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FACULDADES INTEGRADAS EINSTEIN DE LIMEIRA

FUNDAMENTOS DA MATEMÁTICA 1

FUNDAMENTOS DA MATEMÁTICA



Conjuntos

É uma noção primitiva, isto é, sem definição. Assim qualquer coleção de

objetos ou entidades constitui um conjunto.

Os objetos que formam um conjunto são chamados elementos, que são

expressos por letras minúsculas. A notação de um conjunto é uma letra

maiúscula.

• Os elementos de um conjunto podem ser representados de três

maneiras:

1. Enumeração: listam-se seus elementos, escrevendo-os entre chaves

e separando-os por vírgulas.

Exemplos: { }5,2,0,14,2A = − conjunto finito

D = ∅ conjunto vazio

{ }1,3,5,......B = conjunto infinito

2. Compreensão: o conjunto é representado por uma propriedade que

caracteriza seus elementos

Exemplos: { }/ A x x é ímpar=

{ }/ e 7B x x R= ∈ ≤

3. Diagrama de Venn:

• Relação de Pertinência: Elemento → Conjunto

pertence

não pertence

∈∉

`

Exemplo: { }3, 2,1,0,5,7,9A = − −

3

1

5

A

A

A

− ∈

− ∉ ∈

• Subconjuntos

5

12 1

0 -4



A é um subconjunto de B se todos os elementos de A pertencem a B.

Notação:

está contido

não está contido

⊂

⊄

Exemplo: { } { } 1,2 e 0,1,2, 1,7 Se A B A B= − = − ⊂

• Operações com Conjuntos:

1) União: { }/ A B x x A ou x B∪ = ∈ ∈

Exemplos:

1)

A B A∪ =

{ } { }

{ }

3,0,2 3, 2, 1,0,1,2,3

3, 2, 1,0,1,2,3

B A

A B A

= − = − − −

∪ = − − − =

2)

{ } { }

{ }

1,0,2,4,6,7 3, 2, 1,0,1,2,3

3, 2, 1,0,1,2,3,4,6,7

B A

A B

= − = − − −

∪ = − − −

3) { } { }

{ }

4,2,3 3, 2, 1,0,1

4, 3, 2, 1,0,1,2,3

B A

A B

= − = − − −

∪ = − − − −

A

B

A

B

A

B



2) Interseção: { }/ A B x x A e x B∩ = ∈ ∈

Exemplos:

1)

A B B∩ =

{ } { }

{ }

3,0,2 3, 2, 1,0,1,2,3

3,0,2

B A

A B B

= − = − − −

∩ = − =

2)

{ } { }

{ }

1,0,2,4,6,7 3, 2, 1,0,1,2,3

1,0,2

B A

A B

= − = − − −

∩ = −

3) { } { }4,2,3 3, 2, 1,0,1B A

A B

= − = − − −

∩ = ∅

3) Diferença: { }/ A B x x A e x B− = ∈ ∉

1)

{ } { }

{ }

3,0,2 3, 2, 1,0,1,2,3

2, 1,1,3

B A

A B

= − = − − −

− = − −

A

B

A

B

A

B

A

B



2)

{ } { }

{ }

1,0,2,4,6,7 3, 2, 1,0,1,2,3

3, 2,1,3

B A

A B

= − = − − −

− = − −

3) { } { }

{ }

4,2,3 3, 2, 1,0,1

3, 2, 1,0,1

B A

A B A

= − = − − −

− = − − − =

Exercícios:

1. Sejam os conjuntos: { } { } { }1,2,5,6,9,10 , 0,2,5 , 3,5,7,10S A B= = = . Calcular:

a) A B∪ b) B S∪ c) A B S∪ ∪ d) A B∩ e) A B− f)

B A−

g) S A− h) S B− i) ( )S A B− ∪ j) S B A∩ ∩ k) ( )B A S∩ ∪

2. Sejam os conjuntos: { } { } { }1,3,4,6 , 3,4,5,7 , 4,5,6,8A B C= = = . Calcular:

a) A B∪ b) A B∩ c) A C∪ d) A C∩ e) A B C∪ ∪

f) A B C∩ ∩ g) ( )A B C∪ ∩ h) ( )A B C− ∩ i) ( )A B C∪ −

3. Sejam os conjuntos { } { } { } { }0,2 , 1,4,5 , 0,3,6 2,3,4,5,6A B C e D= = − = = .

Determine ( ) ( )A B C D− ∩ − .

4. Dados os conjuntos { } { }2,3 , 3,4,5A B= = , determine o conjunto C tal que:

{ } { } { }2 4 2,3,4,5,6A C B C A B C∩ = ∩ = ∪ ∪ = .

A

B

A

B



Conjuntos Numéricos

1. Conjunto dos Números Naturais �

{ }0,1,2,3,4,......=�

Quando não se considera o elemento 0 (zero): { }* 1,2,3,4,......=�

2. Conjunto dos Números Inteiros �

{ }..., 2, 1,0,1,2,......= − −�

Quando não se considera o elemento 0 (zero): { }* ..., 2, 1,1,2,......= − −�

3. Conjunto dos Números Racionais �

São todos os números que podem ser escritos sob a forma de fração de

números inteiros. Têm representação decimal finita ou periódica.

Exemplos: a) 3 b) -4 c) 2

0,45

= d) 5

0,55555....9

− = −

Notar que: ⊂ ⊂� � �

4. Conjunto dos Números Irracionais Ι

São os números cuja representação decimal não é exata nem periódica,

não podendo ser escritos sob a forma de fração.

Exemplos: a) 3,14159265...π = b) 2 1,4142125...=

c) 2,718281...e =

5. Conjunto dos Números Reais �

I= ∪� �

Os números reais podem ser associados biunivocamente com cada

ponto de uma reta, estabelecendo o eixo real orientado.



