trabalho de geodesia 2 problema dirfecto e inverso

UNIVERSIDADE AGOSTINHO NETO FACULDADE DE CIENCIA

DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA GEOGRAFICA

TRABALHO DE GEODESIA II

Determinação do problema

direito e inverso da geodesia

Curso : eng. Geografica

3º ano

Periodo : noturno

Docente: Dr. António Alves de carvalho

LUANDA - 2013

Problema geodesico directo e inverso

Trabalho de geodesia II Página 2

INTEGRANTES DO GRUPO

AFONSO VICTOR ZOBETO ........................................................... Nº 87070

ALFEU MARINHO JOSE ......................................................................Nº 87073

JOÃO HENRIQUE GANDA .................................................................Nº 81505

JOÃO FELIPE EDUARDO DOMBI ......................................................Nº 84281

LINO PAULO SUMANO .......................................................................Nº 74873

JANUARIO JOÃO DUARTE CABAMBO...........................................Nº 811500



Ninguem quer saber o que fomos, o que possuiamos, que cargo ocupavamos no mundo; o que conta e a luz que cada um

ja tenha conseguido fazer brilhar em si mesmo. Chico Xavier



AGRADECIMENTO

Deus é a fonte da vida e como sempre, ele soube iluminar as nossas ideias de formas a

fazermos bem as coisas da terra ( entre as quais o trabalho que nós apresentamos). Pela sua

grandiosidade é a ele que agradecemos primeiramente; em segunda instancia agradecemos aos

nosso familiares que de forma incondicional sempre estiveram presentes para um apoio moral

e financeiro; ao Doutor Alves pela amabilidade de nos propor a execução deste trabalho que

de certa forma pela sua complexidade, nos exigiu um certo indice de investigação, debates e

dúvidas.



INDICE

OBJECTIVO...............................................................................................................................6

INTRODUÇÃO .........................................................................................................................7

DETERMINAÇÃO DO PROBLEMA DIRECTO E INVERSO DA GEODESIA...................8

SOLUÇÃO NÃO ITERATIVA – FÓRMULAS DE SODANO .............................................12

FÓRMULAS DE VINCENTY.................................................................................................15

CONCLUSÃO..........................................................................................................................18

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS .....................................................................................19



Objectivo

Este trabalho tem o proposito fundamental o transporte de coordenadas sendo ele um

cálculo seqüencial que passa por todos os pontos intermediários, desde um ponto origem cujas coordenadas sejam conhecidas até o ponto considerado.



Introdução

Neste trabalho iremos abordar acerca do problema geodésico direto e inverso.

Sabe-se que em uma superfície de um elipsóide nos é dado um ponto A cujas coordenadas

esféricas (latitudes e longitudes geodésicas) são conhecidas bem como o azimute geodésico e

a distancia da linha geodesica, com a pretensão em determinar coordenadas geodésicas de um

outro ponto B, neste contesto surge o problema geodesico direto.

Para o problema geodesico inverso nos é dado as coordenadas geodesicas de dois

pontos e pretende-se determinar a distancia ou o comprimento da linha geodesica e o seu

azimute.

Para resolução destes problemas a geodesia nos oferece varias formulas de resolução. Para o

nosso caso utilizamos as formulas de PUISSANT, SODANO e de VINCENTY .



DETERMINAÇÃO DO PROBLEMA DIRECTO E

INVERSO DA GEODESIA O procedimento fundamental para o estabelecimento de uma rede geodésica é o de posicionar os pontos, atribuindo-lhes coordenadas definidas em função da sua posição relativa em relação ao Datum e em função da geometria da superfície de referência utilizada.

Quanto mais a superfície de referência se aproxima da Terra verdadeira, mais as coordenadas geométricas se aproximarão das naturais.

A operação matemática que possibilita o estabelecimento das coordenadas, conforme descrito, denomina-se transporte de coordenadas. O transporte de coordenadas é um cálculo seqüencial que passa por todos os pontos intermediários, desde que o Datum, ou seja, desde um ponto origem cujas coordenadas sejam conhecidas até o ponto considerado.

