Posicionamento Terrestre

João MatosDepartamento de Engenharia Civil e Arquitectura

(Versão 0.0) – 3 Maio 2007

Motivação

-levantamento da área de intervenção (antecedendo a execução do projecto);

-implantação da obra (transpondo para o terreno o desenho de projecto);

- levantamento de edifícios

- monitorização do comportamento geométrico da obra através de medições de alta precisão (matéria a abordar posteriormente).

Aplicações da topografia em obras de engenharia

Grandezas Observáveis

Os métodos de posicionamento terrestre baseiam-se na medição de:

-ângulos horizontais ou azimutais;

-ângulos verticais;

-distâncias;

- desníveis ortométricos.

Medição de Desníveis

Nivelamento Geométrico

hij = hj-hi = li-lj h – altitudel – leitura na mira

hj= hi + hij

Material

AlumínioFibra de VidroInvar

Miras

Miras de Fixação

Mira de Apoio

Leitura= 1,232 m

(aplicadas em paredes)

Níveis Ópticos

Ampliação (20x – 30x);Compensador : 0,5’’

Níveis Ópticos de Alta Precisão

Ampliação (> 32x);Compensador : 0,3’’

Níveis Digitais

Linha de Nivelamento

A

B C

D

Estação Atrás Frente Leit. Atrás Leit.

HD= HA + HAB + HBC + HCD

Frente Desnível Altitude

A 2,356 100,000

B 1,212 101,144

B 1,516 101,144

C 1,620 101,040

C 2,718 101,040

D 1,513 102,245

D 0,851 102,245

E 1,964 101,132-1.1134

1,2053

-0,1042

1,1441

E

Ajuste com Contra Nivelamento

Estação Atrás Frente L. Atrás L. Frente Desnível D. Corrigido Média Altitude

100

1 A B 2,356 1,212 1,144 1,1446 1,1445 101,1445

2 B C 1,516 1,62 -0,104 -0,1034 -0,104 101,0405

3 C D 2,718 1,513 1,205 1,2056 1,206 102,2465

4 D E 0,851 1,964 -1,113 -1,1124 -1,112 101,1345

5 E D 2,012 0,901 1,111 1,1116

6 D C 1,654 2,861 -1,207 -1,2064

7 C B 1,635 1,531 0,104 0,1046

8 B A 1,423 2,568 -1,145 -1,1444

Erro de Fecho-0,005 0

Correcção Desnível-0,00062

Iniciada e concluída no mesmo ponto(neste exemplo os pontos intermédios são coincidentes)

Ajuste com Linha de Nivelamento Fechada

Estação Atrás Frente L. Atrás L. Frente Desnível D. Corrigido Altitude

100

1 A B 2,356 1,212 1,144 1,1448 101,1448

2 B C 1,516 1,62 -0,104 -0,1032 101,0415

3 C D 2,718 1,513 1,205 1,2058 102,2473

4 D E 0,851 1,964 -1,113 -1,1123 101,1350

101,135

Erro de Fecho-0,003 0,0000

Correcção Desnível-0,00075

Iniciada e concluída em pontos com altitude conhecida

Medição de Ângulos

Teodolito-Bússola Buff & Buff, 1914Kern DKM1, c. 1960

Ângulos Azimutais

Dados três pontos i, j, k, no plano cartográfico, designa-se por ângulo azimutal orientado, com vértice em i, origem em j e extremo em k, o ângulo:

onde Aik e Aij são os azimutes cartográficos.

A - A = A j ik ik i j

k

i

j

Aik

AijAjik

N

A “distância zenital” é o ângulo Zij definido pela vertical no ponto I e pelo segmento de recta IJ, contado a partir do Zénite.

I

JZij

Zji

Ângulos Verticais

Círculo Vertical

Círculo Horizontal

Luneta

Eixo Principal

Eixo Secundário

Eixo de Pontaria

LEICA TPS 1200

TOPCON GPT-8203M

Medição de Distâncias

Medição de distâncias com carro, 1548

Cadeia de Agrimensor (Jesse Ramsden), 1784

Fita (1920)

Telurómetro (T.L. Wadley, 1957)

. ) + q ( = + q = S 2 MMM λαλαλ

. 2

= M

πΦα

. 4

+ 2

q = S MM

πΦλ

A distância entre os dois pontos é dada, consequentemente, por:

. + q = S 2 MiMi ii λαλ

Para a medição de uma distância S, o emissor/receptor é estacionado num dos extremos da distância a medir e o reflector no outro. A onda de medição percorre uma distância 2S entre os dispositivos de emissão e transmissão. A distância 2S é dada pela soma de um número inteiro (q) de comprimentos de onda de modulação (λM) com uma fracção α de um comprimento de onda:

