fundamentos de máquinas elétricas - stephen chapman

7/23/2019 Fundamentos de Mquinas Eltricas - Stephen Chapman

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Catalogao na publicao: Ana Paula M. Magnus CRB10/2052

C466f Chapman, Stephen J.

Fundamentos de mquinas eltricas [recurso eletrnico] /

Stephen J. Chapman ; traduo: Anatlio Laschuk. 5. ed.

Dados eletrnicos. Porto Alegre : AMGH, 2013.

Editado tambm como livro impresso em 2013.

ISBN 978-85-8055-207-2

1. Engenharia eltrica. 2. Mquinas eltricas. I. Ttulo.

CDU 621.313


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Traduo:

Anatlio Laschuk

Mestre em Cincia da Computao pela UFRGS

Professor aposentado pelo Departamento de Engenharia Eltrica da UFRGS

2013

Verso impressa

desta obra: 2013

BAE Systems Australia


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Reservados todos os direitos de publicao, em lngua portuguesa, AMGH EDITORA LTDA., uma parceria entre GRUPO A EDUCAO S.A. eMcGRAW-HILL EDUCATIONAv. Jernimo de Ornelas, 670 Santana90040-340 Porto Alegre RSFone: (51) 3027-7000 Fax: (51) 3027-7070

proibida a duplicao ou reproduo deste volume, no todo ou em parte, sob quaisquerformas ou por quaisquer meios (eletrnico, mecnico, gravao, fotocpia, distribuio na Webe outros), sem permisso expressa da Editora.

Unidade So PauloAv. Embaixador Macedo Soares, 10.735 Pavilho 5 Cond. Espace CenterVila Anastcio 05095-035 So Paulo SPFone: (11) 3665-1100 Fax: (11) 3667-1333

SAC 0800 703-3444 www.grupoa.com.br

IMPRESSO NO BRASILPRINTED IN BRAZIL

Obra originalmente publicada sob o ttuloElectric Machinery Fundamentals, 5th Edition

ISBN 0073529540/9780073529547

Original edition copyright 2012, The McGraw-Hill Companies, Inc., New York 10020. All rightsreserved.

Portuguese language translation copyright 2013, AMGH Editora Ltda., a Grupo A Educao S.A.company.

Gerente editorial:Arysinha Jacques Affonso

Colaboraram nesta edio:

Editora: Vernica de Abreu Amaral

Capa:Maurcio Pamplona(arte sobre capa original)

Preparao de originais: Gabriela Barboza

Editorao: Techbooks


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Stephen J. Chapmanobteve o ttulo deBachelor of Scienceem engenharia eltricana Louisiana State University (1975) e o de Master of Science in Engineeringemengenharia eltrica na University of Central Florida (1979), tendo prosseguido comseus estudos de ps-graduao na Rice University.

De 1982 a 1988, ele serviu como oficial da Marinha Americana, tendo sidodesignado para lecionar engenharia eltrica na U.S. Naval Nuclear Power School emOrlando, na Flrida. De 1980 a 1982, esteve vinculado University of Houston, ondeconduziu o programa de sistemas de potncia no College of Technology.

De 1982 a 1988 e de 1991 a 1995, foi membro do corpo tcnico do LincolnLaboratory no Massachusetts Institute of Technology, tanto na unidade principal emLexington, Massachusetts, como na unidade de campo no atol de Kwajalein, na Re-pblica das Ilhas Marshall. Enquanto l esteve, realizou pesquisas com sistemas deprocessamento de sinais de radar. No final de sua permanncia na unidade de campode Kwajalein, ele passou a liderar os quatro grandes radares de instrumentao e tele-metria (TRADEX, ALTAIR, ALCOR e MMW).

De 1998 a 1991, o autor foi engenheiro de pesquisas na Shell DevelopmentCompany em Houston, no Texas, onde realizou pesquisas na rea de processamentode sinais ssmicos. Ele tambm esteve vinculado University of Houston, onde con-tinuou a lecionar em tempo parcial.

Atualmente, Chapman gerente de modelagem de sistemas e de anlise opera-cional na BAE Systems, em Melbourne.

O autor membro snior do Institute of Electrical and Electronic Engineers (ede diversas sociedades que o compem). Ele tambm membro da instituio Engi-neers Australia, na Austrlia.

O autor


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Para minha filha Sarah Rivkah Chapman,que certamente usar este livro nos seus

estudos na Swinburne University,

em Melbourne.


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Nos anos que decorreram desde que a primeira edio de Fundamentos de M-quinas Eltricasfoi publicada, houve rpidos progressos no desenvolvimentode pacotes maiores e mais sofisticados de acionamento de motores em estado sli-

do. A primeira edio deste livro afirmava que o motor CC era o preferido para apli-

caes que exigissem velocidade varivel. Isso no mais verdadeiro atualmente.

Agora, o sistema mais frequentemente escolhido para aplicaes de controle de

velocidade o motor de induo CA combinado com um acionamento em estado

slido. Os motores CC foram largamente relegados a aplicaes especiais nas quais

se dispe facilmente de uma fonte CC de alimentao, como nos sistemas eltricos

automotivos.

Para refletir essas mudanas, a terceira edio deste livro foi amplamente rees-truturada, de modo que o material sobre motores e geradores CA passou a ser cobertonos Captulos 3 a 6, antecedendo o material sobre mquinas CC. Alm disso, emcomparao com as edies anteriores, o material sobre mquinas CC foi reduzido.Nesta edio, essa mesma estrutura bsica permanece sendo adotada.

Como reforo para o aprendizado do estudante, foram includos no incio decada captulo os objetivos de aprendizagem.

O Captulo 1 fornece uma introduo aos conceitos bsicos de mquinas eltri-cas e conclui aplicando esses conceitos a uma mquina CC linear, que o exemplomais simples possvel de uma mquina. O Captulo 2 cobre os transformadores, queno so mquinas rotativas, mas compartilham tcnicas semelhantes de anlise.

Aps o Captulo 2, o professor poder escolher entre mquinas CC ou CA paraensinar primeiro. Os Captulos 3 a 6 cobrem as mquinas CA, e os Captulos 7 e8 cobrem as mquinas CC. Essas sequncias de captulos so completamente inde-pendentes entre si, de modo que um professor pode cobrir o material na ordem que

melhor se adequar a suas necessidades. Por exemplo, uma disciplina de um semestreconcentrada basicamente em mquinas CA poderia consistir em partes dos Captulos1, 2, 3, 4, 5 e 6, com o tempo restante dedicado s mquinas CC. Uma disciplina deum semestre dedicada basicamente s mquinas CC poderia consistir em partes doscaptulos 1, 2, 7 e 8, com o tempo restante dedicado s mquinas CA. O Captulo9 dedicado aos motores monofsicos e de propsitos especiais, como os motoresuniversais, os motores de passo, os motores CC sem escovas e os motores de polossombreados.

Prefcio


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x Prefcio

Os problemas propostos e os de fim de captulo foram revisados e corrigidos.Desde a ltima edio, 70% ou mais dos problemas so novos ou foram modificadosdesde a edio anterior.

Nos ltimos anos, ocorreram modificaes profundas nos mtodos utilizadospara se ensinar mquinas eltricas aos engenheiros eletricistas e aos estudantes de

tecnologia eltrica. Ferramentas analticas excelentes, tais como MATLAB*, tor-

naram-se amplamente disponveis nos currculos de engenharia das universidades.

Essas ferramentas tornam simples a realizao de clculos muito complexos, per-

mitindo que os estudantes explorem interativamente o modo de comportamento dos

problemas. Fundamentos de Mquinas Eltricasfaz uso criterioso de MATLAB

para reforar a experincia de aprendizagem do estudante, sempre que apropriado.

Por exemplo, os estudantes podem usar MATLAB no Captulo 6 para calcular as

caractersticas de conjugado versusvelocidade dos motores de induo e para ex-

plorar as propriedades dos motores de induo de dupla gaiola de esquilo.Este livro no ensina MATLAB. Presume-se que o estudante j tenha se fami-

liarizado com ele a partir de trabalhos anteriores. Alm disso, o livro nodependede que o estudante tenha acesso a MATLAB. Se estiver disponvel, MATLAB pro-porcionar um recurso adicional experincia de aprendizagem. Entretanto, se eleno estiver disponvel, os exemplos envolvendo MATLAB podero ser simplesmenteomitidos e o restante do texto ainda far sentido.

Este livro nunca teria se tornado possvel sem o auxlio de dezenas de pessoas

durante os ltimos 25 anos. Para mim, gratificante ver que ele permanece popu-

lar aps todo esse tempo. Muito disso deve-se ao excelente retorno proporcionado

pelos leitores que o revisaram. Para esta edio, eu gostaria especialmente de agra-

decer:

Ashoka K.S. BhatUniversity of Victoria

William ButukLakehead University

Shaahin Filizadeh

University of Manitoba

Jess Fraile-ArdanuyUniversidad Politcnica de Madrid

Riadh HabashUniversity of Ottawa

Floyd Henderson

Michigan Technological University

* MATLAB uma marca registrada de The MathWorks, Inc.The MathWorks, Inc., 3 Apple Hill Drive, Natick, MA 01760-2098 USAE-mail: [email protected]; www.mathworks.com


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Prefcio xi

Rajesh KavasseriNorth Dakota State University

Ali KeyhaniThe Ohio State University

Andrew KnightUniversity of Alberta

Xiaomin KouUniversity of WisconsinPlatteville

Ahmad NafisiCalifornia Polytechnic State University,

San Luis Obispo

Subhasis NandiUniversity of Victoria

M. Hashem NehrirMontana State UniversityBozeman

Ali ShabanCalifornia Polytechnic State University,

San Luis Obispo

Kuang ShengRutgers University

Barna SzabadosMcMaster University

Tristan J. Tayag

Texas Christian University

Rajiv K. VarmaThe University of Western Ontario

Stephen J. Chapman

Melbourne, Victoria, Austrlia


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Captulo 1 Introduo aos princpios de mquinas 1

