funções - conceitos básicos e exercícios

8/10/2019 Funes - Conceitos Bsicos e Exerccios

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Conceitos Bsicos

Mariana Dias Jlia Justino

Novembro 2010


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Contedo

1 Clculo Algbrico 1

1.1 Conjuntos de Nmeros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.1.1 Conjunto dos nmeros naturais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.1.2 Conjunto dos nmeros inteiros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.1.3 Conjunto dos nmeros racionais ou fraccionrios . . . . . . . . . . . . 11.1.4 Conjunto dos nmeros reais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2 Expresses Algbricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2.1 Polinmios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2.2 Fraces Algbricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.3 Equaes e Inequaes Algbricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.3.1 Equaes de 1o grau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.3.2 Equaes de 2o grau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.3.3 Equaes bi-quadradas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.3.4 Inequaes de 1o grau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.4 Equaes e Inequaes com Mdulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.5 Exerccios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.6 Solues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2 Geometria no Plano 36

2.1 Vectores no Plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362.2 Estudo da Recta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

2.2.1 Equaes da recta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382.3 Cnicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

2.3.1 Elipse e Circunferncia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

2.3.2 Parbola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 442.3.3 Hiprbole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 462.4 Exerccios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 482.5 Solues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

3 Funes Reais de Varivel Real 55

3.1 Definio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 553.2 Representao Grfica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 583.3 Transformaes do grfico de uma funo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 603.4 Propriedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

3.4.1 Classificao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 633.4.2 Paridade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 653.4.3 Funes peridicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 663.4.4 Sinal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 673.4.5 Monotonia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 683.4.6 Extremos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 713.4.7 Concavidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 723.4.8 Pontos de Inflexo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 733.4.9 Funo Limitada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

3.5 Operaes com Funes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74


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3.6 Funes Algbricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 793.6.1 Funo afim . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 793.6.2 Funo quadrtica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 813.6.3 Funo cbica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 853.6.4 Funo algbrica racional fraccionria . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

3.6.5 Funo algbrica irracional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 863.7 Exerccios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 873.8 Solues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

4 Complementos sobre Equaes e Inequaes Algbricas 107

4.1 Equaes Fraccionrias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1074.2 Inequaes de 2o grau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1074.3 Inequaes Fraccionrias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1084.4 Exerccios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1094.5 Solues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111


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1 Clculo Algbrico

1.1 Conjuntos de Nmeros

1.1.1 Conjunto dos nmeros naturais

N ={1,2,3,...} , onde N0 ={0,1,2,3,...} .

1.1.2 Conjunto dos nmeros inteiros

Z ={..., 2, 1,0,1,2,...} , onde Z+ ={1,2,...}= Ne Z0 ={..., 2, 1, 0} .

1.1.3 Conjunto dos nmeros racionais ou fraccionrios

Definio 1 Designa-se fraco expresso ab

onde a o numeradore b o denomi-nador. Se o numerador menor que o denominador, a fraco diz-seprpria(por exemplo23

, 14

, 35

);se o numerador maior ou igual ao denominador a fraco diz-se imprpria(por

exemplo 43 , 55 , 64 ); se o numerador mltiplo do denominador a fraco diz-seaparente(porexemplo 6

3, 12

6, 8

4).

Definio 2 Chamam-se fraces equivalentes s fraces que representam a mesmaparte do todo (por exemplo, 1

2, 2

4, 6

12 so equivalentes). Para encontrar fraces equiva-

lentes, basta multiplicar o numerador e o denominador por um mesmo nmero natural (porexemplo, 12

22 = 23

43 = 6

12so algumas fraces equivalentes a 1

2). Uma fraco pode ser sim-

plificada se se dividir ambos os termos da fraco pelo factor comum (por exemplo, 9:312 :3

= 34

uma fraco simplificada de 912

). Uma fraco que no possa ser simplificada, porque ostermos no possuem nenhum factor em comum, diz-se fraco irredutvel.

O conjunto dos nmeros racionais ou fraccionrios constitudo por nmeros quese podem escrever na forma de fraco em que o numerador e o denominador so nmerosinteiros tais que o denominador nunca se anula, ou seja,

Q =-a

b :a Ze b Z \ {0}

= {nos racionais} ,

ondenmeros racionaisso nmeros representveis por dzimas finitas ou dzimas infinitasperidicas.

Operaes com nmeros fraccionrios

Adio e subtraco

Denominadores iguais: Para somar ou subtrair fraces com denominadores iguais,basta somar ou subtrair os numeradores e conservar o denominador.

Exemplo 1 49

+ 29

= 69

= 23

; 56

16

= 46

= 23

.

Denominadores diferentes: Para somar ou subtrair fraces com denominadoresdiferentes, utiliza-se o mnimo mltiplo comum (m.m.c.) para obter fracesequivalentes, de denominadores iguais ao m.m.c. Depois soma-se ou subtrai-senormalmente as fraces.

Exemplo 2 45

+ 52

,onde o m.m.c.(5,2)=10. Logo, 45(2)

+ 52(5)

= 810

+ 2510

= 3310

.

1 N ove m b ro d e 2010


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Multiplicao: Na multiplicao de fraces, basta multiplicar numerador por nu-merador e denominador por denominador.

Exemplo 3 45

32

= 4352

= 1210

= 65

.

Diviso: Na diviso de fraces, deve-se multiplicar a primeira fraco pelo inversoda segunda.

Exemplo 4 45

32

= 45

23

= 815

.

Potenciao: Na potenciao, quando se eleva uma fraco a um determinado ex-poente, est-se a elevar o numerador e o denominador a esse expoente.

Exemplo 5 452

= 42

52 = 16

25.

Radiciao: Na radiciao, quando se aplica uma raz a uma fraco, est-se a aplicaressa raz ao numerador e ao denominador.