Intervalos Numéricos:

Denominamos intervalo qualquer subconjunto de números reais. Dados

a e b, com a b⟨ , tem-se:

• Intervalo aberto

Representação geométrica

Representação algébrica { }/ ou ( , )x a x b a b∈ ⟨ ⟨�

• Intervalo fechado


Representação algébrica { }/ ou [ , ]x a x b a b∈ ≤ ≤�

• Intervalo semi-aberto à direita


Representação algébrica { }/ ou [ , )x a x b a b∈ ≤ ⟨�

• Intervalo semi-aberto à esquerda


Representação algébrica { }/ ou ( , ]x a x b a b∈ ⟨ ≤�

a b

a b

a b

4− 2− 1−

32

−

0 1 2 33−

12 5

a b



• { }/ ou ( , )x x a a∈ ⟩ ∞�

• { }/ ou [ , )x x a a∈ ≥ ∞�

• { }/ ou ( , )x x a a∈ ⟨ −∞�

• { }/ ou ( , ]x x a a∈ ≤ −∞�

Exemplos:

1. Se { }/ 4 2A x x= ∈ − ⟨ ≤� e { }/ 2 4B x x= ∈ − ≤ ⟨� , calcule A - B.

Como os elementos dos conjuntos pertencem ao conjunto dos inteiros, eles

podem ser listados:

{ } { } { }3, 2,1,0,1,2 2, 1,0,1,2,3 3A B então A B= − − = − − − = −

2. Se { }/ 3 1A x x= ∈ − ≤ ⟨� e { }/ 1 3B x x= ∈ − ⟨ ⟨� , calcule A – B.

Como os elementos dos conjuntos pertencem ao conjunto dos reais, eles

devem ser representados em forma de intervalo:

A=

a

a

a

a

3− 1



B=

A–B= { }/ 3 1A B x x− = ∈ − ≤ ≤ −�

Exercícios:

1. Se { }/ 3 2A x x= ∈ − ≤ ≤� e { }/ 2 5B x x= ∈ − ⟨ ⟨� , calcule A - B.

2. Se { }/ 4 4A x x= ∈ − ≤ ≤� e { }/ 2 5B x x= ∈ − ⟨ ⟨� , calcule A – B,

A B∩ e A B∪ .

3. Represente na reta numerada e defina em linguagem simbólica os

conjuntos:

a) [3,6] b) (-1,5] c) ( , 2 ]−∞ d) 3

,25

−

e)(-3,5) f) [0,7]

g) [ 4, )− ∞ h) ( ,1)−∞ i) [ 3,2] (0,4]− ∩ j) ( ){ } ( )[1, ) , 1 2,2∞ ∪ −∞ − ∩ −

l) [ 2, 2] [1,3)− ∩ m) 3

[0,1] [2, ) [ , )2

∩ ∞ ∪ ∞

n) [ ] { }1,1 ( ,1] (0,2]− ∪ −∞ ∩

4. Dados os intervalos [ 2,2), (0, ) ( ,1]A B e C= − = ∞ = −∞ , determinar:

a) A B∩ b) A C∩ c) C B∩ d) A B C∩ ∩ e) A B∪ f) A C∪

g) B C∪ h) A B C∪ ∪ i) A - B j) A – C k) B – C

Potenciação, Radiciação e Valor Absoluto

Calcular a potência de um número real a equivale multiplicar a por ele

mesmo, n vezes.

. . .....n

n vezes

a a a a a= Exemplos: a) 42 2.2.2.2 16= = b) 28 8.8 64= =

1− 3

3− 1−



Propriedades:

1. .m n m na a a += Exemplos: a) 2 5 74 .4 4= b) 8 4 12.x x x=

2. 0m

m n n

n

aa com a

a

−= ≠ Exemplos: a)

4

3

33

3= b)

93

6

xx

x=

3. 0 1a =

4. ( ) .nm m na a= Exemplos: a) ( )

52 108 8= b) ( )33 9x x=

5. ( ). .n n na b a b= Exemplos: a) ( )

2 2 28 8 .x x= b) ( )5 5 5.xy x y=

6. n n

n

a a

b b

=

Exemplos: a)

2 2

2

3 3x x

=

b)

3 3 3

3

3 3y y

z z

=

7. . .n n na b a b= Exemplos: a) 4 4.x x= b) 2 233 3. .x y x y=

8. 1

0n

na com a

a

−= ≠ Exemplos: a) 3

3

12

2−

= b) 44

1x

x−=

9. 0m

mn na a com n= ⟩ Exemplos: a) 8

5 8 56 6= b) 5

5 2x x=

10. Se 25x = , então x = 5. Se 2 25x = , então 5x = ± .

Exemplos:

1) Qual o valor de

323 2324 8

−

?

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

333 2 332

2 3 3 2 2 322 3 222 2 2 2 8 4 2 2 8

− = − = − = = =



2) Colocar a expressão ( ) ( )3 25169 13÷ na forma

m

na com m e n inteiros e a

um número primo..

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 283 62 65 5 5 513 13 13 13 13 13

−÷ = ÷ = =

Exercícios:

1) Utilizar as propriedades anteriores, para determinar o valor numérico de:

a) 431 b) 100 c) ( )2

3− d) 23− e) ( )3

3− f) 7

3

55

g) 50

43

33

h) ( )0

51− i) 438 j)

243

−

k) ( )

−−

3

1

6

2) Qual o valor de ( )( )339 23 3 .3

−

÷ ?

3) Colocar as expressões na forma m

na com m e n inteiros e a um número

primo:

a) 5 2048 b) ( )

( )32

3

149

343

−

÷

Valor Absoluto ou Módulo:

O valor absoluto ou módulo, denotado por x é definido por:

0

0

x se xx

x se x

≥=

− ⟨

Exemplos: 1. 8 8− = 2. 5 5= 3. − − = −6 6 4. 2 2− − =

Propriedades:

1. -a x ax a então⟨ ⟨ ⟨ Exemplo: 3 -3 x 3x então⟨ ⟨ ⟨

2. -a x ax a então≤ ≤ ≤ Exemplo: 2 -2 x 2x então≤ ≤ ≤

3. x -a ou x ax a então⟩ ⟨ ⟩ Exemplo: 4 x -4 ou x 4x então⟩ ⟨ ⟩



4. x -a ou x ax a então≥ ≤ ≥ Exemplo: 1 x -1 ou x 1x então≥ ≤ ≥

Exemplos:

1. Simplifique a expressão: 1

1

x

x

−

− (para 1x ≠ )

Pela definição: 1 1

11 1

x se xx

x se x

− ⟩− =

− + ⟨

Se 1 1x x− = − , a expressão inicial torna-se 1

11

x

x

−=

−

Se 1 1x x− = − + , a expressão inicial torna-se ( )11

11 1

xx

x x

− −− += = −

− −

A resposta será 1 1 1

1 1 1

x se x

x se x

− ⟩=

− − ⟨.

2. Resolva a equação: 2 5 7x − = .

2 5 7 2 5 7x ou x− = − = − ⇒ 6 1x ou x= = −

Exercícios:

1. Simplifique a expressão: 2 4

2

x

x

−

−.

2. De acordo com a definição, calcule:

a. 3 5− b. 2 6 5− − + c. 7− −

3. Resolva as expressões a seguir:

a. 3 1 5x + ≤ b. 2 1 11x + ⟩ c. 4 9 3x − ≥

Expressões Algébricas



Definição:

Uma expressão matemática que contém números e letras é chamada de

expressão algébrica.

Exemplos: 22 , 3 , , 2b x y x y− + .

Valor Numérico:

É o número real que se obtém quando se substitui todas as variáveis da

expressão pelos respectivos valores dados e efetuam-se todas as operações

indicadas na expressão.

Exemplo: Determinar o valor numérico da expressão algébrica

3 25 2 51

x x

x

− +

−, quando x=-1.

( )

( )

3 25 1 2( 1) 5 5 2 5 21

1 1 2 2

− − − + − − + −= = =

− − − −

Monômios

Em uma expressão algébrica, todo produto de números reais, expresso

ou não por variáveis, é chamado monômio.

Exemplo: Os monômios da expressão 3 23 2x y x xy+ − são:

3 23 , e 2x y x xy− .

No monômio 2xy− , -2 é a parte numérica e xy é a parte literal.

Polinômios

É qualquer expressão algébrica constituída pela soma algébrica de

monômios.

Exemplos:

32 3ax ax− , 23 4 6x x− + , 3 28 4abc xy− .

Polinômio Reduzido:



É aquele que não apresenta termos semelhantes, ou seja, com a mesma

parte literal.

Exemplos:

• O polinômio 28 2 4a b ab− + está na forma reduzida, pois não

apresenta termos semelhantes.

• Reduzir os termos semelhantes do polinômio

3 4 5 3 6.x xy x xy− + − +

Rearranjando os termos e agrupando tem-se:

( ) ( )+ + − − + = − +3 5 4 3 6 8 7 6x x xy xy x xy .

Operações com Polinômios:

• Adição:

( ) ( )2 2

2 2

2

3 5 4 7 3 4 9

3 5 4 7 3 4 9

12 2 7

a x ax a x ax a a x

a x ax a x ax a a x

a x ax x

+ − + + − + + =

= + − + − + + =

= + +

• Subtração:

( ) ( )+ + − − + =

= + + − + − =

= + +

5 2 5 2

5 2 5 2

5 2

8 5 3 2 4 1

8 5 3 2 4 1

6 9 2

x x x x

x x x x

x x

• Multiplicação:

a) ( )( )2 2

3 2 2 2 3

3 4 5 2

6 8 10

a a x ax

a x a x ax

− + − =

= − + −

b)

( )( )2

3 2 2

3 2

3 5 1 4 2

12 6 20 10 4 2

12 26 6 2

x x x

x x x x x

x x x

+ − + =

= + + + − − =

= + + −

2

3 2

2

3 2

3 5 1

4 2

12 20 4

6 10 2

12 26 6 2

x x

x

x x x

x x

x x x

+ −

+

+ −

+ + −

+ + −



c)

( )( ) ( )

( )( )

( )( )

− + − =

= + − − − =

= + − − =

= − + − − + =

= − − +

2 2

2 2

3 2 2 2 2 3

3 2 2 3

3 2 5

3 3 2 5

3 2 2 5

6 15 4 10 2 5

6 11 12 5

x y x y x y

x xy xy y x y

x xy y x y

x x y x y xy xy y

x x y xy y

• Divisão:

1. Caso: Divisão de um polinômio por monômio:

a)

( ) ( )− − + ÷ =

−− + = − − +

3 4 2 3 2

3 4 2 32 2

2 2 2

18 12 3

18 12 16 4

3 3 3 3

x y x y x y x y

x y x y x yx x y

x y x y x y

b)

( ) ( )− + ÷ =

= − + = − +

4 3 2 2

4 3 22

2 2 2

15 21 12 3

15 21 125 7 4

3 3 3

x x x x

x x xx x

x x x

2. Caso: Divisão de um polinômio por polinômio:

( ) ( )3 2

3 2

3 2 2 2

2

2

. 3 3 1 1

3 3 1 1

y 2 1 Resp: y 2 1

- 2 3 1

2 2

-1

- 1

0

a y y y y

y y y y

y y y y

y y

y y

y

y

− + − ÷ −

− + − −

− + − + − +

+ −

−

+



( ) ( )

( )

3 2 2

3 2 2

3 22

2

2

. 2 5 8 3 4

2 5 8 3 4

42 - 522 6 8 2 11 Resp: 2 11

3 4 -11 9 8

11x 33 44

42 - 52

b x x x x x

x x x x x

xx x x x x

x x

x x

x

x

− + − ÷ + −

− + − + −

− − + − − ++ −

+ −

+ −

( ) ( )

( )

5 4 2

5 4 2

5 4 4 3 2 4 3 2

4 2

4 3

3 2

. 2 7 1

2 7 1

7 Resp:

1 - 7

-x

- 7

c x x x x

x x x x

x x x x x x x xx

x x

x

x x

+ − + ÷ +

+ − + +

− − + − + − ++

+

−

− +

3 2

+7

x x+

Exercícios:

Reduzir os termos semelhantes:

1. ( )2 2 25 14 3 1 7

2 2x y x y z− + − − +

2. [ ]3

3 2 2 5 44

a ab a a

+ − + + + −

Resolver as operações indicadas, simplificando quando necessário:

1. )( ( ) ( )5 4 3 3 4 2 52 7 6 2 2 7 5 6 1 2x x x x x x x x x x− + − + + − + + − − − −

2. ( ) ( ) ( )3 2 2 3 22 4 5 1 3 4 7x x x x x x x− + − − − + + −



3. ( ) ( )4 4 4 4.x y x y+ −

4. 3 4 5 2 22 7 8 1 . 6 1a a a a a a a − − + + − − − − +

5. ( ) ( )4 2 21 1y y y y+ + ÷ − −

6. ( ) ( )4 3 23 5 2x x x x x− − + ÷ +

7. ( ) ( )3 25 4 1 1x x x x+ − − ÷ −

8. ( ) ( )4 3 34 4 1 4 1x x x x− + − ÷ +

9. ( ) ( )3 2 22 1 2x x x x x− + + ÷ − +

10. ( ) ( )3 27 16 12 3x x x x− + − ÷ −

Produtos Notáveis

Certos produtos, chamados produtos notáveis, são usados com

freqüência no cálculo. Eles são o resultado do produto de expressões

algébricas e devem ser memorizados::

1. (((( ))))2 2 2 2a b a ab b+ = + ++ = + ++ = + ++ = + +

Exemplos:

• ( ) ( )2 22 2 22 2. .2 2 4 4m n m m n n m mn n+ = + + = + +

• ( ) ( ) ( )2 2 2

2. 2x y x x y y x xy y+ = + + = + +

2. (((( ))))2 2 22a b a ab b− = − +− = − +− = − +− = − +

Exemplos:

• ( ) ( )2 22 22 4 2 2.2.4 4 4 16 16x x x x x− = − + = − +

• ( )2 2 2

2 22.2 2 2 4y y y y

x x x x xy

− = − + = − +



3. (((( )))) (((( )))) 2 2a b a b a b+ − = −+ − = −+ − = −+ − = −

Exemplos:

• ( )( ) ( )23 3 3 2 63 1 3 1 3 1 9 1a a a a+ − = − = −

• ( )( ) ( ) ( )2 22 2 2 4 22 2 2 4x b x b x b x b− + = − = −

4. (((( ))))3 3 2 2 33 3a b a a b ab b+ = + + ++ = + + ++ = + + ++ = + + +

Exemplos:

• ( ) ( ) ( )+ = + + + =

= + + +

3 2 33 2

3 2 2 3

2 3. .2 3. . 2 2

6 12 8

x y x x y x y y

x x y xy y

• ( ) ( )

3 2 33 22 2 2 2

6 4 2

1 1 1 13. . 3. .

3 3 3 3

1 13 27

x x x x

x x x

+ = + + + =

= + + +

5. (((( ))))3 3 2 2 33 3a b a a b ab b− = − + −− = − + −− = − + −− = − + −

Exemplos:

• ( ) ( ) ( )3 2 33 2

2 3

3 3 3.3 . 3.3.

27 27 9

y y y y

y y y

− = − + − =

= − + −

• ( ) ( ) ( ) ( ) ( )− = − + − =

= + + −

3 3 2 2 3

3 2 2 3

2 3 2 3. 2 .3 3.2 . 3 3

8 36 54 27

a b a a b a b b

a a b ab b

6. (((( )))) (((( )))) (((( ))))2x a x b x a b x ab+ + = + + ++ + = + + ++ + = + + ++ + = + + +

Exemplos:

• ( )( ) 2 22 3 (2 3) (2).( 3) 6x x x x x x+ − = + − + − = − −

• ( )( ) 2 22 3 (2 3) (2).(3) 5 6x x x x x x+ + = + + + = + +

• ( )( )− + = + − + + − = + −2 22 3 ( 2 3) ( 2).(3) 6x x x x x x



• ( ) 2 21 1 1 74 ( 4) ( ).( 4) 2

2 2 2 2x x x x x x

+ − = + − + − = − −

7. (((( ))))2 2 2 2 2 2 2a b c a b c ab ac bc+ + = + + + + ++ + = + + + + ++ + = + + + + ++ + = + + + + +

Exemplos:

• ( ) ( ) ( ) ( )2 22 2

2 2 2

2 2 2 2 2 2 2

4 4 2 4

x y z x y z x y xz y z

x y z xy xz yz

− + = + − + + − + + − =

= + + − + −

• ( ) ( ) ( ) ( )2 22 2 2 2 2 2

4 2 2 2

4 4 2.4. 2.4. 2

16 8 8 2

y x y x y x y x

y x y x xy

− + = + − + + − + + − =

= + + − + −

Exercícios:

• Efetue:

1) ( )2

3 2x + 2) ( )23a − 3) ( )( )2y3x2y3x −+

4)3

5y

2x

− 5)

−

−

32

x51

x 6) 3

a1

a

+

• Efetue os produtos notáveis e simplifique as expressões:

1) ( ) ( )2 2

3 1 2 1t t− − +

2) ( ) ( )( )42c42c1c 2−+−−

3) ( ) ( )2 3

2 1 3 1x x+ + −

4) ( ) ( )2 2

a b a b+ − −

5) ( ) ( ) ( )2

1 1 1m m m− − + −

6) ( ) ( )2 222 2 1x x x− + − −

7) ( ) ( )3 3

1 2a a+ − +



Fatoração

Fatorar uma expressão algébrica significa transformá-la em um produto.

Algumas fórmulas que aparecerão já foram vistas nos produtos notáveis.

1. Caso: Fator Comum em Evidência: forma-se uma expressão que

tenha por coeficiente o m. d. c. de todos os coeficientes dos vários termos da

expressão e como parte literal as letras comuns a todos os termos, com menor

expoente.

Exemplos:

• ( )3 2 28 6 2 4 3x x x x− = −

• ( )3 5 2 3 4 2 2 2 3 24 6 18 2 2 3 9a x a x a x a x ax x a− + = − +

• 2 2 3 2 2 2

12 4 2 2

x y x y x y x − = −

• ( )2 2 2 2. 1m m mx x x x x x x+ − = − = −

2. Caso: Agrupamento: alguns termos da expressão algébrica

possuem fatores comuns. Nesse caso, agrupamos os termos com fatores

comuns, colocando-os em evidência.

Exemplos:

• ( ) ( ) ( )( )ax bx ay by x a b y a b a b x y+ + + = + + + = + +

• 6 4 3 2 2 (3 2 ) (3 2 ) (3 2 )(2 )ax ay bx by a x y b x y x y a b+ − − = + − + = + −

• 2 6 3 ( 2) 3(2 ) ( 3)( 2)mn n m n m m n m+ − − = + − + = − +

3. Caso: Trinômio Quadrado Perfeito: ( )22 2 2a ab b a b+ + = + e

( )22 2 - 2 -a ab b a b+ =

Exemplos:

• 2 26 9 ( 3)x x x+ + = +

• ( ) ( )22 22 16 32 2 8 16 2 4x x x x x− + = − + = −



4. Caso: Soma – Produto: ( ) ( )( )bxaxabxbax2 ++=+++

Exemplos:

• ( ) ( )2 6 8 2 4x x x x+ + = + +

• ( )( )2 2 1 2x x x x− − = + −

5. Caso: Diferença de Dois Quadrados: ( )( )bababa 22 −+=−

Exemplos:

• ( ) ( )2 1 1 1x x x− = + −

• ( ) ( )( )2 2a b x a b x a b x+ − = + + + −

• ( ) ( )( ) ( )( )( )24 2 2 2 21 1 1 1 1 1 1a a a a a a a− = − = + − = + + −

6. Caso: Diferença de Dois Cubos: ( )( )2233 bababa ba ++−=−

Exemplos:

• ( ) ( )( )3 21 1 1m m m m− = − + +

• ( ) ( ) ( ) ( )( )3 3 3 3 216 2 2 8 2 2 2 2 4 2x x x x x x− = − = − = − + +

7. Caso: Soma de Dois Cubos: ( )( )2233 bababa ba +−+=+

Exemplos:

• ( ) ( ) ( )3 21 1 1y y y y+ = + − +

• ( ) ( ) ( )( )3 3 3 28 2 2 4 2x x x x x+ == + = + − +

Exercícios:

Fatorar as expressões até torná-las irredutíveis:

1) 93x2−

2) 26 aa −

3) 18a3−

4) 25y2xyx 22 −+−

5) 24x4x4x 23 −−



6) mmmm 234 +−−

7) xx 1210x2 23+−

8) xxx 76 23−−

9) xxx 244824 23++

10) ( )327 x−

11) 22b4a25 −

12) 122 +− xx

13) 1a 64 3−

14) 432 16x8x2x4x +++

15) ( ) ( )2

1 2 1 1a a+ + + +

16) ( )( )2 4 4 3 2 1x x x x− + + − +

17) 4 4x y−

18) + − − 23 3 9 9xy x y y

19) 2 2 24 4x z xy y− + +

20) 2144 h−

M. D. C. e M. M. C. De Polinômios

Vamos recordar o procedimento para o cálculo do máximo divisor

comum (m.d.c.) e o mínimo múltiplo comum ( m.m.c.) de números naturais.

Exemplo: Calcular o m.d.c. e o m.m.c. dos números 120 e 252.

3 2 2

120 2 252 2

60 2 126 2

30 2 63 3

15 3 21 3

5 5 7 7

1 1

120 2 .3.5 252 2 .3 .7= =



O m.d.c. é definido como o produto dos fatores comuns, cada um

tomado com seu menor expoente. 2. . .(120,252) 2 .3 12m d c = =

O m.m.c. é definido como o produto dos fatores comuns e não comuns,

cada um tomado com seu maior expoente. 3 2. . .(120,252) 2 .3 .5.7 2520m m c = =

Para os polinômios é feito de forma semelhante:

Exemplos:

1. Calcular o m.d.c. e o m.m.c. dos monômios 2 518x y a e 3 212x y b .

2 5 2 2 5

3 2 2 3 2

18 3 .2. . .

12 2 .3. . .

x y a x y a

x y b x y b

=

=

Assim: 2 2 2 2. . . 2.3. . 6m d c x y x y= =

2 2 3 5 3 5. . . 2 .3 . . . . 36m m c x y a b x y ab= =

2. Calcular o m.d.c. e o m.m.c. dos monômios 3 3 2 4 28 ,10 e 20a x ax y a xy .

3 3 3 3 3

2 2

4 2 2 4 2

8 2 . .

10 2.5. . .

20 2 .5. . .

a x a x

ax y a x y

a xy a x y

=

=

=

Assim: 3 4 3 2 4 3 2

. . . 2. . 2

. . . 2 .5. . . 40

m d c a x ax

m m c a x y a x y

= =

= =

3. Calcular o m.d.c. e o m.m.c. dos polinômios ( ) ( )2 22 2 a b e a b− − .

Inicialmente, fatora-se os polinômios:



( )

( ) ( )2 2

2 2 2a b a b

a b a b a b

− = −

− = + − Então

( )( )

. . .

. . . 2

m d c a b

m m c a b a b

= −

= + −

4. Calcular o m.d.c. e o m.m.c. dos polinômios ( )2 9 ,x − ( )2 6 9x x+ + e

( )2 3x x+

( ) ( )

( )

( )

2

22

2

9 3 3

6 9 3

3 3

x x x

x x x

x x x x

− = + −

+ + = +

+ = +

Então ( ) ( )

2

. . . 3

. . . 3 3

m d c x

m m c x x x

= +

= + −

Exercícios:

Calcular o m.d.c. e o m.m.c. de:

1. 4 5 240 e 60x y x y a

2. 2 6 5 3 2 4 5 214 , 21 e 42a p c a p d a pc d

3. ( ) ( )5ab a e ab−

4. ( ) ( )2 2 2 2m n e m n− +

5. ( ) ( ) ( )6 5 2 21 , 1y y y y y e y+ + + + −

6. ( ) ( ) ( )4 2 216 , 4 3 2y y e y y− − − +

FRAÇÕES ALGÉBRICAS

O quociente entre dois polinômios indicado na forma fracionária na qual

uma ou mais variáveis aparecem no denominador chama-se fração algébrica.

Exemplos: 3 3

4 2 1, - ,

3 1a y

b x x y

+

− +.



Simplificação de Frações Algébricas

A simplificação de frações algébricas é feita dividindo o numerador e o

denominador dessa fração por um fator comum a ambos.

Simplificar as frações:

1. 5 8 2

3 10 2

18 920 10

a x y a y

a x x=

2. 2

6 23

x

x x=

3. 3 4 2

2 6 3 2

36 324 2

a b x a

a b x b x=

( )( )

( ) ( )( )( )

( ) ( )

2 22 2 22 2 2 2 3 2 33 4 912 27

4. 2 3 2 3 2 3

3 2 3 2 3

y a by a ba y b y

axy bxy xy a b x a b

y a b a b

−−−= = =

− − −

+ −=

( )2 3x a b−

( )3 2 3y a b

x

+=

( )2

2

38 155.

10 21

xx x

x x

−− +=

− +

( )

( )

5

3

x

x

−

− ( )

( )

( )

2 2

5

77

8 108 15 10 21

15 21

x

xx

S Sx x x x

P P

−=

−−

= − = − − + ⇒ − + ⇒

= =

Adição e Subtração de Frações Algébricas

• Reduzir as frações algébricas ao menor denominador comum

• Adicionar ou subtrair os novos numeradores, mantendo o denominador

comum

• Simplificar a fração algébrica obtida, quando possível.



Exemplos:

2 2 2 2 22 7 3 8 84 9 17 84

1. 3 4 12 12

a b a a b a a b

b a b ab ab

+ + ++ + = =

( ) ( ) ( ) ( )3 2

2 3 4 2 4

3 3 2

2 4

3 2 4 .2 5 322.

10 5 4 20

2 2 8 15 5

20

x y x y b x y a b x a x yx

a b b ab a b

b x b y a bx ax ay

a b

+ − + + − −+ − = =

+ + − +=

( ) ( )

( ) ( )2 2 2 2

2 2 2 2

2 4 32 4 33.

2 2 4 4 3 6

a b a b aa

a b a b a b a b

a b a b a a b

a b a b

− − + +− + = =

+ − − −

− − − + −= =

− −

( )( )

( ) ( ) ( )

( )

( )

( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

− −+ = + =

+ −− − + −

− + − + − + + − −= = =

+ − + −

− −=

+ −

22 2

2

2 2

2

2

2 1 2 13 34.

2 24 4 4 2

3 2 2 1 2 3 6 2 4 2

2 2 2 2

2 6 8

2 2

x x

x xx x x x

x x x x x x x

x x x x

x x

x x

Multiplicação e Divisão de Frações Algébricas

• Para multiplicar frações algébricas, multiplicam-se os numeradores e

os denominadores entre si e, sempre que possível simplifica-se o

resultado.

• Para dividir frações algébricas, multiplica-se a primeira (dividendo) pelo

inverso da segunda (divisor).

Exemplos:



2 2

2 3 2

12 2 24 61. .

7y 4 28 7x xy x y x

y y y= =

( )

( ) ( )( )

( ) ( )2 2 2 2 515152. . .

4 3 12

x y x yx y x x yx

x y x x x y

+ −− −= =

− − ( )4 x y−

( )5

4

x y+=

( )

( )

( )2 2 2 2

22 62 2 63. .

2 9 9 2 .9

b a ba b aba b ab

a a b a a b

+++= =

− − ( )3 a b+ ( ) ( )2

3b

a ba b=

−−

2

2 3 3

5 4 5 6 30 54. .

3 6 3 4 12 2x

x x x x x÷ = = =

( ) ( ) ( )

( )

( ) ( )2 2 2 23

5. .6 3 6

a x a xa x a xa x x

ax x ax a x

+ −− −−÷ = =

−

3 x

6a x ( )a x−

( )2

a x

a

+=

2

2

22 26. 1

2a ab b

b a

+ ÷ + =

( )2

a a b+ ( ) ( )2

a a ba b

ab

++÷ = 2 .

a

b a b+

2

2

a

b=

( )

( )2

22

63 18 2 127.

x 9 3

xx x x

x

−− − −÷ =

− −

( )3x +

( )3x + ( )3x −

( )2

3.

x −

( )2 6x −

( )3

2

x −=

Potenciação de Frações Algébricas

• Para elevar uma fração algébrica a uma potência, deve-se elevar o

numerador e o denominador da fração à potência dada.

Exemplos:

− =

2 2

2 4

3 91.

5 25x x

y y



( )

3 3

3

2 82.

x x

a b a b

=

− −

Exercícios:

1) Resolver as operações, simplificando as expressões:

a.

11

11

1

x

x

−−

−

b. 2

3 91 1

x x

x x

÷

+ + c. 1 1

a b a b

a b a b

− − − ÷ +

+ +

d. 2

3m

m n

−

− e.

2 23 1. .

5 3x x y

x y

−

+ f.

2

2

a ab a b

b a

− − ÷

g. 2

2

5xy

x y

−

+ h. 2 2

3 4 3a a

a b a b a b− −

− + − i. 2

2 46 5 1x

x x x−

+ + +

2) Simplifique a expressão 2

2 3 2

2 1 4 2.

3 6 2x m m m

m x mx x

− − + − ÷

3) Demonstre a identidade 1 1 1 1a b

b a a b

+ −+ = +

4) Qual o valor numérico da expressão 1

11

11

x

−

+

quando x = 3,421?

Funções

Definição:



Dados dois conjuntos A e B, define-se uma função f de A em B como a

correspondência que a cada elemento x de A associa um único elemento y

de B. O conjunto A é chamado domínio de f (D(f)). O conjunto de todos

valores assumidos por f é chamado imagem de f (Im(f)).

Escreve-se f(x)y x BA:f =→→

Como x é livre para variar no domínio da função é chamado variável

independente. Como y depende do valor de x é chamado variável dependente.

Exemplo:

Seja a função 2( ) 2 1y f x x= = − . Calcular a imagem de ( )f x para

0, 1 4x x e x= = − = .

20 (0) 2.0 1 1x f= → = − = −

( )2

1 ( 1) 2. 1 1 1x f= − → − = − − =

24 (4) 2.4 1 31x f= → = − =

Gráfico de Funções:

O gráfico de uma função f é o conjunto dos pares ordenados (x, f(x)).

Através do gráfico de uma função pode-se determinar o intervalo I onde f é

AB



crescente e onde f é decrescente. Podem-se também encontrar os valores

máximo e mínimo da função, quando existirem, no intervalo estudado.

Exemplo:

Seja a função definida pela equação 2y x= . O domínio e a imagem

dessa função é o conjunto R, pois: 2x x: f → .

Desenha-se o gráfico da função por meio de um sistema cartesiano de

referência, onde o eixo x representará o domínio e o eixo y, a imagem.

x y

-1 -2

2 4

Exercícios:

1) Qual é o elemento do domínio da função 3 1y x= − , cuja imagem é 11?

2) Seja a função definida por : 2( ) 5 6y f x x x= = − + . Calcular (4)f , ( 1)f − , (6)f e (0)f .

3) Qual o domínio das funções:

a) 5 10y x= − b) 3

2 7x

yx

=+

c) 4

2 1y

x=

+ d) 3 3y x= −

Função Linear

Uma função é denominada linear se:

2y x=

1−

2−

2

4

x

y



0)a e R b , a ( baxyx ≠∈∀+=→

O gráfico da função linear é uma reta. Os coeficientes a e b da equação

da reta são chamados, respectivamente, coeficiente angular (a tgα= ) e

coeficiente linear.

Dados dois pontos da reta )y,B(x e )y,A(x 2211 , define-se o coeficiente

angular como:

12

12

xxyy

a−

−=

Raiz ou Zero da Função

É o valor de x que tem zero (0) por imagem.

y ax b= + se 0 0b

y ax b ax b xa

= → + = → = − → = −

Dadas duas retas de equações: y = 11 bax + e y = 22 bax + :

• Se 21 a a ≠ → retas concorrentes

• Se 2121 b b e aa ≠= → retas paralelas

• Se 2121 b b e aa == → retas coincidentes

2y

1y

2x1x

A

B

x

y

x

y

b

α



• Se 1 a.a 21 −= → retas perpendiculares

Dados: o coeficiente angular a e um ponto ( )000 ,yxP , a equação da reta

pode ser escrita como:

( )00 xxayy −=−

Exemplos:

1) Qual o coeficiente angular a e o coeficiente linear b das retas:

a) 2y x= − + 1a = − e 2b =

b) 2 4 7y x= + 2a = e 72

b =

c) 3 2 4y x+ = 23

a = − e 43

b =

d) 3x

y = 13

a = e 0b =

2) Verificar a posição relativa das duas retas r e s :

a) 5 1

5 3

r y x

s y x

→ = −

→ = + / /r s

r s

a ar s

b b

=∴

≠

b) 2 4 3

32

2

r y x

s y x

→ = +

→ = + coincidente com r s

r s

a ar s

b b

=∴

=

c) 5 4

5 2

r y x

s y x

→ = −

→ − − = . 1 perpendicular a r sa a r s= − ∴

d) 3 4

2 1

r y x

s y x

→ =

→ = − e concorrentes r s

r s

a ar s

b b

≠∴

≠



Exercícios:

1) Determinar as abcissas dos pontos da reta 2 6y x= − localizados acima do

eixo x .

2) Determinar os pontos de interseção das retas : 2 8

4 63

r y x

xs y

→ = − + −

→ =

`

3) Determinar o coeficiente angular das retas que contém os pontos A(-1,3) e

B(2,7).

4) Determinar a equação da reta com coeficiente angular 12

a = e que passa

pelo ponto P(2,3).

5) Qual a equação da reta que passa pelo ponto P(-1,3) e é paralela à reta

2 4 8y x+ = ?

6) Qual a equação da reta que passa pelo ponto P(0,4) e é perpendicular à reta

3 4y x= − ?

7) Qual a raiz da equação 3 9y x= − ?

Função Quadrática

É uma função definida por:

c bxaxyx 2 ++=→ , para 0a ; R y x, ≠∈∀ .

Exemplos:

1) 23 5 4 3, -5, 4y x x a b c= − + = = =



2) 22 2, 0, 0y x a b c= = = =

Raízes ou Zeros:

4acb ∆com 2a

b x

2a∆b

x 221 −=

+−=

−−=

∆

Se:

0 duas raízes reais diferentes.

= 0 duas raízes reais iguais.

0 não existem raízes reais .

∆ ⟩ →

∆ → ∆ ⟨ →

Exemplos:

1) 2 5 6y x x= − +

( )22

112

2

1

5 4 5 4.1.6 1

6

25 1

32 2

a

b b ac

c

xbx

xa

=

= − ∆ = − = − − ==

=− ± ∆ ± = = →

=

2) 2 2 1y x x= − +

( )22

12 1 2

1

2 4 2 4.1.1 0

1

5 0 1

2 2

a

b b ac

c

bx x x

a

=

= − ∆ = − = − − ==

− ± ∆ ± = = → = =

3) 22 1y x x= − + −



( ) ( ) ( )22

2

1 4 1 4. 2 . 1 7

1

a

b b ac

c

= −

= ∆ = − = − − − = −= −

como 0∆ ⟨ , não existem raízes reais.`

Vértice:

É o ponto ( ),v vV x y , onde b ∆

e y2a 4av vx− −

= = .

Exemplo:

2 5 6y x x= − +

( )5 55 12 2.1 2 V ,2 41 1

4 4.1 4

v

v

bx

a

ya

− −−= = =

∴ − −∆ − − = = =

Forma Fatorada: ( ) ( )21 2 y ax bx c a x x x x= + + = − − .

Exercícios:

1) Estudar o sinal das funções abaixo, indicando o conjunto imagem:

a) 2 7 10y x x= − + b) 2 2 2y x x= − + c) 25 9 2y x x= − −

d) 23 9 9y x x= − + − e) 2 4 4y x x= − +

2) Seja 22 8y x mx= + + .Determine o valor de m para que a função tenha duas

raízes reais iguais.