As coordenadas dos pontos são vinculadas às do ponto origem e são determinadas por dimensões de bases, ângulos e azimutes, sendo usado como superfície de referência o elipsóide.

O transporte de coordenadas implica em duas situações, denominadas de problema direto e problema inverso da geodésia.

Elementos esféricos fundamentais ao posicionamento

Onde: ϕ1=latitude de P1

λ1=longitude de P1

ϕ2=latitude de P2

λ2=longitude de P2

γ=Convergência meridiana

A12=Azimute da direção P1 para P2

A21= Azimute da direção P2 para P1

S12= Comprimento da linha geodésica cujos pontos extremos são P1 e P2

Problemas Geodésicos Direto e Inverso



Solução do Problema Direto: Dados conhecidos: ϕ1, λ1, A12, S12

Incógnitas: ϕ2, λ2, A21, γ

No problema direto são conhecidas as coordenadas geodésicas latitude ϕ1e longitude

λ1 de um ponto, a distância S12 e o azimute A12 para um segundo ponto, e é necessário

determinar as coordenadas geodésicas latitude ϕ2 e longitude λ2 deste segundo ponto.

Figura : Problema direto

Solução do Problema Inverso

Dados conhecidos: ϕ1, ϕ2, λ1, λ2

Incógnitas: γ, A12, A21, S12

No problema inverso são conhecidas às coordenadas geodésicas de dois pontos, e é

necessário se determinar a distância e o azimute entre os dois pontos.

Figura 2.2: Problema indireto

Obs: a) Nos exemplos deve-se destacar que A21 ≠ A12 ± 180° uma vez que os meridianos de

1 e 2 não são paralelos, possuindo uma convergência γ, e assim:

A21 = A12 + γ ± 180°

b) É usual no problema direto, anexar o cálculo de γ e A21, para que se possa

continuar com o transporte de coordenadas para outros pontos.

c) Na actualidade é mais usual o problema inverso devido a técnicas modernas de

posicionamento como observações de satélites GPS e GLONASS.

Solução para os Problemas Geodésicos – Fórmulas de Puissant.



Figura : Arco de circunferência máxima

O uso das fórmulas de Puissant são adequadas para linhas curtas, não superiores a 80

km, e garante a precisão de 0,002” em ϕ2 para distâncias de até 100 km.

Problema Geodésico Direto

Neste caso são conhecidos:

ϕ1 e λ1 (latitude e longitude geodésicas do ponto 1)

A12 e s12 (azimute geodésico do ponto 1 para o ponto 2 e distância entre os dois pontos)

Devendo-se calcular:


A21 (azimute geodésico do ponto 2 para o ponto 1)

Transporte da longitude

OBS – S12 é a distância entre P1 e P2, não confundir com área.

Transporte do Azimute

Transporte da latitude



Problema Geodésico Inverso

Neste caso são conhecidas:



Os termos que devem ser calcular são:

A12 e s12 (azimute geodésico e distância entre os dois pontos)



SOLUÇÃO NÃO ITERATIVA – FÓRMULAS DE

SODANO. Nas décadas de 50 e 60 SODANO apresentou fórmulas que fornecem uma solução

não iterativa para os problemas direto e inverso da Geodésia.

SODANO apresentou fórmulas de fácil programação computacional, além de

equações auxiliares que visam garantir alto grau de acurácia para qualquer linha geodésica,

não importando seu comprimento. A princípio, a dedução não iterativa foi desenvolvida para

geodésicas muito longas, visando o cálculo computacional. Posteriormente, de forma a obter a

mesma acurácia para geodésicas muito curtas, foram desenvolvidas fórmulas alternativas.

De maneira geral, as fórmulas alternativas para linhas curtas são também utilizadas

para linhas longas, logo, é necessário programar apenas um conjunto de equações.

As equações para a solução não iterativa desenvolvidas por SODANO são

apresentadas abaixo [SODANO,1965]:

Problema Inverso

Neste caso são conhecidas: B1 e L1 (latitude e longitude geodésicas do ponto 1)

B2 e L2 (latitude e longitude geodésicas do ponto 2)

Considerando-se negativas as latitudes sul e longitudes oeste.