Exemplo 6

q 425

=

425

= 25

.

1.1.4 Conjunto dos nmeros reais

R = Q {nos irracionais} ,

onde osnmeros irracionais

so nmeros representveis por dzimas infi

nitas no peridi-cas, tais que R \ Q ={nos irracionais} .

Propriedade 1 .

1. R = Q (R \ Q);

2. N Z Q R, isto :R

Q

Z

N

R \ Q

Exemplo 7 3 = 31

= 3.0; 18

= 0.125; 211

= 0.181 8(18) so nmeros racionais e2= 1.414 2...; e= 2.718 2...; = 3.141 5...so nmeros irracionais.



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1.2 Expresses Algbricas

Definio 3 Umaexpressocom uma varivel diz-sealgbricaquando, sobre a varivel,no incidem outras operaes alm de adio, subtraco, multiplicao, diviso ou extracode raz.

Definio 4 Chama-sedomnio da expresso algbrica, e representa-se porD, ao con-junto dos nmeros que, substitudos no lugar da varivel, do sentido expresso.

Exemplo 8 A expresso algbrica 2x

tem como domnio D= R \ {0};a expresso algbricax + 3tem como domnio D= [3, +[ .

1.2.1 Polinmios

Definio 5 Chama-sepolinmiode graun numa varivelxa toda a expresso algbricade tipo:

anxn + an1x

n1 + . . . + a1x + a0

ondean, an1, . . . , a1, a0 Rean 6=0. Neste caso, an xn, an1xn1, . . . , a1x, a0 dizem-setermos do polinmio, an, an1, . . . , a1, a0 coeficientes e a0 diz-se o termo indepen-dente.

Definio 6 SejaP (x)um polinmio de graun.Diz-se que R umaraz real de PseP () =0.

Propriedade 2 Considerando um qualquer polinmio de grau2, ax2 +bx+c,as suas razesreais podem ser obtidas atravs da Frmula Resolvente:

=b

b2 4ac

2a ,

onde = b2 4ac designado por binmio discriminante.

Se

> 0, ento h duas razes reais e distintas=0, ento h uma raz real< 0, ento no h razes reais

.

Exemplo 9 Determine as razes reais deP (x) =x2 + 3x 4.

Resoluo: Usando a frmula resolvente, tem-se que

P (x) =0 x= 3324.1. (4)2.1

= 39+162

= 325

2 = 35

2

x= 1 x= 4.Logo, 4e1so as razes deP.

Observao 1 .

Qualquer polinmio de grauntem no mximo nrazes reais distintas;

Todo o polinmio de grau mpar tem pelo menos uma raz real.



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Definio 7 Doispolinmiosdizem-seidnticosse e s se so iguais os coeficientes dostermos do mesmo grau.

Definio 8 Denominam-se determos semelhantesaos termos do mesmo grau.

Definio 9 Um polinmio diz-secompletoquando existem todos os termos desde o termo

de maior grau at ao termo independente.Definio 10 Um polinmio com um s termo diz-semonmio, com dois termosbinmioe com trs termostrinmio.

Exemplo 10 O polinmio x2 +1 um binmio no completo de grau 2 que no admiterazes reais(< 0) .

Operaes com polinmios

Adio: Para adicionar dois polinmios, aplicam-se as propriedades comutativa eassociativa da adio e reduzem-se os termos semelhantes.

Exemplo 11

3x2 + x + 1

+

5x2 + 3

= 3x2 + x + 1 + 5x2 + 3 =

=

3x2 + 5x2

+ x + (1 + 3) =8x2 + x +4.

Subtraco: Para subtrair dois polinmios, adiciona-se ao aditivo o simtrico dosubtrativo.

Exemplo 12

3x2 + x + 1

5x2 3x

= 3x2 + x + 1 5x2 + 3x =

=

3x2 5x2

+ (x + 3x) + 1= 2x2 +4x + 1.

Multiplicao: Para calcular o produto de dois polinmios, aplica-se a propriedade

distributiva da multiplicao relativamente adio e, em seguida, adicionam-se ostermos semelhantes.

Exemplo 13

3x2 + x + 1

5x2 + 3

= 15x4 + 9x2 + 5x3 + 3x + 5x2 + 3 =

=15x4 + 5x3 + 14x2 + 3x + 3.

Casos Notveis: H produtos de polinmios que aparecem com muita frequn-cia com variadas aplicaes na Matemtica e que merecem especial ateno: oquadrado do binmio e a diferena de quadrados.Quadrado do Binmio - o quadrado do binmio obtm-se adicionando o quadradodo primeiro termo com o dobro do produto do primeiro pelo segundo e com oquadrado do segundo termo:

(a + b)2

=a2 + 2ab + b2.

a

a

b

b

2b

2a

ab

ab a

a

b

b

2b

2a

ab

ab

De notar que se os dois termos do binmio tm o mesmo sinal, o termo 2ab



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positivo e se tm sinais contrrios, o termo 2ab negativo. Logo,

(a b)2

=a2 2ab + b2.

Diferena de Quadrados- o produto de dois polinmios que s diferem no sinal

de um dos termos igual diferena dos quadrados dos termos:(a + b) (a b) =a2 b2.

a

b

b

2b

2 2a b

a

a

b

b

2b

2 2a b

a

Diviso: Efectuar a diviso inteira de um polinmio chamado dividendoD (x)de graun,por outro polinmio chamado divisord (x)de grau m,ondem < n, encontrar umpolinmio quociente q (x)de grau (n m)e um polinmio resto r (x)de grau < m,em que

D (x)| {z }dividendo

=d (x)|{z}divisor

q (x)|{z}quociente

+ r (x)|{z}resto

.

A este processo d-se o nome de Algoritmo da Diviso.

Exemplo 14 Calcule o quociente e o resto da diviso 3x4

4x33x+1x2

.

