geoestatistica

TPICOS

A funo variograma

Modelos tericos de variograma

Isotropia e anisotropia

Estatstica Descritiva:

Moda Valor que ocorre com maior freqncia;

utilizada mais freqentemente quando dados esto registrados na escala nominal;

existem conjuntos de dados sem moda;

existem conjuntos de dados com modas mltiplas (bi-modal x unimodal).

A exceo dos dados agrupados, a moda no uma medida muito til;

Neste caso a classe modal aquela cuja freqncia supera as demais.

Ex.1. X = (4, 5, 5, 6, 6, 6, 7, 7, 8, 8) Mo = 6 (0 valor mais freqente)

Esse conjunto unimodal, pois apresenta apenas uma moda.

Ex. 2. Y = (1, 2, 2, 2, 3, 4, 4, 4, 5, 5, 6) Mo = 2 e Mo = 4 (valores mais freqentes)

Esse conjunto bimodal, pois apresenta duas modas.

Estatstica Descritiva:

Varincia(s2) e Desvio Padro(s) Na prtica o desvio mdio quadrado em torno da mdia de um conjunto de

dados (varincia) mais utilizado;

desta maneira, o sinal torna-se sempre positivo.

A soma dos desvios da mdia elevados ao quadrado dividida pelo nmero

total de observaes.

22 2

2 2( ) ( ) /

1 1

i i i

x x

x x x nS ou S

n n

media

Principais conceitos tericos

(h) = C(0) C(h)

relao entre as funes semivariograma e covarincia

Variograma 2(h)

O variograma uma ferramenta bsica de suporte s tcnicas de geoestatstica, que

permite representar quantitativamente a variao de um fenmeno regionalizado no

espao (Huijbregts, 1975).

A

z(u h)

z(u)

2(h) mede o grau de dissimilaridade entre pares de observao separados pelo vetor distncia h;

funo do vetor distncia h;

depende da geometria de amostragem.

Variograma 2(h)

Definio: esperana matemtica (E) do quadrado da diferena entre os

valores de pontos no espao separados pelo vetor distncia h.

2(h) = E{[z(u) z(u h)]2}

Atravs de um conjunto amostral, {z(u1), z(u2), ..., z(uN)}, o variograma pode ser

estimado por:

[ z(ui) z(ui h)]2

N(h)

1i = 1

N(h)

2(h) = ^

N(h): o nmero de pares, z(ui) e z(ui h), separados por h;

2(h): o estimador de variograma; ^

z(ui) e z(ui h): so valores observados nas localizaes ui e ui h.

h: o vetor distncia (modulo e direo) entre pares de observao;

em que:

Semivariograma (h)

Definio: metade da esperana matemtica (E) do quadrado da diferena entre

os valores de pontos no espao separados pelo vetor distncia h.

Atravs de um conjunto amostral, {z(u1), z(u2), ..., z(uN)}, o semivariograma pode

ser estimado por:

[ z(ui) z(ui h)]2

2N(h)

1i = 1

N(h)

(h) = ^

(h): o estimador de semivariograma; ^

h, N(h), z(ui) e z(ui h): conforme definidos anteriormente.

em que:

(h) = E{[z(u) z(u h)]2}1

2

Semivariograma (h)

A figura ilustra um semivariograma emprico (ou experimental) com caractersticas

muito prximas do ideal.

alcance (a)

patamar (C)

efeito pepita (C0)

h

(h)

Semivariograma (h)

Clculo do semivariograma a partir de amostras regularmente espaadas.

vetor distncia h

[ z(ui) z(ui h)]2

2N(h)

1i = 1

N(h)

(h) = ^

0o

90o

180o

45o

N

S

L

direes de anlise

(h) = (h)

funo simtrica

C0

a

C

h (km)1 2 3 4 5 6 7 8 9

1km

1km

Semivariograma (h)

Clculo do semivariograma a partir de amostras irregularmente espaadas.

[ z(ui) z(ui h)]2

2N(h)

1i = 1

N(h)

(h) = ^

parmetros adicionais

tolerncia do incremento (lag)

tolerncia angular

largura de banda

Elementos do Variograma

Passo:Direo:Tolerncia do passo e da direo.Largura da Banda


O variogram definido como a varincia de um incremento, certamente tem que cumprir diversas circunstncias.

Da definio temos g(0) = 0 .

