Funções Periódicas e

trigonométricas

Prof. Vinícius V. P. de Almeida Universidade Federal de Ouro Preto

Funções Periódicas

Às vezes, encontramos funções que têm um comportamento especial, visível no seu gráfico: há uma repetição, i.e., a curva apresenta as mesmas características em intervalos subsequentes.

Exemplo: Função dente de serra:

Exemplo: A função 𝑓 𝑥 = 𝑠𝑒𝑛(𝑥) é periódica (de período 2𝜋)

)

Observação: Conhecido o gráfico de uma função periódica em um determinado intervalo de seu domínio, automaticamente o conhecemos em todo o domínio.

Definição 1: Uma função 𝑓 é dita periódica com período p, se seu domínio contém x+p, sempre que contém x, e se

𝑓 𝑥 = 𝑓(𝑥 + 𝑝) para todo x.

Definição 2: O menor valor de p (positivo), se existir, para o qual é verdade 𝑓 𝑥 = 𝑓(𝑥 + 𝑝) para todo x, é chamado de período fundamental de 𝑓.

PROPRIEDADES: Se 𝑓 é uma função periódica, então a. 𝐠 𝑥 = 𝑓 𝑥 + 𝑘, em que 𝑘 é um número real também é periódica de mesmo período de 𝑓. b. g 𝑥 = 𝑎𝑓 𝑥 , em que 𝑎 é um número real não nulo, é periódica de mesmo período de 𝑓. c. g 𝑥 = 𝑓 𝑥 + 𝑚 , em que 𝑚 é um número real, é periódica de mesmo período de 𝑓. d. g 𝑥 = 𝑓 𝑏𝑥 , em que 𝑏 é um número real não nulo é periódica. Porém, o período de g não é o mesmo de 𝑓. Exemplo: Verifique se a função 𝑔 𝑥 = 2𝑠𝑒𝑛 4𝑥 , é periódica e, em caso afirmativo, encontre seu período.

RESOLUÇÃO:

Sendo 𝑔 𝑥 = 2𝑠𝑒𝑛 4𝑥 , basta observar que seu gráfico pode

ser obtido através das seguintes transformações :

A partir de 𝑓 𝑥 = 𝑠𝑒𝑛 𝑥 , construímos ℎ 𝑥 = 𝑠𝑒𝑛 4𝑥 que é periódica, de período 2𝜋;

A partir de ℎ 𝑥 = 𝑠𝑒𝑛 4𝑥 , construímos 𝑔 𝑥 = 2𝑠𝑒𝑛 4𝑥 , que, portanto é periódica de período 𝜋/2.

Graficamente, temos:

Gráfico da função 𝑔 𝑥 = 2𝑠𝑒𝑛 4𝑥

Exercícios:

1- Determine o período das seguintes funções:

a) 𝑔 𝑥 = 3𝑐𝑜𝑠 6𝑥

b) 𝑔 𝑥 = 𝑡𝑔 𝑥

c) 𝑔 𝑥 = 3 − 3𝑐𝑜𝑠 𝑥/3

d) 𝑔 𝑥 = 𝑠𝑒𝑛 2𝑥 + 𝑐𝑜𝑠 3𝑥 − 2

2- Esboce o gráfico da função 𝑔 𝑥 = 𝑥² para -1 ≤ x ≤ 1 . Em seguida, construa uma função periódica f que coincide com g no intervalo dado e dê sua expressão algébrica.

Obs.: 𝑡𝑔 𝑎 + 𝑏 =𝑡𝑔 𝑎 +𝑡𝑔(𝑏)

1−𝑡𝑔 𝑎 .𝑡𝑔(𝑏).

Resolução Exercício 1 – b)

Resolução Exercício 1 – c)

Resolução Exercício 2-