Resoluo:

3x4 4x3 +0x2 3x +1 x 2

3x4 +6x3 3x3 +2x2 +4x +5

2x3 +0x2 3x +1

2x3 +4x2

4x2 3x +1

4x2 +8x

5x +1

5x +10

11

Assim, q (x) =3x3 + 2x2 +4x + 5er (x) =11, ou seja,

D (x) =3x4 4x3 3x + 1= (x 2)

3x3 + 2x2 +4x + 5

+ 11.

Observao 2 Quando o polinmio r (x) nulo, ou seja, D (x) =d (x) q (x) ,entoa diviso inteira dos polinmios denominada exacta. Diz-se, neste caso, queD (x)divisvelpord (x) .



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Regra de Ruffini- serve para dividir um polinmio D (x)de grau npor um binmiode tipo (x ). Se D (x) = a0xn +a1xn1 +a2xn2 +. . .+an1x+an,a Regra deRuffini assume o seguinte aspecto:

a0 a1 a2 . . . an1 an

q0

q1

qn

2

qn

1a0 a1+ q0 a2+ q1 . . . an1+ qn2 an+ qn1k k k k k

q0 q1 q2 qn1 r (x)

Assim,D (x) = (x )

q0xn1 + q1x

n2 + . . . + qn1

+ r (x) .

Exemplo 15 Calcule o quociente e o resto da diviso 3x4

4x33x+1x2

.

Resoluo:3 4 0 3 1

2 6 4 8 103 2 4 5 11

Assim, q (x) =3x3 + 2x2 +4x + 5er (x) =11, ou seja,

D (x) =3x4 4x3 3x + 1= (x 2)

3x3 + 2x2 +4x + 5

+ 11.

Decomposio de polinmios em factores

Se um polinmio na varivelx, de graun, anxn + an1xn1 + . . . + a1x + a0admiten razesreais, 1, 2, . . . , n, pode escrever-se como um produto:

an(x

1) (x

2) . . . (x

n) , an 6=0.

Exemplo 16 Decomponha em factores do 1o grau os seguintes polinmios:

1. 2x2 12x + 10;

2. 2 (x 1)2 3 (x 1) .

Resoluo:

1. zeros: 2x2 12x + 10= 0

x= 12

144804

x= 1 x= 5.

Assim, 2x2

12x + 10= 2 (x

1) (x

5) .

2. 2 (x 1)2 3 (x 1) = (x 1) [2 (x 1) 3] = (x 1) (2x 5) .

Propriedade 3 Todo o polinmio P (x)com coeficientes reais pode ser representado comoproduto do coeficiente do termo de maior grau(an )por polinmios do 1o grau do tipo x (em que toma os valores das razes reais do polinmio) e polinmios de segundo grau dotipo x2 + bx + c,sem razes reais.

Exemplo 17 3x3 + 6x2 9x + 6= 3 (x 1)

x2 x + 2

um polinmio de grau3 com

uma nica raz real: = 1.



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Assim, para simplificar fraces algbricas, depois de factorizados o numerador e o deno-minador, dividem-se ambos os termos pelos factores comuns, no esquecendo o domnio emque a simplificao vlida.

Definio 13 Duasfraces P(x)Q(x)

e M(x)N(x)

soequivalentesse uma delas a simplificao

da outra.Exemplo 19 Simplifique as seguintes fraces algbricas, indicando os respectivos domnios:

1. x+2x2+4x+4

;

2. (x21)(x24)

(x1)(x+2)(x3).

Resoluo:

1. x+2x2+4x+4

= x+2(x+2)2

= 1x+2

,ondeD= R \ {2} .

2. (x21)(x24)(x1)(x+2)(x3) = (x

1)(x+1)(x

2)(x+2)

(x1)(x+2)(x3) = (x+1)(x2)

(x3) ,ondeD= R \ {2,1,3} .

Definio 14 Dadas as fraces P(x)Q(x)

e M(x)N(x)

tais queQ (x)6=0 eN (x)6=0, as expresses

P (x) N (x)

Q (x) N (x) e

M (x) Q (x)

N (x) Q (x)

so expresses algbricas equivalentes s dadas e com igual denominador. A Q (x) N (x)d-se o nome dedenominador comum.

Mtodo para determinar o Mnimo Denominador Comum

1. Factorizam-se os polinmios dos denominadores;

2. Multiplicam-se todos os factores diferentes;

3. Se existem factores com a mesma base, mas expoente diferente, considera-se o que temmaior expoente.

Operaes com Fraces Algbricas

Adio e subtraco: Para somar ou subtrair duas ou mais fraces algbricas,

devem-se reduzir todas ao mesmo denominador comum e s depois somar ou subtrairos polinmios.

P (x)

Q (x)

M (x)

N (x) =

P (x) N (x)

Q (x) N (x)

M (x) Q (x)

Q (x) N (x) =

P (x) N (x) M (x) Q (x)

Q (x) N (x) .

Multiplicao: Para multiplicar duas ou mais fraces algbricas, devem-se multi-plicar os polinmios dos numeradores entre si, e os denominadores entre si.

P (x)

Q (x)

M (x)

N (x) =

P (x) M (x)

Q (x) N (x).



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Diviso: O quociente de duas fraces algbricasfica definido atravs da multiplicaoda primeira fraco pelo inverso da segunda.

P (x)

Q (x)

M (x)

N (x) =

P (x)

Q (x)

N (x)

M (x) =

P (x) N (x)

Q (x) M (x).

Exemplo 20 Efectue os clculos e simplifique, indicando os respectivos domnios:

1. 2x+2

2x+1

;

2. x 2x+1x1

;

3. x2+3x

x24 x+2

x+3;

4. x+3x2

x2+1

x1.