Da definio temos g (h) 0 para todo h

Da definio temos g (h) = (h) para todo h

Variograma experimentalOs parmetros do semivariograma so os seguintes: Alcance (a): distncia dentro da qual as amostras apresentam-se correlacionadas espacialmente. Patamar (C): o valor do semivariograma correspondente a seu alcance (a). Deste ponto em diante, considera-se que no existe mais dependncia espacial entre as amostras, porque a varincia da diferena entre pares de amostras (Var[Z(x) - Z(x+h)]) torna-se invariante com a distncia. Efeito Pepita (C0): por definio, g (0)=0. Na prtica, medida que h tende para 0 (zero), g (h) se aproxima de um valor positivo chamado Efeito Pepita (C0). O valor de C0 revela a descontinuidade do semivariograma para distncias menores do que a menor distncia entre as amostras. Parte desta descontinuidade pode ser tambm devida a erros de medio, mas impossvel quantificar se a maior contribuio provm dos erros de medio ou da variabilidade de pequena escala no captada pela amostragem.

Contribuio (C1): a diferena entre o patamar (C) e o Efeito Pepita (C0).

Semivariograma (h)


Semivariograma omnidirecional => tolerncia angular = 90o

direo de anlise (do vetor h) no importa.

0o

90o270o

180o

4

3

2

16

5

[ z(ui) z(ui h)]2

2N(h)

1i = 1

N(h)

(h) = ^

h (|h|; )

C0

a

C

h (km)1 2 3 4 5 6 7 8 9

Exemplo:

incremento (lag) = 1 km

tolerncia lag = 0,5 km

direo de anlise

tolerncia angular = 90o


90o

0o

180o

Semivariograma (h)


Semivariograma direcional => tolerncia angular < 90o

0o

90o270o

180o

4

3

2

1

8

5

[ z(ui) z(ui h)]2

2N(h)

1i = 1

N(h)

(h) = ^

(h)

direo do vetor h

90o

Exemplo:

incremento (lag) = 1 km

tolerncia lag = 0,5 km

direo de anlise = 90o


55o 90o 125o

|______|_______|

h (|h|; )

6

7

C0

a

C

h (km)1 2 3 4 5 6 7 8 9

Exemplo

u 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 11

Z(u) 3 4 6 5 7 7 6 4 3 5 5 6 7 5

N=14Distance = h1

26/13 = 2.02

41/12 = 3.43

55/11 = 5.14

50/10 = 5.85

53/9 = 5.9

0

1

2

3

4

5

6

7

0 1 2 3 4 5 6

Exemplo

u 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Z(u) 41.2 40.2 39.7 39.2 40.1 38.3 39.1 40.0 41.1 40.3

* 2 2 2 2

2 2 2 2 2

1(1) ([(41.2 - 40.2) + (40.2 - 39.7) + (39.7 - 39.2) + (39.2 - 40.1) +

18

+(40.1 - 38.3) + (38.3 - 39.1) + (39.1 - 40.0) + (40.0 - 41.1) + (41.1 - 40.3) ] =

= 0.4917

* 2 2 2 2

2 2 2 2

1(2) ([(41.2 - 39.7) + (40.2 - 39.2) + (39.7 - 40.1) + (39.2 - 38.3) +

16

+(40.1 - 39.1) + (38.3 - 40.0) + (39.1 - 41.1) + (40.0 - 40.3) ] =

= 0.756

Semivariograma de superfcie

um grfico 2D que fornece uma viso geral da variabilidade espacial do

fenmeno em estudo. Tambm conhecido como Mapa de Semivariograma.

Utilizado para detectar os eixos de Anisotropia (direes de maior e menor

continuidade espacial).

N 0o

L

90o

ngulo de anisotropia

Modelos tericos de semivariograma

O grfico do semivariograma emprico estimado por formado por uma srie

de valores, sobre os quais se objetiva ajustar uma funo.(h)^

h

(h)

O modelo de ajuste deve representar o melhor possvel o comportamento de (h).

alcance (a)

patamar (C)

efeito pepita (C0)

contribuio (C1)

C C0 C1


Modelo de ajuste esfrico

a||,1

a||0,a||3

0,5a||

1,5

0||,0

)(Sph

h

hhh

h

h

Sph(h)

ha

1

0

C = 1

a||CC

a||0,])( Sph[CCa||3

21

a||

23CC

C 0

)(

10

1010

0

h

hhhh

h

,

,

C0

h

(h)