Captulo 2 Transformadores 65

Captulo 3 Fundamentos de mquinas CA 152

Captulo 4 Geradores sncronos 191

Captulo 5 Motores sncronos 271

Captulo 6 Motores de induo 307

Captulo 7 Fundamentos de mquinas CC 404

Captulo 8 Motores e geradores CC 464

Captulo 9 Motores monofsicos e para aplicaes especiais 565

Apndice A Circuitos trifsicos 613

Apndice B Passo de uma bobina e enrolamentos distribudos 639

Apndice C Teoria dos polos salientes das mquinas sncronas 659

Apndice D Tabelas de constantes e fatores de converso 669

ndice 671

Sumrio resumido


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Sumrio


1.1 Mquinas eltricas e transformadores na vida diria 1

1.2 Observao sobre unidades e notao 2

1.3 Movimento de rotao, lei de Newton e relaes de potncia 3 1.4 O campo magntico 8

1.5 Lei de Faraday tenso induzida a partir de um campo magnticovarivel no tempo 28

1.6 Produo de fora induzida em um condutor 33

1.7 Tenso induzida em um condutor que se desloca dentro de um campomagntico 34

1.8 A mquina linear CC um exemplo simples 36

1.9 Potncias ativa, reativa e aparente em circuitos CA monofsicos 47

1.10 Sntese do captulo 53Perguntas 54

Problemas 55

Referncias 64

Captulo 2 Transformadores 65

2.1 Por que os transformadores so importantes vida moderna? 66

2.2 Tipos e construo de transformadores 67

2.3 O transformador ideal 69

2.4 Teoria de operao de transformadores monofsicos reais 77

2.5 O circuito equivalente de um transformador 86

2.6 O sistema de medies por unidade 94

2.7 Regulao de tenso e eficincia de um transformador 99

2.8 Derivaes de um transformador e regulao de tenso 108

2.9 O autotransformador 109

2.10 Transformadores trifsicos 116

2.11 Transformao trifsica usando dois transformadores 126

2.12 Especificaes nominais de um transformador e problemasrelacionados 134


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xvi Sumrio

2.13 Transformadores de instrumentao 140

2.14 Sntese do captulo 142

Perguntas 143

Problemas 144

Referncias 151

Captulo 3 Fundamentos de mquinas CA 152

3.1 Uma espira simples em um campo magntico uniforme 153

3.2 O campo magntico girante 160

3.3 Fora magnetomotriz e distribuio de fluxo em mquinas CA 169

3.4 Tenso induzida em mquinas CA 172

3.5 Conjugado induzido em uma mquina CA 178 3.6 Isolao dos enrolamentos em uma mquina CA 182

3.7 Fluxos e perdas de potncia em mquinas CA 182

3.8 Regulao de tenso e regulao de velocidade 186


Perguntas 187

Problemas 188

Referncias 190

Captulo 4 Geradores sncronos 191

4.1 Aspectos construtivos dos geradores sncronos 192

4.2 A velocidade de rotao de um gerador sncrono 197

4.3 A tenso interna gerada por um gerador sncrono 197

4.4 O circuito equivalente de um gerador sncrono 198

4.5 O diagrama fasorial de um gerador sncrono 202

4.6 Potncia e conjugado em geradores sncronos 205

4.7 Medio dos parmetros do modelo de gerador sncrono 208

4.8 O gerador sncrono operando isolado 213 4.9 Operao em paralelo de geradores sncronos 224

4.10 Transitrios em geradores sncronos 244

4.11 Especificaes nominais de um gerador sncrono 251


Perguntas 262

Problemas 263

Referncias 270


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Sumrio xvii

Captulo 5 Motores sncronos 271

5.1 Princpios bsicos de operao de um motor 271

5.2 Operao do motor sncrono em regime permanente 275 5.3 Partida de motores sncronos 290

5.4 Geradores sncronos e motores sncronos 297

5.5 Especificaes nominais do motor sncrono 298


Perguntas 300

Problemas 300

Referncias 306

Captulo 6 Motores de induo 307

6.1 Construo do motor de induo 309

6.2 Conceitos bsicos do motor de induo 311

6.3 O circuito equivalente de um motor de induo 315

6.4 Potncia e conjugado em motores de induo 321

6.5 Caractersticas de conjugadoversusvelocidade do motor de induo 328

6.6 Variaes nas caractersticas de conjugado versus

velocidade do motor de induo 343 6.7 Tendncias de projeto de motores de induo 353

6.8 Partida de motores de induo 357

6.9 Controle de velocidade de motores de induo 363

6.10 Acionamento de estado slido para motores de induo 372

6.11 Determinao dos parmetros do modelo de circuito 380

6.12 O gerador de induo 388

6.13 Especificaes nominais do motor de induo 393


Perguntas 396

Problemas 397

Referncias 403

Captulo 7 Fundamentos de mquinas CC 404

7.1 Uma espira simples girando entre faces polares curvadas 404

7.2 Comutao em uma mquina simples de quatro espiras 416

7.3 Comutao e construo da armadura emmquinas CC reais 421


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xviii Sumrio

7.4 Problemas de comutao em mquinas reais 433

7.5 A tenso interna gerada e as equaes de conjugado induzidopara mquinas CC reais 445

7.6 A construo de mquinas CC 449

7.7 Fluxo de potncia e perdas nas mquinas CC 455


Perguntas 458

Problemas 459

Referncias 461

Captulo 8 Motores e geradores CC 464

8.1 Introduo aos motores CC 465 8.2 O circuito equivalente de um motor CC 467

8.3 A curva de magnetizao de uma mquina CC 468

8.4 Os motores de excitao independente e em derivao 469

8.5 O motor CC de m permanente 491

8.6 O motor CC srie 493

8.7 O motor CC composto 500

8.8 Partida dos motores CC 505

8.9 O sistema Ward-Leonard e os controladoresde velocidade de estado slido 514

8.10 Clculos de eficincia do motor CC 524

8.11 Introduo aos geradores CC 526

8.12 Gerador de excitao independente 528

8.13 O gerador CC em derivao 534

8.14 O gerador CC srie 540

8.15 O gerador CC composto cumulativo 543

8.16 O gerador CC composto diferencial 547

8.17 Sntese do captulo 551Perguntas 552

Problemas 553

Referncias 564

Captulo 9 Motores monofsicos e para aplicaes especiais 565

9.1 O motor universal 566

9.2 Introduo aos motores de induo monofsicos 569

9.3 Partida de motores de induo monofsicos 578

9.4 Controle de velocidade de motores deinduo monofsicos 588


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Sumrio xix

9.5 O modelo de circuito de um motor deinduo monofsico 590

9.6 Outros tipos de motores 597


Perguntas 610

Problemas 611

Referncias 612

Apndice A Circuitos trifsicos 613

A.1 Gerao de tenses e correntes trifsicas 613

A.2 Tenses e correntes em um circuito trifsico 617

A.3 Relaes de potncia em circuitos trifsicos 622 A.4 Anlise de sistemas trifsicos equilibrados 625

A.5 Diagramas unifilares 632

A.6 Utilizando o tringulo de potncia 632

Perguntas 635

Problemas 636

Referncias 638

Apndice B Passo de uma bobina e enrolamentos distribudos 639

B.1 O efeito do passo de uma bobina nas mquinas CA 639

B.2 Enrolamentos distribudos em mquinas CA 648

B.3 Sntese do apndice 656

Perguntas 657

Problemas 657

Referncias 658

Apndice C Teoria dos polos salientes das mquinas sncronas 659

C.1 Desenvolvimento do circuito equivalente de um geradorsncrono de polos salientes 660

C.2 Equaes de conjugado e potncia em uma mquinade polos salientes 666

Problemas 667

Apndice D Tabelas de constantes e fatores de converso 669

ndice 671


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captulo

1Introduo aos princpios

de mquinas

OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM

Aprender os fundamentos da mecnica de rotacional: velocidade angular, acelera-

o angular, conjugado e a lei de Newton para a rotao.

Aprender como produzir um campo magntico.

Compreender os circuitos magnticos.

Compreender o comportamento dos materiais ferromagnticos.

Compreender a histerese nos materiais ferromagnticos.

Compreender a lei de Faraday.

Compreender como se produz uma fora induzida em um fio condutor.

Compreender como se produz uma tenso induzida em um fio condutor.

Compreender o funcionamento de uma mquina linear simples.

Ser capaz de trabalhar com as potncias ativa, reativa e aparente.

1.1 MQUINAS ELTRICAS E TRANSFORMADORESNA VIDA DIRIA

Uma mquina eltrica um dispositivo que pode converter tanto a energia mecnicaem energia eltrica como a energia eltrica em energia mecnica. Quando tal dispo-sitivo usado para converter energia mecnica em energia eltrica, ele denominadogerador. Quando converte energia eltrica em energia mecnica, ele denominadomotor. Como qualquer mquina eltrica capaz de fazer a converso da energia emambos os sentidos, ento qualquer mquina pode ser usada como gerador ou comomotor. Na prtica, quase todos os motores fazem a converso da energia de uma for-ma em outra pela ao de um campo magntico. Neste livro, estudaremos somente

mquinas que utilizam o campo magntico para realizar tal converso.


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2 Fundamentos de Mquinas Eltricas

O transformador um dispositivo eltrico que apresenta uma relao prximacom as mquinas eltricas. Ele converte energia eltrica CA de um nvel de tensoem energia eltrica CA de outro nvel de tenso. Em geral, eles so estudados junta-

mente com os geradores e motores, porque os transformadores funcionam com basenos mesmos princpios, ou seja, dependem da ao de um campo magntico para queocorram mudanas no nvel de tenso.

No cotidiano da vida moderna, esses trs tipos de dispositivos eltricos estopresentes em todos os lugares. Nas casas, os motores eltricos acionam refrigerado-res,freezers, aspiradores de ar, processadores de alimentos, aparelhos de ar condi-cionado, ventiladores e muitos outros eletrodomsticos similares. Nas indstrias, osmotores produzem a fora motriz para mover praticamente todas as mquinas. Natu-ralmente, para fornecer a energia utilizada por todos esses motores, h necessidadede geradores.

Por que motores e geradores eltricos so to comuns? A resposta muitosimples: a energia eltrica uma fonte de energia limpa e eficiente, fcil de ser

transmitida a longas distncias e fcil de ser controlada. Um motor eltrico no re-

quer ventilao constante nem combustvel na forma que exigida por um motor de

combusto interna. Assim, o motor eltrico muito apropriado para uso em ambien-

tes onde no so desejveis poluentes associados com combusto. Em vez disso, a

energia trmica ou mecnica pode ser convertida para a forma eltrica em um local

distanciado. Em seguida, a energia eltrica pode ser transmitida por longas distn-

cias at o local onde dever ser utilizada e, por fim, pode ser usada de forma limpa

em todas as casas, escritrios e indstrias. Os transformadores auxiliam nesse pro-

cesso, reduzindo as perdas energticas entre o ponto de gerao da energia eltrica e

o ponto de sua utilizao.