Resoluo:

1. 2x+2 2x+1 = 2x+2(x+1) 2x+1(x+2) = 2(x+1)

2(x+2)(x+2)(x+1) = 2x+22x4(x+2)(x+1) =

2x2+3x+2 , ondeD= R \ {2, 1} .

2. x 2x+1x1

= x2

x2x1x1

= x2

3x1x1

,ondeD= R \ {1} .

3. x2+3x

x24 x+2

x+3 =

(x2+3x)(x+2)(x24)(x+3)

= x(x+3)(x+2)

(x2)(x+2)(x+3) = x

x2,ondeD= R \ {3, 2, 2} .

4. x+3x2

x2+1

x1 = x+3

x2 x1

x2+1 =

(x+3)(x1)

x2 (x2 +1) = x

2+2x3x4+x2

,ondeD= R \ {0, 1} .

1.3 Equaes e Inequaes Algbricas

Definio 15 A equao algbrica uma igualdade entre duas expresses matemti-cas que podem conter uma ou mais variveis (ou incgnitas) sujeitas a operaes algbri-cas (adio, subtrao, multiplicao, diviso e radiciao). Por exemplo, ax+ b = 0,x2 2x = 1, ax4 = bx. O objectivo obter o conjunto de todos os possveis valores quepodem assumir as incgnitas da equao. Toda a equao tem:

uma ou mais letras indicando valores desconhecidos, que so denominadas variveisou incgnitas;

um sinal de igualdade(=) ;

uma expresso esquerda da igualdade, denominada primeiro membro ou membro daesquerda;

uma expresso direita da igualdade, denominada segundo membro ou membro dadireita.

As expresses do 1o e 2o membros da equao chamam-se termos da equao.

3

incgnita%x +4

| {z }1o membro

= 10

|{z}2o membro



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Resolver uma equao significa obter o valor da incgnita ou das incgnitas, isto , obter asrazes da equao.Quando se adiciona (ou se subtrai) valores iguais em ambos os membros da equao, elapermanece em equilbrio. Da mesma forma, ao multiplicar ou dividir ambos os membros daequao por um valor no nulo, a equao permanece em equilbrio. este o processo que

permite resolver uma equao.

1.3.1 Equaes de 1o grau

Definio 16 Asequaes de 1o graucom uma varivel so da formamx + b= 0, comm, b R, m6=0.Exemplo 21 Resolva a seguinte equao algbrica3x +4= 10.

Resoluo:

3x +4= 10

Equao inicial

3x +4 4= 10 4 Subtramos ambos os membros por4 3x= 6 3x3

= 63 Dividimos ambos os membros por 3

x= 2 C.S.= {2} a soluo da equao.1.3.2 Equaes de 2o grau

Definio 17 Umaequao de 2o grauna incgnitax da formaax2 + bx + c= 0, ondeos nmerosa, becso os coeficientes da equao, sendo a6=0. Estas equaes podem sercompletas, se todos os coeficientes so diferentes de zero, ou incompletas, seb= 0 ouc= 0oub= c = 0.

Resoluo de equaes completas

Sabemos que uma equao completa de 2o grau uma equao do tipoax2 +bx+c= 0,ondetodos os coeficientes so diferentes de zero. Para a resolver, basta usar a frmula resolvente.

Exemplo 22 Resolva as seguintes equaes completas de 2o grau:

1. x2 6x + 8= 0;

2. x2 10x + 25= 0;

3. x2 + 2x + 7= 0.

Resoluo:

1. x2 6x + 8= 0 x= 636322

>0x= 6

4

2 x= 62

2 x= 4 x= 2, ou seja, a

equao tem duas razes reais, C.S.= {2, 4} .

2. x2 10x+ 25 = 0 x = 101001002

=0x = 60

2 x = 3, ou seja, a equao tem

uma raz real, C.S.= {3} .

3. x2 +2x+7 = 0 x= 24282


14/115

Resoluo de equaes incompletas

Equaes do tipo ax2 = 0Basta dividir toda a equao por a (a6=0)para se obter x2 = 0. Assim, a equaotem como conjunto soluo C.S.= {0} .

Equaes do tipo ax2+c = 0Basta dividir toda a equao por a (a6=0)e passar o termo constante para o segundomembro para se obter x2 = c

a.Se c

a < 0,no existe soluo no conjunto dos nmeros

reais; se ca

> 0,a equao tem duas razes, x = p

cax=

p

ca

,sendo o conjuntosoluoC.S.=

p

ca

,p

ca

.

Equaes do tipo ax2+bx = 0Neste caso, factorizando a equao, obtem-se x (ax + b) = 0. Assim, a equao terduas razes x= 0 x= b

a,sendo o conjunto soluo C.S.=

0, b

a

.

Exemplo 23 Resolva as seguintes equaes incompletas de 2o grau:

1. 4x2 =0;

2. 4x2 8= 0;

3. x2 + 5= 0;

4. 4x2 12x= 0.

Resoluo:

1. 4x2 =0

x2 =0

x= 0, ou seja, C.S.= {0} .

2. 4x2

8 = 0 4x2 = 8 x2 = 84 x2 = 2 x =

2 x = 2, ou seja,

C.S. =-

2,

2

.

3. x2 + 5= 0 x2 = 5equao impossvel, ou seja, C.S.=.4. 4x2 12x = 0 x (4x 12) = 0 x = 0 4x 12 = 0 x = 0 4x = 12 x= 0 x= 12

4 x= 0 x= 3, ou seja, C.S.= {0, 3} .

1.3.3 Equaes bi-quadradas

Definio 18 Asequaes bi-quadradasso equaes de 4o grau na incgnitaxde formageral ax4 +bx2 +c = 0. Na verdade, esta equao pode ser escrita como uma equao de2o grau, atravs da substituio y = x2, obtendo-se ay2 +by + c = 0. Para resolver estetipo de equao, aplica-se a frmula resolvente ltima equao e obtm-se as soluesy1e y2. O procedimento final deve ser cuidadoso, uma vez que as possveis solues serox2 =y1 x

2 =y2 e sey1 ouy2 for negativo, estas no existiro parax.

