Gabarito da Prova do Processo Seletivo para ingresso no Programa de Pós-graduação em Física/UFSC – 2013/1

1A)A característica fundamental das máquinas Otto é a de na admissão (1o tempo) aspirar uma mistura gasosa de ar e combustível (gasolina, álcool, gás ou outro combustível). Depois que o cilindro está cheio com esta mistura, a válvula de admissão, que estava aberta durante o 1o tempo, fecha-se; então a mistura de ar e combustível sofre a compressão rápida (2o tempo). A seguir uma centelha elétrica na vela de ignição deflagra a explosão e, consequentemente, a expansão rápida (3o tempo) da mistura gasosa. Finalmente a válvula de escape abre-se, ocorrendo simultaneamente a descarga da mistura gasosa para a atmosfera e a exaustão do restante dos gases queimados (4o tempo). Suponha que um motor opera seguindo o ciclo de Otto com taxa de compressão igual a 4 (quatro) e tendo um gás ideal monoatômico como substância de trabalho, calcule a eficiência do ciclo e assinale a resposta correta para seu valor numérico:

a) 100,0% b) 47,5% c) 90,1% d) 60,3% e) 53,6%.

Resolução:

Desenhar o diagrama p-V, tem que saber que um processo

rápido implica em processo adiabático (pV= TV-1=cte; para gás ideal) ou lembrar do

ciclo de Otto. No diagrama é legal assinalar onde entra e onde sai o calor, os quais

servem pra calcular a eficiência da máquina (e=1- Qsai/Qentra).

Saber que pra um gás ideal vale pV=nRT e que no caso dele ser monoatômico, cv = 3/2

nR; portanto cp = cv+R ; e = cp/cv = 5/3 = 1,67

Qsai=n cv(Td-Tc); Qentra=n cv(Tb-Ta)

TaVa-1= TdVd

-1; TcVc-1= TbVb

-1; Va= rVd; Va= Vb; Vc= Vd

Onde r é a taxa de compressão = 4

e=1- Qsai/Qentra= 1 – 1/r-1

1B) É possível remover energia da água na forma de calor na temperatura de congelamento (0,0 oC à pressão atmosférica) ou mesmo abaixo da dessa temperatura sem que a água congele; quando isso ocorre, dizemos que a água está super-resfriada. Suponha que uma gota d’água de 1,00 g seja super-resfriada até que a sua temperatura seja a mesma que a do ar nas vizinhanças, -5,00 oC. Em seguida, a gota congela bruscamente, transferindo energia para o ar na forma de calor. Calcule a variação da entropia da gota, justificando a abordagem matemática adotada quanto a irreversibilidade do processo, e assinale a resposta correspondente ao valor da variação da entropia da gota. Os calores específico e de fusão do gelo são 2220 J/kg.K e 333 J/g, respectivamente.

a) -1,21 J/K b) -1,18 J/K c) 1,21 J/K d) 0,12 kJ/K e) -1,81 J/K Resolução:

2A)Um acrobata se solta de um dos trapézios e realiza um salto quádruplo durante o vôo em direção a seu parceiro no outro trapézio em 2,50 s. Durante o primeiro e o último quarto de volta o acrobata fica com o corpo esticado, implicando em um momento de inércia I1 = 19,9 kg.m2 ao redor do seu centro de massa. Durante o restante do vôo ele permanece encolhido, implicando em um momento de inércia I2 = 3,93 kg.m2. Calcule a velocidade angular inicial que o acrobata deve ter para que possa realizar o salto quádruplo com segurança e assinale a alternativa correta para o valor numérico dessa grandeza.

a) 3,23 rev/s b) 0,32 rev/s c) 1,26 rad/s d) 6,28 rot/s e) 16,12 rev/s

Resolução:

Na correção considerei apenas o desenvolvimento matemático, pois com o tempo dado no enunciado conduz ao resultado 2,76 rev/s. A alternativa (a) continua sendo a mais próxima da correta.