1.2 OBSERVAO SOBRE UNIDADES E NOTAO

O projeto e estudo das mquinas e sistemas de potncia eltricos esto entre as reasmais antigas da engenharia eltrica. O estudo iniciou-se no perodo final do sculoXIX. Naquela poca, as unidades eltricas estavam sendo padronizadas internacio-nalmente e essas unidades foram universalmente adotadas pelos engenheiros. Volts,ampres, ohms, watts e unidades similares, que so parte do sistema mtrico de uni-dades, so utilizadas h muito tempo para descrever as grandezas eltricas nas m-

quinas.Nos pases de lngua inglesa, no entanto, as grandezas mecnicas vm sendo

medidas h muito tempo com o sistema ingls de unidades (polegadas, ps, libras,etc.). Essa prtica foi adotada no estudo das mquinas. Assim, h muitos anos, asgrandezas eltricas e mecnicas das mquinas so medidas com diversos sistemas deunidades.

Em 1954, um sistema abrangente de unidades baseado no sistema mtrico foiadotado como padro internacional. Esse sistema de unidades tornou-se conhecidocomo o Sistema Internacional(SI) e foi adotado em quase todo o mundo. Os EstadosUnidos so praticamente a nica exceo mesmo a Inglaterra e o Canad j adota-

ram o SI.Inevitavelmente, com o passar do tempo, as unidades do SI acabaro sendopadronizadas nos Estados Unidos. As sociedades profissionais, como o Institute of


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Electrical and Electronics Engineers (IEEE), j padronizaram unidades do sistemamtrico para serem usadas em todos os tipos de atividade. Entretanto, muitas pessoascresceram usando as unidades inglesas, as quais ainda permanecero sendo usadas

diariamente por muito tempo. Hoje, os engenheiros e os estudantes de engenhariaque atuam nos Estados Unidos devem estar familiarizados com os dois sistemas deunidades, porque durante toda a vida profissional eles se depararo com ambos os sis-temas. Portanto, este livro inclui problemas e exemplos que usam unidades inglesas edo SI. A nfase nas unidades do SI, mas leva-se em considerao tambm o sistemamais antigo.

NotaoNeste livro, os vetores, os fasores eltricos e outras grandezas complexas so mostra-das em negrito (por exemplo, F), ao passo que os escalares so mostrados em itlico(por exemplo,R). Alm disso, um tipo especial de letra usado para representar gran-dezas magnticas, como a fora magnetomotriz (por exemplo, F).

1.3 MOVIMENTO DE ROTAO, LEI DE NEWTON ERELAES DE POTNCIA

Quase todas as mquinas eltricas giram em torno de um eixo, que denominadoeixoda mquina. Devido natureza rotativa das mquinas, importante ter um enten-dimento bsico do movimento rotacional. Esta seo contm uma breve reviso dosconceitos de distncia, velocidade, acelerao, lei de Newton e potncia, tais como

so aplicados s mquinas eltricas. Para uma discusso mais detalhada dos conceitosda dinmica das rotaes, veja as Referncias 2, 4 e 5.

Em geral, necessrio um vetor tridimensional para descrever completamentea rotao de um objeto no espao. No entanto, as mquinas normalmente giram emtorno de um eixo fixo, de modo que sua rotao est restrita a uma nica dimensoangular. Em relao a uma dada extremidade do eixo da mquina, o sentido de rota-o pode ser descrito como horrio(H) ou como anti-horrio(AH). Para os objetivosdeste livro, assume-se que um ngulo de rotao anti-horrio positivo e um ngulohorrio negativo. Para uma rotao em torno de um eixo fixo, como o caso nestaseo, todos os conceitos ficam reduzidos a grandezas escalares.

Cada conceito importante do movimento rotacional definido abaixo e estassociado ideia correspondente no movimento retilneo.

Posio angular A posio angular de um objeto o ngulo com o qual ele est orientado, medido

desde um ponto de referncia arbitrrio. A posio angular usualmente medida

em radianos ou graus. Corresponde ao conceito linear de distncia ao longo de

uma reta.

Velocidade angular A velocidade angular a taxa de variao da posio angular em relao ao tempo.Assume-se que ela positiva quando ocorre no sentido anti-horrio. A velocidade


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angular o anlogo rotacional do conceito de velocidade em uma reta. A velocidadelinear unidimensional ao longo de uma reta definida como a taxa de variao dodeslocamento ao longo da reta (r) em relao ao tempo.

(1-1)

De modo similar, a velocidade angular definida como a taxa de variao do des-locamento angular em relao ao tempo.

(1-2)

Se as unidades de posio angular forem radianos, ento a velocidade angular sermedida em radianos por segundo.

Quando os engenheiros trabalham com mquinas eltricas comuns, frequente-mente usam outras unidades alm de radianos por segundo para descrever a veloci-dade do eixo. Comumente, a velocidade dada em rotaes por segundo ou rotaespor minuto. Como a velocidade uma grandeza muito importante no estudo das m-quinas, costuma-se usar smbolos diferentes para a velocidade quando ela expressaem unidades diferentes. Usando esses smbolos diferentes, qualquer confuso poss-vel em relao s unidades usadas minimizado. Neste livro, os seguintes smbolosso usados para descrever a velocidade angular:

m velocidade angular expressa em radianos por segundo (rad/s)fm velocidade angular expressa em rotaes ou revolues por segundo (rps)

nm velocidade angular expressa em rotaes ou revolues por minuto (rpm)

Nesses smbolos, o ndice m usado para diferenciar uma grandeza mecnica de umagrandeza eltrica. Se no houver nenhuma possibilidade de confuso entre as grande-zas mecnicas e eltricas, ento frequentemente o ndice ser omitido.

Essas medidas de velocidade do eixo esto relacionadas entre si pelas seguintesequaes:

nm60fm (1-3a)

(1-3b)

Acelerao angular A acelerao angular a taxa de variao da velocidade angular em relao ao tempo.Assume-se que ela ser positiva se a velocidade angular estiver crescendo no sentidoalgbrico. A acelerao angular o anlogo rotacional do conceito de acelerao emuma reta. Assim como a acelerao retilnea unidimensional definida pela equao

(1-4)

temos que a acelerao angular definida por

(1-5)


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Se as unidades de velocidade angular forem radianos por segundo, ento a aceleraoangular ser medida em radianos por segundo ao quadrado.

Conjugado No movimento retilneo, umaforaaplicada a um objeto altera sua velocidade. Naausncia de uma fora lquida ou resultante, sua velocidade constante. Quanto maiorfor a fora aplicada ao objeto, tanto mais rapidamente ser variada sua velocidade.

H um conceito similar para a rotao: quando um objeto est em rotao, suavelocidade angular constante, a menos que um conjugadoesteja presente atuandosobre si. Quanto maior for o conjugado aplicado ao objeto, tanto mais rapidamente irvariar a velocidade angular do objeto.

Que conjugado? Sem ser rigoroso, ele pode ser denominado fora de fazergirar um objeto. Intuitivamente, pode-se entender facilmente o conjugado. Imagineum cilindro que est livre para girar em torno de seu eixo. Se uma fora for aplicadaao cilindro de tal modo que a sua reta de ao passa pelo eixo (Figura 1-1a), entoo cilindro no entrar em rotao. Entretanto, se a mesma fora for posicionada detal modo que sua reta de ao passa direita do eixo (Figura 1-1b), ento o cilindrotender a girar no sentido anti-horrio. O conjugado ou a ao de fazer girar o cilindrodepende de (1) o valor da fora aplicada e (2) a distncia entre o eixo de rotao e areta de ao da fora.

O conjugado de um objeto definido como o produto da fora aplicada ao obje-to vezes a menor distncia entre a reta de ao da fora e o eixo de rotao do objeto.

(b)(a)

F

O conjugado zero

0

O conjugado anti-horrio

F

FIGURA 1-1

(a) Fora aplicada a um cilindro de modo que ele passa pelo eixo de rotao. 0.(b) Fora aplicada a um cilindro de modo que a reta de ao no passa pelo eixo de rotao.Aqui anti-horrio.


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Se rfor um vetor que aponta desde o eixo de rotao at o ponto de aplicao da forae se Ffor a fora aplicada, ento o conjugado poder ser descrito como

(1-6)

em que o ngulo entre o vetor re o vetor F. O sentido do conjugado ser horriose ele tender a fazer com que a rotao seja horria e ser anti-horrio se ele tender afazer com que a rotao seja anti-horria (Figura 1-2).

As unidades de conjugado so newton-metro em unidades do SI e libra-p nosistema ingls.

F

r

rsen(180 ) rsen

180

(distncia perpendicular) (fora)

(rsen )F, anti-horrio

FIGURA 1-2Deduo da equao do conjugado em um objeto.

Lei de Newton da rotao

A lei de Newton, para objetos que se movem ao longo de uma linha reta, descrevea relao entre a fora aplicada ao objeto e sua acelerao resultante. Essa relao dada pela equao

Fma (1-7)

em que

Ffora lquida ou resultante aplicada a um objeto

mmassa do objeto

aacelerao resultante

Em unidades do SI, a fora medida em newtons, a massa medida em qui-logramas e a acelerao, em metros por segundo ao quadrado. No sistema ingls, a


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fora medida em libras*, a massa medida em slugs** e a acelerao, em ps porsegundo ao quadrado.

Uma equao similar descreve a relao entre o conjugado aplicado a um objeto

e sua acelerao resultante. Essa relao, denominada lei da rotao de Newton, dada pela equao

J (1-8)

em que o conjugado lquido aplicado, em newtons-metros ou libras-ps, e aacelerao angular resultante, em radianos por segundo ao quadrado. A grandezaJdesempenha o mesmo papel que a massa de um objeto no movimento retilneo. Re-cebe a denominao momento de inrciado objeto, sendo medido em quilogramas--metros ao quadrado ou slugs-ps ao quadrado. O clculo do momento de inrcia estalm dos objetivos deste livro. Para informao a esse respeito, veja a Ref. 2.

Trabalho WNo movimento retilneo, o trabalho definido como a aplicao de umaforaque sedesloca por uma distncia. Na forma de equao,

(1-9)

onde assume-se que a fora colinear com o sentido do movimento. No caso especialde uma fora constante aplicada de forma colinear com o sentido do movimento, essaequao torna-se simplesmente

WFr (1-10)

As unidades de trabalho so o joule no SI e o p-libra no sistema ingls.No movimento de rotao, o trabalho a aplicao de um conjugado porum

ngulo. Aqui, a equao do trabalho

(1-11)

e, se o conjugado for constante, teremos

W (1-12)

PotnciaPA potncia a taxa de produo de trabalho, ou o incremento de trabalho por unidadede tempo. A equao da potncia

(1-13)

* N. de T.: No caso, trata-se de libra-fora. Dependendo do contexto, a libra pode estar se referindo a umafora (libra-fora) ou a uma massa (libra-massa).