Exemplo 24 Resolva as seguintes equaes bi-quadradas:

1. x4 5x2 36= 0;

2. x4 + 13x2 + 36= 0.



15/115

Resoluo:

1. x4 5x2 36= 0y=x2

y2 5y 36= 0 y= 525+1442 y= 5169

2 y= 513

2

y= 9 y= 4,ou seja, x2 =9 x2 = 4

|{z}impossvel x= 3 x= 3.

Logo, C.S.= {3, 3} .

2. x4 +13x2 +36 = 0y=x2

y2 +13y+ 36 = 0 y = 131691442 y = 1325

2

y= 1352 y= 9 y= 4,ou seja, x2 = 9|{z }

impossvel

x2 = 4| {z }impossvel

.

Logo, C.S.=.Definio 19 Relacionadas com as equaes algbricas, existem as chamadasinequaesalgbricas(oudesigualdades algbricas), que so sentenas matemticas com uma ou

mais variveis (ou incgnitas) em que os termos esto ligados por um dos quatros seguintessinais de desigualdades: < (menor); > (maior); (menor ou igual); (maior ou igual).Nas inequaes, o objectivo obter o conjunto de todos os possveis valores que podem assumiras incgnitas da equao.

1.3.4 Inequaes de 1o grau

Definio 20 Asinequaes de 1o graucom uma varivel podem ser escritas numa dasseguintes formas: mx+b < 0, mx+b > 0, mx+b0oumx+b0,comm, bR,m6=0.

Exemplo 25 Resolva as seguintes inequaes algbricas de 1o grau:

1. 2x 70;2. 3

5x + 7

2 < 0.

Resoluo:

1. 2x 70 2x7 x 72

. Logo, C.S.=

72

, + .2. 3

5x + 7

2 < 0 3

5x < 7

2 x > 72

35

x > 356. Logo, C.S.=

356

, +

.

1.4 Equaes e Inequaes com Mdulos

Definio 21 Omdulo(ouvalor absoluto) de um nmero realx,que se indica por |x|, definido por:

|x|=

x , x0x , x < 0

.

Isto , sex positivo ou zero,|x| igual ao prprio x (por exemplo, |2|= 2), sex negativo,|x| igual ax(por exemplo, |2|= 2).Geometricamente, o mdulo de um nmero realx igual distncia do ponto que o nmeroxrepresenta na recta real ao ponto 0de origem. Assim:



16/115

Se |x| < a (com a > 0) significa que a distncia entre x e a origem menor que a,isto , xdeve estar entreaea,ou seja, |x|< a a < x < a.

a aa a

Se|x|> a(coma > 0) significa que a distncia entrex e a origem maior quea, isto,x deve estar direita dea ou esquerda de a,ou seja, |x|> a x > ax < a.

a aa a

Definio 22 Toda a equao que contiver a incgnita em um mdulo num dos membrosser chamadaequao com mdulos.

Exemplo 26 Resolva as seguintes equaes com mdulos:

1.

x2 5x= 6;

2. |x 6|= |3 2x| .

Resoluo:

1.

x2 5x

= 6 x2 5x= 6 x2 5x= 6 x2 5x 6= 0 x2 5x + 6= 0 x= 1 x= 6 x= 2 x= 3.Logo, C.S.= {1,2,3,6} .

2. |x 6| = |3 2x| x 6 = 3 2x x 6 = (3 2x) x+ 2x = 3+ 6 x 2x = 3+ 6 3x = 9 x = 3 x = 3 x = 3.Logo, C.S.= {3, 3} .

Definio 23 Chama-seinequao com mdulosa uma inequao em que a incgnitaest contida num mdulo.

Exemplo 27 Resolva as seguintes inequaes com mdulos:

1. |2x + 6|< 2;

2. |2x + 3|4.Resoluo:

1. |2x + 6| < 2 2x + 6 < 2 2x + 6 > 2 2 x < 2 6 2x > 2 6 2x < 4 2x > 8 x < 4

2 x > 8

2 x < 2 x > 4.

Logo, C.S.= ]4, 2[ .



17/115

2. |2x + 3| 4 2x+ 3 4 2x + 3 4 2x 1 2x 7 x 1

2 x 7

2.

Logo, C.S.=

, 12

72

, + .Observao 3 Considerando os nmeros reaisxey, tem-se por definio, quex= y y2 = x e y0. Da pode-se concluir quex2 = x s verdadeiro sex 0.Sex < 0,por exemplo x = 3, teramos

q(3)

2 6= 3. Assim, usando a definio de mdulo, pode

escrever-se

x2 =|x| ,x R.De uma forma mais geral:

n

xn =

|x| ,x Renpar

x ,x Renmpar .



18/115

1.5 Exerccios Propostos

Exerccio 1 Efectue as seguintes operaes e simplifique o resultado:

1. 12

43

;

2. 2

3 h3

22

+ 13i

;

3.q

94

52

;

4. 910

25

;

5.

47

4;

6. 22 12

;

7.14

16;

8. 56

25

62

16

.

Exerccio 2 Indique, justificando, quais dos seguintes nmeros reais so racionais ou irra-cionais:

1.

5;

2. 0;

3. ln 2;

4. 1. (3) ;

5. 0.75;

6. 0.14285714. . . .

Exerccio 3 Indique o domnio das seguintes expresses algbricas:

1. 2+x2

x1 ;

2.

x + 5;

3. 132x ;

4. 2x+1x2+1

;

5. x3x

.