2B) Um disco uniforme de raio R e massa M está girando com uma velocidade angular o. Ele é colocado sobre uma superfície horizontal; o coeficiente de atrito cinético é µc. Encontre o torque promovido pelo atrito sobre o disco e o tempo necessário para que o disco atinja o repouso, justifique seus cálculos e assinale a resposta correta abaixo.

a) Torque=(3/2)µcMgR; tempo=(4/3)oR/g b) Torque =(1/3)µcMgR; tempo =(3/4)oR/g c) Torque =(2/3)µcMgR; tempo =(3/4)oR/µcg d) Torque =(2/3)MgR; tempo = oR/µcg e) Torque =(1/2)MgR; tempo =(1/4)oR/g

Resolução:

gRHRrHgrHdrrgrdmgdFr c

R

c

R

c

M

cgcatrito 2

0

3

00 32

322

gR

MgR

MRMR

ItIt

c

o

c

o

atrito

o

atrito

oatrito

if

43

3222

;;22

3A) Um cilindro sólido de massa M está ligado a uma mola horizontal, sem massa e constante de mola k de 2,94 N/cm, de forma que ele possa rolar sem deslizamento sobre uma superfície horizontal. Se o sistema for liberado de uma posição de repouso em que a mola esteja distendida de 23,9 cm o centro de massa do cilindro executa um movimento harmônico simples. Determine uma expressão para o período desse movimento em termos de M e k; e calcule a energia cinética translacional do cilindro quando ele passa pela posição de equilíbrio. Após apresentar seus desenvolvimentos matemáticos assinale a alternativa correta para as perguntas desse problema.

a) Período=2(3M/2k)^1/2 ; 2,8 J b) Período=2(M/2k)^1/2 ; 5,6 J c) Período=2(3M/2k)^1/2 ; 56 mJ d) Período=2(3M/k)^1/2 ; 0,6 J e) Período=2(3M/k)^1/2 ; 5,6 mJ

Resolução:

a energia mecanica total disponível é Jm

mNkxm 167,0)239,0(94,2

21

21 22

foi pedido no enunciado a quantidade que aparece entre parenteses

Jmvkx cmm 167,021

21

23

21 22

, que é igual a 1/3 dos 0,1679 J totais, ou seja

56mJ. Na correção foram consideradas todas respostas que

Aqui também houve um problema com a unidade da constante de mola, que deveria ser 2,94 N/m e não N/cm, como apareceu no enunciado. Na correção considerei certas as alternativas (a) e (c). Como nas outras questões, considerei todos desenvolvimentos feitos corretamente, mesmo que o candidato tenha optado pela alternativa errada.

3B) Considere que você está examinando as características do sistema de suspensão de um carro de 2000 kg. A suspensão “cede” 10 cm, quando o peso do carro inteiro é colocado sobre ela. Além disso, a amplitude da oscilação diminui 50 % durante uma oscilação completa. Estime valor da constante de amortecimento para o sistema de suspensão de uma única roda, considerando que cada uma suporta 500 kg, e assinale a resposta correta.

a) 1100 g/s b) 2300 kg/s c) 1100 (=1086) kg/s d) 510 kg/s e) 4400 kg/s

Resolução:

4A) Um longo solenóide com núcleo de ar de raio R tem n espiras por unidade de comprimento, onde circula uma corrente dependente do tempo )cos()( tIti Max , onde

Imax é a corrente máxima e é a freqüência angular da fonte de corrente. Assinale a opção que indique a expressão da intensidade do campo elétrico do lado de fora do solenóide para uma distância r>R, medida em algum ponto sobre o circulo de raio r.

cálculos.

A (*) )sin(2

)( 0

2

tInr

RrE o

B ( ) )sin(2

)( 0 tInrrE o

C ( ) )cos(2

)( 0

2

tInr

RrE o

D ( ) )sin(2

)( 0

2

tInR

rrE o

E ( ) nenhuma das respostas anteriores.