** N. de T.: Unidade inglesa de massa que corresponde a 14,59 kg. Neste livro, sua denominao sermantida em ingls. Ela corresponde arroba, uma antiga unidade portuguesa de medida que equivale a14,69 kg.


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Usualmente, sua unidade de medida o joule por segundo (watt), mas tambm podeser o p-libra por segundo, ou ainda o HP (horsepower).

Por essa definio, e assumindo que a fora constante e colinear com o sentido

do movimento, a potncia dada por

(1-14)

De modo similar, assumindo um conjugado constante, a potncia no movimento derotao dada por

(1-15)

A Equao (1-15) muito importante no estudo de mquinas eltricas, porque elapode descrever a potncia mecnica no eixo de um motor ou gerador.

A Equao (1-15) ser a relao correta entre potncia, conjugado e velocidadese a potncia for medida em watts, o conjugado em newtons-metros e a velocidadeem radianos por segundo. Se outras unidades forem usadas para medir qualquer umadas grandezas anteriores, ento uma constante dever ser introduzida na equao parafazer a converso de unidades. Na prtica de engenharia dos Estados Unidos, ainda comum medir o conjugado em libras-ps, a velocidade em rotaes por minuto e apotncia em watts ou HP (horsepower). Se os fatores de converso adequados foremintroduzidos em cada termo, ento a Equao (1-15) ir se tornar

(1-16)

5.252(1-17)

em que o conjugado medido em libras-ps e a velocidade em rotaes por minuto.

1.4 O CAMPO MAGNTICO

Como afirmado anteriormente, os campos magnticos constituem o mecanismo fun-damental pelo qual a energia convertida de uma forma em outra nos motores, ge-radores e transformadores. Quatro princpios bsicos descrevem como os camposmagnticos so usados nesses dispositivos:

1. Um fio condutor de corrente produz um campo magntico em sua vizinhana.

2. Um campo magntico varivel no tempo induzir uma tenso em uma bobinase esse campo passar atravs dessa bobina. (Esse o fundamento da ao detransformador.)

3. Um fio condutor de corrente, na presena de um campo magntico, tem umafora induzida nele. (Esse o fundamento da ao de motor.)

4. Um fio movendo-se na presena de um campo magntico tem uma tenso indu-zida nele. (Esse o fundamento da ao de gerador.)


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Esta seo descreve e elabora a produo de um campo magntico por meio de um fioque est conduzindo uma corrente, ao passo que as sees posteriores deste captuloexplicaro os demais trs princpios.

Produo de um campo magnticoA lei fundamental que rege a produo de um campo magntico por uma corrente a lei de Ampre:

(1-18)

em que H a intensidade do campo magntico que produzido pela corrente lquidaIlqe dl um elemento diferencial de comprimento ao longo do caminho de integrao. Emunidades do SI,I medida em ampres eH medida em ampres-espiras por metro.

Para melhor compreender o significado dessa equao, til aplic-la ao exemplo sim-ples da Figura 1-3. Essa figura mostra um ncleo retangular com um enrolamento deNespiras de fio envolvendo uma das pernas do ncleo. Se o ncleo for composto de ferroou de outros metais similares (coletivamente denominados materiais ferromagnticos),ento essencialmente todo o campo magntico produzido pela corrente permanecerdentro do ncleo, de modo que na lei de Ampre o caminho de integrao dado pelocomprimento do caminho mdio no ncleo ln. A corrente lquidaIlqque passa dentrodo caminho de integrao entoNi, porque a bobina cruza o caminho de integraoNvezes quando est conduzindo a corrente i. Assim, a lei de Ampre torna-se

HlnNi (1-19)

Aqui,H a magnitude ou mdulo do vetor Hda intensidade de campo magntico.Portanto, o valor da intensidade de campo magntico no ncleo, devido correnteaplicada,

(1-20)

Comprimento do caminhomdio do ncleo ln

i

rea da seoretaA

Nespiras

ln

FIGURA 1-3Ncleo magntico simples.


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Em certo sentido, a intensidade de campo magntico H uma medida do es-foro que uma corrente est fazendo para estabelecer um campo magntico. A inten-sidade do fluxo de campo magntico produzido no ncleo depende tambm do mate-

rial do ncleo. A relao entre a intensidade de campo magntico He a densidade defluxo magntico resultante Bdentro de um material dada por

BH (1-21)

em que

Hintensidade de campo magntico

permeabilidademagntica do material

Bdensidade de fluxo magntico produzido resultante

Portanto, a densidade de fluxo magntico real produzido em um pedao de ma-

terial dada pelo produto de dois fatores:

H, representando o esforo exercido pela corrente para estabelecer um campomagntico

, representando a facilidade relativa de estabelecer um campo magntico emum dado material

A unidade de intensidade de campo magntico ampre-espira por metro, a unidadede permeabilidade henry por metro e a unidade de densidade de fluxo resultante weber por metro quadrado, conhecida como tesla (T).

A permeabilidade do vcuo denominada 0e seu valor

04107H/m (1-22)

A permeabilidade de qualquer outro material quando comparada com a permeabili-dade do vcuo denominadapermeabilidade relativa:

(1-23)

A permeabilidade relativa uma maneira conveniente de comparar a capacidade demagnetizao dos materiais. Por exemplo, os aos utilizados nas mquinas modernastm permeabilidades relativas de 2000 a 6000 ou mesmo mais. Isso significa que,para uma dada intensidade de corrente, produzido de 2000 a 6000 vezes mais fluxoem um pedao de ao do que no respectivo volume de ar. (A permeabilidade do ar essencialmente a mesma permeabilidade do vcuo.) Obviamente, os metais de umncleo de transformador ou motor desempenham um papel extremamente importanteno incremento e concentrao do fluxo magntico no dispositivo.

Tambm, como a permeabilidade do ferro muito maior do que a do ar, a maiorparte do fluxo em um ncleo de ferro, como o da Figura 1-3, permanece no interiordo ncleo, em vez de se deslocar atravs do ar circundante cuja permeabilidade muito menor. Nos transformadores e motores, o pequeno fluxo residual de dispersoque deixa realmente o ncleo de ferro muito importante na determinao dos fluxosconcatenados entre as bobinas e as auto-indutncias das bobinas.


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Em um ncleo, como o mostrado na Figura 1-3, o valor da densidade de fluxo dado por

(1-24)

Agora, o fluxo total em uma dada rea dado por

(1-25a)

em que dA a unidade diferencial de rea. Se o vetor de densidade de fluxo for per-pendicular a um plano de rea Ae se a densidade de fluxo for constante atravs darea, ento essa equao se reduzir a

BA (1-25b)

Assim, o fluxo total do ncleo da Figura 1-3, devido corrente ino enrolamen-to,

(1-26)

em queA a rea da seo reta do ncleo.

Circuitos magnticosNa Equao (1-26), vemos que a corrente em uma bobina de fio enrolado em um n-

cleo produz um fluxo magntico nesse ncleo. De certa forma, isso anlogo a umatenso que em um circuito eltrico produz o fluxo de corrente. possvel definir umcircuito magntico cujo comportamento regido por equaes anlogas as de umcircuito eltrico. Frequentemente, no projeto de mquinas eltricas e transformado-res, utiliza-se o modelo de circuito magntico que descreve o comportamento magn-tico para simplificar o processo de projeto que, de outro modo, seria bem complexo.

Em um circuito eltrico simples, como o mostrado na Figura 1-4a, a fonte de

tenso Valimenta uma correnteIao longo do circuito atravs de uma resistnciaR.

A relao entre essas grandezas dada pela lei de Ohm:

VIR

No circuito eltrico, o fluxo de corrente acionado por uma tenso ou fora eletro-motriz. Por analogia, a grandeza correspondente no circuito magntico denominada

fora magnetomotriz(FMM). A fora magnetomotriz do circuito magntico igualao fluxo efetivo de corrente aplicado ao ncleo, ou

FNi (1-27)

em que F o smbolo da fora magnetomotriz, medida em ampres-espiras.Como uma fonte de tenso no circuito eltrico, a fora magnetomotriz no cir-

cuito magntico tambm tem uma polaridade associada. O terminalpositivoda fontede FMM o terminal de onde o fluxo sai e o terminal negativoda fonte de FMM


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o terminal no qual o fluxo volta a entrar. A polaridade da FMM de uma bobina podeser determinada modificando-se a regra da mo direita: se os dedos da mo direitacurvarem-se no sentido do fluxo de corrente em uma bobina, ento o polegar apontarno sentido de FMM positiva (veja Figura 1-5).

No circuito eltrico, a tenso aplicada faz com que circule uma corrente I. Demodo similar, em um circuito magntico, a fora magnetomotriz aplicada faz comque um fluxo seja produzido. A relao entre tenso e corrente em um circuito el-trico a lei de Ohm (VIR). Do mesmo modo, a relao entre fora magnetomotrize fluxo

FR

(1-28)

I

RV

(a) (b)

F Ni

I R

V

F

FIGURA 1-4(a) Circuito eltrico simples. (b) Circuito magntico anlogo a um ncleo de transformador.

N

i

F

FIGURA 1-5Determinao da polaridade de uma fonte de fora magnetomotriz em um circuito magntico.


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em que

Ffora magnetomotriz do circuito

fluxo do circuitoRrelutnciado circuito

A relutncia de um circuito magntico o equivalente da resistncia eltrica, sendo asua unidade o ampre-espira (A.e) por weber (Wb).

H tambm um equivalente magntico da condutncia. Assim como a condu-tncia de um circuito eltrico o inverso de sua resistncia, apermenciaPde umcima o inverso de sua relutncia:

(1-29)

Desse modo, a relao entre a fora magnetomotriz e o fluxo pode ser expressa como FP (1-30)

Em certas circunstncias, mais fcil trabalhar com a permencia de um circuitomagntico do que com sua relutncia.

Qual a relutncia do ncleo da Figura 1-3? O fluxo resultante nesse ncleo dado pela Equao (1-26):

(1-26)

(1-31)

Comparando a Equao (1-31) com a Equao (1-28), vemos que a relutncia doncleo

(1-32)

As relutncias em um circuito magntico obedecem s mesmas regras que as resistn-cias em um circuito eltrico. A relutncia equivalente de diversas relutncias em srie simplesmente a soma das relutncias individuais:

ReqR1R2R3 (1-33)

De modo similar, relutncias em paralelo combinam-se conforme a equao

(1-34)

Permencias em srie e em paralelo obedecem s mesmas regras que as condutncias

eltricas.Quando so usados os conceitos de circuito magntico em um ncleo, os clcu-los de fluxo so sempre aproximados no melhor dos casos, eles tero uma exatido


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de cerca de 5% em relao ao valor real. H uma srie de razes para essa falta ine-rente de exatido:

1. O conceito de circuito magntico assume que todo o fluxo est confinado aointerior do ncleo magntico. Infelizmente, isso no totalmente verdadeiro. A

permeabilidade de um ncleo ferromagntico de 2000 a 6000 vezes a do ar,mas uma pequena frao do fluxo escapa do ncleo indo para o ar circundante,cuja permeabilidade baixa. Esse fluxo no exterior do ncleo denominado

fluxo de dispersoe desempenha um papel muito importante no projeto de m-quinas eltricas.

