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MATEMÁTICA I ProfProfProfProf. . . . GiancarloGiancarloGiancarloGiancarlo –––– PRISE IPRISE IPRISE IPRISE I Função Polinomial do 2º Grau APOSTILA

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1111 DEFINIÇÃODEFINIÇÃODEFINIÇÃODEFINIÇÃO

Toda função �: � → � tal que ���� � � � �� � , com , �, ∈ � e � 0 é chamada função polinomial do 2° grau.

Exemplo 1

���� � � � 2� � 1, onde, � 1, � � 2, � 1; ���� � �2� � 4�, onde, � �2, � � �4, � 0. 2222 RAÍZES DA FUNÇÃORAÍZES DA FUNÇÃORAÍZES DA FUNÇÃORAÍZES DA FUNÇÃO

Chamamos de raízes, ou zeros, da função polinomial do 2° grau os valores de � para os quais a função se anula, ou seja, � ��� � 0.

Para determinar as raízes de uma função polinomial do 2° grau, usaremos a fórmula de Bhaskara.

Fórmulas

∆� � � 4 ∙ ∙ � ��� � √∆

2 ∙

Exemplo 2 Determinar as raízes da função ���� � � � 4� � 3.

A quantidade de raízes reais de uma função do 2° grau depende do valor do discriminante ∆ obtido:

� Quando ∆ � 0, a equação terá duas raízes reais e diferentes;

� Quando ∆ � 0, a equação terá duas raízes reais e iguais; � Quando ∆ � 0, a equação não terá raízes reais, mas sim

raiz complexa, o que veremos nas próximas aulas. 3333 GRÁFICOSGRÁFICOSGRÁFICOSGRÁFICOS

De acordo com as características dos gráficos das funções quadráticas, podemos organizar o quadro a seguir.

Exemplo 3 Determine a concavidade das funções:

a) ���� � �� � 3� � 2 b) ���� � 3� � 4� � 12

4444 VÉRTICE DA PARÁBOLAVÉRTICE DA PARÁBOLAVÉRTICE DA PARÁBOLAVÉRTICE DA PARÁBOLA

� Quando uma parábola tem concavidade voltada para baixo, ela tem um ponto de máximo �.

� Quando a parábola tem concavidade voltada para cima,

ela tem um ponto de mínimo �.

Fórmulas As coordenadas do vértice ���� , �� de uma parábola podem ser determinadas pelas relações abaixo:

�� ���2

! � ��∆4

Exemplo 4 Determinar as coordenadas dos vértices das funções:

a) ���� � � � 4� � 3 b) ���� � �� � 3� � 2

5555 ESTUDO DO SINALESTUDO DO SINALESTUDO DO SINALESTUDO DO SINAL

Estudar o sinal de uma função quadrática, definida por "�#� � $#% � &# � ', consiste em determinar os valores reais de # para os quais ( é negativo e os valores de # para os quais ( é positivo.

De acordo com o valor do discriminante ∆ da equação "�#� � $#% � &# � ', temos 3 casos a considerar:

� ∆� ), intervalos positivos, intervalos negativos e duas

raízes reais. � ∆� ), intervalos apenas positivos ou apenas negativos e

uma raiz real. � ∆� ), intervalos apenas positivos ou apenas negativos.

Não existem raízes reais.

Exemplo 5 Faça o estudo do sinal das funções quadráticas a seguir.

a) ���� � � � 6� � 5

b) ���� � � � 4� � 4

c) ���� � 2� � 5� � 3

d) ���� � �� � 2� � 3

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Questão 1 Identifique os coeficientes a, b e c nas funções abaixo: a) ���� � � � 6� � 5 b) ���� � �3� � 6 c) ���� � 2� � � Questão 2 Determine as raízes das funções abaixo: a) ���� � 3� � 7� � 2 b) ���� � �3� � 6 c) ���� � � � 5� � 7 Questão 3 Uma das raízes da equação �� � -� � 3 � 0 é igual a 2. a) Qual é o valor de p? b) Qual é a outra raiz que essa equação possui? Questão 4 (UCDB-MT) Uma bola lançada para cima, verticalmente, tem sua altura . (em metros) dada em função do tempo / (em segundos) decorrido após o lançamento pela fórmula . � �5/ � 20/. Qual é a altura máxima atingida pela bola. Questão 5 (UnB-DF) O esboço do gráfico da função "�#� � �#% � 0 é: a) c)

b) d)

Questão 6 (FESP) Considere a função quadrática:

"�#� � �1 � 0�#% � 2# � 2.

a) Para que valores de m o gráfico da função tem concavidade voltada para baixo? b) Para que valo de m o gráfico da função tangencia o eixo das abscissas? Questão 7 (UF-MG) considere a equação:

3#% � 04# � 567%

� 00% O número de raízes reais distintas dessa equação é:

a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4

Questão 8 (PUCCAMP) Na figura a seguir tem-se representada a curva descrita por um projétil, desde o seu lançamento (ponto A) até que atinja o solo (ponto B). Se a curva descrita é a parábola de equação ( � �%#% � 8#, qual é à distância AB, em metros? Questão 9 Utilizando a equação de queda livre dos corpos fornecida por Galileu e conhecendo-se a velocidade média do som no ar, é possível determinar quanto tempo demora para se ouvir uma pedra atingindo o fundo de um poço desde o instante em que ela é largada. A equação que traduz o modelo matemático para essa situação é: Tempo de queda da pedra + tempo do som retornar = Tempo decorrido entre o instante em que a pedra é largada e aquele em que se ouve o som dela atingindo o fundo do poço. Desprezando a resistência do ar, o tempo de queda da pedra é dada pela equação

9 �: ∙ ;%

%

e o tempo do som retornar, pela equação

; �9

5%)

onde: < � 10=/? é a aceleração da gravidade; 320=/? é a velocidade do som no ar e @ é a profundidade do poço. Supondo que um poço esteja vazio e tenha profundidade de 80=, depois de quanto tempo após uma pedra ser largada é possível ouvir o som dela ao atingir o chão? Questão 10 Em um planeta de atmosfera rarefeita, um vulcão em erupção expele para fora de sua cratera uma pedra incandescente localizada 100 metros abaixo da superfície. Sabendo que a pedra demora 10 segundos para atingir a altura máxima de 400 metros e que sua trajetória é uma parábola, podemos afirmar que a pedra demora: a) 20 segundos para retornar à superfície e sua altura h em

função do tempo t é dada pela expressão h(t) = t 2 - 10t – 200. b) 15 segundos para retornar à superfície e sua altura h em

função do tempo t é dada pela expressão h(t) = -2t 2 + 20t + 150.

c) aproximadamente 18,94 segundos para retornar à superfície e sua altura h em função do tempo t é dada pela expressão h(t) = -t 2 + 20t – 20.

d) aproximadamente 18,94 segundos para retornar à superfície e sua altura h em função do tempo t é dada pela expressão h(t) = -5t 2 +100t – 100.

e) 17 segundos para retornar à superfície e sua altura h em função do tempo t é dada pela expressão h(t) = t 2 - 20t + 51.

Ao longo do tempo muitos homens conseguiram atingir o êxtase da criação.

A estes homens dá-se o nome de MATEMÁTICOS. (Autor desconhecido)