � �5 � :=�� 5�. 4.6. Posição relativa entre duas retas (3) Consideremos duas retas distintas, r e s, em um plano cartesiano. Essas retas podem ser paralelas ou concorrentes. 4.6.1 Retas paralelas

Dadas duas retas = e J distintas e não-verticais, elas são paralelas entre si se, e somente se, seus coeficientes angulares são iguais, isto é: := � :J

4.6.2 Retas concorrentes Dadas duas retas = e J distintas e não-verticais, elas são concorrentes se, e somente se, seus coeficientes angulares são diferentes, isto é: := K :J

4.6.3 Retas perpendiculares Dadas duas retas = e J distintas cujos coeficientes angulares são, respectivamente, 7I e 7L elas são perpendiculares se, e somente se, := ∙ :J � �N

4.7. Ângulo entre duas retas (3) Considere duas retas concorrentes - e O oblíquas ao eixo � e ao eixo � e não perpendiculares entre si. Nesse caso, temos:

?@> � P := �:JN �:= ∙ :JP 4.8. Distância entre ponto e reta

A distãncia de um ponto ��, �� a uma reta -: /� � 0� � 1 � 0 é dada por:

��, =� � |2 ∙ �� 3 ∙ �� 4|√2� � 3�

TESTE DE VESTIBULAR

Questão 1Questão 1Questão 1Questão 1

(FEI - SP) Num sistema de coordenadas cartesianas são dados os pontos ��0, 0� e ,�3, T�. Determine a alternativa cuja expressão representa a distância do ponto , ao ponto � em função de T.

(A) � � √9 � TU (B) � � T � 3 (C) � � 3T

(D) � � √9 � 6T � TU (E) � � 9 � T


(UFMG – MG) Sabendo que a distância entre dois pontos ��0; 1� e �D; 2D� é √13, o valor de D é:

�A��A��A��A� �1 � √61�/5�B��B��B��B� 2�C��C��C��C� 3�D��D��D��D� �2 � √61�/2�E��E��E��E� N.D.A.

AP1 - Geometria Analítica I Matemática 3



(UFPR - PR) Suponha que duas partículas P e Q se movem no plano cartesiano, de modo que em cada instante t a partícula P está no ponto �2D, 3 � D� e a partícula Q está no ponto �4D, 3D �2�. Com base nessas informações, avalie as seguintes afirmativas:

I. As partíclas colidem uma com a outra no instante D � `a.

II. Ambas as partíclas passam pelo ponto �4, 1�. III. No instante D � 1, a distância entre as partículas é √5.

Determine a alternativa correta. (A) Somente as alternativas II e III são verdadeiras. (B) Somente a afirmativa II é verdadeira. (C) Somente a afirmativa III é verdadeira. (D) Somente as afirmativas I e II são verdadeiras. (E) Somente as alternativas I e III são verdadeiras.


(UFMG – MG) Seja b��1, /� um ponto do 3º quadrante. O valor de / para que a distância do ponto ,�/, 1�ao ponto b seja 2, é:

(A) �1 � √2

(B) 1 � √2

(C) 1 � √2

(D) �1 � √2 (E) �1


(UFMG – MG) A área de um quadado que tem ��4, 8� e ��2, 2� como vértices opostos é: �A��A��A��A� 36 (B)(B)(B)(B) 20 (C)(C)(C)(C) 18 (D)(D)(D)(D) 16 (E)(E)(E)(E) 12


(UFV - MG) Considere, no plano cartesiano com origem O, um triângulo cujos vértices �, e � têm coordenadas (�1, 0), (0, 4) e (2, 0), respectivamente. Se 7 e 9 são pontos médios de �� e ��, respectivamente, a área do triângulo c�+ é igual a:

(A) `

d e. /.

(B) f

` e. /.

(C) 1 e. /.

(D) d

U e. /.

(E) N.R.A.


(FGV - RJ) Uma reta do plono cartesiano contém os pontos (2, 3) e (14, 7). O ponto ,(2002, 670):

(A) Pertence a essa reta. (B) Está sobre esta reta. (C) Esta abaixo desta reta. (D) Não pertence ao plano cartesiano. (E) É a origem do plano cartesiano.


(Unifor - CE) Considere a reta -, representada na figura a seguir. Sua equação é:

(A) √3� � � � 1 � √3

(B) √3� � � � 1 � √3

(C) √3� � � � �1 � √3

(D) √3� � � � �1 � √3

(E) √3� � � � √3


(UFRS – RS) As retas r e s da figura interceptam-se no ponto de ordenada:

(A)(A)(A)(A) d

U

(B)(B)(B)(B) `

d

(C)(C)(C)(C) h

a

(D)(D)(D)(D) i

`

(E)(E)(E)(E) jj

k


(UFMG – MG) Observe figura. A ordenada do ponto de intersecção da reta r com o eixo das ordenadas é:

(A)(A)(A)(A) 2 � 3√3

(B)(B)(B)(B) 3 � 2√3

(C)(C)(C)(C) 2 � √3

(D)(D)(D)(D) 3 �U√d

d

(E)(E)(E)(E) 3√3 � 2

Questão Questão Questão Questão 11111111

(UFPB - PB) A melhor arma contra o câncer é identificar preccimete a doença. Em um exame de rotina, foi encontrado em um paciente um pequeno nódulo, de área equivalente à o triângulo cujos vértices são os pontos de interseção das retas � � 1, � � � � 1 � 0 e � � � � 2 � 0. Qual a área ocupada pelo nódulo?

(A) j

a e. /.

(B) j

` e. /.

(C) 1 e. /.

(D) d

U e. /.

(E) N.R.A.

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