Os termos que deve-se calcular são: α e S [azimute geodésico (horário contado a partir do Norte) distância entre os dois pontos]

A formulação aplicada para a solução do problema inverso é:

onde a0 é o semi eixo maior do elipsóide e b0 o semi eixo menor



Problema Direto

Neste caso são conhecidos: B1 e L1 (latitude e longitude geodésicas do ponto 1)

α1-2 e S [azimute geodésico do ponto 1 para o ponto 2 (horário contado a partir do Norte) e

distância entre os dois pontos]

Considerando-se negativas as latitudes sul e longitudes oeste.

Devendo-se calcular:

B2 e L2 (latitude e longitude geodésicas do ponto 2)

α2-1 [azimute geodésico do ponto 2 para o ponto 1 (horário contado a partir do Norte)]

A formulação aplicada para a solução do problema direto é:



onde a0 é o semi eixo maior do elipsóide e b0 o semi eixo menor



FÓRMULAS DE VINCENTY Um dos métodos para resolver o Problema Direto e Inverso de coordenadas na

Geodésia são as fórmulas de Vincenty descritas a seguir (VINCENTY, 1975). Ambas as

fórmulas são baseadas em métodos iterativos.

Primeiro serão apresentadas as fórmulas para o problema direto.

Dado o ponto inicial( φ1, λ1 ), azimute inicial α1, distância s em metros e os parâmetros do

elipsóide de referência b; f; e0 (semi-eixo menor, achatamento, segunda excentricidade) são

calculados:



As equações são iteradas até que a variação em σ seja desprezíve

Das equações acima são obtidas o ponto final (φ2; λ2). A seguir estão as fórmulas para

o problema inverso.

λ= λ2 - λ1 (primeira aproximação)

A variável _ é obtida pelas equações são iteradas começando por outras equações até

que a mudança em λ seja negligível. Após λ convergir pode-se calcular:



onde Δσ é obtido pelas equações ja citadas.

As expressões foram validadas por (THOMAS e FEATHERSTONE, 2005)

considerando distâncias de até 18:000km, com erros em distância menores que 0; 115mm em

todos os casos testados. Este método será utilizado para o desenho de uma linha geodésica

tendo em vista o estudo de seu comportamento.



CONCLUSÃO

De tudo que se abordou com relação aos problemas geodesicos direto e inverso

conclui-se que:

Apartir de um ponto de origem com coordenadas conhecidas aplicando os metodos

geodesicos direto e inverso usando como superfície de referência o elipsóide transportamo-lo

para a determinação dos pontos intermedios formando a rede geodesica.

Sabe-se que todo ponto na superficie terrestre esta adensado a uma rede geodesica dai,

urge todo uma necessidade de estuda-la ao pormenor; uma vez que os metodos aqui retratados

são de grande utilidade para a determinação da mesma.



REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

GEMAEL, C., (1987). Introdução a Geodésia (1ª Parte). Curso de Pós-Graduação em

Ciências Geodésicas – UFPR – Curitiba – PR.

GEMAEL, C., (1988). Introdução a Geodésia (2ª Parte). Curso de Pós-Graduação em

Ciências Geodésicas – UFPR – Curitiba – PR.

SEEBER, G., (1993). Satellite Geodesy., Berlin.

SODANO, E. M., (1958). A rigorous non-iterative procedure for rapid inverse solution of

very long geodesics. Bulletin Géodésique, Paris, pags 13-25.

SODANO, E. M., (1965). General non-iterative solution of the inverse and direct geodetic

problems. Bulletin Géodésique, Paris, pags 69-89.

SODANO, E. M., (1967). Supplement to inverse solution of long geodesics. Bulletin

Géodésique, Paris, pags 233-236.

VANÍCEK, P., KRAKIWSKY, E., (1986). Geodesy: The Concepts. 2ª ed. Amsterdam,

Elsevier Science Publishers B. V.

trabalho de geodesia 2 problema dirfecto e inverso

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