O DEM determina a diferença de fase de modulação (φM) entre a onda emitida e a onda recebida, a qual permite obter o valor:

A determinação do número inteiro de comprimentos de onda (q) pode ser realizada por diversos métodos baseados, em regra, na variação da frequência de modulação inicial. Um dos métodos mais simples é emitir sucessivamente modulações múltiplas de λM , se λM = 10m, λM1 = 100m, λM2 = 1000m, etc., e de-duzir q a partir das relações:

MEDIÇÃO ELECTROMAGNÉTICA DE DISTÂNCIAS

, H - S = d 2EV

2EVEV

,

RH + 1

RH + 1

d = sVE

EVEV

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

. R 4

M + M + 1 s = c 2

2V

2E

V E V E ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

e a sua importância é maior nas altitudes elevadas do que nas baixas altitudes (é mais importante na Guarda do que em Lisboa, por exemplo). A redução ao nível do mar pode ser ignorada em distâncias curtas.

A terceira redução é aplicada à distância sEV para a determinação da distância cartográfica (cEV) entre as imagens cartográficas da estação e do ponto visado. A redução ao plano cartográfico, que também pode ser ignorada em distâncias curtas, é da forma:

A primeira redução a aplicar à distância espacial observada SEV, distância entre a estação (E) e o ponto visado (V), é a redução ao horizonte:

REDUÇÃO DE DISTÂNCIAS AO PLANO CARTOGRÁFICO

que transforma a distância SEV na sua projecção ortogonal dEV no plano horizontal da estação.

A segunda redução aplica-se à distância horizontal dEV e designa-se por redução ao elipsóide embora também seja conhecida por redução ao nível do mar. A redução ao elipsóide é da forma:

Estação Total robotizada Trimble 5605

Operação convencional

Operação robotizada

Prisma Reflector Leica GPH1P

Prisma Plano Leica CPR105

Prisma de 360º Leica GRZ4

Técnicas de Posicionamento

, A cos c + P = P , A sen c + M = M j ij iijj ij iij

, PM arctg = A , P + M = c

j i

j ij i

2j i

2j ij i ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

Dados dois pontos i e j, do plano cartográfico, as coordenadas cartográficas do ponto j podem ser expressas em função das coordenadas do ponto i por:

onde:

. P - P = P , M - M = M ijj i ijj i

. ) A cos P + A sen M - ( c + P = P

, ) A sen P + A cos M ( c + M = Mk i jj ik i jj ik i jik

k i jj ik i jj ik i jik

. cc = c , A - A = A

j i

k ik i jj ik ik i j

onde cij é a distância cartográfica entre os pontos i e j e Aij é o azimute cartográfico de i para j, os quais podem, por sua vez, ser determinados à custa das coordenadas cartográficas de i e j por:

onde Ajik é um ângulo azimutal orientado (grandeza directamente observável) e cjik é um quociente de distâncias:

RELAÇÕES PLANIMÉTRICAS FUNDAMENTAIS

Csenc

Bsenb

Asena

ˆˆˆ ==

Fórmulas de Trigonometria

AbBac

CaAcb

BcCba

ˆcosˆcos

ˆcosˆcos

ˆcosˆcos

+=

+=

+=

Cabbac

Baccab

Abccba

ˆcos2

ˆcos2

ˆcos2

222

222

222

−+=

−+=

−+=

Lei dos senos

Lei dos co-senos

Fórmulas das Projecções

Dados: Coordenadas dos pontos de referência (i e j).Objectivo: Coordenadas do ponto objecto (k).Grandezas Medidas: distância cik e ângulo azimutal Ajik.Equipamento: Estação total (em i) ; alvo reflector (em k).Resolução:i) Calcular Mij, Pij, cij, cjik.ii) Substituir Mij, Pij, cjik e Ajik, nas relações planimétricas:

onde cjik é um quociente de distâncias (cik / cij). j

ki

Ajik

cik

) .A P + A M ( - c + P = P

) A P + A M ( c + M = Mj i ki jj i ki jj i kik

j i ki jj i ki jj i kik

cossen,sencos

IRRADIAÇÃO

Utilização de alidade e prancheta para levantamento(o desenho era realizado directamente no terreno)

IRRADIAÇÃO (RESOLUÇÃO ALTERNATIVA)

, A cos c + P = P

A sen c + M = Mj ij iij

j ij iij

gon200AA0Pse

PM arctg = A

j ij ij i

j i

j ij i

+=<

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

então

Calcular azimute de i para j (é uma constante)

Calcular R0 (é uma constante para cada sessão de trabalho)

ijij LR −= A 0

Calcular as coordenadas através de:

Transformando as leituras azimutais em azimutes através de

sendo Lij a leitura azimutal de i para j.