2. Os clculos de relutncia assumem um certo comprimento de caminho mdio ede rea de seo reta para o ncleo. Essas suposies no so realmente muitoboas, especialmente nos cantos.

3. Nos materiais ferromagnticos, a permeabilidade varia com a quantidade defluxo que j est presente no material. Esse efeito no linear ser descrito emdetalhe. Ele acrescenta outra fonte de erro anlise do circuito magntico, jque as relutncias usadas nos clculos de circuitos magnticos dependem dapermeabilidade do material.

4. Se houver entreferros de ar no caminho de fluxo do ncleo, a rea efetiva da se-o reta do entreferro de ar ser maior do que a rea da seo reta do ncleo deferro de ambos os lados. A rea efetiva extra causada pelo denominado efeitode espraiamento do campo magntico no entreferro de ar (Figura 1-6).

Nos clculos, pode-se compensar parcialmente essas fontes inerentes de erro.Para tanto, valores corrigidos ou efetivos de comprimento de caminho mdio e

de rea de seo reta so usados no lugar dos valores reais de comprimento e rea.H muitas limitaes inerentes ao conceito de circuito magntico, mas ele ainda a ferramenta de projeto mais facilmente usvel que est disponvel para os clculos

N

S

FIGURA 1-6Efeito de espraiamento de um campo magntico no entreferro. Observe o aumento da rea daseo reta do entreferro em comparao com a rea da seo reta do metal.


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de fluxo, no projeto prtico de mquinas. Clculos exatos usando as equaes de Ma-xwell so demasiadamente difceis e, de qualquer forma, no so necessrios porqueresultados satisfatrios podem ser conseguidos usando esse mtodo aproximado.

Os seguintes exemplos ilustram os clculos bsicos usados em circuitos magnti-cos. Observe que nestes exemplos as respostas so dadas com trs dgitos significativos.

EXEMPLO 1-1 Um ncleo ferromagntico mostrado na Figura 1-7a. Trs de seus ladostm larguras uniformes, ao passo que a largura do quarto lado menor. A profundidade doncleo (para dentro da pgina) 10 cm e as outras dimenses so mostradas na figura. Uma bo-bina de 200 espiras est enrolada no lado esquerdo do ncleo. Assumindo uma permeabilidaderelativarde 2500, quanto fluxo ser produzido por uma corrente de 1 ampre?

SoluoResolveremos este problema duas vezes, primeiro manualmente e depois usando um programa

MATLAB. Mostraremos que ambas as abordagens produzem a mesma resposta.Trs lados do ncleo tm as mesmas reas de seo reta, ao passo que o quarto lado tem

uma rea diferente. Assim, o ncleo pode ser dividido em duas regies: (1) um lado menosespesso e (2) trs outros lados tomados em conjunto. O respectivo circuito magntico dessencleo est mostrado na Figura 1-7b.

O comprimento do caminho mdio da regio 1 45 cm e a rea da seo reta 10

10 cm100 cm2. Portanto, a relutncia da primeira regio

(1-32)

O comprimento do caminho mdio da regio 2 130 cm e a rea da seo reta 15

10 cm150 cm2. Assim, a relutncia da segunda regio

(1-32)

Portanto, a relutncia total do ncleo

A fora magnetomotriz total

FNi(200 A e/Wb)(1,0 A) 200 A e

O fluxo total no ncleo dado por


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Se desejado, esse clculo poder ser executado usando um arquivo de programa emMATLAB (M-file). Um programa simples para calcular o fluxo do ncleo mostrado a seguir.

% M-file: ex1_1.m

% M-file para o clculo de fluxo do Exemplo 1-1.l1 = 0.45; % Comprimento da regio 1l2 = 1.3; % Comprimento da regio 2

30 cm15 cm 10 cmProfundidade 10 cm

30 cm15 cm 10 cm

30 cm

15 cm

15 cm

i

N200 espiras l1

l2

R1

R2

F( Ni)

(a)

(b)

FIGURA 1-7(a) O ncleo ferromagntico do Exemplo 1-1. (b) O respectivo circuito magntico de (a).


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a1 = 0.01; % rea da regio 1a2 = 0.015; % rea da regio 2ur = 2500; % Permeabilidade relativau0 = 4*pi*1E-7; % Permeabilidade do vcuon = 200; % Nmero de espiras no ncleoi = 1; % Corrente em ampres

% Clculo da primeira relutnciar1 = l1 / (ur * u0 * a1);disp ([r1 = num2str(r1)]);

% Clculo da segunda relutnciar2 = l2 / (ur * u0 * a2);disp (['r2 = ' num2str(r2)]);

% Clculo da relutncia total

rtot = r1 + r2;

% Clculo da FMM (mmf)mmf = n * i;

% Finalmente, obtenha o fluxo (flux) no ncleoflux = mmf / rtot;

% Mostre o resultadodisp (['Fluxo = ' num2str(flux)]);

Quando esse programa executado, os resultados so:

>> ex1_1r1 = 14323.9449r2 = 27586.8568Fluxo = 0.004772

Esse programa produziu o mesmo resultado que o nosso clculo a mo, com o nmero de dgi-tos significativos do problema.

EXEMPLO 1-2 A Figura 1-8a mostra um ncleo ferromagntico cujo comprimento de ca-minho mdio 40 cm. H um entreferro delgado de 0,05 cm no ncleo, o qual inteirio norestante. A rea da seo reta do ncleo 12 cm2, a permeabilidade relativa do ncleo 4000e a bobina enrolada no ncleo tem 400 espiras. Assuma que o espraiamento no entreferro

aumente a rea efetiva da seo reta em 5%. Dada essa informao, encontre (a)a relutnciatotal do caminho de fluxo (ferro mais entreferro) e (b)a corrente necessria para produzir umadensidade de fluxo de 0,5 T no entreferro.

SoluoO circuito magntico correspondente a esse ncleo mostrado na Figura 1-8b.

(a) A relutncia do ncleo

(1-32)


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A rea efetiva do entreferro 1,05 12 cm212,6 cm2, de modo que a relutncia do entre-ferro (ef)

ef

(1-32)

Portanto, a relutncia total do caminho de fluxo

Observe que o entreferro contribui com a maior parte da relutncia, embora seu caminho defluxo seja 800 vezes mais curto do que o do ncleo.

(a)

(b)

F ( Ni)

Rn (Relutncia do ncleo)

Ref (Relutncia do entreferro)

N400 espiras

ln40 cm

i

B

0,05 cm

A12 cm2

FIGURA 1-8(a) O ncleo ferromagntico do Exemplo 1-2. (b) O respectivo circuito magntico de (a).


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(b) Da Equao (1-28), temos

FR (1-28)

Como o fluxo BAeF

Ni, essa equao torna-seNiBAR

de modo que

Observe nessa equao que, como foi necessrio obter o fluxo de entreferro, ento foi usada area efetiva do entreferro.

EXEMPLO 1-3 A Figura 1-9a mostra de forma simplificada o rotor e o estator de um motorCC. O comprimento do caminho mdio do estator 50 cm e a rea de sua seo reta 12 cm2.O comprimento do caminho mdio do rotor 5 cm e pode-se assumir que a rea de sua seoreta tambm 12 cm2. Cada entreferro entre o rotor e o estator tem 0,05 cm de largura e a reada seo reta de cada entreferro (incluindo o espraiamento) 14 cm 2. O ferro do ncleo tempermeabilidade relativa de 2000 e h 200 espiras de fio sobre o ncleo. Se a corrente no fio forajustada para 1 A, qual ser a densidade de fluxo resultante nos entreferros?

SoluoPara determinar a densidade de fluxo no entreferro, necessrio calcular primeiro a fora

magnetomotriz aplicada ao ncleo e a relutncia total do caminho de fluxo. Com essas infor-maes, pode-se encontrar o fluxo total no ncleo. Finalmente, conhecendo a rea da seoreta dos entreferros, pode-se calcular a densidade de fluxo.

A relutncia do estator

A relutncia do rotor

A relutncia dos entreferros


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O respectivo circuito magntico dessa mquina est mostrado na Figura 1-9b. A relutncia totaldo caminho de fluxo , portanto,

A fora magnetomotriz lquida aplicada ao ncleo

FNi(200 e)(1,0 A) 200 A e

Portanto, o fluxo total no ncleo

F( Ni)

Rs

Ref1

Rr

Ref2

(b)

(a)

N200 espiras

ln50 cm

lef0,05 cm

lr5 cm

A12 cm2

i

Relutncia do entreferro 1

Relutncia do entreferro 2

Relutncia do estator

Relutncia do rotor

FIGURA 1-9(a) Diagrama simplificado do rotor e do estator de um motor CC. (b) O respectivo circuitomagntico de (a).


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Por fim, a densidade de fluxo magntico no entreferro do motor

Comportamento magntico dos materiais ferromagnticosAnteriormente, nesta seo, a permeabilidade magntica foi definida pela equao

BH (1-21)

Foi explicado antes que a permeabilidade dos materiais magnticos muito elevada,at 6000 vezes a permeabilidade do vcuo. Naquela anlise e nos exemplos que seseguiram, assumiu-se que a permeabilidade era constante, independentemente da for-a magnetomotriz aplicada ao material. Embora a permeabilidade seja constante no

vcuo, isso certamente no verdadeiro para o ferro e outros materiais magnticos.Para ilustrar o comportamento da permeabilidade magntica em um materialferromagntico, aplique uma corrente contnua ao ncleo mostrado na Figura 1-3,

comeando com 0 A e lentamente subindo at a mxima corrente permitida. Quando

se faz um grfico do fluxo produzido no ncleo versusa fora magnetomotriz que

o produz, o resultado como o da Figura 1-10a. Esse tipo de grfico denominado

curva de saturaoou curva de magnetizao. Inicialmente, um pequeno incremen-

to na fora magnetomotriz produz um grande incremento no fluxo resultante. Aps

um determinado ponto, contudo, novos incrementos na fora magnetomotriz produ-

zem incrementos relativamente menores no fluxo. No final, um aumento na fora

magnetomotriz produz quase nenhuma alterao. A regio nessa figura onde a curva

fica plana denominada regio de saturaoe diz-se que o ncleo est saturado. Por

outro lado, a regio onde o fluxo varia muito rapidamente denominada regio in-

saturada ouno saturadada curva e diz-se que o ncleo est no saturado. A regio

de transio entre a regio no saturada e a regio saturada denominada algumas

vezesjoelhoda curva. Na regio no saturada, observe que o fluxo produzido no

ncleo relaciona-se linearmente com a fora magnetomotriz aplicada e, na regio

de saturao, o fluxo aproxima-se de um valor constante que independe da fora

magnetomotriz.