Exerccio 4 Do polinmio 3x5 x10 + 7 x2 indique:

1. o termo independente;

2. o coeficiente do termo de grau 2;

3. o grau do polinmio.



19/115

Exerccio 5Qual o grau de cada um dos seguintes polinmios?

1. 5x2 3x;

2. 0x + 3;

3. 0x2 + 0x + 0.

Exerccio 6Dado o polinmio 5x2 3x4 + x3 + 1,

1. ordene-o segundo as potncias crescentes dex;

2. indique o seu grau e justifique se completo ou incompleto.

Exerccio 7Considere o polinmio 5x3 x4 + 23

x2 5x.

1. Ordene-o segundo as potncias decrescentes dex.

2. um polinmio completo ou incompleto? Porqu?

Exerccio 8D um exemplo de um polinmio do 1o grau:

1. completo;

2. incompleto.

Exerccio 9 Averigue se os polinmios seguintes admitem as razes1, 1e2:

1. x3 + 1;

2. x3 2x2 x + 2;

3. x3 2x2 3x.

Exerccio 10 Determine as razes reais dos seguintes polinmios:

1. 2x 1;

2. x2 + x;

3. x2 2x + 1;

4. x2 + x 2;

5. x2 x + 1.

Exerccio 11 Escreva na forma de polinmio a soma dos seguintes pares de polinmios:

1. x2 2x3 + x + 3 e 3x x4 4x2;

2. x2 12

+ 23

x3 e 3x 12

x2 + 13

x3;

3. x4 1 e x3 + 3x.



20/115

Exerccio 12Considere os polinmiosP (x) =5x 32

x2 eQ (x) = 12

x2 x+2x3 1.Calcule:

1. a sua soma;

2. a soma deP (x)com o simtrico deQ (x) .

Exerccio 13 Sendo M (x) = 5x4

3x+ 1 e N (x) = 3x4

2x2

+x3

2x+ 3, defina naforma de polinmio:

1. M (x) N (x) ;

2. N (x) M (x) .

Exerccio 14 Dados os polinmios R (x) = 3x x2 + 3, S (x) = x3 2x + 5 eT(x) =2x2 2x3 + 5 x,calcule:

1. R + S + T;

2. R (S + T) ;

3. R S + T.

Exerccio 15 Considere os polinmios A (x) = x2 2x+ 1, B (x) = 3x2 + 2x+ 1 eC (x) =x3 2x + 1.Calcule:

1. A 3B +4C;

2. (C A)2 3 (A B) ;

3. (3A + B)2 2C;

4. C2 A2.

Exerccio 16Escreva na forma de polinmio:

1.

x2 + 2 4x

(3x 2) ;

2. (x 3) (x + 2) (2x + 2)2 ;

3.

4x2 3x

23

x + 1

. (4x 1) ;

4. (2x + 1) (x 1) (x +4) (x 2) .

Exerccio 17 Sendo A (x) =x2

+ 1

2x, B (x) =3x + 1eC (x) =2

x

2

,verifique que:1. A.B= B.A;

2. (A.B) .C= A. (B.C) .

Exerccio 18Dados os polinmiosM= 3x2 1, N= x + 2eP= 2x + 3, calcule:

1. M N + 2P;

2. M N + P2;

3. (M + N)2 (M + P) .



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Exerccio 19 Calcule os nmeros reais a e b de modo que a expresso designatriax2 2ax + bse transforme num polinmio equivalente expresso (x 1) (x + 3) .

Exerccio 20 Usando o algoritmo da diviso, calcule o quociente e o resto da diviso de:

1. 4x2

3x + 1porx + 1;2. 1

2x2 3x3 + 2xpor3x 2;

3. 4x3 3x2 + 13x + x5 porx2 2x + 3;

4. 3x4 3 x2 porx 2;

5. 3x2 x3 + 2por2x x2 + 1;

6. x3 1porx + 1;

7. 3x + 2porx + 1;

8. x2 5x + 1porx3 + 2;

9. x4 23

x3 + 3x2 + 2x 1porx3 2x;

10. 12

x3 + 2x2 22x + 1por 13

x + 3.

Exerccio 21 Complete:

4x3 4x2 2x

+9

10x2

2

Exerccio 22 Usando a regra de Ruffini, calcule o quociente e o resto da diviso de:

1. x4 x2 3x + 1porx + 3;

2. 18

x2 + 12

x4 3x + 1por2x + 1;

3. 3x2 5x +4porx 2;

4. x4 x3 + 1porx + 2;

5. 2x + 8x3 1porx + 12

.

Exerccio 23Mostre quex5 + 1 divisvel porx + 1.

Exerccio 24 Mostre quex3 4x2 11x+30 divisvel porx 2e determine as suas outrasrazes.



22/115

Exerccio 25 Determine o valor demde modo que o polinmio x3 mx + 1seja divisvelporx 1.

Exerccio 26 Escreva o polinmio de 2o grau que admite razes1e2e dividido porx+1d resto 3.

Exerccio 27Calcule o resto da diviso dexn + 1, n N,porx + 1se:1. n par;

2. n mpar.

Exerccio 28Utilize a regra de Ruffini para efectuar as seguintes divises:

1. 4x3 3por2x 1;

2. 3x4 + x2 + 1por3x + 2;

3. 8x2 5x + 3por4x + 1.

Exerccio 29Calcule o parmetro realkde modo que seja2o resto da diviso do polinmiox4 x2 + kx + 2porx 1.

Exerccio 30Dados os polinmiosA (x) =x2 3x + 2eB (x) =x2 2x + 5.

1. Determine R, de modo queA (x)eB (x)divididos porx dm restos iguais;2. Indique o resto comum da alnea anterior.

Exerccio 31 Sem efectuar a diviso, verifique que o polinmioP (x) =x3 7x+6 divisvel

porx 2e porx + 3.

Exerccio 32Considere o polinmio x3 + 8x2 7.

