111

Galileo, o primeiro físico moderno, estudou a queda dos corpos

Refutou as hipóteses de Aristóteles

Corpos em queda livre

22

Exemplos de corpos em queda livre

Através de experiências, Galileu mostrou que os corpos caem com a mesma velocidade, independentemente de sua massa

333

Mas... devemos notar que em geral, há outras forças actuando no corpo considerado, o que pode frustrar uma experiência se não formos suficientemente cuidadosos

a resistência

do ar!!

Corpos em queda livre

Força de atrito do ar!!!!

44

Para estudar um corpo em queda livre, consideramos que :

• a aceleração g é constante durante o intervalo do movimento e direccionada para baixo

• o efeito da resistência do ar é desprezável

Corpos em queda livre

g

2m/s 8.9g

Valor da aceleração da gravidade perto da superfície da Terra

O vector aponta para baixo em direcção ao centro da Terra

g

Vector aceleração da gravidade

g

555

Corpos em queda livre

g

As equações obtidas para partículas em movimento com aceleração constante (MRUV) são aplicáveis ao corpo em queda livre. Assim

yegg

ye

y

200 2

1gttvyy

gtvv 0 0 atvv

2

1 200 attvxx

g

0v

66

Exemplo 10. Uma pedra é arremessada verticalmente para cima no ponto A do terraço de um edifício com uma velocidade inicial de 20.0 m/s. O prédio tem 50.0 m de altura. Determine: a) o tempo no qual a pedra atinge a sua altura máxima, b) a altura máxima acima do terraço e c) o tempo no qual a pedra retorna ao nível do arremessador.

a) o tempo no qual a pedra atinge a sua altura máxima gtvv 0

Quando a pedra atinge a altura máxima ela pára e então v=0 no ponto máximo

Substituindo o valor de v na equação fica

gtv 00 gtv 0 s 04.2

m/s 9.8

m/s 0.202

0 g

vt

b) a altura máxima acima do terraço

200 2

1gttvyy 00 y s 042. t

Substituindo na equação fica

m 4.20s) 04.2)(m/s 8.9(2

1s) m/s)(2.04 20( 22 y

c) o tempo no qual a pedra retorna ao nível do arremessador

200 2

1gttvyy

00 y 0y

s 08.4

0 )

2

1(

2

10 0

20 t

ttgtvgttv

y

77

A trajectória é o lugar geométrico dos pontos do espaço ocupados pelo corpo (planeta, cometa, foguete, carro, etc.) que se movimenta

7

Movimento em duas dimensões

Agora estudaremos o movimento de uma partícula no plano xy

Anteriormente estudamos uma partícula que se desloca em linha recta

A posição da partícula P na trajectória é descrita

pelo vector posição

x

y

r

xeye

yx eyexr

Trajectória s

P r

Qualquer ponto da trajectória pode ser descrito pelo vector posição. É definido em termos de coordenadas cartesianas por

x

y

88

x

y

xeye

1r

2r

Vector posição da partícula

3r

99

B

9

Vector deslocamento r

Quando uma partícula se desloca do ponto A para o ponto B no intervalo de tempo

if ttt

o vector posição passa de para ir

fr

if rrr

A partícula se deslocou de

x

y

ir

ye

fr r

xe

A

101010

Velocidade média

Velocidade instantânea

yxte

dt

dye

dt

dx

dt

rd

t

rv

0

limyyxx evevv

ymyxmxm evevv

yxm e

t

yet

x

t

rv

ou

ou

é a velocidade escalarvv

111111

Aceleração instantânea

Aceleração média

ymyxmxm eaeaa

yyxx eaeaa

y

y

xx

m et

ve

t

v

t

mva

ouyx ee

va

dt

dv

dt

dv

dt

d yx

ou

ou

2

2

dt

d

dt

d rva

a aceleração resulta de qualquer variação do vector velocidade

v

quer seja do módulo, da direcção ou do sentido de

121212

MOVIMENTO DE UM PROJÉCTIL

A bola faz uma trajectória curva

Para analisar este movimento consideraremos que

• a aceleração g é constante durante o intervalo do movimento e direccionada para baixo

