Lógica de Primeira Ordem

OuLógica de

Predicados

FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS

↔ → ┐ ( ) ∀ ∃ V ^

SUMÁRIOSUMÁRIOORIGEM

SINTAXE E E SEMÂNTICA

ALFABETO DE PRIMEIRA ORDEM

REGRAS DE FORMAÇÃO

AXIOMAS

QUANTIFICADORES

CÁLCULO DE PREDICADOS

ORIGEM

Historicamente, lógica surgiu com o filósofo grego Aristóteles (384-322 A.C.)

Lógica Proposicional

xLógica de Primeira

Ordem

SINTAXE e

SEMÂNTICA

ALFABETO DE PRIMEIRA ORDEM

• Constantes: ReiJoao, 2, ...• Predicados: Irmaos, >,...• Funções: Raiz, PernaEsquerdaDe,...• Variáveis: x, y, a, b,...• Conectivas: ¬, ⇒, ∧, ∨, ⇔• Igualdade : =• Quantificadores: ∀, ∃

Explicação: Modelo (LPO)Constantes: RicardoCoracaoLeao, ReiJoao,

PernaEsqDeRicardoCoracaoLeao, PernaEsqDeReiJoao, Coroa;

Predicados:Aridade=2;

Irmãos: (RicardoCoracaoLeao, ReiJoao), (ReiJoao, RicardoCoracaoLeao); NaCabeca: (Coroa, ReiJoao);

Aridade=1 (propriedades); Pessoa: (RicardoCoracaoLeao), (ReiJoao); Rei: (ReiJoao); ECoroa: (Coroa); Na matemática a aridade de uma função ou

operação é o número de argumentos ou operandos tomados.

Explicação: Modelo (LPO)

Funções: PernaEsqDe:

(RicardoCoracaoLeao,PernaEsqDeRicardoCoracaoLeao), (ReiJoao,PernaEsqDeReiJoao), (PernaEsqDeRicardoCoracaoLeao,INV), (PernaEsqDeReiJoao,INV), (Coroa,INV);

INV é uma perna “invisível”!

Funções em LPO são totais, e estão definidas para todos os objetos:

QUANTIFICADORES

Quantificador Universal (∀): “Para todo...” ∀x P, onde P é qualquer expressão lógica. Exemplo:∀x Rei(x) ⇒ Pessoa(x)

Quantificador Existencial (∃): “Para algum...” ∃x P Exemplo:∃x Rei(x)

ALGUMAS REGRAS DE FORMAÇÃO Qualquer constante é um termo (variáveis

livres).

Qualquer variável é um termo (cuja única variável livre é ela mesma).

Toda expressão f (t1,…, tn) de n ≥ 1 argumentos (onde cada argumento ti é um termo e f é um símbolo de função de aridade n) é um termo. Suas variáveis livres são as variáveis livres de cada um dos termos ti.

AXIOMASOs axiomas considerados aqui são os

axiomas lógicos que fazem parte do cálculo de predicados. Além disso, os axiomas não-lógicos são adicionados em teorias de primeira ordem específicas: estes não são considerados como verdades da lógica, mas como verdades da teoria particular sob consideração.

Três dos axiomas lógicos que caracterizam a lógica de primeira ordem:

(A1) (A2) (A3) (A4)

CÁLCULO DE PREDICADOS

O cálculo de predicado é uma extensão da lógica proposicional que define quais sentenças da lógica de primeira ordem são demonstráveis. É um sistema formal usado para descrever as teorias matemáticas.

 

Exercícios 1Todos os As são Bs:Nenhum A é B:Alguns As são Bs:Alguns As não são Bs:Somente os As são Bs:Nem todos os As são BsTodos os As não são Bs

Exercícios 1 : RespostasTodos os As são Bs: ∀x A(x) ⇒ B(x)Nenhum A é B: ¬∃x A(x) ∧ B(x)Alguns As são Bs: ∃x A(x) ∧ B(x)Alguns As não são Bs: ∃x A(x) ∧ ¬B(x)Somente os As são Bs: ∀x B(x) ⇒ A(x)Nem todos os As são Bs

– Alguns As não são Bs: ∃x A(x) ∧ ¬B(x)Todos os As não são Bs

– Nenhum A é B: ¬∃x A(x) ∧ B(x)

Exercícios 2Todas as pessoas gostam de outra pessoaExiste uma pessoa de quem todas as outras

pessoas gostamO João frequenta a cadeira de IA ou PE (pode

frequentar as duas)O Rui frequenta ou a cadeira de IA ou PE

(somente uma das duas)A Ana tem no máximo uma irmãA Ana tem exatamente uma irmãA Ana tem pelo menos duas irmãs

Exercícios 2: RespostasTodas as pessoas gostam de outra pessoa

– ∀x Pessoa(x) ⇒ ∃y Pessoa(y) ∧ Gosta(x,y) ∧ ¬(x=y)

Existe uma pessoa de quem todas as outras pessoas gostam– ∃x Pessoa(x) ∧ ∀y Pessoa(y) ∧ ¬(x=y) ⇒

Gosta(y,x)O João frequenta a cadeira de IA ou PE (pode

frequentar as duas)– Frequenta(João,IA) ∨ Frequenta(João,PE)

O Rui frequenta ou a cadeira de IA ou PE (somente uma das duas)– Frequenta(Rui,IA) ⇔ ¬Frequenta(Rui,PE)

COMPONENTES

JUCIELE SACRAMENTO FREITASVÍVIAN MARIA NUNES DOS SANTOS

JHONE SESTO DAMICO