Um outro grfico estreitamente relacionado mostrado na Figura 1-10b. Essafigura apresenta um grfico da densidade de fluxo magntico Bversusa intensidade

de campo magnticoH. Das Equaes (1-20) e (1-25b), obtm-se

ln ln (1-20)

BA (1-25b)

Observa-se facilmente que, em qualquer ncleo, a intensidade de campo magntico diretamente proporcional fora magnetomotriz e a densidade de fluxo magntico diretamente proporcional ao fluxo. Portanto, a relao entreBe Htem a mesmaforma que a relao entre fluxo e fora magnetomotriz. A inclinao da curva de den-sidade de fluxo versusa intensidade de campo magntico para qualquer valor dado de

Hna Figura 1-10b , por definio, a permeabilidade do ncleo para essa intensidadede campo magntico. A curva mostra que a permeabilidade elevada e relativamente


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(a)

(c)

(b)

, Wb

F, A e

B, T

H, A e/m

2,8

2,6

2,4

2,2

2,0

1,8

1,6

1,4

1,2

1,0

0,8

0,6

0,4

0,2

010 20 30 40 50 100 200 300 500 1000 2000 5000

Intensidade de campo magnticoH,A e/m

DensidadedefluxoB(

T)

FIGURA 1-10(a) Grfico de uma curva de magnetizao CC de um ncleo ferromagntico. (b) Curva de magnetizaoexpressa em termos de densidade de fluxo e intensidade de campo magntico. (c) Curva de magnetizaodetalhada de uma pea tpica de ao. (d) Grfico de permeabilidade relativarem funo da intensidadede campo magnticoHpara uma pea tpica de ao.


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constante na regio no saturada e, em seguida, decresce gradualmente at um valorbem baixo medida que o ncleo torna-se fortemente saturado.

A Figura 1-10c uma curva de magnetizao para um bloco tpico de ao,mostrado com mais detalhe e com a intensidade de campo magntico em escala loga-rtmica. Somente usando a escala logartmica para a intensidade de campo magntico que se pode incluir no grfico a regio da curva de saturao elevada.

Para uma mesma fora magnetomotriz dada, a vantagem de utilizar materialferromagntico nos ncleos das mquinas eltricas e dos transformadores que sepode conseguir muito mais fluxo usando o ferro do que o ar. Entretanto, se o fluxoresultante tiver que ser proporcional, ou aproximadamente proporcional, fora mag-netomotriz aplicada, ento o ncleo deverestar operando na regio no saturada dacurva de magnetizao.

Como os geradores e motores reais dependem de fluxo magntico para produ-zir tenso e conjugado, eles so projetados para produzir o mximo fluxo possvel.Como resultado, a maioria das mquinas reais opera prximo do joelho da curva demagnetizao e o fluxo magntico em seus ncleos no se relaciona linearmente coma fora magnetomotriz que o produz. Essa no linearidade a razo de muitos com-portamentos peculiares que so apresentados pelas mquinas e que sero explicados

nos prximos captulos. Usaremos MATLAB para obter as solues dos problemasque envolvem o comportamento no linear das mquinas reais.

(d)

Intensidade de campo magnticoH,(A e/m)

r

(adimensional)

7000

6000

5000

4000

3000

2000

1000

010 20 30 40 50 100 200 300 500 1000

FIGURA 1-10

(continuao)


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EXEMPLO 1-4 Encontre a permeabilidade relativa de um material ferromagntico tpico,cuja curva de magnetizao est mostrada na Figura 1-10c, nos pontos (a)H50,(b)H100,(c)H500 e(d)H1000 A e/m.

SoluoA permeabilidade de um material dada por

e a permeabilidade relativa dada por,

(1-23)

Assim, fcil determinar a permeabilidade para qualquer intensidade de campo magnticodada.

(a) ParaH50 A e/m, temosB0,25 T. Logo,

e

(b) ParaH100 A e/m, temosB0,72 T. Logo,

e

(c) ParaH500 A e/m, temosB1,40 T. Logo,

e

(d) ParaH1000 A e/m, temosB1,51 T. Logo,

e


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Observe que, medida que a intensidade do campo magntico incrementada,a permeabilidade relativa cresce no incio e ento comea a diminuir. A permeabi-lidade relativa de um material ferromagntico tpico em funo da intensidade de

campo magntico est mostrada na Figura 1-10d. Essa forma de curva bem tpica detodos os materiais ferromagnticos. Pode-se ver facilmente da curva de rversusHque a suposio de permeabilidade relativa constante feita nos Exemplos 1-1 a 1-3 vlida apenas dentro de um intervalo relativamente estreito de intensidades de campomagntico (ou foras magnetomotrizes).

No exemplo seguinte, no se assume que a permeabilidade relativa constante.No lugar disso, a relao entreBeH dada por um grfico.

EXEMPLO 1-5 Um ncleo magntico quadrado tem um comprimento de caminho mdiode 55 cm e uma rea da seo reta de 150 cm2. Uma bobina com 200 espiras enrolada em

torno de uma perna do ncleo. O ncleo feito de um material cuja curva de magnetizao mostrada na Figura 1-10c.

(a) Quanta corrente necessria para produzir 0,012 Wb de fluxo no ncleo?

(b) Qual a permeabilidade relativa do ncleo nesse nvel de corrente?

(c) Qual sua relutncia?

Soluo (a) A densidade de fluxo requerida no ncleo

Da Figura 1-10c, a intensidade de campo magntico requerida

H115 A e/m

Da Equao (1-20), a fora magnetomotriz necessria para produzir essa intensidade de campomagntico

Assim, a corrente necessria

(b) Para essa corrente, a permeabilidade do ncleo

Portanto, a permeabilidade relativa

5.540

(c) A relutncia do ncleo

5.270


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Perdas de energia em um ncleo ferromagnticoEm vez de aplicar uma corrente contnua ao enrolamento do ncleo, agora vamosaplicar uma corrente alternada e observar o que ocorre. A corrente que ser aplicadaest mostrada na Figura 1-11a. Assuma que inicialmente o fluxo zero no ncleo.Quando a corrente comea a ser aumentada, o fluxo no ncleo percorre o caminhoabda Figura 1-11b. Essa basicamente a curva de saturao mostrada na Figura1-10. Entretanto, quando a corrente volta a diminuir, o fluxo percorrido segue umcaminho diferente daquele que foi percorrido quando a corrente foi incrementada. medida que a corrente diminui, o fluxo do ncleo segue o caminho bcde depois,quando a corrente cresce novamente, o fluxo segue o caminho deb. Observe que aquantidade de fluxo presente no ncleo depende no s do valor da corrente aplicadaao enrolamento do ncleo, mas tambm da histria prvia do fluxo no ncleo. Essadependncia da histria anterior do fluxo e a impossibilidade resultante de se repetir

os mesmos caminhos de fluxo denominada histerese. O caminho bcdebna Figura1-11b, que percorrido quando h mudana na intensidade da corrente aplicada, denominado lao de histerese.

(b)

(a)

c

a

e

b

d

Fluxoresidualres

FMMcoercitiva Fc

F (ou H)

t

i(t)

(ou B)

FIGURA 1-11Lao de histerese traado a partir do fluxo em um ncleo quando a corrente i(t) aplicadanele.


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Observe que, se uma fora magnetomotriz elevada for aplicada primeiro ao ncleoe removida em seguida, ento o fluxo no ncleo seguir o caminho abc. Quando a foramagnetomotriz removida, o fluxo no ncleo novai at zero. Em vez disso, um campo

magntico permanece no ncleo. Esse campo magntico denominadofluxo residualdo ncleo. Os ms permanentes so produzidos exatamente dessa maneira. Para que ofluxo seja forado a voltar a zero, um valor de fora magnetomotriz conhecido comofora magnetomotriz coercitivaFcdeve ser aplicado ao ncleo no sentido oposto.

Por que ocorre a histerese? Para compreender o comportamento dos materiaisferromagnticos, necessrio conhecer um pouco sua estrutura. Nos tomos de ferroe de outros metais similares (cobalto, nquel e algumas de suas ligas), os campos mag-nticos tendem a estar estreitamente alinhados entre si. No interior do metal, h in-meras regies minsculas denominadas domnios. Em cada domnio, os tomos estoalinhados de forma que todos os seus campos magnticos apontam no mesmo sentido,

de modo que cada domnio dentro do material comporta-se como um pequeno m per-manente. Um bloco inteiro de ferro pode aparentar no ter nenhum fluxo porque todosesses domnios esto orientados de forma aleatria dentro do material. A Figura 1-12d um exemplo da estrutura dos domnios no interior de um bloco de ferro.

Inicialmente, quando um campo magntico externo aplicado a esse bloco deferro, os domnios que esto apontando com o mesmo sentido que o campo crescem custa dos domnios que apontam em outras direes. Os domnios que apontam nosentido do campo magntico crescem, porque os tomos em suas periferias sofremrotao, mudando fisicamente de orientao e alinhando-se com o campo magnticoaplicado. Esses tomos extras, alinhados com o campo, aumentam o fluxo magnticono ferro. Isso, por sua vez, faz com que mais tomos mudem de orientao e aumen-tem ainda mais a fora do campo magntico. Esse efeito de realimentao positivaleva o ferro a ter uma permeabilidade muito mais alta do que a do ar.

medida que o campo magntico externo continua crescendo, domnios inteirosalinhados na direo errada terminam se reorientando e formando um bloco nicoalinhado com o campo externo. Finalmente, quando quase todos os tomos e domnios

(b)(a)

FIGURA 1-12(a) Domnios magnticos orientados aleatoriamente. (b) Domnios magnticos alinhados napresena de um campo magntico externo.


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no ferro estiverem alinhados com o campo externo, ento qualquer incremento adicio-nal na fora magnetomotriz causar apenas o mesmo aumento de fluxo que ocorreriano vcuo. (Uma vez que tudo estiver alinhado, no possvel haver mais efeito de rea-

limentao para reforar o campo.) Neste ponto, o ferro tornou-se saturadocom o flu-xo. Essa a situao na regio de saturao da curva de magnetizao da Figura 1-10.