ijij LR += A 0

IMPLANTAÇÃO

j

ki

Ajik

cik

ijjik ik AA −= A

gon200AAentão0Pse

PM arctg = A

+=<

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

ijijij

ij

ijij

Dados: Coordenadas dos pontos de referência (i e j); Coordenadas do ponto objecto k (coordenadas de projecto).Objectivo: Determinar cik e Ajik.Equipamento: Estação total (em i) ; alvo reflector (em k).Resolução:

gon200AAentão0Pse

PM arctg = A

+=<

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

ikikik

ik

ikik

( ) ( )22 ikikik PMc +=

Para cada ponto k

( ) ( )22jkjkjk PPMMc −+−=

.sen

senjk

jikikkji c

AcA =

Dados: Coordenadas dos pontos i, j e k no sistema (M,P).Objectivo: Coordenadas do ponto i no sistema (x,y).Resolução:i) Calcular

ii) arbitrar i = (0, 0); k = (cjk, 0)iii) Determinar Akji

iv)Determinar (xi,yi) por irradiação a partir de j

iv)Determinar restantes coordenadas por irradiação a partir de i, já com as coordenadas no novo sistema

j

ki

Ajik

cik

M

P

x

y

IRRADIAÇÃO NO SISTEMA DE COORDENADAS ASSOCIADOÀ FACHADA DE UM EDIFÍCIO

Dados: Coordenadas dos Pontos de Referência 0 e 1.Objectivo: Coordenadas de n Pontos Objecto (Mi, Pi).Equipamento: Um Teodolito com DEM e dois Alvos/Reflector.Grandezas a Observar: Ângulos Azimutais Ai-1,i,i+1 e Distâncias Cartográficas ci,i+1, (i = 1,...,n-1).Resolução: A poligonação consiste numa sucessão de irradiações. Calcular sucessivamente as coordenadas Mi+1 e Pi+1, (i = 1,...,n-1), utilizando as relações planimétricas fundamen-tais, substituindo os índices j por i-1 e k por i+1.

POLIGONAÇÃO

. A =K , A = J , A = I jk ii jk k i j

. ) J + I ( -gon 200 =K

. A =K , A = J , A = I ik jk j ij ik

. KSen JSen =

cc = c

j i

k ik i j

Dados: Coordenadas dos Pontos de Referência (i e j).Objectivo: Coordenadas do Ponto Objecto (k).Grandezas a Observar: Ângulos internos I e J, do triângulo formado pelos pontos de referência i e j e pelo ponto objecto k. Se os pontos i, j e k estiverem indiciados no sentido horário:

Se os pontos i, j e k estiverem indiciados no sentido anti-horário:

Equipamento: Um ou dois Teodolitos e, eventualmente, Alvos de Pontaria Óptica.Resolução:i) Calcular o ângulo interno:

ii) Calcular o quociente cjik, pela lei dos senos:

iii) Calcular o ângulo orientado Ajik, dado por I, no caso da indiciação no sentido horário, ou dado por 400gon-I, no caso da indiciação anti-horária.iv) Utilizar as relações planimétricas e calcular as coordenadas do ponto objecto (k).

INTERSECÇÃO DIRECTA

. ) A + A + A ( -gon 400 = B , A senA sen

c = k i jj x iik x ik x

j x ik i jβ

. B cos +

B sen arctg = A k x i ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛β

Dados: Coordenadas de três Pontos de Referência: Mi, Pi, Mj, Pj, Mk, Pk.Objectivo: Coordenadas de um Ponto Objecto Mx, Px.Equipamento: Um teodolito.Grandezas a Observar: Ângulos azimutais Akxi, Aixj.Resolução: Para o método de resolução proposto, é necessário que a indiciação dos pontos de referência seja feita de modo a que o operador, situado no ponto objecto, veja os pontos de referência, no sentido horário, pela ordem k, i e j.i) A partir das coordenadas dos pontos de referência, determinar o ângulo azimutal orientado Ajik e o quociente de distâncias cartográficas cjik.ii) Determinar o escalar β e o ângulo B, dados por:

iii) Determinar o ângulo azimutal Aikx, por:

iv) A partir dos ângulos azimutais Aikx e Akxi, é possível determinar a posição do ponto objecto como se se tratasse de uma intersecção lateral.

INTERSECÇÃO INVERSA

a - a + R 2 -1 Zsen S + Zcos S + H = H VEEV

22EVEVEVEV

κ

NIVELAMENTO TRIGONOMÉTRICO

onde aE e aV representam, respectivamente, as alturas da estação e do alvo visado, permite determinar a altitude do ponto visado (HV) quando é conhecida a altitude do ponto estação (HE), a partir da medição do ângulo zenital (ZEV) e da distância (SEV) entre o ponto estação e o ponto visado.