1. Verifique que o polinmio divisvel porx + 1;

2. Aproveite o resultado anterior para decompor o polinmio num produto.

Exerccio 33Para cada valor naturaln, a expresso(x + 5)2n +(x + 6)n 1representa umpolinmio emxde coeficientes reais. Prove que esse polinmio divisvel por(x + 6) (x + 5).

Exerccio 34 Factorize:

1. 25x2 16;

2. 4x2 + 6x;

3. x2 x + 14

;

4. 2x3 + x2 + x;

5. 5t3 +4t2 t;

6. 8x3 + 1.



23/115

Exerccio 35 Decomponha em factores o mais elementares possvel os polinmios:

1. 3x2 21x + 18;

2. x5 5x3 +4xsabendo que admite as razes1e2;

3. 36x4 13x2 + 1sabendo que divisvel porx2 14 ;

4. x3 + 5x2 + 8x +4sabendo que admite a raz2.

Exerccio 36Para todo o kR, a expresso 2x2 3x+ktransforma-se num polinmiodo 2o grau.

1. Calculekde modo que o polinmio admita2como zero;

2. Substituakpelo valor encontrado e factorize o polinmio.

Exerccio 37Determine o polinmio do 2o

grau que admite como zero nico o nmero

3e que dividido porx + 2d resto igual a5.

Exerccio 38Considere2x3 x2 + ax + b, coma, b R.

1. Calculeaebde modo que o polinmio seja divisvel por(x 1) (x 2) .

2. Para os valores encontrados determine o terceiro zero do polinmio e factorize.

Exerccio 39SejaA (x)um polinmio emx: A (x) =x3 6x2 + 11x 6.

1. DetermineB (x)tal queA (x) = (x 1) .B (x) .

2. EscrevaA (x)como um produto de factores do 1o grau.

Exerccio 40Considere o polinmio P (x) =4x5 + 8x4 + x3 5x2 x + 1.

1. Verifique que1 zero triplo deP (x).

2. Factorize o polinmio.

Exerccio 41 Calculea e bpertencentes aR de modo que para todo o valor real de x setenhax2 + ax + 1= (x b)2 .

Exerccio 42Determinek, mende modo que sejam equivalentes as expresses4x2 +mx+n

e(x 1)2 + kx2.

Exerccio 43 Determine os nmeros reaisa, becde modo que:

(x a)2

+ (y b)2

c2 =x2 +y2 4x + 6y 3.

Exerccio 44 Considere o polinmio P (x) =6x3 7x2 16x + c,ondec R.Sabendo que2 raz deP, determine o valor dece as restantes razes deP.



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Exerccio 45Para cada valor real de m, a expresso 2x4 +mx3 + (m+ 20) x2 4 umpolinmio emx.

1. Determine o valor dempara o qual o polinmio divisvel porx 1.

2. Considere o valormobtido na alnea anterior e prove que2 uma raiz de multiplici-dade2desse polinmio. Factorize.

Exerccio 46Determineaebde modo quex32x2+ax+bseja divisvel por(x 3) (x + 1) .

Exerccio 47Calculem Rde modo que4x2 + 12x + mseja equivalente ao quadrado deum polinmio.

Exerccio 48Calcule os zeros do polinmio P (x)sabendo queP (y 1) =y2 5y + 6.

Exerccio 49Determine o domnio, emR, de cada uma das seguintes expresses:

1. 1 + 3x1 ;

2. 2x1

+ 2x+3

;

3. x2(x3)(x2+7x+12)

;

4. x2

4x2+x

;

5. 3xx2+4

;

6. 2x2x+3

.

Exerccio 50 Simplifique as fraces, indicando o respectivo domnio:

1. 2x2

22x2

;

2. (3x+3)(x2 +2)

2x2+4 ;

3. x2

xx22x+1

;

4. x4

9x2+3

;

5. x2

x

22x3+2x2;

6. x2

4x2+2x

;

7. 3x123x215x+12

;

8. x2

2x3x32x2x+2

;

9. x3

7x2+3x+32x33x2+x

;

10. x4

5x2+4x416

.



25/115


26/115

3. x2

2515x

: x2+10x+25

9x2 ;

4. x2+4x+3

x25x+4 : x+3

x4.

Exerccio 57 Efectue as operaes, simplifique o mais possvel e indique o domnio de va-lidade:

1. 2x

2x2

;

2. x1x21

+ x2

1x+1

+ 3xx1

;

3. x1x21

x2

1x+1

3xx1

;

4. x2

4x+2

x3 +3x

x(x+1) 5x

x24;

5. x2

92x

x2+6x+9

4x2 ;

6.4

x 12

x2

x2

16;

7. x x

x+1x

x1+x

.

Exerccio 58Transforme numa fraco racional irredutvel equivalente cada uma das ex-presses racionais seguintes e determine o domnio:

1.

2 + 7x24

:

1 3x+2

;

2.

2y+3

+ 2y3

y29

y2

;

3. 11+a

3

+ 1

1+

2

a+1

+ 1

1+

1

a+2

;

4.8

(x3)(x29)+ 1

x29+ 1

x26x+9

(1+ 7x3)2 .

Exerccio 59 Simplifique as fraces e determine o domnio:

1. x2

y2

x2+2xy +y2;

2. 2a2b4ab2

a24ab +4b2.

Exerccio 60Efectue as operaes seguintes e simplifique o resultado. Indique os domniosde validade:

1.

1x

xx2+xy

y

(x+y)2

: y

(x+y)2;

2. a2

6ab +9b2

4c2 2ac

2+6bc2

a29b2 .