• o efeito da resistência do ar é desprezável

Com estas suposições a trajectória do projéctil é sempre uma parábola

131313

Fotografia estroboscópica de bolas de ping-pong

A Figura mostra que a trajectória da bola é uma parábola

A fotografia estroboscópica regista a trajectória de objectos em movimento

141414

yyxx evevv

000

0

0v

Componentes da velocidade inicial

xe

ye

0

00cos

v

v x0

0

0sinv

v y

As componentes iniciais x e y da velocidade são

000 sinvv y 000 cosvv x

Analisamos o movimento em cada uma das dimensões separadamente

0v

1515

Duas esferas largadas simultaneamente

161616

Fotografia estroboscópica de duas esferas largadas simultaneamente

As duas esferas chegam ao mesmo tempo no solo

As duas esferas são jogadas sob a acção da gravidade

A cada instante as esferas têm a mesma altura

A esfera rosa é solta v0y = 0

(queda livre)

A esfera amarela tem velocidade inicial horizontal v0x

1717

Exemplo: Quando um avião em deslocamento horizontal com velocidade constante deixa cair um pacote com medicamentos para refugiados em terra, a trajectória do pacote vista pelo piloto é igual à trajectória vista pelos refugiados?

Não. O piloto verá o pacote descrever uma trajectória rectilínea vertical:

Os refugiados verão o pacote descrever um movimento horizontal uniforme e um vertical uniformemente acelerado, a visão será de uma trajectória parabólica:

1818

Visão do piloto e visão dos refugiados

191919

Diagrama do movimento de um projéctil

Movimento rectilíneo uniforme

Movimento uniformemente variado

g

2020

Exemplo do movimento de um projéctil

212121

EQUAÇÕES DE MOVIMENTO DO PROJÉCTIL

constante cos 000 vvvxxComponente horizontal da velocidade

Componente vertical da velocidade gtvgtvv oyy 00 sin

Componente vertical da posição

tvxtvxx xxx 00000 cosComponente horizontal da posição

2

000

2

00 2

1sin

2

1gttvygttvyy y

Movimento rectilíneo uniforme na horizontal (MRU)

Movimento uniformemente variado na vertical (MRUV)

2222

O tempo para atingir a altura máxima y=h (quando ) :

22

Alcance e altura máxima dum projéctil

0

0v

ALTURA MÁXIMA

0yv

g

vh

2

sin 0

220

g

v

g

vg

g

vvh

2

sinsin

2

1sinsin

200

2

000000

hhyy

yy

gtvgtvv

gtvv

000

0

sin

0yv

sin

sin0

00

00

vgt

gtv

h

h

g

vth

00 sin

Substituindo th na outra expressão

2

1sin

2

1sin 2

002

000 hh gttvhgttvyy (y=h e y0=0)

2323g

vR 0

20 2sin

ALCANCE

22 htt

g

vvR 00

00

sin2cos

tvxtvxx xxx 00000 cos

)2(cos)2( 000 hhx tvtvR

g

v 00 sin0

0v

00 yv

R é o alcance - distância horizontal percorrida pela partícula até chegar à altura inicial

O movimento é simétrico a partícula leva um tempo th para subir e o mesmo tempo th para cair ao mesmo nível

Portanto o tempo para percorrer R é

242424

Um projéctil lançado da origem com uma velocidade escalar inicial de m/s 50para vários ângulos 0

Os ângulos complementares (somam 90 graus) dão origem ao mesmo valor de R

22 0 / o450

g

vR

2

max0

0

2

2sin0 g

vR

1for quando máximo é 2sin 0

Alcance máximo Rmáx

O que acontece quando