Para distâncias superiores é necessário ter em consideração a curvatura da Terra (raio médio R) e a correcção do coeficiente de refracção vertical k (aprox. 0,12)

a - a + Zcos S + H = H VEEVEVEV

ZEV

SEVaE

aV

HEV

Quando são observados simultaneamente os ângulos zenitais recíprocos (ZEV e ZVE) é possível, se aE = aV, escrever a fórmula do nivelamento trigonométrico recíproco e simultâneo

) Z cos - Z cos ( S 21 + H = H VEEVEVEV

NIVELAMENTO TRIGONOMÉTRICO RECÍPROCO E SIMULTÂNEO

. ) Z sen + Z sen ( S

) Z cos + Z cos ( R 2 + 1 = VE

2EV

2EV

VEEVκ

Podendo ainda calcular-se

A irradiação, associada a levantamento trigonométrico, é a técnica correntepara levantamentos de pormenor.

As operações de poligonação, intersecção directa e intersecção inversa sósão utilizadas em distâncias curtas, sendo substituídas na aplicação a transporte de coordenadas por posicionamento com GPS.

A técnica de intersecção directa era ainda utilizada para levantamento de edifícios (obstando à baixa precisão dos distanciómetros e à dificuldade de colocação de reflectores) mas a sua aplicação diminuiu com a introduçãodos distanciómetros que não necessitam de reflector.

Os pontos para implantação são introduzidos na memória da estação total que, habitualmente, dispõe de software que determina os ângulos e distâncias correspondentes.

O nivelamento geométrico é a técnica utilizada para medição de desníveiscom maior precisão (superior à do nivelamento trigonométrico) mas a suaaplicação a distâncias longas requer a correcção da falta de paralelismodas superfícies equipotenciais (com recurso a medições gravimétricas).

Considerações Gerais

Em que circunstâncias se recorre a posicionamento terrestre e não a GPS ?

Em que circunstâncias se utiliza um levantamento por irradiação em detrimento de um levantamento aerofotogramétrico ?

Porque veio o GPS fazer cair em desuso o transporte de coordenadas por intersecção inversa ?

Qual a vantagem de utilizar uma poligonal de apoio num levantamento por irradiação ?

Questões de consolidação e revisão de conhecimentos

Sugestões de Pesquisa

htto://www.trimble.comhttp://www.leica-geosystems.comhttp://www.topconpositioning.com/

Exercícios

1. Numa operação de nivelamento geométrico com vista à determinação das altitudes dos pontos 2,3 e 4 dispõe dos seguintes dados:

h1 = 100,000m ; h12 = - 1,003m; h23 = -2,456m; h34 = 1,050m ; h41 = 2,417m

Determine as altitudes dos pontos 2, 3 e 4.

2. Considerando os vértices da rede geodésica Restelo (1), Ajuda (2) e Extremo W (3), foram lidas com recurso a uma estação total as grandezas AX23=375,4291 gon e A21X=24,7606 gon, sendo X um ponto de coordenadas desconhecidas.a) Esboce um esquema da localização dos pontos em relação à direcção do Norte Cartográfico.b) Determine as coordenadas cartográficas do ponto X.

3. Suponha que pretende implantar no terreno o limite de uma propriedade com configuração rectangular e dimensão 700 m x 300m. Sabendo que as coordenadas de dois dos vértices são respectivamente (-1500,00 m; 300,00 m) e (-1373,21 m; 571,89 m) e ainda que a estação total pode ser estacionada no ponto de coordenadas (-1500,00 m; -221,77m), determine os valores das observações que seriam necessárias fornecer para implantação da propriedade. Considere para referência um ponto localizado exactamente a Sul do ponto estação, à distância cartográfica de 50m.

4. Qual a altitude mínima do topo de um muro construído a 200m do ponto 1, na direcção 1-2, que impede a visibilidade do ponto 1 para o ponto 2 ?Um edifício de planta circular, com 3m de raio e 5m de altura, construído sobre o terreno a uma altitude de 780.69m e com centro no ponto de coordenadas M=79016.130, P= 99821.114, causa obstrução na visibilidade de 1 para 2 ?

Ponto M (m) P (m) h (m)

1 80 000 100 000 800

2 74 500 99 000 720

5. A partir do ponto IST de coordenadas (Hayford-Gauss – Datum 73) indicadas abaixo, foi medida uma distância de 3533 m (valor já corrigido dos efeitos ambientais) segundo o azimute de 100 gon, para um ponto de altitude 120m.

M (m) P (m) h (m)

IST (1) - 87 477,61 -102 944,60 114,43

a. Indique o valor da referida distância no plano cartográfico.b. Quais as coordenadas do ponto visado ?