Resolução:

dtdldE

,

dttdBRrrE )(2)( 2 , )()( 0 tnitB

dttdin

rRrE )(2

)( 0

2

, tr

nRrE

sin

2)( 0

2

4B) Um campo magnético orientado para dentro da página varia segundo )sin()( 0 tBtB . A região do campo tem seção transversal circular com raio R.

Assinale a resposta que identifique o valor do campo elétrico definidos nos ponto P1 e P2 respectivamente

A) ( * ) ),cos(2

)( 11 tBrrE o ),cos(

2)(

2

2

2 tBr

RrE o

B) ( ) ),cos()( 11 tBrrE o ),cos()( 22 tBrrE o

C) ( ) ),cos(2

)(1

2

1 tBr

RrE o ),cos(2

)( 22 tBrrE o

D) ( ) ),cos(2

)( 11 tBrrE o ),cos(

2)( 2

2 tBrrE o

E) ( ) Nenhuma das respostas anteriores

Resolução:

sdBdtdldE

, dt

tdBrrrE )(2)( 211 , )sin()(

0 tBdt

tdB ,

)sin(2

)( 101 trBrE

,

dttdBRrrE )(2)( 2

22 ,

)sin(2

)(2

20

2 trRBrE

5A) As placas de um capacitor de placas paralelas com capacitância dabC 0

0

são

ligadas a uma fonte de tensão garantindo que as placas tenham uma diferença de potencial constante V. Um dielétrico de constante dielétrica k é então introduzido na lateral esquerda como mostrado na figura. Desconsidere forças de atrito mecânico do conjunto.

Marque a opção que indique a força resultante sobre o dielétrico nesta condição.

a ( ) ia

kVCF 1

21 2

0

b ( *) ia

kVCF 1

21 2

0

c ( ) iaxk

akVCF

22

0 ))1(()1(

21

d ( ) iakx

kaVCF

22

0 )(21

e ( ) iakx

kaVCF

22

0 )(21

Resolução:

O capacitor equivalente quando se introduz o dielétrico nas placas de capacitância 0C :

1)1()1)1((

)(0

00021 k

axCk

ax

dba

dbxak

dxbk

CCCeq

A energia armazenada no capacitor equivalente

1)1(1)1(

21

21

02

02 k

axUk

axVCVCU eq

A energia armazenada no capacitor aumenta a medida que avança entre as placas do capacitor, as custas da energia fornecida pela bateria.

A energia potencial elétrica aumenta por duas razões:

1. Enquanto aumenta a capacitância a carga também aumenta uma vez que o potencial é mantido constante, a bateria realiza um trabalho o que faz aumentar a energia do sistema.

2. O dielétrico experimenta uma polarização adicional

Logo ia

kUdxdUF

VE

1

0 ,

é positiva enquanto 0< x<a e negativa enquanto a< x<2a ou seja, a força tende a empurrar o dielétrico para dentro das placas.

5B) Um capacitor de placas paralelas é inicialmente carregado com uma carga Q em uma fonte de tensão e em seguida é desconectado dela. Uma placa dielétrica é introduzida até a metade das placas (x=a/2) e então é liberada. Desconsidere efeitos de força de atrito entre as placas e o dielétrico.

Indique o item que lista as afirmações verdadeiras, justificando.

1) A partir do instante que o dielétrico é liberado este é puxado para dentro das placas e a energia elétrica armazenada no capacitor diminui. A força tem sentido positivo de x e tende a diminuir até chegar a zero. Quando x=a a energia potencial apresenta um mínimo.

2)A energia armazenada aumenta a medida que o dielétrico entra, sendo máximo quando x=a. A força tende a aumentar expulsando o dielétrico para fora da região de campo elétrico.

3) O dielétrico ao ser liberado apresenta o comportamento de oscilador harmônico. A capacitância equivalente tem um máximo quando x=a, e o potencial entre as placas aumenta a medida que este penetra em seu interior.

