Universidade Federal do Paraná Engenharia Industrial Madeireira Cálculo Diferencial e Integral II Prof. Guilherme Augusto Pianezzer Gabarito Segunda Prova

Questões Questão 1. A lei dos gases para uma massa fixa de um gás ideal à temperatura absoluta ,

pressão e volume é , onde é a constante do gás. Mostre, detalhadamente, que

Sendo ,

(

)

(

)

(

)

Sendo assim,

Pois

Questão 2. A produção de trigo em um determinado ano depende da temperatura média e da

quantidade anual de chuva . Cientistas estimam que a temperatura média anual está crescendo à

taxa de e a quantidade anual de chuva está descrendo à taxa de Eles

também estimam que, no atual nível de produção,

e

Explique o significado dessas

derivadas parciais e estime a taxa de variação corrente da produção de trigo,

indica que neste instante, a cada aumento de 1°C a produção de trigo diminui em 3 unidades

quando a quantidade anual de chuva é mantida constante.

indica que neste instante, um aumento unitário do nível da chuva implica um aumento de 10

unidades na produção de trigo quando a temperatura média é mantida constante.

Pela regra da cadeia, pode-se obter

através de:

Do enunciado, sabe-se que:

Portanto,

Questão 3. A temperatura nos pontos de uma plataforma é dada por

Suponha que duas partículas e estejam localizadas nos pontos e , respectivamente.

Se a partícula se deslocar na direção em que se esquentará mais rapidamente e a partícula se

deslocar na direção em que se resfriará mais rapidamente, elas se encontrarão?

Para encontrar a direção que ambas as partículas irão se mover, deve-se encontrar o vetor gradiente:

(

)

Isso significa que o vetor gradiente é constante em todos os pontos da superfície. A partícula irá sair

do ponto e se deslocará na direção do vetor gradiente e a partícula irá sair do ponto e se

deslocará na direção oposta do vetor gradiente.

Como ambos seguirão um sentido comum (pois o vetor gradiente é constante), basta analisar se ao sair

do ponto a partícula chegará no ponto Caso isso não aconteça, os caminhos que ambas

as partículas irão seguir não se interceptam, pois serão paralelos.

Como então as partículas se encontrarão.

Questão 4. Determine os valores máximo e mínimo absolutos da função

Para o domínio dado pela região triangular fechada com vértices , e

Para isso inicialmente encontra-se os pontos críticos (Aqueles cujo

(

)

Isso mostra que esta função não apresenta pontos críticos. Sendo assim, os máximos e mínimos globais,

obrigatoriamente aparecem nas fronteiras do domínio (Pois, caso isso não fosse verdade o teste do

gradiente deveria nos indicar candidatos a pontos críticos). O domínio de é dado pela figura.

A título de simplificação a fronteira pode ser separada em

três regiões. A fronteira onde , a fronteira

onde e a fronteira onde

Na fronteira

O qual não possui ponto crítico (Pois não há

Logo os candidatos a pontos de máximo e mínimo globais

dessa região são os pontos e .

Na fronteira ,

O qual também não possui pontos críticos. Logo os candidatos a pontos de máximo e mínimo globais

dessa região são os pontos e .

Na fronteira

Os pontos críticos de são tais que . Como também não

possui pontos críticos. Sendo assim, os candidatos a pontos de máximo e mínimo globais dessa região

são os pontos e

Esses candidatos podem ser colocados numa tabela como se segue:

0 0 2

0 3 0

1 -14 9

Logo o ponto de máximo global é o ponto e o ponto de mínimo global é o ponto .

Questão 5. A velocidade da propagação do som através do oceano com salinidade de 35 partes por

milhar foi modelada pela equação

Onde C é a velocidade do som (em metros por segundo), é a temperatura (em graus Celsius) e é a

profundidade abaixo do nível do mar (em metros). Um mergulhador começa um mergulho tranquilo

nas água ocêanicas e a profundidade do mergulho e a temperatura da água ao redor são registradas

nos gráficos a seguir. Estime a taxa de variação (em relação ao tempo) da velocidade do som através

do oceano experimentada pelo mergulhador 20 minutos após o início do mergulho. Interprete os

resultados.

Para encontrar a taxa de variação em relação ao tempo da velocidade do som, sendo a velocidade do

som uma varíavel composta ( ), devemos utilizar a regra da cadeia:

As 4 derivadas parciais necessárias podem ser tiradas do enunciado e do gráfico. 1°:

Quando , temos que . Portanto,

2°:

3°.

precisa ser estimada a partir do gráfico. Como não temos condições de tirar a variação

instantânea do gráfico, podemos estimá-la pela variação média:

⁄ ⁄

4º

também precisa ser estimada a partir do gráfico:

⁄ ⁄

Sendo assim, como as derivadas parciais foram estimadas, o resultado final também é uma estimação

dada por: