fundamentos de matemática elementar - vol1

164
GELSON IEZZI CARLOS MURAKAMI FUNDAMENTOS DE - 1 MATEMATICA ELEMENTAR CONJUNTOS FUNÇÕES 75 Exercícios resolvidos 326 Exercícios propostos - com resposta 272 Testes de Vestibulares - com resposta 3!\ edição ATUAL EDITORA

Upload: alexandre-areias

Post on 28-Mar-2016

279 views

Category:

Documents


11 download

DESCRIPTION

Fundamentos de Matemática - vol1 Conjuntos e funções

TRANSCRIPT

Page 1: Fundamentos de Matemática elementar - Vol1

GELSON IEZZICARLOS MURAKAMI

FUNDAMENTOS DE - 1MATEMATICAELEMENTARCONJUNTOS FUNÇÕES

75 Exercícios resolvidos326 Exercícios propostos - com resposta272 Testes de Vestibulares - com resposta

3!\ edição

ATUALEDITORA

Page 2: Fundamentos de Matemática elementar - Vol1

Capa

Roberto Franklin RondinoSylvio Ulhoa Cintra FilhoRua Inhambu, 1235 - S. Paulo

Composição e desenhosAM Produções Gráficas Ltda.Rua Castro Alves, 135 - S. Paulo

ArtesAtual Editora Ltda.

FotolitosH.O.P. Fotolitos Ltda.Rua Delmira Ferreira, 325 - S. Paulo

Impressão e acabamentoGráfica Ed itora Hamburg Ltda.Rua Apeninos, 294278-1620 - 278-2648 - 279-9776São Paulo - SP - Brasil

CIP-&rasil. CatalogAção-na-Fontecâmara Brasileira do Livro, SP

FundBlllentDB dI! matemátlcllI elementar (por] Gel-F977 aon Iezzl (e outros) 5BO Paulo, 'Atul!l1v.l-2, Ed., 1977-

4-6CO-Butores: Carlos HurakBllll, Osvaldo Dolce

e Semuel H!!Izzsn; 8 Butarh dos volumes indi­viduais vada entre 08 4 autores.

Conteúdo; v.l. Con1untos, funçeea.-v.2.Logsrltmos.-v.4. SeQÜencias, mB~rize8 determlMantes, a1etl!lllB8.-v.5. CClllbln!tor1ll!l, prob!bl­lidsde.-v.6. Complexos, polinomioB, equsçoes.

1. Metemétlca (zg grau) 1. Dolce, Osvaldo,1938- lI. II!zzl, Gdson, 1939- IlI. Hl!!lzzan,Sl!IIIlt1el, 1946- 1\1. Hurskeml, C8rl08, 1943-

77-1333 1::00-510

tndice para catálogo sistemático:1. Ket_tlce 510

Todos os direitos reservados aATUAL EDITORA l TOARua José Antônio Coelho, 785Telefones: 71-7795 e 549-1720CEP 04011 - São Paulo - SP - Brasil

'(

APRESENTACÃO•

"Fundamentos de Matemática Elementar" é uma coleção em dez volumeselaborada com a pretensão de dar ao estudante uma visão global da Matemática,ao nível da escola de 'P. grau. Desenvolvendo os programas em geral adotados parao curso colegial, os "Fundamentos" visam aos alunos em preparativos para examesvestibulares, aos universitários que necessitam rever a Matemática Elementar etambém, como é óbvio, àqueles alunos de colegial mais interessados na "rainhadas ciências" .

No desenvolvimento dos inúmeros capítulos dos livros de "Fundamentos"procuramos seguir uma ordem lógica na apresentação de conceitos e propriedades.Salvo algumas exceções bem conhecidas da Matemática Elementar, as proposiçõese teoremas estão sempre acompanhados das respectivas demonstrações.

Na estruturação das séries de exercícios, buscamos sempre uma ordenaçãocrescente de dificuldade. Partimos de problemas simples e tentamos chegar a questõesque envolvem outros assuntos já vistos, obrigando o estudante a uma revisão. Aseqüência do texto sugere uma dosagem para teoria e exercícios. Os exercíciosresolvidos, apresentados em meio aos propostos, pretendem sempre dar explicaçãosobre alguma novidade que aparece. No final do volume o aluno pode encontrar aresposta para cada problema proposto e, assim, ter seu reforço positivo ou partir àprocura do erro cometido.

A última parte de cada volume é constitUl'da por testes de vestibulares até1.977 selecionados e resolvidos o que pode ser usado para uma revisão da matériaestudada.

Queremos consignar aqu i nossos agradecimentos sinceros ao Prof. Dr. FernandoFurquim de Almeida cujo apoio foi imprescindível para que pudéssemos homenagearnesta coleção alguns dos grandes matemáticos, relatando fatos notáveis de suasvidas e sua obras.

Finalmente, como há sempre uma enorme distância entre o anseio dos autorese o valor de sua obra, gostaríamos de receber dos colegas professores um{ apre­ciação sobre este trabalho, notadamente os comentários críticos, os quai's--agra­decemos.

Os autores

Page 3: Fundamentos de Matemática elementar - Vol1

,INDICE

CAPiTULO I - NOCOES DE lÚGICAX Prop~çã()' . . . . . . . . . . . . . .. l-A1l.''Nega.çao ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 2-A

'1.1.1'. Proposição composta - conectivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 3-AIV. -Condicionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 5-AV; Tautologias. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. B-A

VI. Proposições logicamente falsas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 9-AVII. Relação de implicação 10-A

VIII. Relação de equivalência ll-AIX. ~tenças abertas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. l2-AX. CÔi!íÔ negar proposições . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. l4-A

CAPiTU la 11 - CONJUNTOSI.~njunto, elemento, pertinência .

11. ~escrição de um conjunto .1I1.(Ç,?)'ljunto unitário, conjunto vazio .IV. -obnjunto universo .V. ~~juntos iguais .

VI. Subconjuntos .VII.' ~eunião de conjuntos .

VIII. 1.lltersecção de conjuntos .IX'.tr0priedades .X;uiferença de conjuntos .

X( ~mplementarde B em A .

CAPI"rUlO 111 - CONJUNTOS NUMJ:RICOSI. CoMunto dos números naturais )) .

11. cqJVunto dos números inteiros . Z. .111. C&r'junto dos números raciona is .. ;..\ .IV. (\onjunto dos números reais ti".:. .V. Ii4térvalos .

VI. Coni\Jnto dos números complexos. <- .VII. Re~o .

VIII. Princípiq'da indução finita .

19-A20-A22-A23-A25-A26-A29-A30-A3l-A33-A33-A

39-A40-A43-A46-A49-A52-A52-A53-A

G·I

Page 4: Fundamentos de Matemática elementar - Vol1

CAPlIU LO IV - RELAÇOES

I. Par ord enado 59-A11. Sistema cartesiano ortogonal 60-A

111. Produto cartesiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 62-AIV. Relação binária. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 65-AV. Dom(nio e imagem 68-A

VI. Relação inversa 70-AVII. Propriedades .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 71-A

CAPlIU LO V - FU NÇOESI. Conceito de função 73-A

11. Definição. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 74-A111. Notação das funções 77-AIV. Dom(nio e imagem 80-AV. Funções iguais 84-A

APÊNDICE SOBRE INEQUAÇÕES 86-A

CAPlIULO VI - FUNÇOES DO 19 GRAUI. Função constante. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 93-A

11. Função identidade 94-A111. Função linear 94-AIV. Função afim . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 96-AV. Gráfico 96-A

VI. Imagem 100-AVII. Coeficientes da função afim 101-A

VIII. Zero da função afim 102-AIX. Funções crescentes e decrescentes 103-AX. Teorema 105-A

XI. Sinal de uma função 106-AXII. Sinal da função afim 108-A

XIII. Inequações simultâneas 112-AXIV. Inequações-produto 113-AXV. Inequações-quociente 120-A

CAPliULO VII - FUNÇAO QUADRATICA

I. Defin ição 123-A11. Parábola 123-A

111. Concavidade 125-AIV. Forma canônica 125-AV. Zeros 126-A

VI. Máximos e m(nimos 130-AV11. Vértice da parábola 131-A

VIII. Imagem 133-AIX. Eixo de simetria 136-AX. Gráfico " 136-A

XI. Sinal 140-AXII. Inequações do 2? grau 144-A

X111. Teorema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148-AXIV. Comparação de um número real com as

ra(zes da equação do 2? grau. . 150-AXV. Sinais das ra(zes da equação do 2<:' grau 155-A

CAPrrULO VIII - FUNÇAO MODULAR

I. Função definida por várias sentenças abertas 159-A11. Módulo 161-A

111. Função modular 161-AIV. Equações modulares 166-AV. Inequações modulares 168-A

CAPliULO IX - OUTRAS FUNÇOES ELEMENTARESI. Função f(x) = x3

•...............••.••............. 171-A11. Função rec(proca 172-A

111. Função máximo inteiro 177-A

CAPliuLO X - FUNÇAO COMPOSTA - FUNÇAO INVERSAI. Função composta 181-A

11. Função sobrejetora 187-A111. Função injetora 188-AIV. Função bijetora 189-AV. Função inversa 195-A

APÊNDICE IEquações irracionais 208-AAPÊNDICE IIInequações irracionais 217-A

- ..RESPOSTAS DOS EXERCICIOS 225-A

TESTES 269-A

RESPOSTAS DE TESTES 315-A

Page 5: Fundamentos de Matemática elementar - Vol1

Johann F. C. Gauss(1777 - 1855)

Page 6: Fundamentos de Matemática elementar - Vol1

a) 9 *- 5b) 7> 3c) 2 E ;Z

d) 3111e) ;Z C O

De plebeu a príncipe

Johann Friederich Carl Gauss nasceu em Brunswick, Alemanha. De fam(liahumilde mas com o incentivo de sua mãe obteve brilhantismo em sua carreira.

Estudando em sua cidade natal, certo dia quando o professor mandou queos alunos somassem os números de 1 a 100, imediatamente Gauss achou a resposta- 5050 - aparentemente sem cálculos. Supõe-se que já aI' houvesse descoberto afórmula de uma soma de uma progressão aritmética.

Gauss foi para Gottingen sempre contando com o aux(lio financeiro do duquede Brunswick, decidindo-se pela Matemática em 30 de março de 1796, quando setornou o primeiro a construir um polígono regular de dezessete lados somente como aux(lio de régua e compasso.

Gauss doutorou-se em 1798, na Universidade de HelmsÜidt e sua tese foi ademonstração do "Teorema fundamental da Álgebra", provando que toda equaçãopolinomial f(x)=O tem pelo menos uma ra(z real ou imaginária e para isso baseou­se em considerações geométricas.

Deve-se a Gauss a representação gráfica dos números complexos pensandonas partes real e imaginária como coordenadas de um plano.

Seu livro "Disquisitiones Arithmeticae" (Pesquisas Aritméticas) é o principalresponsável pelo desenvolvimento e notações da Teoria dos Números, nele apresen­tando a notação b=c (mod al, para relação de congruência, que é uma relaçãode equivalência.

Ainda nesta obra Gauss apresenta a lei da reciprocidade quadrática classifi­cada por ele como a "jóia da aritmética" e demonstrando o teorema segundo oqual todo inteiro positivo pode ser representado de uma só maneira como produtode primos.

Descreveu uma vez a Matemática como sendo a rainha das Ciências e a Arit­mética como a rainha da Matemática.

No começo do séc. XI X abandonou a Aritmética para dedicar-se à Astrono­mia, criando um método para acompanhar a órbita dos satélites, usado até hoje,e isto lhe proporcionou em 1807, o cargo de diretor do observatório de Gottingen,onde passou 40 anos.

Suas pesquisas matemáticas continuaram em teoria das funções e Geometriaaplicada ã teoria de Newton.

Em Geodésia inventou o helitropo, aparelho que transmite sinais por meiode luz refletida e em Eletromagnetismo inventou o magnetômetro bifiliar e otelégrafo elétrico.

Sua única ambição era o progresso da Matemática pelo que lutou até omomento em que se conscientizou do fim por sofrer de dilatação cardíaca.

Gauss morreu aos 78 anos e é considerado o "príncipe da Matemática".

CAPiTULOl

NOÇÕES DE LÓGICA

I. PROPOSiÇÃO

1. Definição

Chama-se proposição ou sentença toda oração declarativa que pode serclassificada de verdadeira ou de falsa.

Observemos que toda proposição apresenta três características obrigatórias:

1~) sendo oração, tem sujeito e predicado;2~) é declarativa (não é exclamativa nem interrogativa)3~) tem um, e somente um, dos dois valores lógicos: ou é verdadeira

(V) ou é falsa (F).

2. Exemplos

São proposições:

(Nove é diferente de cinco)(Sete é maior que três)(Dois é um número inteiro)(Três é divisor de 11)(O conjunto dos números inteiros está contido no conjunto dosracionais)

Dessas proposições, todas são verdadeiras exceto d.

Não são consideradas proposições as frases:

f) 3· 5 + 1 (onde falta predicado)g) V2 E O? (que é oração interrogativa)h) 3x - 1 = 11 (que não pode ser classificada em verdadeira ou falsa)

l-A

Page 7: Fundamentos de Matemática elementar - Vol1

11. NEGAÇÃO

3. A partir de uma proposlçao p qualquer sempre podemos construiroutra, denominada negação de p e indicada com o símbolo ~p.

Exemplos

a) p: 9 "* 5 b) p: 7 > 3~p: 9 = 5 ~p: 7 ~ 3

c) p: 2EZ d) p: 3 1 11~p: 2gZ ~p: 3111

e) p: ;z.C(}

-p: Zrj.O

4. Para que ~p seja realmente uma proposição devemos ser capazes declassificá-Ia em verdadeira (V) ou falsa (F). Para isso vamos postular (decretar)o segu inte cri tér io de classificação:

A.2 Qual é a negação de cada uma das seguintes proposições? Que negações são verdadeiras?

ai 3 • 7 = 21 b) 3 • 111 - 71 "* 5

cl 3'2+1>4 di 5'7-2~5'6

el (2..)7<1~)3 fi V2 <12 2

91 - 1-41 ;;;. 7 hl 317

111. PROPOSiÇÃO COMPOSTA - CONECTIVOS

A partir de proposições dadas podemos construir novas proposições medianteo emprego de dois símbolos lógicos chamados conectivos: conectivo 1\ (lê-se:e) e o conectivo V (lê-se: ou).

5. Conectivo 1\

Colocando o conectivo 1\ entre duas proposlçoes p e q, obtemos umanova proposição, p 1\ q, denominada conjunção das sentenças p e q.

Assim, reexaminando os exemplos anteriores, temos que ~ p é verdadeirano exemplo d e ~p é falsa nos demais.

A proposição ~ p tem sempre o valor oposto de p,isto é, ~ p é verdadeira quando p é falsa e ~ p é falsaquando p é verdadeira.

Este critério está resumido na tabela ao lado,denominada tabela-verdade da proposição ~ p.

p ~p

V FF V

Exemplos

10) p: 2> O

q: 2"* 1p 1\ q: 2 > O e 2"* 1

2?) p: -2 < -1q: (_2)2 < (_1)2

p 1\ q: -2 < -1 e (_2)2 < (_1)2

3?) p: um quadrado de lado a tem diagonal medindo 2aq: um quadrado de lado a tem área a2

p 1\ q: um quadrado de lado a tem diagonal medindo 2a e áreaa2

EXERCICIOS

A.l Quais das sentenças abaixo são proposições? No caso das proposições quais sãoverdadeiras?

4?) p: 2 I 5 (2 é divisor de 5)q: 315 (3 é divisor de 5)p 1\ q: 215 e 315 (2 e 3 são divisores de 5).

2-A

ai 5' 4 o 20cI 2+7,305,4+3

el 1 + 3 "* 1 + 691 3 + 4 > O

bl 5 - 4 o 3

di 5(3 + 1I o 5 • 3 + 5 • 1fi (-2)S;;;' 1_21 3

h)11-4'2

6. Vamos postular um critério para estabelecer o valor lógico (Vou F)

de uma conjunção a partir dos valores lógicos (conhecidos) das proposiçõesp e q:

3-A

Page 8: Fundamentos de Matemática elementar - Vol1

A conjunçio P  q é verdadeira sap e q são ambasverdadeiras; se ao menos uma delas for falsa, então p  qé falsa.

8. Vamos postular um critério para decidir o valor lógico (Vou F) de umadisjunção a partir dos valores lógicos (conhecidos) das proposições p e q:

1~) p: 5> Oq: 5 > 1p Y q: 5 > O ou 5> 1

~) p: 3 = 3q: 3 < 3p V q: 3';;; 3

Colocando o conectivo Y entre duas proposições p e q, obtemos umanova proposição, p y q, denominada disjunção das sentenças p e q.

Exemplos

Reexaminando os exemplos anteriores, temos:

1~) p é V e q é V, então pÂq é V2~) p é V e q é F, então PÂq é F3~) p é F e q é V, então pÂq é F4~) pé F e q é F, então pÂq é F

7. Conectivo Y

A disjunção P Y q é verdadeira se ao menos urna das pro·posições p ou q e verdadeira; se p e q são ambas falosas, então p y q é falsa.

p q Pyq

V V VV F VF V VF F F

Revendo os exemplos anteriores, temos:

1~) p é V e q é V, então Pyq é V2~) p é V e q é F, então pyq é V3~) p é F e q é V, então pyq é V4~) p é F e q é F, então p yq é F

EXERCICIO

A.3 Classificar em verdadeira ou falsa cada uma das seguintes proposições compostas:

a) 3> 1 e 4> 2b) 3> 1 ou 3 = 1c) 2 I 4 ou 2 I (4 + 1)d) 3(5 + 2) = 3 • 5 + 3 • 2 e 3 I7

e).!. < ~ ou 51112 4

t) (_1)6 = -1 e 2s < (_2)7

g) ...,riS = 6 ou mdc (4, 7) = 2

Este critério está resumido natabela ao lado, denominada tabela·-verdade da proposição p Y q.

p q PÂq

V V VV F FF V FF F F

Este critério está resumido natabela ao lado, onde são e~aminadas

todas as possibilidades para p e q.Esta tabela é denominada tabela-ver­dade da proposição p  q.

:1,» p: 10 é número primoq: 10 é número compostop y q: 10 é número primo ou número composto

IV. CONDICIONAIS

4~) p: ~ < 26

q: 22 < (_3)sp V q: 34 < 26 ou 22 < (_3)s

Ainda a partir de proposições dadas podemos construir novas proposlçoesatravés do emprego de outros dois símbolos lógicos chamados condicionais:o condicional se ... então ... (símbolo: -+) e o condicional ... se e somente se ...(símbolo: +-+)

4-A5-A

Page 9: Fundamentos de Matemática elementar - Vol1

9. Condicional _ 11. Condicional *---+

Colocando o condicional -+ entre duas proposições p

uma nova proposlçao, p -+ q, que se lê: "se p então q",necessária para q", "q é condição suficiente para p".

Exemplos

e q, obtemos"p é condição

Colocando o condicional *---+ entre duas proposições p e q, obtemosuma nova proposição, p <--+ q, que se lê: "p se e somente se q", "p é condi­ção necessária e suficiente para q", "q é condição necessária e suficientepara p" ou "se p então q e reciprocamente".

2?l

1?)

2?)

3?l

p: 214q: 4112p -+ q: 2 I 4 -+ 4 I 12

p: 10 = 5 • 2

q: 3110p -+ q: 10 = 5·2 -+ 3110

p: 5 < 2q: 2 E Zp -+ q: 5 < 2 -+ 2 E Z.

Exemplos

l?l p: 2112q: 2.7112· 7p<--+q: 2112<--+2.7112·7

p: -ª- = 62 4

q: 3·4 * 6· 23 6

p <--+ q: 2" = 4"4?l p: 7';;; 3

q: 3 = 6·2p -+ q: 7';;; 3 -+ 3 = 6·2

10. Vamos postular um critério de classificação para a proposição p -+ qbaseado nos valores lógicos de p e q:

o condicional p -+ q é falso somente quando p é ver­dadeira e q é falsa; caso contrário, p -+ q é verdadeiro.

3?l p: 6 = 12: 3q: 3· 6 = 18p <--+ q: 6 = 12: 3 <--+ 3·6 = 18

4?l p: 4';;; 3q: 4·5';;; 3·5p <--+ q: 4';;; 3 <--+ 4 . 5 O;;; 3· 5

12. Vamos postular para o condicional p <--+ q o seguinte critério de clas­sificação:

Revendo os exemplos dados, temos:

1?) p é V e q é V, então p -+ q é V2?) pé V e q é F, então p-+q é F3?) pé F e q é V, então p -+ q é V4?) pé F e q é F, então p-+q é V

6-A 7-A

o condicional +---> é verdadeiro somente quando p eq são ambas verdadeiras ou ambas falsas; se isso não a­contecer o condicional +---> é falso.

Este critério está resumido natabela ao lado, denominada tabela-ver­dade da proposição p -+ q

p q p-+q

V V VV F FF V VF F V

Assim, a tabela-verdade da pro­posição p +---> q é a que está ao lado.

p q p <--+ q

V V VV F FF V FF F V

Page 10: Fundamentos de Matemática elementar - Vol1

Revendo os exemplos dados, temos:

1?) p é V e q é V, então p <-> q é V2?) pé V e q é F, então p <-> q é F3~) p é F e q é V, então p <-> q é F4?) p é F e q é F, então p <-> q é V

EXERCICIOS

A.4 Classificar em verdadeira ou falsa cada Uma das proposições abaixo

a) 2 - 1 ~ 1 -->- 5 + 7 = 3 • 4b) 22 = 4 <-> (_2)2 = 4

c) 5 + 7 • 1 = 10 -->- 3·3 = 9d) mdc (3, 6) = 1 <-> 4 é nÚmero primoe) 2 18 -->- mmc (2. 8) ~ 2f) 6';;; 2 <-> 6 - 2 ;;;. O

g) 1. < ~ -->- 3' 7 = 2 • 55 7

A.5 Admitifldo que p e q são verdadeiras e r é falsa, determine o valor (Vou F)de cada proposição abaixo.

a) p -->- rb) p <-> qc) r -->- pd) (p V rl <-> qel p -->- (q -->- rif)p-->-(qVrlg) -p <->-qh) ~p <-> r

V. TAUTOLOGIAS

13. Seja v uma proposição formada a partir de outras (p, q, r, ... ), medianteemprego de conectivos (Vou 1\) ou de modificador (_) ou de condicionais(-->- ou +-». Dizemos que v é uma tautologia ou proposição logicamenteverdadeira .quando v tem o valor lógico V (verdadeira) independentemente dosvalores lógicos de p, q, etc.-Assim a tabela-verdade de uma tautologia v apresenta só V na colunade v.

8-A

Exemplos

1'?) (p 1\ ~p) -->- (q V p) é ';Ima tautologia pois

p q ~p p 1\ ~p qV p (p 1\ -p) -+- (q V f)}

V V F F V V:V F F F V V'

F V V F V V

F F V F F V.

2?) ~ (p 1\ q) <-> (-p V -q) é uma tautologia pois

p q pl\q ~(pl\q). ~p -q ~pV~q ~(p I\q)+-+ (_pV _q).....

V V V F F F F VV F F V F V V VF V F V V F V VF F F V V V V V

VI. PROPOSiÇÕES LOGICAMENTE FALSAS

14. Seja f uma proposição formada a partir de outras (p, q, r, ...L medianteemprego de conectivos (Vou 1\) ou de modificador (-) ou de condicionais(-->- ou <-». Dizemos que f é uma proposição logicamente falsa quandof tem o valor lógico F (falsa) independentemente dos valores lógicos dep, q, etc.

Assim, a tabela-verdade de uma proposição logicamente falsa f apresentasó F na coluna de f.

Exemplos

1?) p 1\ ~p é proposição logicamente falsa pois:

p -p p I\-p

V F FF V F

9-A

Page 11: Fundamentos de Matemática elementar - Vol1

2<:') (pV~q)+-->(~p/\q)

p q ~p ~q p V~q ~p/\ q (p V ~q)+--> (~p /\ q)

V V F F V F FV F F V V F FF V V F F V FF F V V V F F

VIII. RELAÇÃO DE EQUIVALÊNCIA

18. Dadas as proposições p e q, dizemos que "p é equivalente a q" quando

p e q têm tabelas·verdades iguais, isto é, quando p e q têm sempre o

mesmo valor lógico.

Ouando p é equivalente a q, indicamos: p <=> q.

19. Observações

1a ) Notemos que p equivale a q quando o condicional p <-+ q

é verdadeiro.

2~) Todo teorema, cujo recíproco também é verdadeiro, é uma equivalência

hipótese <=> tese

VII. RELAÇÃO DE IMPLICAÇÃO

15. Dadas as proposições p e q, dizemos que

tabela de p e q não ocorre VF em nenhuma

temos simultaneamente p verdadeira e q falsa.

Ouando p implica q, indicamos p ""' q.

p implica q" quando na

linha, isto é, quando não 20. Exemplos

16. Observações

1~) Notemos que p implica q quando o condicional p -+ q é verdadeiro.

2~) Todo teorema é uma implicação da forma

hipótese ""' tese

855jm dewgpstrft[ 11 m tegrema significa mgsTra' Que 030 PEque 9 GaBO dahipótese ser verdadeira e a tese falsa.

17. Exemplos

p q p-+q ~q ~p ~q -+ ~p

V V V F F V

V F F V F F

F V V F V V

FI

F V V V V

2<:') 2 I 8 <=> mdc (2, 8) = 2 significa dizer que é verdadeiro o bi·

condicional "2 é divisor de 8 se, e somente se, o máximo divisor comum de

2 e 8 é 2".

A.6 Verificar, através das tabelas-verdades, a valid3de das equivalências abaixo:

EXERCICIO10 1 2 I 4 ""' 2 I 4 • 5

significa dizer que o condicional "se 2 é divisor de 4, então 2 é divisor de4 . 5" é verdadeiro.

2<:') p té pOSitiVO e primo ""' mdc (p, p2) = Pquer dizer que o condicional "se p é número primo e positivo, então o máximodivisor comum de p e p2 é p", é verdadeiro.

10-A

a) da conjunção

p/\q <=> q/\p(p /\ q) /\ r <=> p /\ (q /\ r)

p/\p<=>pp/\v <=>pp/\I<=>f

b) da disjunção

pVq <=>qV p(p V q) V r <=> p V (q V rlpVP<=>PP Vv <=>vP VI <=>p

ll-A

Page 12: Fundamentos de Matemática elementar - Vol1

c) da conjunção relativamente à disjunção d) da negação

p /\ (q V rl = (p/\q) V (p/\ rl ~(~p) = p

p V (q /\ r) = (p V ql /\ (p V rl ~(p /\ q) = ~pV ~q

p/\(pVq) = p ~(p Vq) = ~p/\ ~q

p V (p /\ q) = p

onde p, q, r são proposições quaisquer, v é uma tautologia e f uma proposiçãologicamente falsa.

Exemplos

1l?) (V xlix + 1 = 7) que se lê:

"qualquer que seja o número x, temos x + 1

2l?) (Vx)(x 3 = 2x z ) que se lê:"para todo número x, x 3 = 2xz". (Falsa)

7". (Falsa)

IX. SENTENÇAS ABERTAS, QUANTI FICADORES

30 ) (Va) ((a + 1)z = a2 + 2a + 1) que se lê:

"qualquer que seja o número a, temos (a + 1)z = aZ + 2a + 1". (Verdadeira)

40 ) (Vy)(yZ + 1 > O) que se lê:

"para todo número y, temos yZ + 1 positivo". (Verdadeira)

25. Algumas vezes utilizamos também outro quantificador: ::J I que se lê:

"existe um único, "existe um e um só", "existe só um".

o quantificador existencial é indicado pelo slmbolo 3 que se lê: "existe",

"existe pelo menos um", "existe um".

24. O quantificador existencial

2l?) (3 x)(x 3 = 2xz) que se lê:"existe um número x tal que x 3 = 2xz". (Verdadeira)

3l?) (3a)(az + 1 ~ O) que se lê:"existe um número a tal que aZ + 1 é não positivo". (Falsa).

4l?) (31m) (m(m + 1) *' mZ + m) que se lê:"existe pelo menos um número m tal que mIm + 1) i mZ

+ m". (Falsa)

(Verdadeira)

Exemplos

1l?) (3 xlIx + 1 = 7) que se lê:"existe um número x tal que x + 1 = 7".

Exemplos

22. Sentenças que contêm variáveis são chamadas funções proposicionais ou

sentenças abertas. Tais sentenças não são proposições pois seu valor lógico(Vou F) é discutível, dependem do valor dado às variáveis.

Há, entretanto, duas maneiras de transformar sentel)ças abertas em pro·

posições:

la) atribuir valor às variáveis

2a) utilizar quantificadores.

21. Há expressões como:

a) x + 1 = 7b) x> 2c) x3 = 2xz

que contêm variáveis e cujo valor lógico (verdadeira ou falsa) vai depender dovalor atribuldo à variável.

Nos exemplos citados temos:

a) x + 1 = 7 é verdadeira se trocarmos x por 6 e é falsa para qualquer outro

valor dado a x;b) x > 2 é verdadeira, por exemplo, parac) x3 = 2xz é verdadeira se trocarmos x por O (0 3 = 2 • OZ) ou 2 (23 = 2 • 2z )

e é falsa para qualquer outro valor dado a x.

o quantificador universal, usado para transformar sentenças abertas emproposições, é indicado pelo símbolo V que se lê: "qualquer que seja", "paratodo", "para cada"\

2l?) (3Ix)(x 3 = 2xz ) que se lê:"existe um só número x tal que x 3 = 2x z"

que se lê:x tal que x + 2 > 3".

23. o quantificador universal

1l?) (3Ix)(x + 1 = 7)

lIex iste um só número

3l?) L3Ix)(x + 2 > 3)"existe um só número

que se lê:x tal que x + 7". (Verdadeira)

(Falsa)

(Falsa)

12-A13-A

Page 13: Fundamentos de Matemática elementar - Vol1

EXERCíCIO Exemplos

Transforme as seguintes sentenças abertas em proposições verdadeiras usando quan­tificadores:

A.7

ai x2- 5x + 4 = O

c).::L + .::L '" .::L3 4 7

e) -(-x) = x

g) H= x

b) (a + 1)(a - 11 = a2 - 1

di y;;r + 9 '" m + 3

1)5a+4';;11

2h) a - a = a _ 1

a

1?) p: O triângulo ABC é isóscelesq: o triângulo ABC é equiláterop V q: o triângulo ABC é isósceles ou equilátero-(p V q): o triângulo ABC não é isósceles e não é equilátero

2?) p: a = Oq: b = OP V q: a = O ou b = O-(p V q): a", O e b '" O

X. COMO NEGAR PROPOSiÇÕES

Já vimos o que é a negação de uma proposição simples, no item II destecapítulo.

Vamos destacar aqui resultados obtidos no exercício A.6, os quais cons­tituem processos para negar proposições compostas e condicionais.

26. Negação de uma conjunção

Tendo em vista que ~ (p 1\ q) <= -p V -q, podemos estabelecer quea negação de p 1\ q é a proposição -p V -q.

Exemplos

1?) p: a '" Oq: b'" O

p 1\ q: a '" O e b '" O-(pl\q): a=O ou,b=O

2<:» p: 2 1 4q: 319p 1\ q: 214 e 319~(p 1\ q): 2A'4 ou 3A'9

28. Negação de um condicional simples

Já que -(p -+ q) <= P 1\ -q, podemos estabelecer que a negaçãode p -+ q é a proposição p 1\ -q.

Exemplos

1<:» p: 2 E ;Zq: 2 E Op -+ q: 2 E;Z -+ 2 E O_(p-+q):2EZ e 2f:-0

2<:» p: 52 = (_5)2

q: 5 = -5p -+ q: 52 = (_5)2 -+ 5 = -5-(p -+ q): 52 = (_5)2 e 5"'-5

29. Negação de proposições quantificadas

a) Uma sentença quantificada com o quantificador universal, do tipo(\fx)(p(x)), é negada assim: substitui-se o quantificador pelo existencial enega-se p(x), obtendo: (3x)(-p(x)).

Exemplos

Tendo em vista que - (p V q) <= (-p f\ - q). podemos estabelecer

que a negação de p V q é a proposição - p 1\ - q.

27. Negação de uma disjunção1?) sentença:

negação:

2?) sentença:negação:

(\fx)(x + 3 = 5)

(3 x)(x + 3 '" 5)

(\fx)(x(x + 1) = x 2 + x)

(3x)(x(x + 1) '" x2 + x)

14-A 15-A

Page 14: Fundamentos de Matemática elementar - Vol1

3'?) sentença:negação:

4'?) sentença:negação:

(Vx)(~ = x + 1)(3X)(~ =1= x + 1)

Todo losango é um quadradoExiste um losango que não é quadrado

b) Uma( 3x)(p(x)),nega-se p(x),

sentença quantificada com oé negada assim: substitui-seobtendo: (Vx)(-p(x)).

quantificador existencial, do tipoo quantificador pelo universal e

Exemplos

1'?) sentença: (3 x)(x = x)negação: (Vx)(x =1= x)

2'?) sentença: (3 a)(a + 1 ;;;. .1.)2 3

negação: . (va)(a + ..!... < .1.)2 3

3'?) sentença: (3a)(..!... E iR)a

negação: (va)(..!... fJ. IR)a

EXERCICIO

A.S Dizer qual é a negação de cada proposição abaixo:

a) rode (2, 3) = 1 ou mme (2, 3) =1= 6

b) ~ = ~ ou 3· 10 =1= 6 • 55 10

e) ~ ;;;. 1 e -3;;;' - 77

d) 22 = 4 .... v'4 = 2

e) (_3)2 = 9 .... Y9 =1= -3

t) 2';;;; 5 .... 32 ,;;;; 52

g) IVx)(x > 2 .... 3x > 32)

h) (3 x)(...tx" < O

i) Todo número inteiro primo é Impar

j) Todo triângulo isósceles é equilétero

k) Existe um losango que não é quadrado

I) Existe um número cuja raiz quadrada é zero

m) Todo triângulo que tem três ângulos congruentes, tem três lados congruentes

A.9

16-A

Classificar em V ou F as ne9;:ões constru (das no exerc(cio anterior.

Page 15: Fundamentos de Matemática elementar - Vol1

Criado um novo paraíso

Georg Ferdinand Ludwing Phillip Cantor nasceu em S. Petersburgo, passando amaior parte de sua vida na Alemanha. Seus pais eram cristãos de ascendênciajudia, e Georg logo se interessou pelos conceitos de continuidade e infinito daTeologia medieval.

Estudou em Zürich, Gottingen e Berlim, concentrando-se em Filosofia,FIsica e Matemática.

Possuindo grande imaginação, em 1867 obteve seu doutoramento em Berlim,com uma tese sobre Teoria dos Números.

Muito atraído pela Análise, sua preocupação estava voltada para a idéia de"infinito", que até 1872 foi muito discutida tanto em Teologia como em Matemá­tica mas sem se chegar a uma conclusão precisa.

Em 1874, Cantor publicou no Journal de Crelle o mais revolucionário artigoque até mesmo seus editores hesitaram em aceitar: havia' reconhecido a proprie­dade fundamental dos conjuntos infinitos e, ao contrário de Dedekind, percebeuque nem todos eram iguais, passando a construir uma hierarquia destes conjuntosconforme suas potências.

Mostrou que o conjunto dos quadrados perfeitos tem a m~ma potênciaque o dos inteiros positivos pois, podem ser postos em correspondência biunívoca;provou que o conjunto de todas as frações é contável ou enumerável e que a po­tência do conjunto dos pontos de um segmento de reta unitário é igual à potênciado conjunto dos pontos de um quadrado de lado unitário.

Alguns destes resultados eram tão paradoxais que o própio Cantor, certa vezescrevendo a Dedekind, disse: "Eu vejo isso, mas não acredito", e pediu ao seuamigo que verificasse a demonstração. Seus incríveis resultados levaram ao esta­belecimento da Teoria dos Conjuntos como uma disciplina matemática comple­tamente desenvolvida. de profundos efeitos no ensino.

Georg F. L. P. Cantor(1845 - 1918)

Os matemáticos da época duvidavamda teoria da infinidade completa de Cantor,mas este, juntando as provas, construiutoda uma aritmética transfinita.

Cantor passou a maior parte de suacarreira na Universidade de Halle, de poucaimportância, nunca conseguindo realizaruma de suas grandes aspirações que era ade ser professor na Universidade de Berlim,devido à perseguição de Kronecker.

o reconhecimento de suas real izaçõesmereceram a exclamação de Hilbert: "Nin­guém nos expulsará do paraíso que Cantorcriou para nós".

CAPITULO II

CONJUNTOS

Faremos aqui uma revlsao das principais noções da teoria dos conjuntos,naquilo que importa à Matemática Elementar. Em seguida usaremos estas noçõespara apresentar os principais conjuntos de números.

I. CONJUNTO. ELEMENTO. PERTINENCIA

30. Na teoria dos conjuntos três noções são aceitas sem definição, isto é,são consideradas noções primitivas:

ta) conjuntob) elementoc) pertinência entre elemento e conjunto

A noção matemática de conjunto é praticamente a mesma que se usa nalinguagem comum: é o mesmo que agrupamento, classe, coleção, sistema. Eisalguns exemplos:

1) conjunto das vogais2) conjunto dos algarismos romanos3) conjunto dos nú.meros ímpares positivos4) conjunto dos planetas do sistema solar5) conjunto dos números primos positivos6) conjunto dos naipes das cartas de um baralho7) conjunto dos nomes dos meses de 31 dias

Cada membro ou objeto que entra na formação do conjunto é chamadoelemento. Assim, nos exemplos anteriores, temos os elementos:

1) a, e, i, o, u2) I, V, X, L, C, D, M3) 1, 3, 5, 7, 9, 11, ...4) Mercúrio, Venus, Terra, Marte,5) 2, 3, 5, 7, 11, 13, ...6) paus, ouro, copas, espada7) janeiro, março, maio, julho, agosto, outubro, dezembro

19-A

Page 16: Fundamentos de Matemática elementar - Vol1

No exemplo 3, cada número ímpar é elemento do conjunto dos númerosímpares, isto é, pertence ao conjunto. Em particular, 5 pertence ao conjuntodos números ímpares e 2 não pertence.

Um elemento de um conjunto pode ser uma letra, um número, um nome,etc. é importante notar que um conjunto pode ser elemento de outro conjunto.Por "exemplo, o conjunto das seleções que disputam um campeonato mundialde futebol é um conjunto formado por equipes que, por sua vez, são conjuntosde jogadores.

31. Indicamos um conjunto, em geral, com uma letra maiúscula A, B, C, ...e um elemento com uma letra minúscula a, b, c, d, x, y, ....

Sejam A um conjunto e x um elemento. Se x pertence ao conjuntoA, escrevemos

xEA

Para indicar que x não é elemento do conjunto A escrevemos

x ri. A

33. Quando um conjunto é dado pela enumeração de seus elementos devemosindicá-lo escrevendo seus elementos entre chaves.

Exemplos

1) conjunto das vogais {a, e, i, o, u}

2) conjunto dos algarismos romanos {I, V, X, L, C, O, M}

3) conjunto dos nomes de meses de 31 dias

{janeiro, março, maio, julho, agosto, outubro, dezembro}

Esta notação também é empregada quando o conjunto é infinito: escrevemosalguns elementos que evidenciem a lei de formação e em seguida colocamosreticências.

Exemplos

1) conjunto dos números ímpares positivos

{1, 3, 5, 7, 9,11, 13, ... }

2) conjunto dos números primos positivos

{2, 3, 5, 7, 11, 13, ... }

32. É habitual representar um conjun­to pelos pontos interiores a uma linhafechada e não entrelaçada. Assim, narepresentação ao lado temos:

a E A, b E A e d 1= A.

No caso de usarmos um círculopara representar um conjunto, estaremosusando os assim chamado diagrama deEuler-Venn. C)a•.•••• A

. .• c·b

.d

3) conjunto dos múltiplos inteiros de 3

{O, 3, -3, 6, -6, 9, -9, ... }

A mesma notação também é empregada quando o conjunto é finito comgrande número de elementos: escrevemos os elementos iniciais, colocamos re­ticências e indicamos o último elemento.

Exemplos

1) conjunto dos números inteiros de O a 500

{O, 1, 2, 3, ... , SOO}

2) conjunto dos divisores positivos de 100

{1, 2, 5, 10, ... , 100}

11. DESCRiÇÃO DE UM CONJUNTO

Utilizamos dois recursos principais para descrever um conjunto e seuselementos: enumeramos (citamos, escrevemos) os elementos do conjunto oudamos uma propriedade característica dos elementos do conjunto.

2o-A

34. Quando queremos descrever um conjunto A por meio de uma proprieda­de característica P de seus elementos x, escrevemos

A = {x I x tem a propriedade P}

e lemos: "A é o conjunto dos elementos x tal que x tem a propriedade P".

21-A

Page 17: Fundamentos de Matemática elementar - Vol1

37. Ouando vamos desenvolver um certo assunto de Matemática, admitimosa existência de um conjunto U ao qual pertencem todos os elementos utilizadosno tal assunto. Esse conjunto U recebe o nome de conjunto universo.

Assim, se procuramos as soluções reais de uma equação, nosso conjunto·universo é IR (conjunto dos números reais); se estamos resolvendo umproblema cuja solução vai ser um número inteiro, nosso conjunto-universoé Z (conjunto dos números inteiros); se estamos resolvendo um problema deGeometria Plana, nosso conjunto-universo é um certo plano a,

{o, 1,2,3, .. ,' 500}

3) {x I x é inteiro e O.,;; x .,;; 500} pode também ser indicado por:

2) {x I x é divisor inteiro de 3} é uma maneira de indicar o conjunto:

{1. -1, 3, -3}

Exemplos IV. CONJUNTO - UNIVERSO1) {x I x é estado da região sul do Brasi I} é uma maneira de indicar

o conjunto:

{Paraná, Santa Catarina, Rio Grande do Sul}

111. CONJUNTO UNITÃRIO. CONJUNTO VAZIO

38. Quase sempre a resposta para algumas questões depende do universo Uem que estamos trabalhando. Consideremos a questão: "qual é o conjunto dospontos P que ficam a igual distância de dois pontos dados A e B, sendoA i' B?"

35. Definição

Chama-se conjunto unitário aquele que possui um único elemento.1) Se U é a reta AB, o con­

junto procurado é formado só por P;A•

p

• ~IB

Exemplos

1) conjunto dos divisores de 1, inteiros e positivos: { 1}

2) conjunto das soluções da equação 3x + 1 = 10: {3}

3) conjunto dos estados brasileiros que fazem fronteira com o Uruguai:

{Rio Grande do Sul}

2) Se U é um plano contendoA e B, o conjunto procurado é areta mediatriz do segmento AB;

p

B

,A

36. Definição

Chama-se conjunto vazio aquele que não possui elemento algum, O símbolousual para o conjunto vazio é 0.

Obtemos um conjunto vazio quando descrevemos um conjunto através de'Ima propriedade P logicamente falsa.

Exemplos

1){xlxi'x}=02) {x I x é ímpar e múltiplo de 2}3) {x I x > O e x < O} = 0

3) Se U é o espaço, o conjuntoprocurado é o plano mediador do segmen­to AB (plano perpendicular a ABno seu ponto médio)..

39. Portanto, quando vamos descrever um conjunto Apropriedade P, é essencial fixarmos o conjunto-universo Utrabalhando, escrevendo

A = {x E U I x tem a propriedade p}

através de umaem que estamos

22-A 23-A

Page 18: Fundamentos de Matemática elementar - Vol1

EXERCfclOS

A.l0 Dê os elementos dos seguintes conjuntos:

A = {x I x é letra da palavra "matemática"}

B = {x I x é cor da bandeira brasileira}

C ={x Ix é nome de estado que começa com "a"}

Solução

A ~ {m, a, t, e, i, c}B = {branco, azul, amarelo, verde}

C = {amazonas, amapá, acre, alagoas}

V. CONJUNTOS IGUAIS

40. Definição

Dois conjuntos A e B são iguais quando todo elemento de A pertencea B e, reciprocamente, todo elemento de B pertence a A. Em símbolos:

1) {a, b, c, d} = {d, c, b, a}

2) {l, 3, 5, 7, 9, ... } = {x I x é inteiro, positivo e ímpar}

A.ll Descreva através de uma propriedade caracter(stica dos elementos cada um dosconjuntos seguintes:

A ~ {O, 2, 4. 6, 8, ... }

B = {O, 1, 2, ''', 9}

C = {brasllia, rio de janeiro, salvador}

Solução

A = {x Ix é inteiro, par e não negativo}

B = {x Ix é algarismo arábico}

C ~ {x I x é nome de cidade que já foi capital do Brasil}

Exemplos

A B _ ('v'x)(x EA = X E B)

A.12 Escreva com srmbolos:

aI conjunto dos múltiplos inteiros de 3, entre -10 e +10b) conjunto dos divisores inteiros de 42c) conjunto dos múltiplos inteiros de Od) conjunto das frações com numerador e denominador compreendidos entre O e 3el conjunto dos nomes das capitais da região centro-oeste do Brasil

A.13 Descreva por meio de uma propriedade dos elementos

A = {+1, -1, +2, -2, +3, -3. +6, -6} B = {O, -10, -20, -30, -40, ... }

C = {I, 4, 9,16,25,36, ... } O ~ {Lua}

3) {x I 2x + 1 = 5} = {2}

Observemos que na definição de igualdade entre conjuntos não intervéma noção de ordem entre os elementos, portanto:

{a, b, c, d} = {d, c, b, a} = {b, a, c, d}

Observemos ainda que a repetição de um elemento na descrição de umconjunto é algo absolutamente inútil pois, por exemplo:

{a, b, c, d} = {a, a, b, b, b, c, d, d, d, d}

A.14 Ouais dos conjuntos abaixo são unitários?

A = {x I x < ~ e x > ~ }4 5

C = {x I x é inteiro e x' = 3}

A.15 Ouais dos conjuntos abaixo são vazios?

A = {xlo-x ~ O}

B ~ {x I x > ~ e x < ~ }4 5

C = {x Ix é divisor de zero}

O = {x I x é divisrvel por zero}

24-A

B = {x IO - x = 2}

O = {x 12x + 1 = 7}

(para conferir basta usar a definição). Assim, preferimos sempre a notação maissimples.

41. Se A não é igual a B, escrevemos A"* B. ~ evidente que A é dife­rente de B se existe um elemento de A não pertencente a B ou existe em Bum elemento não pertenctlnte a A.

Exemplo

{a, b, d} "* {a, b, c, d}

25-A

Page 19: Fundamentos de Matemática elementar - Vol1

VI. SUBCONJUNTO 44. Vimos anteriormente o conceito de igualdade de conjuntos:

A = B -= (\f x)(x E A -= x E B)

A C B -= (\fx)(x E A => X E BI

o símbolo C é denominado sinal de inclusão.

Em símbolos, a definição fica assim:

Se A = {a} os elementos de![J(A) são °e {a}, isto é:

&(A) = {g!, {a}}

Se A = {a, b} os elementos de fJ(A) são 0, {a}, {b} e {a, b},

45. Propriedades da inclusão

Sendo A, B e C três conjuntos arbitrários, valem as seguintes propriedades:

1~) iz5 C A

2~) A C A (reflexiva)3~) (A C B e B C A) => A = B (anti-simétrica)4~) (A C B e B C C) => A C C (transitiva)

A demonstração dessas propriedades é imediata com exceção da 1~ quepassamos a provar. Para todo x, a implicação

xEgJ=>XEA

é verdadeira pois x E g! é falsa. Então, por definição de subconjunto, 0 C A.

46. Conjunto das partes

Nesta definição está expl ícito que todo elemento de A é elemento deB e vice-versa, isto é, A C B e B C A, portanto, podemos escrever:

A = B -= (A C B e B C A).

2?)isto é:

1?)

Exemplos

Provaremos mais adiante (capítulo 111) que se A é um conjunto finitocom n elementos, então fJ(A) tem 2" elementos.

Dado um conjunto A, chama-se conjunto das partes de A - notação&(A) - aquele que é formado por todos os subconjuntos de A. Em símbolos:

&(A) = {X I X C A}

fJ(A) = {g!, {a}, {b}, {a, b}}

3?) Se A = {a, b, c} os elementos defJ(A) são 0, {a}, {b}, {c},{a, b}, {a, c} {b, c} e {a, b, c}, isto é:

r[iJ(A) = {0, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {b, c}, {c, a}! {a, b, c}}A rj. B

88é inteiro e primo}

Exemplos

1) {a, b} C {a, b, c, d}2) {a} C {a, b}3) {a, b} C {a, b}4) {x I x é inteiro e par} C {x I x é inteiro}

42. Definição

Um conjunto A é subconjuntode um conjunto B se, e somente se,todo elemento de A pertence tambéma B.

Com a notação A C B indicamosque "A é subconjunto de B" ou "Aestá contido em B" ou "A é parte de B".

Com a notação A '1- B indicamosque "A não está contido em B", istoé, a negação de A C B.

É evidente que A '7'- B somentese existe ao menos um elemento de Aque não pertence a B.

Assim, por exemplo, temos:

1) {a, b, c} '7'- {b, c, d, e}2) {a, b} çz' {c, d, e}3) {x I x é intei ro e par} '7'- {)( I x

43. Quando A C B, também podemosescrever B:J A que se lê "B contém A".

26-A 27-A

Page 20: Fundamentos de Matemática elementar - Vol1

EXERCI'CIOS VII. REUNIÃO DE CONJUNTOS

A.16 Dados A = {', 2.3, 4} e S = {2, 4}, pede-se:

a) escrever com os símbolos da teoria dos conjuntos as seguintes sentenças: 47. Definição

b) classificar as sentenças anteriores em falsa ou verdadeira.

A.17 Sendo A={1,2},B=c2,3}.C=',1,3,4} e

V ou F cada sentença abaixo e justificar:

Solução

ai V pois 1 E A, , E O, 2 E A e 2Eob) F pois lEA e ,risc) F pois 2EB e 2 ri C

. di V pois 2 E B, 2 E O, 3 E B e 3 E Oel F POIS 2EO e 2~Cfi V pois 2EA e 2riC

®ox E A ou x E B.

Exemplos

1) {a, b} U {c, d} = {a, b, c, d}2) {a, b} U {a, b, c, d} = La, b, c, d}3) {a, b, c} U {c, d, e} = {a, b, c, d, e}4) ia, b, c} U ~ = {a, b, c}5) r/J U r/J = </;

Dados dois conjuntos A e B, chama-se reunião de A e B o conjuntoformado pelos elementos que pertencem a A ou a B.

I A U B = {x I x E A ou x E B}

O conjunto A U B (lê-se "A r-----------------,

reunlao B" ou "A u B") é formadopelos elementos que pertencem a pelomenos um dos conjuntos A e B.

Notemos que x é elemento deA U B se ocorrer ao menos uma dascondições seguintes:

c) B C C

fi A ri- C

o = t 1, 2, 3, 4}. classificar em

2~) não está em B4~) B é igual a A

b) A C B

e) C = O

1~) 3 li elemento de A3~) B li parte de A5~) 4 pertence a B

a) A C O

d) O :) B

Solução

,a) 3 E A (V)

2a) 1 ri S (VI3~1 B C A (V)4~1 B = A (F)5~) 4 E B (V)

A.18 Quais das igualdades abaixo são verdadeiras?

ai la, a, a, b, b} = {a, b}

b) {x I x2 = 4} = {x I x "'" O e x3- 4x = O}

cl {x 12x + 7 = 11} = {2}d)',xlx<o e x;;'O}=r/J

A.19 Dizer se é verdadeira (VI ou falsa (FI cada uma das sentenças abaixo.

a) O E{O, 1, 2, 3, 4} f I a E {a, {a}}

bl \a}E{a,b} gl {a} C {a,~a}}

cl \2> E {O} h) \2> C {O, {a}}

di O E</; i) çDE{O,{a}}

el la} C</; j) {a, b} E {a, b, c, d}

A.20 Fazer um diagrama de Venn que simbolize a situação seguinte: A, B, C, D são conjun­tos não vazios, O C C C B C A.

A.21 Construir o conjunto das partes do conjunto A == {a, b, c, d}.

48. Propriedades da reunião

Sendo A, B e C conjuntos quaisquer, valem as seguintes propriedades:

1~) A U A = A (idempotente)2a ) A U r/J = A (elemento neutro)3~) A U B = B U A (comutativa)4~) (A U B) U C = A U (B U C) (associativa)

Demonstração

Fazendo A = {x I x tem a propriedade p} ou, simplesmente

A=',xip(x)} e,ainda: B={xlq(x)},C={xlr(x)} e r/J={xlf(x)}onde f é proposição logicamente falsa, temos:

AUA={xlp(x) ou p(x)}={xlp(x)}=A

Analogamente, as demais decorrem das propriedades das proposições vistas

no exercício A.6.

28-A 29-A

Page 21: Fundamentos de Matemática elementar - Vol1

VIII. INTERSECÇÃO DI: CONJUNTOS

49. Definição

51. Coniuntgs djsjuntr

Quando A n B = 0, isto é, quando os conjuntos A e B não têmelemento comum, A e B são denominados conjuntos disjuntos.

IX. PROPRIEDADES

A n B = {x I x EA e x E B}

Dados dois conjuntos A e B, chama·se intersecção de A e B o con­junto formado pelos elementos que pertencem a A e a B.

o conjunto A n B (Iê-se"Ainter B") é formado pelos elementosque pertencem aos dois conjuntos (A eB) simultaneamente.

Se x E A n B, isto significaque x pertence a A e também xpertence a B. O conectivo e colocadoentre duas condições significa que elasdevem ser obedecidas ao mesmo tempo.

Exemplos

1) {a, b, c} n {b, c, d, e} = { b, c}2) {a, b} n {a, b, c, d} = {a, b}3) {a, b, c} n {a, b, c} = {a, b, c}4) {a, b} n {c, d} = 05) {a, b} n 0 = íZ5

50. Propriedades da intersecção

00

52. Sendo A, B e C conjuntos quaisquer, valem as seguintes propriedades,que inter-relacionam a reunião e a intersecção de conjuntos:

1~) A U (A n B) = A

2~) A n (A U B) = A3~) A U (B n C) = (A U B) n (A U C)

(distributiva da reunião em relação à intersecção)

4~) A n (B U C) = IA n B) U (A n C)

(distributiva da intersecção em relação à reunião).

Demonstremos, por exemplo, a H e a 3~:

A U (A n B) = {x I p(x) V (p{x) 1\ q(x))} = {x I (p(x))} = AA U (B n C) = {x I p{x) V (q(x) 1\ r(x))} = {x I (p{x) V q{x)) 1\ (p(x) V r{x))} =

= {x I p{x) Vq(x)} n {x I p{x) V r(x)} = (A U B) n (A U C)

EXERCICIOS

A.22 Dados os conjuntos A = {a. b. c}. B = {c. d} e C = {c. e}. determinar A U B.A U C. B U C e A U B U C.

A.23 Provar que A C IA U B). "I A.

Solução

x E A => x E A ou x E B

I! uma implicação verdadeira, "I x. portanto: A C (A U B)

Sendo A, B e C conjuntos quaisquer, valem as seguintes propriedades:

1~) A n A = A (idempotente)2~) A n U = A (elemento neutro)3~) A n B = B n A (comutativa)4~) A n (B n C) = (A n B) n C (associativa)

A.24 Classificar em V ou F:

a) 0 C IA U BI

c) A E IA U B)

e) B C IA U B)

admitindo que A. B e C

bl IA U B) C A

d) IA U B) C IA U BI

f) (A U B) C (A U B U C)

são conjuntos quaisquer.

Como mostramos para a operação de reunião, estas propriedades são tambémdemonstráveis com aux(ljo do exercício A.5.

3O-A

A.25 Determinar a reunião dos circulas de raio r. contidos num plano a e que têmum ponto comum O E a.

31-A

Page 22: Fundamentos de Matemática elementar - Vol1

A.26 Determinar a reunião das retas de um plano Q que são paralelas a uma dada retar de Q.

X. DIFERENÇA DE CONJUNTOS

A.28 Provar que (A () B) C Ao 'ri A.

A.31 Dados os conjuntos A = {lo 2. 3}. B = {3o 4} e C = {lo 2. 4}o determinaro conjunto X tal que X U B = A U C e X () B = 0.

A.27 Dados os conjuntos A = {a. bo c. d}o B = {b. Co do e} e C = {co e o f}, pede-sedescrever A () Bo A () C. B () C e A () B () C.

@00

@

A - B = {x I x E A e x1=- B}

XI. COMPLEMENTAR DE B EM A

Dados dois conjuntos A e B, taisque B C A, chama-se complementar de

8 em relação a A o conjunto A - B,isto é, o conjunto dos elementos de Aque não pertencem a jB.

54. Definição

Dados dois conjuntos A e B, cha­ma-se diferença entre A e B o con­junto formado pelos elementos de Aque não pertencem a B.

Com o símbolo

C~ ou A

indicamos o complementar de B em relação a A.

Notemos que C~ só é definido para B C A e aí temos:

53. Definição

Exemplos·

1) {a, b, c} - {b, c, d, e} = {a}

2) {a. b, c} - {b, c} = {a}

3) {a, b} - {c, d, e. f} = {a, b}

4) {a, b} - {a, b, c, d, e} = 0

e) L () Q

f) pU Qc) L () Rd) Q () R

a) L () Pb) R () P

A.32 Determinar o conjunto X tal que

{ao b, Co d} U X = {a, b, Co d, e}o {c, d} U X = {a, c, d, e} e

{b. Co d} () X = {c}.

Solução

ai X U B = {1. 2 0 3. 4} então os posslveis elementos de X são: 1, 2, 3 e 4.

b) X () B = 0 "* 3 fÍ. X e 4 ri:. X

Conclusão X = {1. 2}

Solução

x E (A () B) = (x E A e x E B) = x E A

é uma implicação verdadeira, 'ri X o portanto (A () B) C A.

A.29 Classificar em V ou F

a) oC (A () B) bl A C (A () B)

c) A E (A () BI d) (A () B) C (A () B)

e) (A () B) C B f) (A () B) :) (A () B () C)

admitindo que Ao B e C são conjuntos quaisquer.

A.30 Consideremos os conjuntos:

K = conjunto dos quadriláteros planos

P = {x E K Ix tem lados 2 a 2 paralelos}L = {x E K I x tem 4 lados congruentes}R = {x E K I x tem 4 ângulos retos}Q = {x E K Ix tem 2 lados paralelos e 2 ângulos retos}

Pede-se determinar os conjuntos:

A.33 Assinalar no diagrama ao lado, um decada vez, os seguintes conjuntos:

a) A () B () C

b) A () (B U C)c) A U (B () C)

d) A U B U C

32-A 33-A

Page 23: Fundamentos de Matemática elementar - Vol1

Exemplos A.35 Provar que (A - B) C A, V A.

admitindo que A e B são conjuntos quaisquer.

Solução

A implicação x E (A-B) ='(x E A e x ~ BI =>x E A

é verdadeira para todo x, então (A - BI C A.

1) Se A = {a, b, c, d, e} e B = {c, d, e}, então:

C~ = {a, b}

2) Se A = {a, b, c, d} B, então:

C~ = 03) Se A = {a, b, c, d} e B = >t, então:

C~ = {a, b, c, d} = A

A.36 Classificar em V ou F as sentenças:

ai (A - BI ..:) >tcl (A- B) C B

bl (A - B) U (A n B) A

di (A-BI C (A U BI

55. Propriedades da complementaçãoA.37 Dados os conjuntos A ~ {l, 2, 3, 4, 5}, B = {l, 2, 4,6, a} e C = {2, 4, 5, 7},

obter um conjunto X tal que X C A e A - X = B n C.

Sendo B e C subconjuntos de A, valem as seguintes propriedades:

H) C~ n B = 0 e C~ U B = A

2~) C~ 0 eC~ = A

3\1) CAl C~) B•

4\1) C~n CI

C~ U C;5~) C~ U CI

C~ n C;

A.39 Provar que A - a = A n B onde A e B são conjuntos quaisquer do universo U.

Provemos, por exemplo, a 2\1 e a 4\1:

C~ = {x E A I x ~ A} = 0

CP = {x E A I x ~ 0} = A

C ~ n C) = {x E A I x ~ B n C} = {x E A I x ~ B

= {x E A I x ~ B} U {x E A I x ~ C} =

ou x ~ C} =

C~ U C;

A.38 Assinalar no diagrama ao lado, um de\ cada vez, os seguintes conjuntos:

ai à - Bbl à - A U Bc) li" UAd) A U Be) A n Bf) li" nA

Solução

A implicação

x E (A - a) = (x E A e x ~ ai = x E A e x E a ==>===> )( E A n a é verdadeira, V x, portanto, está provado.

A.40 Classificar em V ou F as segu intes sentenças:

a) (A - BI U (B - A) = (A U BI - (A n B)b) A C B = ( C BI C ( CAIcl (A - B) C ( CAId) (A-BI C ( CBI

EXERCICIOS SUPLEMENTARES

u

EXERCICIOS

A = {a, b, c. d}, B = {c, d. e. f} C {b d },g e = , ,e. g .A.34 Sejam os conjuntosDeterminar:

a) A - Bbl B - A

34-A

cl C - Bd) (A U C) - B

e) A- (B n C)

f) (AUB)-(AnCI

A.41 Descrever os elementos dos canju ntos abaixo:

A = {x I x2 - 5x - 6 = O}B = {x I x é letra da palavra "exercício"}

C = {x I x2 - 9 = O ou 2x - 1 = 9}

D = {x I2x + 1 = O e 2x2 - x - 1 = O}

E = {x I x é algarismo do número 234543}

35-A

Page 24: Fundamentos de Matemática elementar - Vol1

A.42 Seja E ~ la, {a}}. Dizer quais das proposições abaixo são verdadeiras.

a) a E Eb) {a} E Ec) a C E

d) {a} C Ee) 0E Ef) 0 C E

A.43 Sejam A e 8 dois conjuntos finitos. Provar que

nA U 8" nA + n8 - nA n 8'

o símbolo nX representa o número de elementos do conjunto X.

A.44 Em uma escola que tem 415 alunos, 221 estudam Inglês, 163 estudam Francês e 52 es·tudam ambas as línguas. Quantos alunos estudam Inglês ou Francês? Quantos alunosnão estudam nenhuma das duas?

A.45 Sendo A,8 e C conjuntos finitos, estabelecer uma fórmula para calcular nAU 8 ue·

A.46 Uma população consome três marcas de sabão em pó: A, B e C. Feita uma pesquisado mercado, colheram-se os resultados tabelados abaixo:

marca A 8 C Ae8 8ee eeA A,8ee nenhuma das três

número de109 203 162 25 41 28 5 115

consumidores

Pede-se:

a) número de pessoas consultadasbl número de pessoas que só consomem a marca Ac) número de pessoas que não consomem as marcas A ou Cd) número de pessoas que consomem ao menos duas marcas.

A.47 Determinar os conjuntos A, 8 e C que satisfazem as segu intes seis condições:

1~) A U 8 U C " {z, x, v, u, t, S, r, q, p}

2a) An 8 {r, s}

3a l 8 n C {s, x}

4~) enA {s, t}

5~) AU C {p, q, r, s, t, u, v, x}

6a) AU 8 {p, q, r, s, t, x, z}

A.4S Em certa comunidade há indivfduos de três raças: branca, preta e amarela. Sabendo que70% são brancos e 210% não são pretos e 50% são amarelos, pergunta-se:

a) quantos indiv(duos tem a comunidade?b) quantos são os indivfduos amarelos?

36-A

A.49 Dados dois conjuntos A e 8, chama-se diferença simétrica de A com 8 o con­junto A1l8 tal que:

A1l8 " (A - 8) U (8 - A)

Pede-se:

a) determinar {a, b, c, d} II {c. d, e, f, g}

b) provar que A1l0" A, para todo Acl provar que AllA" rz5, para todo Ad) provar que A1l8" 811A, para A e 8 quaisquere) assinalar em cada diagrama abaixo o conjunto AtJ.8:

@ooA.50 Desenhar um diagrama de Venn representando quatro conjuntos A, 8, C e D não

vazios de modo que se tenha

A;Z 8, 8;Z A, C :J IA U 81 e D C (A n 81

37-A

Page 25: Fundamentos de Matemática elementar - Vol1

CAPÍTULO III

CONJUNTOS

NUMÉRICOS

I. CONJUNTOS DOS NÚMEROS NATURAIS

56. Chama-se conjunto dos números naturais - símbolo PlJ - o conjunto forma­do pelos números O, 1, 2, 3, ...

N = {O, 1,2,3, ...}

57. Neste conjunto são definidas duas operações fundamentais a adição e a mul­tiplicação, que apresentam as seguintes propriedades:

[A.l) associativa da adição

(a + b) + c = a + (b + c)

para todos, a, b, c E PlJ.

[A.2) comutativa da adição

a+b=b+a

para todos a, b E PlJ.

[A.3) elemento neutro da adição

a + O = a

para todo a E PlJ

[M.1] associativa da multiplicação

(ab)c = a(bc)

para todos a, b, c E PlJ

[M.2) comutativa da multiplicação

ab = ba

para todos a, b E PlJ

39-A

Page 26: Fundamentos de Matemática elementar - Vol1

[M.3]elemento neutro da multiplicação

a • 1 = a

para todo a E IW

[D] Distributiva da multiplicação relativamente à adição

a(b + c) = ab + ac

para todos a, b, c E IW

58. Veremos que os próximos conjuntos numéricos a serem apresentados sãoampliações de IW, isto é, contêm til, têm uma adição e uma multiplicação com aspropriedades formais já apresentadas e outras mais, que constituem justamente omotivo determinante da ampliação.

Assim, dado um natural a *" O, o simétrico de a não existe em til:-a E N. O resultado disso é que o símbolo a - b não tem significado em tilpara todos a, b E IW, isto é, em til a subtração não é uma operação. Venceremosesta dificuldade introduzindo um novo conjunto numérico.

[A,4] simétrico ou oposto para a adição

Para todo a E Z. existe -a E 1: tal que

a +. (-a) = O

Devido à propriedade [A41. podemos definir em 1: a operação de sub­tração, estabelecendo que a - b = a + (- b) para todos a, b E z..

62. Os números inteiros podem ser representados sobre uma reta orientadaatravés do seguinte procedimento:

a) sobre a reta estabelecemos um sentido positivo e um ponto O (origem)que representa o inteiro O (zero)

o

b) a partir de O, no sentido positivo, marcamos um segmento unitáriou *" O cuja extremidade passará a representar o inteiro 1

I U ..o

63. Uma importante noção que devemos ter sobre números inteiros é o con­ceito de divisor.

Dizemos que o inteiro a é divisor do inteiro b - símbolo a I b - quandoexiste um inteiro c tal que ca = b.

c) para cada inteiro POSitiVO n, a partir de O, marcamos um segmento demedida nu no sentido positivo cuja extremidade representará n e marcamos umsegmento de medida nu no sentido negativo cuja extremidade representará ointeiro - n.

O resu Itado é este:-4 -3 -2 -1 O 2 3 4

I I I I I I ~

11. CONJUNTO DOS NÚMEROS INTEIROS

59. Chama-se conjunto dos números inteiros - símbolo Z - o seguinte conjunto:

,z = { ••• , -3, -2, -1, O, 1, 2, 3, ...}

60. No conjunto Z. distinguimos três subconjuntos notáveis:

-l+ = {O, 1, 2, 3, ...} = t.I

u u u u u u u u

(chamado conjunto dos inteiros não negativos)

-l_ = {O, -1, -2, -3, ...}

(chamado conjunto dos inteiros não positivos)

,Z* = {... , -3, -2, -1, 1, 2, 3, ... }

(chamado conjunto dos inteiros não nulos)

61. No conjunto ,z são definidas também as operações de adição e multiplicaçãoque apresentam, além de [A1l. [A21. [A3]. [Mll. [M2], [M3] e D, a proprie­dade:

4O-A

Exemplos

1) 2 I 122) 3 I -183) -5 I 204) -2 I -145) 4 I O6) O I O

poispoispoispoispoispois

6·2=12(-6) • 3 = -18(-4) (-5) = 207·(-2) -140·4 O1 • O O

b)

41-A

Page 27: Fundamentos de Matemática elementar - Vol1

64. Quando a é divisor de b dizemos que "b é divisível por a" ou "b émúltiplo de a".

Para um inteiro a qualquer, indicamos com Ora) o conjunto de seus di­visores e com M(a) o conjunto de seus múltiplos.

111. CONJUNTO DOS NÚMEROS RACIONAISExemplos

1) 0(2) {1, -1, 2, -2} M(2) = {O, ±2, ± 4, ±6, ... }

2) 0(-3) {1, -1, 3, -3} M(-3) = {O, ±3, ±6, ±9, ... }

3) 0(0) =;z M(O) = {O}

65. Dizemos que um número inteiro p é primo quando p *- O, 1 e -1 eO(p) = {1, -1, p, -p}.

66. Dado um número inteiro q *- 1 e -1, o inverso de q não existe em

z: ~ rf Z. Porisso não podemos definir em ;Z a operação de divisão, dandoq

significado ao símbolo p Vamos superar esta dificuldade introduzindo os núme­q

ros racionais.

67. Chama-se conjunto dos números racionais - símbolo lIl- o conjunto dos

pares ordenados (ou frações) ~, onde a E Z e b E Z*, para os quais

adotam-se as seguintes definições:

Exemplos

2, -2, 3, -3, 5, -5, 7 e -7 são primos.

EXERCíCIOS

A.51 Quais das proposições abaixo são verdadeiras?(j) igualdade: ~=~<==>ad=bc

b d

Descrever os seguintes conjuntos: 0(6), 0(-18), 0(-24) n 0(16), M(4), M(10)M(-9) n M(6),

A.52

a) O E 1\1

d) 1\1 U R._ = 71

g) (-4) (-5) E R.+

b) (2 - 3) E 1\1

e) R.+ n R._ = í25h) O E 7l

c) 1\1 Cz.

f) 1-3)2 E 7l

i) (5-11)E7l

e

(i i)

(iii)

adição:

a c acmultiplicação: b' d = bd

A.53 Quais dos seguintes elementos de ;Z não são primos: 12, -13, O, 5, 31, -1, 2, -4, 1,49 e 53?

A.54 Sendo a e b dois números inteiros, pergunta-se:

a) D(a) e D(b) podem ser disjuntos?b) Que nome se dá a um inteiro m tal que D(a) n Dlb) = Dlm)?c) Quando Dia) n D(b) = {1, -1}, qual é a relação existente entred) Em que caso ocorre Mia) C M(b)?e) Em que caso ocorre M(a) n Mlb) = M(ab)?f) Que nome se dá a um inteiro n tal que M(a) n M(b) Mln)?

Determinar os seguintes números inteiros:

III conjunto dos racionais não positivos

sãoaeb

aé uma fração irredu­

b6

não é:10

o denominador. Sebé o numerador eaab'

lIl* conjunto dos racionais não nulos

Na fração

o f_23 7 -'do,tive!. Assim, as raçoes 3' 7" e 15 sao Irre utlvelS mas

primos entre si, isto é, se mdc(a, b) = 1, dizemos

68. No conjunto dos racionais destacamos os subconjuntos:

lIl+ conjunto dos racionais não negativos

69.

a e b?

b) mdc(-4, 6)

d) mmc(2,3)f) mmc(-6, -14)

a) mdc(2,3)c) mdc(-6, -14)

e) mmc 1-4, 6)

A.55

42-A 43-A

Page 28: Fundamentos de Matemática elementar - Vol1

70. Consideremos o conjunto ([1' formado pelos números racionais com de­

nominador unitário: ([1' = {~ I x E Z}. Temos:

a b<o=a=b

1

[MA) simétrico ou inverso para a multiplicaçãoa a

para todo b E ([1 e b '* O, existe

: E ([1 tal que ~.: = 1.

a b a • b-·-=---<o=a·b=a·b1 1 1

Devido à propriedade [MAJ.a b+

1a + b

1<o=a+b=a+b

visão, estabelecendo que

não nulos.

a • cb d

podemos definir em ([1*, a operação de di-a d a cb c para b e d racionais quaisquer

portanto, os racionais com denominador igual a 1 comportam-se para a igualdade,a adição e a multiplicação como se fossem números inteiros. Assim, fazendo o

por um número decimal. Na passagem de uma notação para outra podem ocorrerdois casos:

racionalx

coincidir com o inteiro x, decorre que:

([1' =:l, logo, :l c. ([1

72. Notemos finalmente que todo número racionalab

pode ser representado

1Çl) o número decimal tem uma quantidade finita de algarismos, isto é, éuma decimal exata.

29) o número decimal tem uma quantidade infinita de algarismos que se re­petem periodicamente, isto é, é uma dízima periódica.

Exemplos

3 1 1 27,- = 3; "2 = 0,5; 20 = 0,05; 1000 = 0,027

0,285714285714 ...

Exemplos

1 23' = 0,333 ... ; 7

[A.ll (~ + %) + ~

a c c a[A.2) b + ti = ti + b

a a[A.3] b + ° = b

a a[A.4)b+(-b) °

71. Pode-se verificar que a adição e a multiplicação de racionais apresentam asseguintes propriedades:

a c eonde b' d e f são racionais quaisquer, portanto, são vál idas as mesmas pro-

priedades formais vistas para os números inteiros. Além dessas, temos mais a

seguinte:

a c[M.ll (b' d)

a ~[M.2) b d

a[M.3) b

[o)ab

(-=­d

~ a-d b

ab

e a+-)

bf

EXERCICIOS

A.56 Quais das seguintes proposições são verdadeiras?

a) N C O b) ,z C O

d) 517 E O e) 0,474747 ... E<ll

g) 1 E <ll-'z hl f E O-L.

21 121 131j) é irredut ível kl 147 < 15014

cl oE O

f) {T' !...! } C. <ll3

i) ~ E <ll-'z2

I) r E <ll => -r E O

44-A 45-A

Page 29: Fundamentos de Matemática elementar - Vol1

A.57 Colocar na forma de uma fração irredutlvel os seguintes números racionais: 0,4;0,444. ..; 0,32; 0,323232,.,; 54,2; 5,423423423,

A.59 Mostrar que se ri e r2 são racionais e ri < r2, então existe um racional rtal que ri < r < r2'

15 11 18 1 47A.58 Colocar em ordem crescente os números racionais seguintes: 16' 12' 19' '48

2e 3'

.J2 = 1,4142136 ...rr = 3.1415926, ..a = 1,010010001 ...

Outro recurso para construção de irracionais é usar o fato de que se a éa r

irracional e r é racional não nulo, então: a + r, a· r. r e a são todos

irracionais.

chamados números irracionais.

Se quisermos outros números irracionais, poderemos obtê-los, por exemplo,através da expressão ...;p onde p é primo e positivo. São irracionais:.,[3, v'5. ...[7, etc.

3-2, -"2' -1,

6e 2'

A.60 Representar sobre uma reta orientada os números racionais seguintes:

IV. CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS

Exemplos

.J2 + 1, 3../1 .,[3 --ª­, 2' v'5 são irracionais.

~ é racional. Por exemplo, V2 fi m o que é provado facilmente assim:

e um número naturalconjunto dos reais não negativosconjunto dos reais não positivosconjunto dos reais não nlilos.

Além de m, destacamos em IR três outros subconjuntos75.nem sempren ;;. 2.

seja tal queab

ab

admitamos que a fração irredutível(i)

Dado um número racional73.

lii) ~ = ...[2 = a2 = 2b2 = a2 é par = a é par

(iii) fazendo a = 2m. com m E z., temos:

a2 = 2b2 ==> (2m)2 = 2b2 =- b2 2m2 ==> b2 é par =- b é pare isto é absurdo pois ITldc (a, b) = 1.

Vamos agora in\roduzir um conjunto numérico que contém o. e onde aradiciação pode ser definida.

76. As operações de adição e multiplicação em IA gozam das mesmas pro­priedades vistas para o conjunto m. Em IR é também definida a operaçãode subtração e em IR* é definida a divisão, Com a introdução dos númerosirracionais, a radiciação é uma operação em IR+. isto é, v-; E IR para todoa E IR+.

77. Já vimos que os números inteiros podem ser representados por pontos deuma reta

Analogamente, os números racionais não inteiros também podem. Se qui-

I ,1 bsermos, por exemp o, representar o numero '2 so re a reta, marcamos a par-

1tir de O um segmento de medida 2"u no sentido positivo. A extremidade desse

74. Chama-se conjunto dos números reais IR - aquele formado por todos ospúmeros com representação decimal, isto é, as decimais exatas ou peribdicas(que são números racionais) e as decimais não exatas e não periódicas (chamadaslJúmeros irracionais).

Assim, todo racional é número real.

o.elAe, além dos racionais, estão em IR números como:

-4I

-3I

-2I

-1I

° 1I I

u

2I

3I

4I

5I •

46-A 47-A

Page 30: Fundamentos de Matemática elementar - Vol1

-2 -1 O 2 3I I I I I I I I I I I

segmento representa

números racionais.-3I

12' Na figura abaixo representamos sobre a reta vários A.63 Mostrar que J4 + 2 v'3 o 1 + v'3.

A.64 Mostrar que existem a e b raeionaistaisque V18-8V2 o a + bV2.

A.65 Dados dois números x e y reais e positivos, chama-se média aritmética de x com

V o real a ""~ e chama-se média geométrica o real 9 o;; ..J;;;. Mostrar2

que a;;;' g para todos x, y E IR+.

Quando representamos também sobre a reta os números irracionais, cadaponto da reta passa a representar necessariamente um número racional ou irra­cional (portanto, real), isto é, os reais preenchem completamente a reta.

-3 -2 -, O 1 2 3I ~l I I

I I I ti I I I I I ..o§. -~ -t , , 9 11 Jr

2 -"2 "2 4 "4-.../3 ,.fi

Esta reta, que representa IR, é chamada reta real ou reta numérica.

A.66 Representar sobre a reta real, cada um dos seguintes conjuntos:

A o {x E IR I , ",;; x ",;; 2}

B ~ {x E IR I O < x < 3}

C ~ {x E IR I x ",;; O ou x > 2}

D = {x E IR 1-' .< x < O ou x;;;' 3}

V. INTERVALOS

78. Na reta real os números estão orde­nados. Um número a é menor que qual·quer número x colocado à sua direita emaior que qualquer número x à sua es·querda.

EXERCfclOS

a•

--,---~-~/ ',-;~=--,----::--,-{xEIRlx<a} {xEFllx>a}

79. Dados dois números reais a e b, com a < b, definimos:

a) intervalo aberto de extremos a e b é o conjunto

] a, b [ = {x ~ IR I a < x < b}

que também pode ser indicado por a - b.

A.61 Ouais das proposições abaixo são verdadeiras?

a) 3 E IR

aI ~ E IR-Ill

gl (V2 - 3 v'3) E IR - III

b) N C IR

e) v'4 E IR-Ill

h) 3V2 E IR-mv'5

c) 7L. C IR

f) V4 E IR-m

i) 3y'2 E m572

b) intervalo fechado de extremos a e b é o conjunto

[a, b] = {x E IR I a ",;; x ",;; b}

que também pode ser indicado por af---lb.

c) intervalo fechado à esquerda (ou aberto à direita) de extremos a e bé o conjunto

[a, b [ = {x E IR I a ",;; x < b}

A.62 Provar que se a, b, c, d são racionais, p é primo positivo e a + b-V-;;- o c + d-V-;;-,então a = c e b = d.

Solução

a+b~oe+d~<=> (b-dly';;"oe-a

Como c - a é racional, a última igualdade s6 subsiste quando (b - di V; E O,isto é, se b - d = O. Neste caso, c - a = O, provando a tese.

4S-A

que também pode ser indicado por af--b.

d) intervalo fechado à direita (ou aberto à esquerda) de extremos a e bé o conjunto

] a, b] = {x E R I a < x ",;; b}

que também pode ser indicado por a ---; b.

49-A

Page 31: Fundamentos de Matemática elementar - Vol1

80. Os números reais a e b são denominados, respectivamente, extremo in­ferior e extremo superior do intervalo.

EXERCíCIOS

~.67 Descrever, conforme a notação da teoria dos conjuntos, os seguintes intervalos:

81. Exemplos [-1.3]. [0.2[. ]-3.4[. ]-00. S[ e [1. + 00[.

83. Os intervalos têm uma representação geométrica sobre a reta real como segue:

..

...

..

..1 30111 Ili 1111 li Ili 11111111 li 111111111110

1 401111111111111111111111111111111111111111111111111111110

e A U B c [O. 4]

o 30111111111111111111111111111111111111111111111111111111o

O 40'"11111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111

A

ai [0.2] n [1.3]

bl [0.2) n ]1. 3[

cl ]-1. ~[ n )0. ~[

di )-00.2) n [O. + oo[

9e) [-1. + oo[ n [-'2,21

t) [1.2] n [O. 3] n [-1, 4)

B

Solução

A U B

A n B

então A n B ~ [1. 3]

A n B e A U B sendo A o [O. 3) e B o [1. 4]

~.68 Utilizando a representação grâfica dos intervalos sobre a reta real, determinar

~.69 Descrever os seguintes conjuntos:

1 1 .]- 3' v'2] = {x E IR I - 3 < x .;;; v'2} é intervalo fechado à direita.

19) ]2, 5[ = {x E IR I 2 < x < 5} é intervalo aberto

29) [-1, 4] = {x E IR I -1 .;;; x .;;; 4} é intervalo fechado

[i, 7 [ = {x E IR I ~.;;; x < 7} é intervalo fechado à esquerda39)

49)

82. Também consideramos intervalos lineares os "intervalos infinitos" assimdefinidos:

a) ]- 00, a [ = {x E IR I x < a}

que podemos também indicar por - 00 -- a.

b) ]- 00, a] = {x E IR I x .;;; a}que também podemos indicar por - 00-----1 a.

c) ] a, + 00 [ = {x E IR I x > a}que também podemos indicar por a-- + 00.

d) [a, + 00 [ = {x E IR I x ;;;. a}que também podemos indicar por a I--- + 00.

e) ]-00, + co[ = IRque também podemos indicar por -00 -- + 00.

b---------..~llIl1llllll-l+III11I1II+lIl++llIlllllrl!II-1+lIllllllrl!lIll1l11llllli!+lllllo---------1,,-

a b---------cllIIlIl+llI++IIIIllIl-l+II11'IIIIllIl++IIIl1II1IllIll+IIIIllIlIKIIIlIIIIIllIIt_--------1,,_

ai [- 1. 3] U [O. 4]

bl ]-2. 1] U ]0. S[

c) [-1. 3] U [3. S]1 3 1

d) h-, O[ U ]-'2' - '4)

~.70 Determinar os seguintes conjuntos:

...

..a b

--------01111111111111111111111111111111111110'--------1...a b1IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIItIlllllllllUIo

la. b [

[a. b]

[a. b[

la. b]

]- 00, a] 1I111111111111111111111111111111111111111111~

la. + oo[a

---------olllllllllllllIlIIIIIIIIIIIIIIIIIlIlIlIlIUlllllllHllllIlIl111111111111111...71 Sendo A [O. S [ e B )1. 3 [. determinar C~

50-A 51-A

Page 32: Fundamentos de Matemática elementar - Vol1

VI. CONJUNTO DOS NÚMEROS COMPLEXOS

84. Em IR. a radiciação é uma operação, isto é, va E IR. qualquer que

seja o real a não negativo. Assim, por exemplo, .,f2, V'5, .era, sj3! e

6~ _, .V 7T sao numeros reais.

Desde que o índice da raiz seja ímpar, os radicais da forma ~,onde a E IR., também representam números reais. É o caso, por exemplo, de

if=1, Z! -32 e Z!"=3Se o radicando é negativo e o índice da raiz é par, entretanto, o radical

v::a não representa elemento de IR. Por exemplo, v'""=l não é real, pois:

v'""=l = x===>- 1 = x2

e isto é impossível pois se ,x E A, então x2

;;;. O.

85. Resolveremos definitivamente o problema de dar significado ao símbolo

va, para todo número a, introduzindo no volume F desta coleção o con·junto <I: dos nLimeros complexos do qual IR é um subconjunto.

Observemos que ~ C ;z C mC IR C <1:.

Notemos também que:

;Z - ~ = conjunto dos números inteiros negativosm-;Z conjunto dos números racionais nio inteiros.IR - m = conjunto dos núl\leros reais irracionais.

Finalmente lembremos das principais operações definidas em cada conjunto:

~: adição e multiplicaçãoz: adição, multiplicação e subtraçãom: adição, multiplicação, subtração e divisãoIR: adição, multiplicação, subtração, divisão e radiciação (para reais não ne­

gativos)

VIII. PRll'JCfPIO DA INDUÇÃO FINITA

87. A indução vulgar (generalização de propriedade após verificação de que apropriedade é válida em alguns casos particulares) pode conduzir a sérios enganosna Matemática. Vejamos dois exemplos:

VIL RESUMO 19) Consideremos a relação y

Temos:

n22 + 1 definida para n E ~.

86. Os conjuntos numéricos podem ser representados esquematicamente pela

figura abaixo:

52-A

n 0== y 220 + 1 21 + 1 3

n 1 == y 221 + 1 22 + 1 5

n = 2 == y = 222 + 1 = 24 + 1 = 17

n 3 ==> y 223 + 28 + 1 = 257

n 4 ==> y 224 + 216 + 1 = 65 537

Os números y encontrados são números primos. Fermat (1601-1665) acre·:Htou que a fórmula acima daria números primos qualquer que fosse o valorinteiro positivo atribuído a n. Esta indução é falsa pois Euler (1707-1783)1l0strou que para n = 5 resulta y = 22S + 1 = 232 + 1 = 4794.967,297 == 641 X 6700417, isto é, resulta um número divisível por 641 e que, portanto,,ão é primo.

53-A

Page 33: Fundamentos de Matemática elementar - Vol1

29) Dada relaçãon3 3n2 7n

3, definida todoa y +- - - + para6 2 3

n E IW *, temos:

1 = y13 3. 12 7 . 1

+ 3 =-1+9-14+18

2n -- +-- ---6 2 3 6

2= Y23 3. 22 7· 2

+ 3-8 + 36 - 28 + 18

3n = --+ -- ---6 2 3 6

33 3. 32 7· 3 -27 + 81 - 42 + 185n 3= y --+-----+3

6 2 3 6

n=4=y=43 3" 42 7· 4

3 =~64+ 144-56+ 18

= 7-- +-- --- +6 2 3 6

Poderíamos tirar a conclusão precipitada: "y é número primo, 'ri n EEsta indução também é falsa pois:

29) Se k E 11I, k ;;. no e P(k) é verdadeira, então P(k + 1) tambémé verdadeira.

29) Admitamos que P(k), com k E N*, seja verdadeira:

1 + 3 + 5 + ... + (2k - 1) '" k2 (hipótese da indução)

e provemos que decorre a validade de P(k + 1), isto é:

+ 3 + 5 + ... + (2k - 1) t [2(k + 1) - 1] (k + 1}2

",

(n E IW*)

19) Verifiquemos que P( 1) é verdadeira

n = 1 = 1 = 12

90. Provemos, por exemplo, que:

1 + 3 + 5 + ... + (2n - 1) = n2

89. Para provarmos que a relação é válida para todo n E IW* empregamos oprincípio da indução finita (P.I.F.) cujo enunciado segue:

Uma proposição P(n), aplicável aos números naturais n, é verdadeira

para todo n E 11I, n ;;. no, quando:

19) P(no) é verdadeira, isto é, a propriedade é válida para n = no, e

8-125 + 225 - 70'; 18

653 3. 52 7" 5

n = 5 ~ y = --+ -- - -- + 36 2 3

(n E N*)

88. ~ necessário, portanto, dispor de um método com base lógica que permitadecidir sobre a validade ou não de uma indução vulgar.

Consideremos, por exemplo, a igualdade:

1 + 3 + 5 +. .. + (2 n - 1) = n2

Temos: •

1 + 3 + 5 + ... + (2k - 1) + (2k + 1) = k2 + (2k + 1)\ J ~

r +

k2 + 2k + 1

Vamos verificar se ela é verdadeira:

n = 10 ~ 1 + 3 + 5 + ... + 19 = 100 = 102 (V)

que expressa a propriedade: "a soma dos n primeiros números ímpares positivos, 2 "e n.

n 2 == + 3 = 4 22 (V)

n = 3 =- + 3 + 5 9 = ~ (V)A.73

A.76 13 + 23 + 33 + + 3 ~ [n(n + 11]2 'ri E."... n 2' n '"

EXERCíCIOS

Demonstrar usando o prind~a indução finita.

n(n+ 1)~A.72 1 + 2 + 3+... + n = --2-' n E 1lJ*

n(4 + 3n)

A.74 20 + 21 + 22 + ... 2n-1 - 'ri n E 1\1'

,4.75 2 2 2 2 _ n(n + 11 (2n + 1) '"' E."r- 1+2+3+ ... +n- (6 .v n '"

(V)1==n

Mesmo que continuemos o trabalho fazendo a verificação até n = 1 000000não estará provado que a fórmula vale para todo n natural, pois poderá existirum n > 1 000000 em que a fórmula falha.

54-A 56-A

Page 34: Fundamentos de Matemática elementar - Vol1

A.77 a I 132n - 11. V n E W A.8S o número de diagonais de um polígono convexo de n lados é do nln - 31-2-'

Soluçãc

10) Pll) é verdadeira pois a I 132

- 11

29) Admitamos que Plkl, k E ~', seja verdadeira

a I 132k - 11 (hipótese da induçãol

e provemos que 8 I (32(k + 1) - 11:

Solução

10) P(3) é verdadeira pois:

n = 3 == d3

= 3(3 - 3) = O2

e isto é verdade porque um triângulo não tem diagonais.

então

291 Supondo válida a fórmula para um polfgono de k lados Ik;:;' 31:

dk -- klk2-3) Ihipótese da indução)

provemos que ela vale para um polígono de k + 1 lados:

_ Ik + 1I[(k + 11 - 3] = (k + 11 (k - 2)dk + 1 - 2 2

A.79 2 I (n 2 + nl, V n E ~.

6ln(n + llln + 21,Vn E~.A.78

A.80 3 I In3 + 2n), V n E ~.

A.81 (1 + 11 (1 + ~) 11 + ~I . • 11 + 2. 1n

n + 1, V n E W

Quando passamos de um polígono com k vértices para um de I:< + 1 vértices, acres­centando mais um vértice, ocorre o seguinte:

(i) todas as diagonais do primeiro polfgono continuam sendo diagonais do segundo;(ji) um lado do primeiro se 'transforma em diagonal do segundG;(Hi) no segundo há k - 2 novas diagonais las que partem do novo vértice).Vejamos, por exemplo, a passagem de um quadrilátero para um pentágono

Solução

19) PI1I é verdadeira pois 2· 1 ;:;, 1 + 1

20 1 Admitamos que P(k), k E ~', seja verdadeira:

A.83 1· 2 + 2 • 3 + 3. 4 +

c-c

8.8

D

AVnEWn In + 1) (n + 2)3

n : 1 ,V n E ~.

+ n(n + 11

1+ --­n(n + 11

+ -- +3-4

A.84 2n ;:;, n + 1, V n E ~.

1 1A.82 N + 2.3

21k + 11 = 2k + 2 ;:;, Ik + 11 + 2 > (k + 11 + 1

A.85 2n > n, V n E ~

e provemos que 2(k + 11 ;:;, (k + 11 + 1

Temos:

klk-3) k2 -3k+2k-2dk+ 1 = dk + 1 + Ik - 2) = --2- + k - 1 = 2

(k + 11 Ik - 2)2

são diagonais ~ AC e BD continuam diagonais---- AD se transforma em diagonal

EB e EC são diagonais

AC e BDAD é lado

Então:

(hipótese da induçãol2k ;:;, k +

4+ n 3 >.':'.- V n E ~'.

4

A.89 A soma das medidas dos ângulos internos de um pol(gono convexo de n lados éSn = (n - 2) • 1800

.

A.87 (1 + aln ;:;, 1 + na,V n E ~', V a E IR, a;:;' -1A.90 Se A é um conjunto finito com n elementos, então 'syIA), conjunto das partes

de A, tem 2n elementos.

56-A 57-A

Page 35: Fundamentos de Matemática elementar - Vol1

Desvendado mistério da continuidadeCAPÍTULO IV

-RELAÇOES

Julius W. R. Dedekind(1831 - 1916)

mas isto ficaria fora do nível deste curso.

I. PAR ORDENADO

dc e b(c, dI <=> ala, bl

Em Matemática existem situações, onde há necessidade de distinguir doispares pela ordem dos elementos. Por exemplo, no sistema de equações

{X+ Y =3

x ~ Y =. 1

x = 2 e Y = 1 é sol ução ao passo que x = 1 e Y = 2 não é solução.Se representássemos por um conjunto teríamos: {2, l} seria solução e {1, 2} .não seria solução. Há uma contradição, pois sendo {2, l} = {1, 2}, o mesmo con­junto é e não é solução. Por causa disso dizemos que a solução é o par ordenado(2, 1) onde fica subentendido que o primeiro elemento 2 refere-se a incógnitax e o segundo elemento 1 refere-se a incógnita y.

(a, b) = {{a}, {a, b}}

91. Chama-se par todo conjunto formado por dois elementos. Assim {1, 2},{3, -l}, {a, b} indicam pares. Lembrando do conceito de igualdade de con­juntos, observamos que inverter a ordem dos elementos não produz um novo par:

{1,2} = {2, 1}, {3, -l} = H, 3}, {a, b} = {b, a}.

(*) Poderíamos definir par ordenado como Kuratowski fez:

92. Admitiremos a noção de par ordenado como conceito primitivo (. I. Para ca.da elemento a e cada elemento b, admitiremos a existência de um terceiroelemento (a, b) que denominamos par ordenado de modo que se tenha

Julius Wilhelm Richar Dedekind foi um dos quatro filhos de uma familia luterana deBraunschweig, Alemanha. Entrou em Gõttingen aos dezenove anos e aos vinte e dois obteve seudoutoramento com uma tese sobre Cálculo, elogiada até por Gauss. Foi aluno de Dirichlet ededicou-se ao ensino secundário em Brunswick até os últimos anos de sua vida.

Preocupado com a natureza das funções e dos números, concentrou~se no problemados números irracionais desde 1858 quando dava aulas de Cálculo, publicando seu livro maiscélebre, "A Continuidade e os Números Irracionais".

Uma de suas grandes dúvidas era sobre o que há na reta geométrica contínua que adistingue dos números racionais, pois, Galileu e Leibniz haviam conclUl'do que entre dois'pontos quaisquer sempre existe um terceiro e, assim, 05 números racionais formam umconjunto denso mas não cont(nuo.

Relendo. Dedekind observou que a essência da continuidade da reta não está ligada àdensidade mas à natureza da divisão da reta em duas partes, que chamou classes, através de umúnico ponto sobre a reta. A essa qivisão da reta chamou "schnitt" ou "corte" , que passaria a sero apoio da Análise, pois com essa observação "o segredo da continuidade seria revelado".

Dedekind viu também que os pontos de uma reta podem ser postos em correspondênciabiunívoca com os números reais, o Que conseguiu ampliando .~ conjunto dos racionais. Estaconclusão é conhecida por nós como Axioma de Cantor-Dedekind.

Mais uma de suas observações foi sobre oteorema fundamental dos Iimites, achando quepara obter-se uma demonstração rigorosa desteconceito era necessário desenvolvê-lo somente atra­vés da Aritmética, sem interferência de métodosgeométricos embora estes tenham sido responsá­veis por seus brilhantes resultados"

Em 1879 foi o primeiro a dar uma definiçãoexpli'cita de corpo numérico como sendo uma co­leção de números Que formam um grupo abel ia no(comutativo) em relação à adição e multiplicação,no qual a multiplicação é distributiva em relação àadição. Este conceito, que foi fundamental para odesenvolvimento da Álgebra, também é responsávelpelo teorema dos inteiros algébricos, bem comointroduziu na Aritmética o conceito de "ideal".

Dedekind viveu tantos anos depois de Suacélebre introdução dos "cortes" que a famosaeditora Tebner deu como data de sua morte, 4 desetembro de 1899. Isto divertiu Dedekind queviveu mais doze anos e escreveu ao editor quepassara a data em questão em conversa estimulan­te"·com seu amigo Georg Cantor.

58-A59-A

Page 36: Fundamentos de Matemática elementar - Vol1

11. SISTEMA CARTESIANO ORTOGONAL 95. Teorema

c) coordenadas de P são os números reais xp e yp, geralmente indi-cados na forma de um par ordenado (xp, yp) onde xp é o primeiro termo.

d) eixo das abscissas é o eixo x (ou Ox)

e) eixo das ordenadas é o eixo y (ou Oy)

f) sistema de eixos cartesiano ortogonal (ou ortonormal ou retangular)é o sistema xOy

g) origem do sistema é o ponto O

94. Exemplo

hI plano cartesiano é o plano Ci

b) ordenada de P é o número real yp representado por P2(X p, yp), existem PI E x e

representa y p' conforme vimos

Iv'p

E

l

r~. , ;-,

I"

Ir

ri'

ordenado de números reaisP1 representa x p e P2

A.92 Assinalar no plano cartesiano os pontos: A(2, -3), BIO, -4), C(-4, -5), 01-1, OI,

1 5ElO, 5), F15, 4), G(3, O), H(-3, 2),11 2 '2)'

A.91 Dar as coordenadas de cada ponto do plano cartesiano abaixo.

Dado o parP2 E Y tais queno item 77.Se construirmos x' /I x por P2 e y' li y por P1 , essas retas vão concorrerem P. Assim, a todo par (xp , yp) corresponde um único ponto P, P E Ci.

Esquema: (xp, Ypl ------4 (P I , P2) ----> P

EXERCíCIOS

Demonstração

2? Parte

1? Parte

As definições dadas anteriormente indicam que a todo ponto P, P E Ci,

corresponde um único par de pontos (P I , P2 ) sobre os eixos x e y res­pectivamente e, portanto, um único par ordenado de números reais (xp, yp)tais que xp e yp são representados por P1 e P2 , respectivamente.

Esquema: P ------4 (P I , P2 ) -+ (xp, ypl

Entre o conjunto dos pontos P do plano cartesiano e o conjunto dospares ordenados (xp, yp) de números reais existe uma correspondência biunívo­

ca.

Tv

~ - - - .

B

y Co

,

y'Ci

YP2 P

x'

hO P 1 x

e

dois eixos x e yO, os quais deter-

Vamos localizar os pontos

93. Consideremosperpendiculares emminam o plano Ci.

Dado um ponto P qualquer, 'P E Ci.

conduzamos por ele duas retas:

Nestas condições definimos:

a) abscissa de P é o número real xp representado por PI

x' li x e y' li y

Denominemos PI a intersecção dex com y' e P2 a intersecção de y comx'.

A(2, O), B(O, -3), C(2, 5). D(-3, 4)

5 9E(-7, -3), F(4, -5), G( 2' 2)

5 9H(-2' -2)

no plano cartesiano lembrando que, nopar ordenado, o primeiro número repre­senta a abscissa e o segundo a ordenadado ponto.

60-A 61-A

Page 37: Fundamentos de Matemática elementar - Vol1

96. Definição

111. PRODUTO CARTESIANO

Sejam A e B dois conjuntos não vazios. Denominamos produto cartesianode A por B o conjunto A X B cujos elementos são todos pares ordenados(x, y) onde o primeiro elemento pertence a A e o segundo elemento pertence a B.

A X B = {(x, y) I x E A e y E B}

o símbolo A X B Iê-se "A cartesiano B" ou "produto cartesiano de A por B".

Se A ou B for o conjunto vazio, definimos o produto cartesiano de Apor B como sendo o conjunto vazio. .

, «I

,I I

I

:,,I

!x

3

39) Se A = {x E IR I 1 ,;;;; x < 3} ve B = {2} então temos A X B = {(x,2) I x E A}.2 -----

A representação gráfica de A X B dácomo resu Itado o conjunto de pontosdo segmento paralelo ao eixo dos x dafigura ao lado.

49) Se A = {x E R I 1 ,;;;; x ,;;;; 3} e B = {x E IR I 1 ,,;;; x ,;;;; 5} te­mos A X B = {(x, y) E R 2 I 1 ,;;;; x ,;;;; 3 e 1 ,;;;; y ,;;;; 5} representado gra­ficamente no plano cartesiano pelo conjunto de pontos de um retângulo. Note­mos que B X A = {(x, y) E R 2 I 1 ,;;;; x ,;;;; 5 e 1 ,;;;; Y ,;;;; 3} é representa­do por um retângulo distinto do anterior.AXcp=0

AXB

97. Exemplosv5 -------r-----,

v BXA

19) Se A = {1, 2, 3} e B = {1, 2} temos

A X B = {(1, 1), (1, 2), (2, 1). (2,2), (3, 1), (3, 2)}

e 3 - -- - --,...----------,-

B X A = {(1, 1). (1,2), (1,3), (2,1), (2,2). (2,3)}

e as representações no plano cartesiano são as seguintes:

29) Se A = {2, 3} então o conjunto A X A (que também pode serindicado por A2 e lê-se "A dois") é

A X A = {(2, 2), (2,3), (3, 2), (3,3)}

2 3

2 ------.~11!!-t!~c?!.~l;l, 2)

I I I

______ ~~1_,_ ~ ~_~~~.-1j--~~, 1), I

: I, :, ,I I

-r----+---+--+----<~ x1) Se A *' B então A X B *' B X A, isto é, o produto cartesiano

de dois conjuntos não goza da propriedade comutativa.

2) Se A e B são conjuntos finitos com m e n elementos respectivamente,então A X B é um conjunto finito com m· n elementos.

3) Se A ou B for infinito e nenhum deles for vazio então A X B é umconjunto infinito.

5 xx

1 ---- - 1- -\-_

3

98. Observações

.. x

BXA

2

V

3 ~~~~~~-~~, 3)

iI I

:(1,2) :(2,2)2 ------f------ ...-

I II II I

i(1, 1) :(2, 1)----- --,-- -----t-

I III

A x Bv

52-A 63-A

Page 38: Fundamentos de Matemática elementar - Vol1

EXERCICIOS IV. RELAÇÃO BINÃRIA

bl B X A

ai A X B

representar pelos elementos e pelo gráfico cartesiano os seguintes produtos:

x..

B

432

A

6 - - - - - - - 0- - -(1)- - -~--, , I

,5 -------~---t---t--

, ,I '

4 - - - - - - -(1)- - -~- -0-: :

3 ---- --- --t---G-~-+--, , ,

,2 --------8--+---+--, ,, ,

, :

99. Consideremos os conjuntos A = {2, 3, 4}

e B = {2, 3, 4, 5, 6}, O produto cartesianode A por B é o conjunto

A X B = {(x, y) I x E A e y E B}

formado por 3· 5 = 15 elementos represen­tados na figura ao lado, Se agora considerarmoso conjunto de pares ordenados (x, y) de

A X B tais que x I y (lê-se: x é divisor de

Y), teremos

R = {(x, y) E A X B I xly}

= {(2, 2), (2, 4), (2, 6), (3, 3), (3, 6), (4, 4)}

que é chamado relação entre os elementosde A e de B ou, mais simplesmente, uma rela­ção binária de A em B.

O conjunto R está contido em A X Be é formado por pares (x, y) em que o ele­mento x de A é "associado" ao elemento y de

B mediante um certo critério de "relaciona­

mento" ou "correspondência".

Será bastante úti I a representação da rela­

ção por meio de flechas, como na figura ao lado.

c) A X C

f) c2

cl B X Cf) C2

represente pelos elemen-9,

C~{-1,O,2}

A C B C C. Estabelecer as relações de in­B, A X C, B X A, B X B, B X C, C X A,

e

bl B X Ael B2

bl A X Ce) A2

Bc{-2,1}

{11,21, (4,2)} C A2

A2

Dados os conjuntos

A c {x E IR 11 <; x <; 3}

B c {x E IR I -2 <; x <; 2}

C - {x E l:l I -4 < x <; 1}

representar graficamente os seguintes produtos:

ai A X Bd) C X A

ai A X B

d) C X B

A.94

A.93 Dados os conjuntos

A ~ {1, 3,4}

A.95 Dados os conjuntos A - {1, 2,3,4} e B (x E IR I 1 <; x <; 4} representargraficamente os conjuntos:

c) IA X BI U (B X A)

A.96 Sejam os canju ntos A, B e C tais queclusâo entre os conjuntos A X A, A XC X B e C X C.

A.97 Sabendo quetos o conjunto

Solução

O número de elementos de A2

é igual ao quadrado do número de elementos de A, por­tanto

100. Definição

Dados dois conjuntos A e B, chama-se relação binária de A em B todo

subconjunto R de A X B.

Se A é um conjunto de 3 elementos, 11,2) E A2 e 14,21 E A2, conciu{mos queA~{1,2,4}. R é relação binária de A em B -<= R C A X B.

Assim sendo,

A X A - {Il, li, 11, 21, (1,4),12,1),12,2),12,41,14, li, 14, 2),14, 4)}

A.98 Se {ll,-2), (3, O)} C A2 e n1A2 ) ~ 16 então represente A2 pelosseus elemen­tos.

Se, eventualmente, os conjuntos A e B forem iguais, todo subconjunto de

A X A é chamado relação binária em A.

A.99 Considerando A C B, {to, 51, (-1,2), 12,-1)} C A X B e nlA X B) ~ 12,'e­presente A X B pelos seus elementos.

R é relação binária em A -<= R C A X A

64-A 65-A

Page 39: Fundamentos de Matemática elementar - Vol1

Y, ; , ~ :6 ----.---.---t--\:!J-- .. --

: : : I !5 l __ .l __ cb __ .l L_

1 , 'V I I

4 -)--4--~--~---L; : : ; :

3 ~_~--l_--~--.L_W I T I t

I I I I II I ti'

2 + __ +__ +__-+- _-t -I I I II I ' I I

---~--+--~--~--~-I ti, I

" ,:: :

Utilizaremos as seguintes nomenclaturas já consagradas

A = conjunto de partida da relação RB = conjunto de chegada ou contra-domínio da relação R.

Quando o par (x, y) pertence a relação R, escrevemos x R y (lê-se: ".erre y")

Ix, yl E R ~ x R y

e se o par (x, y) não pertence a relação R escrevemos x fÍ y (lê-se: "x nãoerre y") 2 3 4 5 x

A B

Ix, yl !Í R ~ x" yR

39) Se A = {-1, O, 1, 2} quais são os elementos da relação{(x, y) E A2 I x2 = y2}?

Fazendo a representação gráfica notamos que

R = l(O, O), (1,1), (1, -1), (-1, -1), (-1,1). (2,2)}

pe-

BA

e B = {y E IR I 1 .;;; y .;;; 2}R = {(x, y) E A X B I y = x}

y

----~-----e: ', ', ,

, 2-~-----

,,,

é---1- ---($)---+

, ,, ,, ,, ,

-1 : : 1 : 2 x, ', "I -1 1 I

(D----- ---0---+-

49) Se A = {x E IR I 1 .;;; x .;;; 3}de-se a representação cartesiana de A X B e

101. Exemplos

19) Se A = {1, 2, 3, 4, 5} e B = {1, 2, 3, 4} quais são os elementos darelação R = {(x, y) I x < y} de A em B?

Os elementos de R são todos os pares ordenados de A X B nos quais oprimeiro elemento é menor que o segundo, isto é, são os pares formados pela"associação de cada elemento x E A com cada elemento de y E B tal quex < y".

Temos então yAXB

y

R = {(1, 2), (1,3), (1,4), (2,3), (2,4), (3,4)}

29) Se A = {1, 2, 3, 4, 5} e B = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, quais são os elemen-tos da relação binária R de A em B assim definida: x R y ~ y = x + 27

Fazem parte da relação todos os pares ordenados (x, y) tais que x E A,y E B e y = x + 2.

, ,

2 -~--------D~~, ,: :, ,, '

Utilizando as representações gráficas 3 x 3 x

66-A 67-A

Page 40: Fundamentos de Matemática elementar - Vol1

EXERCICIOS 103. Exemplos

A.l00 Pede-se:

qual

x1_____

D~

A

x3

R {(2, 2). (2, 4) (2, 6), (3, 3), (3, 6). (4, 4)}O ; {2, 3, 4} Im ; {2, 3, 4, 6}

A.l05 Estabelecer o domínio e a imagem das relações binárias do exercício A.100.

Utilizando a representação cartesiana

A.l04 Estabelecer o domínio e a imagem das seguintes relações:

a) {Il, 1), 11,3),12, 4)} b) {1-2, 4),1-1,1), (3, -71, (2, 1)}

c) {12, 1), 11, -3), 15, .,j2Ü d) {Il +..;2, ..;2), 11 -.J3, 1)}

{1 53}

e) (3, 2'), ("2' -1),1"2' O)

EXERCICIOS

temos D ;{xE IR 11 ~x~2} e Im; {yE IR I 2~y~4}

B

2?) Se A; {x E IR I 1 ~ x ~ 3} e B; {y E IR I 1 ~ y ~ 4}.é o domínio e a imagem da relação R; {(x, y) E A X B I y ; 2x}?

1?) Se A; {D, 2, 3, 4} e B; {1, 2, 3, 4, 5, 6} qual é o domínio

e a imagem da relação R; {(x, y) E A X B I Y é múltiplo de x}?

Utilizando o esquema das flechas éfácil perceber que O é o conjunto doselementos de A dos quais partem flechase que Im é o conjunto dos elementos deB aos quais chegam flechas, portanto:

b) x S y <==> x2 = y

dI x V y <==> x + y > 2a) x R y <==> x + y = 2

c) x T y <==> Ixl = Iylel x W y <===> Ix - yl2 = 1

102. Definição

Seja R uma relação de A em B.

Chama-se dominio de R o conjunto D de todos os primeiros elementosdos pares ordenados pertencente a R,

x E O ~ 3y, Y E B I (x, y) E R' I

Il enumerar pares ordenados111 representar por meio de flechas

111) fazer o gráfico cartesiano

das relações binárias de A = {-2, -1, 0,1, 2} em B = {-3, -2, -1,1,2,3, 4} de­finidas por:

V. pOMfNIO E IMAGEM

A.103 Dado o conjunto A = {m E Z I -7 ~ m < 7}. Construir O gráfico cartesiano darelação binária R em A definida por:

x R y <==> x2 + y2 = 25.

A.l0l Dado o conjunto A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Enu merar os pares ordenados e constru iro gráfico cartesiano da relação R em A dada por:

R = {Ix, yl E A2 I mdc Ix, y) = 2}

A.l02 Seja o conjunto A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Construir o gráfico cartesiano da relaçãoR em A definida por:

x R y <====* X e y são primos entre si.

Chama-se imagem de R o conjunto Im de todos os segundos elementos dospares ordenados pertencentes a R.

A.l06 Sejam os conjuntos A = {-2, -1, O, 1,2,3,4, 5}, B = {-2, -1, 0,1, 2} e R a

relação binária de A em B definida por

x R y <==> x = y2

Y E Im ~ 3x, x E A I (x, y) E R

Decorre da definição que D C A, e Im C B.

Pede-se:

a) enumerar os pares ordenados de Rb) enumerar os elementos do dom(nio e da imagem de R

c) fazer o gráfico cartesiano de R

58-A 69-A

Page 41: Fundamentos de Matemática elementar - Vol1

A.l07 Se R é a relação binária de A ~ {x E IR I 1 ,;; x';; 6} em B {y E IR I 1 ,;; y ,;; 4definida por

xRy=x~2y

Pede-se:

a) a representação cartesiana de A X Bb) a representação cartesiana de Rc) o domínio e a imagem de R

A.l0S Se R e S são as relações binárias de A ~ {x E;Z I -2 ,;; x ,;; 5} emB ~ {y E;z I -2 ,;; y ,;; 3} definidas por:

x R y = 2 divide Ix - y)x S y = Ix - 1)2 ~ Iy - 2)2 A B B A

Pedem-se:

a) as representações cartesianas de R e de Sb) o domínio e a imagem 'de R e de Scl R n S.

temos R

e R-I

{(2, 3), (2, 5), (2, 7), (3, 5), (3, 7), (4, 5), (4, 7), (5, 7l.f{(3, 2), (5,2), (7, 2), (5, 3), (7, 3), (5, 4), (7, 4), (7, 5)}

VI. RELAÇAo INVERSA

2?) Se A = {x C IR I 1 ,;; x ,;; 4} e B = {y E IR I 2 ,;; y ,;; 8} re-

presentar no plano cartesiano as relações R {(x, y) E A X B I y = 2x} e

sua inversa R-I .

y

. '

-----~-

---_ ..~-

104. Defi nição

Dada uma relação binária R de A em B, consideremos o conjunto

w ' = {(V, x) E B X A I (x, y) E R}

Como R-I é subconjunto de B X A, então R-I é uma relação binária de

B em A à qual daremos o nome de relação inversa de R.

Iy, xl E R-I = (x, y) E. R

8

2

4

VII. PROPRIEDAQES

x

4

2 8 x

Decorre dessa definição que R-I é o conjunto dos pares ordenados obtidos

a partir dos pares ordenados de R invertendo-se a ordem dos termos em cada par.São evidentes as seguintes propriedades

la) D(W' ) = Im(R)

Isto é, o domínio de R-I é igual à imagem de R.

105. Exemplos

R

70-A

10) Se A = {2, 3, 4, 5} e B = {1, 3, 5, 7} quais são os elementos de{(x. y) E A X B I x < y} e de W ' ?

Utilizando o esquema das flechas

2~) Im(R-I ) = D(R)

isto é, a imagem de R-I é igual ao domínio de R.

3a) (R-I)-I = R

isto é, a relação inversa de R -I é a relação R.

71-A

Page 42: Fundamentos de Matemática elementar - Vol1

EXERCfclOS

A.109 Enumerar os elementos de R-I, relação inversa de R, nos seguintes casos:

ai R = {(l, 2),13,1),12, 31}

b) R = {(l, -1),12, -1), (3, -1). (-2, 1)}

c) R = {(-3, -2), 11,3), 1-2, -31, 13, 1)}

A.l10 Enumerar os elementos e esboçar os gráficos de R e R-I, . relações binárias emA = {x E rIJ 1 x ,ç lO}, nos seguintes casos:

ai R = {(x, y) E A2 1 x + Y = s}b) R = {Ix, y) E A2 I x + 2y = lO}

cl R = {Ix, yl E A2 I y = (x - 31 2 + I}

d) R = {Ix, y) E A2 I y = 2 X}

CAPÍTULO V

-FUNÇOES

I. CONCEITO DE FUNÇÃO

e as seguintes relações binárias de A em B:

106, Vamos considerar, por exemplo, os conjuntos

A = {O, 1, 2, 3} e B = {-1, O, 1, 2, 3}

A.lll Dados os conjuntos A = {x E IR 11 ,çx,ç 6}. B = {y E IR 12,ç y,ç lO} e as seguin­tes relações binárias:

ai R = {Ix, y) E A X B I x = y}

bl S = {(x,y)EAXB I y = 2x}

c) T = {Ix, yl E A X B I y = x + 2}

d) V = {Ix, v) E A X B Ix+y=7}

pede·se o gráfico cartesiano dessas relações e das respectivas relações inversas.R = {(x, V) E A X BS = {(x, V) E A X BT = {(x, V) E A X BV = {(x, V) E A X BW = {(x, V) E A X B

V = x + 1}V2 = x2 }

V = x}Iv (x-l)2-1}I V = 2}

Analisando cada uma das relações temos:

a) R = {(O, 1), (1, 2), (2,3)}

Para cada elemento x E A, comexceção do 3, existe um só elementoV E B tal que (x, V) E R.

Para o elemento 3 E A, não exis­te V E B tal que (3, y) E R.

b) S = {(O, O), (1, 1), (1, ~1),

(2, 2), (3, 3)}

Para cada elemento x E A, comexceção do 1, existe um só elementoV E B tal que (x, V) E S. Para o ele·mento 1 E A existem dois elementos deB, o 1 e o -1 tais que (1, 1) E S e(1, -1) E S.

72-A 73-A

Page 43: Fundamentos de Matemática elementar - Vol1

As relações T, V, W, que apresentam a particularidade: "para todo x E Aexiste um só y E B tal que (x, y) pertence a relação", recebem o nome deaplicação de A em B ou função definida em A com imagens em B.

f não é função.

109. Podemos verificar através da representação cartesiana da relação f de A em

B se f é ou não função: basta verificarmos se a reta paralela.ao eixo y condu·zida pelo ponto (x, O), onde x E A, encontra sempre ográfico de f em um sóponto.

@:-----o----- - --A -----. B

I não é lu nção

~---a-----

A "- ••- B

1?) se existir um elemento de Ado qual não parta flecha alguma ou

2?1 se existir um elemento de A

"""do qual partam duas ou mais flechas

108. Vejamos agora com o auxílio do esquema das flechas, que condições devesatisfazer uma relação f de A em B para ser aplicação (ou função).

1?) é necessário que todo elemento x E A participe de pelo menos um par(x, Xl E f, isto é, todo elemento de A deve servir como ponto de partida de fle-aJiJ.---.-- .. - -..'

2?) é necessário que cada elemento x E A participe de apenas um único par(x, y) E f, isto é, cada elemento de A deve servir como ponto de partida de um~única flecha.

Uma relação f, não é aplicação (ou função) se não satisfazer uma das con·dicões acima isto é,

110. Exemplos

d) V = {(O, O), (1, -1), (2, O), (3, 3)}

c) T = {(O, O), (1, 1), (2, 2), (3, 3)}

Para todo elemento x E A, semexceção, existe um só elemento y E Btal que (x, y) E V.

e) W = {(O, 2), (1,2), (2, 2), (3, 2)}

Para todo elemento x E A, semexceção, existe um só elemento y E Btal que (x, y) E W.

Para todo elemento x E A, semexceção, existe um só elemento y E Btal que (x, y) E T.

11. DEFINIÇÃ(

107, Dados dois conjuntos A e Bi '), não vazios, uma relação f de A em Brecebe o nome de aplicação de A em B ou função definida em A com imagens

em B se, e somente se, para todo x E A existe um só y E B tal que (x, y) E f.

1?) A relação f de A em IR, com

A ~ {x E IR I ..1 < x < 3},

representada ao lado é função, pois todareta vertical conduzida pelos pontos deabscissa x E A encontra sempre o grá­fico de f num só ponto. x

f é aplicação de A em B <==> (\Ix E A, 31 y E B I (x, yl E f)

(li) Em todo o nosso estudo de funções, fica estabelecido que A e 8 são conjuntos forma­dos de números reais, isto é, A e B contidos em IR.

2?) A relação f de A em IR repre­sentada ao lado, onde

A = {x E IR I -2 < x < 2}

não é função, pois há retas verticais queencontram o gráfico de f em dois pon­tos.

-2 2 x

74-A 75-A

Page 44: Fundamentos de Matemática elementar - Vol1

A.114 Quais das relações de IR em IR cujos gráficos aparecem abaixo, são funções? Justificar.3?) A relação f de A em IR, re­presentada ao lado, onde

A ~ {x E IR I O .;; x .;; 4}

não é função de A em IR pois a retavertical conduzida pelo ponto (1, O) nãoencontra o gráfico de f. Observemos quef é função de B em IR onde

B ~ {x E IR I 2 .;; x .;; 4}.

y

2 3 x

aiI"

1..-

1/1..-

1..-

1.11.1

1.1 xG

1.1

bly

...1-...I\. x,...

r--,...

c)

Iv

I, 1/I' 1..-

I' 1/ xI' 1/

EXERC(CIOS

fiIv

x

e)

Iv

V

I~ x1/

1.)

di

Iv

1\ I1-.1\ 1I

1\x

B(blABlalA

A.112 Estabelecer se cada um dos esquemas das relações abaixo define ou não uma funçãode A = {-1. 0,1, 2} em B = {-2, -1, 0,1,2, 3}. Justificar.

R

A.113 Quais dos esquemas abaixo definem uma função de A = {O, 1. 2} em B = {-1, 0, 1, 2}? 111. NOTAÇÃO DAS FUNÇÕES

111. Toda função é uma relação binária de A em B, portanto, toda função éum conjunto de pares ordenados.

Geralmente, existe uma sentença aberta y ~ f(x) que expressa a lei me­diante a qual, dado x E A, determina-se y E B tal que (x, y) E f, entãof ~ {(x, y) I x E A, y E B e y = f(x)}.

Isto significa que, dados os conjuntos A e B, a função f tem a lei decorre~pondência y = f(x).

Para indicarmos uma função f, definida em A com imagens em B se­gundo a lei de correspondência y = f(x), usaremos uma das seguintes notações

f: A - Bx ...---- f(x)

ouA -.!..,. Bx ..-.. f(x)

76-A 77-A

Page 45: Fundamentos de Matemática elementar - Vol1

112. ExemplosEXERCICIOS

19) f: A __ B

x ~ 2x

é uma função que associa a cada x de A um y de B tal que y; 2x.

A.115 Oual é a notação das seguintes funções de IR em IR?

a) f associa cada número real ao seu opostob) 9 associa cada nú.nl"ero real ao seu ·cubod h associa cada número real ao seu quadrado menos 1d) k associa cada número real ao número 2

29) f: IR ~ IR

x f------* x2

é uma função que leva a cada x de IR um y de IR tal que y ~ x2 •

39) f: IR+ ~ IRx ~ y-;

A.116 Oual é a notação das seguintes funções?

aI f é função de <D. em ((} que associa cada número racional ao seu oposto adicionadocom 1.

b) 9 é a função de Z em Ql que associa cada número inteiro à potência de base 2desse número.

cl h é a função de IR* em IA que associa cada número real ao seu inverso.

é uma função que faz corresponder a cada x E IR+ um y E IR tal que y; y-;:A.117 Seja f a função de IR em IR definida por I(x) = x2 - 3x + 4. Calcular:

1c) f(21

f) f(l - vil

113. Se (a, b) E f, como já dissemos anteriormente, o elemento b é chama­do imagem de a pela aplicação f ou valor de f no elemento a e indicamos:

f(a) ; b

que se lê "f de a é igual a b".

A.118 Seja f a função de,z em,z definida por I(xl = 3x - 2. Calcular:

a) f(2)

b) 1(-31

A.119 Seja f a função de IR em IR assim definida

a) a imagem de O pela aplicação f é 1, isto é:

f( O) o 2 • O + 1 ; 1

A.120 Seja a função f de IR em IR definida por

3do dom ínio que tem - 4 como imagem?

114. Exemplo

Seja a função

f: IR --+ IRx f------* 2x + 1 então

a) 1(3)

d) f (";';1

f(xl = {1 se x E (Qx+lsexrj:.111

bl f(-~)7

el 1(V3- 1)

f(x)

c) flV2l

f) flO,75)

2x - 3--5-' Qual é o elemento do

basta, portanto, resolver a equação

Resposta: o elemento é x

2x - 35

x tal que

38

34(2x-3)=-3'5 <==> 8x-12=-15 <==> xC-a<==>

34

2x - 35

Resolvendo a equação:

Queremos determinar o valor de

Soluçãob) a imagem de -2 pela aplicação f é -3, isto é:

c) analogamente

f(-2) ; 2 • (-2) + 1 ; -3

1 1f("2) = 2 • 2 + 1 2

f(y'2) ; 2 • y'2 + 1

f(O,7) ; 2 • 0,7 + 1 ; 2,4

78-A 79-A

Page 46: Fundamentos de Matemática elementar - Vol1

A.121 Seja a função f de IR - {1} em IR definida por Hxl -~ Oual é o elemento- x - 1 . Notemos, que, feita a representação cartesiana da função f, temos:do domlnio que tem imagem 27

A.122 Ouais são os valores do domlnio da função real definida por f(x) = x2 - 5x + 9 queproduzem imagem igual a 37

Dominio

(O) é O conjunto das abscissas dos pontos tais que as retas verticais condu­zidas por esses pontos interceptam o gráfico de f, isto é, é o conjunto formadopor todas as abscissas dos pontos do gráfico de f.

IV. OOMfNIO E IMAGEM

Imagem

(I m) é o conjunto das ordenadas dos pontos tais que as retas horizontaisconduzidas por esses pontos interceptam o gráfico de f, isto é, é o conjunto for­mado por todas as ordenadas dos pontos do gráfico de f.

115. Definição 116. Exemplos

Considerando que toda função f de A em B é uma relação binária, entãof tem um dominio e uma imagem.

Chamamos de dominio o conjunto O dos elementos x E A para os quaisexiste y E B tal que (x, y) E f. Como, pela definição de função, todo elementode A tem essa propriedade, temos nas funções:

domrnio = conjunto de partida

y

x

-2 o x

para os quais O {x E IR -2 .;;; x .;;; 1} O = {x E IR -2 .;;; x .;;; 3}

Im {y E IR O';;; y .;;; 4} Im = {y E IR -1 .;;; y .;;; 4}

3?) y 4?) y

er----. .L......-ç, , : :, : 1 : :

,

x -2 -1 2 x

-2

O {x E IR I x *- O} O {x E IR I -2 < x < 2}Im {y E IR I -2 < y < O Im {1, 2}

ou 1 < y < 2}

81-A

contra-domfnio

Im C B

domfnio

8o-A

isto é,0= A.

Chamamos de imagem o conjunto Im dos elementos y E Bexiste x E A tal que (x, y) E f, portanto:

imagem é subconjunto do contradomrnio

isto é,

Page 47: Fundamentos de Matemática elementar - Vol1

117. As funções que apresentam maior interesse na Matemática são as funçõe~

numéricas, isto é, aquelas em que o domínio A e o contradomínio B são subcon­juntos de R. As funções numéricas são também chamadas funções reais de variá­

vel real.

Observemos que uma função f fica completamente definida quando sãodados o seu domínio D, o seu contradomínio e a lei de correspondencia y= f(x).

Quando nos referirmos à função f e dermos apenas a sentença abertay = f(x) que a define, subentendemos que D é o conjunto dos números reais xcujas imagens pela aplicação f são números reais, isto é:

x E D <== f(x) E IR.

EXERCíCIOS

A.123 Estabelecer o domínio e a imagem das funções abaixo:

118. Exemplos A.124 Nos gráficos cartesianos das funções abaixo representadas, determinar o conjunto ima·gemo

D = IR'.

Tomemos algumas funções e determinemos o seu domínio.

notemos que -!. E IR se, e somente se, x é real e diferente de zero; temos entãox

1?) y = 2x

notando que 2x E IR para todo x E IR, temos:

D = IR.

)r y 1...-1/1

\/1...- ,

1/111' x

/

1/1...-

1/

) y I"1/

1/\/

1/

x

e

d

l,

li'111'

li' I~

1/

I-1-1-.. 1--1-

- Iv

a)

b)

x3?) y

2?) y = x2

notando que x2 E IR para todo x E IR, temos:

D = IR.

4?) y=~

notemos que ..;-;. E IR se, e somente se, x é real e não negativo, então

D = IR+.

5?) y = .çr;notando que .çr; E IR para todo x E IR, temoS:

D = IR.

l,

:" 1/1'\ 1/

i'\ \/I".. 1/

("v

) Iv

Iv

I/ 1\

TI

82-A 83-A

Page 48: Fundamentos de Matemática elementar - Vol1

A.125 Considerando que os gráficos abaixo são gráficos de funções, estabelecer o domíni(

e a imagem.

i?) As funções f(x) ~ fi e g(x)

fi ~ Ixl, vxE IR.

3 - 1 ~ 2 e g(3) ~

120. Exemplos

2

1 - 1--~O1 + 1

4 - 12 + 1

9 - 1

3+1

x2- 1

X+1

Ixl de R em R são iguais, pois

e g(2)

{-2,-1,O,l,2} entãoasfunçõesde A

o e g(l)

x - 1 e g(x)

- 1

2 - 1

x 3 === f(3)

x ~ 2 === f(2)

f(x)

x ~ 1 = f(l)

são iguais, pois

1?) Se A ~ {1, 2, 3} e B

em B definidas por:) lv

f-I--

f-7~ 1/ '/ l/V V 1/

x

I ly1/1'\

1/ 1\

i\ 11 x

I'l..I

d

eI- r-r-r-

y

KJ'\

I'. xI'\.

I',

\ Y ! I'f-1--1-

---+-1-

I-

I--

,x

L_~__

a

b

~7 Sejam as funções f, 9 e h de IR em IR definidas por flx) x3• g(yl ~ y3 e

. h( z) = z3. Quais delas são iguais entre si?

c I y

!"\1/ I'

lI'I'\.

x

I y

x

3<:') As funções f(x)

xi= Ixl para x<O.

EXERCfclOS

x e g(x) ~ Ix I de R em fi não são iguais, pois

+128 As funções: f de IR em IR definida por f(xl =...;;:i e 9 de IR em IR definida

por g(x) = x são iguais? Justificar.

são iguais? Justificar.~glx) = \I 2

x - x~+.

f(xl = -- ex2 .- x).

/ As funções f ~ 9 cujas leis de correspondência sito

)8-1 ~ ...f(xl = -- e glx) = v'X+1 podem ser IguaIS? Justificar.

x+1 x+1

A.J3(l As funções f e 9 de A = {x E IR I -1 < x < O ou x> 1} em IR. definidas por:

/V. FUNÇÕES IGUAIS

A.126 Dar o domínio das seguintes funções reais:

ai f(xl = 3x + 2 bl g(x)1

x - 1x + 2

c) h(x) =x2 - 4

d) p(x) = .,;x-:l

e) q(x)1 v;:;2

=~

t) r(x) =x - 2

gl s(xl=~ h) t(xl = 1

ulxl =lf;+2 ~2x + 3

i)x - 3

119. Definição

A

Duas funções, f de A em B e 9 de C em D são iguais se, e somente se,C, B ~ D e f(x) ~ g(x) para todo x E A.

f: IR ----> IR• Jo.o-.--+. + 1

e g: IR - {1}

•---> IRf-----+ .2 - 1

• - 1

são iguais? Justificar.

84-A (85-A

Page 49: Fundamentos de Matemática elementar - Vol1

APl:NDICE SOBRE INEQUAÇÕES

Vamos ver aqui algumas técnicas úteis para os próximos capítulos.

121. Definição

Sejam as funções f(x) e g(x) cujos domínios são respectivamente Dl C IRe D2 C IR. Chamamos inequação na incógnita x, a qualquer uma das sentençasabertas, abaixo:

f(x) > g(x)f(x) < g(x)f( x) ;;. g( x)f(x} ,,;;; g(x}

Exemplos

, 1~) 2x - 4 > x é uma inequação onde f(x) ; 2x - 4 e g(x); x.

2c:') 3x - 5 < 2 é uma inequação onde f(x) ; 3x - 5 e g(x); 2.

123. Solução

o número real Xo é solução da inequação f(x) > g(x} se, e somente

se, é verdadeira a sentença f(xo) > g(xo).

Exemplo

O número real 3 é solução da inequação 2x + 1 > x + 3, pois

2·3+1>3+3'---.,,--J '--v----l

f(3) 9(3)

é uma sentença verdadeira.

124. Conjunto-solução

O conjunto S de todos os números reais x tais que f(x) > g(x) é uma

sentença verdadeira, chamamos de conjunto-solução da inequação.

3c:') x2 - 3 ;;. ~ é uma inequação onde f(x}; x2 - 3 e g(x)x

='-x

isto

Exemplo

A inequação 2x + 1 > x + 3 tem o conjunto-solução S; {x E IR I x> 2},é, para qualquer Xo E S a sentença 2xo + 1 > Xo + 3 é verdadeira.

o r---;. 1 ~ 14.) V x - 2";;; x _ 3 é uma inequação onde f(x) ; v x - 2 e g(x); --.

x-3

122. Domínio de validade

Se não eXistir o número real x tal que a sentença f(x) > g(x) sejaverdadeira, diremos que a inequação f(x) > g(x) é impossível e indicaremos o

conjunto solução por s; 0.

xoÉS = xoED

Resolver uma inequação, significa determinar o seu conjunto-solução. SeXo E' R é solução da inequação f(x} > g(x}, então, Xo é tal que f(xo) E Re g(xo) E IR, isto é, Xo E O (domínio de validade da inequação). Assim sendo,

temos

Chamamos de domínio de validade da inequação f(x) < g(x) o conjuntoD ; Dl n D2 , onde Dl é o domínio da função f e D2 é o domínio da funçãog. É evidente que para todo Xo E D, estão definidos fIxo) e g(xo), isto é:

Xo E D <== (xo E Dl e Xo E D2 ) <== (f(xo) E IR e g(xo) E R)

Nos exemplos anteriores, temos:

lc:') D ; IR n R IR

2c:') D ; IR n IR IR

3c:') O ; fl n IR" ; IR"

Exemplo

O conjunto-solução da inequaçãoexiste Xo E IR t.al que a sentença Xo

x + 1 > x + 2 éS; rfJ, pois não+ 1 > Xo + 2 seja verdadeira.

86-A

4c:') O ; {x E R{x E IR

x ;;. 2} n {x E IR I x i= 3}x ;;. 2 e x i= 3}

ou seja, o conjunto-solução é sempre subconjunto do domínio de validade da

inequação.

87-A

Page 50: Fundamentos de Matemática elementar - Vol1

125. Inequações equivalentes

Duas inequações são equivalentes em O C IR se o conjunto-solução daprimeira é igual ao conjunto-solução da segunda.

Exemplos

1?) 3x + 6 > O e X + 2 > O são equivalentes em IR, pois o conjunto­solução de ambas é S = {x E IR I x> 2}.

2?) x < 1 e x2 < 1 não são equivalentes em IR, pois Xo = -2 é solu­ção da primeira mas não o é da segunda.

portanto, como (}) é equivalente a @' temos:

S = {x E R I x > 4}.

Na prática, aplicamos a propriedade P-l com o seguinte enunciado:"em uma inequação podemos transpor um termo de um membro para outrotrocando o sinal do termo considerado":

f(x) + h(x) < g(x) = f(x) < g(x) - h(x).

Assim, no exemplo anterior, teríamos:

3x - 1 > 2x + 3 = 3x - 1 - 2x > 3 = x > 3 + 1 = x > 4.

126. Princípios

P-1) Sejam as funções f(x) e g(x) definidas em Dl e D2 , respectivamente. Sea função h(x) é definida em Dl n D2 , as inequações

f(x) < g(x) e f(x) + h(x) < g(x) + h(x)

são equivalentes em Dl n D2 -

Na resolução de uma inequação procuramos sempre transformá-Ia em outraequivalente e mais "simples", em que o conjunto-solução possa ser obtido commaior facilidade. Surge, então, a pergunta: "que transformações podem ser feitasem uma inequação para obter-se uma inequação equivalente?". A resposta a estapergunta são os dois princ(pios seguintes:

adicionemos h(xl = -2x + 1 aos dois membros:

P-2} Sejam as funções f(x) e g(x) definidas em Dl e D2 , respectivamente. Sea função h(x) é definida em Dl n D2 e tem sinal constante, então:

a) se h(x) > O, as inequações f(x) < g(xl ef(x) • h(x) < g(xl • h(x) são equivalentes em Dl n D2 •

b) se h(x) < O, as inequações f(xl < g(x) ef(x) • h(x) > g(xl • h(x) são equivalentes em Dl n D2 •

Exemplos

1?) ; - ~ > ~ e 6x - 9> 4 são equivalentes em R, pois a segunda

inequação foi obtida a partir da primeira através de uma multiplicação por 12.

2?) _2x2 + 3x > 1 e 2x2- 3x < -1 são equivalentes em R pois a

segunda foi obtida da primeira através de uma multiplicação por -1 e inversãodo sentido da desigualdade.

3?) 4~ - 3 > O e 4x - 3 > O são equivalentes em IR. Notemos que ax + 1

segunda foi obtida da primeira através da multiplicação por x2 + 1 > O, V x E A-

Na prática, aplicamos a propriedade P-2 com o seguinte enunciado:"em uma inequação podemos multiplicar os dois membros pela mesma expressão,mantendo ou invertendo o sentido da desigualdade, conforme essa expressão sejapositiva ou negativa, respectivamente."

(})2x + 3'----.,,-J

g(x)

3x - 1 >'----.,..-J

t(x)

Exemplo

Seja a inequação

(3x - 1)

'---v---Jt(x)

+ (-2x + 1)

'--v---Jh(x)

> (2x + 3) +'---v---J

g(x)

(-2x + 1)'---v---J

h(x)

façamos as simplificações poss(veis: EXERCICIOS

x'---.r---Jf(x) + h(x)

> 4'---v---Jg(x) + h(x)

A.132 Resolver as inequações em IR:

a) 4x + 5 > 2x - 3b) 5(x + 3) - 2(x + 1) .;;; 2x + 3c) 3(x + 1) - 2 ;;. 5(x - 1) - 3(2x - 1)

88-A89-A

Page 51: Fundamentos de Matemática elementar - Vol1

A.133 Resolver em IR, a inequação

x + 2-3-

x - 1 ~-2- ?x

Solução

A inequação proposta é equivalente à inequação que se obtém multiplicando pelom.m.c. (3, 2) = 6:

Família serve a ciência por 100 anos

Nenhuma família na história da Matemática produziu tantos matemáticos célebresquanto a família Bernoulli. Oriunda dos Países Baixos espanhóis, esta família emigrou em1583 para Basiléia, na Sul'ça, fugindo da guerra. Cerca de uma dúzia de membros da famíliaconseguiu renome na Matemática e na F ísica, sendo quatro deles eleitos como sóciosestrangeiros da Academia das Ciências, da França.

2(x + 2) - 3(x - 1) ;;;. 6x,

Efetuando as operações, temos:

-x + 7 ;;;. 6xou ainda

-7x ;;;. -7.

Dividindo ambos os membros por -7 e lembrando que devemos inverter a desigual­dade, temos

e, portanto,

s = {x E IR I x ~ I}.

A.134 Resolver em IR, as inequações:

a) x-I _ x - 3 ;;;. 1~ 4

b) 2x - 3 5 - 3x <-2- - -3- 3x 6

c) (3x + 11 (2x + 1) ~ (2x - 1) (3x + 2) - (4 - 5x)

di (3x - 2)2 - (3x - 1)2 > (x + 21 2 - (x - 1)2

el 4(x - 2) - (3x + 2) > 5x - 6 - 4(x - 11

t) 6(x + 2) - 2(3x + 2) > 2(3x - 1) - 3(2x + 1)

Nicolaus(1623-17081

1~__--jI-------"11Jacques Nicolaus I Jean I(1654-1705) (1662-17161 (1667-17481

\ INicolaus II Nicolaus 111(1687-17591 (1695-1726)

IJean III(1746-1807)

I.Daniel I(1700-1782)

IDaniel 11(1751-1834)

. IChnstoph(1782-1863)

IJeil n Gustave(1811-18631

IJean II

(17,0-1790)

Jaoques II(1759-1789)

A.l35 Resolver em IR, a inequação:

s = {x E IR I x> I}

2x - 3 ~ 2x-I

Solução

Os Bernoulli matemáticos: árvore genealógicaOs primeiros Bernoulli que se destacaram em Matemática foram Jacques e Jean,

respectivamente quinto e décimo filhos de Nicolaus.Jacques viajou muito para encontrar cientistas de outros países. Destacou-se por

seus estudos sobre infinitésimos, seus artigos sobre máximos e mínimos de funções publicadasna revista "Acta Eruditorum" (Anotações dos eruditos), suas pesquisas sobre séries infinitasem que aparece o resultado célebre conhecido como "desi9ualdade de Bernoulli": (1 + x) n > 1 ++ nx . .4. ele é também atribuída a demonstração de que a série harmônica é divergente.

Jacques tinha uma verdadeira fascinação por curvas, tendo estudado várias delas: aparábola semi-cúbica, a lemniscata, a catenária, a is6crona a espiral logarítmica, etc.

Jean Bernoul!i segundo a vontade do seu pai deveria ser médico, porém indo estudarem Paris, desgarrou para a Matemática, escrevendo em 1691-1692 dois livros de Cálculo queforam publicados muito mais tarde. Em 1692, passou a ensinar Cálculo a um jovem marquês

de L'Hospital e, em troca de um salário regular, concordou em enviar ao nobre francês suasdescobertas matemáticas, para serem usadas como o marquês o desejasse. A conseqüência foique uma das mais importantes descobertas de Jean passou à Hi~t6ria com nome "regra deL'Hospital" se f(x) e g(x) são funções diferenciáveis em x a, f(a) ~ O e gla) c O,

então existe lim f'(x) e fim ~ ~ 11m f'(xlx+ag'(xl x+a glxl x+a g'lxl

--4 - 3x < -13x + 2cl

2x - 3 _ 2 ~ Ox::1

-1 ~ O,x-I

b) 4x - 5 ;;;. 22x - 1

deverá ser não positiva; como o numerador -1 é nega­

x - 1 deverá ser positivo. Lembrando que o denomina-

-1

3x-2~_31 - x

Notemos que a fração

A inequação proposta é cqu,valente a

que, reduzindo ao mesmo denominador, fica

e, portanto,

x ­tivo, então o denominadordor não poderá ser nulo

a)

A.136 Resolver em IR, as inequações:

9O-A 91-A

Page 52: Fundamentos de Matemática elementar - Vol1

Os irmãos Jean e Jacques mantinham intensa correspondência com Leibniz pois todoseles colaboravam com artigos para a mesma revista, "Acta Eruditorum" (Anotações dos eru­ditos). Jacques é também autor do clássico "Arte de conjecturar", considerada a mais antigaobra sobre probabilidade.

Jean foi pai de Nicolas, Daniel e Jean 11. Nicolas foi professor de Matemática emS. Petersburgo e Daniel e Jean II foram professores em Basiléia. Outro Bernoulli. Nicolas li,primo desses três, ocupou durante algum tempo o lugar que foi de Galileu, em Pádua.

Da geração mais jovem foi Daniel que mais se destacou com seus resultados em hidro­dinâmica e probabilidade.

Houve ainda outros Bernoulli que conseguiram evidência em Matemática, no séculoXVIII, fazendo juz ao nome da fam(lja.

CAPÍTULO VI

FUNÇÕES

DO I!' GRAU

Construir os gráficos das aplicações de IR em IR definida por:

constante é uma reta paralela ao eixo dos x passando

x

x

y

y

lo. c)

2) y = -1

(0,3)

y

1)y=3

f: IR ---+ IRx_~.

O gráfioo da funçãoponto (O, c).

A imagem é o oonjunto Im {c}

128. Exemplos

pelo

Uma aplicação f de IR em IRrecebe o nome de função constante quan­do a cada elemento x E IR associasempre o mesmo elemento c E lÃ.Isto é:

I. FUNÇÃO CONSTANTE

127. Definição

Jacques Bernoulli(1654 - 1705)

Jean Bernoulli(1667 - 1748)

Daniel Bernoulli(1700 - 1782) x lo, -1)

92-A93-A

Page 53: Fundamentos de Matemática elementar - Vol1

11. FUNÇÃO IDENTIDADE 131. Exemplos

x

y

2

y = 2xx

1~) Construir o gráfico da funçãoy = 2x. Considerando que dois pontosdistintos determinam uma reta e no casoda função linear um dos pontos é aorigem, basta atribuir a x um valornão nulo e calcular o correspondentey = 2x.

x...

129. Definição

Uma aplicação f de IR em IRrecebe o nome de função identidadequando a cada elemento x E IR as­socia o próprio x, isto é;

f: R_ Rx f----+ X

O gráfico da função identidade é uma reta que contém as bissetrizes do1~ e 3~ quadrantes.

A imagem é Im IR.

111. FUNÇÃO LINEAR

130. Definição

Uma aplicação de IR em IR re­cebe o nome de função linear quandoa cada elemento x E IR associa o

elemento ax E IR onde a * O éum número real dado, isto é:

f: R-----+ Rx~ ax, a * O (*)

Demonstra-se que o gráfico da fun­ção linear é uma reta que passa pelaorigem.(H)

A imagem é Im = IR.

y

Pelos pontos P(O, O) e O( 1, 2)traçamos a reta PO que é precisamenteo gráfico da função dada.

2~) Construir o gráfico da função

y = -2x. Analogamente, temos:

x y = -2x

1 -2

EXERCICIOS

A.137 Construir o gráfico das funções de IR em IR:

x

De fato, qualquer que seja o y E IR, existe x :!.. E IR, a *0, tala

aI y = 2

C)Y=V2

b) y = -3

dI y = O

A.138 Construir, num mesmO sistema cartesiano. os gráficos das funções daque

f(x) = f(.r) ,. a • l = y.a a a) y = x b) y = 2x cl y = 3x dI y = ~

2

IR em IR:

A.139 Construir, num meSmO sistema cartesiano. os gráficos das funções de(.) Observe que se a = O, teremos a função constante y = o.(.. ) Essa demonstração será feita para um caso mais geral e se encontra na página 96. a) y = -x b) y = -2x cl y = -3x dI y = - ~

2

IR em IR:

94-A 95-A

Page 54: Fundamentos de Matemática elementar - Vol1

IV. FUNÇÃO AFIM

= aY3 - Y2

Subtraindo membro a membro, temos:

Y3 - Y2 = a(x3 - X2)} ==

Y2 - YI = a(X2 - xtl

Os triângulos ABD e BCE são retângulos e têm lados proporcionais, entãosão semelhantes e, portanto, O! = il. Segue-se que os pontos A, B e C estão

alinhados.

132. Definição

Uma aplicação de IR em IR recebe o nome de função afim quando acada x E IR estiver associado o elemento (ax + b) E IR com a *' O, isto é:

f:IR ----+ FIx 1---+ ax + b, a *' O

133. Exemplos

a) Y = 3x + 2 onde a = 3 e b=2b) Y = -2x + 1 onde a = -2 e b = 1c) Y = x - 3 onde a = 1 e b = -3d) Y = 4x onde a = 4 e b=O

134. "O gráfico cartesiano da função f(x)

Notemos que para bna função linear Y = ax;particular função afim.

V. GRAFICO

Demonstração

O a função afim Y = ax + b se transformapodemos, então, dizer que a função linear é uma

ax + b (a * O) é uma reta".

135. Aplicaç.ões

1~) Construir o gráfico da funçãoConsiderando que o gráfico da fun­

ção afim é uma reta, vamos atribuir a xdois valores distintos e calcular os cor­respondentes valores de y.

x Y = 2x + 1

O 11 3

Y = 2x + 1.

(1, 3)

x

x

(O, 1) e (1,3).

x Y = -x + 3

O 31 2

O gráfico procurado é a reta que passa pelos pontos

2~) Constru ir o gráfico da função Y = - x + 3.De modo análogo, temos

x

dois, do gráfico

e (X3' Y31. res-

V2 - fI

VI

V2

De fato:

(XI, yd E f ~ YI = aXI + b G)(X2' Y2) E f ~ Y2 = aX2 + b (3)

Sejam A, B e C três pontos quaisquer, distintos dois acartesiano da função Y = ax + b (a *' O) e (XI, yd, (X2' Y2)pectivamente, as coordenadas cartesianas desses pontos.

Para provarmos que os pontos A, V

B e C pertencem a mesma reta, mos- V3

tremas, inicialmente que os triângulosretângulos ABD e BCE são seme­lhantes.

96-A 97-A

Page 55: Fundamentos de Matemática elementar - Vol1

Solução Analltica

Existem diversos processos analfticos pelos quais podemos resolver um sistema dEequações. Vamos apresentar dois deles.

A.141 Resolver analftica e graficamente o sistema de equações:

{

X - Y ~ -3

2x + 3y = 4

la) processo: Substituição

Este processo, consiste em substituir o valor de uma das inc6gnitas, obtido a partilde uma das equações, na outra.

Resolvendo, por exemplo, a primeira equação na incógnita x, temos:

x - y = -3 <==> x = y - 3

e substituímos x por este valor na segunda equação:

Lv1/

!oo.. 1/Iv ~ :, 3I' /

'/

/l/

1/ .....1/ I'-.

1/ '"-2x + 4y= ---

'-L- I I I ,3, ,-

2' (-1) + 3y = 4 ... y = 2

A solução do sistema é o par ordenado (-1, 2).

Construrmos os gráficos de

y = x + 3 e y = -2x + 43

{X - Y = -3Assim, no sistema2x + 3y = 4

multiplicamos a primeira equação por 3

{3X - 3y = -92x + 3y = 4

Substituindo a primeira equaçiio pela soma das duas equações, temos:

{5x = -52x + 3y ~ 4

que é equivalente a:

Gx~+-~y = 4

substituindo x = -1 em 2x + 3y = 4, encontramos

A solução do sistema são as coordenadas do ponto de intersecção das retas, portanto

(-1,2).

o fundamento do processo da adição, consiste no seguinte: aplicando a primeirapropriedade, multiplicamos cada equação por números convenientes, de modo que,os coeficientes de determinada incógnita sejam opostos e pela segunda propriedade,substitui mos uma das equações pela soma das duas equações.

Solução Gráfica

O sistema proposto

{

X - Y = -32x + 3y ~ 4

é equivalente a

{y~X+3

-2x + 4y = --3--

2

que levamos à primeira equação, encontrando:

x-2=-3 <==> x -1.

A solução do sistema é o par ordenado (-1, 2L

2(y - 3) + 3y ~ 4 <==> 2y - 6 + 3y

:z'?) processo: Adição

Este processo baseia·se nas seguintes propriedades:

I. "Num sistema de equações, se multiplicarmos todos os coeficientes de uma equaçãopor um número não nulo, o sistema que obtemos é equivalente ao anterior (-)'

{

alx + bly = cl _ {kalX + kblY = kCI (k =/=0)

a2 x + b2 Y = c2 a2 x + b2 Y = c2

EXERCíCIOS

A.140 Construir o gráfico cartesiano das funções de IR em IR:

a) Y 2x -- 1 b) Y x + 2

c) 3x + 2 d) 2x - 3Y Y

2e) Y -3x - 4 f) Y ~ -x + 1

g) -2x + 3 h)4 - 3x

Y Y =2

11. "Num sistema de equações, se substituirmos uma das equações, pela sua somacom umé:i outra equação do sistema, o novo sistema é equivalente ao anterior".

A.142 Resolver analltica e graficamente os sistemas de equações.

(-) Sistemas de equações são equivalentes quando apresentam as mesmas soluções.

{x+ y = 5 b) ex- 2y = -14

a)2x + 3y 8x - y ~ 1

(2X - 5y 9 d) {4X + 5y = 2c)

7x + 4y ~ 10 6x + 7y = 4

{x + 2y ~ 1 fi (2X + 5y = Oa)

2x + 4y = 3 3x - 2y = O

98-A99-A

Page 56: Fundamentos de Matemática elementar - Vol1

A.143 Resolver os sistemas de equações:

t;' + 3

a)x + y 4

1 1-x - y x + y 4

Sugestão: faça = a eX+Y

bx - y

{,,;., 2 52x - y + 3 12

b) + 3x + y + 1 2x - y + 3

A.144 Obter a equação da reta que passa pelos pontos (1, 2) e (3, -2).

Solução

Seja y = ax + b a equação procurada. O problema estará resolvido se determinarmos ovalores de a e b.

VII. COEFICIENTES DA FUNÇÃO AFIM

137. O coeficiente ..:- da função f(x); ax + b é denominado coeficienteangular ou declividade da reta representada no plano cartesiano.

O coeficiente b da função y; ax + b é denominado coeficiente linear.

138. Exemplo

Na função y; 2x + 1 o coeficiente angular é 2 e o coeficiente linearé 1. Observe que se x; O temos y; 1. Portanto, o coeficiente linear éa ordenada do ponto em que a reta corta o eixo y.

Considerando que o pontosubstituirmos x = 1 e

(1, 2),

y = 2pertence a reta de equação y = ax + b, ae

em y = ax + b, temos a sentença verdadeiri

2 = a • 1 + b isto é: a + b = 2

Analogamente, para o ponto (3, -2), obtemos:

-2 = a • 3 + b isto é: 3a + b = -2EXERCíCIOS

encontramos a = -2 e b = 4.

Assim, a equação da reta é y = -2x + 4.

A.145 Obter a equação da reta que passa pelos pontos:

Resolvendo o sistema

{a+b=2

3a + b = -2 Solução

A equação procurada é da forma y = ax + b.

Se o coeficiente angular é 2, então a = 2.

Substituindo x = 1, y = 3 e a = 2 em y = ax + b, vem:

3=2,1 +b ~ b=1.

A equação procurada é y = 2x + 1.

A.146 Obter a equação da reta que passa pelo ponto: (1, 3) e tem coeficiente angularigual a 2.

b) (1,-1) e (-1,2)d) (1, 2) e (2, 2)

a) (2, 3) e (3, 5)c) (3, -2) e (2, -3)

VI. IMAGEMA.147 Obter a equação da reta que passa pelo ponto (-2, 4) e tem coeficiente angular

igual a -3.

136. O conjunto imagem da função afim f: IR -+ IR definida por f(x); ax + I

com a *' O é IR.

A.148 Obter a equação da reta com coeficiente angular igual a - 1 e passando pelo2

ponto (-3, 1).

f(x)

De fato, qualquer

f(~); a·a

que seja y E IR_y-b + b; y.

a

existe x y - b E IRa

A.149 Obter a equação da reta que passa pelo ponto (-2, 1) e tem coeficiente linear iguala 4.

A.150 Obter a equação da reta com coeficiente linear igual a -3 e passa pelo ponto(-3, -2).

100-A 101-A

Page 57: Fundamentos de Matemática elementar - Vol1

12 '

x =

x y

O -11 1

isto é, no ponto

intercepta o eixo dos x em

Exemplo

Fazendo o gráfico da funçãoy = 2x - 1, podemos notar que a reta

140. Podemos interpretar o zero da função afim, como sendo a abscissa do ponto

onde o gráfico corta o eixo dos x.

A.151 Dados os gráficos das funções de IR em IR, obter a lei de correspondência dessa!funções.

VIII. ZERO DA FUNÇÃO AFIM

139. DefiniçãoIX. FUNÇÕES CRESCENTES OU DECRESCENTES

Zero de uma função é todo número x cuja imagem é nula, isto é, f(x) = O 141. Definição

Em símbolos: f é crescente quando

("Ix}, X2)(XI < X2 => f(xtl < f(x2))

x é zero de y = f(x) <=> f(x) O

Assim, para determinarmos o zero da função afim, basta resolver a equaçãc

do 1Çl grau

ax + b = O

A função f: A -> B definida porA, C A se, para do is valores quaisquer

x} < X2' tivermos f(xtl < f(x2)'

y = f(x) é crescente no conjuntox, e x2 pertencentes a A" com

Exemplo

De fato, resolvendo ax + b = O, a 0/= O, temos

y

_+-_~_-L_--"'--_---L __x

f(xtl - f(x2) > O)Xl - X2

e isto também pode ser posto assim:

Na linguagem prática (não matemá­tica), isto significa que a função é cres­cente no conjunto AI se, ao aumentar­mos o valor atribuído a x, o valor dey também aumenta.

b--oa

I pois, fazendo 2x - 12

é x

ba

2x - 1f(x)

ax + b = O <=> ax = - b <=> x

o zero da função

1x =2

vem

que apresenta uma única solução x

102-A 103-A

Page 58: Fundamentos de Matemática elementar - Vol1

142. Exemplo EXERCICIO

x

y

em IR, especificar os intervalos

bl

y

x

cl

ya)

A.152 Com base nos gráficos abaixo, de funções de IRonde a função é crescente ou decrescente.

é decrescente no conjuntopertencentes a AI, com

é crescente em IR, pois:

para todo Xl E IR e todo X2 E IR.

A função f(x) ~ 2x

XI < x2 => 2x I < 2x2L....-J L....-Jf(xI) f(X2)

143. Definição

Afunção f: A ---+ B definida por y ~ f(x)AI C A se, para dois valores quaisquer XI e x2XI < x2' tem-se f(xd > f(x2).

Em símbolos: f é decrescente quando

(Vx l , x2)(Xt < x2 => f(xd > f(x2))

e isto também pode ser posto assim:

145, "A função afim é crescente (decrescente) se, e somente se, o coeficienteangular for positivo (negativo)".

Na linguagem prática, (não mate­mática) isto significa que a função édecrescente no conjunto A I se, ao au­mentarmos o valor atribuído a X, ovalor de y diminui.

f(x l ) - f(x2)

Xl - x2

v

< O)

x. TEOREMA

144. Exemplo

x

ax + b decrescente equivale a

bl y = -4x + 3aI y = 3x - 2

Solução

aI É crescente, pois o coeficiente angUlar é positivo (a = 31b) É decrescente, pois o coeficiente angular é negativo (a = -4).

A.153 Especificar para cada uma das funções abaixo, se é crescente ou decrescente em IR:

EXERCICIOS

Fica como exercício provar que f(x)a < O.

x

y

é decrescente em IR, pois

para todo XI E IR e todo x2 E IR.=> - 2x I > -2X2'----------' '----v------'

f(Xt) tlx21

A função f(x) ~ -2x

Notemos que uma mesma funçãoy ~ f(x), pode não ter o mesmo com­portamento (crescente ou decrescente)em todo o seu domínio.

É bastante comum que uma funçãoseja crescente em certos subconjuntosde D e decrescente em outros. O grá­fico ao lado representa uma função cres­cente em IR+ e decrescente em IR_,

104-A 105-A

Page 59: Fundamentos de Matemática elementar - Vol1

A.154 Especificar para cada uma das funções abaixo, se é crescente ou decrescente em IR.

a) V = 1 + 5x b) V = -3 - 2xcl v = x + 2 d) V = 3 - xe) V = -2x f) V = 3x

A.155 Estudar segundo os valores do parâmetro m, a variação (crescente, decrescente ouconstante) da função V= (m - l)x + 2.

Solução

Se m - 1 > O, isto é, m > 1, então a função terá coeficiente angular positivo e,portanto, crescente em IR.

Se m - 1 < O, isto é, m < 1, então a função terá coeficiente angular negativo e,portanto, decrescente em IR.

Se m - 1 = O isto é, m = 1, então será função V = 11 - lIx + 2, ouseja,V = 2 que é constante em IR.

A.156 Estudar segundo os valores do parâmetro m, a variação (crescente, decrescente ouconstante) das funções abaixo

Observemos, inicialmente, que interessa o comportamento da curva y = f(x)

em relação ao eixo dos x, não importando a posição do eixo dos y.

Preparando o gráfico com aspecto prático, temos:

v = f(x)

•x

tj 2 4 7 xI I I •

sinal de _ J ; i II

I 6 ÓV = f(x) I + O + .+

II

Conclusão:

ai V = (m + 2)x - 3c) V = 4 - (m + 3)x

XI. SINAL DE UMA FUNÇÃO

b) V = (4 - mlx + 2

dI v = mIx - 1) + 3 - x

EXERCICIO

f(x) O <=<> x = -1f(x) > O<=<> -1 < X

f(x) < O <==> x <-1

ou X = 2 ou x = 4 ou x = 7

< 2 ou 2 < x < 4 ou x > 7ou 4 < x < 7.

f(x)

A.157 Estudar o sinal das funções cujos gráficos estão representados abaixo.14G. Seja a função f: A -+ B definida por y = f(x). Vamos resolver o problema

"para que valores de x temos f(x) > O, f(x) = O ou f(x) < O?"

Resolver este problema significa estudar o sinal da função ypara cada x pertencente ao seu domínio.

Para se estudar o sinal de uma função, quando a função está representada

no plano cartesiano, basta examinar se é positiva, nula ou negativa a ordenada

de cada ponto da curva.

147 Exemplo

Estudar o sinal da função y = f(x) cujo gráfico está abaixo representado.

Vy = f(x)

x

a)

b)

cl

y

V

y = f(x)

x

V = h(x)

------.x

10G-A 107-A

Page 60: Fundamentos de Matemática elementar - Vol1

XII. SINAL DA FUNÇÃO AFIM

ao valor de x para o qual f(x) = O,ocorre f(x) > O ou f(x) < O.

.. x

ba

O+

Colocando os valores de x sobre um eixo, o sinal da função f(x) = ax + ba < O, é:com

examinemos, então, para que valores

zero da função afim f(x) = ax + b,bx = -Considerando que

Devemos considerar dois casos.

148. 1<;> caso: a > O

Podemos analisar o sinal da função f(x) = ax + b com a < O, construindoo gráf ico cartesiano. Lembremos que neste caso a função é decrescente.

af(x) = ax + b > O <==> ax > -b <==> X > _ b

f(x) = ax + b < O <==> ax < -b <==> X < _ ba ---------""'''<::"""-------_ X

150. Resumo.. x

+O

-~af(x) = ax + b

(a> O)

Colocando os valores de x sobre um eixo, o sinal da função f(x) = ax + bcom a > O, é:

isto é. para x > - ~ a função f(x) = ax + b tem o sinal de a.a

Um outro processo para analisarmos a variação do sinal da função afimé construir o gráfico cartesiano.

Lembremos que na função afim f(x) = ax + b o gráfico cartesiano éuma reta e, se o coeficiente angular a é positivo, a função é crescente.

Construindo o gráfico de f(x) = ax + b com a > O, e lembrando quenão importa a posição do eixo y, temos:

1) A função afim f(x) = ax + b anula-se para x

2) Para x > - ~, temos:a

a > O então f(x) = ax + b > Oa < O então f(x) = ax + b < O

ba

b3) Para x < - -, temos:

a

-------?-------- x

{sese

a > O então f(x) = ax + b < Oa < O então f(x) = ax + b> O

contrário ao de a).

Se colocarmos os valores de x sobre um eixo, a regra dos sinais da funçãoafim, pode ser assim representada:

149. 2~ caso: a < O

f(x) = ax + b> O ax > -b x <- b<==> <==>

a

f(x) =ax+b<O ax < -b x > -b

<==> <==>a

isto é, para x<- b f -a unçaoa

f(x) = ax + b tem o sinal de -a (sinal

1OS-A l09-A

Page 61: Fundamentos de Matemática elementar - Vol1

151. Exemplos

10 ) Estudar os sinais da função f(x) 2x - 1.

Temos:

f(x) 0= 2x - 1 0=1

x =2

a 2== a> O e -a < O

Logo:

x>1 f(x) > O (sinal de 2> O)para - = a =2

x <1 f(x) < O (sinal de -a=-2<01para =2

Fazendo o esquema gráfico, temos

x

flx) =-2x +4

Determine os valores

x

flx)=2x-1y

a) y ~ 2x + 3 bl y = -3x + 2

c) y ~ 4 - x d) y = 5 + x

e) V = 3 x ti x + 3- y =2 3 2

g) = 2x - 4h)v 3

y = -x

A.158 Estudar os sinais das funções defmidas em R:

EXERCt'CIOS

A.159 Seja a função de IR em IR definida por f(x) = 4x - 5.do domínio da função que produzem imagens maiores que 2.

152. Um outro processo para analisarmos a variação do sinal da função afim

é construir o gráfico cartesiano.

Lembremos que na função afim f(x) = ax + b o gráfico cartesiano éuma reta e a função é crescente (decrescente) se o coeficiente angular a épositivo (negativo).

Assim nos dois últimos exemplos, temos:

x..+O

1

2

x "" _J:!. x> - ~a a

==v .. x..O f(x) tem o sinal de a

bx ~

a x• ..O f(x) tem o sinal de a

1 Isina I def(x) = 2x -

..x <-~a

f(x) tem o sinal de -a

f(x) tem o sinal de -a

ou, simplesmente:

(sinal de a = -2 < O)

(sinal de -a = 2 > O)

2?) Estudar os sina is de f (x)

Temos

f(x) = O ==> -2x + 4 = O = xa = -2 ==> a < O e -a > O

para x > 2 ==> f(x) < O

para x < 2 ==> f(x) > O

-2x + 4.

2

Solução

Os valorp.s do domínio da função que produzem imagens maiores que 2, são osvalores de x E R tais que

e, ponanto,

x> 74

IR em IR definida por f Ix)Fazendo o esquema gráfico

sinal de j----+---+:--------.:~f(x) = -2x + 4

A.160 Para que valores do domfnio da função de

e imagem é menor que 47

A.161 Pere que velores de x E IR a função flxl 23

x é negativa?2

3x - 1

2

11O-A111-A

Page 62: Fundamentos de Matemática elementar - Vol1

A.162 Sejam as funções f(x) = 2x + 3. g(x) ~ 2 - 3x

em R. Para que valores de x E R, tem-se:

. XIII. INEQUAÇOES SIMULTÂNEAS

A.163 Dados os gráficos das funções f, 9 e hdefinidas em IA:. Determinar os valoresde x E IR, tais que:

a) f(x) > g(x)b) g(x) ~ h(x)c) t(x) ;;;. h(x)

d) g(x) > 4e) f(x) ~ O

.v19 IIt1'\ :/f

11

1---1'\

11x

I'\

I , di x + 1 ~ 7 - 3x < ~ - 12

el 3x + 4 < 5 < 6 - 2x

fi 2 - x < 3x + 2 < 4x +

ai -2 < 3x - 1 < 4

bl -4 < 4 - 2x ~ 3

cl -3 < 3x - 2 < x

A.164 Resolver as inequações em IR:

A intersecção desses dois conjuntos é

14

S = {x E IR 1- ~ ~ x < ~} :]::::::::::::::::1""""""","""",::12

EXERC(CIOS

definidash(x) ~ 4x - 12

e

c) f(x) ;;;. h(x)?b) g(x) < h(x)?a) f(x) ;;;. g(x)?

Indicando com SI o conjunto-solução de CD e S2 o conjunto-solução til

@, o conjunto-solução da dupla desigualdade é S = SI n S2'

153. A dupla desigualdade f(x) < g(x) < h(x) se decompõe em duas inequa­ções simultâneas, isto é, equivale a um sistema de duas equações em x, sepa­radas pelo conectivo e:

{

f(X) <e glx)flx) < g{x) < h{x) <==

g{x) < h{x)

/

y I

h/

" v 1/

" vv / gf- -

1/ x

T /"\

I'\.1/

b){ 5 - 2x < O

3x + 1 ;;;. 4x - 5x - 3 ;;;. O

di {2x - 5~ -2T-=-x

x 2 + x + 3>x

x + 1

A.165 Resolver os sistemas de inequações em IR:

a) {3X -2> 4x + 1

5x + 1 ~ 2x - 5

cl { 3x + 2 ;;;. 5x - 24x - 1 > 3x - 4

3 - 2x < x - 6

A.166 Com base nos gráficos das funções f, 9

e h definidas em IR, determinaros valores de x E IR, tais que

a) f(x) < g(xl ~ h(x)bl g(x) ~ f(xl < h(x)c) h(x) ~ flxl < g(xl

Q)

®

®~

+ 2 < -x + 3 ~ x + 4J

3x\

Resolver

154. Exemplo

XIV. INEQUAÇÕES-PRODUTO

CD@

Temos que resolver duas inequações:

3x + 2 < -x + 3 => 4x < 1 = x < 14

-x + 3 ~ x + 4 => -2x ~ 1 => X ;;;. _ 12

155. Sendo f(x) e g(x) duas funções na variável x, as inequaçõesf(x) • g(x) > O, f(x)· g(x) < O, f(x). g(x) ;;;. O e f(x). g(x) ~ O

são denominadas inequações-produto.

112-A 113-A

Page 63: Fundamentos de Matemática elementar - Vol1

portanto

29 caso

Cada um dos fatores é negativo, isto é:

x + 2 < O ==> X < -2

{x E R I x> 1.} U {x E IR I x < -2}2

12

-2 x11""1 I1 I1 1IIIIIQ}---------- _

1111111111111l11111~,tIIPlII110)_---------'.....X

e

A intersecção das duas so luções é:

53 n 54 = {x E IR I x < -2 }

O conjunto-soiução da inequação

(x + 2)(2x - 1) > O é:

2x-1<O~x< 12

e

1<:» f(x) > O e g(x) > O

Se 51 e 52 são, respectivamente, os conjuntos-soluções dessas inequações

então 51 n 52 é o conjunto-solução do sistema.

2<:» f(x) < O e g(x) < O

Se 53 e 54 são, respectivamente, os conjuntos-soluções dessas inequações,

então 53 n 54 é o conjunto-solução do sistema.

156. Vejamos, por exemplo, como determinamos o conjunto-solução 5 da

inequação f{x)' g(x) > O.

De acordo com a regra de sinais do produto de números reais, um númeroXo é solução da inequação f{x). g(x) > O se, e somente se, f(x o) e g(xo),

não nulos, tem o mesmo sinal.

Assim, são possíveis dois casos:

Daí condu ímos que o conjunto-solução da inequação do produto

f(x) • g(x) > O é5 = {x E R I x < -2 ou x > 1 }

2

158. Vejamos, um outro processo, mais prático para resolvermos a inequação(x + 2) • (2x - 1) > O em R.Raciocínio análogo seria feito para a inequação

f(x) • g(x) < O. Fazemos inicialmente o estudo dos sinais das funções f(x)g(x) = 2x -

x + 2 e

157. Exemplo

Resolver em R a inequação (x + 2)(2x - 1) > O.

Analisando os dois casos possíveis

x--

x..

+

1 ­-J2

o

o +

12

ou x>

o

o

-2

-2

+

{x E IR I x < -2s

flxl

glxl

flxl • g(x)------'+> :r---D+tt++++II.lllllllll'lll'

1

t(jf-----~:~--+---'Il:.- gd : +Com o objetivo de evitar cálculos algébricos no estudo dos sinais do

produto f(x)· g(x), usaremos o quadro abaixo, que denominamos quadro­produto, no qual figuram os sinais dos fatores e o sinal do produto.

.1.2

12

-2___-(O+t1l111l111~1I111111111111111111111111l.. )(

,,,

----------<0'1\1111111\ ",""Hlllll ~ x

e

> O~ x > 12

A intersecção das duas soluções é

51 n 52 = {x E IR I x > t }

2x -

e

11! caso

Cada um dos fatores é positivo, isto é:

x + 2 > O ==> X > -2

114-A115-A

Page 64: Fundamentos de Matemática elementar - Vol1

rac'loclnlo empregado no estudo dos sinais de um159. Podemos estender o

produto de dois fatores para um produto com mais de dois fatores.

5 1 5ou x > -} U {_ _ _ }2 3' 2

CD@{

(3x + 1) • (2x - 5) > O

ou(3x + 1) • (2x - 5) = O

o conjunto-solução é:

CD 1 5Resolvendo I temos 51 = {x E IR I x < - 3 ou x > "2}

Resolvendo @ temos 52 = {_ ~, %}

ou seja:

x~

+x..

3 x• ..

+ O

+O

-1

Exemplo

Resolver a inequação (3x - 2)(x + 1)(3 - x) < O em IR.

Analisando os sinais dos fatores, temosl

3.

Vamos, agora, construir o quadro-produto:

h(x) = 3 - x

g(x) = x + 1

f(x) = 3x - 2 O

-1

25 = {x E IR I -1 < x < 3

5e recorrêssemos ao quadro-produto, teríamos:

1 53 2 x

flx) ~ 3x + 1 O + +

glxl:2x-5 O +flx) • glxl + O O +

5ou x;;;. -}2

15 = {x E IR I x ~ __3

x

+

+

O

3

3

+

+

+

+

23

O

ou x > 3}

O +

+ +

+ O O.r-. ~

-1 1-3

hlxl

glxl

flx)

fi xl • glx) • h(xl

1?) "toda potência de base real e expoente ímpar conserva o sinal da

base", isto é

161. Dentre as inequações-produto, são importantes as inequações; [f(x))" > 0,

[f(x))" < O, [f(x))" ;;;. O e [f(x))" ~ O, onde n E N*,

Para resolvermos estas inequações, vamos lembrar duas propriedades das

potências de base real e expoente inteiro:

160. A inequação f(x). g(x) ;;;. O tem por conjunto-solução 5 a reunião do

conjunto-solução 51 da inequação f(x)· g(x) > O com o conjunto solução

52 da equação f(x). g(x) = O, isto é

{

f(x) • g(x) > O

f(x) • g(x} ;;;. O _ ou

f(x) . g(x) = O

5= fxE IRlx~-.!.l 3 ou x;;;' ~}

2

Exemplo

Resolver a inequação (3x + 1)(2x - 5) ;;;. O em IR,

A inequação (3x + 1)(2x - 5) ;;;. O é equivalente a:

a2n +1 > O _ a> O

a2n +1 = O -= a = O

a2n+1 < O -= a < O In E ~)

116-A 117-A

Page 65: Fundamentos de Matemática elementar - Vol1

2':» "toda potência de base real e expoente par é um número real não

negativo", isto éEXERCfclOS

a2n ~ O, Va E IR, V n E IW

A.167 Resolver em IR as inequações:

-a) (3x + 3)(5x - 3) > O

.- cl 15x + 2)(2 - xl(4x + 3) > O

e) (6x - 1)(2x + 7) ~ O

g) 13 - 2x)(4x + 1)(5x + 3) ~ O

_. b) (4 - 2x)(5 + 2x) < O

- d) 13x + 21{-3x + 4)(x - 61 < O

f) (5 - 2x)(-7x - 21 ,,;; O

h) (5 - 3x)(7 - 2xl(1 - 4xl ,,;; O

fw1+--------.;~:---+----I:-

Solução

Estudemos separadamente os sinais das funções f(x) = {x - 31 5 e g{xl = 12x > 3)6

lí~mbrando que a potência de expoente ímpar e base real tem o sinal da base,então, O sinal de {x - 3)5 é igual ao sinal de x - 3, isto é:

..+

b) (3x + 8)3 < O

d) 11 - 7x)5 > O

f) (5x + 1 13 ,,;; O

h) (3x - 8)5 ~ O

(x - 31 5 • (2x + 31 6 < O.

A potência de expoente par e base real não nula é sempre positiva, então (2x + 3)6

é positivo se x*"- ~ e (2x + 3)6 á nulo se x "" - ~, isto é:2 2

3

Jf------~.2~Wl + O

A.168 Resolver em IR as inequações:

a) (x - 3)4 > Ocl 14 - 5x)6 < Oe) (3x + 51 2 ~ Ogl 14 + 3x)4,,;;0

A.169 Resolver em IR a inequação

Assim sendo, temos as seguintes equivalências:

[f(x)]n > O = { f(x) > O se n é ímpar

f(x) * O se n é par

[f(x)]n < O = { f(x) < O se n é ímpar

~ x E IR se n é par

[f(x)]n ~ O = {f(X) ~ O se n é Impar

V x E D(f) se n é par

[f(x)]n ,,;; O { f(x) ";;0 se n é ímpar, = f(x) = O se n é par

Exemplos

1°) (3x - 2)3> O = 3x-2>0= S = {x E: IR I x> 3.}3

2':» (4x - 3)6> O = 4x - 3 * 0= S = {x E IR I x * ~}4

3 x

O +

+O +

"O3

+

O-.+ O

32

S = {x E IR Ix < 3

flxl • glxl

flx)

g(x)

Fazendo o quadro-produto, temos:32

A.170 Resolver em IR as inequações:

ai 15x + 4)4. (7x - 2)3 ~ Ob) 13x + 11 3

• 12 - 5x)5 • Ix + 41 8 > Ocl Ix + 61 7 • 16x - 21 4 • (4x + 5) 10 ,,;; Od) (5x - 1) • 12x + 6)8. (4 - 6x)6 ~ O

(4x - 5)2 ~ O == S = IR

(8-2x)4";;0=8-2x=0==S {4}

(x - 2)4 < O = S = 0

(3 - 5X)7 ~ O == 3. - 5x ~ O = S = {x E IR I x,,;; ~}5

(2x + 1)5 < O = 2x + 1 < 0= S = {x E IR I x < - ~}3':»

118-A119-A

Page 66: Fundamentos de Matemática elementar - Vol1

XV. INEQUAÇÕES-QUOCIENTE

são denominadas inequações-quociente.

Considerando que as regras de sinais do produto e do quociente de númerosreais são análogas, podemos, então, construir o quadro-quociente de modoanálogo ao quadro-produto, observando o fato de que o denominador de umafração não pode ser nulo.

.52 ~ {x E IR I x > 1} n {x E IR I x > - l} ~ {x E IR I x > 1}5

Daremos sempre preferência ao método do quadro-quociente, por sua maiorsimplicidade.

=>x;;;.- 25

b) h(x) ~ 1 - x < O, isto é, x > 1

3x + 4 .;;; 2 => 3x + 4 ;;;. 2( 1 - x)1 - x

o conjunto solução é:\

5 ~ 51 U 52 ~ {x E IR I x .;;; - %ou x > l}

duas funções na variável x, as inequações

< O f(x) ;;;. O e f(x) .;;; O, g(x) g(x)

162. Sendo f(x) e g(x)

f(x) > O f(x)g(x) , g(x)

163. Exemplo

3x + 4 .;;; 2 ==> 3x + 4 _ 2 .;;; O ==> 3x + 4 - 2( 1 - x) .;;; O==>l-x l-x l-x

=> 5x + 2 .;;; O1 - x

3x + 4Resolver em IR a inequação --- .;;; 2.

1 - xTemos:

EXERCICIOS

\ A.171 Resolver as inequações em IR:

~.a)~ >0x + 2

__ cl 3 - 4x ;;;. O5x + 1

~ bl~ <O3 - 2x

_ dI -3 - 2x .;;; O3x + 1

Fazendo o quadro-quociente, temos

25 x

t(xl = 5x + 2 O + +

g(x) = 1 - x + + Of(x)

~O +

A.173 Resolver as inequações em IR:

A.172 Resolver em IR as inequações:

ai 5x - 3 >-13x - 4

cl -"---.::...!. ;;;. 3x + 1

5 ~ {x

25

E IRlx';;;- 2 ou5

x> l}

a) (1 - 2x)(3 + 4xl(4 - xl

cl (5x + 4) (4x + 11(5 - 4xl

>0

bl 5x - 2 < 23x + 4

dl~';;;l2x - 4

bl (3x + 11(2x + 51(5x + 3) <O

dI (1 - 2x) .;;; O(5 - x)(3 - xl

3x + 41 _ x .;;; 2, multiplicando por h(x)Podemos resolver a inequação

- x e examinando dois casos:

a) h(x) ~ 1 - x > O, isto é, x < 1

3x + 4 .;;; 2 => 3x + 4 .;;; 2( 1 - x)1 - x

=>x.;;;-l.5

51 ~ {x E IR I x < 1} n {x E IR I x .;;; - 1..} ~ {x5

E IR I x .;;; - 1..}5

A.174 Resolver em IR as inequações:

ai _1_ < 2x-4 x+3

c)--"-.:':...!..>~x+2 x+4

el 5x + 2 >~4x - 1 4x + 5

gl _2_ ;;;. _1_3x - 1 x - 1 x + 1

bl 1 < 2i<='T x-2

di~ .;;; .2'.....:2.3x + 2 3x + 5

ti 1 + 2 3 <Oi<='T x=2 ""X=3'"

120-A 121-A

Page 67: Fundamentos de Matemática elementar - Vol1

Jovem luta para ser ouvido

Niels Henrik Abel de família numerosa e pobre, era filho do pastor da peque­na aldeia de Findo, na Noruega.

Aos 17 anos, seu professor insistiu para que lesse as grandes obras matemáti­cas, inclusive as "Disquisitiones" (Pesquisas) de Gauss. Nesta época, Abel conse­guiu generalizar o teorema binomial que Euler só havia provado para potênciasracionais.

Aos 18 anos perdeu o pai e suas responsabilidades ficaram maiores quantoà fam(lia, mas mesmo assim continuou pesquisando e, em 1824, publicou numartigo a prova de que se o grau de uma equação é maior que quatro, não existeuma fórmula geral em função de seus coeficientes para achar suas raízes. Esta erauma dúvida que preocupava os matemáticos há muito tempo e que agora estavaresolvida. Uma prova neste aspecto foi dada por Ruffini, anteriormente, maspassou desapercebida e por isso hoje conhecemos este resultado como o "Teoremade Abel-Ruffini", um dos mais importantes da Matemática.

Seu nome também está ligado a grupos abelianos, ou comutativos, e algunsde seus resultados foram publicados no Jornal de Crelle.

Em 1826, Abel visitou Legendre e Cauchy em Paris, numa tentativa demostrar suas descobertas mas não obteve êxito e numa de suas cartas a um amigoescreveu "Todo principiante tem muita dificuldade em se fazer notar aqui. ~abeium extenso tratado sobre certas classes de funções transcendentes mas M. Cauchynão se dignou a olhá-lo".

122-A

Niels H. Abel(1802 - 1829)

Abel esperava obter um posto deprofessor em alguma Universidade e porisso deixou suas memórias com Cauchypara que fossem examinadas mas este logoas perdeu e ficaram esquecidas.

Devido à falta de recursos morreuaos 26 anos, de tuberculose, deixandoprofundos e importantes resultados emÁlgebra e Teoria dos Números.

Dois dias após sua morte chegoufinalmente a carta informando que haviasido nomeado professor na Universidadede Berlim.

Em 1830, Cauchy achou os manus­critos de Abel que foram publicados em1841 pelo Instituto Francês e que Legendreclassificou como "um monumento maisdurável que o bronze", contendo impor­tantes generalizações sobre funções el íticas.

CAPÍTULO VII

FUNÇÕES

QUADRÁ TICAS

I. DEFINiÇÃO

164. Uma aplicação f de IR em IR recebe o nome de função quadráticaou do :!! grau quando associa a cada x E IR o elemento (ax2 + bx + c) E IR,

onde a *- O. Isto é: f: IR ->- IR

x ...... ax2 + bx + c, a *- O.

Exemplos de funções quadráticas:

a) f(x) x2 - 3x + 2 onde a ~ 1, b ~ -3, c ~ 2

b) fi x) ~ 2x2 + 4x - 3 onde a ~ 2, b ~ 4, c ~ -3

c) f(x) ~ _3x 2 + 5x - 1 onde a ~ -3, b ~ 5, c ~ -1

d) f(x) x2- 4 onde a ~ 1, b ~ O, c ~ -4

e) f(x) _2x 2 + 5x onde a ~ -2, b ~ 5, c ~ O

f) f(x) _3x2 onde a ~ -3, b ~ O, c ~ O

11. PARÁBOLA

165. O gráfico da função quadrática é uma parábola. (*)

(.) Isto é provado mais adiante no volume de Geometria Analftica desta coleção.

123-A

Page 68: Fundamentos de Matemática elementar - Vol1

111. CONCAVIDADEExemplos

1?) Construir o gráfico de y = x2 - 1

x Y 7 x2 - 1

-3 8-2 3-1 O

O -11 O2 33 8

2?) Construir o gráfico de y = _x2 + 1

x

166. A parábola representativa da fun­ção quadrática y = ax2 + bx + c podeter a concavidade voltada para "cima"ou voltada para "baixo".

Se a > O, a concavidade daparábola está voltada para cima.

Se a < O, a concavidade daparábola está vo Itada para ba ixo.

y

y

x

x

x y = _x2 + 1

-3 -8-2 -3-1 O

O 11 O2 -33 -8

x

IV. FORMA CANÔNICA

167. A construção do gráfico da função quadrática y = ax2 + bx + c com oauxílio de uma tabela de valores x e y, como foi feito no item anterior,torna-se as vezes um trabalho impreciso, pois na tabela atribuímos a x algunsvalores inteiros e pode acontecer que em determinada função quadrática os valoresde abscissa (valores de x) onde a parábola intercepta o eixo dos x ou aabscissa do ponto da parábola de maior ou menor ordenada, não são inteiros.

Para iniciarmos um estudo analítico mais detalhado da função quadrática,vamos inicialmente transformá-Ia em outra forma mais conveniente, chamadaforma canônica.

EXERCICIOS

A.175 Construir os gráficos das funções definidas em IR:

a) y = x2

b) y = _x2 •

c) y = 2x2

d) y = _2x2

el y = x2 - 2x1) y = _2x2 - 4xg) Y = _3x2 - 3h) y = x2 - 2x + 4

A.176 Determinar uma função quadrática f tal que f(-l) = -4. f(l) = 2 e f(2) = -1.

124-A

f(x) = ax2 + bx + c = a(x2 +.Q. x + f-) = a[x2 +.Q. x + b2

2 _ .!t- + ~] =a a a 4a 4a2 a

= a[(x2 +.Q.x + b22 ) _ ( b

22

_.f.)] = a[(x +..2-)2 _ (b; - ;ac)]a 4a 4a a 2a 4a

Representando b2 - 4ac por 6, também chamado discriminante dotrinômio do segundo grau, temos a forma canônica.

125-A

Page 69: Fundamentos de Matemática elementar - Vol1

V. ZEROS

168. Definição

Os zeros ou raízes da função quadrática f(x) = ax 2 + bx + c são os valoresde x reais tais que f(x) = O e, portanto, as soluções da equação do segundo grau

ax 2 + bx + c = O.

Utilizando a forma canônica, temos:

ax 2 + bx + c = O <=> a[(x + --E. )2 - ~ I = O <=>2a 4a2

<=> (x + ~)2 - L\ = O <=> (x + ~)2 = A <=>2a 4a 2a 4a2

<=> X + b = ± vzs: <=> X = -b ± yz;-2a 2a 2a

169. Discussão

Observe que a existência de raízes reais para a equação do segundo grauax2 + bx + c = O fica condicionada ao fato de v;5. E IR. Assim, temos trêscasos a considerar:

l?l  > O, a equação apresentará duas raízes distintas que são-b + VIS. -b - ...n;.

Xl = e X2 = .2a 2a

2?) Â = O, a equação apresentará duas ra ízes iguais que são-b

Xl = X2 = -.2a

3?) Â < O, considerando que nesse caso VIS. fi IR, diremos que aequação não apresenta ra ízes reais.

170. Resumo

171. Interpretando geometricamente, di­zemos que os zeros da função quadráticasão as abscissas dos pontos onde a pa­rábola corta o eixo dos x.

"1 Exemplo

~; Construindo o gráfico da funçãotv x2 - 4x + 3 podemos notar que:'a parábola corta o eixo dos x nos. pontos de abscissas 1 e 3, que sãoas raízes da equação x2

- 4x + 3 = O.

EXERCICIOS

A.177 Determinar os zeros reai,s das funções:

a) f(x) = x2- 3x + 2

b) f(x) = _x2 + 7x - 12

c) f(x) = 3x2- 7x + 2

d) f(x) = x2 - 2x + 2

e) f(x) = x2 + 4x + 423 1f) f(x) = -x + - x +

2 29) f(x} = x - 2x - 1

h) f(x) ~ _x2 + 3x - 42.r;, 1

i) f(x) = x - V 2x + 2"j) f(x) = x2 + (1 - V3)x - V3

k) f(x) = 2x2

- 4x

I} f(x) = _3x2 + 6

m) f(x) = 4x2 + 3

n) f(x) = _5x2

x

ax 2 + bx + c = O <=>

126-A

-b + fiÂ> O~ x = ou X =2a

-bÂ=O~x=

2a < O ~ não existem raízes reais.

-b-~2a

A.178 (MAPOFEI-76) Resolver o sistema

127-A

Page 70: Fundamentos de Matemática elementar - Vol1

A.179 Determinar os zeros reais da função f(x) x4 - 3x2 - 4.

Solução

Queremos determinar x E IR tal que x4

- 3x2

- 4 = O.

Fazendo a substituição z == x2, vem:

z2 _ 3z - 4 ~ O

cuja solução é z = 4 ou z = -1 mas z = x:l, então:

x2~4=>x~±2

A. 187 Determinar oS valores de m para que a equação

mx 2 + (2m - 1Ix + (m _ 2) ~ O não tenha ra(zes reais.

A.188 Mostre que na equação do 2':' grau ax2 + bx + c ~ O. de raizes reais xl e x2.

S d ( S ~ Xl + x2 ~ ~ e para produto P das ra(zestemos para a soma as ra zes ac

P = XI • x2 ~a

A.189 Na equação do 2':' grau 2x2 • 5x - 1 ~ O de raizes Xl e X2. calcular:

e

ou seja

m > _ 14

a) 2 e -3

bl .!.. e 32 2

cI 0.4 e 5

di 1 e -..rie) 1 + v'3 e 1 - Y3

A.191 Obter uma equação do segundo grau de raizes:

20 d ( XI e X2 é a equação x2

- Sx + P = OA.190 Mostre ClJe uma equação do . grau e ra zesonde S = x I + x2 e P ~ xI • x2·

d) (x 112 + (X2)2

el~ + ~x2 Xl

f) (x 113 + (x213

cl .2.XI

b) f(x) _x4 + 5x2 + 36d) f(x) x4 - 4x2 + 4f) f(xl _x4 + 3x2 - 3hl f(x) ~ x6 - 7x3 - 8

Considerando que a função é quadrática e os zeros são reais e distintos então:

a = m '* O e Ll ~ 4m + 1 > O

x2 ~ -1 = ~ X E IR.

Logo. os zeros reais da função t(xl ~ x4 - 3x2 - 4 são X ~ 2 e X -2.

Solução

Na função f(x) ~ mx2 + (2m - 1)x + (m - 21. temos:

a = m. b ~ 2m - 1. c = m - 2 e Ll ~ 4m + 1.

A.180 Determinar os zeros reais das funções:

a) f(x) = x4 - 5x2 + 4c) f(x) ~x4 - x2 - 6

el flxl ~ 2x4 + 6x2 + 4g) t(xl ~ 3x4 _ 12x2

A.181 Determinar os valores de m para que a função quadráticat(x) = mx2 + (2m - 1)x + (m - 21 tenha dois zeros reais e distintos...

2 O -J.. O admite as ra(zes reais não nulas Xl eA. 192 Se a equação ax + bx + c ~ • a.,.- •x2. obter a equação de rarzes:

aI (x 112 e (x212

b) 1 e 1Xl Xl

c) ~ e ~Xl Xl

dI (XI)3 e (x213

A.182 Determinar os valores de m para que a função quadráticaf(x) ~ (m - 11x2 + (2m + 3)x + m tenha dois zeros reais e distintos.

i A.183 Determinar os valores de m para que a equação do 2':' grau'-..,...-1 2 .(m + 21x + (3 - 2m Ix + (m - 1) = O tenha ra(zes reais.

A.1114 Determinar os valores de m para que a função'-_/ t(xl ~ mx2 + (m + 1)x + (m + 1I tenha um zero real duplo.

. A~5 Determinar os valores de m para que a equação\.Y~ x2 ~ (3m + 21x + (m2 + m + 2) ~ O tenha duas ra(zes reais iguais.

A.186 Determinar os valores de m para que a função

f(x) = (m + 11x2 + (2m + 31x + (m - 1) não tenha zeros reais.

A.193 Determinar m na equação

~ + ~ = 4, onde Xl ex2 Xl

mx2 _ 2(m - 1)x + m = O

x2 são as ra(zes da equação.

para que se tenha

128-A 129-A

Page 71: Fundamentos de Matemática elementar - Vol1

VI. MAxlMO E MfNIMO

172. Definição

174. Exemplos

19) Na função real f(x) = 4x2 - 4x - 8 temos: a = 4, b = -4, c = -8

e  = 144.

Como a = 4 > O, a função admite um valor mínimo:

-ÂYM =

4a-144 isto é: Ym = -94·4'

Dizemos que o número YM E Im(f) (Ym E Im(f)) é o valor de máximo(mínimo) da função Y = f(x) se, e somente se, YM;;;' Y (Ym';;; Y) paraqualquer Y E Im(f) e o valor de XM E D(f) (xm E D(f)) tal que YM = f(XM)

(Ym = f(xm)) é chamado ponto de máximo (mínimo) da função. em

xm-b2a

42·4'

isto é:1

X m = 2'

173. Teorema29) Na função real f(x) = _x2 + x + ~, temos: a = -1, b = 1, c = ~

e  = 4.

Como a = -1 < O, a função admite um valor máximo:Y =

"A função quadrática Y = ax2 + bx + c admite um valor máximo (mínimo)-Â -b- em x = - se, e somente se, a < O (a > O)".4a 2a

Demonstração-Â

YM = 4a-4

4(-1) ,isto é: YM = 1

Consideremos a função quadrática na forma canônica

Y = a [(x + :a)2 - 4~2 1 (1)

em-b2a

-12(-1) ,

isto é: XM1

=-2

Considerando que (x + ~)2;;;, O V x E IR e -Â para uma dada2a' 4a2

função tem valor constante, então Y assumirá valor máximo (mínimo) quando

a < O (a > O) e a diferença

VII. VÉRTICE DA PARABOLA

175. Definição

o ponto V( -b -Â)2a' 4a

é chamado vértice da parábola representativa da

for a menor possível, isto é

(x + ~)2 = O = x = -b2a 2a

função quadrática.

EXERCíCIOS

e) y = _x2 + 5x - 7

a) y = 2x2 + 5x

c) y = 4x2 - 8x + 4

Substituindo x

130-A

-b em (1) temos2a

-Â4a

. . I mlnimo e o ponto de máximo ou o pontoA.194 Determinar o valor maxlmo ou o va or ,de mlnimo das funções abaixo, definidas em IR.

b) y = -3x2 + 12x7 5

d) y = x 2 - - x +2 2

x2 4 1fi y = -"2 + "3 x - 2

131-A

Page 72: Fundamentos de Matemática elementar - Vol1

A.195 Determinar o valor de m na função real flxl

mínimo seja ~.

3x2 - 2x + m para que o valo A.206 Num triângulo isósceles de base 6 cm e altura 4 cm está inscrit~ um retângulo.Determine o retângulo de área máxima sabendo que a base do retangulo está sobre

a base do triângulo.

A.196 Determinar o valor de m na função real f(x) _3x2 + 21m - 1) x + (m + 11 par;que o valor máximo seja 2.

A.197 Determinar o valor de m na função real flx) mx 2 + (m - llx + (m + 21 par;que o valor máximo seja 2.

A.207 Determinar os vértices das parábolas:

A.19B Determine o valor de m na função real f(x)que o valor m{nimo seja 1.

Im - lIx2 + (m + l)x - m par;

a) y == x 2 - 4

cI y ~ 2x2 - 5x + 2

= _x2 2el y + x -

9

bl y ~ _x2 + 3x1 3

d) y ~ _x2 + "2 x + 2

fi y ~ x2 - 2 x - 23

A.199 Dentre todos os números reais de soma 8 determine aqueles cujo produto é máximo

Solução

Indicando por x e z esses números e por y o seu produto, temos:VIII. IMAGEM

Como precisamos ficar com uma só das variáveis x ou z, fazemos

y = x • z => y = xl8 - xl => y

-1 < o. y é máximo quando

x + Z = 8

paraObservemos queC14a

que considerar dois casos:

b )2f(x) ; a(x + - -2a

x E IR então temos

f(x) ; a [(x +.-!?. )2 - ~]2a 4a2

qualquer

ou seja

176. Para determinarmos a imagem da função quadrática, tomemos inicialmente

a função na forma canônica:

-x2 + 8x.

= 4.=> x

y == x • z.

==>z=8-x

-82· (-1)

-b2a

x

x + z ~ 8

Como a

e portanto

e, portanto:

Substituindo em z = 8 - x vem z 4.Logo, os números procurados são 4 e 4.

A.200 Dentre todos Os números reais x e z tais que 2x + z = 8 determine aqueles cujoproduto é máximo.

1'?) caso

a> O => a(x + ~)2 ;;. O2a

b )2Y a{x +-2a

C14a

-C1;;.4a

A.201 Dentre todos os retângulos de perímetro 20 cm, determine o de área máxima.

e, portanto,A.202 Dentre todos os números de soma 6 determine aqueles cuja soma dos quadrados é

mínima.

A.203 Determine o retângulo de área max,ma localizado no primeiro quadrante. com doislados nos eixos cartesianos e um vértice na reta y = -4x + 5.

2'?) caso

a < O =? a(x + ..E...)2 .;;; O2a

a(x + ..E..)2y 2a

C14a

-C1.;;;--.4a

A.204 t dado uma folha de cartolina como nafigura ao lado. Cortando a folha nalinha pontilhada resultará um retângulo.Determinar esse retângulo sabendo quea área é máxima.

A.205 Determine o retângulo de maior área contido num triângulo eqüilátero de lado 4 em,estando a base do retângulo num lado do triângulo.

Resumindo:

-C1a > O - y;;' 4a' "Ix E IR

-C1a < O - y .;;; 4;' "Ix E IR.

132-A 133-A

Page 73: Fundamentos de Matemática elementar - Vol1

Como a = 2> O, temos: Im(f) = {y E IR I y ;;;. -2}

177. Provemos agora que a imagem da função quadrática f(x) = ax2 + bx + c

Im = {y E IR I y ;;;. ~} para a > O4a

e portanto:-Â -16- = - = -2.4a 4·2

e

Vamos provar só para o caso em que a > O.

Para provarmos que a imagem da função f(x) = ax2 + bx + c é

Im = {y E IR I y ;;;.~} para a > O, devemos mostrar que qualquer que4a

seja y E Im existe x E IR tal que y = ax2 + bx + c.

De fato, seja y E Im, então podemos escrever

y=a(x+~)2_~2a 4a

 = b2 - 4ac = 22 - 4 • (- ..!..) (- ~)3 3

e portanto:

logo:

definida porR

169

emIR

5c = --

3

de

temos:

f

e

da função

x2 1>Na função f(x) = - - + 2x - -

3 3'

1a=-"3' b=2

2':» Obter a imagemx2 5

= - - + 2x - -.3 3

f(x)para a < O.{ _-Â}Im = y E IR I y .;;;

4a

ou seja:

y +~ = a(x + ~)2 (1)4a 2a

4a

169 4

3

Como

igualdade (1)

~ -Â Â ~ O . . .. b dy r -4a' temos y + - r , Isto e, o primeiro mem ro a. 4a

é não negativo, logo o segundo membro também o será, isto é,

a(x + ~)2;;;. O2a

Como a = _.! < O,3

temos: Im (f) = {y E IR I y .;;; ~}

e como a > O, temos: EXERCICIOS

que é uma inequação do segundo grau com solução x E IR.

178. Exemplos

1':» Obter a imagem da função f de IR em IR definida por f(x)= 2x2 - 8x + 6.

Na função f(x) = 2x2 - 8x + 6, temos:

a = 2, b = -8 e c = 6

A.20S Determinar a imagem das funções definidas em IR:

ai y = x2 - 3x

b) y = _x2 + 4

c) v = 3x2 - 9x + 6

d) y = -4x2 + 8x + 12

el y = _x2 + ~ x + 12

fi y = .! x2 + x + 12

A.209 Determinar m na função f(xl = 3x2 - 4x + m definida em IR para que a imagem

seja Im = {v E FI I y ~ 2}.

logo:

 = b2 - 4ac = (_8)2 - 4 • 2 • 6 = 16

A.210 Determinar m na função f(x) = - x2

+ mx - .!... definida em FI para que a imagemseja Im = {y E FI I y .;;; 7}. 3 2

134-A 135-A

Page 74: Fundamentos de Matemática elementar - Vol1

IX. EIXO DE SIMETRIA

Para provarmos que a parábola tem eixo de simetria na reta

Se ll. ~ O, a parábola tangencia o eixo dos x no ponto P(~, O).2a

Se ll. < O, a parábola não tem pontos no eixo dos x.

49) Vértice da parábola é o ponto V(~, -ll.) que é máximo se a < Oou é mínimo se a > O. 2a 4a

Seguem-se os tipos de gráficos que poderemos obter:

P (-b +~ O)2 2a '

eP (-b - ~ O)1 2a'

19) O gráfico é uma parábola, cujo eixo de simetria é a reta x ~ .±perpendicular ao eixo dos x. 2a

29) Se a > O (a < O), a parábola tem a concavidade voltada para cima(baixo).

39) Zeros da função

Se ll. > O, a parábola intercepta o eixo dos x em dois pontos distintos

x

pertencente ao gráfico da

x ~ -b2ã'

com "r E IR, pertencente

y

179. "O gráfico da função quadráticaadmite um eixo de simetria perpendicularao eixo dos x e que passa pelo vértice".

Os pontos da reta perpendicular aoeixo dos x e que passa pelo vértice da

parábola obedecem a equação x ~ -b2a'

po is todos os pontos dessa reta tem

abscissa -b.2a

-bdevemos mostrar que dado um ponto A(2ã - r, y),

ao gráfico da função, existe B( -b + r, y) também2a

função.

Tomando a função quadrática na forma canônica

f(x) ~ a[(x + ~)2 - ~]2a 4a2

-be considerando que A(_ - r, y) pertence ao gráfico da função temos:2a

f ( -b ) [( -b b 2 ll.] [ 2 ll.]y ~ - - r ~ a - - r + -) - - ~ a (-r) --2a 2a 2a 4a2 4a2

ya >0

e

ll.>o

ya >0

ya >0

ell.<o

x

~ a[(r)2 - 4ll.a2 ] ~ a[( -b + r + ~)2 -~] ~ f(~+ r)2a 2a 4a2 2a

y y y

provando que B( -b + r, y) também pertence ao gráfico da função.2a

X. GRÃFICO

180. Para fazermos o esboço do gráfico da função quadrática f(x) ~ ax2 + bx + c,buscaremos, daqui para a frente, informações preliminares que são:

a <oe

ll.>o

I xIV

•ll.<o

136-A137-A

Page 75: Fundamentos de Matemática elementar - Vol1

EXERCICIOS

A.211 Fazer o esboço do gráfico da função y x2 - 4x + 3.

Solução

Concavidade

Como a = 1 > O a parábola tem a concavidade voltada para cima.

Gráfico

x

Concavidade

Como a = -1 < O a parábola tem a concavidade voltada para baixo.x

1 1o vértice é V(-l, -2 l.2'

~ x2 + x + 1 •2

1

4 • 1..2

y

4ae-1

Em y = 1. x2 + x + 1; temos:2

a = ~, b = 1, c = 1 e  = -1.

Como -b -12a 2. 1.

2

Vértice

Gráfico

Zeros da função+x2 + x + 1 = O == Â = -1 < O == ~ ra(zes reais.

A parábola não tem pontos no eixo dos x.

A.213 Fazer o esboço do gráfico da função

Solução

Concavidade

Como a = ~ > O, a parábola tem a concavidade voltada para cima.

x

Y, podemos determinar um outroem relação a reta x = 2 (eixo

y-1,-4

47T

ou x = 3

Determinado o ponto onde a parábola corta o eixoponto (4, 3) da parábola, simétrico a (O, 3)de simetria da parábolal.

Gráfico

Observe que a parábola sempre inter­cepta o eixo y. Para determinarmosonde o faz, basta lembrar que o pontosituado no eixo y tem abscissa nula,logo y(O) = 02 - 4· O + 3 = 3, istoé, o ponto no eixo y é (O, 3).

Vértice

Em y = x2 - 4x + 3, temos

a = 1, b = -4, c = 3 e  = 4

como~ = _4_ = 2 e -4Âa-2a 2 • 1

o vértice é V(2, -11.

Os pontos no eixo x são P[ (1, O) e P2 (3, O)

Zeros da função

x2 - 4x + 3 = O == x =

A.212 Fazer o esboço do gráfico da função y _x2 + 4x - 4.

Solução

Zeros da função

-x2 + 4x - 4 = O

A parábola admite um único ponto no eixo x que é P (2, OI.

Vértice

Considerando que a parábola admite um único ponto no eixo X, então esse pontoé o vértice da parábola.

A.214 Construir o gráfico cartesiano das funções definidas em IR:

a) y x2 - 2x - 3 b) y = 4x2 - 10x + 4

c) y = _x2 + !..x+ 1 d) = -3x2 + 6x - 32 2

Y

e) = x2 - 3x + 9 f) y = 3x2 - 4x + 2y4

-!.. x2 3= _x2 + x - 1

hl y - x -gl y 2 2

138-A 139-A

Page 76: Fundamentos de Matemática elementar - Vol1

XI. SINAL

e vamos resolver o problema: "para que valores de x E IR temos:

181. Consideremos a função quadrática

f(x) = ax2 + bx + c (a * O)

Exemplos

19) f(x) = x2 - 2x + 2 apresenta t. = (_2)2 - 4· 1 ·2 = -4 < O e,como a = 1 > O, conclu(mos que

f(x) > O,V x E IR.

-3 < O29) f(x) = _x2 + x - 1 apresenta t. = 12 - 4. (-1) • (-1)e, como a = -1 < O, conclu(mos que

f(x) < O, V x E IR.c) f(x) = 07 "b) f(x) < O;a) f(x) > O;

Resolver este problema significa estudar o sinal da função quadrática par<

cada x E IR.

Na determinação do sinal da função quadrática, devemos começar pelecálculo do discriminante t., quando três casos distintos podem aparecer:

Vejamos como prosseguir em cada caso. a. f(x) = a2[(x +~)2 _ (--.2.....)]

I~+positivo (não negativo) zero

Da forma canônica, temos:

183. 2l? Caso: t. = O

c) t. > Ob) t. = Oa) t. < O

A representação gráfica da função f(x) = ax2 + bx + c, quando t. = O,vem confirmar a dedução algébrica.

li > O => f(x) ;;. O, "f X E IRa < O =>- f(x) .,;; O. V X E IR

182. 1? Caso: t. < O

Se t. < O então -t. > o.Da forma canônica, temos:

a. f(x) = a2[(x + ...!::-)2 + (-t.)] => a. f(x) > O, V x E IR-é. ~ ~

POSItIVO (não negativo) ~.POSItiVO

Isto significa que a função f(x) = ax2 + bx + c, quando t. < O, teno sinal de a para todo x E IR, ou melhor:

li > O - f(x) > O. V X E IRa < O => f(x) < O. V x E IR

então a· f(x) ;;. O, V x E IR.

Isto significa que a função

o si nal de a para todo x E IR

ou melhor:

f(x) = ax2 + bx + c, quando t. = O, tem

- {xd sendo XI = ;~ zero duplo de f(x),

x

x

..xflxl< o

• xflx) >0

A representação gráfica da função f(x) = ax2 + bx + c, quando t. < O

vem confirmar a dedução algébrica.

140-A141-A

Page 77: Fundamentos de Matemática elementar - Vol1

Exemplos Xl X X22) se Xl < X < X2 ---ll---'I~--+-I ----., , temos:

{

X - Xl > OXl < X < X2 => e

X - X2 < O

1t?) f(x) = x2 - 2x + 1 apresenta to = (_2)2 - 4. 1 • 1 = O, então f(x)-btem um zero duplo Xl = - = 1 e, como a = 1 > O, concluímos:2a

{f(xl>O, VxEIR-{1}f( x) = O se X = 1 3) se X > X2

Xl X2 x---+1--+1---;1--..... , temos:

2t?) f(x) = -2x2 + 8x - 8

f(x) tem um zero duplo para Xl

[f(xl < O,l!(x) = O

184. 3C? caso: to > O

apresenta to = 82 - 4(-2) • (-8) = O, então

= -b = 2 e, como a = -2 < O, concluímos:2a

"Ix ElA - {2}se X = 2

{

X - Xl > OX > X2 > Xl => e =>

X - X2 > O

Isto significa que:

1) O sinal de f(x) é o sinal de a para todo x, tal que X < Xl ou

x> X2;

2) O sinal de f(x) é o sinal de -a para todo x, tal que XI < X < X2·Da forma canônica, temos:

fica evidente que a forma canônica se transforma em:

25> O,(-1) 2 - 4 • 1 • (-6)

-----'.'-'-f----~~----x

x

Em resumo:

O gráfico da função f(x) = ax2 + bx + c, quando to > O, vem confirmar

a dedução algébrica.

x = Xl X = X2X<XI ...... ---,. r----- X.<X<X2 -----, r---- X>X2

t(--x)-t-em-o-----<\~j-~----f-IX-)-te-m-o----~'~)-/--f-Ix-I-te-m-o-..• x

sinal dea O sinal de -8 O sinal dea

Exemplos

1t?) f(x) = x2 - X - 6 apresenta toentão f(x) tem dois zeros reais e distintos:

x Xl X2---+I--+I~--;I------+, temos:1) se X < Xl

b v'X 2[ b.Ji. b.Ji. ]a • f(x) = a2[(x + - )2 - (- )2] = a (X + - + - )(X + - - -)2a 2a 2a 2a 2a 2a

{

-b-~-b ±~. , Xl = 2a

X = Isto e .~2a -b + v to

x2=2a

O sinal de a· f(x) depende dos sinais dos fatores (x - XI) e (x - X2).Admitindo XI < X2, temos que:

2 [ -b -~ -b +~ ] 2af(x) = a (X - )(x - ) = a (X - xtl(x - X2).2a 2a

Lembramos que a fórmula que dá as raízes de uma equação do segundograu é:

- Xl < Oe

- X2 < O

== a • f(x) = a2 • (X - xtl (X - X2) > O'--v---'--' '-v----'

é 0 é

-b -~ = _1_-_5 = -2---c2=-a-c-- 2

e, como a = 1 > O, concluímos que:

e X2 =-b+~

2a

142-A 143-A

Page 78: Fundamentos de Matemática elementar - Vol1

2?) f(x) = -2x 2 + 3x + 2 apresenta .1 32 - 4 . (-2) • 2 25, logo

f(x) tem dois zeros reais e distintos:

-b + fi ··3 + 5 1 -b -fi -3 - 5 2Xl = e X2 = ---2a -4 2 2a -4

x

a>O e .1=0

x..

S = IR

x < -2 ou x> 3x = -2 ou x = 3

-2 < x < 3.

paraparapara

{

f(X) > Of(x) = Of(x) < O

e, como a = -2 < O, condu imos que a<O e .1>0

f(x) < O1

X > 2para X <-- ou a<O e .1<0 x2 •

f(x) = O1 2para x = ou x =

D2

f(x) > O 1para --< x < 22

a<O e .1=0 x

EXERCICIO

A.215 Estudar os sinais de cada uma das funções do exerclcio A.214.

XII. INEQUAÇÃO DO 21? GRAU

EXERCICIOS

A.216 Resolver a inequação x2 - 2x + 2 > O.

Solução

Considerando f(x) = x2 - 2x + 2, temosa = 1 > O e .1 = -4 < O entãoflx) > O, "f x E IR.

Como a inequação é fi x) > O, vem:

S = IR. x

Resolver, por exemplo, a inequação

ax2 + bx + c> O

é responder à pergunta: "existe x real tal que f(x) = ax2 + bx + c seja positiva?"

A resposta a esta pergunta se encontra no estudo do sinal de f(x), quepode, inclusive, ser feito através do gráfico da função. Assim, no nosso exemplo,dependendo de a e de .1 podemos ter uma das seis respostas seguintes:

185. Se a *- Oax 2 + bx + c ;;, Ograu.

as inequações ax 2 + bx + c > O, ax2 + bx + c < O,e ax2 + bx + c .;;; O são denominadas inequações do 2'?

A.217 Resolver a inequação x2 - 2x + 1 .;;; O.

Solução

Considerando f(xl = x2 - 2x +.1,

temos a = 1 > O, .1 = O e o 2ero

duplo x = -b = 1 então2a

fflx) >0 "fx E IR - {1}l!(x) = O se x = 1

Como a Inequação é f(x)';;; O, vem:

S = {1}. x

144-A145-A

Page 79: Fundamentos de Matemática elementar - Vol1

ou x = 2

Solução

2x 2 + x - 1 ,;;;; O em IR.2x - x2

Determinar:

ai os pontos de intersecção do gráfico da função com o eixo das abscissas.b) o conjunto dos valores de x para os quais y ~ o.

A.223 Resolver a inequação

A.221 Resolver em IR as inequações:

ai (1 - 4x2 1 • (2x2 + 3x) > O

bl (2x2 - 7x + 6) • (2x2 - 7x + 5) ,;;;; O

c) (x2 - x - 6) • (_x2 + 2x - 1) > O

di (x2 + x - 6) • (_x2 - 2x + 31 ;;. O

el x3 - 2x2 - x + 2 > O

f) 2x 3 - 6x2 + x - 3 ,;;;; O

A.222 (MAPOFEI-71) ~ dada a função y (2x2 - 9x - 5) (x2 - 2x + 21.

x

y

x < _! ou21

21

2

Considerando f(x) = -2x 2 + 3x + 2.temos a = -2 < O, Â = 25 > O e os

zeros Xl.= - ~ e X2 = 2, então

[

(x) < O para

f(x) = O para x =

I(xl > O para

Como a inequação é f(x);;' O, vem:

S={xE IRI-! ';;;;x';;;;2}2

A.218 Resolver a inequação -2x2 + 3x + ! ;;'0.

x..x...

+

1.2 2 x,O + +

+ O

li +------------

1 22"

O

2•O

+

O

-1

O

O•

+

numerador e do denominador, temos:1'2•

I(x)=2x2 +x-1 + O

g(x) = 2x - x2O +

I(x)g(x) Q +

-1 O

g(xl = 2x _ x2

Solução

Analisando os sinais do

Fazendo o quadro·quociente, vem

-1 O

x..+

2••

- 1

I( x) = x2 - x - 2 + O O

I-------..J------<io:--------<....x-

g(x) __ x2 +4x_3 O + O

Solução

Analisando os sinais dos fatores, temos:

A.219 Resolver as inequações em R:a) x2 - 3x + 2 > O bl _x2 + x + 6> O

cl -3x2 - 8x + 3 ~ O d) _x2 + .:! x + 10 ;;. O2

e) 8x2 - 14x + 3 ,;;;; O f) 4x2 - 4x + 1 > O

g) x2 - 6x + 9 ;;. O h) -4x2 + 12x - 9 ;;. O

il x2 + 3x + 7 > O j) -3x2 + 3x - 3 < O

k) 2x2 - 4x + 5 < O I) _ ! x2 + !x-.!>O3 2 4

A.220 Resolver a inequação (x 2 - x - 2)(_x2 + 4x - 3) > O em IR.

Fazendo o quadro-produto, vem A.224 Resolver em IR as inequações:

s = {x E IR I -1 < x < 1 ou 2 < x <3}

Hx) = x2 - x - 2

g(xl = _x2 + 4x - 3

Hx) • g(x)

+

-1

O

O +

O

O

+

2

O

O

3 x

+ ! +

+ O

+ O

a) 4x2 + x - 5>0 b) -9x2 + 9x - 2

';;;;02x2 - 3x - 2 3x2 + 7x + 2

c) x2 + 2x;;'0 d) 2 - 3x

<Ox2 + 5x + 6 2x2 + 3x - 2

e) x2 + 3x - 16 ;;'1 fi 2x2 + 4x + 5< -2_x2 + 7x - 10 3x2 + 7x + 2

g)6x2 + 12x + 17 ;;. -1 h)

(x+1)3-1>1

-2x2 + 7x - 5 (x-11 3 +1

146-A 147-A

Page 80: Fundamentos de Matemática elementar - Vol1

A.226 Resolver os sistemas de inequaçõ;s:

r +x-2>0 {x2 + x - 20 ,;;; oai

- x2 < Ob)

x2 - 4x - 21 > O3x

clr + 2x ;;. O di

{-2X2 - x + 1 ;;. O

-4x2 + 8x - 3 < O 4x2 - 8x + 3 ,;;; O

A.225 Resolver as inequações:

ai 4 < x2 .. 12 ,;;; 4x

bl x2 + 1 < 2x2 - 3 ,;;; -5x

ciO';;; x2 - 3x + 2 ,;;; 6

di 7x + 1 < x2 + 3x - 4 ,;;; 2x + 2

e) O < x 2 + x + 1 < 1

f) 4x2 - 5x + 4 < 3x2 - 6x + 6 < x2 + 3x - 4

> 1.8'= m(f(x) > O, \f x E IR)

(2m - 1)2 - 4 . m . (m + 1) =

4m 2 - 4m + 1 - 4m 2 - 4m = -8m + 1 < O = m > 18

Como as condições são simultâneas, conclu(mos que

2°) a = m> O = m > O

e

Determinar m de modo que a função quadrática

f(x) = mx 2 + (2m .. 1)x + (m + 1) seja positiva para todo x real.

Devemos ter simultaneamente .0. < O e a > O, portanto

187. Exemplo

x 4 _ 5x 2 + 4 ;;. O em IR .. A.227 Resolver a inequação

Solução

Fazendo 7 -,-- x2 temosEXERC(CIOS

z2 _ 52 + 4 ~ O ==> z ~ 1 OiJ 2 > 4

mas 2 = x2 , portanto:

Ix2 ,;;; 1 ou x2 ;;' 4) = Ix2 - 1 ,;;; O ou x2 - 4 ;;. 01 ==> (-1 ,;;; x ,;;; 1 ou x';;; -2 ou x;;' 2)

logo S ~ {x E IR I x ,;;; -2 ou -1';;; x ,;;; 1 ou x;;' 2}

A.229 Determinar m para que se tenha para V x E IR.

ai x2 + 12m - llx + 1m 2 - 2) >0 bl x2 + 12m + 31 x + 1m 2 + 31 ;;. OcI x2 _ mx + m > O d) x2 + Im + llx + m > O

el _x 2 + Im + 21 x - Im + 31 ;;>- O f) Im -11x2 + 41m - lIx + m >0

ql mx 2 + (m - 2) x + m ~ O h) rnx 2 + Im + 31 x + m ;;>- O

li (m f lIx2 - 21m - llx + 31m .. 11 < O j) 1m2 - 11 x2 +2Im-llx+ 1 >0A.228 Resolver em IR as inequações:

ai x4 - 10x2 + 9 ,;;; O

cI x4 + 8x 2 - 9 < O

el x6 - 7x 3 - 8 ;;. O

b) x4 - 3x 2 - 4 > O

d) 2x4 - 3x2 + 4 < O

f) 3x4 - 5x2 + 4 > O

A.230 Determinar m para que se tenha

Solução

x2 + Im + llx + 1 < 2 para\fxEIR.x2 + x + 1

Considerando que x2 + x + 1 é positivo para qualquer x real, multiplicamos

ambos os membros de x2

-+ (m + 1lx + 1 <x 2 + x + 1 2 por (x 2 -+ x + 1l, mantendo a

=

desiqualdade.

Então:

x 2 + Im + llx + 1 < 2 \fx 2 + x + 1 ,x E IR

= x2 +lm+llx+l<2Ix2 +x+ll,\fxEIR == _x2 + Im - lIx - 1 < O, \f x E IR.

Devemos ter D < O, portanto:

.0. Im - 11 2- 4' 1-11 • I-li m2 - 2m - 3 < O = -1 < m < 3.

Resposta: -1 < m < 3.f(x) > O, \f x E IR

flx) < O, \f x E IR==

a) .0. < O € a> Ob) .0. < O e a < O

186. A condição necessária e suficiente para que o trinômio do 2° grau

f( x) = ax 2 + bx + c tenha sinal constante em IR é que .0. < O.

Este teorema é uma conseqüência das propriedades de sinal de

= ax2 + bx + c já estudadas. Observemos que:f(x)

.{

" XIII. TEOREMAI :

148-A 149-A

Page 81: Fundamentos de Matemática elementar - Vol1

.. XIV. COMPARAÇAo DE UM NOMERO REAL COM AS RAfzESDA EQUAÇÃO DO 29 GRAU

A.231 Determinar m para que se tenha para V x E IR:

ai x2 + mx + 1 < 2 b) x2- mx + 2 > m

x2 + 1 x2 - x + 2

cl x > x + mx2 + 4 x2 + 1

di -3 < x2

2+ mx - 2 < 2.

x - x + 1

189. Resumo

Conhecendo a posição de a em relação às raízes reais Xl e X2 def(x) = O, temos que:

{

1) a < X\ .;;; X2 = a· fIa) > O

2) XI < a < X2 = a· fIa) < O

3) XI .;;; X2 < a = a· f(a) > O

.. 4) a = XI ou a = X2 = a· fIa) = O

Observemos que nos casos 1, 3 e 4 o discriminante é D.;;' O enquantoque no caso 2 temos D. > O.

b) se a estiver entre as raízes X\ e X2 (XI * X2) o produto a· f(a)é negativo, isto é: a e f(a) tem sinais contrários.

188. Comparar o número real O! às raizes reais XI ~ X2 da equação do 29grau ax2 + bx + c = O é verificar se:

1) a < XI .;;; X2 (a está à esquerda de Xl)

2) XI < a < X2 (a está entre as raízes)

3) XI .;;; X2 < a (a está à direita de X2)

4) a = XI ou a = X2 (a é uma das raízes)

sem calcular as raízes.

Sendo f(x) = ax2 + bx + c uma função quadrática, cuja regra de sinal jádiscutimos neste capítulo, temos que:

a) se a estiver à esquerda de XI ou à direita de X2, o produto a· f(a)é positivo, isto é: a (coeficiente de x2 ) e f(a) = 002 + ba + c tem o mesmosinal.

Se a· f(a) < O, o trinômio f(x) '= ax2 + bx + c tem zeros reais e dis­tintos e a está compreendido entre eles.

a . f(a), que conclusãof(x) = O e qual a posição

T {D. > O e XI < a < X2H{a • f(a) < O

29) Se o real a estiver à esquerda de XI ou à direita de X2 ou forum zero de f(x), teremos a· fIa) ;;. O, o que contraria a hipótese a· f(a) < O.

Concluímos, então que a está compreendido entre XI e )(2.

Demonstração

1C?) Se fosse D.';;; O, teríamos: a· fIa) ;;. O, V a, a E R

o que é absurdo, pois contraria a hipótese a· fIa) < O.

Concluimos, então, que D. > O, isto é, f(x) tem dois zeros XI e X2,

reais e distintos.

Inversamente, conhecendo o sinal do produtopodemos tirar da existência de raizes reais da equaçãode a em relação às mesmas raízes?

É o que veremos em seguida.

190. Teorema 1

f(a)

_--l..-+-*_~I-__--1_ x

c) se a é zero de f(x), então a· fIa) = O, pois f(a) = O.

----\-~,------;I--- __ x • x

Exemplo

Comparar o número 1 às raízes da equação 3X2 - 5x + 1 = O.

Temos a = 3, a = 1 e f(x) = 3x2 - 5x + 1, entãoa . f(a) = 3 • f( 1) ~ 3 • (3 • 12

- 5 . 1 + 1) = -3 < O.

Conclusão: D. > O e XI < 1 < X2.

150-A 151-A

Page 82: Fundamentos de Matemática elementar - Vol1

191. Teorema 2Exemplos

Se a· fia) > O e Á > O,

de X2'

t·fia) > OH ou

Á>O

então O' está à esquerda de x I ou à direita 1C?) Comparar o número 1 às raizes da equação 3x2 + 4x - 3 = O.

Á = 42

- 4 • 3 • (-3) = 52 > O }

a • f(a) = 3 • f( 1) = 3 • (3 + 4 - 3) = 12 > O = XI < X2 < 1

.§. -b -2 < 1 = O'

2 2a 3

Demonstração

Se Á > O e XI < O' < X2, então a· f(a) < O, o que contradiz ahipótese a· f(al > O.

Se Á = O e O' X I X2, então a· f(a) = O, o que também contradiz. a hipótese a· fia) > o.

2C?) Comparar o número O com as raizes da equação 4x2 - 6x + 1 = O.

Á = (-6)2 - 4 • 4 • 1 = 20 > O }a • f(a) = 4 . f(O) = 4 . 1 = 4 > O = O < XI < X2

S -b 3-=-=->02 2a 4

Conclulmos que O' < XI < X2 ou XI < X2 < a. 192. Resumo

Se f(x) = ax 2 + bx + c apresenta zeros reais XI < X2 e o' é um númeroreal que vai ser comparado a XI e X2, temos:

se O' >

~ < Sse ~ 2

S2

T-1aI a . f(a) < O = XI < O' < X2

b) a . f(a) = O ==== o' é uma das raIzes

{

O' < XI < X2

c) a . f(a) > O e Á > O =XI < X2 < o'

que é a média aritmética das raizes XI e X2, pois:

Notemos que, se a· f(a) > O e Á > O, o teorema 2 garante queO' I. [XI, X21. mas não indica se O' está à esquerda desse intervalo (O' < XI < X2)

ou à direita dele (XI < X2 < 0'). Para verificarmos qual dessas duas situaçõesestá ocorrendo, devemos comparar o' com um número qualquer que esteja entre

as raizes. Para facilitar os cálculos vamos utilizar o número S XI + X2 -b2 2 2a '

Calculando S2

-b2;' temos duas possibilidades a examinar:

EXERCICIOS

1~) se o' < S2à esquerda de X I ;

- "a" dd Sentao o' esta esquer a e2

e, conseqüentemente, A.232 Determinar m de modo que o númeroequação: mx 2 + Im - l)x - m = O.

esteja compreendido entre as raízes da

XI

então, O' está à direita de S2

.. XX2

são as raízes reais de

Solução

Considerando f(xl = mx2 + Im - 1) X - m.

Para que aconteça Xl < 1 < X2 onde, x 1 e x2mx2 + (m - 1)x - m '" 0, devemos ter:

af(1) < O = ~[m • 12 + Im - 1) • 1 - m] < O

a fií I

= m' Im - 1) < O = 0< m < 1

Resposla: O < m < 1.

.. XX2

e, conseqüentemente,

S"2

XI.

S"2

~ > S ~ <~ = XI"'" X2 o'

2

~ < S < ~~ = o' XI"'" X22

2~) se o' > S2'à direita de X2;

152-A 153-A

Page 83: Fundamentos de Matemática elementar - Vol1

A.233 Determinar m de modo que o número a esteja compreendido entre as raIzes daequação:

A.237 Determinar m de modo que a equação (m - 3)x2 + 2(m - 2)x + m + 1 ~ O tenharal'zes reais tais que xl < x2 < 1.

A.235 (MAPOFEI-74) Determinar m para que a equação: (m - 2)x2 - 3mx + (m + 21 ~ Otenha uma raiz positiva e Outra negativa.

A.234 (MAPOFEI-75) Determinar os valores de m na equação x2 + (m - 2)x + 1 - m ~ Ode modo que o número real 2 esteja compreendido entre as raízes.

A.236 Determinar m de modo que a equação mx2 - (2m + l)x + 2 + m O tenharaIzes reais tais que -1 < xl < x2.

a) mx2 + (2m - 3)x + m - 1 ~ O e a:2b) (m - 1)x2 + (2m + 1)x + m ~ O e a ~ -1c) mx2 + (m - 1)x + (m + 2) ~ O e a~o

dI (m2 - 1)x2 + (m - 3)x + m + 1 ~ O e a ~ 1

OA.242 Determinar m para que a equação do 2':' grau (2m + 1) x2 + 2x + m + 1

tenha raIzes reais tais que O < XI < X2 < 4.

A.24' Determinar m para que a equação do 2':' grau 3x2 - 2(m + 2)x + m2 - 6m + 8 = Otenha raízes reais tais que xl < 1 < X2 < 4.

A.243 Determinar m na equação do 20 grau (3m - 21 x2 + 2mx + 3m O para quetenha uma única raiz entre -1 e O.

A.244 Determinar m na equação do 20 grau mx2 - 2(m - l)x - m - 1 O para quese tenha uma única raiz entre -1 e 2.

A.238 Determinar m de modo que a equação (m - 1)x2 - mx - 2m - 2 O tenharaIzes reais tais que -1 < xl < x2.

A.239 Determinar m de modo que a equação do 2':' grau mx 2 - 2(m + l)x + m + 5 ~ Otenha raízes reais tais que O < xl < X2 < 2.

A.240 Determinar m para que a equação do 2':' grau mx 2 - 2(m + l)x + m + 5 O

tenha raízes reais tais que xl < O < x2 < 2.

s"2 > -1.ea·f(-ll >0

Solução

Considerando f(x) ~ mx2 - (2m + l)x + 2 + m.

Para que aconteça -1 < xl < x2. onde xl e x2 são as raízes reais demx2 - (2m + 1) X + 2 + m = O, devemos ter:

Analisando separadamente cada condição:

1~) a' f(-1) > O = m' [m(_1)2 - (2m + 1) • (-1) + 2 + m] > O =-; , 11:1) ,

= m' (4m + 31 > O = m < - ~ ou m > o.4

XV. SINAIS DAS RAfZES DA EQUAÇÃO DO 29 GRAU

Como as três condições são simu Itâneas, fazendo a intersecção dos intervalos acimavamos encontrar:

2~)~>0 = (2m+l)2_ 4 ' m(2+ml>0 = -4m+l>0 = m<.!..4

.. X

.. X

s > O2

~ ;;;. O e a· f(O) > O e

De acordo com a teoria anterior, temos:

193. 1~) as raízes são positivas

Neste caso, temos:

0< Xl <O

X2

ou

0<o

Xl = X2

Estudar os sinais das raízes de uma equação do 2? grau é comparar o núme­

ro zero às raízes Xl e X2 da equação dada.

Podem ocorrer três situações:2m + 1 + 1 > O = 4m + 1 > O =~ 2m

=

O < m <.! que é a resposta.4

ou

2m + 1 >-12m

ou m > o.

m <-~4

(~> -112

(~>Ol

3~1 ~ > -1 =2

= m<- ~4

Representando os valores encontrados sobre um eixo3

-4" O(a· f(1) > OI 1I1111111111111111111111111111111c 0---,--------------- m

1I11111111111111111111111111111111111111111111111111111111~ .. m1

-4" O1IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIo----<:lllllllllll 111111111111111111111111111111111.. m

154-A 155-A

Page 84: Fundamentos de Matemática elementar - Vol1

1-8

0111111111111111111111111111 .. m

Notemos que, sendo f( x) ~ ax2 + bx + c, temos:

a) a . f(0) ~ a . c > O = ~ > O = P > Oa

onde P ~ c é o produto das ra(zes da equação do 29 grau.a

b) ~ > O ~ 5> O2

onde 5 ~ b é a soma das ra(zes da equação do 29 grau.a

Assim, sendo, uma equação do 29 grau tem ra(zes positivas somente se:

~;;'O e P>O e 5>0

isto é, se as ra(zes forem reais, com produto positivo e soma positiva.

196. Exemplo

Determinar os valores de m na equação do 29 grau

(m - 1)x2 + (2m + l)x + m ~ O

para que as ra(zes reais sejam distintas e positivas.

Como a equação é do 29 grau, devemos ter, inicialmente

m-l*O ~ m*l

e, se as ra(zes são distintas e positivas (O < Xl < x2 1. então:

~ > O (pelo fato de as ra(zes serem reais e distintas) e 5> O e P> O(pelo fato de estas ra(zes serem positivas).

Analisando cada condição:

(2m + 1)2 - 4(m - 1) • m

~ 8m + 1 > O ~ m > - .!.8

1-2 1

S >O~lIl1l1ll1l1l"lIl1lJlJllIlI~ m

O < m < 1 que é a resposta.

-b - (2m + 1) > O =a m - 1

=-.!..<m<l2

~~~~>O=a m - 1

~ O < m < 1 P >0

Fazendo a intersecção das três condições, vem

o 10111111111110 .. m

De acordo com a teoria anterior, temos:EXERCICIOS

e a . f(O) > O e .§. < O2

A.245 Delerminar m de modo que a equação do 2'.' grau (m + llx2 + 2(m + llx + m - 1 = Otenha ra(zes negativas.

Isto também pode ser escrito assim:

195. 3~) as raIzes têm sinais contrários

Neste caso, temos:

Xl < 0< X2

De acordo com a teoria anterior, temos:

a • f(O) < O ou P < O.

156-A

A.246 Determinar m de modo que a equação do 20 grau (m + 1)x2 + .2x + m - 1 = Olenha raizes positivas. ...

A.247 Determinar m de modo que a equação do 20 grau (m - 2)x2 + (3m - 11 x + (m + 1) = Otenha ra(zes de sinais contrários.

A.248 Determinar m de modo que a equação do 2\' grau (m - llx2 + (2m + 3)x + m = Oadmita raizes negativas.

A.249 Determinar m de modo que a equação do 2'.' grau (m2 - 4)x2 + mx + m - 3 = Oadmita raízes de sinais contrários.

A.250 Determinar m de modo que a equação do 2'.' grau mx2 - (2m - llx + (m - 2) = Oadmita raízes positivas.

157-A

Page 85: Fundamentos de Matemática elementar - Vol1

As margens dos livros falamCAPÍTULO VIII

Pierre S. de Fermat(1601 - 1665)

I. FUNÇÃO DEFINIDA POR VARIAS SENTENÇAS ABERTAS

x

x

2

y

-,

3

y

-,

,

-"'+./~

'+, ... 1,,,

f(x) ~ ,

se x < -1se x;;;' 1

se x < Ose O';;;x<2.se x;;;' 2

está representado ao

{-x

f(x) = x2 _ 1

fI') t + 1

O seu gráf ico

lado.

FUNÇÃO MODULAR

O seu gráfico está representado ao

lado.

2!?) Seja a função f: IR -+ IR de­

finida por

f(x) = -x para x < -1f(x) = x2 - 1 para x;;;'-1

que também pode ser indicada por

1!?) Seja a função f: IR -+ IR de-

finida. por

{

f(x) = 1 para x < Of( x) = x + 1 para O';;; x < 2f(x) = 3 para x;;;' 2

que também pode ser indicada por

Uma função f pode ser definida por várias sentenças abertas cada uma das

quais está ligada a um domínio Di contido no domínio da f.

197. Exemplos

Pierre Simon de Fermat nasceu na França e estudou Direito em Toulouse,

aí participando do Parlamento. Embora muito ocupado, encontrou tempo paraestudar Literatura Clássica, Ciências e Matemática, por puro prazer.

Em 1629 iniciou suas descobertas matemáticas depois de ter-se dedicadoà restauração de obras perdidas da Antigüidade.

Baseando-se na coleção Matemática de Pappus, descobriu o princípio fun­damentai da Geometria Analítica: sempre que numa equação se encontram duasvariáveis, os pontos que satisfazem à equação formam uma curva.

Em curto tratado, "Introdução aos lugares planos e sólidos", dá ênfase aoesboço de soluções de equações, começando com uma equação linear e um sistema

de coordenadas arbitrário sobre o qual a esboçou. Como apêndice desta obraescreve "A solução de problemas sólidos por meio de lugares", observando a solu­ção de equações cúbicas e quadráticas.

Os trabalhos de Fermat eram muito mais sistemáticos e didáticos do que osde Descartes e sua Geometria Analítica aproxima-se da atual, tendo em mente aexistência de mais de duas ou três dimensões, o que nunca conseguiu provar.

Apesar de não conhecer o conceito de limite, em sua obra "Método paraachar máximos e m(nimos" aproxima-se bastante do cálculo de hoje. Tambémseu método para mudar a variável e considerar valores vizinhos é essencial em Aná­lise I nfinitesimal, usando-o para achar tangentes de curvas. Ainda em Análise, con­tribuiu com quadraturas, volumes, comprimentos de curvas e centro de gravidade.

Com a restauração do livro "A Arit­mética", de Diofante, muito pouco práticoe com muitos algoritmos, Fermat passou adesenvolver um importante ramo da Mate­mática, a Teoria dos Números, da qual éconsiderado fundador e onde principalmente

• cuidou dos números primos.

Sua matemática estava escrita emapontamentos desorganizados, em margensde livros ou em cartas que ele não tinhaintenção de publicar.

Fermat é considerado o príncipe dosamadores em Matemática, sempre commuitas descobertas mas que perderam suaprioridade pois, devido à sua modéstia,quase nada foi publicado.

158-A 159-A

Page 86: Fundamentos de Matemática elementar - Vol1

EXERCICIOS 11. MÚDULO

A.251 Construir o gráfico das funções definidas em IR:

a) f(xl o {x + 1 se x;;;, O-x se x < O

di flx) o {x2- 4x + 3 se

x - 1 se

x<O

se X;;;, O

{

IXI ~ XouIX I = -X se

198. Definição

Sendo x EC IR, define·se módulo ou valor absoluto de xque se indica por

Ix I, através da relação

x> 1x < 1

3 se x;;;, 1

se -1 < x < 1se x ~ -1

f(xlb)

se x ~ -2se -2 < x < 2se x ~ 2

cl {-2flx) o ;

A.252 IMAPOFEI-741 Esboçar o gratico da função

g) fi xl o{ x2- 4x se x;;;' O

_xl - 4x se x < O

x> -2x,,;; -2

+V2, 1+v31+2 1-V215'

Isto significa que:

1'?) o módulo de um número real não negativo é igual ao próprio número;

2'?) o módulo de um número real negativo é igual ao oposto desse número.

Assim, por exemplo, temos:

1+21 = +2, 1-71 = +7, 101 = O, 1- 2[5

x;;;'ox<O

h) f(x) o{ x2- 4x + 3 se

xl + 4x + 3 se

x~o

x<Oel flxl o{ x

2- 2x se

1 - x se

{

X-I

flxl o x2 - 1Ixl

se x> 2se 0";;x<2se x < O

199. Propriedades

Para determinarmos o valor de x E R tal que f{x) = 4 resolvemos as equações

A.253 Na função real flxl

têm imagem 4.

Solução

x> -2

x :E;;; -2 determine os valores do domínio que

Decorrem da definição as seguintes propriedades:

I. Ixl ;;;, O, VxECIR• Ixl = O11. = X = O

111. Ixl • Iyl = Ixyl,V x, y E IRIV. Ixl2 = x2

, VxEC IRV. Ix + yl";; Ixl + Iyl, V x, y E IR

VI. Ix-yl;;;'lxl-lyl, V x, y EC IR

VII. Ixl ,,;; a e a> O = -a ~ x ~ a

VIII. Ixl ;;;, a e a> O = X ,,;; -a ou x ;;;, a

{

X o -3x2 + x - 2 = 4 ==> x2 + x - 6 = O ==> x::;c 2

(não convém)

e 111. FU NÇAo MODULAR

-~ + 1 04 = x -62

200. Definiçãologo, os valores do domínio são x = 2 ou x ==- -6.

{

X2 - 2. x + 1 se x;;;, OA.254 Na função real f(x) -= 2 determine os valores do domínio que

x+2 se x<Otêm imagem 7.

Uma aplicação de IR em R recebe o nome de função módulo ou modular

qua ndo a cada x E IR associa o elemento Ix I EC IR.

Isto é: f: IR _ IR

x I---> I xl

160-A 161-A

Page 87: Fundamentos de Matemática elementar - Vol1

A.255 Construir os gráficos das funções definidas em IR:

a) f(xl ~ 12x I b) f(x) ~ 13xl

EXERCICIOS

fV:=t=1Z

/ x

IT

VI-

xH+H'-+-+-J-+X

Primeira EtapaSe glx);;' O. vamos ter f(x) ~ Ig(x) I ~

~ glx). isto é. o gráfico da função fcoincidirá com o gráfico da função g.

Segu nda Etapa:

Se glxl < o. vamos ter f(x) ~ Ig(x) I ~ -g(x). isto é. o gráfico da função f será simé­trico do gráfico da função g, relativamente ao eixo das abscissas.Construindo os gráficos obtidos, nas duas etapas, no mesmo plano cartesiano temos ográfico da função f(x) ~ I x + 11.

x

y

IR+, isto é, a função modular somente

se x;;. Ose x < O.

f(x) ={X-x

Utilizando o conceito de módulode um número real, a função modularpode ser definida também da seguinteforma:

o gráfico da função modular é areunião de duas semi-retas de origem O,que são as bissetrizes do 19 e 29 qua­drantes.

A imagem desta função é Imassume valores reais não negativos.

A.256 Construir o gráfico da função real definida por fi x) ~ Ix + 11.

Solução

Podemos construir o gráfico de f(xl Ix + 11 por dois processos: •

A.257 Construir os gráficos das seguintes funções reais:

a) flx) Ix - 1 I b) f(x) 12x - 1 I

d) t(x) 12 - 3xl e) flx) ~ Ix2 + 4xl

g) t(x) 14 - x2 1

c) t(x)

f) t(x)

12x + 31

Ix2 - 3x + 21

Primeiro Processo

cujo gráfico está representado ao lado.

Para obtermos O gráfico de

f(xl ~ Ig(x)1 ~ Ix + 11

fazemos em duas etapas:

13x - 41 + 1

Ix2 + 4x + 31 - 1

g(x) ~ Ix - 11

f Ix) ~ Ix - 1 I + 2

cl t(x)

f) f(x)

V

I'

" :/

.~

V

,,,,, '

_,x

b) flx) 12x - 11 - 2

el f(x) ~ Ix2 - 41 + 3

Solução

Construimos inicialmente o gráfico dafunção g(x) ~ Ix - 11

Para obtermos o gráfico de t(x)~ g(xl + 2 deslocamos cada ponto dográfico da função g duas unidades "pa­ra cima",

a) t(x) ~ Ix I - 3

d) f(x) ~ Ix2 - 11 - 2

A.258 Construir o gráfico da função definidaem IR por f(x) ~ Ix - 1 I + 2

A.259· Construir os gráficos das seguintes funções reais

y IT

/...I'''/; +xL'-~~

/,/'+ 1.\+)11'\.' D

1'\.1/

yT ~'\m~+/ IL(x) >C

~(1/ x) jCe,.

1/11/1 1

se x ~ -1se x < -1

IX+ll~{ x+l-x - 1

Notemos que

então a função pode ser definida comouma função a duas sentenças ou seja,

se x;)=-1

se x < -1f(x) ~{ x + 1

-x - 1

Segundo Processo

Para construirmos o gráfico de

f(x) ~ I x + 1 I.fazemos inicialmente o gráfico da funçãoglx) ~ x + 1, que está representado aolado.

162-A 163-A

Page 88: Fundamentos de Matemática elementar - Vol1

A.26D Construir o gráfico da função definida em IR t(x) Ix + 21 + x - 1.

Solução

Notemos que

{X + 2 se x;>-2

Ix + 21 =-x - 2 se x < -2

11':'1 quando x<-2"' temos t(x)=12x+11+lx-ll=-2x-1-x+1 =-3x

120 1 quando -'2";; x < 1, temos f(x) = 12x + 11 + Ix - 11 = 2x + 1 - x + 1 = x + 2

30) quando x;> 1, temos t(x) = 12x + 11 + Ix - 11 = 2x + 1 + x - 1 = 3x

A.265 Construir os gráficos das seguintes funções reais:

cujo gráfico está ao lado.

Anotando a função f como uma funçãodefinida a várias sentenças vem:

a) t(x) = Ix + 11 + Ix - 1 Icl flxl = 12x - 21 + Ix + 31e) flxl = Ix2 -41-lx-21

Ix + 11 - Ix - 1113x + 31 - 12x - 31Ix2 - 2x I - Ix2 - 41

2

y liI\~ i~

\ " :,u,~

'~

1\ ~/,li x'""

~'\~+V "1.,+

x

bl t(x) =dI flx) =

fi flxi =

se x <_.!.­2

se -~,,;; x < 12

se x ~ 1{

-3X

t(xl =x+2

3x

1v I1I I

>-+- 1-l-~--.,.

rv""-..~ x....

mioJ

~J

I I

2'.') quando x < -2, temos:

flx) = Ix + 21 + x - 1 == -x - 2 + x - 1 = -3.

Devemos, então considerar dois casos

10 ) quando x;> -2, temos:

t(x) = Ix + 21 + x - 1 == x + 2 + x - 1 = 2x + 1

Anotando a função f como uma fun­ção definida a duas sentenças, vem:

t(xl ={2X + 1 se x ;>-2-3 se x <-2

cujo gráfico está ao lado.

A.264 Construir o gráfico da função definida em IR por:

f(x) = 12x + 11 + Ix - 11

A.263 Construir o gráfico da função flx) = IX1

- 11 definida em IR - {1}.- x

A.261 Construir os gráficos das funções reais abaixo.

a) flx) Ixl + x b) flx) Ixl - xc) flx) = Ix-31+x+2 d) flx) Ix+11-x+3

e) flx) = 12x - 1 I + x - 2 f) flx) 13x + 21 - 2x + 3

g) t(xl = x2 - 41xl + 3 hl t(x) Ix 2 -2Ixl-31i) t(x) = Ix2 - 2x I + x + 2

\ y I,

1\ /\ 1/

1\ /\ 1/

1\ / x\ 1/

/\1/ glx) = 12x-21-4

I

,vi I

1\ I I\ tlxl = I?x-21-4 1/

1\ /\ 1/

1\ / \ /\ / \ 1/

1\ / r-.. /\ / \1/

x

2':'1 Se glx) < 0, temos:

flxl = Iglxll = -glxl

Analisemos as duas possibilidades

f Ix) = 112x - 21 - 41

isto é, o gráfico da função f é o opos

to do gráfico da função g.

Considerando as duas possibilidades erepresentando num mesmo plano carte­

siano temos:

isto é, o gráfico da função coincidirá

com o gráfico da função g.

10) Se glx);> 0, temos:

t(x) = Ig(x) I = g(x)

Construímos inicialmente o gráfico deglx) = 12x - 21 - 4.

Solução

A.266 Construir o gráfico da função definidaem IR

definida em IR 4- •

x

Ixl

se x ~ 1se x < 1

Devemos então, considerar 3 casos:

e IX_11={x-1-x + 1

{

2X + 1

Notemos que 12x + 1 I =-2x - 1

Solução

A.262 Construir o gráfico da função flx)

164-A 165-A

Page 89: Fundamentos de Matemática elementar - Vol1

A.267 Construir os gráficos das funções reais:

a) f(x) ~ Ilxl - 21

b) t(xl ~ 112x + 31 - 21

c) flxl = 11 x2 - 11 - 31di t(x) = IIx - 11 + x - 3\

e) flx) = Ix2 - 41xl + 31t) t(x) ~ Ilx+21-lx -211

gl f(x) = 113x - 31 - 12x + 111

3<'» Resolver Ix + 11 : 3x + 2

Devemos ter inicialmente

3x + 2;;' O =

para que seja possível a igualdade.

2Supondo x;;. - - temos3

2x~--

3

1: 3x + 2 = x =-2"

IV. EQUAÇOES MODULARES

Lembremos da propriedade do módulo dos números reais, para k > O

Ixl = k ~ x = k ou x = -k

e, utilizando essa propriedade, vamos resolver algumas equações modulares.

Ix + 11 : 3x + 2

1S = {--}

2

EXERCfclOS

={x+x + 1

ou

= -3x - 2 = 3x =--

4(não convém)

201. Exemplos

1l?) Resolver 12x - 1/ = 3

2<'» Resolver 13x - 11 = 12x + 31

Lembrando da propriedade

lal = Ibl ~ a = b ou a = -b

Então

{

2x - 1 = 312x - 11 = 3 = ou

2x - 1 = -3

S = {2, -1}

=

=

x=2

x = -1

A.268 Resolver as seguintes equações em IR:

ai Ix + 21 ~ 3

b) 13x - 11 = 2c) 14x - 51 = Odi 12x - 31 = -1e) Ix2 - 3x - 1 I = 3

t) Ix2-~x-~I~~2 4 4

g) Ix2 - 4x + 51 = 2

A.269 Resolver em R as seguintes equações:

ai 13x + 21 = Ix - 1 Ib) 14x - 1 I - 12x + 31 = Ocl Ix2 + x-51 ~ 14x - 1 Id) Ix2 + 2x - 21 = Ix2 - x - 1 I

1 = 2x + 3 = x = 4ou

temos:

13x - 11 12x + 31

166-A

~{3X-3x - 1 = -2x - 3 =:=>

2x =--

5

A.270 Resolver as seguintes equações em IR:

a) Ix - 21 = 2x + 1

b) 13x + 21 = 2x - 3

c) 12x - 51 = x - 1di 12x2 + 15x - 31 = x2 + 2x - 3e) 13x - 21 = 3x - 2

f) 14 - 3xl = 3x - 4

167-A

Page 90: Fundamentos de Matemática elementar - Vol1

v. INEQUAÇOES MODULARES

Lembrando das propriedades de módu lo dos números reais, para k > O:

1) Ix I < k <== -k < x < k2) Ixl > k <== X < -k ou x> k

e, utilizando essas propriedades, podemos resolver algumas inequações modulares.I

202. Exemplos

lC?) Resolver em R: 12x + 11 < 3

Então:

I 2x + 1 I < 3 = -3 < 2x + 1 < 3 = -2 < x < 1

s = {x E IR I -2 < x < 1}

2C?) Resolver em R: 14x - 31 > 5

Então:

A.273 Resolver em IR a inequação 2x - 7 + Ix + 1 I ;;. o.

Solução

I I {X + 1 se x;;'-l

Notando que X + 1 = -x _ 1 se x < -1

devemos então, considerar dois casos:

l'?)Se x;;'-l, temos:

2x - 7 + Ix + 1 I ;;. O = 2x - 7 + x + 1 ;;. O <==> x;;. 2

A solução S, é

S, = {x E IR I x ;;. -1} n {x E IR I x ;;. 2} = {x E IR I x ;;. 2}

20 ) Se x < -1 temos:

2x - 7 + Ix + 11 ;;. O = 2x - 7 - x - 1 ;;. O = x;;. 8.

A solução S2 é

S2 = {x E IR I x < -l} n {x E IR I x;;. 8} =y)

A solução da inequação proposta é

S = S1 U S2e portanto

S = {x E IR I x ;;. 2}

14x - 31> 5 =

=s ~ {x E IR I x <

EXERCfclOS

12

(4x - 3 < -5 ou 4x - 3 > 5)1

(x < - - ou x > 2)2 .

ou x > 2}.

= A.274 Resolver em IR as seguintes inequações:

a) Ix - 11 - 3x + 7 .;; O b) 12x + 1 I + 4 - 3x > Oc) 13x - 21 + 2x - 3 .;; O @ 1x + 1 I - x + 2 ;;. Oe) 13x-41+2x +1<0 f) Ix2 -4xl-3x+6';;09 I Ix2 - 6x + 51 + 1 < x

A.275 (MAPOFE 1-761 Resolver a inequação Ix2 - 41 < 3x.

A.276 Resolver a inequação em fi 12x - 61 - Ix I .;; 4 - x.

12x - 61 = -2x + 6 -2x + 6 2x - 6

Ixl = -x x x

12x - 61 - Ixl = -x + 6 -3x + 6 x - 6

A.271 Resolver em A as inequações abaixo:

ai 13x-"21<4 b) 12x-31';; 1cl 14 -'3x[';; 5 di 13x + 41';;0e) 12x+41<-3 fi 12x - 11 > 3g) 15x + 41 ;;. 4 h) 12-3xl;;'1il 13x - 51 > O j) 14x - 71;;'-1

1 < Ix - 11 .;; 3,

k)

A.272 Resolver as inequações seguintes em fi:

a) Ix2 - 5x + 51 < 1 bl Ix2 - x - 41 > 2c) Ix2 - 5x I ;;. 6 di Ix2 - 3x - 41 .;; 6

el 12x

- 31 > 2 fi 1~1';;23x - 1 2x - 1g) Ilxl-21>1 hl 112x + 11 - 31 ;;. 2il 112x - 1 I - 41 .;; 3

168-A

Solução

Notando que:

I {2X - 6

12x - 6 = -2x + 6

Construímos a tabela:

O

e Ixl ={ x-x

3

se x ~ Ose x < O

x

169-A

Page 91: Fundamentos de Matemática elementar - Vol1

temos:

l?l Se x> 3, a inequação proposta é equivalente a:

x - 6 < 4 - x~ 2x < 10 = x < 5

{

X-612x - 61 - IxI o -3x + 6

-x + 6

Devemos considerar três casos:

se x> 3se 0<x<3se x < O

CAPÍTULO IX

-OUTRAS FUNÇOESELEMENTARES

A solução SI é

SI o {x E IR I x ? 3} n {x E IR I x < 5} o {x E IR I 3 < x < 5}

2?) Se O < x < 3, a inequação proposta é equivalente a:

-3x + 6 < 4 - x = -2x < -2 ~ x? 1

I. FUNÇÃO f(x) = x3

isto é:

S o {x E IR 3 < x < 5} U {x E IR 1 1 < x < 3} u)2f

A.278 (MAPOFEI-751 Resolver a desigualdade Ix - 21 + Ix - 41 ? 6.

bl 13x + 21 - 12x - 1 I > x + 1di Ix+21 + 12x-31<1Ot) 3 { I x + 1 1- Ix - 1 I} < 2i - 4x

I"I.

4

H

3

I2 II

111 J G

FI7-2 -1 ) D E

1 2 x

I~ -1

II -2

I-3

B

-4

1

Vamos inicialmente construir a tabela

X x3 ponto

-2 -8 A

3 27 B-'2 -a-1 -1 C

1 1 D-'2 -"8o o E

1 1 F"2 8

1 1 G

3 27 H2 8

2 8 I

5 125J

2 8

3 27 K

203. Façamos um estudo da função f: de Fl em IR, que associa cada x E Flo elemento x3 E R

Isto é: f: Fl--+ IRx~ x3

A solução S2 é

S2 o {x E R 1 O < x < 3} n {x E IR I x? 1} o {x E IR I 1 < x < 3}

3?) Se x < O, a inequação proposta é equivalente a:

-x + 6 < 4 - x = 6 < 4 que é absurdo. Logo a solução S3 é:

S3 o )Õ.

A solução da inequação 12x - 61 - Ix1< 4 - x é:

S o SI U S2 U S3

e portanto:

S o {x E R 1 < x < 5}

A.277 Resolver as seguintes inequações em IR:

@Ix + 21 - Ix - 31> X·

cl Ix - 21 - Ix + 41 < 1 - xel Ix + 21 + 12x - 21 > x + 8gl Ix - 21 - Ix + 31 > x2 - 4x + 3

170-A171-A

Page 92: Fundamentos de Matemática elementar - Vol1

Observemos que a função f(x) = x3 :

a) é uma função crescente em IR, isto é:

(\fx[ E IR, \fX2 E R) (XI < X2 = x~ < x~)

b) tem imagem Im = R pois, qualquer que seja o y E R, existe x E IFtal que y = x3

, isto é, x =~

EXERCICIO

A.279 Fazer o esboço dos gráficos das seguintes funções definidas em IR.

ai f(x) ~ x3 + 1

b) f(x) = -x3

c) f(x) = 2 - x 3

d) f(x) = (x + 1)3

e) f(x) = (2 - x)3

f) f(x) = Ix - 1)3 - 1

g) f(x) = 2 + (1 - x)3

h) f(x) = Ix 31

11. FUNÇÃO RECIPROCA

1 1 1 1 1 11 2 3 4x -4 -3 -2 -1 -"2 -3 -4 4" 3" 2

1 1 1 1 1 1 1-1 -2 -3 -4 4 3 2 1 "2 "3 4"y 0_ -4 -3 -"2x

ponto A B C D E F G G' F' E' D' C' B' A'

,- -----1 1

~-

~---~I1- --

yI- --

~lG'-~-I----

,~'--~ ~-~- ----t---

tF i

\ I Iln' I +-- -~f'....

f----

c' B' LA'

.....~

xA B

~

D[\- ~--~-

~,

F

G---

204. Definição205. Observemos que a função recíproca y

x

Uma aplicação f de IR * em IR recebe o nome de função rec/proca quandoa cada elemento x E IR * associa o elemento 2-,

xIsto é: f: IR* -+ IR

1XI-> ­

X

Vamos inicialmente construir a tabela

172-A

a) não é definida para x = O;b) tem imagem Im = IR* pois, dado um número real y * O, sempre

existe um x também real tal que y = 2-;x

c) tem por gráfico uma hipérbole equilátera(')

Clt) Isto está provado em nosso livro de Geometria Analítica desta coleção.

173-A

Page 93: Fundamentos de Matemática elementar - Vol1

EXERCfclOS A.282 Fazer O esboço gráfico das seguintes funções:

a) f(x) ~ 1x::-T b) f(x) 1

2="X

Vamos construir uma tabela da seguinte maneira: atribu ímos valores a x + 1, calcule1

mos x + 1 e finalmente calculamos x:

A.28D Fazer o esboço do gráfico das funções

1 b) f(x) 1a) f(x)

2xx1 d) f(x)

1cl f(x)

~ - 2x lXiA.283 Fazer o esboço gráfico da função f(x)

Vamos construir a tabela da seguinte maneira: atribuímos valores a x - 1, calcula­I

mos 1 + x-:-1 e finalmente x.

x-I 1 1)(:""l + x-I ~1+ x-I

1Ix + 21

x-I +x-I

cl f(x)

Solução

Observemos que:1X+1

Solução

A.281 Fazer o esboço do gráfico da função f(x)

x

-4

-3

-2

O

2

x + 1

-3

-2

-1

1"3

1"2

2

3

-1

-2

-3

3

2

12

13

y

\. .......

-..... x

. f\ I

x-I 1 + 1x y ~

x-I

2-2 -33 Y

-1 -2 1:2

IO -1 O \1 1 ""-2 -2" -1

-r--.2 1 1\ x3" -3" -2

4 143 3

3 12 2

3

2 1 2

3 2 32

4 343

174-A 175-A

Page 94: Fundamentos de Matemática elementar - Vol1

A.284 Fazer o esboço gráfico das seguintes funções:EXERCICIOS

A.285 IMAPüFEI-74) Calcular o valor aproximado da área limitada pela curva

Vamos construir uma tabela da seguinte maneira: atribuímos valores a 2x, calcula­

mos l2x] e finalmente x.

A.286 Construir o gráfico das seguintes funções definidas em IR.

a) Ilx) - 2[xj b) Ilxl = -[x]

A.287 Construir o gráfico da lunção real delinida por Ilxl = [2x]

Solução2

x + 1x=-1I~I

x

bl f(xl

di f(x)

y " >e x '" 4. Use no cálcu lo três trapézios de basl

x = 3 e x = 4.x = 1

x = 2,pelo eixo Ox e pelas retascontidas nas retas x = 1,

a) f(x) x + 3-;-+2"

cl f(x) x - 12 - x

206. Definição

111. FUNÇÃO MÃXIMO INTEIRO

Isto é: f: R -+ IRX -+ Ixl

onde [xJ é o maior inteiro que não supera x.

Assim, por exemplo:

Uma função f de IR em R recebe o nome de função máximo inteiro quand

associa a cada elemento x E IR o elemento [x] que é o maior inteiro qL

não supera x.

1 J. '2.,

A.288 Construir os gráficos das seguintes funções definidas em IR:

a) f(x) = [~]bl f(x) [-x]

2 di f(xl - [Ix I]c) f(x) = [x - 1] el Ilxl = 1 [x]1f) II x) [x J2 g) Ilxl = x - [x]h) f(xl = x + [x]

x 2x = [2x]y

y

-2 <: x < -1.5 -4 <: 2x < -3 -4 4

-1,5<:)«-1 -3 <: 2x < -23

-3 ,-1 <: )( < -0.5 -2<:2x<-1 -2 ,

-0,5 <: x < O -1 <: 2x < O -1., .-' -1 _2- ,

O <: x < 0,5 0<: 2x < 1 O,

~,.,

0,5 <: x < 1 1 <: 2x < 2 1 - .,

1 <: x < 1,5 2 <: 2x < 3~ ·3

2

1,5 <: x < 2 3 <: 2x < 40----<0 4

30-0

2 <: x < 2,5 4 <: 2x < 5 4

-7[ 10 ] -1 e [4] 4.39

[3,9] = [10] = 3, 1-0,7]

Para construirmos o gráfico,notemos que

J~-----r?-3 <: x < -2 = y lx] -3

-2 <: x < -1 = y [x] -2 2 ----ri II

-1 < x < O = y [x] -1 1 ' I,

- -..-<;> I,

O<:x< 1 [x] O -3 -2 -1 ' , , ,

= y, ---I I -,-

1<:x<2 lx] 1, I

, 1 x= y I , -1

2<:x<3 [x] 2 I I '~= y I +-'r-- 2

3<:x<4 = y Ix] 3 ~__ - -3

etc.

A imagem da função máximo inteiro é o conjunto Im =::l.

176-A177-A

Page 95: Fundamentos de Matemática elementar - Vol1

Arthur Cayley(1821 - 1895)

h(x) ~ g(f(x))

207. Definição

{o, 1, 2, 3, 4} e

A~r"C

1!?) Sejam os conjuntos A ~ {-1, O, 1, 2}. B{1, 3, 5, 7, 9} e as funções:

f, de A em B, definida por t(x) x2

g, de B em C, definida por g(x) 2x +

CAPÍTULO X

FUNÇÃO COMPOSTA

FUNÇÃO INVERSA

I. FUNÇÃO COMPOSTA

Seja f uma função de um conjunto A em um conjunto B e seja g umafunção de B em um conjunto C; chama-se função composta de g e f à funçãoh de A em C definida por

(gof) (x) ~ g(f(x))para todo x em A.

Podemos representar também a com­posta gof pelo diagrama.

para todo x em A.

Indicaremos esta aplicação h por gof (Iê·se:·g composta com f ou g cir­culo f); portanto

208. Exemplos

C

Advogado envolvido com Álgebra

Arthur Cayley nasceu na Inglaterra.Como estudante em Cambridge ganhou muitos premlos em Matemática.

Graduou-se em Trinity e dedicou-se ao Direito durante catorze anos, o que nãoimpediu suas pesquisas matemáticas.

Em 1839 fundou-se na Inglaterra o "Cambridge Mathematical Journal",principal veiculo de comunicação que contou com inúmeros artigos de Cayleyassim como outros jornais cientificos, caracteristicos do século XIX.

Em 1843 criou a Geometria Analitica no espaço n-dimensional usandodeterm inantes como instrumento básico e foi o primeiro a estudar matrizes, defi·nindo matriz nula, matriz identidade a partir do que se pode pensar em operaçõessobre elas. Neste aspecto contou com a colaboração de Benjamim e Charles Peirce.

Em 1846, Cayley escreveu um artigo para o "Jornal de Crelle" estendendoo teorema de espaço tridimensional para um espaço de quatro dimensões.

No "Philosophical Transaction" (Transação Filosófica) em 1868, publicouum desenvolvimento do plano cartesiano a duas dimensões como um espaço decinco dimensões cujos elementos são as cônicas.

Em 1854 aceitou o cargo de professorem Cambridge e em 1881 profeiu uma sériEdé conferências sobre funções abelianas Efunção theta.

Cayley escreveu muitos artigos sobreinvariantes algébricos e principalmente nestateoria teve a ajuda de seu amigo inseparávelSylvester, tanto que foram chamados "gé­meos invariantes".

Cayley era essencialmente um alge­brista mas contribuiu também para a Geome·tria e em Análise escreveu "Ensaio sobre asfunções ellticas':

Produziu q~antidade imensa de arti·gos e obras durante sua vida, tanto qUEneste aspecto chega a competir com Cauchye Euler.

179-A

Page 96: Fundamentos de Matemática elementar - Vol1

observemos, por exemplo que: f(2) = 4, g(4) = 9 e h(2) = 9, isto é, h(2) == (gof)(2) = g(f(2)) = g(4) ~ 9.

Para obtermos a lei de correspondência da função composta h = gof,fazemos assim: g(f(x)) é obtida a partir de g(x) trocando-se x por f(x).

No exemplo dado. temos:

h(x) = (gof)(x) = g(f(x)) = 2 • f(x) + 1 = 2x2 + 1.

Se vamos calcular h(2), fazemos deste modo:

h(2) = 2 • 22 + 1 = 9.

2?) Sejam as funções reais f e 9 definidas por f(x) = x + 1 e g(x) = x2+ x + 1.

Notemos que a função composta h, = gof é definida por:

hdx) = (gof)(x) = g(f(x)) = [f(X)]2 + f(x) + 1 = (x + 1)2 + (x + 1) + 1 = x2 + 3x + 3.

Notemos, por outro lado, que a função composta h2 = fog é definida por:

h2(x) = (fog)(x) = f(g(x)) = g(x) + 1 = x2 + x + 1 + 1 = x2 + x + 2.

209. Observações

1~) A composta gof só esta definida quando o contra-domínio da f éigual ao domínio da g. Em particular se as funções f e 9 são de A em Aentão as compostas fog e gof estão definidas e são funções de A em A.

2~) Notemos que em geral, fog *- gof, isto é, a composição de funções

não é comutativa.

Pode acontecer que somente uma das funções fog ou gof esteja definida.

180-A

Assim, no primeiro exemplo, se tentarmos obter fog verificaremos que é impos­sível, pois:

9 é função de B em C mas f não é função de C em A.

B

3~) As duas composições fog e gof estão definidas mas fog *- gof co­mo nos mostra o segundo ellemplo:

(gof) (x) = x2 + 3x + 3

(fog) (x) = x2 + x + 2.

210. Teorema

Quaisquer que sejam as funções

A-.!-B~C~D

tem-se:

(hog)of = ho(gof).

Demonstração

Consideremos um elemento qualquer x de A e coloquemos f(x) = y,g(y) = w e h(w) = z; temos:

((hog)of)(x) = (hog)(f(x)) = (hog)(y) = h(g(y)) = h(w) = z

e notemos que

(gof) (x) = g(f(x)) = g(y) = wportanto,

(ho(gof))(x) = h((gof)(x)) = h(w) = zentão, temos:

((hog)of)(x) = (ho(gof))(x),

para todo x de A.

181-A

Page 97: Fundamentos de Matemática elementar - Vol1

A.295 Dadas as funções reais definidas por f(x) = 3x + 2 e g(x) = 2x + a, determinaro valor de a de modo que se tenha fOg = gOl.

A.296 Se t(x) = x3 e g(x) = x4, mostre que fOg = gOf.

A.298 Sejam as funções definidas por t(x) =.,;; e g(x)os domínios das funções fOg e gOf.

x2 - 3x - 4. Determinar

Mostre que see g(x) = x2 + ax + b.t(x) = x2 + 2x + 3f = g.

A.297 Sejam as funçõesfOg = gOf então

Solução

a) A lei que define fOg é obtida a partir da lei de f, trocando-se x por g(x):

EXERCICIOS

A.289 Sejam as funções reais f e g, definidas por t(x) = x2 + 4x - 5 e g(x) 2x - 3.Pede-se:

a) obter as leis que definem fOg e gOfb) calcular (fOg) (2) e (gOf) (2)c) determinar os valores do domínio da função fOg que produzem imagem 16.

(fOg)(x) = f(g(x)) = [g(x))2 + 4[g(x)] .. 5 = (2x - 3)2 + 4(2x - 3) - 5

(lOg)(x) = 4x2 .. 4x - 8.

A lei que define gOf é obtida a partir da lei de g, trocando-se x por t(x):

(gOf)(x) = g(t(x)) = 2 • t(x) - 3 = 2(x2 + 4x .. 5) .. 3

(gOf)(x) = 2x2 + 8x .. 13

b) Calculemos fOg para x = 2

(fOg)(2) = 4 • 22 - 4 • 2 - 8 = O

calculemos gOf para x = 2

(gOf)(2) = 2 • 22 + 8 • 2 - 13 = 11

Solução

a) (fOg)(x) = t(g(x)) =,.;;;w = Vx2 .. 3x - 4.Para que exista (fOg)(x) E IR, devemos ter x2 - 3x - 4 ;;;. O, isto é: x';;;;-1ou x;;;' 4. EntãoD(fOg) = {x E IR I x ';;;;-1 ou x ;;;'4}

bl (gOt)(x) = g(t(x)) = [g(x))2 - 3 • g(x) - 4 = Ixl - 3..[; - 4.Para que exista (gOf)(x) E IR, devemos ter x;;;' O. EntãoD(gOf) = {x E IR I x ;;;'O}.

A.299 Sejam t(x) =~ e g(x) = 2x2 - 5x + 3. Determinar os domínios das funçõesfOg e gOf.

c) o problema em questão, resume-se em resolver a equação

(fOg)(x) = 16

ou seja

4x2 - 4x .. 8 = 16 = 4(x' - x - 6) = O = x = 3 ou x ~ -2.

300 Se () x+1 ..A. jam as funções f x =~ definida para todo

definida para todo x real. Pedem-se:

a) o domínio e a lei que define fOgb) o domínio e a lei que define gOf.

x real e x =1= 2 e g(x) = 2x + 3

. A.302 Sejam as funções reais f(x) 1 - x, g(x) = x2 - x + 2 e h(x) = 2x + 3. Obtera lei que define hO (gOf!.

A.290 Sejam as funções reais f e g, definidas por t(x) = x2 - X - 2 e g(xl 1 - 2x.Pede-se:

a) obter as leis que definem fOg e gOfb) calcular (lOg)(-2) e (gOf)(-2)c) determinar os valores do domínio da função fOg que produzem imagem 10.

A.301 Sejam as funções reais t(x) = 2x + 1, g(x)a lei que define (hOg)Of.

x2 - 1 e h(x) = 3x + 2. Obter

A.291 Sejam as funções reais f e g. definidas por t(x) = x2 .. 4x + 1 e g(x) = x2 .. 1.Obter as leis que definem fOg e gOf.

A.303 Sejam as funções reais t(x) = 3x - 5 e (fOg)(x) = x2 - 3. Determinar a lei dafunção g.

A.292 Sejam as funções reias f e g, definidas por t(x) = 2 e g(x) = 3x - 1. Obter asleis que definem fOg e gOf.

e g, definidas por f(x) = x2 + 2 e g(x) = x - 3, obter asA.293 Nas funções reaisleis que definem:

a) IOg b) gOf c) fOf d) gOg

Solução

Se f(xl = 3x - 5 então trocando-se x por g(x) temos:

(fOg)(x) = f(g(x)) = 3 • g(x) - 5

mas é dado que: 1t0g)(x) = x2 - 3 então

3 • g(x) - 5 = x2 - 3

A.294 Considere a função em IR definida por t(x) = x3 - 3x2 + 2x - 1. Qual é a lei

que define t("x)? E t(.!.)? E t(x - 1)?x

ou seja

x2 + 2g(x) = --3-'

182-A 183-A

Page 98: Fundamentos de Matemática elementar - Vol1

A.3D4 Sejam as funções reais f(x) 2x + 7 e (fOg)(x) = x2 - 2x + 3. Determinar alei da função g.

A.3D5 Sejam as funções reais g(x) = 3x - 2 e (fOg)(x) = 9x2 - 3x + 1. Determinar alei da função f.

Solução

Se (fOg)(x) = 9x2 - 3x + 1 então f(g(x)) = 9x2 - 3x + 1.g(x) + 2 _

Como g(x) = 3x - 2, decorre x = --3-- e entao:

f(g(x)) = 9[g(x)3+2f -3, [g(X)3+ 2 ] + 1 = [g(x)]2 +4g(x)+4-g(x)-2+1 =

= [g(x)j2 + 3 • g(x) + 3 logo, f(x) = x2 + 3x + 3.

A.3D6 Sejam as funções reais g(x) = 2x - 3 e (fOg)(x) = 2x2 - 4x + 1. Determinar alei da função f.

. A.3D7 Sejam as funções reais g(x) = 2x + 3 definida para todo x real e x cF 2 e2x + 5

(fOg)(x) = x + 1 definida para todo x real e x cF 1. Determinar a lei da

função f.

A.31D Sejam as funções reais f e 9 definidas por

{

x2 + 2 se x';;-1

f(x) = x ~ 2 se -1 < x < 1

4 - x2 se x ~ 1

e g(x) = 2 - 3x.Obter as leis que definem f Og e gOl.

A.311 Sejam as funções reais f e 9 definidas por

{4X - 3 se x ~ O {x + 1 se x > 2

f(x) = x2 _ 3x + 2 se x < O e g(x) = 1 _ x2 se x.;; 2

Obter as leis que definem fOg e gOf.

A.312 Sejam as funções reais 9 e fOg definidas por g(x) = 2x - 3 e

{4X2 - 6x - 1 se x ~ 1

(fOg)(x) = 4x + 3 se x < 1

Obter a lei que define f.

Solução

Fazendo g(x) = V, temos (fOg)(x) = f(g(x)) f(v).Temos de examinar dois casos:

1':') v ~ 1V ~ 1 =* g(x) ~ 1 =* x - 3 ~ 1 =* x ~ 4

V ~ 1 = f(v) = V2 + 2v + 4 ==? f(g(x)) = (g(x)}2 + 2 • g(x) + 4 "*= (fOg)(x) = (x - 3)2 + 2(x - 3) + 4 = x2 - 4x + 7.

2':') v < 1

v < 1 =* g(x) < 1 =* x - 3 < 1 =* x < 4

v < 1 = f(v) = 3v + 4 ==? f(g(x)) = 3 • g(x) + 4 == (fOg)(x) = 3(x - 3) + 4 = 3x - 5

A.308 Sejam f e 9 funções reais definidas

{x2 + 2x + 4 se x ~ 1

f (x) = 3x + 4 se x < 1

Obter a lei que define fOgo

por

e g(x) x - 3.11. FUNÇÃO SOBREJETORA

211. Definição

Uma função f de A em B é sobrejetora se, e somente se, para todoy pertencente a B existe um elemento x pertencente a A tal que

f(x) = y.Em símbolos

f: A -+ Bf é iobrejetora

Notemos que f: A -+ B é sobrejetora se, e somente se, Im (f) B.

Obter as leis que definem fOg e gOf.

A.309 Sejam f e 9 as funções reais definidas por

{x2 - 4x + 3 se x ~ 2

f(x) x < 2 e g(x) = 2x + 3.= 2x - 3 se

Conclusão: {x2 - 4x + 7, se

(fOg)(x) = 3x _ 5, seX~4

x < 4.f: A ... &f é sobrejetora .... Im(f) = B

Em lugar de dizermos "f é uma função sobrejetora de A em B" poderemosdizer "f é uma sobrejeção de A em B".

184-A185-A

Page 99: Fundamentos de Matemática elementar - Vol1

212. Exemplos

1'?) A função f de

A = {-1, 0, 1, 2} em B = {O, 1, 4}

definida pela lei f( x) = x2 é sobrejetora

pois, para todo elemento y E B, existeo elemento x E A tal que y ~ x2.

Observemos que para todo elemen­to de B converge pelo menos uma flecha.

A B

214. Exemplos

1'?) A função f de A = {O, 1, 2, 3} em B = tl, 3, 5,7, 9}definida

pela lei f(x) = 2x + 1 é injetora

pois, dois elementos 'distintos de A têmcomo imagens dois elementos distintosde B. Observemos que não existem duasou mais flechas convergindo para um

mesmo elemento de B.

2'?) A função de A = ~ em B = ~ definida por f(x) = 2x é injetora,

pois, qualquer que sejam XI e X2 de~, se XI '* X2 então 2xI '* 2X2'

2'?) A função f de A = IR em B = {y E IR I y ?> 1} definida porf( x) = x2 + 1 é sobrejetora pois, para todo y E B, existe )( E A tal quey = x2 + 1, bastando para isso tomar x = v'Y--=-1 ou x = -~.

111. FUNÇAo INJETORA

213. Definição

3'?) A função de A = IR'

tora, pois, qualquer que sejam XI e

IV. FUNÇAO BIJETORA

215. Definição

em B = IR definida por f( x)x

• -J- - 1.1-X2 de IR , se x I -r- X2 entao - "I­XI

é inje-

Uma função f de A em B é injetora se, e somente se, quaisquer que

sejam XI e X2 de A, se XI '* X2 então f(xI) cf f(x2).

Em símbolos

Uma função f de A em B é bijetora se, e somente se, f é sobrejetora

e injetora.

Em símbolos

f: A -> Bf é injetora = (\fXI , Xl E A,

,. \f X2, x2 E A)(xI '* X2 ~ f(xtI '* f(X2)). ~

f: A -> Bf é bijetora = f é sobrejetora e injetora,

Notemos que a definição proposta é equivalente a uma função f de Aem B é injetora se, e somente se, quaisquer que sejam XI e X2 de A, sef(x,) ~ f(X2) então XI = X2'

f: A -> Bf é injetl}ra = (\f Xl , XI E A, \fX2' x2 E A)(f(xt! = f(X2) ~ XI X2)

Em lugar de dizermos "f é uma função injetora de A em B" poderemosdizer "f é uma injeção de A em B".

186-A

A definição acima é equivalente a: uma função f de A em B é bijetorase, e somente se, para qualquer elemento y pertencente a B existe um único

elemento X pertencente a A tal que f(x) = y.

f: A -4 Bf é bijetora = \f y, Y E B, 31 x, x E A I f(x) V

Em lugar de dizermos "f é uma função bijetora de A em B" poderemos

dizer "f é uma bijeção de A em B".

187-A

Page 100: Fundamentos de Matemática elementar - Vol1

1C?) Se cada uma dessas retas cortar o gráfico em um só ponto ou nãocortar o gráfico, então a função é injetora.

2<?) Se cada uma das retas cortar o gráfico em um ou mais pontos entãoa função é sobrejetora.

216. Exemplos

1C?) A função f de A {O, 1,2, 3} em B = {1, 2, 3, 4} definidapor f(x) = x + 1 é bijetora

pois, f é sobrejetora e injetora, isto é, para todo elemento y E B, existe umúnico elemento x E A, tal que y = x + 1. Observemos que para cada ele.

. mento de B converge uma só flecha.

29) A função f de A = IR em B = IR definida por f(x) 3x + 2é bijetora, pois:

I) qualquer que seja y E IR, existe x E IR tal que y = 3x + 2, bastay - 2

tomarmos x = Logo, f é sobrejetora;3

11) quaisquer que sejam XI e X2 de IR, se XI "* X2 então 3xI + 2 "* 3X2 + 2,isto é, f é injetora.

Exemplos

a) f: IR -+ IRf(x) = x

y

Exemplos

a) f: IR -+ IRf(x) = x - 1

y

x

x

b) f: IR. -+ IRf(x) = x2

y

b) f: IR -+ IR.f(x) = x2

y

x

x

217. Observemos que existem funções que não são sobrejetoras nem injetoras.

Assim, por exemplo, a função de IR em IR definida por f(x) = I xl39) Se cada uma dessas retas cortar o gráfico em um só ponto, então a

fu nção é bijetora.

I) dado y E IR~, não existe X E IR tal que y = I xl. portanto fnão é sobrejetora;

11) existem XI e X2 em IR, XI e X2 opostos (e portanto XI"* X2)tais que IXI I = IX2 I, isto é, f não é injetora.

218. Através da representação cartesiana de uma função f podemos verificarse f é injetora ou sobrejetora ou bijetora. Para isso, basta analisarmos o númerode pontos de intersecção das retas paralelas ao eixo dos x, conduzidas por cadaponto (0, y) onde y E B (contra-domínio de f).

188-A

Exemplos

a) f: IR -+ IRf(x) = 2x

x

b) f: IR -+ IRf(x) = X • I x I

y

x

1S9-A

Page 101: Fundamentos de Matemática elementar - Vol1

219. Resumo: EXERCfclOS

220. Teorema

xx

hc)

., r;=0 f0 "~~revB A B

"(2+ ~ ~-A

~;~"

A.313 Indique qual das funções abaixo é injetora. sobrejetora ou bijetora?

A.314 Para as funções em IR ·abaixo representadas qual é injetora? E sobrejetora? Ebijetora?

ya) b)

x

c) y d)

é sobrejetora então, para todo z de C, existe V em Be a função f é sobrejetora, isto é, dado V em B existe

f(x) ~ V.

2?) se toda reta corta o gráfico, então f é sobrejetora.

Logo, para toda z em C, existe x em A tal que

z ~ g(V) ~ g(f(x)) ~ (gof) (x)

Dada a função f de A em B, consideram-se as retas horizontais por(O. V) com V E B:

~?I se nenhuma reta corta o gráfico mais de uma vez, então f é injetora.

3?) se toda reta corta o gráfico em um só ponto, então f é bijetora_

Se duas funções f de A em B e 9 de B em C são sobrejetoras,então a função composta gof de A em C é também sobrejetora.

o que prova que gof é sobrejetora.

Demonstração

A função 9tal que g(V) ~ zx em A tal que

a) f: IR -+ IR tal que f(xl ~ 2x + 1

b) g: IR -+IR tal que g(x) = 1 - x2

cI h: IR -+ IR+ tal que h(xl = Ix - 1 I

d) m: t.I -+ t.I tal que m(xl = 3x + 2

el n: IR -+Z tal que n(x) = [x]

fi IR' -+ IR' tal que p(x),

p:( x

g) q: IR -+ IR tal que q(x) = x 3

hl r: IR -+ IR tal que r(xl =lxl,(x-1I

191-A

221. Teorema

Se duas funções f de A em B e 9 de B em C são injetoras, então afunção composta gof de A em C é também injetora.

Demonstração

Consideremos x I e X2 dois elementos quaisquer de A e suponhamosque (gof) (XI) ~ (gof) (X2), isto é, g(f(x l )) ~ g(f(X2)l. Como 9 é injetora,da última igualdade resulta que" f(xI) ~ f(X2), como f é também injetoravem, XI = X2; portanto gof "é. injetora.

190-A

A.315 Nas funções seguintes classifique em

II injetora III sobrejetoraIV) não é sobrejetora e nem injetora.

111) bijetora

Page 102: Fundamentos de Matemática elementar - Vol1

A.316 Determine o valor de b em B = {y EIR I y ;;. b} de modo que a função f deIR em B definida por f(x) = x2 -4 x + 6 seja sobrejetora.

V. FUNÇÃO INVERSA

A.317 Determine o maior valor de a em A =- {x E IR I x ~ a} de modo que a função

f de A em IR definida por fi x) = 2x2 - 3x + 4 seja inietora.222. Dados os conjuntos A = { 1, 2, 3, 4}a função f de A em B definida por f(x)

e B {1, 3, 5, 7}2x - 1.

consideremos

A.320 As funções IA e 18 do exercido anterior são iguais? Justificar.

A.319 Sejam as funções: f de A em B, definida por y = f(x); identidade em A,anotada por IA, de A em A e definida por IA(xl = x; identidade em B,anotada por IB, de B em B e definida por IB(x) = x. Prove:

f()IA=f e IBof=f.

A

B

x

tal que V = 2x - 1

V + 12

x E A tal que

V E B

A

. isto éx =

Im(f- I ) = A.

f-I leva cada elemento V E B até o

f leva cada elemento x EC A até o1?)

2?)

Observemos que a função f é definida pela sentença V = 2x - 1, e f -\ é

V + 12

DW') = B e

definida pela sentença

ri = {(l, 1), (3, 2), (5,3), (7, 4)}

onde

Notemos que a função f é bijetora

formada pelos pares ordenados

f = {(1, 1), (2, 3), (3, 5), (4, 7)}

onde D(f) = A e Im(f) = B.

A relação f-I = {(y, x) I Ix, V) E f},

inversa de f, é também uma função

pois, f é uma bijeção de A em B,

iS10 é, para todo V E B ex iste um

único x EC A tal que (V, xl E f-I.

A função f-I é formada pelos

pares ordenados

xE(D

x E (IR - (D)

b) g: IR -+ IRr~ 1

se x ;;. 1g(x) = se -1 < x < 1

x + 1 se x ,;;; -1

d) m: IR -+ IR

m(xl ={ 4 - x2 se x <; 1

x2 - 6x + 8 se x > 1

1111 bijetora

fi p: IR -+ (D

p(x) = {~:] ::

x ;;. O

x<O

111 sobrejetora

{xx2 sseefi xl =

IV) não é injetora e nem sobrejetora.

11 injetora

cl h: IR -+ IR

{ 3x - 2 se x ;;. 2h(xl =

x - 2 se x < 2

el n: IW -+ IW

=P;1

se x é par

n(xl se x é (mpar

a) f: IR -+ IR

A.318 Nas funções seguintes classifique em

A.321 Os conjuntos A e B têm, respectivamente m e n elementos. Considera-se umafunção f: A ---+ B. Qual a condição sobre m e n para que f possa ser injetora?E para f ser sobrejetora? E bijetora?

A.322 Quantas são as injeções de A = {a, b} em B {c, d, e, f}?

223. Teorema

Seja f: A --> B. A relação f-I é uma função de B em A se, e somente

se, f é bijetora.

A.323 Quantas são as sobrejeções de A {a, b, c} em B::. {d, e}?DemonStração

la Parte: se f-I é uma função de B em A então f é bijetora.

A.324 Mostrar com um exemplo que a composta de uma injeção com uma sobrejeção podenão ser nem injetora nem sobrejetora.

ai para todo V E B existe um x E A tal que f- 1 (V)

(V, xl E f- \ ou ainda, (x, V) E f. Assim f é sobrejetora.

x, isto é,

192-A 193-A

Page 103: Fundamentos de Matemática elementar - Vol1

b) dados Xl E A e X2 E A, com Xl =lo X2, se tivermos f(xI) = f(x2) = yresultará f-I (y) = XI e f-I (y) = X2, o que é absurdo pois y só tem umaimagem em f-I. Assim f(xl) =lo f(x2) e f é injetora.

2'! Parte: se f é bijetora, então f-I é uma função de B em A.

a) Como f é sobrejetora, para todo y E B existe um X E A tal que(x, y) E f, portanto, (y, x) E f-I.

b) Se y E B duas imagens XI e x2 em f-I, vem:

portanto

A

O(f-I) B = Im (f)

B

e

B

ImWl) = A = O(f).

A

Como f é injetora resulta XI = X2'

224. Definição

Se f é umjl função bijetora de A em B, a relação inversa de f é umafunção de B em A que denominamos função inversa de f e indicamos por f-I.

226. Vimos no exemplo anterior que se a função f é definida pela sentença

aberta y = 2x - 1, então a função inversa f-I é definida pela sentença X= Y+ 1 .2

Observemos, por exemplo, que X = 2 e y = 3 satisfazem a condição

y = 2x - 1 e também X = ~. Isto não quer dizer que o par ordenado2

(2, 3) pertença a f e a ri. De fato

(2, 3) E f e (3, 2) E rI.

225. ObservaçõesAs sentenças abertas y = 2x - 1 e x = r....:':.J.. não especificam quem

21~) Os pares ordenádos que formam f-I podem ser obtidos dos pares

ordenados de f, permutando-se os elementos de cada par, isto é

(x, y) E f -. (y, x) E f-I

2~) Pela observação anterior, temos

(x, y) E f -. (y, x) E f-I.

Agora, se considerarmos a função inversa de ri, teremos:

(y, x) E f-I -. (x, y) E (f-I )-1

isto é, a inversa de f-I é a própria função f

(f-I)-I = f.

Podemos assim afirmar que f e rI são inversas entre si, ou melhor, uma éinversa da outra.

3~) O domínio da função f-I é B, que é a imagem da função f.

A imagem da função ri é A, que é o domínio da função f.

194-A

(x? ou V?) é o primeiro termo do par ordenado.

Ao construirmos o gráfico cartesiano da função f, colocamos x emabscissas e y em ordenadas, isto é:

f = {(x, y) E A X B I y = 2x - 1}

e ao representarmos no mesmo plano cartesiano o gráfico de f-I, como oconjunto

rI = {(y, x) E B X A I x = ~}2

devemos ter y em abscissa e x em ordenada.

Afim de que possamos convencionar que:

1C?) dada uma sentença aberta que define uma função, x representasempre o primeiro termo dos pares ordenados e

2C?) dois gráficos de funções distintas podem ser construídos no mesmoplano cartesiano com x em abscissas e y em ordenadas. Justifica-se a segu interegra prática.

195-A

Page 104: Fundamentos de Matemática elementar - Vol1

e observemos que

PM2 + MR2 = 2(~)2 + 2(~ _ C)2 o a2

- 2ab + b2

+ a2

+2ab+b2

2 2 2 2

x + 42

=vx=if";

v I 1/fll 1/11/ ./......

~ ...... f-

I......~...... I7Y

........... 1/ J.......... 1/ 'I

./...... / J Iv

...... ~,~/ IJ

I.,:,<j:/ - I1/ I1

1/ J/ 11

I

e

e

e

x + 4-2-y

x Y

-12 -4-10 -3-8 -2

-6 -1

-4 O-2 1

O 2

2 3

4 4

f(x) = 2x - 4

(~_C)2+(~2 2

(a - C)2 + (b _ C)2

1'?)

x Y

-4 -12-3 -10

-2 -8-1 -6

O -41 -2

2 O3 2

4 4

_ 2(a + b) . c + 2c2 = a2 + b2 - 2ac - 2bc + 2c2 (a2- 2ac + c2 ) + (b2 -

_ 2bc + c2 ) = (a - C)2 + (b - C)2 = PR 2 .

MR 2 =

PR 2 =

229. Assim, por exemplo, vamos construir no mesmo diagrama os gráficos de

duas funções inversas entre si:

+-+Para provarmos que a reta PO é perpendicular a reta r, consideremos o

ponto R(c, c) da reta r, distinto de M e provemos que o triângulo PMR é

retângulo em M.

Calculando a medida dos lados do triângulo PMR encontramos:

(a+b a+b)2 ' 2

M é médio do segmento PO, isto ,que os pontos P e O equidistam d,

x = y3 = y =if;f-I (x) if;.

2'?) f(x) x2

definida por3'?) f(x) x3

1'?) y 2x - 4

e portanto M pertence a reta r. ComoMP = MO, M E r, está então provado

reta r.

Para provarmos que os pontos Pia, b) e O(b, a) são simétricos em relaçãca reta r de equação y = x (bissetriz dos quadrantes 1 e 3), devemos provar

que a reta que passa pelos pontos P e O é perpendicular a reta r e que a!

distâncias dos pontos P e O a reta r são iguais.

O ponto M, médio do segmento PO tem coordenadas

2'?) Oual é a função inversa da função f bijetora em IR definida pOI

f(x) = x 3?A função dada é f(x) = Y = x3 .Aplicando a regra prática, temos:

Resposta: É a função f-I em IR

228. Propriedade

Os gráficos cartesianos de f e f-I são simétricos em relação a bissetri,

dos quadrantes 1 e 3 do plano cartesiano.

Observemos inicialmente que se (a, b) E f então (b, a) E f-I.

Exemplos

10 ) Oual é a função iflversa da função f bijetora emiR definida por

fi x) = 3x + 2?

A função dada é: f(x) y = 3x + 2.

Aplicando a regra prática:

I) permutando as variáveis: x = 3y + 211) expressando y em função de x:

x - 2x = 3y + 2 = 3y = x - 2 = y = ---

3

Resposta: É a função f-I em iR definida por f-I (x) = X - 23

Dada a função bijetora f de A em B, definida pela sentença y = f(xl,

para obtermos a sentença aberta que define f-I, procedemos do seguinte modo:

10 ) na sentença y = f(x) fazemos uma mudança de variável, isto é,

trocamos x por V e V por x, obtendo x = f(y).

20 ) transformamos algebricamente a expressão x = f(y), expressandc

V em função de x para obtermos y = f -I (x).

227. Regra prática

196-A 197-A

Page 105: Fundamentos de Matemática elementar - Vol1

231. Teorema

Se as funções f de A em B e 9 de B em C são bijetoras então

(gof)-I = f-I og-I.

IC'

f-I og-I, então basta provar que

(gof)OW'og-l ) = Ic·

Queremos provar que (gof) -I =

(f-1og-1)O(gof) = IA e

Notemos que

f-IOf = IA, fof- I

Demonstração

Observemos inicialmente; se as funções f de A em B e 9 de B em C,

são bijetoras, então a função composta, gof de A em C é bijetora, logo,existe a função inversa (gof) -I de C em A.

I 1/1ft V---

VV

I ?<'~'"

I~~

lYII 1/

1/J 1/ f I -

/ 1/ J--

IJ::.l..-I-

~

yy = v'X

x y

O O1 14 29 3

16 425 536 6

x y

o o1 12 43 94 165 256 36

2?) Y X 2

ai flxl ~ 2x + 3

bl qlxl ~ ~3

cl hlxl ~ x3 + 2

di plxl - Ix - 1)3 + 2

el qlxl ~ if02fi rlxl-~

gl,lxl ~~

A.327 A função f em IR definida por f(x) == x2 , admite função inversa? Justificar.

A.326 Nas funções abaixo de ,IR em IR, obter a lei de correspondência Que define a função

inversa.

EXERCíCIOS

A.325 Para cada função abaixo pede~se provar que é bijetora e determinar sua inversa:

ai f: IR ---+ IR tal que f(x) ~ 2x - 5

bl 9: IR - {4} -> IR - {1} tal que 91 xl _ x + 1x - 4

cl h: IR --+ IR tal que hlxl ~ xS

Então;

Wlog-I)O(gof) = [Wlog-I}og]of = [f-Io(g-Iog)]of = [rlolslof =

=rlof=IA

(gof) o(f-I o g-I) = [(gof) orl ]og-I = [go (fof-I ) ]og-I = [go Is ]og-I =

= gog-I = Ic .

:

-I

1/1/

1/1/

1/

y

x

I/'

f-I (y) = x

f(x) = y.

1/HL-f--+-+-+++-+- --+----+-+-+-+----V

f-I (f(x))

fW1(y))

y=~

x Y

-27 -3-8 -2-1 -1O O1 18 2

27 3

Demonstração

\;f x E A, (f-IOf) (x)

\;f y E B, (fof-1) (y)

x y

-3 -27-2 -8-1 -1O O1 12 83 27

Seja f uma função bijetora de A em B. Se f-I é a função inversa d

f então

230. Teorema

3?) Y X 3

198-A 199-A

Page 106: Fundamentos de Matemática elementar - Vol1

A.331 Obter a função inversa das seguintes funções:

A.332 Seja a função f de IR - {-2} em IR - {4} definida por f(x)

é o valor do domínio de f-I com imagem 57

A.328 Seja a função f de IR_ em IR., definida por f(x) ~ x2. Qual é a função inversade f?

Solução

A função dada é f(x) = y = x2 com x';; O e V;;;. O.

Aplicando a regra prática, temos:

I) permutando as variáveis:

x ~ V2 com V.;; O e x;;;' O

11) expressando V em função de x

x ~ y2 = V ~ -yÇ ou V = --yÇConsiderando que na função inversa f-I. devemos ter V.;; O e x;;;' O a lei decorrespondência da função inversa será f-I (x) = -...r;. .Resposta: ~ a função f-I de IR+ em IR_ definida por f-I (x) = -...r;..

a) f: IR - {3} ----> IR - {I}

f(x)=~x - 3

c) f: IR - {3} --+ IR - {-I}

f(x) ~~x - 3

e) f: IR' ----.. IR - {4}

f(x) = 4x + 2x

b) f: IR - {-I} ...... IR - {2}

f(x) = 2x + 3x + 1

d) f' IR - O·} --+ IR - {.?}. 3 3

f(x) = 5x + 23x - 1

f) f: IR - {3} ----.. IR - {3}

f(x) = 3x + 2x - 3

4x - 3~.

Qual

Resp.: ~ a função f-I. de IR - {I} em IR - {2}. definida por f-I (x) 2x + 1x-I

A.330 Seja a função bijetora f. de IR - {2} em IR - {I} definida por f(x) x • 1Qual é a função inversa de f7 x - 2

. A.329 Obter a função inversa nas seguintes funções abaixo

a) f: IR. IR.

f(x) ~ x2

b) f: A ----.. IR•• onde A ~ {x E IR I x .;; 1 }f(x) = (x _ 1)2

c) f: A -----+ IR_. onde A = {x E IR I x .;; 2}f(x) = -(x - 2)2

d) f: A-----+ IR_. onde A ~ {x E IR I x .;; -I}f(x) ~ -(x + 1)2

177

a ~.!2.==>7

f-I: B~ A

f-I(x) ~ 1+~Resposta:

a = f(5) ~ 4, 5 - 35 + 2

Solução

Queremos determinar a E IR - {4} tal que f -I (a) = 5, para isto. basta determinar

a tal que f(5) ~ a

SoluçãoA função dada é f(x) ~ V ~ x2 - 2x + 3 com x;;;' 1 e V;;;. 2.

Aplicando a regra prática temos:

Il permutando as variáveis:

x = y2 _ 2y + 3 com V;;;. 1 e x;;;' 2

IJ) expressando V em função de x

x ~ y2 _ 2y + 3 =>- x ~ y2 - 2y + 1 + 3 - 1=> x ~ (V - 1)2 + 2=>

=>- (y _ 1)2 ~~~y - 1 =~ ou y - 1 ~ -~=>=>- y = 1 +~ ou y = 1 -~.

Considerando que na função inversa f-I. devemos ter V;;;'l e x;;;' 2, a sentença

que define a função inversa é f-I (x) = 1 +~

A.333 Seia a função f de A = { x E IR I x .;; -I} em B = {V E IR I V ;;;. I} definida

por f(x) = .J x2 + 2x + 2. Qual é o valor do domínio de ri com imagem 37

A.334 Sejam oS conjuntos A = {x E IR I x ;;;'1} e B = {y E IR I y_;;;'2} e a funçãof de A em B definida por f(x) ~ x2 - 2x + 3. Obter a funçao Inversa de f.

V + 1 = XV - V ~ 2x + 1 =>- vlx - 1) = 2x + 1 ==o~ =xy - 2x ~y-2

2x + 1x-I

e) f: IR _----> B. onde B={yEIRlv;;;'l}f(x) ~ x2 + 1

f) f: IR. -----+ B. onde B = {V E IR Iv .;; 4}f(x) = 4 - x2

g) f: IR_--->B. onde B = {y E IR I y ;;;. -I}ti x) = x2 - 1

x ~

=>y

Solução

A função dada é f(x) = y =~ com x*-2 e V *- 1.x - 2

Apl icando a regra prática. temos:

200-A201-A

Page 107: Fundamentos de Matemática elementar - Vol1

Solução

Notemos que

1?1 se x ~O então t(x) = y = x2 _ 1, logo y ~-1.

2?) se x < O então t(xl = y = x - 1, logo y < -1.

A função proposta é

y = x2

- 1 com x ~ O e y ~ -1 ou y = x _ 1 com x < O e y < -1.

Aplicando a regra prática:

I) permutando as variáveis, temos:

x = y2 - 1 com y ~ O e x ~ -1 ou x = y - 1 com y < O e x < -1

11) expressando y em função de x, temos:

y =~ com y ~ O e x ~ -1 ou y = x + 1 com y < O e x < -1 .

Logo, a função inversa f-I é de IR em IR e definida por

f-I (x) = {~ se x ~-1x + 1 se x < -1

A.335 Obter a função inversa das seguintes funções:

a) A = {x E IR I x ~ 1} e B={yEIRIY~-1}f:A--+B

f(xl = x2 - 2x

bl A = {x E iR I x ~ -1} e B={yEIRIY~1}f:A--+B

t( xi = x2 + 2x + 2

cl A = {x E IR I x ,;;; 2} e B {yERIY~-l}f: A---+ Bf(xi = x2 - 4x + 3

di A = {x E IR I x ~ 1.} e B {yEIRly~_1-}f: A---+ B 2 4f( xl = x2 - 3x + 2

ei A = {x E IR I x ~ 2} e B {y E IR I y ,;;; g}f:A--+B

t( x) = -x2 + 4x + 5

f) A = {x E IR I x';;; -1} e B={YEIRlv';;;5}f:A--+Bt(x) = _x2 - 2x + 4

g) A={xERlx~~} e B={YEIRly~_~}f:A---+B 4 8flx) = 2x2 - 5x + 2

d f e f-I.A.341 Nas funções que seguem, construir num mesmo plano cartesiano os gráficos e

x ~-1

x <-1

se x <-1

se x ~ -1

IV' II ..~!t-E L

/ .....f;:;lflI:

7J..../

....I"" / x

1/1.1

, '

= { x3

- 24x + 1

{

x2 - 4x + 7 se x ~ 2

f) f( x) = 2x - 1 se -1 < x < 2

-x2 - 2x - 4 se x';;;-l

di t(x)

x + 32

x ~O

x < O

x y

-5 -1-3 O-1 1

1 23 35 4

i f( ) __ {X2 sec x2x se

{ V;:~ se x~3e) flxl = (3 _ x)3 se x < 3

x y

-1 -5O -31 -12 13 34 5

Solução

t(x) = 2x - 3

ai f: IR --+ IR bl f: IR --+ IRf(xi = 2x + 1

f(xl = 2x + 43

cl f: IR ---+ IRdi f: R _ ""* B = {y E IR I y ,;;; 1}f(x) = 1 - x 3

f( x) = 1 - x2

el f: A---+ A = {x E IR I x ~ -1}fi f: IR'~ IR't(xl = x2 + 2x

f(xl = 2-f: IR'""* IR - {1} xg)

f(xl =~ h) f: IR-.> IR.x

f(x) = 2x

i) f: IR-.> IR.

f(xl = (~)x2

A.337 Nas seguintes funções em IR, determinar a função inversa.

{2x + 3 se x ~ 2 { 5 _ 3x se

a) f(x) = bl flxl =3x + 1 se x < 2 4 - 4x se

A.338 A função f em IR definida por t(x) = I x + 21 + Ix - 1\, adrr:ite função inversa?

A.339 Seja a função f em IR definida por f(x) = 2x + 1x + 11 - 12x - 41. Determinara função inversa de f.

f · 'd f() 2 3 Construir num mesmo planoA.340 Seja a função f em IR de In' a por x = x - .cartesiano os gráficos de f e f-I.

x ~O

x <O{x2 - 1 se

f(x) =x - 1 se

Determinar f-I.

A.336. Seja a função bijetora de IR em IR definida por

Page 108: Fundamentos de Matemática elementar - Vol1

Solução

1':' Processo

Determinamos inicialmente gOf e em seguida (gof)-I

(gof)(x) = g(f(x)) = 2f(x) + 5 = 2(3x - 2) + 5 = 6x + 1.

A.342 Dadas as funções f e 9 em IR definidas por f(x)determinar a função inversa de gof.

Aplicando a regra prática, temos:

x=6y+1 "* y=~6

3x - 2 e g(x) = 2x + 5 A.344 Sejam os conjuntos A = {x E IR I x;;;' -2}, B = {x E IR I x ;;;. -4} eC = {x E IR I x ;;;. -1} e as funções f de A em B definida por f(x)= x2 + 4x e 9 de B em C definida por g(x) = x2 - 1. Pergunta-te: existe(gOf) -17 Justificar a resposta.

A.345 Sejam os conjuntos A = {x E IR I x .;;; 1-} e B = {x E IR I x;;;' -1 } e as funções: f2

de A em IR _ definida por f(x) = 2x - 1, 9 de IR _ em IR. definida por glx) = x2

e h de IR. em B definida por hlx) = 4x - 1. Determinar a função inversa dehOlgof).

portanto (gOf) -I (x I 2!...:....!6

x - 163

x - 5 + 22

2':' Processo

Determinamos inicialmente f-I e g-I e em seguida f-Iog-I pois

(gOf)-1 = f-IOg-l .

Aplicando a regra prática em f(x) = 3x - 2 e g(x) = 2x + 5 temos:

f-I (x) =~ e g-I(x) = x - 53 2

(f-Iog-I)(x) = f-I(g-I(x)) = g-I(x) + 23

portanto (gOf) -I (x) = x ~ 1

Resposta: (gof) -I: IR ---+ IR

(goWI(x) ~6

A.343 Dadas as funções f e g, determinar a função inversa de gof:

a) f: IR-+ IR e g: IR-+ IRf(x) = 4x + 1 g(x) = 3x - 5

b) I: IR-+ IR e g: IR-+ FIf(x) = x 3 g(x) = 2x + 3

c) I: IR.~ IR. e g: IR.-+ C = {x E IR I x ';;;4}I(x) = x2 g(x) = 4 - x

d) A = {x E IR I x;;;' %},I: A-+ B ef(x) = x2 - 3x

B = {x E IR I x ;;;. - ~}4

g: B-+ IR.g(x) = 4x + 9

f: A ---+ IR.

f(x) = x2 - 1

e

C = {x E IR I x ;;;. 2}

g: IR+---+ C

g(x)=~

204-A 205-A

Page 109: Fundamentos de Matemática elementar - Vol1

APÊNDICE I

EQUAÇOES IRRACIONAIS

Equação irracional é uma equação em que há incógnita sob um ou mai:radicais.

Exemplos

~ = 3, ~ 2x + 1 = 2, V 3x + 2 = x + 2, ~ +~= 5.

Para resolvermos uma equação irracional, devemos transformá-Ia, eliminando

os radicais, bastando para tanto elevá-Ia a potências convenientes. Não devemO!

esquecer que este procedimento pode introduzir raízes estranhas à equação

proposta inicialmente.

232. Equação vIf(;J = g(x)

29) verificando se g(a);;' O.

Mostremos que g(a);;' O => a é raiz de (1)

fIa) = (g(a))2 ==> [Vf((;) - g(a)] [v't(aj + g(a)] = O=>

{

g(a) =~

= oug(a) = -ylf0)

Como g(a);;' O resulta que só g(a) =~ é verdadeira, isto é, o:

é raiz da equação g(x) = Yf0J.

Esquematicamente, temos:

I v'ffXf= g(x) => 1M = [g(x)j2 e g(x);;' O

EXERCfclOS

Façamos o estudo da equação irracional do tipo Yf0J = g(x).

Elevando ambos os membros ao quadrado, obtemos:

f(x) = [g(x)]2.

A.346 Resolver as equações

a)~c5

Solução

b) Vx2 + 5x + 1 + 1. 2x

As duas equações podem ser escritasa) Não há possibilidade de introduzir raízes estranhas ao quadrarmos esta equação,

pois

yf(;J - g(x) = O e f(x) - [g(x)]2 = Oou

Vf(x) - g(x) O (1) e (Yf0J - g(x)) • (Yf(;J + g(x)) O (2).

qlxl - 5 > O, V- x E IR

yI~ c 5 = 2x - 3 _ 52 => x _ 14

S - {14}

É claro que toda raiz da equação (1) é raiz da equação (2) porque anulando-seVI(x) - g(xl anular-se-á o produto (YIf(;J - g(x))(Yf0J + g(x)).

Entretanto, a reciproca não é verdadeira, isto é, uma raiz da equação (2)

pode não ser raiz da equação (1). De fato, uma raiz de (2) anula um dos fatores,

podendo anular Yf0J + g(x) sem anular yIf(;J - g(x).

Para verificarmos se a, raiz da equação (2), também é raiz da equação

(1) podemos proceder de dois modos:

19) verificando na equação proposta, isto é, substituindo x por a em(1) e notando se aparece uma igualdade verdadeira;

20G-A

b) Antes de Quadrarmos esta equação é conveniente isolarmos a raiz em um dosmembros. Assim, temos:

V x2 + 5x + 1 + 1 - 2x = ~~~ - 2x - 1 =-> x2 + 5x + 1 _ 12x - 1)2 => x2 + 5x + 1 _ 4x2 - 4x + 1 =:::::> 3x 2 - 9x = O ==> x o;;: O ou x"'" 3

x - O não é solução pois, vo"2-+-5-'-0-+-1 + 1 * 2 • O

x - 3 é solução pois, ~~-5 • 3 + 1 + 1 - 2 • 3

Para verificar se x == O ou x == 3 são ou não soluções da equação proposta podemosutilizar o segundo processo, como segue:

qlxl - 2x - 1

9(0) - -1 < O = x = O não é solução

gl31 c. 5 > O ==> x _ 3 é solução.

207-A

Page 110: Fundamentos de Matemática elementar - Vol1

A.348 (MAPOFEI-74) Resolver a equação~ - x = O.

A.349 (MAPOFEI-75) Verificar se existem números reais x tais que 2 - x =~Justificar a resposta.

Soluções

a) Fazendo .,;;; = Y e x3 = y2. temos:

y2 _ 3y + 2 = O => y = 1 ou y = 2

mas y =.,;;;, logo

R = 1 ==> x3 = 1 ==> x = 1

R = 2 ==> x3 = 4 ==> x = .v45 = {1. ~}

b) Fazendo ~ = Y e .,;;= y2. temos1

2y2 + y - 1 = O => y = 2" ou y = -1

Agora calculemos x:

y = -1 => \f; = -1 ==> x ~ IR

y = t =>~ = t ==> x = 116

5 = {..!...}16

5 = {-2, -1}.

b)~+~=l

d)~-~=l

f) ~+~=14

x = 4 é solução pois

V2 • 4 + 1 + Y2. 4 - 4 = 5

5 = {4}

A.356 Resolver as equações:

a) ~=2+yÇ

cl~-~=le)~-~=l

A.356 Resolver a equação

~+~=5

Solução

A equação proposta é equivalente a

x2 + 3x + 4 - Y x2 + 3x + 6 = O => x2 + 3x + 6 - Y x2 + 3x + 6 - 2 = O

Fazendo Y x2 + 3x + 6 = y, temos

y2 _ Y _ 2 = O => y = 2 ou y = -1

y = -1, não convém, pois, y = Y~x-:-2-+-3-x-+-6-;;' O

Para y = 2, temos:

V x2 + 3x + 6 = 2 ==> x2 + 3x + 6 = 22 => x2 + 3x + 2 = O =>

~ x = -2 ou x = -1

Solução

Antes de elevarmos ao quadrado, devemos transpor uma das ra(zes para o outromembro. Assim, temos:

~+~=5=>~=5-~

=> (~12 = (5 _~)2 ==>2x + 1 = 25 _ 10~ + 2x - 4==>

~ 1O~ = 20 =>~ = 2 => 2x - 4 = 22 ==> x = 4

A.353 Resolver as equações:

a) 3x2 + 5x + 4 = 2 Y 3x2 + 5x + 7

b) x2 + Y x2 - 4x - 1 = 4x + 7

cl x2 - x + 3 = 5 Y x2 - x - 3

di x2 + 4 Y x2 - 2x - 6 = 2x + 3

A.354 Resolver em IR ... a equação

xJX .J:X

A.352 Resolver a equação

Vx2 + 3x + 6 - 3x = x2 + 4

b) 9x + 12yÇ - 5 = O

d) x - 2yÇ - 2 = O

f) x3 + 7..[';.3 - 8 = O

h) yÇ - \f; - 6 = O

j) 9W -8R - 1 = O

b) ~ + 2 yÇ - 1 = O

b)~=3

d) V 2x2 - 7x + 6 = 2

f) ../16 ... v;+4 = 5

h) V 5x + 10 = 17 - 4x

j) x - V25 - x2 = 1

I) Y x2 + x - 1 = 2 - x

n) V x4 + 2x2 - x + 1 = 1 - x2

p) ) 2x + V 6x2 + 1 = x + 1

A.351 Resolver as equações:

a) x - 5yÇ + 6 = O

c) 6x + 7yÇ + 2 = O

e) x 3 - 6R + 5 = O

g)\f;-yÇ+2=0

j) 3~ - 2yÇ - 1 = O

A.360 Resolver as equações:

a) x 3 - 3R + 2 = O

A.347 Resolver as equações irracionais:

a)~=4c) V x2 - 5x + 13 = 3

e) Y 3x2 - 7x + 4 = 2

g) .j5+~=3

j) x + V25 - x2 = 7

k) 2 - x - 2~= O

ml V 9x2 + 2x - 3 + 2 = 3x

o) )1-~ = x-l

209-A208-A

Page 111: Fundamentos de Matemática elementar - Vol1

Solução

Multiplicando os termos da primeira tração por x - Y2 - x2 e os da segunda por

x+~. temos:

A.357 Resolver as equações:

a).J;+ 1=~cl~-~=3

e) y;;-:;:-; - 1 =~~gl .J 1 + x + x2 + .J 1 - x + x2 = 4

b)~+~=4

dl~-~=2

fi yÇ - .Jx -~ = 1

A.362 Resolver a equação:

2

x+~·+ 2

x-~= x

A.358 Resolver as equações:

ai~ -~ = .J4x - 23

bl .,J;04 + 2 y;;-:;:-; =~

cl v;-:;:5 =~ - v;.d)~+~=~

el~-~=~

A.359 Resolver a equação:

~+~=Y;-;S+~

2Ix-~1 + 2Ix+~12x2 _ 2 2x2 _ 2 o;; x =>

x-Y27 x+..[27=> 2 + 2 =x=>2x=xlx2 -11=>x 3 -3x=0=>

x-1 x-1

xlx2 - 3) = O => x = O ou x = Y3 ou x = -Y3x = Y3 ou x = -V3 não são soluções pois devemos ter 2 - x2 > O para que

seja real a expressão ~. Somente x = O é solução e isto pode ser verificadofacilmente, substituindo x por zero na equação proposta.

S = {O}.

A.364 IMAPOFE 1-76) Resolver a equação

Solução

~+~=~+v;::1õ=>

=>(~ +~12= l..;;:s +~)2 =>

=> x _ 2 + x _ 7 + 2.Jx2 - 9x + 14 = x + 5 + x - 10 + 2.J x2

- 5x - 50

=> 2.Jx2 - 9x + 14 = 4 + 2.J x2

- 5x - 50 =>

=>.J x2 - 9x + 14 = 2 +.J i - 5x - 50 =>

=> 60 _ 4x = 4.J x2 - 5x - 50 => 15 - x = .J x2 - 5x - 50 =>

=> 225 _ 30x + x2 = x2 - 5x - 50 => -25x = -275 => x = 11

x = 11 é solução pois

-J11=2 + v'11--=-7 =~ +~

S = {11}

A.363 Resolver as equações:

ai 1

.Jx+~

+

.J21x2 + 11

2

A.360 Resolver as equações:

a)~ + .J3x"+"2 - V2x"+"5 = V3xb)~.Jx-10=~+~cl~+~=~-~d)~-~=~-~

A.367 Sendo a e b números reais, resolver a equação:

~ +~ = .Ja + b - 2x

A.365 Resolver a equação

A.366 Resolver a equação

+x-~

1 + x + .J2x + x2

.J4x + 20di -'----c=_

4 + ..;;;

A.361 Resolver as equações:

ai x + .J x2 + 16 = 40.J x2 + 16

cI~+~= 12

~

210-A211-A

Page 112: Fundamentos de Matemática elementar - Vol1

A.36B Sendo a E IR:. resolver a equação:

~ 5a22x + 2 V a2 + x2 ~ ~

Va2 + x2

A.369 Sendo a e b números reais não negativos, resolver e discutir a equação:

~=v;.+Vb

233. Equação .çf f(x) = g(x)

Façamos agora o estudo da equação do tipo .çf f(x) = g(x).

Vamos mostrar que ao elevarmos esta equação ao cubo não introduzimos

ra ízes estranhas, isto é, obtemos uma equação equ ivalente.

.çf f(x) = g(x) <= f(x) = [g(xIP.

A.371 Sendo 8 e b números reais não nulos, resolver a equação:

V8 2 + x'J b2 + x2 - a2 = x - a

A.370 Sabendo que a e b são números reais e positivos. resolver as equações:

ai~+~ =Vb

~-~

b)";;+~ = AVb+V;;-::-;; b

ou

V':..,~8~+~x~+_v~:=a=-=x=­cl -~-~

ba

De fato, considerando estas duas equações, temos:

\! f(x) = g(x) e f(x) = [g(x)]3

.çf f(x) - g(x) = O (1) e f(x) - [g(x)]3 = O (2).

Observemos em (2) que:

f(x) - [g(x)p = [.çf f(x) - g(x)]. [(.çf f(X))2 + g(x) • .çf f(x) + (g(x))2] = O.

Como o fator (<<f1;())2 + g(x) • .çf f(x) + (g(X))2 é sempre positivo pois

(.çff(X))2 + g(x) • .çff(x) + (g(X))2 = [.çff(x) + g(x) F + 3· [g(x)p2 4

resulta que o fator .çf f(x) - g(x) é nulo e a equação (2) tem sempre as mesmas

soluções da equação (1), isto é, (1) e (2) são equivalentes.

Solução3~ 3

ai V 2x + 1 = 3~ 2x + 1 = 3 = x = 13

S = {13}

b) .çf4x2 + 9x + 1 = x + 1= 4x2 + 9x + 1 = Ix + 1)3== 4x2 + 9x + 1 = x3 + 3x2 + 3x + 1= x3 _ x2 - 6x = O~

=- xlx2 - x - 61 = 0= x = O ou x = 3 ou x = -2

S = {O. 3. -2}.

A.372 Resolver os sistemas de equações:

a) { xy = 36

v;.+V;=5

b) { ...,r; - V; = 2.J;Y

x + y = 20

A+jf= ;x + Y = 10

x+y-";;;=7

x2 + y2 + xy = 133

EXERCICIOS

A.374 Resolver as equações:

a)~=3 bl .çf4x2+ 9x + 1 = x + 1

~ + V2x + 4y = 4 + V2~ _ V'2x + 2y = 2v'2 - 2

212-A

A.375 Resolver as equações:

al.çf3x-5=1

c) ~=-3

e) ~ 3x2 - 7x - 5 = 1

g)~ = 2x + 1

il ~ 2x2 + 3x - 1 = 2x - 1

b)~=2

d) ~ x2 - x - 4 = 2

f) .çf x2 - 8x + 40 = 3

h)~ = 2x -1

j) ~8 + 15x - 5x2 - 3x3 = x + 2

213-A

Page 113: Fundamentos de Matemática elementar - Vol1

A.376 Resolver a equação 3~4 .3; 22V x· - 3v x - 20 = O APÊNDICE 11

A;377 Resolver a equação {I x + 49 - {I x - 49 = 2

Solução

{I x + 49 - {I x - 49 = 2 = {I x + 49 = 2 + {I x - 49 => ({I x + 49)3 =

= (2 + {I x - 491 3 = x + 49 = 8 +3~ + 3( {I x - 491 2 + x - 49 ===>3({lx - 491 2 +3~ - 90 = 0= ({Ix - 49)2 +~- 15 = O.

Fazendo {I x - 49 = y, temos:

y2 + Y _ 15 = O == y = 3 ou y = -5 mas, y = {I x - 49, então

{I x - 49 = 3 == x - 49 = 33 == x = 76

{Ix - 49 = -5== x - 49 = (_51 3 = x = -76

S = {76, -76}.

INEQUAÇÕES IRRACIONAIS

234. Inequação irracional é uma inequação em que há incógnita sob um oumais radicais.

Exemplos

vx+2 > 3, Y x2- 3x + 4 > x, v'X+1 +~ > 2.

Observemos inicialmente que se a e b são números reais não negativosentão

A.378 Resolver a equação .çr,;-:;:-; -~ = 1.

A.379 Resolver a equação ~ +~ =~.

a> b _ a2 > b2

a < b _ a2 < b2

Assim, por exemplo, são verdadeiras as implicações

s = {O V5 _V5}, 2' 2

= 4 < 25

=>3>2

=>2<3

-3 < -2 ~ 9 < 42> -5 ~ 4 > 252> -3 ~ 4 > 9

2<5

V3>v'2

4<9

mas são falsas as impl icações

235. Teorema

Se f(x);;' O e g(x);;' O em um conjunto de valores x pertencentesa A C IR, então são equivalentes as inequações f(x) > g(x) e [f(x)]2 > [g(x)]2.

~=1-~.A.380 Resolver a equação

A.381 Resolver a equação

Solução

Para resolvermos esta equação vamos utilizar a identidade

IA + B)3 = A3 + B3 + 3ABIA + B).

Fazendo A =~, B =~ e A + B =~, temos:

1{!5x)3 = 1~13 + (~)3 + 3.çr,;-:;:-; .~.~-~x + 1 + x -1 + 3{15x3 - 5x = 5x=>{l5x3 - 5x = x=>5x3 - 5x = x3 ==

v'5 v'5~ 4x3 _ 5x = O == xl4x2 - 5) = O == x = O ou x = -2- ou x = - -2-

A.382 Resolver a equação:

A.383 Resolver a equação:

Demonstração

Seja SI o conjunto das soluções da inequação f(x) > g(x)conjunto das soluções da inequação [f(X)]2> [g(x)]2, isto é,

SI = {x E A I f(x) > g(x)}

A.384 Resolver a equação:

{

X+ Y =72A.385 Reso Iver o sistema de equações: .3/ 3/

vx+Vy=6

e

S2 = {x E A I [f(x)]2 > [g(x)]2}

Para provarmos que as inequações f(x) > g(x) e [f(x)]2 > [g(x)]2são equivalentes, basta provarmos que SI = S2'

214-A 215-A

Page 114: Fundamentos de Matemática elementar - Vol1

Esquematicamente, temos:

As condições (I) e (11) podem ser agrupadas da seguinte forma

O ,;; f(x) < [g(x)]2 e g(x) > O

Acabamos de provar que S, C S2' provemos agora que S2 C S"

Para todo Q de S2' temos:

x ~-1 I1I

ex ~- 5 111)

2e

x ~-2 ou x?2 (1111

(I)

b) ~';;x + 1

{

x2 _ 3x ~ O

=> O ,;; x2 - 3x < 4 => p.

x 2 _ 3x < 4

-111) ..OI++II++III++II++II++III++II++II++III++II+++IIIIH+++++++++HH++HHf++- x

5

~! ',',I',',',',',','llil\\!ii\I',',',',',',',I,',',',',',',',',',',',',',\',',',',',',',\!,I',',',',',',!!,'\\1\\~ x(11)

-2(111) 111111111111111111111 ~

e2x + 5 ,;; (x + 1)2

x + 1 ;;;, Oe

2x + 5 ;;;, O

x2_ 3x ~ O { x < O ou x ~ 3

e => ex2 _ 3x - 4 < O -1 < x < 4 (11)

O 3IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII~ 01111111111111111111111111- x(I)

-1 4_____---<011111111111111111111111111111111111111111111111111111111111110)---__ x

(li)

2.-------ofttItlHIHtHte- x

2(I) n(111 n(lll) ---<oIoftIIIHIIIIIIIIIII ... x

S = {x E IR I x ~ 2}

(I) n (11) ---<of++I+Il+\ijl~lo---------<.oI+l++IIIIttII++IIH1III:--- ....._ x

-1 O 3 4

O ou 3';; x < 4}s = {x E IR 1-1 < x <

={

-{b)~ ,;; x + 1 =>

a)~<2

Soluções

A.386 Resolver as inequações irracionais

a) VT3x <2

EXERCICIOS

inequações

=> f(a) - g(a) > O => fIa) > g(a) => a E SI'

{

a E S2 => [f(a)]2 > [g(a)]2 => [f(a)]2 - [g(a)]2 > O =>}=> [f(a) + g(a)] • [fIa) - g(a)] > O

=> ea E A => fIa) ~ O e g(a) ~ O => fIa) + g(a) ;;;, O

f(x) ;;;, O e g(x) > O (I)

2?) Quadramos a inequação proposta e resolvemos

f(x) < [g(x)j2 (11)

o processo para resolvermos esta inequação é:

1?) Estabelecemos o domínio de validade, isto é;

Vejamos agora processos para resolvermos alguns tipos deirracionais.

De fato, para todo a de S" temos:

. { fIa) - g(a) > O}a E S, C A => f(a) > g(a) > O => e =

fIa) + g(a) > O

=> [f(a) - g(a)]· [f(a) + g(a)] > O=> [f(a)j2 - Ig(a)]2 > O=>

=> If(a)]2 > Ig(a)]2 => a E S2.

a E S2 C A

236, Inequação Irracional YfW < g(x)

..; f(x} < g(x) """" O < f(x} < [g(x}f e g(x) > O

Analogamente, podemos estabelecer para a inequação YfW';; g(x)

..; f(x} < g(X} <=> O < f(x} < [g(x}j2 e g(x);;;' O

A.387 Resolver as inequações:

al~<2

bl ~5 ';;3

cI ..; x2 - x - 2 < 2

di ..; 3x 2 - 5x + 2 ,;; 2

e) ..; 2x 2 + x + 3 < 1

216-A 217-A

Page 115: Fundamentos de Matemática elementar - Vol1

A.388 Resolver as inequações:

a)~';;;x

c) v'"2x""+9 < x - 3

el ~<3-x

g) V x2 - 3x + 3 < 2x - 1

i) 1 + V x2 - 3x + 2 ,;;; 2x

b)~<x-1

dl~';;;x+1

f) V 2x2 - x - 6 ,;;; x

h I V 2x2- 5x - 3 < x + 3

EXERCíCIOS

A.389 Resolver as inequações:

a) v'3x-=5 ;;:. 2 b) V3x2 - 7x + 2 > -4

Solução

a) V"3x""-=5;;:. 2 => 3x - 5 ;;:. 22 => x ;;:. 3

S = {x E IR I x ;;:. 3}

cl~>X-2

237. Inequação' irracional Vf(Xj > g(x)

o processo para resolução desta inequação consiste em duas partes, que são

TI? Parte

bl V 3x2 - 7x + 2 > -4 ==> 3x2 - 7x + 2 ;;:. O ==> x < 1 ou x > 23

S = {x E IR I x < .!. ou x> 2}3

x;;:. 12

(111 )

(IV)

1"2.,11111111111111111111111111111111111111" X

2x - 1 ;;:. O e x - 2 < O (I)

ou2x - 1 > (x - 2)2 e x - 2 ;;:. O (11)

ex <2

(111)

c) ~>x-2 === {Resolvendo (I), temos:

{

2x : 1 ;;:. O {

x - 2 <O =b) Quadramos a inequação proposta recaindo em

f(x) > [g(x)j2 (11)

2'! Parte

a) Estabelecemos o domínio de validade da inequação, isto é:

f(x) ;;:. O e g(x);;:' O (I)

g(x) < O e f(x);;:' O

pois sendo g(x) < O e f(x);;:' O, a inequação Vf(Xj > g(x) está satisfeita.

As condições (I) e (11) podem ser agrupadas da seguinte forma

f(x) > [g(x)j2 e g(x);;:' O

Esquematicamente, temos:

2(IV) 1111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111 ...

1"2 2

(111) n (IV) .. ,11111111111111",

SI = {x E IR 1 .!.. ,;;; x < 2}2

.. x

.. x

1 5(VI-OIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII1111111110

{

f(x) ;;:. O e g(xl < Ov'fW > g(xl === ou

f(x) > [g(xlj2 e g(xl;;:. O

Resolvendo (11), temos:

{

2x - 1 : (x _ 2)2 = {x - 2 ;;:. O

x 2 _ 6x + 5 < O

e ===x - 2 ;;:. O

(V)

(VI)

.. x

S = SI U S2 = {x E IR I .!.. ,;;; x < 5}2

2 5(V) n (vI) ---------<.IHI#II++IIII+'II~II#II++IIII+'II~II#II++III~II~II#II++IIIft:[l>---------1._ X

S2 = {x E IR 12 ,;;; x < 5}

A solução da inequação proposta ~ dada por:

Analogamente, para a inequação Yf(Xj;;:. g(x). temos:

{

tlxl ;;:. O e g(x) < Ov!flXi ;;:. g(x) == ou

f(x) ;;:. [g(x)F e g(xl;;:. O

(VI)2.. 111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111,. x

218-A 219-A

Page 116: Fundamentos de Matemática elementar - Vol1

o(IV) () (V) 11111111111111111111111111111111111111110

~ = {x E IR Ix < O}

A.390 Resolver as inequações:

a)~>5

c) ~>-2

e) ..;x2-2x + 7 :;;" 3

g) v' 5 + 5x - 2x2 :;;" 3

b)~:;;"1

d) v' 4x2- 13x + 7 > 2

f) v' 4 - 19x - 5x2 :;;" -3

(IV)

(VI

o1111111111111111111111111111111111111110

311111111111111111111111111111111111111111111111111111I11111111111111111111110

.. x

.. x

.. x

A solução da inequação proposta 11 dada por:

S = SI U S2 = {x E IR I x < O ou 2. ,;;; x ,;;; 3}4

A.391 Resolver as inequações

a I v'3x""--=-2 > x

c) ~:;;"1-x

e) v' x2- 6x + 5 > x - 2

g)~:;;"x+2

I) v'2+x-x2 >x-4

b)~:;;"x

d) v' 6x2 + x - 1 > 2x + 1

f) v' x2 + 4x - 4 :;;" 2x - 2

h) v' 4x2 - 5x + 2 :;;" x - 2

j) v' 2 + 3x - 2x2 > x - 2

A.393 Resolver as inequações

a) v'5x""+3 <v'2x

b) v' 24 - 2x - x2 < 1

x

A.392 Resolver a inequaçãoc) v;:+2 :;;" 1

x

d) v' _x2

+ 7x - 6 :;;" 1x

Solução

Para resolvermos esta inequação, devemos multiplicar ambos os membros por x,não esquecendo que dependendo do sinal de x, o sentido da desigualdade serámantido ou invertido.

238. Inequação Irracional v'f1Xi" > YQiXl

o processo de resolução desta inequação é

1~ Possibil idade x > O (I) 19) Estabelecermos o domínio de validade da inequação, isto é,

~./ .~./ 2--- """ 2 ==> v 3 - x """ 2x ==> O ,;;; 3 - x ,;;; 4x ==>

x

f(x) :;;" O e g(x):;;" O (I )

O~IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII" x f(x) > g(x) :;;" O

As condições (I) e (11) podem ser agrupadas da seguinte forma

f(x) > g(x) (11)

Quadramos a inequação proposta recaindo em2?)

(111)

(11 )

x:;;" 34

={

v' f(x! > v' g(x! => f(x! > g(x! :;;" O

Esquematicamente, temos:.. x

..(11) 111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111~

3-1 4

1111111111111111111111111110 0111111111111111111111111111111111111111111111111.. x3"4 30111111111111111111111111110

(111)

(I) () (11) () (/11)

2a Possibilidade x < O (IV)

De modo análogo, para a inequação

v'fTx1 :;;" v'9lXl, temos:

~./ .r.:--~___ :::::::::2~V3-x::?2x

x

(2x <O)= 3-x:;;"O==>x';;;j (V)

v' f(x) :;;" ..J g(x) ==> f(x) :;;" g(x) :;;" O

220-A 221-A

Page 117: Fundamentos de Matemática elementar - Vol1

EXERC(CIOS

A.394 Resolver a inequação

Y'2-x""2-_-X-_- >Vx2 - 4x + 3

Solução

V 2x2

- x - 1 > V x2

- 4x + 3 == 2x2 - x - 1 > x2 - 4x + 3 ;;;, O =>

{

2x2 - x - 1 > x2

- 4x + 3 { x2 + 3x - 4 > O===> e ==> e

x2 - 4x + 3 ;;;, O x2 - 4x + 3 ;;;, O

{x <-4 ou x> 1 (I)

= ex ... 1 ou x;;;'3 (11 )

-4(I) 11111111111111111:>

c) .,;a:-;. -...;;+1 > ~2

d) V x2 + 3x + 2 < 1 + Y,...x....2-_-x-+=--

inequação proposta é:4.IIIIIIIIIIIIIUlIJIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIJlIIIIIIIIIIIIIIIIIII1111111111111111 .. x

65

1i11ll1ll1ll1l11ll11ll1f11ll11l1l1ll1l1l111111111111 111111111111111" x65

li'11I1111111I1111111I1I11I1I1I1111111111111111111111111111111111111. x

(I)

(11 )

A solução da

a)~<1+~

b)~-~<3

s = {x E IR Ix > 65 }16

(I) n (11)

Notemos que para os valores de x satisfazendo (I), ambos os membros dainequação proposta são positivos, então podemos quadrá-Ia sem preocupações.

...;;+1 < 2 +~ == x + 1 < 4 + x - 4 + 4~=- 1 < 4~=

=~>...!...==x-4> ...!...=-x> 65 111)4 16 16

A.399 Resolver as inequações:

31111111111.. x

31111111111... x

1OI~IIII1III1I1I1II1I1III1IIIIIIIII1.. x

111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111.

-4111111111111111110--

(11)

(I) n(ll)

s = {x E fl Ix < -4 ou x;;;, 3}

A.395 Resolver as inequações:

a)~;;;'~

c) V 2x2 - 5x - 3 ...~e) V2x2 - 10x + B >yr~""'2r-_-6-x-+-7

g) V 2 - 3x - x2 > V x2 - 5x + 4

b)~<~d) V x2 - 7x + 17 ;;;, yrB=--+-2-x-_-x""'2

fl V _x2 + 5x - 6 < V 4x2 + 12x + 11

h) V x2 - 2x + 2 < V 2x2 - x + 4

A.400 Resolver a inequação:

V;-:;:S -...;;+1 >~A.401 Resolver a inequação:

x + V x2 - 10x + 9 > V x + 2 V x2 - 1Ox + 9

A.396 Resolver as inequações:

a)V4-~>~b)V2-~-~<O

A.397 Resolver as inequações:

a)~ "'VV5 + x4

b) v;+B <v;;+2

A.398 Resolver a inequação:

...;;+1 <2+~

Solução

Estabelecemos inicialmente o domlnio de validade da inequação

222-A 223-A

Page 118: Fundamentos de Matemática elementar - Vol1

RESPOSTAS

CAPITULO I

A.1 São proposições: a, b, c, d, e, f, 9São verdadeiras: a, d, e, 9

A.2 a) 3 • 7 =ft 21 (F) e) (..!...)7 > (..!..)3 (FI2 2

bl 3( 11 - 7) = 5 (F) f) V2~ 1 (V)

c) 3'2+1";;4 (F) g) -(-4) < 7 (V)

d) 5'7-2>5'6 (V) h) 3%7 (V)

A.3 a) V b) V c) V d) F e) Vf) F g) F

A.4 a) V b) V c) V d) V e) Vf) F g) V

A.5 a) F b) V c) V d) V e) Ff) V g) V h) V

A.7 a) (3 <)(x2 - 5x + 4 = O) b) (\>'al((a + 1)(a - 1) = a2 - 1)

c)13y)(*+:i..=ft .'!'..) d) (3m)(y';;;2 + 9 =ft m + 3)

4 7e) (\>, x)(+~) = x) f) (3a)(5a + 4 ,,;; 11)

(3x) rJ;.2 = x)2

g) h) (3a)(~= a - 1)a

A.S a) mde 12. 3) =ft 1 e mme 12, 3) ~ 6 b) ~ =ft ~ e 3'10~6'5

~ <15 10

c) ou -3 <-7 d) 22 = 4 e Vi. =ft27

e) 1_3)2 = 9 e V9 ~-3 f) 2>5 e 32 > 52

g) (3<)(x > 2 e 3x ,,;; 32 h) I\>' <)(y'"; ~ O)

j) Existe um número inteiro primo e par

j) Existe um triângulo isósceles e não equilátero

k) Todo losango é Quadrado

I) Todo número tem raiz quadrada igual a zero

m) Existe um triângulo equiângulo e não equilátero.

A.9) a) Ff) Fk) F

b) F

g) FIl F

c) Vh) Vm) F

d) Fi) V

e) Fj) V

225-A

Page 119: Fundamentos de Matemática elementar - Vol1

00

cl {b}

f) '~a, c, e, f, g}d) V

E ~ {2, 3, 4, 5}

c) F di V

B: {e, x, r, c, i, o}

b) {e, f, g}e) {a, b, c}

c) F

b) V

b) V

a, b, d, f

332 e 83

nA U B U C = nA + nB + nC - nA n B - nB n C - nC nA + nA n B n C

a) 500 bl 61 cI 257 d) 84

A : {p, q, r, 5, t} B: {r, 5, x, z} C: {5, t, U, v, x}

a) 560 b) 280

ai {a, b, e, f, g}fi

a, c, d, 9, h, i

D(6) ~ t±l, ±2, ±3, ±6} D(-18) : {±1, ±2, ±3, ±6, ±9, ±18}

D(-24) n D(161 : {±1, ±2, ±4, ±8} M(41 : {O, ±4, ±8, ±12, ... }

M(101 : {O, ±10, ±20, ±30, ... } MI-9) n M(6) : {O, ±18, ±36, ±54, ... }

12,0,-1,1 e 49

a) não, pois 1 E D(a) n Dlb)b) m é um máximo divisor comum de a e b: mdc(a, b) = ±mc) a e b são primos entre si: mdc(a, bl : ± 1di quando a I be) Quando a e b são primos entre sifi n é um m(nimo múltiplo comum de a e b: mmc la, b) : ± na) ±1, bl ±2 c) ±3 d) ±6, e) ±f2 f) ±42

a, b, e, f, h, k, Q2 4 8 32 271 e 602"5' "9' 25' 99' 50 111

A.50

A.42

A.44

A,45

A.46

A.47

A.48

A.49

A.55

A.56

A.57

A.53

A,54

A.34 ai {a, b}

d) {a, b}

A.36 a) V

A.37 X ~ {1, 3. 5}A.40 ai V

A.41 A: {6, -1},

C ~ {3, -3, 5},

A.51

A.52

CAPitULO 111

e) Fj) F

e A n B n C: {c}el V fi V

e) Q f) P

d) Fil V

B n C : {c}di V

d) Q

cl Fh) V

bl Fgl V

A ~ {x I x é divisor de 6}B ~ {x Ix é múltiplo inteiro e positivo de la}C : {x I x é quadrado de um inteiro}

D : {x I x é satélite natural da Terra}D : {3}B: (3

(A) : {(3, {a}, {b}, {c}, {d}, {a, b}, {a, c}, {a, d}, {b, c}, {b, d}, te. d},{a, b, c} {a, b, d}, {a, c, d}, {b, c, d}, A}

A U B : {a, b, c, d}, A U C : {a, b, c, e},

B U C = te. d, e}, A U B U C : {a, b, c, d, e}a) V b) F cl F d) V el V fi V

círculo de centro O e raio 2r

plano C<

A n B = {b, c, d}, A n C: {c},ai V b) F cl F

a) L b) R c) Q

X = {a, c. e}

todas

a) V

fi V

A.12 ai {-9, -6, -3, O, 3, 6, 9}

bl {±1, ±2, ±3. ±6, ±7, ±14, ±21, ±42}

cl {+' ~, f, 1}di {O}

e) {cuiabá, goiânia}

A.13

A.14

A.15

A.18

A.19

CAPfTULO 11

A.20

A.21

A.22

A.24

A.25

A,26

A.27

A,29

A.30

A.32

A.33

226-A 227-A

Page 120: Fundamentos de Matemática elementar - Vol1

011111111111111111111111111111111111111111111'"

~~

II

11

I

1

1

)

11

A x B = {(I, -2), (I, 1), (3, -21, (3, 1), (4, -21, (4, 1)}

B X A = 11-2, li, (-2, 3), (-2, 41, (I, li, 11, 3), 11, 4)}

A X C = til, -1), lI, OI, 11,2),13, -1), (3, O), (3,21,14, -li, (4, O), (4, 21}

C X A = :(-1, lI, (-1,31, (-1,41, lO, 1), lO, 31, (0,41, (2, li, (2, 3), (2, 4}

B2= {(-2, -21, 1-2, 11, 11, -2), (I, I)}

C2 = ,1-1, -1), (-I, O), (-1,2), (O, -1), (O, O), lO, 21, (2, -1), (2, Dl. (2, 21}

a b) cl

A.93 aI

bl

cl

d)

e)

f)

C: 1111111",,',I',',',',',',IIIII',',IIII',',',',',II',le

-1 OD: 11111 11 11 11111 1IIIIo>---------_eIl1II1I1tIlIl1I1I11t1111111111t1l1l111111t1l1l111111t1l1l11111I+1l11111111t1l.....

1 2A.66 A:-----------..IIIItIIIl1IIII1tIlIl1I1II1tIlIl1II1I1t"..---------....

O 3B: ----------<0111111111111111111111111111111111111111111111111111111:l)------...

A.5S2<..!..! <~<.!!!..<~< 13 12 16 19 48

.2.-A.60 -2 -1 O 1 2 2

1 I 1 I , 1 I, I I •

3 _1 .l- ~ .1.2 4 3 3 3

A.61 a, b, c, f, 9, h, i

A.67 [-1,3] = {x E IR l-I .;; x';; 3}

[O, 2[ = {x E IR I O .;; x < 2}]-3; 4[ = {x E IR I -3 < x < 4}]-00, 5[ = {x E IR I x < 5}[1, +00( = {x E IR I x ;;. 1}

A. 69 a) [1,2] bl]l,2] c)]O,~[dl[0,2] el[-1,2[ 0[1,2]5

A.70 aI [-1, 4] bl [-I, 5] cl ]-2, 5[ d)]- %' O[

A.71 C: [O, 1] U 13, 5[

dI 1 II I

. 1

1

eI

1

1

I

11

CAP('rULO IV

A.91 A(4, 2), B(-4, 6), C(-5, -3), D(4, -51, E(O, 41, F(-3, O), GIO, -61, H(5, OI, I{O, O

A.94 a I

2

1

cl

1

A.92

i-i-+-+-l-+-+-+-+-+-+--+. .-1-

_l_I-

f---Cf---t-+ f-+- -- t- - +-f-+-+-l-+-~

dIr-

I

el

1

f)

1

,~

I I

228-A 229-A

Page 121: Fundamentos de Matemática elementar - Vol1

y

I- ,-1-1

1

c) T = {1-2, -21. 1-2,2),1-1, -11, 1-1, 1), 11, -1), 11, 11, 12, -21. 12, 2)}4 Y321 x

cl) 4 y

321

I"1 4

b4

y

1 x

1 34

A.95 a)

A.98 A2 ~ {(-2, -21, 1-2, Dl. 1-2. 11, (-2, 3), 10, -21. lO, OI, (O, 1), (O, 3), 11, -2),(1, 01,11,11,11,31, (3, -21, (3, 0),13,11,13, 2)}

A.99 A X B ~ {(-1, -11, (-1, OI, (-1, 2), (-1, 5), lO, -11, (O, O), (O, 21, (O, 5),12,-11

(2, O), 12,21, (2, 5)}

y

H-1--1 x1II

y

rI- 1-1x

1iI

y

1

1

di V = {1-1, 4), (O, 3), (O, 4), 11, 21, 11, 31. (1, 41. 12, 11, 12, 2), (2, 3), 12, 41}

e) W = ;1-2, -31,1-2, -11,1-1, -2), lO, -11, 10,11. 11,2),12,11,12, 3)}

A.101 R = {12, 21, 12, 4),12,61,14,2),14,6),16,21,16, 4)}

(

(

(

(

(

(

(

(

(

(

(

(

(

l

y

f-+--1-1 x1III

b) S = ;1-2,41.12,4).1-1.1),11, 11}

A.100al R = {1-2, 4),1-1,3), 10,2),11, 11}

!YI

1 x

1

'II

A.102!-'y

r-

-1 x

230-A231-A

Page 122: Fundamentos de Matemática elementar - Vol1

A.l03 ,5

4

3

2

1

5 ·4 3 2 1 1 2 3 4 5

2I o

A.1OS ai

, - - fY. C· .-1-- _. I-t-I- - -- . l-r-1-1-. 31-1- 2

_. I x

8 2 4t-=H1 Ir- .-2 I I

I I

bl-I-Yr-

I-I-+- 1

1 - r- I-x-I I

1

lv

1-1

"

A.l04al D = {I, 2} e Im= {I, 3, 4}

bl D = {-2, -1, 3, 2} e Im = {-7, 4, I}

c) D = {2, 1, 5} e Im = {I, -3, v'2}di D = {I + 0, 1 - v'3} e Im = {O, l}

e) D={3, t, %} e Im={t,-l,O}

A.l05a) DIR)={-2,-1,O,l}e Im(R)={l,2,3,4}

bl DISI = {-2, -1, 1, 2} e Im (5) = {I, 4}

cl D(T) = {-2, -1, I, 2} e Im (TI = {-2, -1, I, 2.}

d) DIVI = {-I, 0,1, 2} e Im IV) = {1, 2, 3, 4}

el DIW) = {-2, -1, O, I, 2} e Im (WI = {-3, -2, -1,1,2, 3}

A.ll16al R = {(O, OI, (1, -1), (1, 1), (4, -2),14, 21}b) DIR) = {O, I, 4} e Im IRI = {-2, -I, O, I, 2}c)

c) Rns=0A.l09 ai R-I = {12. 1). 11, 31, 13,21}

bl R-I ,(-1,1),1-1,21, 1-1,31, (1, -21}

c) R-I = {(-2, -31, 13, li, 1-3, -21,11, 31}

A.ll0al R= R-I = {IO,SI, 11,7), 12,6)'13,51, (4,41, (5,3), (6,2)'17, 11, IS,OI}

bl R= {lO, 51,12,41, (4,3)'16,2), IS, 1), (10,OI}

R-I = {15, 01,14,2), 13,41,12,61, 11, S), la, 101}

cl R = {lO, 101, 11,51, (2,2), 13, 1), (4,21,15,51,16,10)}

R-I = {11 O, O), 15, 1), (2,2), 11, 3), (2,41, 15, 5), (10,61 }

di R= {Ia, 11, 11,2),12,4I,13,SI}

R-I = {lI, 01,12,11, (4,21, (S, 31}

cl D(RI = {x E IR I 2 ,;;;; x';;;; 6} e Im IR) = {y E IR I 1 ,;;;; V';;;; 3}

f--

A.l07 aiY I

A x B

1-1 x1

b)V

R

1-1x

1I

A.lll ai I I

-+t·- - rt+f-+-+--H- I- -+-1- --- I-1-- - -j- -f-- -----+----~------:..-+---t-I " IR = R 1 I~

r."I iX· I=p ~.1~2 j I', "f-+-+--+-+'+-r-.+++- I)" ,-I , , 2 _ ._1. ,~__L .L_L _1.

bl ~ _. --s±H+-H10 " I I I

=;+--i·- ·_·fJj--+ 11+ ,-lT T~ ll-j

1 !s-II

H-f o:; i~tt~'=rj-··t-Lit'f-':._-t .r-t-+-

2 + ... ·-t-t··· f--+--.-11- 1-"1- 1-: ,--t-f-+-+;;-

1 2 5 I I i 10 i

232-A 233-A

Page 123: Fundamentos de Matemática elementar - Vol1

CAPITULO V

b) fl- ~ ) = 17

dI f(Y4) = 1

fi 1(0,75) ~ 1

e Im ~ {1, 2, 3, 4}

e Im = {y E IR I -3 ,,;;; y ~ 2}e Im = {y E IR I 1 ,,;;; y ,,;;; 5}

e Im = {y E IR I 1 ,,;;; y < 3}e Im = {y E IR I -3 ,,;;; y ~ 5}

e Im = {-3, -2, -1, 0,1, 2}

A.119al f(3) ~ 1

c) f(Y2) = 1 + Vi.e) flv'3 - 1) ~ v'3

A.121 x ~ -4

A.122 x = 2 ou x =3

A.123 a) D(fI = {O, 1, 2} e Im (f) ~ {-1, o,db) D(g) = {-1, O, 1, 2} e Im(g) = {1, 2}

c) D(h)={-1,O,1} e Im(h)~{-2}

d) D(k) ~ {-2, 0,1, 2} e Im (k) = {-2, -1, O, 2}

A.124ai Im = {-2, O, 2} b) Im = {y E IR

c) Im ~ {y E IR I y ~ 1 ou Y ;;. 2} dI Im = IR

e) Im = {y E IR I O ~ y ~ 2 ou y > 4}

f) Im ~ {y E IR I y ~ 1 }

A.125a) D = {-3, -2, -1, 0,1,2, 3}

b) D~{xEIRI-2~x~3}

c) D = {x E IR I -2 ~ x ~ 4}

d) D ~ {x E IR I -3 ~ x < 5}

e) D ~ {x E IR I -4 ,,;;; x ,,;;; 4}

f) D = {x E IR I -3 ,,;;; x < 3}

A.126 a) D(f) = IR

b) D(gl ~ IR - {-2}

c) D(h) = IR - {2, -2}d) D(pl = {x E IR I x ;;. 1 }

e) D(q) = {x E IR I x > -1}

fi D(r) = {x E IR I x ;;. -2 e x i= 2}

gl D(s) = IR

h) D(t) ~ IR - {- ~}

il D(nl = IR _ {3} 2

A.127 Todas são iguais, pois são todas funções de IR em IR e associam cada número realao seu cubo.

A.128 Não são iguais, pois para x < O temos R i= x.

A.131 Não são iguaisi pois não têm o mesmo domrnio.

A.132 a) S = {x E IR I x >-4}

b) S = {x E IR I x";; -10}

c) S = {x E IR I x ;;. _ -3 }4

A.129 Somente serão iguais se forem funções de A em IR onde A ol qualquer subcon­junto de {x E IR I x ;;. 1 }.

A.130São iguais, pois jX2+1 = ~ para -1 <x";;;O ou x>1.x -x ~

--~y

5~C-- f---- ,\v'

"- - f---

"-I -- .- ,2 6

b) f(-3) ~ -11

fI f( l..1 não tem significado pois 3 d;Z2 2l"·

=JY-

~

6 -i":

---- -f-- -

"-'\~- f--- -

- r·I"-

2 f--- f--- - ,- , 1 .. - - ~-- -

b) g:;Z -7 CO c) h: IR' -7 IRx 1-4 2x

1x >-> -x

bl f H) = 8 c) f( .!..) ~ 112 4

el fl..,..'3) = 7 - 3v'3 f) f(1 - V2) = 4 + Y2

J- ~"L-L-,;L--+--+-+~+,Tti

+---1I

-tH

f-i----l--!---'---+--i---L6±J-E

A.117 a) f(21 = 2

d) f(_.!..) ~ 463 9

A.118al f(2) ~ 4

c) flO) ~ -2

A,112 a) não define função de A em B, pois o elemento 2 E A não está associado anenhum elemento de B.

b) não define função de A em B, pois o elemento 1 E A está associado a doiselementos de B.

c e d) define função de A em B, pois todo elemento de A está associado aum único elemento de B.

A.113 somente (d) pois o conjunto de partida é A ~ {O, 1, 2} e o conjunto de chegadaé B = {-1, O, 1, 2}

A,114 a) ol função.b) não ol função de IR em IR, pois qualquer reta vertical conduzida pelos pontos

(x, O), com x > O, encontra o gráfico da relação em dois pontos.c) não é função de IR em IR, pois qualquer reta vertical conduzida pelos pontos

(x, O), com -1 < x < 1, não encontra o gráfico da relação.d) ol função e) é funçãof) não é função de IR em IR, pois a reta vertical conduzida pelo ponto (3, O)

encontra o gráfico da relação em mais que dois pontos e as retas verticais con­duzidas pelos pontos (x, O), COm x i= 3, não encontram o gráfico da relação.

A.115a) f: IR -7 IR b) g: IR -7 IR el h: IR -7 IRx 4 -x X ~ x3 x 1--+ x2

- 1d) k: IR -7 IR

x >->2

A.116 a) f: CO -7 COX 4 -x + 1

234-A 235-A

Page 124: Fundamentos de Matemática elementar - Vol1

A.134a) S = {x E IR I x ~3}b) S = {x E IR I x> -3}

c) S = {x E IR I x ~ 7}dI S = {x E IR I x < O}

a) S = 0f) S = IR

A.l36 aI S = {x E IR I x> 1}

b) S = {x E IR I x < ..!.}22

cI S = {x E IR I x > - -}3

.CAPITULO VI

A.137 aIv(0,2)

x

c)

x

b)

dI

v

lO, Vi)x

A.139

A.l40a)

bl

v;::2X\ I !VI1"1 I \V -;iX

v' -X"" 1\"'10...1 I'

,-x~"I\\v= -

~2 x~

I~I"

1"\ ~

1"\1 \1\. r\

I'

v

x

J

v VV

V/

VV x

1/V

1/I"

a)

fI

1\ V

1\ x

1\

1\

" V

'" "I"-

" xI"-

r\,r\

lO. -3)

A.l38 Y.t I V-o LV~=3>f VI

V xIJV AX

IIJV n - 2u

~ xVIA

t/t/

V I1I" V

10,01 xcI

d)

V-

II

1/ x

I1

lv

x

g)

h)

, y

,,

x,1\,

1\

\I\.

,x,

236-A 237-A

Page 125: Fundamentos de Matemática elementar - Vol1

A.142 a) S = {(3, 2)} b) S ~ {(-2, 4)} A.158 aI ~ el 6 xc) S = {(2, -li} dI S = {(3, -21} 2 x

el S = )21 fI S = {(O, O)}y ~ 3 - ~

S~{(3,-1)} b) S = {(2, I)}+ O

A.143 aIy = 2x + 3 O + 2

A. 145 aI y = 2x - 1 b) 1 - 3xy =2

cl y = x - 5 d) y = 2

A.147 y = -3x - 2

A.148y = - .2'... - ..!- 9

2 2 2 -2' x

A.149y ~ 1...- x + 43 x

bl f)2 x ~y = "3 + O +A.150y=-.2'...-3 2

3 y = -3x+ 2 + O

A.151 a) x 1 blx + 4Y = + y = - -

3 3 2

c) 2x 1 d) y ~ 2x + 3y ~

3 32

A.152a) crescente para x E A I x";;-2 ou x ;;;. 1 3 xdecrescente para x E IR I -2 ..;; x ..;; 1 4 x g)

b) crescente para x E IR I -1 ..;; x";; O ou x ;;;. 1 c) 4decrescente para x E IR I x ";;-1 ou O";;x";;l Y ~ 2x --"3 O +

c) xEIRlx";;o x>O y=4-x + Ocrescente para ouA.154 aI crescente dI decrescente

b) decresce0te e) decrescentec) crescente fI crescente

A.156 a) crescente para m >-2decrescente para m <-2 O xconstante para m = -2

-5 xbl crescente para m <4 dI h)

decrescente para m >4 Y = -x + O

constante para m=4 y =5 + x O +cl crescente para m <-3

decrescente para m >-3constante para m = -3

111 crescente para m >1decrescente para m < 1

A.160x <3constante para m = 1

A.157 aI f(x) = O $=O x = -5 ou x = -3 ou x = 2 ou x = 6 A.161 x > ~

f(x) > O $=O x <-5 -3 < x < 2 x>63

ou ou...!....f(x) < O $=O -5 < x <-3 ou 2<x<6 A.162 aI X#- b) x> ...!... c) V x E IR.5 ' 2

b) g(xl = O $=O x = -3 ou x = -1 ou x = 3 A.163 a) x >2g(x) > O $=O -3 < x <-1 bl x;;;'Og(x) < O $=O x < -3 ou x> -1 e x * 3 c) 11 x E IR

c) h(x) = O $=O x = -2 d) x <-2h(xl > O $=O x * -2 el x";;3

238-A 239-A

Page 126: Fundamentos de Matemática elementar - Vol1

( .....

I y c--~·-1

f--f-- -j ,

"'J ~II \ t-f-- -

. f--

~l-r'

fiI-t-+- I-+- -Ir- f--t-

f--I- j-

~~- - _. L_ __ L-L_ L- _L-L-

bI y

~. +~ --' \ I

\ rr~- _. - -

I

II---f-+-

'.- t 'L~ -- t--r\. ,

t -'- t--~

I _I _L-_. - -- --- - -- -

CAPITULO VII

A.175 aI

A.171 a) S = {x E IR I x < -2 ou x > _ J.. }2

b) S = {x E IR / x < 2 ou x > ~}3 2

c) S = {x E IR I - J... < x ~ 1.}5 4

dI S = {x E IR I x ~ - %ou x > _ +}A.172 aI s={xEIRlx<!- ou x>~}

8 3

b) S = {x E IR I x < -10 ou x> -~}3

'c) S={xEIRI-2~x<-1}

d) S = {x E IR /1 ~ x < 2}

A.173a) s={xEIRI-~ <x<1. ou x>4}4 2

bl S = 'Lx E IR I x < - ~ ou _l < x < - !-}253

c) S = {x E IR I x ~ - ~ ou -.!. ~ x < ~}5 4 4

d) S = [x E IR I 1. ~ x < 3 ou x > 5}2

A.174 a) S = l x E IR I -3 < x < 4 ou x > 11 }

b) S = {x E IR I O < x < 1 ou x > 2}

c) s={xEIRI-4<x<-2}

d) s={xEIRlx<-~ ou -~ ~x<-~}3 24 3

a) S = {x E IR I -~ < x < - ~ ou x> 1.}4 G 4

f) S = {x E IR I x < 1 ou 1. < x < 2 ou x > 3}2

,. I 1g) S = LX E IR -1 < x ~ O ou - < x < 1 ou x;;;. 3}3

d) S = 0

f) S = {x E IR I x > 1}

x > ~}5

x> 2}b) S = {x E IR I x < -~ ou2

c) S = {x E IR I x < - 1. ou - 2 < x < 2 }4 5

d) S = {x E IR I - ~ < x < .i ou x> 6}3 3

a) S = {x E IR I x ~ - 2 ou x;;;...!.}2 6

t) S = {x E IR I - 2 ~ x ~ ~}7 2

g) S = {x E R I x ~ - 1. ou _..!. ~ x ~ ~}5 4 2

h) S = {x E IR I J.. ~ x ~ ~ ou x;;;. 2 }4 3 2

A.168 a) S = {x E IR I x =F 3}

b) S = {x E IR I x < -~}3

c) S = 0d) S = {x E IR I x < !-}

7a) S = IR

f) S={xEIR Ix~-J...}

g) S = {_ ~ } 53

h) S = {x E IR I x ;;;. ~ }3

A.170a)~ E IR I x;;;' t}b) S = {x E IR I - ..!- < x < ~}

3 5

c) S = {x E IR I x ~ -6 ou x = J.. ou x = - ~ }3 4

d) S = {x E IR I x ~ J... ou x = -3 }5

A.164a) S={xEIRI- .!.<x<~}3 3

. 1c) S = tx E IR I - - < x< 1}

3

a) S = {x E IR I x < .!.}3

A.165aI S = {x E IR I x <-3}

b) S = {x E IR I 3 ~ x ~ 6}

c) S = 0d) S = {x E IR I -1 < x < 1 }

A.166 a) S = {x E IR I 1 < x ~ 4}b) S = {x E IR I -3 < x ~ 1 }

c) S = 0A.167 a) S = {x E IR I x <-1 ou

240-A 241-A

Page 127: Fundamentos de Matemática elementar - Vol1

A, 176 f(xl = _2x2 + 3x + 1

A,177 aI x = 1 ou x = 2

b) x = 3 ou x = 4

cl x = 2 1ou x =3

dI não existe x EIR

e) x = -2

f) x=-..!. ou x=22

gl x=I+V2ou x=I-V2

b) não existe x E IR

i) x = V22

jI x = -1 Ou x =V3

kl x = O ou x = 2

I) x =V2 ou x="V2

m) não existe x E IR

nl x = O

dI 29 el _ ~ ti 155428

b} 4x2 + 4x - 3 = OdI x

2- (1 - V2lx - V2 = o

1m =

32

m =5

bl xM = 2 e YM = 12

cl xm = 1 e Ym = O

dI 7 -9Xm = - e Ym = -4 16

el = ~ e - 3xM YM =2 4

ti 4 7xM = - e YM = -

3 18

A.I84m = -1 ou

A.178 S = {(3, 41, (4, 3)}

A.180 aI x = 1 ou x = -1 ou x = 2 ou x = -2

bl x = 3 ou x = - 3

cl x = V3 ou x = - V3

d) x = V2 ou x = - V2

el não existe x E IR

ti não ex iste x E IR

gl x = O ou x = 2 ou x = -2

h) x = 2 ou x = -1

A.182 m > ~ em*" 116

A.183 m ~ 17 em*"-216

A.185m = -2 ou

A,186m <_ 1312

A.187m<- 14

A.I89 a) ~. b) _1. cl-52 2

A.191 aI x2 + x - 6 = Oc) x2

- 5,4x + 2 = Oel x

2- 2x - 2 = O

A.192al a2• 2 _ (b2 _ 2ac). + e2 = O

bl ex2 + bx + a = Ocl aex2

- (b2

- 2aclx + ae = O

dI a'.' + (b' - 3abel. + e' - O

A.193 m = -2 + Y6 ou m = -2 - Y6A.194al xm -- -~ e Ym =- 25

4 8

A.I96 m = -2 ou m = 1

A.197 m =-1

A. 198 não existe m E IR

A,200x=2 e z=4

A.195m = 2

1\ v 11\

1\ I, IJ

I'.. Li

x

vIr 1"'1

x

'\\

vx

Ir I,dI

hl

f)

v

\\

1\ J •

v

j

1\ 1111

1\ IIJ •

'-

v•

Ir 1\

c)

el

g)

242-A 243-A

Page 128: Fundamentos de Matemática elementar - Vol1

y

f-

1\-- -f-- -H - f- -f-

f- I- ~ -c-lt

x

f- I--+- l~I

11.J

y

.-1, -1)

1/ "- t) f-i-I 1'\10,

/ 1\

1/ 1\

f)

h)

..!. x +2

1.- x +2

iT- - ,-,-----,.-- -,---,----,-['-

y

I I 1\ --I- --I 1-1-

~l ~\-r-Ia, *1

I

R= ---'Ir- -

- I\..:--tt - -- r---

l ) - I~, OI --f----j:ij- f++ ---l. _1 '_~

e)

g)

x2

- 2x - 3 > O <=> x < -1 ou x > 3x

2- 2x - 3 = O <=> x = -1 ou x = 3

x2

- 2x - 3 < O <=> -1 < x < 3

bl 4x2

- 10x + 4 > O <=> x < 1 ou x > 22

4x2

- 10x + 4 = O <=> x = 1 ou x = 22

4x2

- 10x + 4 < O<=>1.- < x < 22

1 >O<=>- 1 <x<12 2

1 = O <=> x = _ 1 ou x =2 2

_x2 + -.!.. x + 1 < O <=> x < - -.!.. ou x > 1222

A.215 ai

5 9e) V( 4' -8)

f) V( 2. - ~ )6' 36

y

\\ x

b)

.!l.)4

J....)36

b) V( l2'

e) V(-.!..2 '

d) V(.!.. ~)4' 16

A.208 a) Im = {y E IR I y ;;. - ~}4

b) Im = {y E IR I y .;; 4}

e) Im = {y E IR I y ;;;;. _ l}4

d) Im = {y E IR I y .;; 16}

e) Im = {y E IR I y .;; ~}16

f) Im = {y E IR I y ;;. -.!..}2

A.209 m = !Q.3

A.210 m = v'1O ou m = - v'1OA.214a)

A.201 quadrado de lado 5 em

A.2023 e 3

A.203 Retângulo de lados ~ e 58 2

A.204 Retângulo de lados 4 em e 3 em

A.20S Retângulo de lados 2 em e Y3em

A.206 Retângulo de lados 2 em e 3 em

A.207 a) V(Q, -41,

c)f- f- f-Y

I I[ I I I l_

I- I-(~ ~)- I- '-4' 16

I, ,.....1\ x_

d) y

f- I--

I1 1\ x

1/

I j

d) _3x2 + 6x - 3 = O <=> x = 1

_3x2 + 6x - 3 < O <=> x =1= 1

el x2 - 3x + 9 > O <=> x =1= .l4 2

x2 _ 3x + ~ = O <=> x = 34 2

f) 3x2

- 4x + 2 > O, V x E IR

g) _x 2 + x - 1 < O, "Ix E IR

hl - 2. x2 _ x - 3 < O W x E R2 2' v '

244-A 245-A

Page 129: Fundamentos de Matemática elementar - Vol1

Ii m <-2

f) 1<m<~3

cl 0< m <4

e m *-1di -3 < m < 1

bl m < 1

d) -1 < m <2

bl m > 1

hl m ;;. 3

bl m <;;; 14

el ;tfm E IR

A.228 ai

bl

cld)

ai

f)

A.249 m < -2 ou 2 < m < 3

A.250 - .!... <;;; m < O ou m > 24

A.226 a) S = {x E IR I x < -2 ou x > 3}

bl S = {x E IR 1 -5 <;;; x < -3}

c) S='{xEIR 1- -.l <;;;x< -.!. ou x> 1.}2 2 2

di S = { .!... }2

S = {x E IR I -3 <;;; x <;;; -1 ou 1 <;;; x <;;; 3}S = {x E IR I x < -2 ou x> 2}

S = {x E IR I -1 < x < 1}S = 0s = {x E IR 1 x <;;; -1 ou x;;' 2}

S = IR

A.229a) rr. > ~4

di fj m E IR

gl m <;;;-2

j) m;;'1

A.231 ai -2 < m < 2

cl m < - 1.4

A.233 ai O < m < ~9

c) -2 < m < O

A.234 m <-1

A.235 -2 < m < 2

A.237 m < 1. ou 3 < m < 22 2

A.238 m < -2 V23

A.239 m <-5

A.240 -5 < m <-1

A.2411 < m < 4

A.242 - l. < m < -12

A.243 O < m < .!...2

A.244 m < ~ e m *O ou m > 32 •

A.245 m > 1

A.246 - Y2 < m < -1

A.247 - 1 < m < 2

A.248 m > 1

f) S = 0

1. < x < - -.!. ou O < x < ..!. }2 2 2

b) S = {x E IR I 1 <;;; x <;;; ~ ou 2 <;;; x <;;; É..}2 2

c) S = {x E IR I -2 < x < 3 a x * 1 }

d) S = {x E IR I x = -3 ou 1 <;;; x <;;; 2}

a) S = {x E IR I -1 < x < 1 ou x > 2}

f) S = {x E IR 1 x <;;; 3}

A.222 a) P1 (5, O) e P2 (- .!..., O)2

b) S = {x E IR I - -.!. <;;; x <;;; 5}2

A.224 a) S = {x E IR I x < - ~ ou -.!... < x < 1 ou x > 2}4 2

b) S = {x E IR I x < -2 ou -.!... < x <;;; .!... ou x;;' ~3 }3 3

c) S = {x E IR 1 x < -3 ou x;;' O}

di S = {x E IR I -2 < x < ..!.- ou x > 2}2 3

e) S = {x E IR I -1 <;;; x < 2 ou 3 <;;; x < 5}f) S = {x E IR 1 -2 < x < - ~ ou _1.. < x < - -.!. }

2 4 3

g) S = {x E IR 1 -4 <;;; x <;;; - ~ ou 1 < x < ~}4 2

hl S = {x E IR I x> O}

A.225 a) S = {x E IR I 4 < x <;;; 6}b) S = {x E IR I -3 <;;; x < -2}

c) S = {x E IR I -1 <;;; x <;;; 1 ou 2 <;;; x <;;; 4}

d) S = {x E IR I -3 <;;; x < -1}

ai S = {x E IR 1 -1 < x < O}

A.219a) S = {x E IR I x < 1 ou x> 2}

b) S = {x E IR I -2 < x < 3}

c) S = {x E IR 1 x <;;; -3 ou x;;' .!..}3

d) S = {x E IR I - ~ <;;; x <;;; 4}2

a) S = {x E IR I .!.. <;;; x <;;; ~}4 2

f)S=IR-{.!..}2

g) S = IR

h) S = {%}

I) S = IR

jl S = IR

k) S = 0II S = 0

A.221 ai S = {x E IR I -

246-A 247-A

Page 130: Fundamentos de Matemática elementar - Vol1

CAPITULO VIII

-y

\ I

1\ I

-- 1\ I

x

b)--- -,- _.y

\ I\ I

\ I\ I I

1\ I

Ii I

xlI

y

"'" '" I

'" 11 x

/

A.252

A.254 x = 4

A.255 a)

-y

// \ ,

// \

/\

y 1111

I

/ " ,/

V/

//

d)

bl

y

,//

1/ ,/

y

/

," 1/

" /

I" 1/

" /I'. /

" ,

c)

A.251 a)

aI y

"I"

"I"

"I" I

",

f) y

r,

I \

1\I \

A.257 aI y- - - C' . - - f- - ---f-

, l.-, Vl"- V - f-

" VI'. V

'"i/ x

b)--- - -~~

yf-

f-~- li -f-

1\ I

- f-1\ I

-- --f-f-

f- + r- \lir-

1 x('2. 0 )

91 y

,I

11 \ 11

,1\ 11

1111

h) y

I1\ I

1\ I \ I\ \ 1/

~ ,.

c) v\ I\ 1/

\ I1/

\ I\ 1/

\ I\ 1/

1\13 x

1''2. 0

dI vI

1\ II

1\I1

1\12 x

1'3. 01

248-A 249-A

Page 131: Fundamentos de Matemática elementar - Vol1

I't j 11

el

gl~~

I f/TJv

\ :t

~ .~ ~!I-+ --je-. - e~,

I- - 1/ 1\1 I --

t\II-+--

~~- Ip- 1\

'Iri I -~-I

, I +-+--~-~Fe-:J +--+-ri

el

A.261 ai

~ - ,. ~

f---v

I- -I-- -fo- I-- f--- -+" ~- f--- c--, \ V "I- I--

f- I-- --\ -f I r-I-e -~

-f- I-- I-- ,--- I-- f-~ ~f--- f---

e-L_ I,

'Tr T ]v ,LLc-

~:=h~ t r-t-

I-t-- c·~· . ~--- --r 1/ f-t--I ,

i .---+ ,~I-~.

Iifi

, I I ,I I I I I I

ti

bl

--

~J T r- n-~I- ~

--I- ~

J..j

-I-~ -~ t---~--I- . .1- __

~ - L_ c- f-+-e- i\ I I 1

I- _ " 1----1-- ~t-"-J

I TI

ltI v I I

jI

I f\I • - I-o 1\

I , , +-+-I I ,

I i - -,,

I

I I+ I- ~-++-fj! I L_

A.259 ai ITE v I ... 4=I-+- - ,~···l .-

-- - ~

-"K ~I ' ~-

/-VI' ~. -+- 7! I

;~ I-~ I "- / . ... ,,,--'- l/'-/

. - f---

--+--t- ~ ~ --

I

bl

I I ~l---ll----'--+-L Lê'_

di

cl

250-A

11FF I • t-- ~~-

~- -"-,i :.

i---L+- 1--' \L +___ ... fiI-+--~

i\

t + + ~ ,- ,V , ~_____ i ii i , r,

t FÉhTtl,

1 j

di y

-f--- I-- - -c I-

-I- ~ ~ ~~ - -1-. -- I-

H- .IJ+--

rTh t- I-- W rT

~-

I

rtI 1\VNJ ! L'-;

:

LL J J -1 ,TIT

el fi

251-A

Page 132: Fundamentos de Matemática elementar - Vol1

fI

b)

y' J

J

J

/

x-

I

)y---

I. I

/1I

e-" 1/

1\xI

b

d)

t--' YT -,-

LI~k:e- ./

'1/ 1'\ V1'.1/ 1'.1/

xI

Y

/1\11 1\

xI

c)

c)

A.265 a) ~~t:t=tit

A.267a)

---Y

\ I

'"v,I \ J 1\ 11\ 11 \1'

x

hly

\ -.- ~. fl- >--~e-\

~- t-- 1\ 11\ 1I\

~ ./ xt-- f-

II

I IY l I I It-- f- li '-.- -jL!--f- -

, I ' =,-til t--+--+--t-+-.--f-- I-j ;f-

I i II I

, I I x

I -=1 i

f~-,-I --

! I~- - ri

I (- r tTi

I I I

--y ,

i\ ,11

" f-- ~--,f- -- -\, \ 11

11 x

----Y

J- -+-H--e-I

-I1

L x

I ,-~>--

[-- -- t- t-- jr~~>--

. 11 >--I L.-

A.263

i)

A.262

g)

252-A253-A

Page 133: Fundamentos de Matemática elementar - Vol1

A.26B a) S = {1, -5}

bl S = {1, - ~}

cl S = { ~}4

dJ S = ~

a) S = i-l, 1, 2, 4}

f) S = {_.!- .!- 2 3}2' 2' ,

gl S = {1, 3}

A.269 ai S = {- %' - ~}

bl S = {2, - ~}

cl S = {-6, -1, 1, 4}

d) S = {- 1. 2. 1}2' 3'

A.270a) S = {.!-}bl S = ~3c) S = {4, 2Jd) S = {-13, -6}

a) S = {x E IR I " ;, ~}3

a

9

)[f ,~ - ~~~-~-

yI \ II

II

I-

1\ IJII

I-+-I\~ JI\, fi - f-

V

"--I

) y

I'-~ ~ t- -I-t-

I'.I'

l-r,

1\1\

:-... 1/11' 1.1

"~ t- t-,"

) y

, ,17

"I

f) S = {x E IR I x ;, ~ }3

A.271 a) S = {" E IR I - ~ < x < 2}3

bl S = {" E IR I 1 ..;; x ..;; 2}

c) S = {x E IR I - .!- ";;,,";; 3}3

d) S = {- ~}3

ai S = ~t) S = {x E IR I x < -1 ou ,,> 2}

gl S = {" E IR I " ..;; - -ª- ou ,,;' O}5

h) S = {x E IR I " ..;; .!- ou ,,;' 1 }3

i I S = {" E IR I " i= -ª-}3

j) S = IR

k) S = {x E IR I -2 ..;; x < O ou 2 < x ..;; 4}

A.272 ai S = {" E IR I 1 < x < 2 ou 3 <" < 4}

b) S = {" E IR I " < -2 ou -1 <" < 2 ou ,,> 3}

c) S,;, {" E IR I " ..;; -1 ou 2";; x ..;; 3 ou ,,;' 6}

di S = {" E IR I -2 ..;; " ..;; 1 ou 2";;,,";; 5}

ai S = {" E IR I - .!- <" < -ª- a "i= -.!..-}4 8 3

fi S = {x E IR I x ..;; 1.- ou ,,;' 1 }5

gl S = {" E IR I " < -3 ou -1 < x < 1 ou x > 3}

h) S = {x E IR I"" ..;; -3 ou -1";; x ..;; O ou ,,;' 2}

il S = {" E IR I -3 ..;; " ..;; O ou 1";;,,";; 4}

A.274ai S = {" E IR I" ;'3} <'

bl S = {" E IR I " < 5}c) S = {x E IR I -1 ";;" ..;; 1}

(cJl)S = IR

a) S = ~

fi S = {" E IR I 3 ";;" ..;; 6}

gl S = {x E IR I 4 < " < 6}

A.275 S = {" E IR I 1 < x < 4}

A.277 a) S = {x E IR I x < -5 ou i <" < 5} ."

b) S = {" E IR I " < -2 ou ,,> O}

c) S = {" E IR I " ..;; -5 ou -3";;,,";; 7}

d) S = {" E IR I -3 < " < 1..!...}3

ai S={"EIRlx<-2 ou x>4}

f) S = {" E IR I " ..;; O ou ,,;' 3}

g) S = ~

A.27B S = {x E IR I " ..;; O ou ,,;' 6}

254-A 256-A

Page 134: Fundamentos de Matemática elementar - Vol1

CAPITULO IX

A.279 a) rT-r-,--,,,--.,,, b) I,

.

c)

,

A.280 a)

- r­H-++-+-t+t-+++-+-t-+

.+-H-++-+-t-t-+-+-t-Tt---H-t--H

c)

bl

d)

d) r++-r+1''-t-H-t-1 eI r+--tLH-t---t-t-i----1 f) ,

,A.282 aI 1-_

f+H-H-I-HHt-I-HH-i-t-lb) ,

.1/

g) r+-+-l-Lt-+-+-+-+-

258-A

h) ,

l..I .

c)

257-A

Page 135: Fundamentos de Matemática elementar - Vol1

[i

v

cl H-++'-1r-++H-+++-jH-+H--!

v

f- f0- fo-

v

j

t -.\ -

, ....,

I- i - f- ·L.

v

·f-H-I

di

I)

b)

+-

v

.. +-t-- +-

.j- .

I , .h

~ H

v

f -

!

,

I- j_.-

.....L

oI

cl

A.288 a)

\

I- +- - I-fl

-v

-

I [\,

'" ,

l-t-

b)

di

-+-+--jc-+-+--i-t--rl/ -+-+-H-jl-

rI-- - t- f- _..". l--C-+-+-H-+-+-H-f+-+-H-I-- I-

) v

1\ -l- .l--I"

!"..1'\ ,

f-t-f-- +-+--

+. j-

+-H-H---H++-+-H+- - H

35A.285 12

A.284 a

b)

g) hl v

- +-

·I

+-

258-A 259-A

Page 136: Fundamentos de Matemática elementar - Vol1

9

A=B

SOBREJETORA

f

9x2 - 12x + 6 se x;;;. 1

1 1- 3x se "3 < x < 1

1-9x2 + 12x se x < "3

se x < -1

se -1 < x < 1

se x ;;;. 1

{'''' se x>2

1 - 4x2 se -1 ",; x ",; 1

x 4 + x 2 se x <-1 ou 1 < x"'; 2

INJETORA

{

4X - 2 se x > ~-16x2 + 24x - 8 458 O"'; X ",; ~x 2 - 3x + 3 se x < O

{

X 2 + 3x - 1 se x;;. -1

2x + 9 se x < -1

b) sobrejetora dI bijetora e) não é injetora e nem sobrejetorab) ?ijetora c) sobrejetora d) não é injetora e nem sobrejetora

bl IV c) 11 ( d) If) 111 g)1I1 h) 11

(fOg) (x) =

gOI(x)

(gOf) (x) =

fog(x) =

f(xl =

gof nã) é injetora nem sobrejetora.

111 b) 11 c) I11 e) 11 f) 11As funções IA e IB são iguais se e somente sem ",; n, m;;;' n, m = n126

A.310

A.312

A.311

A.313 a) injetoraA.314 a) injetoraA.315 a) 111

e) 11A.316 b = 2

3A.317 a = 4"

A.318aldI

A.320A.321A.322A.323A.324

(gof) (x)

. 1D(fOg)={xElRlx"';2 ou x;;;'2}

b) D(gOf) = {x ER I x ;;;'1}

D(fog) = IR - {- ~}

2x + 4(fOg) (x) =--­

2x + 1

b) D(gOfl = IR - {2}

(gOf) (x) = 5x -42x -

[(hOg)of) (x) = 12x2 + 12x + 2

[ho(gOf)) (x) = 2x2 - 2x + 7

() x2 - 2x - 4g x - 2

f(x) = x2 + 2x - 12

f( x) = 2x + 4 para x '* 1x - 1

{

4X2 + 4x se x;;;. -1-21(fOg) (x) =

4x + 3 se x < -­2

{2x2 - 8x + 9 se x;;. 24x - 3 se x < 2

cl x = 2 ou x = - ~2

(fog) (x) = x4 - 6x2 + 6(gol) (x) = x4 - 8x3 + 18x2 - 8x(lOg) (x) = 2, (gof) (x) = 5

(fog) (x) = x2 - 6x + 11(gOf) (x) = x 2 - 1

(fOf) (x) = x4 + 4x2 ~. 6(gOg) (x) = x - 6fI-x) = -x3 - 3x2 - 2x - 1

1 1 3 2f(-)=-- ....... +--1

x x3 x~ x

f(x - 1) = x3 - 6x2 + 11 x - 7

a = 1A.295

A.299 a)

A.300a)

A.301

A.302

A.307

A.309

A.306

A.304

A.292

A.293a)b)c)

d)

A.294

CAPfTULO X

A.291

A.290 a) (IOg) (x) = 4x2 - 2x - 2(gOl) (x) = 5 + 2x - 2x2

b) (IOg) (-2) = 18, (gol) (-2) = - 7

260-A 261-A

Page 137: Fundamentos de Matemática elementar - Vol1

Não, pois f não é injetora, por exemplo: f(-l) o;;:; f(l) '--- 1, e portanto f não é bijetora.

A.381 a) f-I : iR - { 1 } ~.. IR - {3}

f-I (xl = 3x~x - 1

d)'~'I'l J'U ++-1-+"+­

e--: 1 I .-.. t•• I '

lJ

, 1/V

iJ'Jr:!

~fí I- r1/, 1/

1/ 1/1/

'Y , '1/

fj

I 1

I ~

I I I !,, I '

I

bl

Não, pois f não é injetora, por exemplo f(-2) =. f(l) = 3, portanto f não é bijetora.

lx - 5 se x;? 7

f-I (xl = ~ se -8';; x < 75

x + 53 se x <-8

cl {r .. se x ~o

f-I (xlx<o

di

{~se x <-3

f-I (xl x - 1--4- se x? -3

elf-I (xl {x2 + 3 se x ~O

3 - yr; se x<of) r+~ se x ~3

f-I (xlx + 1

-3 < x < 3---- se

t_12_~- se x ~-3

cI f+-hJ II I ; ;e--J~---l- - .-h-., ; I ., II--+--~---

II t

A.341 ai ,

A.338

A.339

3x + 1=-4--

=1+~

bl [5; x x:<;8se

f-I (xl =L~"- se x>8

_ 4

bl f-I: IR - {2} ----+ IR - {-1}

f-I (xl3 - x

X-=2

di f-I; IR - { ~ } ---+ IR _ { 2. }3 3

f-I (xlx + 2

3X-=5f) f-I : IR - {3} ---. IR - {3}

f-I (xl =3x + 2

----x-:::r

bl f-I :IR. ---.. A

f-I (xl = 1 - .,r;di f-I: IR_ ----+ A

f-I (xl = -1 -~

f) f-I: B -+ IR.

f-Ilxl ~

bl f-I: B_ A

f-I (x) = -1 +~

di f-I : B ---+ A

3+~f-I (xl = 2

f) f-I: B ---+ A

f-I(xl = - 1 -~

f) ,-1 (x) = (x + 1)3

di p -I(xl

bl 9 -I (x)

isto é,

se x)!:.7

se x < 7{

X; 3

x - 1

3

A.326 a) f-I (xl = -,,--=_22

cI h-I (xl =,~

el q-l lxl = x3 - 2

gIS-I(xl=~

A.327

A.329al f-I: IR. ------+ IR.

f-I (xl = y-;;cl f-I; IR_ ---+ A

f-I (xl = 2 -~

el f-I: B __ IR

f-1(xl =-~

gl f-I; B~ IR_

f- 1 (xl o.-~

e) f-I: B ---+ A

f-l(xl = 2+~

gl f-I: B----- A

5+~f-I (x I = --'--4,-----

el f-l;IR-{4}---'IR'

f-I (x) = _2_x - 4

A.333 É o v17 pois f- 1 ( v'i7 I = 3,

f(3) = v17A.335 ai f-I: B ----+ A

f-l(xl = 1+~

cl f-I; B ---+ A

f-l(x) =2-~

cl f-I: IR - {-l} ---+ IR - {3J

f-I (xl = 3x + 4x + 1

A.337 ai

262-A 263-A

Page 138: Fundamentos de Matemática elementar - Vol1

el (gofl- I : C ---+ A

(gofl-I(x) =~A.344 Não, pois 9 não é injetora, por exemplo: g(-1) = g(1) =.0, portanto gOl não é

bijetora.

A.343ai (gofl-I :IR _IR

(gofl-I(x) ~ ~12

c) (gofl -I : C ---->-IR +

(gofl-I(x) ~~

c) S = { ~ }

flS={40}

c) S = {2, 6}

f) S = 0

clS={4}

bl S ~ {-4}

di S = { 7 + [33 ,flS~(77J

hIS={3}

j) S~{4}

I) S = {1}

n) S = {O, -±-}pl S = {o, 2}

b) S ~ {...!..}9

d) S = {4 + 2~}

flS={l}h) S ~ {81 }

j)S~{l'l~}

b) S = {5, -1}

1-Y29}2

b) S = 0

e) S ~ { ]J2 }4

b) S = {2}

e) S = {8}

4--}Y5

b) S = {--[,}

e)S~{3a}

A.345 [ho(gOII]-I: B -------> A

[ ] 2-~holgOfl -I (x) 4

A.347 ai S ~ {e}

cl S ~ {1. ,4}

e) S ~ {O, ~}

gl S ~ {13}

i) S ~ {3, 4}

k) S ~ {O1

m) S ~ 0

o) s ~ {=}A:348 S ~ {5}

A.349 S ~ 0

A.351 a) S = {4, 9}

c) S = 0"e) S = {1, V25 }g) S = {16}

j) S={l, 1~}

A.353 a) S = {-2, ~}

c) S ~ {4, -3, 1 + f29 'd) S ~ 0

A.354 S ~ {o, 1, 4}

A.356 a) S ~ {64}

d) S = {34}

A.357 a) S = {O, 4}

d) S = {1, 17}

g) S ~ {_4_,

V5A.358 a) S ~ {6}

d) S ~ {3}

b) (gofl- I : IR -+IR

(gofl-I (x) = :/ x ; 3

di (gofl- I : IR+ - A

(gofl -I (x) = 3 + ..;:2

Y --,~-

y",x 1//

---

1/1--- ! ~~ f~f~f- f-

I/...... / ,

/'[- -- /1--- / I - - - f- -- f- f-

17L

~~

Vf- f- - "-f-1ft y=y

1/

f- i-- - I /'/ 1/ f.......

./:/ .... t-f- f-..... /1/

I-- "--- I/1/f- i--7

l-VV

hl

f-f- - If-I-- t:.'';.-:.:- .....-+'--+-+-+---1

~

1/Y

f 1/f- ~\ - f- I/

1/

f- I-- 1\ -1/

f- --- I/

f- i\... [/

1/ i\... ,[/ .......

1/ _1'--tlf-17 -1- - --

L. L l_

~1--=~lfIY- v=x 1/

[7~f-

-t 'f-,

! , 1/ /,

r-I/ 1/ f

f- V'1/ , ,

f-- ' I 1/ I 1/ -f-j I

1/-+f7 f'

-

Ll/ i- f-

e) f- y f - ~tt#l---~1---- i

H-+-+-rt- -;~+ t Y='=

~v --------:

f'

g)

264-A 265-A

Page 139: Fundamentos de Matemática elementar - Vol1

2&7-A

bl S ~ {x EIR I x ;;>-2}

b) S = {x EIR I x > 4}

d) S ~ {x E IR I x ;;> 1}

ou

bl S = {x E IR I - i- ,;;; x ,;;; 2}

c) S ~ {x E IR I -2 < x ,;;; -1 ou

1 2--';;;x,;;;-3 3

A.390 a) S ~ {x E IR I x > 11 }

c) S={xEIRlx;;> ~}

d) S = {x E IR I x < ~ ou x > 3}

oi S = {x E IR I x ,;;; 1 - fi ou x;;> 1 + v'3 }ti S = {x E IR I -4 ,;;; x ,;;; t}g) S = 0

A.376 S ~ 0

A.37B S = {-2, 7}

32}A.379 S~{l'2'

A.380 S = {1, 2, lO}

A.382 S = {O}

A.3B3 S _ {V5 _v'5}- 2 ' 2

A. 384 S = { : }

A.385 S = {(B, 64), (64, B)}

A.3B7a) S={xEIRI~';;;X<2}

d) S = {x EIR I

o) S = 0

A.388a) S = {x EIR 11';;; x,;;;-;.}

c) S = {x E IR I x >B}

7 -.J17o) S ~ {x E IR I -1 ,;;; x < 2 }

ti S={xEIRI2';;;x';;;3}

g) S~{xEIRlx>1}

h) S={xEIRI-l<X';;;-+ ou 3';;;x<12}

1+V13 ..-i) S ~ {x EIR I 6 ';;;x"",l ou x;;>2}

cl S ~ {2}

bl a = b =- S ~ {x E IR I x ;;> a}

a * b = S = {a + b}

• 7 }b) S = 1.4"d) S = {4, -3}

ti S={4+V3, 4-vS}

{ 3+V3 3-V3}h) S = O, 4 ' 4

j) S ~ {O -3, {}

b) {(-4, 6)}

bl S = { 1. }3

b) S ~ {19}

b) S = { ~ }

{ 5a2 - b2 }Ibl;;>lal==>s= o,4a

b) S = {(lO + 4Y6, 10 - 4V61)

di S ~ {(9, 4), (4,91}

a<O 8

A.360 a) S ~ {3}

d) S = {3}

A.361 a) S = {3}

d) S ~ {4}

A.363 ai S = {1}

A.364 S~{l}

A.365 S = { ~}9

A.366 S = {O}

A.367 a';;; b == S = {a}

a>b==S~{b}

A.368

A.369 a = b = O ==> S = IR.

2a2 b }tI b > a = S = { a2 + b2

{(a - b)2 }a;;>b>O==S= -_

4b

a<b ou b=O ===>S=;zj

A.370 a) b ;;> 1 == S = { 2a Yb }b + 1

A.371

A.372 ai S = {(9, 4), (4,9)}

c) S = {(2, B), (B, 2)}

A.373a) S = {(4, 2), 9 ~}(-2 ' 12

A.375a) S = {2}

c) S = {-16}

o) s={-f, 3}

g)S={O}

I) S = {O, {, ~}2

266-A

Page 140: Fundamentos de Matemática elementar - Vol1

A.391a) S ~ {x EIR 11 < x <2}

c) S ~ {x E IR I x ~ 2 - V6}bl S = {x E IR I x .;;; 2 }

d) S~{xEIRlx<-+ ou x>2}TESTES

ou3';;;x';;;4}

ou x~3+v'2}

A.400 S = {x E IR I t.;;; x < 3}

A.401 S~{xEIRI-:5 <x<1 ou x~9} el nenhuma das anteriores

b) "todo corintiano é inteligente"d) "todo inteligente é corintiano"

(bl século XX(d) depois de 1830

d) (d)

e) nenhuma das anteriores.

e) nenhuma das respostas anteriores.

di (4)

d) 11

c) (c)

c) 10

b) (b)

b) 9

(a) século XIX(c) antes de 1860(e) nenhuma das anteriores

Pode-se garantir que a resposta correta é:

(FEI-68) Um teste de Literatura, com 5 alternativas em que uma única é verdadeira,referindo-se à data do nascimento de um famoso escritor I apresenta as seguintes alter­nativas:

a) 7

(EPUSP-66) Depois de n dias de férias. um estudante observa que

(1) choveu 7 vêzes, de manhã ou à tarde(2) quando chove de manhã não chove à tarde(3) houve 5 tardes sem chuva(4) houve 6 manhãs sem chuva

Então n é igual a:

(FEI-66) Dadas as proposições:

(1) toda mulher é boa motorista(2) nenhum homem é bom motorista(3) todos os homens são maus motoristas(4) pelo menos um homem é mau motorista(5) todos os homens são bons motoristas

a negação de (5) é

a) (1) b) (2) c) (3)

(EPUSP-66) Em um baile há r rapazes e m moças. Um rapaz dança com 5 moças,urn segundo rapaz dança com 6 moças, e assim sucessivamente. O último rapaz dançacom todas as moças. Tem-se então:

ma) r ~ 5" b) r ~ m - 5 c) r = m - 4 di r ~ m

e) nenhuma das respostas anteriores

ai (a)

a) "existem corintianos inteligentes"c) "nenhum corintiano é inteligente"e) não se pode tirar conclusão.

LÓGICA

TA.4

TA.3

TA.2

TA.1 (FEI-67) Dadas as premissas: "Todos os corlntlanos são fanáticos" - "Existem fa­náticos inteligentes", pode-se tirar a conclusão seguinte:

TA.5

C 6+2V3}-2 + 2 V 2 .;;; x .;;; 3

h} S ~ IR

j) S = {x EIR 1- +.;;; x< 2}

_ v'31}8

di S ~ {x E IR I x .;;; -2 ou -1';;; x < -1 + v'13 }6

e) S = {x E IR I x .;;; 1}

f) S = {x E IR i x .;;; - 2 - 2 v'2 ou

g) S = 0j) S = {x E IR I -1 .;;; x .;;; 2}

A.393a) S~{xEIRI-~';;;x<o ou x>3}

bl S ~ {x E IR I -6 .;;; x < O ou 3 < x .;;; 4 }

c) S ~ {x E IR I O < x .;;; 2 }

d) S = {x E IR 1% .;;; x .;;; 2}

A.395a) S ~ {x EIR I x ~%}

b) S ~ {x E IR I - ~ < x .;;; 5}

13 +y'201c) S = {x E IR 1 3';;;x .;;; }

4

3di S ~ {x EIR 1-2';;; x';;; 2"

e) S ~ {x E IR I x < 2 - .J3f) S={xEIRI2';;;x';;;3}

gl S = 0h) S = IR

{ -5 + v'13 }A.396 a) S = x E IR I 2 < x .;;; 1

b) s={xEIRI-3 -VS <x';;;1}2

A.397 a) S = {x E IR I -1 .;;; x .;;; 1}

b) S = {x E IR I x > 1 }

A.399 a) S = {x E IR I x > 11 }

b) S ~ {x E IR I x ~4}

c) S ~ {x E IR I -1 .;;; x < 1

288-A 269-A

Page 141: Fundamentos de Matemática elementar - Vol1

TA.6 IMACK-73l Duas grandezas x e y são tais que: "se x = 3 então y = 7",Pode-se concluir que

TA.11 Sendo dado um conjunto A com n elementos indiquemos por a o número de sub­conjuntos de A. Seja B o conjunto que se obtém acrescentando um novo elementoa A e indiquemos por b o número de subconjuntos de B, Qual a relação que ligaa e b?a) se x * 3 então y * 7

d) se x = 5 então y = 5b) se y = 7 então x = 3 c) se y * 7 então x * :e) nenhuma das conclusões acima é válida

a) 2a = b b) a = 2b c) b = a + 1 d) a = b e) n' a = In + llb

TA.12 (MACK-76) Dado o conjunto C {O, 1, 2. 3}. o número de subconjuntos própriosde C é:

TA.13ICESCEM-77) Um subconjunto X de números naturais contém 12 múltiplos de 4,7 múltiplos de 6, 5 múltiplos de 12 e 8 números fmpares, O número de elementosde X é:

e) 18d) 16c) 14b) 12a) 6

a) 32 b) 27 c) 24 d) 22 e) 20

TA.14 IMACl<-691 Sendo A = {{I}. {2}. {1, 2}} pode-se afirmar que

a) {1},E A b) {1} C A c) {1}n{2}~A

d) 2EA e) {1}U {2}EA

TA.15IGV-72) Sejam A, B e C três conjuntos não vazios e consideremos os diagramas:

1) 2) 3) 4)

TA.7 (CESCEM-71) Indique a afirmação correta:

a) uma condição necessária para que um número seja maior do que 2 é que ele sejJX)sitivo

b) uma condição suficiente para que um nllmaro seja maior do que 2 é que ele sej.positivo

c) uma condição necessária e suficiente para que um número seja maior do que 2que ele seja positivo

d) toda condição suficiente para que um número seja positivo é também suficientl

para que ele seja maior do que 2e) nenhuma das afirmações anteriores é correta

TA.8 ISANTA CASA-77) Dispõe-se de alguns livros de Ffsica do autor A. outros do autor Ie outros do autor C. Da mesma forma, temos alguns livros de Ou ímica do mesm<autor A, outros de B e outros de C. Todos os livros devem ser colocados em dua'caixas com o seguinte critério: na primeira caixa, deve-se colocar todos os livros qusatisfaçam a condição "se for do autor A, então não pode ser de FI'sica". Na segundcaixa, somente os livros que não satisfazem a essa proposição.A primeira caixa deve conter exatamente:

a) todos os livros de Qufmica do autor A mais todos os livros de Física dos autore'B e C

b) todos os livros de Ffsica ou de Qufmica dos autores B e C mais todos os livros diQufmica do autor A

cl todos os livros de Ffsica dos autores B e Cd) todos os livros de Ffsica do autor Ae) todos os livros de Qufmica dos autores A, B e C

então as associações corretas são:

b) (1,1). (4, 111)e) 13, IV), 11, Ii

CONJUNTOS

TA.9 (MACK-731 Seja o conjunto A = {3, {3}} e as proposições:

1) 3EA 2) {3}CA 3) {3}EA

então:

e as denominações

Ii ACB, CÇ'B, Anc*011) ACB, CCB, AnC=ÇZ)

a) 11, IV). 12, 111)d) (4,111), (1, 11)

111) ACIBnC),BCC,C*B,A*CIV) AnC=jZ'>, A*C, BnC=ÇZ)

c) 12, 11), 13, IV)

TA.16 (PUC-74) A e B são subconjuntos de um mesmo universo. Existem elementos d~ Aque pertencem ao conjunto B. Então, pode-se afirmar:

a) apenas as proposições 1) e 2) são verdadeirasb) apenas as proposições 2) e 3) são verdadeirasc) apenas as propoSlçoes 1) e 3)· são verdadei rasd) todas as proposições são verdadeirase) nenhuma proposição é verdadeira

a) A é subconjunto de Bd) A n B *ÇZ)

b) B é subconjunto de A c) A e B são disjuntose) nenhuma das anteriores.

dois conjuntos quaisquer, então é verdade que:

b) A * B =<> A rt B cl IA n B) C IB - A)e) A = B - A n B * A U B

TA.17 (PUC-76) Sendo A e B

a) A *B =A CBd) IA n B) U IB - A) = B

{b} * a * b *0, então:

c) {€l, {a}} C A

A = {0; a; {b}}, com

bl {O, b} CA

e) {{a}, {b}} C A

TA.10 ICESCEM-77) Sendo

a) {€l, {b}} C Ad) {a,b}CA

270-A 271-A

Page 142: Fundamentos de Matemática elementar - Vol1

TA.18 (MACK-74) Sabe-se que A U 8 U C = {n E rt.I 11';;; n';;; lO}, A n 8 = {2,3,8:

A n C = {2, 7}, 8 n C = {2, 5, 6} e A U 8 = {n E rt.I 11 .;;; n .;;; 8}.

O conjunto C é:

a) {9, lO}

dI {2, 5, 6, 7}

b) {5, 6, 9.10}

e) A U 8

c) {2, 5, 6. 7, 9, lO}

TA.25 (GV-761 De todos os empregados de uma firma, 30% optaram por um plano deassistência médica. A firma tem a matriz na Capital e somente duas filiais, uma emSantos e outra em Campinas. 45% dos empregados trabalham na matriz e 20% dosempregados trabalham na filial de Santos. Sabendo-se que 20% dos empregados daCapital optaram pelo plano de assistência médica e que 35% dos empregados da filialde Santos o fizeram, qual a porcentagem dos empregados da filial de Campinas queoptaram pelo plano?

TA.19 (MACK-741 Dentre as seguintes afirmações: aI 47% b) 32% c) 38% d) 40% e) 29%

TA.21 (CESCRANRIO-761 Sejam A = (_00, 2] e 8 ~ [O, +(0) intervalos de números reaisEntão An8 é:

TA.23 (CESGRANRIO-761 Em uma universidade são lidos dois jornais A e 8; exatament,80% dos alunos lêem o jornal A e 60% o jornal 8. Sabendo-se que todo aluno é leitode pelo menos um dos jornais, o percentual de alunos que lêem ambos é:

bl A n (8 - AI =.0d) (A Ua) nA = {-1, O}

a) A U 8 = {2, 4, O, -1 }c) A n 8 = {-I, 4, 2, O, 5, 7, 3}e) nenhuma das respostas anteriores

Assinale dentre as afirmações abaixo a correta:

ai (An8IUC={xEIR!-2';;;x';;;2}

b) C - a = {x E A 1-5 < x< -2}

c) A - (8 n C) ~ {x E IR I -1 .;;; x .;;; O}

d) A U 8 U C = {x E IR 1-5 < x.;;; 2}

e) nenhuma das respostas anteriores

TA,27 (CESCEA-72) Dados os conjuntos A = {1, 2, -1, O, 4, 3. 5} e a = {-I, 4, 2, O, 5, 7}assinale a afirmação verdadeira:

TA.29 (PUC-75) Sendo A = {x E IR l-I < x';;; 3} e 8 ~ {x E IR 12 < x';;; 5}, então:

aI A n 8 = {x E IR I 2 .;;; x .;;; 3}

bl AUa={xEIRI-l<x';;;5}

c) A - 8 ~ {x E IR I -1 < x 'S 2}

dI 8-A~{xEIRI3';;;x';;;5}

e) C'A 8 = {x E IR l-I .;;; x <2}

TA.28 (CESCEA-731 Sejam R o conjunto dos números reais, e

A = {x E IR l-I <x.;;; 2},8 ~ {x E IR I -2 .;;; x .;;; 4},

C = {xEIR 1-5<x<0}.

TA.26 (CESCEA-691 Dados os conjuntos A = {a, b, d, 8 = {b, c, d} e C ~ {a, c, d, e}oconjunto (A - CI U (C - 8) U (A n 8 n CI é

aI {a, b, c, e} b) {a, c, e} el A dI {b, d, e} el {b, c, d, e}

e) 40%

el [O, 2].

d) SO%

d) {0,l,2}

cl 60%

c) vazio

b) 140%

b) (_00, O]

aI todas são verdadeirasb) todas são falsasc) só I e 11 são verdadeirasdI só 11 é verdadeirae) só I é falsa

I) AUa=AUC11) A U a = A U C

111) AUB=AUC

ai 4S%

a) {I}

TA.22 (PUe-761 Sejam os conjuntos A com 2 elementos, a com 3 elementos, C con4 elementos; então:

a) A n a tem no máximo 1 elementobl A U C tem no máximo 5 elementosc) (A n a) n C tem no máximo 2 elementosdi (A U a) n C tem no máximo 2 elementosel A n 0 tem 2 elementos pelo menos

TA.20 (GV-70f A parte haehuradas no gráfico, representa:

aI A n (8 UC)b) (A n 8) UCc) (A U 8) nCd) A U (8 nCIe) nenhuma das respostas anteriores.

TA.24 (CESCEA-681 Foi realizada uma pesquisa numa indústria X tendo sido feitas a seuoperários apenas duas perguntas. Dos operários, 92 responderam sim á primeiraSÓ responderam sim à segunda, 35 responderam sim a ambas e 33 não responderam aperguntas feitas. Pode-se concluir então que o número de operários da indústria é

TA.30 (CV-741 Considere os conjuntos dadosno gráfico. Apenas uma das afirmações11 verdadeira. Qual?

a) 170 bl 172 c) 205 dI 174 e) 240

a) AUB" ~ Sc) Ana =0el An"ll=8

b) AnB" = B"d) ACB

S

"D2-A 273-A

Page 143: Fundamentos de Matemática elementar - Vol1

TA.31 (GV-75l Considere a parte hachurada nos diagramas, onde A e B são subconjuntos de S

considere as denominações:

c) m > n I 1

e m c Slnl

el E

CI Inteiro OI Real EI Complexo

bl m < n

e) m ::.-= n

di OcI C

B) Irracional

bl B

A) RJcional

A alternativa correta era:

ai A

ai m c n ou m c Slnldi n < m

TA36 (FUVEST--77l Em um teste de cinco iJlter-natlvas, com ':-Ima únicLl corret;l, as alternativaseram"

TA37 (CESCEA-68) Se nem são números naturais e se n -<: m ~ $(n), onde $(n) é osucessor de n, então, é sempre verdade que:

e) Bb) A UBai B·· A

As associações corretas estão na alternativa:

TA.32 (GV-76) Denotando-se por x o complementar de um conjunto qualquer x, então

qualquer que sejam P e Q, o conjunto [p' U (P n Q) J é igual a:

ai 11, di, 14, bl, 15, el

di 11, cl, 14, bl, 12, el

di P' U Qai P' n Q bl PU Q'

bl 13, a), 12, e), 15, cIel 13, di, 14, bl, 12, ai

cI P n Q'

cI 13, a), 12, cI, 15, di

elO' Iconjunto vaziol

TA.38 (CESCEA-68l Quaisquer que sejiJm m, n e p de "2 têm-se:

ai n*O =~E~ bl p * Op m + p n E ~=n p

cl *0p m + m~E dl~Ep =-- ~ ~ se e somente sep p

el Im + nl P ~ m P + nP P*O e p ~ m + n

TA.33IPUC-771 Sabendo·se que: A e B são subconjuntos de U, AA n B :c. d}, A U B c {a, b, c, d, e, f}, então:Observação: Ã: complementar de A em relação a U.

te. I, g, h, i}TA.39 ICESGRANRIO-761 Seja H o conjunto {n E llJ I 2 ~ n ~ 40, n miJltlplo de 2,

n não-múltiplo de 3} O número de elementos de H é

TA.34 (MACK-75) Dados M, N e P, subconjuntos não vazios de E, e as afirmações:

ai A tem 2 elementos e B tem 4 elementos

bl A tem 4 elementos e B tem 2 elementosc) A tem 3 elementos e B tem 3 elementos

di A tem 4 elementos e B tem 4 elementos

el A tem 1 elemento e B tem 5 elementos

II MUN M<=>NLM;

III M n NeM <=> M L N;

1IIIIpLMePLNI<=>PLIMnNI;

IVI Me N <=> M n GN ~ 0;VI M C N <=> N U CE M ~ E;

então o número de afirmações corretas é:

TA.41 (PUC-69) O menor número inteiro positivo x para que 2940x = M3 onde M é um in·teiro é:

e) nada disso

cI x2 < a2 < O

e) nenhuma das respostas anteriores

el 6

di 2060

di 13

cl 3150

cl 7

bl x2 > ax > a2

ax < O

e x forem números reais tais que x < a < O, então

bl 1960

bl 14ai 12

ai 2040

IEPUSP-661 Se a2

ai x < ax < Odi x 2 > ax mas

TA40 (FUVEST--77) Sejam a e b números naturais e p um número primo.

a) se p divide a2 + b 2 e p divide a, entao p divide b

b) se p divide ab, então p divide a e p divide b

c) se p divide a + b, então p divide a e p divIde b

d) se a divide p, então a é primo

e) se a divide b e p dIvide b, então p divide a

TA.42

el 5d) 4cl 3bl 2ai 1

CONJUNTOS NUMÉRICOSTA.43 (CESCEA-75) Assinalar dentre as afirmações seguintes a correta, quaisquer que sejam os

números reais A, B e C com A *0, B *0, C *0.

TA.35 ICESGRANRIO-771 A intersecção dos três conjuntos

IRnC, lt.Jn-ZIUIll e IlJUIZnOI

é:

ai ~ bl0 cl III di IR el ~

ai ~ ;;;,C =A;;;' BC bl A ;;;'B =~;:"1B B "'"

AB > C ==> ABC > C2 di ~ < BA <- 1 B <Ocl =-- se

IBlc

AB;;;' CAB

C <Oel =>TCT ~- se

274-A 275-A

Page 144: Fundamentos de Matemática elementar - Vol1

TA.44 IGV-73) Sejam a, b e c números reais quaisquer. Assinale a afirmação verdadeira.

a) a > b = a2 > b2 bl a > b = ac > bc

c) -Ja2 + b2 ;;;. a

d) _c_~.:.+.:. e) a2 ~ b2 = a ~ ba + b a b

TA.51 ICESGRANRIO-77) Considere a expressão

1 1-+-5 3

0,999... + -3--1-

5"-15

TA.45 (PUC-70) Sendo a e b números reais quaisquer e m um real diferente de zero, então:Efetuando as operações indicadas e simplificando, obtemos:

TA.48 (EPUSP-66) O número x não pertence ao intervalo aberto de extremos -1 e 2. Sabe-s

que x <O ou x >3. Pode-se então concluir que:

a) x~-l ou x>3 blx;;;'210u x<O c) x~2 ou x~-1d) x > 3 e) nenhuma das respostas anteriores.

a) n é um número natural ímpar se B = iRb) n é um número natural ímpar V p E Bcl n é um número natural ímpar se e somente se B = Zd) n é um número natural ímpa"r se e somente se 8 = Ne) n é um número natural ímpar se e somente se B = N *

TA.47 (CESCEM-66) A desigualdade (x + yl2 > x2 + y2, sendo x e y diferentes de zer

a) é sempre verdadeirabl s6 é verdadeira se x e y forem positivosc) só é verdadeira se x e y forem negativosd) só é verdadeira se x e y tiverem o mesmo sinale) 56 é verdadeira se x e y tiverem sinais contrários

a) a>b e am >bm então m~ 1b) a;;;'b e am ~ bm então m <Oc) a;;;' b e am;;;' bm então m ;;;'1d) a <b e am <bm então m <Oe) nenhuma das respostas anteriores é correta.

e) 1di .!§.9

e 790,0721721. .. 721 ...e 3,590888 8 ..e 1,30892 892 .e 37,101112131415161718...

c)~10

b) 2a) ~10

a) 1,000...0...b) 0,010010001...cl 68,01002000300004 ..d) 447,50047047...047 ..e) nada disso

al~c E A b)~ c Ed

+ - A se e somente se a = cb b d

c)..!. c E A d)..!.+':'" Eb d b d

A

el ~c

b d se e somente se b = d.

TA.54 IPUC-741 Um número racional qualquer:

a) tem sempre um número finito de ordens (casas) decimaisb) tem sempre um número infinito de ordens (casasI decimaisc) não pode expressar-se na forma decimal exatad) nunca se expressa na forma de uma decimal inexatae) nenhuma das anteriores

TA.53 (CESCEA-681 Designemos por A o conjunto de todos os números reais da forma ..!.b

com a e b inteiros não negativos e b =I=- O. Se ~ e.E. são dois elementos quaisquer de Ab d

tem-se que:

TA.52 ICESCEA-67) Dados abaixo grupos de dois números reais, expressos decimal mente,qual dentre eles é constituído somente de números racionais?

TA.55 ICESCEM-701 Assinalar a afirmação falsa:

a) a soma de dois números irracionais pode $er racionalb) a soma de um racional com um irracional é sempre irracionalc) o inverso de um irracional é sempre irracionald) o produto de dois irracionais é sempre irracionale) a raiz quadrada positiva de um número irracional positivo é sempre irracional

TA.56 (GV-74) Quaisquer que sejam o racional x e o irracional y, pode-se dizer que:

ai x • y é irracional b) y • y é irracional c) x + y é racionald) x - y + J2 é irracional e) x + 2y é irracional

2b) 0,5999 ... < -C-

y5 + 1

2 2d)~ <3" <0,5999 ...

y5 + 1

se verifica

b) para x *0d) para quaisquer x e y de sinais contrârios

e p E B}, então

c) 2

v'5 + 1

2 2e) - < -r.:- < 0,5999 ...

3 y5 + 1

2 <2-aI 0,5999... <. ç 3y5 + 1

2<0,5999... <3"

(FE 1-68) A desigualdade ~ + .'L > 2y x

a) quaisquer que sejam os reais x e yc) para quaisquer x e y de mesmo sinale) nenhuma das anteriores.

TA.50 IFUVEST-771 Assinale a correta:

TA.49 IPUC-761 Se A = {nln = 2p-

TA. 46

276-A 271-A

Page 145: Fundamentos de Matemática elementar - Vol1

TA.57 (CESCEM-71I Dada uma seqüência de números positivos ai, a2' ''', an um algoritrutilizado em computadores eletrônicos para saber se algum dos elementos da seqüên,é um quadrado perfeito é o seguinte:

RELAÇÃO BINÃRIA

TA.62Se a é um número negativo e b é um número positivo então assinale a correta:

TA.63 Se as coordenadas de A e B são respectivamente (-2, 2) e (-3, -1) então as coorde­nadas de C são:

TA.66 (UFF-71) Sabendo que A e B são dois conjuntos tais que:

1'?) (1, 7), (5, 3) são elementos de A X B2'?) A nB: {1, 3}

TA.65 (CESGRANRI0-741 Sejam F: {1, 2, 3, 4} e G: {3, 4, 7}. Então:

a) F X G tem 12 elementos b) G X F tem 9 elementosc) F U G tem 7 elementos 'd) F n G tem 3 elementose) (F U G) n F : >3

b) (b, a) está no 2'? quadrante

di (a, -b) está no 4'? quadrante

a) (a, b) está no 1'? quadrante

c) (b, -a) está no 1'? quadrante

e) (-a, -b) está no 3'? quadrante

a) (2, -4)b) 1-4, -2)c) (4, -2)d) (-4,2)e) (-2,4)

TA.64 (CESCRANR 10 731 Sendo A ~ {1 ,3} e B ~ {2 .4}, o produto cartesianoA X B é dado por:

a) {(1, 21, (1, 3), (1, 4), (2, 3), (2, 4), (3, 4)}b) {(1, 2), (3, 2), (1, 4), (3, 4)}

c) {(1, 31, (1, 21, (1,41, (3, 4)}d) {(1, 2), (3, 4)}

e) nenhuma das respostas anteriores

ai : ai a2 a3

bi : 2,71 4 b3

ci :2 c2 531

di : 4 d2 271961

os dados são suficientes para afirmar que:

ai a2 é quadrado perfeitob) a3 é quadrado perfeitocl somente a2 é quadrado perfeitodi somente a3 é quadrado perfeitoe) nem ai nem a3 são quadrados perfeitos

TA.58 (MACK-741 Os números reais x e y são tais que x > 1 > y. Sejam S ~ x +e P = xv. Nessas condições:

a) S > P

bl P > Sc) 5 pode ser maior, igualou menor que Pd) S pode ser maior ou menor, mas nunca igual a Pe) nenhuma das anteriores.

x + 1TA.59 (FCESP-74) O número real r que não pode ser escrito sob a forma r ~-x-' x real, ,

1. Construir uma nova seqüência b 1, b2, "', bn. obtida da primeira pela extração da riquadrada de cada um de seus elementos.

2, Construir uma nova seqüência cI, c2, ''', cn' a partir da anterior, onde cada ci Ê

menor inteiro contido em bj.3. Construir a seqüência di, d2 , .. " dn• obtida da anterior elevando·se os elementos ci

quadrado.4. Comparar os elementos da seqüência di com os respectivos da seqüência aj' Os c

forem iguais são quadrados perfeitos.

Nestas condições, dadas as seqüências abaixo

TA.60 (PUC-76) Se

a) X IRe) X IR"

X ~ {x E IR I(x + 1) • (x - 1) : x 2-l}, então

b) X : IR+ cl X = 0 dl 31 x E R Ix E X

ai -1 b) O c) 1 d) 2 e) 3 podemos afirmar com toda segurança que:

a) A X B tem B elementos b) A X B tem mais de 8 elementos

c) A X B tem menos de 8 elementos d) A X B não pode ter 9 elementose) nada se pode afirmar sobre o número de elementos de A X B

TA.67 (CESCEA-73) Sejam os conjuntos A: {1, 2, 3}, B: {a, {a}} e o produto car­

tesiano A X B: {(1, a), (1, {a}),(2, a), (2, {a}):(3, al, (3, {a})}. Entre as relações

abaixo, uma e apenas uma, é falsa. Assinale-a:

TA.61 (FEI-68) Sendo x um número real positivo qualquer, tem-se

ai .,fX + .,fX : 1 + x para algum x > O

b) ..rx + ..rx < 1 + x para qualquer x > O

c) .,fX + .,fX > 1 + x para qualquer x > O

d) .,fX + .,fX : ..rx + ~, para qualquer x > Oe) nenhuma das anteriores.

a) {a}EB e {a}CB

c)j25CAXBe) nenhuma das anteriores

b) {(1, a), (1, {a}), 12, a)} C A X B

d) {la, {a}), (1, {a})}C A X B

278-A 279-A

Page 146: Fundamentos de Matemática elementar - Vol1

TA.69 Com base na representação cartesiana de A X B abaixo podemos concluir:

c) IR

f: IR --->IR uma função. O conjunto dos pontos decom uma reta vertical.

d)

a) IR+ b) IR"

e) {x E IR e x *± 2 }

FUNÇÃO

TA.73 (PUC-76) O dominio da relação

f = { (x, y) E IR X IR 1 y = _2_} é:4 - x2

TA.74 (CESCEM-75) Dizemos que uma relação entre dois conjuntos A e B é uma funçãoou aplicação de A em B quando todo o elemento de:

a) B é imagem de algum elemento em Ab) B é imagem de um único elemento de Ac) A possui somente uma imagem em Bd) A possui, no mínimo, uma imagem em B

e) A possui somente uma imagem em B e vice-versa

TA.75 (CESGRANRIO-77) Sejainterseção do gráfico de

a) possui exatamente dois elementos.b) é vazio.c) é não enumeráveld) possui, pelo menos, dois elementos.e) possui um s6 elemento.

TA.76 (PUC-75) Qual dos gráficos não representa uma função?

.1~ "71\' oi i==.'-k=-. .1 ~ •

TA.77 (PUC-76) Qual dos gráficos seguintes representa uma função f de IR~ em IR?

a) tl/ b)~ c)~R

---==t=-- IR -----+=::==:=== • IR IR

d~IR e) -E- IR -

TA.78 (PUC-77) Se x e y são elementos do conjunto R, qual das relações é função de x?

a) {(x, y) I x = y2 - 1} b) {(x, y) I x ~ Iy I} c) {(x, y) I y =~ }

d) {(x, y), x < y} e) {(x, y) I y = x2 + 1}

x

2

2

1

1 3 2 3-

123

Y3 ..------,, ,

2 -~: ~1 ---r-----: I

2

(c

2

1

-1 3 2 3

2

(e

c) F = (5,6,7,8) d) (E n F) U F = E

2! iI •I ,

1

I1 --ª- 2 3

b

2

b) E - F = ~

D = { (x, y) E A X B 1 y ;;. x + 4}, tem·se que

2

1

1 3 2 3

2

(d

a) A = B ~ {1, 2, 3}

b) A ~ { 1, 2, 3} e B ~ {x E IR 11 .;;; x .;;; 3}

c) A = {x E IR 11 .;;; x .;;; 3} e B ~ { 1, 2, 3}

d) A ~ B ~ {x E IR 11 .;;; x.;;; 3}

e) nenhuma das respostas anteriores.

o gráfico de A X B é melhor representado por:

Então, se

(

2I I, I, I, ,

1

1 --ª- 2 3

TA.71 (PUC-77) Sendo E = {1, 2, 3, 4, 5,6,7, 8}, p(y): y + 1 .;;; 6 eF ~ {y E E I y satisfaz p(y)}, tem·se:

Observação: F: complementar de F em relação a E

TA.70 (CESGRANRIO-73) Seja Z o conjunto dos inteiros. Sejam ainda os conjuntos

A={xEZI-l<x';;;2} e B={3,4,5}.

a) D ~ A X B b) D tem dois elementosc) D tem um elemento d) D tem três elementose) as Quatro afirmativas anteriores são falsas

(a

a) E = F

e) F n \ZÍ = F

TA.72 (PUC-77) O domínio da relação P = {(x, y) E N X N) 1 y = x - 5} é:

a)N b)N" c) IR d) {xElIllx;;'6}e) {x E N 1 x ;;. 5 }

TA.68 (CESGRANRIO-73) Dados os conjuntos

280-A 7281-A

Page 147: Fundamentos de Matemática elementar - Vol1

Sejam M, N, P as imagens das funções f, g e h respectivamente. Então M' U N' U P'onde X' = complementar de X, em relação a A, é o conjunto:

d) -2

TA.85 O valor de f (-2) é:

1a) 2 b) 2 c) O

e) nenhuma das respostas anteriores

TA.86 (CESCEM-71) ~ dada uma função real tal que:

1. f(x). f(y) ~ f(x + y) 2. f(1) ~ 2 3. f(y2) = 4

O valor de f (3 + V2) é:

a) (3 + V2 )2 b) 16 c) 24 d) 32e) impossfvel de ser determinado pois faltam dados.

e) {1, 2, 3}d) 0c) {1}b) {2, 3, 4}a) A

TA.79 (GV-72) Os diagramas abaixo definem as funções f, g e h de A em A, sendl

A = {1, 2, 3, 4}.

flx) ~ -fI-x) e f(x + a) = f(x)

TA.87(FEI-65) Uma função flx), definida no conjunto dos números reais, sendo a umnúmero real determinado, verifica as propriedades:

TA.88 (CESG RAN RI 0-76) Sejam ,z o conjunto dos números e N = {n E,z In;;;' 1}. Con­sidere a função f: IN--+,z definida por f(n) = xl + ... + xn onde xk = (_l)k,para cada k = 1, ... ,n. A imagem da função f é o conjunto.

d) {-1, O, 1} e) {-I, O}c) ,z

b) f(x) = fIa) c) f(2a - x) = -f (-x)e) nenhuma das anteriores é correta.

b) {O}a) {O, I}

Então:

a) fIa + x) ~ fi-x)d) fl2a) = fia)

x

e) [2; 4]d) (3; 6)

TA.80 (CESCEM-76) Se f: A .... B é uma fu­ção e se O C A, chamamos de imagemde O pela função f ao conjunto ano­tado e definido por:

f <O> = {y E B I existe x E O tal que f (x) = y}.

Se g é a função de R em R cujo grá-fico está representado ao lado, então aimagem g < [5; 9] > do intervalo

fechado [5; 9] é:

a) (2; 6) b) [2; 6] c) [3; 6]

(CESCEM-68) O enunciado abaixo refere-se aos testes 81 e 82 que o seguem: Seja f(.uma função cujo domínio é o conjunto dos números inteiros e que associa a todinteiro par o valor zero e a todo inteiro ímpar o dobro do valor. FUNÇOES DO 19 GRAU

TA.81 t(- 2) vale:

de IR em IR é tal que, para todo x EIR, f(3x) = 3 f(x).

" -1di -3c) -5b) 2a) O

TA.91 (PUC-76) A função 1 ~ x + 1 representa em IR x IR uma reta

a) paralela à reta de equação y = x + 3b) concorrente à reta de equação y ~ 2x + 5cl igual à reta de equação y ~ x + 2d) que intercepta o eixo das ordenadas no ponto (O, 1),; que intercepta o eixo das abscissas no ponto (-1, O)

TA.90 (PUC-75) Na função f definida por f(xl ~ ax + b:

a} o coeficiente b determina o ponto em que a reta corta o eixo das absd~s

b) o coeficiente a determina o ponto em que a reta corta o eixo das ordenadasc) o coeficiente b determina a inclinação da r8ta " ,I

d) o coeficiente a determina o ponto em que a reta corfa O eixo das abscissas'e) o coeficiente b determina o ponto em que a reta corta O eixo das ordenadas

TA.89 (MACK-75) A função f é definida por f(x) ax + b. Sabe-se que f(-I) = 3 ef(l) ~ 1. O valor de f(3) é:

umaf(n)

el +2

d) zero

c) f(l) ~9

e) não sei

84 e 85. Seja

d) -2

d) v'2

c) -f (2)

c) 2Y4S

b) não está dei inidaa) zero

a) O b) 1 c) 2el nenhuma das respostas anteriores

TA.82 f (+ y"4S2\ S inteiro, vale:

a) 2S b) 4Se) nenhum dos valores acima.

TA.83(MACK-77) A funçãoSe f (9) = 45, então:

a)f(1)~5 b)f(1)=6d) f (1) não pode ser calculado

(CESCEM-69) O enunciado abaixo refere-se aos testesfunção definida, para todo n inteiro pelas relações.

{f (2) ~ 2

f(p + q) = f(p) • f(q)

TA.84 O valor de f (O) é:

282-A 2S3-A

Page 148: Fundamentos de Matemática elementar - Vol1

TA.92 (MACK-69) o gráfico da aplicação definida por

F = {(x, yl E [2,5] • [2,5] Iy = x} C IR X IR,

onde [2, 5] = {x E IR I 2 ",;; x ",;; 5} é

aI um conjunto finito de pontos b) uma retacl urna semi·reta )'Il um segmento de retae) nenhuma das respostas acima é correta.

TA.99 (CESCEA-751 A solução do sistema

[

3X + 2 < 7 -2x48x < 3x + 1011 - 2(x - 31 > 1 - 3(x - 5)

é o conjunto de todos 05 números reais x tais que:

TA.94 (EAESP-GV-77) Uma empresa produz e vende determinado tipo de produto. A quartidade que ela consegue vender varia conforme o preço, da seguinte forma: a um preço'

ela consegue vender x unidades do produto, de acordo com a equação y = 50-~

Sabendo·se que a receita (quantidade vendida vezes o preço de venda) obtida foi dCr$ 1,250,00, pode-se dizer que a quantidade vendida foi de:

x - 3 ..... OTA.101(PUC-76) O conjunto verdade da inequação ~ """

a) {x E IR e (-5 < x ",;; 31}

b) {x E IR e (x < -5) e (x;;;. 3)}

cl {x E IR e [(x < -5) ou (x ;;. 3)]}

d) {x E IR e x -=F -5}e) {x E IR e [(x",;; 5) ou (x ;;. 3)]}

e) y> O

então:

é dado por:

2cl -1 < x < 9"

se 1 < x < 2,

d) y> 2

b) -1

e) -1

a) -1 < x < O

1dI -1 < x < 3"

TA. 100 (FCESP-74) Seja y = (x - 1I (x - 2) (x - 31;

e) y < -2 b) y < O c) y = O

y

~se f(x) < O, então x>3se x >2, então f(x) > f(2)

c) se x <O, então f(x) <Od) se f(x) <O, então x<Oe) se x >0, então f(xl >0

TA.93 (MACK-76) Examinando o gráfico dafunção f ao lado, que é uma reta, po­demos concluir:

TA. 102 (CESCEA-701 O conjunto de todos os x para os quais

aI 25 unidadesc) 40 unidadesel 20 unidades

TA.95 (CESCEA-74) A equaçãomente se:

b) 50 unidadesdI 35 unidades

(m2 + 1Ix - 2m + 5 = O admite raiz negativa se, e seaI {x EIR/-l < x < 2}cl {x E IR / x < -1 ou x > 2}e) {x E R / x -=F 2}

j x + 1 é um número real é:x-2

b) {x E IR/-l ..;; x < 2}d) {x EIR/x"';; -1 oux > 2}

5ai m <2' 1

c) m"';;'45

d) m ;;. 2' e) não seiTA.103(PUC-70) O domlnio da função y = f(x) = j ~ :: é:

TA.97 (MACK-691 A desigualdade 1 ;;;. O é satisfeita se:xn

TA.96 (CESCEA-74) A solução da inequação 9(x - 5) < - 4(1 - x)meros reais x tais que:

a) x > O b) x > -1 c) x < Oe) nenhuma das respostas acima é correta,

d) x ;;. -1

bl -1 < x ",;;d) -1 ",;; x .;;;;

x x;;;. O é:x+l-X::-;-

b) x < -1 ou O .;;;; x <dI x ",;; O

a) x ",;; -1 ou x;;;' 1c) -1 < x ",;; O ou x >el x -=F -1 ou x -=F 1

a) x < - 1 ou x ;;. 1c) x -=F -1 e x ",;; 1e) x ;;. O

TA. 104 (GV-721 A solução da inequação

41el x < 13

é o conjunto dos nll

d) x<~5

c) x > 10ai x < -~ b) x > ~1

TA.98 (CESGRANRIQ-73) Dada a inequaçãoa solução é:

aI {x I x < 2/3 ou 2 < x < 5}c) 2/3 ",;; x ",;; 2

el diferente das quatro anteriores

(3x - 2)3 (x - 5)2 (2 - xIx > O, tem·se que

b) {x 12/3 < x < 2 ou x < O}di 2/3 < x < 5

TA. 105 (MACK-76) O conjunto solução de

a) {x E IR I x > 15 e x < -3}c) {x E IR I x > O}el {x E R 1-15 < x < 15}

~<5 é:x+3

bl {x E IR I x < 15 e X-=FdI {x EIR 1-3 < x < 15}

-3}

284-A 285-A

Page 149: Fundamentos de Matemática elementar - Vol1

TA. 106 (GV-74) Seja D o conjunto dos números reais x para os quais : ~ ~ ;;;. 4. Então

é o conjunto dos x reais tais que:

9a) x';;; '2 e x * 2

c) x> 2e) -1 .;;; x < 2

b) 2 < x';;; 3

d) x < 2 ou x> 3

TA.110 (MACK-77) Se V = ax2 + bx + c é aequação da parábola da figura ao lado,pode-se afirmar que:

a) ab < Ob) ac > Oc) bc < Od) b2 - 4ac ~ Oel não sei

V

x

FUNÇÃO QUADRÁTICATA.111 (PUC-70) O valor máximo da função V = ax2 + bx + c com a * O é:

-6 ba) 4a se a < O b) - 2a se a > O c) b2 - 4ac se a > O

d) b2 - 4ac se a < O e) nenhuma das anteriores é correta

TA.112 (CESCEM-72) Considere o gráfico da funçãode menor ordenada tem coordenadas:

TA. 107 (PUC-76) A função quadrática

a) m * 4c) m * -2e) m * ±2

V = (m2 - 4)x2 - (m + 2)x - 1

b) m * 2d) m = -2 ou +2

está definida quando:

a) (2,3) b) (3,2) c) (3/2, 1)

V = x2 - 5x + 6. O ponto do gráfico

d) (5/2, -1) e) (5/2, -1/4)

TA. 113 (CESCEA-76) A parábola de equação V = -2x2 + bx + c passa pelo ponto (1, O) eseu vértice é o ponto de coordenadas (3, v). Então v é igual a:

TA. 108 (PUC-77) O esboço do gráfico da função quadrática

V = 2x2 - 8x + 6 é:a) 8 b) 4 c) 6 d) -5 e) 18

a) V

x

b) V c) VTA. 114 (CESCEM-69) Se dois trinômios do 29 grau possuem as mesmas raizes, então:

a) eles são necessariamente iguaisb} eles assumem necessariamente um m(nimo ou um máximo no mesmo pontoc) eles diferem por uma constanted) suas concavidades são de mesmo sentidoe) nenhuma das anteriores

TA.10S (CESCEM-76) Sabe-se que o gráfico aolado representa uma função quadrática.Esta função é:

x2 3a) "2 + x + '2

x2 3b) 2' - x - 2'

x2 3c) -"2 - x -"2d) x2 - 2x - 3e) x2 + 2x - 3

c) 15';;; V .;;; 36b) 15 .;;; V < 36e) -12 .;;; V .;;; 36

a) - 2 .;;; V .;;; 2d) -12';;; V < 36

TA.115 (PUC-77) O conjunto imagem da função f = {(x, V) E IR XIR Iv = i-3} é:

a) {vIVEIR e V;;;. ~}

b) {V I V E IR e V;;;. -3}

cl {VIVEIR e V .;;; 3}

d) {Y I V E IR e V;;;. O}e) {y I V E IR e V.;;; -3}

TA. 117 (CESCEA-71) Seja f(x) = ax2 + bx + c. Sabendo-se que f(1) 4, f(2) Oe f(3) -2, então, o produto a.b.c é:

a) 20 b) 50 c) -8 d) -70 e) não sei

TA. 116 (CICE-68) Seja a função V = 3x2 - 12 definida no intervalo -4 < x .;;; 3. Aimagem de tal fu nção é tal que:

x

e)

V

Vd)

286-A 287-A

Page 150: Fundamentos de Matemática elementar - Vol1

TA.124 (PUG-77) As curvas representativas das funções:

V ~ x2 e 2V ~ -x + 1

TA.118IEPUSP-67) Os trinômios V ~ ax2 + bx + c tais que a + b + c o:a) tem em comum um ponto no eixo dos xb) tem em comum um ponto no eixo dos yc) tem em comum a origemd) não tem ponto em comume) nenhuma das respostas anteriores

a) tem por intersecção os pontos de abscissas

b) têm por intersecção os pontos de abscissas - 1 e

1"2

1"2

TA. 119 (EPUSP-66) O gráfico da função V ~ ax2 + bx + c, sendo b =1= O e c =1= Oo gráfico da função obtida da anterior pela mudança de x em -x se interceptam:

c) têm por intersecção os pontos de abscissas -1 e 11 +..{5

d) têm por intersecção os pontos de abscissas --2--

e) não se interceptam.

e1 - J5

2

TA.121 Dados três pontos no plano cartesiano, não colineares e com abscissas distintas duasduas, o número de funções quadráticas Que podem ser encontradas de maneira qlesses pontos pertençam aos seus gráficos é:

a) em dois pontos, um no eixo dos x e outro no eixo dos yb) em um ponto fora dos eixosc) somente na origemd) em um ponto do eixo dos Ve) nenhuma das respostas anteriores

a

OI (_1,~) e (1' -4) bl (_l'~)e (2'-3)2'4 ' 2' 4 '

(_1~) e (4' -5) d) 3 e (2; -3)cl 2'4 ' (-2; 4)

3 e (1; -4)el (2";4)

~s coordenadas dos pontos P e Q são:

TA,l26 (CESCEM-77) Na figura ao lado estãorepresentados os gráficos das funções da­

das porI(xl = (x + 1) (x - 3) e

xf(x) =2 + 3,

TA.125 (MACK-75) O gráfico de uma função f é uma parábola que passa pelos pontos 11,0),(3, O) e (2, -1), O gráfico da função g é uma reta que passa por (1, O) e (O, -1). Asentença I(x) ~ g(x):

a) é falsa qualquer que seja x b) é verdadeira se, e somente se, x ~

c) é equivalente ax ~ 1 ou x ~ 4 d) implica x ~ Oe) é verdadeira se, e somente se, x é um número inteiro

x

2 3V

d) mais que duasc) 2b) 1a) O

a) a < b < c < Ob) c < b < a < OclO<a<b<cd) O < c < b < ae) nenhuma das alternativas anteriores é correta.

TA. 120 (MACK-76) No gráfico ao lado estão re­presentadas três parábolas (1), (2), (31,de equações, respectivamente, V = ax2 ,

V ~ bx2 e V ~ cx2 , Podemos con­cluir que:

TA,127IEAESP-GV-771 O menor valor de k para o qual a intersecção da retacom a parábola V ~ 2x2 + 3x - 2 seja não vazia é:

TA.122(CONSART-751 Um dia na praia ás 10 horas a temperatura era de 36°C e ás 14 hor:atingiu a máxima de 39,2°C, Supondo que nesse dia a temperatura I(t) em graus euma função do tempo t medido em horas, dada por I(t) = at2 + bt + c, quanc8 < t < 20, então pode-se afirmar que:

aI 5 bl 1/4 cl 3/8 d) 217

el -8

V ~ 4x + k

TA.123 (CESGRANRIO-77) Uma conta perfurada de um colar é enfiada em um arame fincom o formato da parábola V = x2 - 6. Do ponto P de coordenadas (4, 10) deixa-,a conta deslizar no arame até chegar ao ponto Q de ordenada - 6. A distância horizontpercorrida pela conta (diferença entre as abscissas de P e a) é:

aI b ~ O

c) a ~ b

e) b < O

b) ab < O

d) a> O

TA.128 (GV-72) A região hachurada do gráfico

é a solução gráfica do sistema de desigualdades:

a) {v- x2;;;. O bl {v-Ixl;;;' O

x ~ -1 x<;;;1

c) {V -x2 <;;; O d) {V -x2 ;;;. O

Ix I O;;; 1 Ix I O;;; 1

-1

a) 12 bl 4 c) 6 d) 5 el 3 e) nenhuma das anteriores

288-A 289-A

Page 151: Fundamentos de Matemática elementar - Vol1

EQUAÇÕES DO 29 GRAU TA. 137 (PUC-75) Seja a função quadrática definida por

t(x) ~ mx' - (2m - 2) x + m - 2:

TA.130 (CESCEM-67) A equação do segundo grau cujas rafzes são -1 e 3 é:

a) x' - x + 3 ~ O bl a(x - lI(x + 3) ~ O, a 0/= Oc) (x + l)(x + 31 ~ O d) (x - 1 )Ix - 3) ~ Oe) nenhuma das respostas acima é correta.

TA.129 (PUC-70) Uma equação do tipo ax' + bx + c ~ O onde a, b, c são números reais

a) tem sempre duas raIzes reais.b) pode ter uma só raiz imagináriao) pode ser uma equacão do 1':' graud) nunca terá rarzes iguais.

e) nenhuma das anteriores é correta

TA.131 (MACK-74) Dada a equação x + 6 ~ x',

a) x (x + 6) x3

bl x + 6 + x' ~ x' + x + 6

com

bl somente se a > b > cd) somente se c > a > b

a) semprecl somente se a > c > be) nunca

a) f tem duas raIzes reais e iguais pera "Im E IR'

bl f tem duas raIzes reais e iguais para {:u ~ 2m ~ -2

c) f tem duas rafzes reais e desiguais para -2 < m < 2

d) f tem duas rafzes reais e desiguais pera V m E IR'

el f tem duas rarzes imaginárias para m > 2 ou m < -2

TA.138(MACK-74) As raizes da equação (a - b + c)x' + 4(a - b)x + (a - b - c) ~ Oa - b + c 0/= O são reais:

TA. 139 (CESCEM-72) O tronomio ax' + bx + c tem duas raIzes reais e distintas; ex e (Jsão dois números reais não nulos. Então o trinômio

uma equação equivalente à mesma é:

1

x - 3= x2 +1

x - 3~ 3x'

c) x+6+

dI 3(x + 61

TA.133IFEI-66) O número de soluções reais da equação 5x4 + x' - 3 ~ O é:

2x' - 8xTA.132 (MACK-77) O número de soluções reais da equação x' _ 4x

e) todas são equivalentes à equação dada

a) O b) 1 c) 2 d) 3

x é:

e) não sei

a) tem duas raízes reais e distintas ou nenhuma raiz real, conforme o sinal de (3.b) pode ter uma, duas ou nenhuma raIzes reais.c) tem duas raIzes reais e distintas se ex e (J forem ambos positivos, nada se podendo

afirmar nos demais casos.d) tem duas rafzes reais e distintas ou nenhuma raiz real, conforme o sinal do produto

ex(Je) tem sempre duas raizes reais e distintas

TA. 134 (PUC-76) O trinômio x' + px + q onde p e q E IR torna-se um trinômio quadradcperfeito quando se adiciona o termo constante:

TA. 140 IMACK-74) A equação 10<' - (1 - 2k)x + k - 2 ~ O tem raIzes racionais peraos valores de k pertencentes ao conjunto:

a) O

a) ~ - q4

b) 1 c) 2 d) 3

d)~ -q4p

e) 4

el p' - 4a q

aI A ~ {1, 2, 4, 5}c) C {2, 6, 12, 20, 30}el E~{l,8,27,64,Bl}

b) 8 = {2, 4, 6, 8, lO}d) D ~ {1, 4, 9,16, 25}

é necessário e suficiente que:

TA. 135 (PUC-77) Para que a equação tenha ra(zes reais e iguais

el não seid) y > 7cl y = 6b) y> 294

a) y < 245

TA. 141 (CESCEA-721 Considere o seguinte problema: "determinar o número cujo qulntuploexcede o seu quadrado de y unidades". Para que valores de y, o problema admiteduas soluções reais?

a + 1Oel~2

x' _ ax + a' - b' ~ O4

c) a ~ 2bb) b ~ Oa) a ~ b

TA. 136 IITA-72) Seja t(x) ~ x' + px + p uma função real de variável real. Os valores dEp pera os quais t(x) ~ O possue raiz dupla positiva, são:

a) O < p < 4 b) p ~ 4 cl p ~ Od) f(xl ~ O não pode ter raiz dupla positivae) nenhuma das respostas anteriores

TA. 142 (CESGRANRI0-73) A equação do 2':' grau cuja menor raiz é 2 - V3 e o produtodas duas raízes é igual a 1 é expressa por:

a) x' + x - 4 = O bl x' + 4x - 1 ~ O c) x' - x + 4 ~ O

dI x' - 4x + 1 ~ O e) nenhuma das respostas anteriores

29o-A 291-A

Page 152: Fundamentos de Matemática elementar - Vol1

TA. 143 (CESCEA-771 As raízes da equação 2x2 2mx + 3 = O são positivas e uma'o triplo da outra. Então o valor de m é:

INEQUAÇOES

ai 4 bl -2 el 2..j2 d) -2..j2 el O TA. 150 (PUC-771 O trinômio _x2 + 3x - 4:

TA. 144 (FEI-68) Sendo a e b as raizes da equação 2x 2 - 5x + m = 3

,r e s são as raizes da equação ax2 + bx + c

+ ~ é',2 .

TA.145(MACK-76) Se

o valor de * el -5 < m < -4bl -1 < m < 2e) 0< m < 1

ai 1 < m < 2di -3 < m < 2

a) é positivo para todo número real xbl é negativo para todo nú mero real xc) muda de sinal quando x percorre o conjunto de todos os números reaisd) é positivo para 1 < x < 4el é positivo para x < 1 ou x > 4

TA. 151 (PUC-77) Para qual dos seguintes conjuntos de valores de m o polinômioP(x) = mx2 + 2(m - 21x + m2 é negativo quando x = I?

e) nenhu ma das anter ia resd) Oc) 324

~, o valor de m é3

+ 1b

b) _ 43

a

3ai "4

então, se

TA. 152 (CESCEM-751 A expressão ax 2 + bx + c, onde b2 - 4ae > O e a < O, éestritamente positiva se x for:

ai b2 - 4ae

di b2 - 4ae2a

bl b2 - 2ae el b2 - 4aee2 e2

el b2 - 2ae2a

ai POSItIVO bl não nuloe) interior às raízes

d igual às raízes d) exterior às raízes

TA. 146 (CESGRANRIO-77) As raízes da equação x2 + bx + 47 = O são inteiras. Podemoafirmar que.

a) a diferença entre as duas raízes tem módulo 46b) a soma das duas ra ízes tem môdulo 2el b é positivod) o môdulo da soma das duas rafzes é igual a 94e) b é negativo

TA. 153 (CESGRANRIO-73) O conjunto dos valores de p para os quais a inequaçãox2 + 2x + p > 10 é verdadeira para qualquer x pertencente a IR é dado por:

ai p > -9 bl p < 11 c) p > 11 di p < -9e) nenhuma das respostas anteriores

TA. 154 IMACK-741 A desigualdade x2 - 2(m + 21x + m + 2 > O é verificada para todo nú­mero real x, se e somente se:

TA. 148 IMACK-74) O valor de P. para o qual a soma dos quadrados das raizes de

x2 + (p - 2) x + p - 3 = O

TA. 147 (CESGRANRIO-751 Sejam p e q reais; se a equação do segundo grau em x:

x2 + p2 x + q2 + 1 = O

tem duas raízes reais Xl e x2, então

tem o menor valor. é:

ciO<m<1bl -1 < m < Oe) 2 < m < 3

ai -2 < m < -1di 1 < m < 2

TA.156 (CESCEA-741 Uma condição suficiente para que a expressão y

presente uma função é que:

e) nenhuma das afirmações acima é verdadeira

TA. 155 (EESCUSP-691 O trinômio kx2 + 2(k + 1Ix - (k + 1l:

a) é negativo para todo valor de x e todo k =1= Obl é negativo para todo valor de x se k';;-2el é positivo para todo valor de x e todo k =1= O

d) é negativo para todo valor de x se -1 < k <

el 3di -1c) 1

bl xl + x2 - p2 cl xl + x2 = q2 + 1el Xt<O e X2<0

bl O

ai Xl > O e x2 > Odi xl - X2

a) 2

TA. 149 (MACK-741 Dadas as equações x2 - 5x + k = O e x2 - 7x + 2k = O, sabe-sequ<uma das raízes da segunda equação é o dobro de uma das rarzes da primeira equaçãoEntão o valor de k =1= O está no intervalo:

a) -2 < x < 2di -1 < x < 3

b) -2';; x .;; 2e) x < -2 ou

cI x .;; -2x > O

ou x ;;;. 2

a) [-4. -2]

di (5. 7]

bl [-1,1]

e) [-4, 4]

1é:TA. 157 (CESCEM-71 I O domfnio da função Vx2 - 5x + 6

ai x';; 2 e x ;;;. 3 bl x ;;;. 2 e x .;; 3 el x =1= 2 e x =1= 3

di x';; 2 ou x ;;;. 3 e) x < 2 ou x> 3

292-A 293-A

Page 153: Fundamentos de Matemática elementar - Vol1

a) a > O, b > O -1 < x < a + b, a

TA. 159 (GV-701 Dada a parábola y x2 - 4, quais são os valores de x que produzenimagem maior que 5?

TA. 160 lITA-67) Seja y [(ax2 - 2bx - (a + 2b)]1/2, Em qual dos casos abaixo y é reae diferente de zero?

TA.158 (EPUSP-67) Seja A o conjunto dos números inteiros positivos que satisfazem a inequ,ção (3x - 31 (2x - 51 < (5 - 2x)2. Então:

a) A évazio b) A = {-2; 5/2} c) A = {-I; I}d) A = {I; 2} e) nenhuma das respostas anteriores

x + 1x2 _ 3x + 2 ;;. O são dadas por:

bl -1 .;;;; x .;;;; 1 ou x;;' 2di x .;;;; 1 e x > 2

a) -1 .;;;; x < 1 ou x > 2c) x .;;;; -1 e x;;' 2e) nenhuma das respostas anteriores

TA. 166 (CESGRANRI0-73) As soluções da inequação

TA. 165 (GV-72) O conjunto de todos os números reais para os quais

v' (x2 - 4x + 3) (x 2 - x - 2) exista é:

a) {-I < x < 1 ou 1 < x < 2 ou 2 < x < 3}

b) {x < -1 ou 2';;;; x .;;;; 3 ou 3 < x}

c) {- 1 .;;;; x .;;;; 1 ou 2';;;; x .;;;; 3}

d) {x .;;;; -1 ou 1';;;; x .;;;; 2 ou 3';;;; x}

e) nenhuma das anteriores

c) x < - 3 ou x > +3e) nenhuma das respostas anteriores

a) x > O b) x < Od) -3 < x < 3

TA.161 (GV-76) Para que a função real f(x) = v' x2 - 6x + k, onde x e k são reais, sej'definida para qualquer valor de x, k deverá ser Ul)'l número tal que:

1TA. 162 (GV-76) Para que a função real f dada por f(x) = seja definid,

Vx2 + 2bx + cpara qualquer x real, 05 números b e c devem ser tais que:

ai b2

< c e b '* O b) b2

> c e c '* O c) b2 < cd) b2 < c e c;;' O e) b2 > c e b > O

c) a> O, b = O, -1 < x<1

di a < O, b 3a, x< -1

el a < O, 2a, -1 < x <a+b

ba

el t .;;;; O

y real, seja definida, devemos ter:

di t> O

se e somente se:

c) t ;;. -1

(x - 3) (x2 + 2x - 8)x2 + 4x + 3

b) t < Oa) t .;;;; -1

TA. 167 IMACK-76) Tem-se

el~ < O <=> (x - a) (x - bl < Ox - b

TA. 168 (GV-73) Assinale a afirmação verdadeira:

x2 + 3x + 2a) ;;.. O <=> x2 + 3x + 2 ;;. O

x2 - 1

bl ax2 + bx + c > O, para todo x real <=> b2 - 4ac < Ox2 - 1

c) h+1 .;;;; O <=> -1 < x .;;;;

d)~ > O <=> (x - a) (x - b) > Ox - b

TA.169IGV-74) Para que y =

e) k ;;. 9d) k .;;;; 9c) k = 5

a + 2bx =-­

a

b) k = 9

b) a> O, b < O,

a) k .;;;; 5

a) -4 < x < -1 ou 1 < x < 2bl -4 < x < -3 ou -1 < x .;;;; 2 ou x ;;. 3c) -3 < x < -1 ou 2 < x < 3d) x< 3 ou x > -1e) x < -4 ou -3 < x < -1 ou 2 .;;;; x <3

TA.163 (CESCEA-69) A solução da inequação

ai -2 < x < 3 ou x > 5b) 3 < x < 5 ou x < -2c) -2 < x < 5d) x > 6e) x < 3'

(x - 3) (-x2 + 3x + 10) < O é:

TA. 170 (GV-74) A solução da inequação x ;;. O é:x3 - x2 + x-I

TA. 164 (CESCEM-75) Os valores de x que satisfazem à inequação:

(x2 - 2x + 8) (x2 - 5x + 6) (x2 - 16) < O são:

TA.171 (CESCEM-68) Quais os valores de x que satisfazem à inequação:

a) x < -1 ou O < x < 2c) x .;;;; - 1 ou x;;' 2e) nenhum valor de x

bl -1 < x < 2 e x '* OdI qualquer valor de x diferente de zero

x2 - 2--x- <

x>clx<Ooue} O ~ x ~ 1

x ;;;. 1b) x < o. oux > 1

ai x ;;. Od) x < O ou

x> 4

aI x < -2 ou x> 4

b) x < -2 ou 4< x< 5cl -4 < x < 2 ou x > 4

d) -4 < x < 2 ou 3 < x < 4

e) x < -4 ou 2 < x < 3 ou

294-A295-A

Page 154: Fundamentos de Matemática elementar - Vol1

x2 + 2x - 1 1TA. 173 (CESCEA-731 A solução da inequação xL 1 ;;. -;+1 é:

TA. 172 (GV-771 Seja IR o conjunto dos números reais. O conjunto solução da inequação

x - 3~~ x - 1 é:

bl {x E IR I x > 2}

el {x E IR I x < O}

e

bl x> 2 e b < a

4bdI x > a - 2 e a > 2b

b > a

ax + bx ;;. O

~ x2 - bx + (2b - aI < O4

.{

-ba) x < - e

a

cl O < x < 1

a > O, b > O, b *- a.Tem solução para:

TA. 179 (ITA-71 I O sistema de desigualdades

cl {x E IR I x ~ 1}

ou -1 < x ~ O ou x > 1ou x;;' O

bl x < -1dI x < -1

a) x ~ O ou x> 1clO~x<1

aI {x E IR 11 ~ x < 2}dI {x E IR 1 x ;;. 2}

{ 2x2 + 8 ;;. x2 - 6xx + 5 < O é:

aI 0< x < 5 bl -5 < x ~ -4 c) -4 ~ x ~ -2d) x~ -2 e) x < -5

x-a <x+aTA. 174 (CESCEA-731 Se X2+1 -;;2' para todo x *- O,

TA. 175 (ITA-67) Em qual dos casos abaixo, vale a desigualdade

{x EIR 1 "fx2:~~ + 2 ;;. O} é igual a:

bl {x E IR I x > 1}d) {x E IR I x *- 1}

aI {x E IR I x ;;. 2}

cl {x E IR I 1 < x ~ 2}e) {x E IR I x < 1 ou x

e) nenhuma das respostas anteriores

está definida é:

al{xEIRI1<x~2}

bl {x E IR 11 < x < 2}c) {x E IR 1-2 < x < 2 e x*-1}

dl{xEIRI-2~x~2 e x*-1}

el não sei

TA.181 (GV-731 O conjunto

TA. 180 (CESCEA-71 I O conjunto de todos os números reais x para os quais a expressãoentão:

x2 - ax - 2a2~..:..-,---==~-'-=- < O:x2 - (a + 2 Ix + 2a

cl a > 2, 2 < x < a

J'L J2c) - 4 < a < 4 dI não sei

b) a = O, x > -ael a> 2, x> 2a

J'Lbl a> 4.J2

a) a < - 2

aI a < O, x < 2adI a > 2, -a < x < 2

TA. 177 (CESCEM-701 A solução do sistema de inequações:

{x2 - 2x ;;. O-x2 + 2x + 3 > O é:

TA.176 (CESCEM-68) A solução do sistema de inequações:

aI O < x < 2cl x < -1 e x> 3

bl -1 < x ~ O e 2 ~ x < 3dI nenhum x el qualquer x

TA. 182 (GV-721 O conjunto de todos os números reais x para os quais a expressão:

f(xl=~+~

b) {x E IR I O < x <dI {x E IR I O ~ x ~ ':

b) {x E IR 1 2 < x ~ 3}

dI {x E IR I 1 ~ x ~ 3}aI {2}cl vazio

e) {x E IR I 1 ~ x ~ 2}

resulta num número real, é:

aI {x E IR 1-1 ~ x ~ 1}c) {x E IR 1x > O ou x ~ 1}

el {x E IR I x ;;. O}

TA. 183 (PUC-77) Se A = {x E IR I x2 - 3x + 2 ~ O} e B ={x E IR I x2 .. 4x + 3 > O},então A n B é igual a:

e) 1 < x < ~5

4aI 1 < Ix 1< J5

-4b) J5 < x < -1

4cl1<x<J5

dI não há solução

1TA. 178 (FFCLUSP-66) A solução geral da dupla desigualdade -2 < x2 - 3 <"5 é:

296-A 297-A

Page 155: Fundamentos de Matemática elementar - Vol1

TA. 185 IGV-70) Dado o trinômio flx) = x2 - 5x + m o zero é externo ao intervalo d,raizes para:

x

-1x

x

e)

TA. 189 (PUC-771 o esboço do gráfico de y = Ixl - 1 é:

ai bl

di 0< m <~4

cl m> Ob) qualquer ma) nenhum m

TA. 184 ICESCEA-671 Dado o trinômio do 29 grau flxl = ax2 + bx + c e sabendo-se qlaflal < O, para a um número real, qual das afirmações abaixo é verdadeira?

a) o trinômio não tem raízes reaisb) para conclu ir a existência de raízes reais é preciso ainda examinar-se b2 - 4acc) o trinômio se anula para dois valores de x, um menor e outro maior que Q

d) a: não pertence ao intervalo cujos extremos são as raízes reaise) nada disso

x

x

x

c)

x

é:

x

x

x

1 2

y

y

e)

b)

bl

x

x

y

-1y

d)

a)

a)

d)

TA. 190 (MACK-74) O gráfico da relação

TA. 192 ICESCEM-70) O gráfico de y = Ixl -2 é:

TA.191 (MACK-77) O gráfico ao lado representa a função:

a) y = - Ix - a I + a Ybl y = Ix - a I - ac) y = - Ix - ai - adi {Ixl- a se x;;'a

y = Ixl + a se x <ae) não sei

clb)

el

el nenhuma das respostas anteriores

d)

a)

FUNÇÃO MODULAR

TA. 187 (PUC-76) Para definir módulo de um número real x posso dizer que:

ai é igual ao valor de x se x é realb) é o maior valor do conjunto formado por x e o oposto de xc) é o valor de x tal que x E Nd) é oposto do valor de xel é o maior inteiro contido em x

TA.186 (CESCEA-72) Para que a equação x2 + (2 - a)x - (3a - 1) = O admita duas ralllreais distintas no intervalo [-2, 3) devemos ter:

a) - 8 .-; a .-; O b) a < -8 ou a > O cl O < a .-; 116

d) O < a .;;; 6"" el não sei

TA.188ICESGRANRIO-COMCITEC-73) Nos gráficos abaixo os pontos do domlnio sãmarcados no eixo horizontal e os da imagem no eixo vertical. O gráfico que malhepode representar a função

f: IR+ ~ IR

x ~ flx) = - Ixl

onde tR + , o conjunto dos reais não negativos, é:

298-A299-A

Page 156: Fundamentos de Matemática elementar - Vol1

TA. 193 (CESCEM-73) O gráfico da função y

ai y bl yTA. 197 (MACK ·761 O gráfico, de g(x) I x I

+ Ix-I I é:x x-I

ai y b) Y el y di yh e) y2 --~ 2 2 2

I--.,--

I III I

-1 O :1 -1 O -1 O -1 O 11 -1-,.x x I X X O x,

I,I I

-2 -2, -2 :L---- 1-2 -2

--------JI

1/3

y

x+1

Ix-ll-lxl é:

cl

-1

---+-~c-;----~xx

x

di

1/2

TA. 194 (GV-74) O gráfico da equação: y 2 V7i + x é: TA.19B ICESCEM-691 A representação gráfica da função y ~ x2 - Ixl é:

x

Hx)

el y

d)

y ~ Ix2 .. 41xl +31 pode

Hxl

di

cl

y

.-­x

cl

flxl

y

bl

bly

serf(x)

Se a = -b

ai

e) nenhum dos anteriores.

ai

TA.200 ICESCEM-71) Dados dois números reais distintos a e b, podemos definir uma

função f(x) Que chamaremos "distância ao conjunto {a. b}". da seguinte forma:

distância de x ao conjunto {a, b} é o menor dos números

Ix - a I, Ix - b I.1, o gráfico de flxl é:

TA. 199 (MACK-74) O gráfico cartesiano da função definida por

f (x) ~ x + ..li... se x *'Ix IR por

.--'-"f--+-----_-1 1 x

---~-----1 I 1 :-

b)

d)

~~!1------••1 x

~-y:

• I

------1·· 1 __..

-1 1 x

a)

el

e f(ol ~ O. O seu gráfico é:

TA.195(MACK-73) O gráfico cartesiano da função definida por y = -x Ixl pode ser

.1 W--;" m--;~~d)__~~ ~"'rP--:-

TA. 196 (EAESP- 75) Seja f uma função definida em

III

--)--+---'-.....x

y

-1

el

e) nenhum dos anteriores.

a)

cl__~Y ...

~ x

x

yel

a) r bl v----- -_. __ .,...,-----~ --------~

di 1.._._._---- ~--:-

300-A 301-A

Page 157: Fundamentos de Matemática elementar - Vol1

TA.209 (CESCEA-681 Se a e b são dois números reais quaisquer, assinale dentre as afirmaçõesabaixo a que é sempre verdadeira

TA. 21 O(GV-74) Sejam x e y números reais quaisquer. Assinale a afirmação correta:

aI Ix + yl ~ Ixl + Iyl bl Ix _ yl;;;. .lllxl-Iyll2 2

c) Ixl + Iyl >vx2 + y2 d) Ixyl > Ixl·lyl

e) Ixl + Iyl ~ 2Vx2 +y2

TA. 201 (MACK-76) Seja f uma função de IR em IR definida por

f(x) ~ 2 Ix - 31 + x - 1

o conjunto imagem da função f é:

a) {y E IR I y ;;;. 2} bl {y E IR 1y ~ 3} c) {y E IR I y ;;;. 3}d){yEIRly~2} e) IR

TA.202 (PUC-77) Dado A = {x E IR Ilx I = 2}. tem-se:

a)ACIW b)ACIR+ c) AUZ+=Z+ d)AnZ_=Ae) A n IW = {2}

aI la + bl ;;;'Ial + IbldI lal - Ibl ;;;.Ia + bl

bl la + bl = lal + Ible) lal+lbli=la+bl

c) la + bl ~ lal + Ibl

TA.207 (COMBITEC-COMBIMED-75) A equação

Ix + 1 I - Ix I = 2x + 1, x E IR,

TA.204 (GV-72) Seja V o conjunto de todas as soluções reais da equação

V x2 + 2x + 1 = 1 + x.

TA. 206 (EPUSP-65) As ra(zes da equação Ixl 2 + Ixl - 6 = O

aI são positivas b) têm soma O c) têm soma 1 d) têm produto 6e) nenhuma das respostas anteriores

a) tem duas soluções distintas cuja soma é 2b) tem somente as soluções -1 e Oc) não tem soluçãod) tem uma infinidade de soluçõese) tem três soluções distintas cuja soma é 4

e) 4

c) [-2, -1] U (O, 1)

d) 3

b) -1 <x <7 ou -3 <x <-1d) O < x < 4

b) {x Ix ~O} U [3,15]d) {xl-5 <x <-1}u{xI1 <x <17}

Ix - 31 < x + 3 é:

c) IR d) {x E IR I x > O}

1 < Ix - 31 < 4 é o conjunto dos nÚmeros x tais

c)

b) (-2, -1) U lO, 1)e) [-2,1]

b) 5

é um intervalo de comprimento

a) 2

a) [-2,-1]U[0,1]d) (-2, -1) U [0,1]

TA.214 (MACK-771 O conjunto-solução de

a) ~ b) {x E IR IO < x < 3}e) não sei

TA.212 rIMACK-74) O conjunto solução deque:

a) 4 < x < 7 ou -1 < x < 2c) -1 < x < 7 ou 2 < x < 4e) -1 < x < 4 ou 2 < x < 7

TA.216 (CESGRANRI0-73) O conjunto solução da desigualdade

Ix + 11 - Ixl ~ x + 2

ai [-3,O]U[1,73]cl [-3, O] U {x I x ;;;. O}el [-4,2]U[-2,1]

TA.215ICESCEA-70) O conjunto de todos os x para os quais 12x - 31 > x é:

a) [x E IR I x < O} b) {x E IR I x < O ou x < 4}c) {x E IR 11 < x < 3} di {x E IR lo < x < 4}e) {x E IR I x < 1 ou x > 3}

TA.213 (CESGRANRI0-73) A função P(x) = Ix2 + x - 11 é menor do que 1 para os va­lores de x em:

TA.211 (CESCRANRI0-75) A interseção dos conjuntos {x E IR I I x - 21 < 4} e{x E IR I I x - 71 < 2} é um intervalo de comprimento

têm 2 pont

e) Od) -VScl -1

bl V = IR

d) V = {x E IR I x ;;;. -1}

bl 1

Então:

a) V ~ ~

c) V = {x E IR Ix~-1}e) V = {O}

a) VS

TA. 205 (CESGRANRIO-771 Os gráficos de f(x) = x e 91x) = Ix2 - 11em comum. A soma das abcissas dos pontos em comum é:

TA.203 (PUC-74) O conjunto S das soluções da equação

12x - 1 I = x - 1 é:

a) S = {O, ~ } bl S = {O, +} c) S = ~

d) S = {O, -1} e) S = {O, ~ }

TA. 217 (MACK-75) Se Ix2 - 41 < N para todo x tal que Ix - 21 < 1, então:TA.208 (FCESP-74) Se x E ] - 00, O] então a expressão:

Vlx - 3)2 + R - VI4 - 3x)2 vale:

a) 5x - 1 b) 3x - 1 c) x - 1 d) 7 - x e) x - 7

a) o menor valor posslvel de N é 3b) o maior valor posslvel de N é 3e) N pode assumir qualquer valor

cl o menor valor posslvel de N li 5dI o maior valor posslvel de N é 5

302-A 303-A

Page 158: Fundamentos de Matemática elementar - Vol1

TA.218IPUC-70) Qualquer que seja o nÚmero real não nulo x, tem-se sempre:

TA.219 IGV-73) O gráfico da função f dada por

pode ser:8

x2 + 4YTA.223 (MACK-741 O gráfico da função definida por

a) Y bl Y cl YI

!~I,III

i(" I ..O O 12 x x

I

IIIII

e) não sei

TA.222 (MACK-77) O gráfico da função f dada por f(x) - ~- 1__ é, aproximadamente:- 4x ~ x2 - 4

Y

é:

elY

x .;; O

0<x";;2

x > 2

c) Ix + 2- I .;; xx

d)Ycl

bl Ix + ~ I .;; 10x

e) nenhuma das anteriores.

Yb)

aI Ix + ~ I ;;, 2x

d) Ix + ~ 1<x x

Y

GRAFICOS

a)

x

f(xlcl

xix - 1)

x-I

x

Y ~

c) não tem ponto fixo

2 f(xl

1Y ~- e

x

e

bl

1Y - x 2

x

1 ±J5bl x = --2-

f(x)d)

a) x ~ ± 1

di tem infinitos pontos fixos

ai interceptam-se em um único ponto de abscissa positivabl interceptam-se em dois pontosc) não se interceptamd) interceptam-se em mais de dois pontose) interceptam-se em um único ponto de abscissa negativa

a) não têm ponto em comum b) têm um único ponto comumc) têm exatamente dois pontos comunsd) têm exatamente 4 pontos comunse) têm uma infinidade de pontos comuns

TA.224IFUVEST-771 As curvas

TA.225 ICESCEM-71l As figuras de equações

TA.226 (FEI-731 Chama-se ponto fixo de uma função f um número real x tal que flxl ~ x.

Calcule os pontos fixos da função f(x) ~ 1 + 2- :x

x

x

x

2

pode ser

2

1

x

x+2x-I

f(xl

cl

x

x

a)

ir ..x

di Yi"-_L _____

I

x

1 --- 2 2 •1

,I-- 1 >---,

2 -------'---+-x 2 x 2 x

TA.220 (CESCEM-741 A função cujo gráfico me-lhor se adapta ao da figura é:

a) f(xl Ix Ib) flx) I~I

x

cl f(x) Imin (x; ~-) Ix

dI f(x) min (Ix I; I~I)x

min (I x2 1; J,;I-1

el f(xl)(

TA.221 (MACK-731 O gráfico cartesiano da função definida por y

304-A305-A

Page 159: Fundamentos de Matemática elementar - Vol1

TA.227 (FEI-73) Considere o gráfico da função2

y = 1 + 1~' Deseja-se calcular a área

hachurada da figura ao lado. Calcule umvalor aproximado dessa área, substitu in­do os arcos AB, BC e CO por segmentosde reta.

A

FUNÇÚES COMPOSTAS

TA.231 (PUC-771 Sendo f(x)

aI 1 b) 3

x3 + 1 e g(xl

c) O

x - 2, então

d) 2

g(f(O)) é igual a:

e) -1

TA.228 (EPUSP-67) Sendo A a área limitada pela curva y

TA.233 (CESGRANRIQ-731 Seja f uma função de IR em IR tal que f(21 =7, f(9) =3, f(0) =O,

f(5) = 16 e f(71 = 4; seja g uma outra função de IR em IR tal que a imagem decada ponto x do seu domrnio seja 2x + 3. Então, chamando-se h e função com­posta gof, tem-se que:

a) 2,95b) 4,95c) 3,95d) 1,95e) nenhuma das respostas anteriores

O 2 3

x e pelas retas x =

TA.232 (MACK-751 Dadas asg(x) = x2 - 2x + 1 e

a) 1 b) 2

funções f, g e h, deh(xl = x + 2, então

c) 3

IR em IR, definidas por((h.fl og) (21 é igual a:

dI 4 el 5

f(xl 3x,

x = 3, y = O, tem-se:a) h(ll = 16 b) h(9) = 9

a) A < 0,3 b) 0,3 < A < 0,8 c) 0,8 < A < 1,5 c) h(2) = 49 d) não existe essa função h

d) 1,5 < A < 10 e) nenhuma das respostas anteriorese) nada se pode afirmar pois a lei de formação da f não é conhecida

TA.234 (CONSART-75) Se f e g são funções definidas em IR porentão g(f(x)) é:

a) 3x + 11 b) 3x2 + 10 cl 3x2 + 11 x + 10

TA.235(CESGRANRIO-731 Se

c) x

d14x+7 el f!g(x)/

é expressa por:

f(x) = x + 2 e g(x) = 3x + 5,

e) nenhuma das respostas anteriores

f(f(xl)f(xl - x + 1 então- """"X="1

d) 2x + 22x - 1

b) 1a) ~xx

= án

x

y

ONestas condições, a área ao lado indi­cada vale:

x3TA.229 (CESCEM-74) A função y = 3" dá o

valor da área da região compreendidaentre a curva y = x2

I do ponto deabscissa O ao ponto de abscissa x e oeixo das abscissas, conforme indica a fi·gura ao lado:

determinam um quadrilátero, no qual está definida a função y = x I + X2.Sabendo-se que O máximo desta função está num dos vértices deste quadrilátero cseu valor é: '

TA.23D (CESCEM-74) As regiões do plano definidas por:

XI + 2X2 < 2, XI ;;. O

2xI + x2 < 2, X2 ;;. O

3el "2

3f(x)d) 2f(x) + 1

d) 1

3f(x)c) 2f(xl _ 1

cl J..2

3f(x)b) 3f(xl _ 3

a) -1

TA.236 (MACK-75) Dada a aplicação f: 0-+ Q definida por f(x) = x2 - 2. o valor dex tal que f(xl = f(x + 1) é:

TA.2380TA-77) Considere a função F(x) = Ix2 -11 definida em IR. Se F o F representa

a função composta de F com F, então:

a) (Fo FI (xl = x I x2 - 1 I, para todo x realb) não existe número real y, tal que (Fo F) (y) = y

c) F o F é uma função injetorad) (Fo FI (x) = O, apenas para dois valores reais de x

e) nenhuma das anteriores

TA.237 (MACK-76) Dada a função f(x) = x ~ l' a expressão de f(3xl, em termos de

f(x), é:

3f(xla) 3f(x) _ 1

e) 3f(x) - 1

x4O 1

d) Ocl 1..3

b)23

a) ~3

a) 643

b) 21

c) l1.3

d) 64

e) 1..3

306-A 307-A

Page 160: Fundamentos de Matemática elementar - Vol1

para qualquer número real x tal (

x~ 2x + b

TA.240 (CESGRANRIO-76) Considere as lunções

I:IR 41R g: IR 41R

TA.239IFEI-68) Dada a lunção f(x) ~ ~,Ix I <; 2 tem-se:

a) 1(2xl 211x) b) I(x - 2) f(xl - f(2) ai E CA e K C D

b) E C B e K::JA

c) E ::J D, D "* Ee K C B

d) E C D e K C B

el nenhuma das respostas anteriores

TA.244IITA-74) Sejam A, B e D subconjuntos não vazios do conjunto R dos números reais.Sejam as lunções I: A ~ B (y ~ I(x)), g: D ~ A (x ~ g(tl), e a lunção compostaIlog): E ~ K. Então os conjuntos E e K são tais que:

x

f(x)c) f(.!.-)

x

e) nenhuma das anterioresd) f(-xl ~ f(x)

gol: IR ~IR

x ~ glf(xl) ~ 4x2 - 12x + 9

podemos alirmar que b é um elemento do conjunto:

ai (-4, O) b) (0,21 cl (2, 4) d) (4, + 00)

onde b é uma constante. Conhecendo-se a composta

TA.241 (PUC-74) Se I(x)1~'

então (lo [lo Ij) Ix) é igual:

e) (-00, -4)

TA.245 (MACK-74) Sejam I e 9 lunções delR emiR tais que f(x)Então to 9 = 90 f, se e somente se:

a) a = c e b = d

b) a = b = c = d

c) (a - 1) • d = b • (c - 1 I

d) a = c

e) a = c e b = -d

ax + b e glx) cx + d.

TA.242 (CESGRANRIO-73) Sejam dadas as lunções

a) 2x bl 3x c) 4x d) x el -xTA.246 (CESGRANRIO-77) Seja f: {I, 2, 3} -+ {I, 2, 3} uma lunção tal que o con­

junto solução da equação f(x) = x é {I, 2}. Em relação à lunção composta 101podemos alirmar que:

Considere as afirmações:

1) não existe a função no m

2} não existe a função mo n3) m é uma lunção bijetora de IR em IR

4) a função mo n o m não existe5) todas aS afirmativas anteriores são falsas

TA.247 (MACK-751 Dadas as funções f e 9 delR emiR, sendo g(x) = 4x - 5 e f(g(x)) = 13 - 8x,então:

a) para todo x, (lo Ii (xl = xbl para todo x, (lo f) (x) f(x)

cl (lo f) (31 = 3d) (Iof) (3) 1e) (101)(3) = 2

c) f(xl = 2 + 3xb) I(xl = 3-2xe) I(x) = 5 -4x

a) f(x) = 2 - 3xd) f(x) = 2x + 3

e(O, O)}m = {(3, 5),

n = {(5, 2),

Então:

a) todas são corretasb) somente duas são corretasc} somente uma é corretadi todas são falsase) somente três são corretas

TA.243 (CESCEM-70) Sejam f(x) = +~; gIz) = [I(z)t e h(z) z - 4:

a) os domrnios de giz) e h(z) coincidemb) o domlnio de giz) contém estritamente o domlnio de h(z)c) o domlnio de f(x) não tem pontos em comum com o domlnio de gIz)di qualquer que seja z real, gIz) = f(z)e) nenhuma das anteriores

{ -x2 se x<; g(x) x+3TA.248 (MACK-73) Sendo f(x) = x + 1 x>

ese

a) (fo g)(xl {-(X + 3)2 se x <; -2x + 4 se x> -2

bl (lo gl(x) { _x2 + 3 se x<; 1x + 4 se x> 1

c) (Iog)(x) {-(X + 3)2 se x<;x + 4 se x>

d) (Iog)(x) = {_x2 + 3 se x<; -2x + 4 se x> -2

e) nenhuma das anteriores

30S-A309-A

Page 161: Fundamentos de Matemática elementar - Vol1

FUNÇÕES INVERSAS TA.253 (CESGRANRIO-731 Seja AS um diâmetro de uma esfera tangente a um plano Pno ponto S. Seja E o conjunto dos pontos da superffcie esférica que são distintosde A.

suaf(xl = x 3 + I,

A

bijetora definida por

c) loge ( 275 )

b) f-I (x) = 1x 3 + 1

e) nenhuma das anteriores

b) ~25

a) 43

Considere a função

f: E ~ Px ~ t(xl

onde f(x) é o ponto de interseção dareta definida por A e x com o plano P.Dentre as afirmações. a falsa é:

TA.256 (ITA-75) Seja f(x) = eX - e-x definida em IR. Se 9 fêr a função inversa7 eX + e-x

de f, o valor de eg (2s I será:

TA.254 (ITA-761 Considere g: {a, b, c} ~ {a, b, c} uma função tal que g(a) = b e g(bl = a.Então, temos:

ai a equação g(x) = x tem solução se, e somente se, 9 é injetorab) 9 é injetora, mas não é sobrejetoracl 9 é sobrejetora, mas não é injetora

d) se 9 não é sobrejetora, então g(g(x)) x para todo x em {a, b, c}e} nenhuma das respostas anteriores

a) a função é injetorab) a função é sobrejetorac) a função é bijetoradi a função leva circunferências em circunferências

ai a função leva pontos simétricos em relação ao diâmetro AB em pontos simétricosem relação ao ponto B.

TA.256 (MACK-751 Dada a função f: IR ~ IR,inversa f-I: IR ~ IR é definida por:

3a) f-l(xl=~

1d) f-Ilx) ~ '3'---

V'x3+1

yc)

x•

b)

x

y

IIIII-1- _I

d)

a)

TA.251 (MACK-741 f é uma aplicação de A em S; S';;;; S; f é uma aplicação sobrejetode A em S'. Podemos afirmar:

a) f é uma aplicação sobrejetora de A em Sbl f é uma aplicação injetora de A em S'c) a informação dada é contraditória; não pode ser uma aplicação de A em

e de A em S'd) existe x em A tal que f(x) E S e f(xl E S'e) existe y em S tal que t(x) = y não se verifica para nenhum x de A

TA.250 (MACK-75) Ao lado está o gráfIcoda função f. Um exame deste grãficonos permite concluir que:

a) f é injetorab) f é periódicacl f(rr) < OdI f(v3i .;;; Oe) f(1) + f(21 = f(3)

TA.249 (CESCEM-76) Dentre os gráficos abaixo, o que melhor se adapta a uma funçlbijetora (injetora e sobrejetora) com dom(nio IR e contradomrnio IR é

TA.252 (MACK-75) A aplicação f: ~ ~ ~ definida pore) nenhuma das respostas anteriores

TA.257 (CONSART-75) O gráfico de uma função f é o segmento de reta que une os pontos(-3, 4) e (3, O). Se f-I é a função inversa de f, então f-I (21 én é par

é:n é rmpar ai 2 b) O c) 3

2d) - ~

2e) não definida

TA.258 (MACK-771 A funçãoO seu contradom(nio é

e) não sei

a) somente injetora;c) bijetora;e} nenhuma das anteriores.

b) somente sobrejetora;d) nem injetora e nem sobrejetora;

a) 2 b) -2

f definida em IR - {2} porIR - {a}. O valor de a é:

cl 1 dI -1

f(xl 2+x2 - x

é inversível.

310-A311-A

Page 162: Fundamentos de Matemática elementar - Vol1

TA.26llCESGRANRIO-77) A imagem da reta y = 2x pela reflexão no eixo dos xa rata de equação

estão no intervalo:

nenhuma das anteriores

el [..!.. , ~]5 2

di {O, ~} e) nenhuma das anteriores

b) tem três raízes reaisd) não tem raízes

b)[-~,l]

e) [5,8]

b) {O, 2} el {O}

a) tem duas ra ízes reaisc) não tem raízes reaisai tem uma única raiz real

a) [-2, - ~ ]

d) [~, 7]4

TA.266 (PUC-74) O conjunto verdade da equação irracional

.jX-l+~=2 é:

a) V = {3} bl V = {3, 9} c) V = {9} d) V = {4} e) nenhuma das anteriores

TA.264 (PUC-70) O conjunto verdade da equação y'4;+"1 = 2x - 1 é:

TA.265 (GV-75) A equação~ = -~:

TA.267 (FEI-68) seja V o conjunto dos números reais que são soluções da equação irracional

..f2;-~=1

ai V={2,18} b) V={2} c) V={18}dl V=çD

TA.268 (MACK-761 Todas as raízes da equação

TA.269 (ITA-73) A respeito da equação, 3x2 - 4x + y 3x2 - 4x - 6 = 18 podemos dizer:

a) 2 ± y'7õ são raízes b) A única raiz é x = 33

c) A única raiz é x = 2 + v10 di tem 2 raízes reais e 2 imagináriase) nenhuma das anteriores

O x

para todo x em

e) y = - J... x2

c)

x

x

di y = 2x

b) y

~O

e) y

~O

x

b) y = ..!.. x c) y = -2x2

a) y = 12x I

O gráfico que mais bem representa a função inversa

rl:x r+ f-I (x) é

a)

d) yO

TA.2BO (ITA-76) Sejam A e B conjuntos infinitos de números naturais.Se f: A ..... B e g: B ..... A são funções tais que I(g(x)) = x,e g(l(x)) = x, para todo x em A, então, temos:

a) existe Xo em B, tal que f(y) = xo, para todo y em Ab) existe a função inversa de fc) existem Xo e XI em A, tais que Xo *' XI e I(xo) = I(xI)d) existe a em B, tal que g(l(g(a))) *' g(a)e) nenhuma das respostas anteriores

TA.259 (CESGRANRIO-76) Seja f: x ..... I(x) a função cujo gráfico é

b) {y E IR IO .;;; y .;;; 2}

d){yEIRly;;;'4}b) XI = 3 e x2 = 3

d) não tem raízes reais

TA.262 (CESGRANRIO-73) Sendo x ;;;'4, o conjunto imagem da função y = y-; + y;::é dado por:

a) {yEIRly;;;'O}

c) {yEIRly;;;'2}e) nenhuma das respostas anteriores

TA.270 (ITA-72) Todas as raizes reais da equação

a) XI = 3 e x2 = -3el Xl = 3 e x2 = V3e) nenhuma das respostas anteriores

J~-J_xx x2 + 3

3 são:2

TA.271 (MACK-74) Se o nÚmero xx2 está entre:

3 3é solução da equação yr;+g-~"3,

EQUAÇÕES E INEQUAÇÕES IRRACIONAISa) O e 25 b) 25 e 55 cl 55 e 75 d) 75 e 95

..e) 95 e 105

então

TA.263 (CESCEM-731 Considere-se o número x dado pela expressão

x=I~1

e) x não é raiz da equação x2 - x - 2 = O

Nestas condições,

a) x = 2,222 ...

d) x = 2

b) x =1 ± 3

2c) x = 2 +~

TA.272 (GV-74) Resolver a desigualdade 1 - 3x > Y2 + x2 - 3x:

ai x< 3 - v'41b) x< 1 c) x < 1 x>216 3

ou

d) ..!.. ~x~ 3 +V41 e) x< 3 - v'41 x> 3 +v'41ou3 16 16 16

312-A 313-A

Page 163: Fundamentos de Matemática elementar - Vol1

RESPOSTAS

TA.1 e TA.36 e TA.71 d TA.106 bTA.2 d TA.37 e TA.72 e TA.107 eTA.3 b TA.38b TA.73 e TA.108aTA.4 c TA.39b TA.74 c TA.109bTA.5 c TA.40a TA.75 e TA.nOaTA.6 c TA.41 c TA.76~ TA.111 aTA.7 a TA.42b TA.77 c TA.112 eTA.8 b TA.43d TA.78 e TA.113aTA.9 d TA.44 c TA.79b TA.114bTA.10a TA.45 e TA.80b TA.115bTA.11 a TA.46 e TA.81 a TA.116dTA.12 c TA.47d TA.82d TA.117dTA.13d TA.48 a TA.83 a TA.118aTA.14e TA.49 e TA.84b TA.119dTA.15 d TA,/50 a TA.85b TA.120dTA.16d TA.51 b TA.86d TA.121 bTA.17d TA.52 a TA.87d TA.122bTA.18 c TA.53 c TA.88 e TA.123bTA.19 b TA.54 e TA.89 e TA.124 bTA.20a TA.55d TA.90e TA.125cTA.21 e TA.56 e TA.91 e TA.126aTA.22 c TA.57a TA.92d TA.127 eTA.23 e TA.58 a TA.93 a TA.128d

TA.24 a TA.59 c TA.94b TA.129 cTA.25d TA.60a TA.95 a TA.130 eTA.26 a TA.61 a TA.96d TA.131 dTA.27 b TA.62 c TA.97b TA.132bTA.28b TA.63 c TA.98b TA.133 cTA.29b TA.64b TA.99 c TA.134aTA.30b TA.65 a TA.100e TA.135bTA.31 b TA.66b TA.101 b TA.136dTA.32 c TA.67d TA.102d TA.137dTA.33d TA.68b TA.103b TA.138aTA.34 e TA.69 c TA.104b TA.139 eTA.35 e TA.70d TA.105d TA. 140 c

315-A

Page 164: Fundamentos de Matemática elementar - Vol1

TA.141cTA.142dTA.143 cTA.144 cTA.145bTA.146 aTA.147 eTA.148eTA.149dTA.150bTA.151eTA.152eTA.153 cTA.l54aTA:155dTA.l56 cTA.157 eTA.158dTA.159 cTA.160eTA.161 eTA.162 cTA.163 aTA.164dTA.165dTA.166aTA.167bTA.168dTA. 169 bTA.170 cTA.171 aTA.172bTA.173b

316-A

TA.174bTA.175dTA.176eTA.l77bTA.178 aTA.17geTA.180dTA.181 aTA.182dTA.183 eTA.184cTA.185dTA.186 cTA.187 bTA.l88 eTA.189 cTA.i90 eTA.191aTA.192aTA.193dTA.194bTA.195 cTA.196bTA.197aTA.198aTA.199 aTA.200cTA.201 aTA.202eTA.203cTA.204dTA.205aTA.206b

TA.207dTA.208cTA.209 cTA.210bTA.211 cTA.212 aTA.213 bTA.214dTA.215eTA.216 cTA.217 cTA.218 aTA.219 aTA.220dTA.221 dTA.222 cTA.223bTA.224bTA.225bTA226bTA.227cTA.228 cTA.229aTA.230aTA.231 eTA.232 eTA.233bTA.234 aTA.235 cTA.236bTA.237dTA.238eTA.239d

TA.240aTA.241 dTA.242 cTA.243eTA.244dTA.245cTA.246bTA.247 bTA.248aTA.249dTA.250dTA.251 eTA252bTA.253dTA.254 aTA.255 cTA.256 aTA.257 bTA.258dTA.259eTA.260bTA.261 cTA.262 cTA.263dTA.264 aTA.265eTA.266 aTA.267cTA.268 cTA.269eTA.270eTA.271 dTA.272 a

FUNDAMENTOS DEMATEMÁTICA ELEMENTAR

Vai 1 - Conjuntos e Funções

1. noções de lógica, 2. conjuntos. 3. conjuntos numéricos. 4. relações. 5. funções.6. funções do 1':> grau. 7. funções do 2':> grau. 8. função modular. 9. função com·posta e função inversa.

Vai 2 - Logaritmos

1. potências. 2. função exponencial, 3. função logarítmica. 4. equações e ine­quações logarítmicas, 5. logaritmos decimais.

Vai 3 - Trigonometria

1. ciclo trigonométrico, 2. funções circulares, 3. principais identidades, 4. trans­formações, 5. equações, 6. funções circulares inversas, 7. inequações, 8. triân­gulos.

Vai 4 - Seqüências, Matrizes, Determinantes, Sistemas

1. seqüências e progressões, 2. matrizes, 3. propriedades dos determinantes, 4. sisotemas lineares: método do escalonamento.

Vol 5 - Combinatória, Binômio, Probabilidade

1. princípios fundamentais da contagem, 2. arranjos, 3. permutações, 4. combi·nações, 5. desenvolvimento binomial, 6. probabilidade em espaço amostrai finito.

Vai 6 - Complexos. Polinômios. Equações

1. números complexos, 2. polinômios, 3. equações polinomiais, 4. transforma·ções, 5. raízes múltiplas.

Vol 7 - Geometria Analítica

1. o ponto, 2. a reta, 3. a circunferência, 4. as cônicas, 5. lugares geométricos.

Vai 8 - Limites. Derivadas. Noções de Integral

1. definição de limite, 2. propriedades operatórias, 3. definição de derivadas,4. cálculo de derivadas, 5. estudo de funções, 6. noções de integral definida.

Vai 9 - Geometria Plana

1. triângulos, 2. paralelismo, 3. perpendicularismo, 4. circunferência, 5. seme­lhança, 6. relações métricas, 7. áreas das figuras planas.

Vai 10 - Geometria Espacial

1. Geometria de posição: paralelismo, perpendicularismo, diedros, triedros, polie­dros; 2. Geometria Métrica: prisma, pirâmide, cilindro, cone, sólidos semelhantes,superfície e sôlidos de revolução, sólidos esféricos.