4) O dielétrico apresenta um movimento oscilante. O potencial elétrico diminui a medida que o dielétrico entra no interior do capacitor.

A (*) 1, 4

B ( ) 1, 2

C ( ) 2, 4

D ( ) 3, 4

E ( ) 1, 3

Resolução:

A capacitância equivalente em função da posição do dielétrico dentro das placas do capacitor:

1)1()1)1(()(

0000

21 kaxCk

ax

dba

dbxak

dxbkCCCeq

A capacitância aumenta a medida que o dielétrico entra nas placas tendo o valor máximo quando x=a.

akxaU

kaxC

QCQUE

)1(1)1(22

10

0

22

,

a energia potencial elétrica diminui a medida que o dielétrico entra para dentro das placas

A força elétrica

20 )1()1(

axkakU

dxdUF

Q

, a força elétrica tem sentido de evitar o aumento de

energia do conjunto. Logo a tendência é que o dielétrico entre para dentro das placas.

Como a placa ganha energia cinética o sistema se comporta como um oscilador. Entretanto não é um oscilador harmônico pois a força não é linear com x.

O potencial elétrico é calculado a partir da capacitância:

akxa

CQ

kaxC

QCQV

)1(1)1( 0

0

Logo o potencial diminui a medida que o dielétrico entra nas placas.

6A) Uma corrente i circula no circuito da figura com sentido indicado pela seta. Marque a opção que indique a magnitude e direção do campo magnético no ponto P.

A ( ) kba

baipB

6

)( 0

B ( ) kab

baipB

6)( 0

C ( * ) kba

abipB

12

)( 0

D ( ) kabipB

12)( 0

E ( ) kabipB

4

)( 0

Resolução:

rsdriBd

20

4 , kds

riBd

2

0

4

kdsa

dsb

ipBss

2

02

1

02

0 114

)( ,

180601 bs ,

180602 as

kab

ipB

334)( 0

, kab

ipB

1112

)( 0

kba

abipB

12

)( 0

6B) A figura representa a sessão transversal de um cabo coaxial longo, com um condutor externo de raio externo c e raio interno b, separado do condutor central de raio a, por um material isolante. Em uma particular aplicação uma corrente i1 sai para fora do plano da página pelo condutor central e uma corrente i2 entra pelo condutor mais externo.

Marque a opção que represente o campo magnético para r<a, c<r<b e r>c

respectivamente, justificando a escolha

A ( ) rirB2

)( 10 ,

22

22

20

2)(

bcbri

rrB

, 210

2)( ii

rrB

B ( ) rirB2

)( 10 ,

22

22

20

2)(

bcbri

rrB

, 20

2)( i

rrB

C (*) 210 2)(

arirB

,

22

22

210

2)(

bcbrii

rrB

, 210

2)( ii

rrB

D ( ) 210 2)(

arirB

,

22

22

210

2)(

bcbrii

rrB

, 1220

2)( ii

crrB

E ( ) Nenhuma das respostas anteriores

ab

cx

i1

i2

ab

cx

i1

i2

Resolução:

envildB 0

a) r<a,

2

2

102)(arirrB , 210 2

)(a

rirB

b) c>r>b

22

22

20102)(bcbriirrB ,

22

22

210

2)(

bcbrii

rrB

c) r>c

, 210

2)( ii

rrB

7A) Calcule os valores esperados de (퐿x2 + 퐿y

2) para os autoestados do átomo de H a seguir: 휓100 , 휓310 , 휓322 , 휓32-2 .

A) 0; 0; 2ℏ ; 2ℏ B) 0; 2ℏ ; 10ℏ ; 10ℏ C) ℏ ; 2ℏ ; 10ℏ ; 2ℏ D) 0; 2ℏ ; 2ℏ ; 2ℏ E) Nenhuma das anteriores

Resolução:

Letra D. O momento angular total é dado por 퐿 = 퐿 + 퐿 + 퐿 . A quantização do momento angular porém está expressa em seu módulo e na componente z (퐿 =푙(푙 + 1)ℏ ; 퐿 = 푚ℏ ), podemos portanto escrever os valores esperados solicitados em função destes e calculando para cada Ψ .