A chave de explicao da histerese que quando o campo magntico externo removido, os domnios no voltam completamente a ter orientaes aleatrias. Porque os domnios permanecem alinhados? Porque a rotao necessria para realinharseus tomos requer energia. Originalmente, a energia para realizar o alinhamentofoi fornecida pelo campo magntico externo. Quando o campo removido, no hnenhuma fonte de energia para fazer com que os domnios sofram rotao de volta asuas posies originais. Agora, o bloco de ferro tornou-se um m permanente.

Uma vez que os domnios tenham sido realinhados, alguns deles permanecero

assim at que uma fonte de energia externa seja aplicada para mud-los. Exemplos defontes de energia externa, que podem alterar as fronteiras e/ou os alinhamentos dosdomnios, so uma fora magnetomotriz aplicada em outra direo, um choque me-cnico intenso e um aumento de temperatura. Qualquer um desses eventos pode darenergia aos domnios e permitir que eles sofram realinhamento. ( por essa razo queum m permanente poder perder seu magnetismo se cair no cho, se for submetidoa uma batida de martelo ou se for aquecido.)

Um tipo comum de perda de energia em todas as mquinas e transformadoresdeve-se ao fato de que h necessidade de usar energia para fazer o realinhamento dos do-mnios no ferro. Aperda por histereseem um ncleo de ferro a energia necessria pararealizar a reorientao dos domnios a cada ciclo de uma corrente alternada aplicada aoncleo. Pode-se demonstrar que a rea delimitada pelo lao de histerese, formado pelaaplicao de uma corrente alternada ao ncleo, diretamente proporcional energiaperdida em um dado ciclo CA. Quanto menores forem as excurses da fora magne-tomotriz aplicada ao ncleo, menores sero as reas do lao de histerese resultante e,portanto, menores sero as perdas resultantes. A Figura 1-13 ilustra esse ponto.

Outra forma de perda deveria ser mencionada neste ponto, j que tambm causada pelos campos magnticos variveis dentro do ncleo de ferro. a perda porcorrente parasita. O mecanismo das perdas por corrente parasita ser explicado maisadiante, depois que a lei de Faraday for apresentada. Ambas as perdas, por histerese epor corrente parasita, causam aquecimento no material do ncleo e ambas devem ser

levadas em considerao no projeto de qualquer mquina ou transformador. Comoambas as perdas ocorrem no metal do ncleo, elas so usualmente combinadas e de-nominadasperdas no ncleo.

1.5 LEI DE FARADAY TENSO INDUZIDA A PARTIR DE UM CAMPOMAGNTICO VARIVEL NO TEMPO

At aqui, o foco de nossa ateno tem sido a produo de um campo magntico esuas propriedades magnticas. Agora, chegou o momento de examinarmos os vriosmodos pelos quais um campo magntico existente pode afetar sua vizinhana.

O primeiro efeito importante a ser considerado denominado lei de Faraday.Constitui a base de funcionamento de um transformador. A lei de Faraday afirma que,se houver um fluxo passando atravs de uma espira de fio condutor, ento uma tenso


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ser induzida sendo diretamente proporcional taxa de variaodo fluxo em relaoao tempo. Na forma de equao, temos

(1-35)

em que eind a tenso induzida em uma espira da bobina e o fluxo que passaatravs da espira. Se uma bobina tiverNespiras e se o mesmo fluxo cruzar todas elas,ento a tenso induzida na bobina inteira ser dada por

(1-36)

em que

eindtenso induzida na bobina

Nnmero de espiras de fio da bobina

fluxo que passa atravs da bobina

O sinal negativo nas equaes uma expresso da lei de Lenz. Essa lei afirma queo sentido com que a tenso cresce na bobina tal que, se os terminais da bobina fossemcolocados em curto-circuito, ento seria produzida uma corrente que causaria um fluxooposto variao original de fluxo. Como a tenso induzida ope-se variao que a estproduzindo, ento incluiremos um sinal negativo na Equao (1-36). Para compreenderclaramente esse conceito, examine a Figura 1-14. Se a intensidade do fluxo mostrado na

figura estiver aumentando, ento a tenso que est sendo induzida na bobina tender aproduzir um fluxo que se ope a esse incremento. Uma corrente fluindo, como a mos-trada na Figura 1-14b, produziria um fluxo que se oporia ao incremento. Desse modo, a

F (ou H)

rea perda por histerese

(ou B)

FIGURA 1-13Efeito da magnitude das excurses de fora magnetomotriz sobre a perda por histerese.


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tenso na bobina deve ser produzida com a polaridade necessria para impulsionar essacorrente atravs do circuito externo. Portanto, a tenso deve ser criada com a polaridademostrada na figura. Como a polaridade da tenso resultante pode ser determinada a partirde consideraes fsicas, o sinal negativo nas Equaes (1-35) e (1-36) frequentemente

omitido. No restante deste livro, ele no ser includo na lei de Faraday.Nos problemas prticos, h uma dificuldade importante em relao Equao(1-36). Essa equao pressupe que em todas as espiras da bobina est presente exata-mente o mesmo fluxo. Infelizmente, o fluxo que escapa ou se dispersa do ncleo, indopara o ar circundante, impede que isso seja verdadeiro. Se os enrolamentos estiveremfortemente acoplados, de modo que a maior parte do fluxo que atravessa uma espirada bobina passa tambm atravs de todas as demais espiras, ento a Equao (1-36)dar respostas vlidas. Entretanto, se a disperso for bem elevada ou se for necessriouma exatido extrema, ento ser necessrio uma expresso diferente que no faa talsuposio. O valor da tenso na i-sima espira da bobina sempre dado por

(1-37)

Se houverNespiras na bobina, a tenso total na bobina ser

(1-38)

(1-39)

(1-40)

Nespiras

i

eind

Sentido do fluxoem oposio

crescente

Sentido necessrio para i

(b)(a)

FIGURA 1-14O significado da lei de Lenz: (a) Uma bobina envolvendo um fluxo magntico crescente; (b)determinao da polaridade da tenso resultante.


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O termo entre parnteses na Equao (1-40) denominadofluxo concatenadoda bo-bina. A lei de Faraday pode ser tambm escrita em termos do fluxo concatenado como

(1-41)

em que

(1-42)

A unidade de fluxo concatenado o weber-espira (Wb.e).A lei de Faraday constitui a propriedade fundamental apresentada pelos campos

magnticos que esto presentes no funcionamento de um transformador. A lei de Lenz

permite prever a polaridade das tenses induzidas nos enrolamentos do transformador.A lei de Faraday tambm explica as perdas por corrente parasita mencionadas

anteriormente. Um fluxo varivel no tempo induz uma tenso no interiordo ncleoferromagntico, exatamente do mesmo modo que uma tenso induzida em um fioque est enrolado em torno desse ncleo. Essas tenses fazem com que correntes flu-am dentro no ncleo, formando caminhos circulares ou vrtices, de modo muito pa-recido com os pequenos redemoinhos que podem ser vistos prximos das margens deum rio quando a gua est em movimento. a forma de redemoinho dessas correntesque d origem denominao correntes parasitas*, tambm denominadas correntesde Foucaultou correntes de vrtice. Essas correntes esto circulando em um material

resistivo (o ferro do ncleo) e, sendo assim, elas devem dissipar energia. Essa energiaperdida transforma-se em calor no interior do ncleo de ferro.A quantidade de energia perdida devido s correntes parasitas depende do ta-

manho dos vrtices de corrente e da resistividade do material dentro do qual circulamas correntes. Quanto maior o vrtice, maior ser a tenso induzida resultante (devidoao maior fluxo no interior do vrtice). Quanto maior a tenso induzida, maior ser ofluxo de corrente resultante e, portanto, maiores sero as perdas do tipoI2R. Por outrolado, quanto maior a resistividade do material em que as correntes fluem, menor sero fluxo de corrente para uma dada tenso induzida no vrtice.

Esses fatos do-nos duas abordagens possveis para reduzir as perdas por cor-rente parasita em um transformador ou mquina eltrica. Se um ncleo ferromagn-tico, submetido a um fluxo magntico alternado, for dividido em muitas camadas oulminasdelgadas, ento o tamanho mximo de um vrtice de corrente ser reduzido,resultando uma tenso induzida menor, uma corrente menor e perdas menores. Essareduo grosseiramente proporcional espessura dessas lminas, de modo que asmais finas so melhores. O ncleo construdo com muitas lminas em paralelo.Uma resina isolante usada entre elas, limitando os caminhos das correntes parasitasa reas muito pequenas. Como as camadas isolantes so extremamente finas, h umadiminuio das perdas por correntes parasitas e um efeito muito pequeno sobre aspropriedades magnticas do ncleo.

* N. de T.: O autor est se referindo expresso em ingls para corrente parasita (eddy current), associan-do-a com o termo redemoinho (eddy).


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A segunda abordagem para reduzir as perdas por correntes parasitas consiste emaumentar a resistividade do material do ncleo. Frequentemente, isso feito pela adiode um pouco de silcio ao ao do ncleo. Para um dado fluxo, se a resistncia do ncleo

for mais elevada, ento as correntes e as perdasI2Rsero menores.Para controlar as correntes parasitas, podem-se usar lminas ou materiais de

alta resistividade. Em muitos casos, ambas as abordagens so utilizadas. Em con-junto, elas podem reduzir as perdas devido s correntes parasitas a tal ponto que setornam muito inferiores s perdas por histerese no ncleo.

EXEMPLO 1-6 A Figura 1-15 mostra uma bobina de fio enrolado em torno de um ncleo deferro. O fluxo no ncleo dado pela equao

0,05 sen 377t Wb

Se houver 100 espiras no ncleo, que tenso ser produzida nos terminais da bobina? De qualpolaridade ser a tenso durante o intervalo em que o fluxo est crescendode acordo com osentido de referncia mostrado na figura? Suponha que todo o fluxo magntico permaneadentro no ncleo (isto , assuma que o fluxo de disperso zero).

SoluoQuando o fluxo est crescendo no sentido de referncia e usando o mesmo raciocnio desenvol-vido na discusso das pginas 29-30, temos que o sentido da tenso deve ser de positivo paranegativo, como mostra a Figura 1-15. A magnitudeda tenso dada por

ou, alternativamente,

eind1885 sen(377t90) V

N100 espiras

Sentido necessrio para i

i

em oposio

+

eind

= 0,05 sen 377tWbFIGURA 1-15Ncleo do Exemplo 1-6. A figura mostra como determinar a polaridade da tenso nos terminais.