C1

C C0 C1

a

Normalizado

Na prtica: C0 > 0 e C1 > 1


Modelo de ajuste gaussiano

0||,

a||

exp1

0=||,0

Gau 2h

h

h

h)(

Normalizado

a||C+C

a||0)]( [GauC+Ca||

exp1C+C

C,0

)(

10

1010

0

2

h

hhh

h

,

,


Gau(h)

ha

1

0

C 1

C0

ha

(h)

C1

C C0 C1


Modelo de ajuste exponencial

0|h|,

a||

exp1

0=|h|,0

Exp hh

a||C+C

a||0 ,)]( Exp[C+Ca||

exp1C+C

C,0

)(

10

1010

0

h

hhh

h

,

Normalizado


Exp(h)

ha

1

0

C = 1

C0

ha

(h)

C1

C C0 C1


Modelo de ajuste potncia

Normalizado


0||,||c.

0=||,0)(Pot

e hh

hh

0||,|)(|Pot+C||c.+C

C,0)(

00

0

e hhhh

Pot(h)

h0

e1

h

(h)

e1

C0

C0


Modelo de ajuste aninhados

Existem determinados fenmenos em que so necessrios modelos mais complexos de

semivariograma para explicar suas variaes espaciais. Estes modelos so combinaes

de modelos simples, denominados aninhados.

Ex: Modelo aninhado duplo esfrico

2210

21222

20

1111

10

0

a||,CCC

a||a,)(a

||3

21

a||

23CC

a||0,)(a

||3

21

a||

23CC

C,0

)(

h

hhhh

hhhh

h

(h)

C1

C = C0+ C1+ C2

C2

a1 a2h

Isotropia

Quando a variabilidade espacial de um fenmeno em estudo a mesma em todas as

direes, diz-se que o fenmeno isotrpico.

O

N

S

L O

N

S

L

Imagem nvel de cinza Composio Colorida

Isotropia

Considere os semivariogramas ilustrados na figura abaixo

0O

45O

90O

135O

Modelo de ajuste

a

C

Co

(h)

Esta a representao de um caso simples e menos freqente, em que a distribuio espacial

do fenmeno denominada isotrpica.

Neste caso, um nico modelo suficiente para descrever a variabilidade espacial do fenmeno

em estudo.

Anisotropia

Quando a variabilidade espacial de um fenmeno em estudo no a mesma em todas as

direes, diz-se que o fenmeno anisotrpico.

O

N

S

L O

N

S

L

Imagem nvel de cinza Composio Colorida

maior menor

direes de continuidade espacial

Anisotropia

Uma forma de detectar a anisotropia atravs da observao dos semivariogramas obtidos

para diferentes direes.

N

LO

S

0o

90o

45o

135o

Convenes direcionais usadas na geoestatstica

A anlise da anisotropia objetiva detectar as direes de maior e menor continuidade

espacial do fenmeno investigado.

Anisotropia

Um modo direto de visualizar e calcular os parmetros (fator e ngulo) da anisotropia

atravs do esboo grfico de uma elipse (ou diagrama de rosa ).

N

LO

S 180o

0o

90o

30o

120o

a1

a2

Parmetros da anisotropia

Fator de anisotropia (Fa)

Fa = a2 / a1

ngulo de anisotropia (Aa)

Aa = tomado da direo Norte para o eixo de

maior continuidade. No exemplo = 30o.

Tipos de anisotropia: geomtrica, zonal e combinada.

Anisotropia

Neste caso, os semivariogramas apresentam o mesmo patamar (C) com diferentes

alcances (a) para o mesmo modelo.

(h) Mesmo modelo para as duas direes

a

C

a h

Co120

O

30O

Anisotropia geomtrica

Anisotropia

Anisotropia zonal

Neste caso, os semivariogramas apresentam diferentes patamares (C) com mesmo

alcance (a) para o mesmo modelo.

Como a isotropia, a anisotropia zonal um caso menos freqente presente nos

fenmenos naturais.


a

C

h

Co 150O

60O

C

Anisotropia

Anisotropia combinada (geomtrica + zonal)

Neste caso, os semivariogramas apresentam diferentes patamares (C) e diferentes

alcances (a) para o mesmo modelo. Pode apresentar tambm diferentes efeitos pepita.


a

C

h

Co 150O

60O

C

a

geoestatistica

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