7B) A função de onda Ψ =√휓 +

√휓 +

√휓 , representa um estado que é uma

combinação linear dos três autoestados ortonormais do operador Ô. O valor esperado do operador Ô calculado para os autoestados nos dá os autovalores -1, 1 e 2 conforme indicado em cada autoestado. Qual o valor esperado de Ô para o estado Ψ?

A) 1

B) √ √√

C) √ √√

D) zero E) Nenhuma das anteriores

Resolução:

Letra A. Os estados são ortogonais e normalizados e 휓 , 휓 푒휓 são autoestados do operador Ô com autovalores -1, 1 e 2, portanto ao calcular o valor esperado da função de onda teremos:

< Ψ 푂 Ψ >= < 휓 푂 휓 > + < 휓 푂 휓 > + < 휓 푂 휓 >= − + + =1

8A) Em um experimento de retro espalhamento de Rutherford com partículas alfa (massa 4u), o feixe de velocidade v (não relativístico) impacta uma superfície de um certo material e realiza uma colisão elástica com um átomo na primeira monocamada, sendo espalhado no sentido oposto ao original e com velocidade 0,6v. Que tipo de átomos compõe esta superfície?

A) Hidrogênio (massa 1 u) B) Hélio (massa 4u) C) Carbono (massa 12u) D) Oxigênio (massa 16 u) E) Silício (massa 28 u)

Resolução:

Letra D. Em uma colisão elástica temos conservação de momentum linear e energia cinética. Analisando a conservação das duas quantidades antes e depois da colisão e usando a massa e velocidade dados para a partícula incidente em uma colisão frontal com o átomo alvo (espalhamento à 180O) encontramos 16u para o átomo alvo.

8B) Considere uma partícula sujeita a um potencial tipo oscilador harmônico simples unidimensional com energia potencial 푉(푥) = 푚휔 푥 /2. Caso este potencial seja alterado, adicionando uma parede impenetrável fazendo com que a partícula nunca seja encontrada em coordenadas com valores negativos de x, mostre quais serão os níveis de energia acessíveis a essa partícula.

A) 0; ℏ휔; ℏ휔; ...

B) ℏ휔; ℏ휔; ℏ휔; ...

C) ℏ휔; ℏ휔; ℏ휔; ...

D) 0; ℏ휔; 3ℏ휔; ... E) Nenhuma das anteriores

Resolução:

Letra B. O oscilador harmônico simples quântico tem autovalores dados por

퐸 = 푛 + ℏ휔;푛 = 0,1,2,3 … Como a parede é impenetrável a função de onda

deve se anular em x=0 e para valores negativos de x. Isto elimina todos os autovalores correspondentes a funções de onda não nulas em x=0, restando somente as funções de onda de paridade ímpar.

9A) Qual a velocidade com que um disco circular deveria viajar para que parecesse elíptico com uma razão entre seu semi-eixos maior e menor igual a dois? Como estaria orientada a elipse?

A. 푐 ; com o semieixo maior orientado na direção paralela ao movimento.

B. √ 푐 ; com o semieixo maior orientado na direção paralela ao movimento.

C. 푐 ; com o semieixo menor orientado na direção perpendicular ao movimento.

D. 푐 ; com o semieixo menor orientado na direção perpendicular ao movimento.

E. Nenhuma das anteriores.

Resolução:

Letra E. A contração do espaço na direção do movimento é dada por 푙 = 푙 1 − ,

onde l0 é o comprimento próprio. Assim sendo, o circulo sofrerá um achatamento na direção do movimento e portanto, seu semieixo maior estará orientado na direção perpendicular ao movimento. Sendo a o comprimento próprio (diâmetro do círculo),

para uma razão a/b = 2 na expressão acima obtemos 푢 = √ 푐.