3) Seja 2y ax bx c= + + , em que, , ,a b c são números reais. Sabendo-se que

(0) 9f = , (2) 7f = e (1) 10f = , calcule (3)f .



Função Exponencial

É a função dada por:

xa(x) fyx ==→ com 0a ⟩

Base importante: a e= (número de Euler)

xx y f (x) e→ = =

Exemplo:

Calcular o valor de x na expressão 2 12 32x +

=

É preciso colocar os dois lados da expressão na mesma base. Assim: 2 1 5 2 2 2

2 2 1 5 42

x xx x

x

+= −

= → + = → = → =

Exercícios:

Calcular o valor de x nas expressões:

a) 74 256x−= b)

2 3 73 27x x+ −= c) 5 1 332 64x x−

= d) 2 13

81x

=

Função Logarítmica

É a função definida por:

y

a a xcomx logyx ==→

Propriedades:



dlog c log(c.d)log aaa +=

dlog c log)dc

(log aaa −=

( ) clog nclog an

=a

1aloga =

01loga =

Duas bases importantes:

1) a =10 xlog x log10 =

2) a ≅ e = 2.71828.. xln x loge =

Exemplos

1) Sendo log2 0,3= e log3 0,48= , calcular, calcular log6 .

( )log6 log 2.3 log2 log3 0,3 0,48 0,78= = + = + =

2) Determinar o valor da base em 1

log 29x

= .

2

2 2 2

2

1 1 1 1 1log 2

9 9 3 3 3xx x x x

= ⇔ = → = → = → =

Exercícios:

1) Sendo log2 0,3= e log3 0,48= , calcular:

a) log1,5 b) log8 c) log36



2) Determinar o domínio da função ( )2

2log 3 27y x= − .

3) Determinar o valor das bases em:

a) 16

log 481x

= b) 8

log 327x

= −

4) Aplicando as propriedades, desenvolva as expressões:

a) ( )2 2log x y− b) ( )log a b cx y z+ +

5) Sendo log2 0,3= , log3 0,48= e log5 0,7= , calcular:

a) log81 b) log25 c) log72 d) log 5 e) 3log 18

6) Resolva as inequações:

a) ( )12 12log 4 log 1 1x+ + = b) ( ) ( )2 2

log 1 log 1 3x x− + + =

c) ( ) ( )log log 2 log 3 3x x xx x x+ − + + =

Funções Trigonométricas

O número principal na trigonometria é o número π , que surge quando se

quer calcular o comprimento C de uma circunferência de raio r: C=2π r. Assim

o comprimento de uma circunferência de raio 1(um) é 2π .

Toma-se a circunferência de raio unitário e um ponto A da mesma,

conforme figura abaixo. Dado um número real x, seja P(x) o ponto da

circunferência correspondente a x.

P

senx�cos xO



Função Seno

y senx= , sen x = projeção de OA sobre o eixo y.

x 0 2π

π 3

2π

2π

y senx= 0 1 0 -1 0

Função Cosseno

cosy x= , cos x = projeção de OA sobre o eixo x.

x 0 2π

π 3

2π

2π

cosy x= 1 0 -1 0 1

Relação Fundamental 1 cos sen 22=+ αα

Exemplo

Seja x um ângulo do 2. quadrante e 3

2senx = . Calcule cos x .

( )

2 2 2 2

2

2 2 2

cos 1 cos 1

3 3 1cos 1 cos 1 cos

2 4 4

1cos

2

sen x x x sen x

x x x

x x segundo quadrante

+ = → = −

= − → = − → =

= −



As funções: tangente, cotangente, secante e cossecante podem ser

definidas como:

Nome da Função

Expressão

Tangente

xcos xsen

x tg = ,

cos 0x ≠

3

2 2x e x

π π≠ ≠

Cotangente

xtg1

xsen xcos

x cotg == ,

0senx ≠

0 x e x π≠ ≠

Secante

xcos1

sec x =

cos 0x ≠

3

2 2x e x

π π≠ ≠

Cossecante

xsen1

cossec x =

0senx ≠

0 x e x π≠ ≠

Identidades Fundamentais

x secxtg1 22 =+

xcossecxcotg 1 22 =+



Exemplos:

1) Se 1

cos2

x = ( x do 1. quadrante) , qual o valor da expressão

cosseccotg .sec

x senxA

x x

−= ?

( )

2 2 2 2

2

2 2 2

cos 1 cos 1

1 1 3cos 1 cos 1 cos

2 4 4

3cos

21 1 2

cossec cossec cossec3 3

21

12cotg cotg cotcos 3 3

2

2 3 4 3 1123 2 3 2 3

1 2 2 2 3.23 3 3

sen x x x sen x

x x x

x x primeiro quadrante

x x xsenx

senxx x gx

x

A

+ = → = −

= − → = − → =

=

= → = → =

= → = → =

−−

= = = =3

.1

2 4=

2) Provar a identidade 3

.cos 2 .coscossen x

tgx senx x senx xx

+ − = .

Achando o mmc do termo da esquerda: 2 3.cos .cos

costgx x senx x sen x

x

+ −=

cossenx

x.cos x 2 3

2 3.cos

.coscos cos

senx x sen xsenx senx x sen x

x x

+ −+ −

=

Colocando senx em evidência:

( ) ( ) ( )

( )

2 2 2 2 2 2

2

1 cos 1 cos cos cos

cos cos cos2cos

2 .coscos

senx x sen x senx sen x x senx x x

x x x

senx xsenx x

x

+ − − + += = =

= =



Exercícios:

1) Seja x um ângulo do 2. quadrante e 12

senx = . Calcule os valores de todas

as outras funções trigonométricas.

2) Qual o valor máximo da função 10 3 15y sen x= + ?

3) Dado 3

2senx = , calcule o valor de

2seccossec

xC

tgx x=

−.

4) Simplifique a expressão: ( )( )( )sec cos cossec cotgx x x senx tgx x− − +

5) Demonstre que:

a) ( )21 cos

cotg cossec1 cos

aa a

a

+= +

−.

b) ( )( ) ( ) ( )cos cotg 1 1 cossenx tgx x x senx x+ + = + +

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