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1.6 PRODUO DE FORA INDUZIDA EM UM CONDUTOR

Um segundo efeito importante de um campo magntico no seu entorno que ele

induz uma fora em um fio que esteja conduzindo uma corrente dentro do campo.O conceito bsico envolvido est ilustrado na Figura 1-16. A figura mostra um

condutor que est presente no interior de um campo magntico uniforme de den-

sidade de fluxo B, que aponta para dentro da pgina. O condutor tem lmetros de

comprimento e conduz uma corrente de iampres. A fora induzida no condutor

dada por

Fi(lB) (1-43)

em que

ivalor da corrente no fio condutor

lcomprimento do fio, com o sentido de ldefinido como igual ao sentido dofluxo de corrente

Bvetor densidade de fluxo magntico

O sentido da fora dado pela regra da mo direita: se o dedo indicador da modireita apontar no sentido do vetor le o dedo mdio apontar no sentido do vetor Bdedensidade de fluxo, ento o polegar apontar no sentido da fora resultante sobre ofio. O valor da fora dado pela equao

FilBsen (1-44)

em que o ngulo entre o fio condutor e o vetor densidade de fluxo.

EXEMPLO 1-7 A Figura 1-16 mostra um fio conduzindo uma corrente na presena de um

campo magntico. A densidade de fluxo magntico 0,25 T, com o sentido para dentro da

pgina. Se o fio condutor tiver 1,0 m de comprimento e estiver conduzindo 0,5 A de corrente

no sentido do topo para baixo da pgina, quais sero o valor e o sentido da fora induzida

no fio?

F

B

i

l

FIGURA 1-16Fio condutor de corrente na presena de um campo magntico.


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SoluoO sentido da fora dado pela regra da mo direita como sendo para a direita. O valor dado por

(1-44)

Portanto,

F0,125 N, orientado para a direita

A induo de uma fora em um fio condutor por uma corrente na presena deum campo magntico o fundamento da chamada ao de motor. Quase todo tipode motor depende desse princpio bsico para produzir as foras e conjugados que ocolocam em movimento.

1.7 TENSO INDUZIDA EM UM CONDUTOR QUE SE DESLOCA DENTRODE UM CAMPO MAGNTICO

H uma terceira forma importante pela qual um campo magntico interage com seuentorno. Se um condutor estiver orientado adequadamente e se deslocando dentro deum campo magntico, ento uma tenso ser induzida nele. Essa ideia apresentadana Figura 1-17. A tenso induzida no condutor dada por

eind(vB) l (1-45)

em que

vvelocidade do condutor


lcomprimento do condutor dentro do campo magntico

O vetor ltem a mesma direo do condutor e aponta para a extremidade que faz omenor ngulo com o vetor vB. A tenso no condutor produzida de modo que opolo positivo aponta no mesmo sentido do vetor vB. Os exemplos seguintes ilus-tram esse conceito.

B

v

v B

l

eind

FIGURA 1-17Condutor movendo-se na presena de um campo magntico.


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EXEMPLO 1-8 A Figura 1-17 mostra um condutor deslocando-se com uma velocidade de5,0 m/s para a direita, na presena de um campo magntico. A densidade de fluxo 0,5 T paradentro da pgina e o condutor tem 1,0 m de comprimento, orientado como est mostrado.

Quais so o valor e a polaridade da tenso induzida resultante?

SoluoO sentido do produto vBneste exemplo para cima. Portanto, a tenso no condutor serproduzida com o polo positivo na parte de cima da pgina em relao parte de baixo do con-dutor. O sentido do vetor l para cima, para que se tenha o menor ngulo em relao ao vetorvB.

Como v perpendicular a Be como vB paralelo a l, o valor da tenso induzidareduz-se a

(1-45)

Portanto, a tenso induzida de 2,5 V, positiva na parte de cima do condutor.

EXEMPLO 1-9 A Figura 1-18 mostra um condutor deslocando-se com uma velocidade de 10m/s para a direita, na presena de um campo magntico. A densidade de fluxo 0,5 T para forada pgina e o condutor tem 1,0 m de comprimento, orientado como est mostrado. Quais so ovalor e a polaridade da tenso induzida resultante?

SoluoO sentido do produto vB para baixo. O condutor no est orientado seguindo uma linhareta de cima para baixo, portanto, escolha o sentido de lcomo est mostrado para que se tenha

v

30

B

v B

eind

l

FIGURA 1-18Condutor do Exemplo 1-9.


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o menor ngulo com o sentido de vB. A tenso positiva na parte de baixo, em relao parte de cima do condutor. O valor da tenso

A induo de tenses em um condutor que se desloca dentro de um campo mag-ntico fundamental para o funcionamento de todos os tipos de geradores. Por essarazo, denominada ao de gerador.

1.8 A MQUINA LINEAR CC UM EXEMPLO SIMPLES

Uma mquina linear CCconstitui a verso mais simples e mais fcil de entender umamquina CC e, contudo, funciona seguindo os mesmos princpios e apresentando omesmo comportamento dos geradores e motores reais. Portanto, ela serve como umbom ponto de partida para o estudo das mquinas.

A Figura 1-19 mostra uma mquina linear CC. Ela consiste em uma bateria, umaresistncia e uma chave conectadas a um par de trilhos sem atrito. Ao longo do leito des-ses trilhos, est presente um campo magntico constante, de densidade uniforme e orien-tado para dentro da pgina. Uma barra de metal condutor est assentada sobre os trilhos.

Como funciona esse dispositivo incomum? Seu comportamento pode ser deter-minado a partir da aplicao de quatro equaes bsicas mquina. Essas equaes so

1. A equao da fora induzida em um condutor na presena de um campo magn-tico:

Fi(lB)

(1-43)

em que Ffora no fio condutor

ivalor da corrente no condutor

lcomprimento do fio, com o sentido de l definido no sentido dofluxo da corrente


Campo magntico para dentro da pgina

B

l

ChaveR

eindVB

+

FIGURA 1-19Uma mquina linear CC. O campo magntico aponta para dentro da pgina.


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2. A equao da tenso induzida em um condutor que se desloca em um campomagntico:

eind(vB) l (1-45)

em que eindtenso induzida no condutor

vvelocidade do condutor


lcomprimento do condutor dentro do campo magntico

3. Lei de Kirchhoff das tenses para essa mquina. Da Figura 1-19, essa lei resulta em

VBiReind0

VBeindiR0

(1-46)

4. Lei de Newton para a barra assentada sobre os trilhos:

Fliqma

(1-7)

Agora, exploraremos o comportamento bsico dessa mquina CC simples usan-do essas quatro equaes como ferramentas.

Dando partida mquina linear CCA Figura 1-20 mostra a mquina linear CC em condies de partida. Para dar partidaa essa mquina, simplesmente feche a chave. Agora, uma corrente flui na barra, cujovalor dado pela lei de Kirchhoff das tenses:

(1-47)

Como a barra est inicialmente em repouso, eind0, de modo que iVB/R. A corren-te flui para baixo pela barra atravs dos trilhos. Contudo, a partir da Equao (1-43),uma corrente que circula atravs de um fio condutor na presena de um campo magn-

tico induz uma fora no fio. Devido geometria da mquina, essa fora FindilB para a direita (1-48)

B

l

R

eindFindv

VB

i (t)t0

FIGURA 1-20Dando partida a uma mquina linear CC.


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Portanto, a barra acelerar para a direita (pela lei de Newton). Entretanto, quan-do a velocidade da barra comea a crescer, uma tenso aparece na barra. A tenso dada pela Equao (1-45), que, no caso dessa geometria, reduz-se a

eindvBl positivo para cima (1-49)

Agora a tenso diminui a corrente que flui na barra, porque pela lei de Kirchho-ff das tenses tem-se

(1-47)

medida que eindaumenta, a corrente idiminui.No final, como resultado dessa ao, a barra atingir uma velocidade constante

de regime permanente*, tal que a fora lquida sobre a barra torna-se zero. Isso ocor-

rer quando eindtiver crescido at se igualar tenso induzida VB. Nesse momento, abarra estar se deslocando a uma velocidade dada por

(1-50)

A barra continuar a se deslocar indefinidamente nessa velocidade sem carga, a me-nos que alguma fora externa venha a perturb-la. Quando dada a partida no motor,a velocidade v, a tenso induzida eind, a corrente ie a fora induzida Findpodem serrepresentadas graficamente como se mostra na Figura 1-21.

Resumindo, na partida, a mquina linear CC comporta-se como segue: 1. Quando a chave fechada, produzida uma corrente dada por iVB/R.

2. O fluxo de corrente produz sobre a barra uma fora dada por FilB.

3. A barra acelerada para a direita, produzindo uma tenso induzida eind medidaque a velocidade aumenta.

4. Essa tenso induzida diminui o fluxo de corrente i(VBeind)/R.

5. Dessa forma, a fora induzida diminuda (FilB) at que, no final, F0.Nesse ponto, eindVB, i0 e a barra se deslocar sem carga com velocidadeconstante vss VB/Bl.

Esse precisamente o comportamento observado durante a partida de motores reais.

A mquina linear CC como motorAssuma que a mquina linear est inicialmente funcionando nas condies de regimepermanente sem carga descritas antes. Que acontecer a essa mquina se uma cargaexterna lhe for aplicada? Para descobrir, vamos examinar a Figura 1-22. Aqui, umafora Fcarga aplicada barra no sentido de se opor ao seu movimento. Como a barraestava inicialmente em regime permanente, a aplicao da fora Fcargaresultar emuma fora lquida sobre a barra com sentido opostoao do movimento (FlqFcarga

* N. de T.: Quando for necessrio se referir ao estado de regime permanente, ser adotado o ndice ss,como emvss,vindo do ingls steady state (regime permanente).


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Find). O efeito dessa fora ser o de diminuir a velocidade da barra. No entanto, tologo a barra comece a perder velocidade, a tenso induzida na barra cai (eindvBl). medida que a tenso induzida diminui, o fluxo de corrente na barra aumenta:

(1-47)

Portanto, a fora induzida tambm cresce (FindilB). O efeito total dessa cadeia de

eventos que a fora induzida cresce at que se torna igual e oposta fora de carga e a

(a)

t

t

t

t

(b)

(c)

0

0

0

0

(d)

eind (t)

Find(t)

VBBl

VBR

VBlB

R

VB

v (t)

i (t)

FIGURA 1-21

A mquina linear CC durante a partida. (a) Velocidade v(t)em funo do tempo; (b) tensoinduzida eind(t); (c) correntei(t); (d) fora induzida Find(t).

B

l

R

eindFcargaFind

vVB

i (t)

FIGURA 1-22A mquina linear CC como motor.


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barra comea novamente a se deslocar em regime permanente, mas com uma velocidade

fundamentos de máquinas elétricas - stephen chapman

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