9B) Depois de ser produzida em um processo de colisão em um acelerador uma partícula instável deve se deslocar por uma distância de 2,0 km até atingir o detector. Com que velocidade essa partícula deve se deslocar para ser detectada antes de decair? Considere uma vida-média de 2,6x10-6 s em relação ao seu próprio sistema de referência.

A.0,67c

B. 0,70c

C. 0,90c

D. 0,93c

E. Nenhuma das anteriores.

Resolução:

Letra D. A vida-média da partícula em seu próprio sistema de referência é o seu tempo próprio (∆푡 ). Em relação ao detector, a partícula deverá viajar durante um tempo ∆푡 = 푑/푢para ser detectada antes de decair. Levando em conta a relação entre o tempo

observado no referencial do detector e o tempo próprio ∆푡 = ∆푡 1 − , obtemos

u=0,93c.

10A) Responda se as afirmações abaixo são verdadeiras (V) ou falsas (F). Você deve escrever uma pequena justificativa para cada item. Itens sem justificativa serão desconsiderados.

( F ) O modelo de Bohr para o átomo não explicava o espalhamento de partículas alfa, numa experiência realizada por Rutherford

Resolução: O modelo de Bohr foi concebido após o experimento de Rutherford e contemplando seus resultados de espalhamento de partículas alfa além de quantizar o momento angular e as órbitas dos elétrons.

( F ) A solução da equação de Schroedinger para o átomo de hidrogênio leva em conta os números quânticos de spin automaticamente, por meio da matrizes de Pauli.

Resolução: A equação de Schrödinger não leva em conta o spin de forma automática. Isto só for feito posteriormente por Dirac.

( F ) As partículas mais fundamentais da natureza podem ser classificadas como bósons ou férmions, sendo os férmions os quanta trocados por todas as interações fundamentais.

Resolução: Os quanta trocados são sempre bósons, já que não podem estar limitados pelo princípio de Pauli.

( F ) O sal de cozinha (NaCl) e o diamante apresentam estrutura cristalina, sendo sólidos iônicos.

Resolução: Ambos apresentam estrutura cristalina, porém o diamante é formado somente por carbono e não poderia fazer uma ligação iônica. O diamante apresenta ligação covalente entre os átomos.

10B) Responda se as afirmações abaixo são verdadeiras (V) ou falsas (F). Você deve escrever uma pequena justificativa para cada item. Itens sem justificativa serão desconsiderados.

( F ) Uma transição eletrônica entre os níveis 6s e 1s em um átomo de hidrogênio não é observada experimentalmente pois nesta transição não haveria conservação de energia.

Resolução: Esta transição é proibida através de oscilações tipo dipolo elétrico, o que é visto através das regras de seleção.

( F ) Um átomo de positrônio – composto por um pósitron e um elétron – pode ser descrito de maneira similar ao átomo de hidrogênio, mantendo inalterados os valores dos níveis de energia dos orbitais.

Resolução: Um átomo de positrônio tem solução similar ao hidrogênio porém os níveis de energia são alterados devido à massa muito menor do pósitron em comparação ao próton. Isto altera a constante de Rydberg por um fator ½.

( V ) De acordo com o Modelo Padrão da física de partículas, todos os léptons são considerados partículas fundamentais.

Resolução: No modelo padrão estão incluídos os quarks, léptons e bósons mediadores.

( V ) Ao aumentarmos a temperatura, semicondutores e metais apresentam comportamento oposto nas suas condutividades elétricas.

Resolução: Com o aumento da temperatura os metais diminuem sua condutividade elétrica devido ao maior espalhamento das funções de onda eletrônicas devido à agitação dos núcleos, enquanto que nos semicondutores a condutividade elétrica é aumentada pois mais elétrons conseguem popular a banda de condução aumentando o número de pares elétron-buraco.