Exerccio 61 Resolva as seguintes equaes algbricas:

1. 2x +4= 2;

2. 6 x= 2;

3. 1 6x= 1;



27/115

4. 3x2 =0;

5. x2 4x + 3= 0;

6. x2 3x= 4;

7. x2

2x +4= 0;8. 3x2 + 5x= 8;

9. x2 + 2x + 1= 0;

10. x2 + 6x + 9= 0;

11. x2 1= 0;

12. 2x2 + 5= 0;

13. 9x2 18= 0;

14. x2 + 8x= 0;

15. 4x2 + 6x= 0;

16. 4x2 4x= 1;

17. x4 2x2 8= 0;

18. x4 13x2 + 36= 0;

19. (3x + 1) (2x 5) =0;

20.x2 1 (4 3x) =0;

21.

x3 2x2 + x

x2 + 25

= 0;

22. (x 1)2 (2x 3)2 =0.

Exerccio 62 Resolva os seguintes sistemas de equaes:

1.

x +y= 1

2x +y= 3 ;

2.

x +y 12= 0

x2 +y2 =80 ;

3. x2 +y2 2x= 0

x2 +y2 8x + 12= 0 .

Exerccio 63 Resolva cada uma das seguintes inequaes:

1. 4x 1 5;2. 2x 1

2 < 0;

3. 6 2x2;4. x 5 > 1

2.



28/115


29/115

1.6 Solues

Soluo 1 .

1. 56

.

2. 3118 .

3. 35

.

4. 94

.

5. 17

.

6. 8.

7. 116

.

8. 30.

Soluo 2 .

1. no irracional.

2. no racional.

3. no irracional.

4. no racional.

5. no racional.

6. no irracional.

Soluo 3 .

1. D= R \ {1} .

2. D= [5, +[ .3. D= R \ {2} .

4. D= R.

5. D= R+.

Soluo 4 .

1. 7.

2. 1.

3. 10.



30/115

Soluo 5 .

1. 2.

2. 0.

3. Indeterminado.

Soluo 6 .

1. 1 + 5x2 + x3 3x4.

2. 4; incompleto (falta o termo de grau1).

Soluo 7 .

1. x4 5x3 + 23

x2 5x.

2. incompleto (falta o termo independente).

Soluo 8 .

1. 1 + x.

2. x.

Soluo 9 .

1. Admite a raz1.

2. Admite as razes1, 1e2.

3. Admite a raz1.

Soluo 10 .

1. = 12

.

2. 1 = 1e 2 =0.

3. = 1.

4. 1 = 2e 2 =1.

5. 1 = 1

52

e 2 = 1+

52

.

Soluo 11 .

1. x4 2x3 3x2 +4x + 3.

2. x3 + 12

x2 + 3x 12

.

3. x4 + x3 + 3x 1.



31/115

Soluo 12 .

1. 2x3 x2 +4x 1.

2. 2x3 2x2 + 6x + 1.

Soluo 13 .

1. 2x4 x3 + 2x2 x 2.

2. 2x4 + x3 2x2 + x + 2.

Soluo 14 .

1. x3 + x2 + 13.

2. x3 3x2 + 6x 7.

3. 3x3 + x2 +4x + 3.

Soluo 15 .

1. 4x3 + 10x2 16x + 2.

2. x6 2x5 + x4 12x2 + 12x.

3. 2x3 + 16x2 28x + 14.

4. x6 5x4 + 6x3 2x2.

Soluo 16 .

1. 3x3 14x2 + 14x 4.

2. 3x2 9x 10.

3. 8x3 14x2 + 3x.

4. x2 3x + 7.

Soluo 17 .

1. -

2. -

Soluo 18 .

1. 3x2 + 3x + 3.

2. 3x3 + 10x2 + 11x + 7.

3. 9x4 + 6x3 +4x2 1.



32/115

Soluo 19 a= 1eb= 3.

Soluo 20 .

1. q (x) =4x 7er (x) =8.

2. q (x) = x2 12 x + 13 er (x) = 23 .

3. q (x) =x3 + 2x2 + 5x + 1er (x) = 3.

4. q (x) =3x3 + 6x2 + 11x + 22er (x) =41.

5. q (x) =x 5er (x) = 11x + 7.

6. q (x) =x2 x + 1er (x) = 2.

7. q (x) =3 er (x) = 1.

8. q (x) =0 er (x) =x2

5x + 1.

9. q (x) =x 23 er (x) =5x2 + 2

3x 1.

10. q (x) = 32

x2 152

x + 32 er (x) = 7

2.

Soluo 21 .4x3 4x2 3x 25 2x 3

4x3 6x2 2x2 5x +9

10x2

10x2 15x

18x 2518x 27

2

Soluo 22 .

1. q (x) =x3 3x2 + 8x 27er (x) =82.

2. q (x) = x3

4

x2

8

32

er (x) = 52

.

3. q (x) =3x + 1er (x) =6.

4. q (x) =x3 3x2 + 6x 12er (x) =25.

5. q (x) =8x2 4xer (x) = 1.

Soluo 23 -

Soluo 24 1 = 3e 2 =5.

Soluo 25 m= 2.

Soluo 26 12

x2 32

x + 1.



33/115

Soluo 27 .

1. 2.

2. 0.

Soluo 28 .1. q (x) =2x2 + x + 1

2 er (x) = 5

2.

2. q (x) =x3 23

x2 + 79

x 1427

er (x) = 5527

.

3. q (x) =2x 74

er (x) = 194

.

Soluo 29 k= 0.

Soluo 30 .

1.

=

3.2. 20.

Soluo 31 -

Soluo 32 .

1. -

2. (x + 1)

x2 + 7x 7

= (x + 1)

x 7

772

x 7+

77

2

.

Soluo 33 -

Soluo 34 .

1. (5x 4) (5x +4) .

2. 2x(2x + 3).

3.

x 12

2.

4. 2x

x + 12

(x 1) .

5. 5t (t + 1) t 15 .6.

x + 12

8x2 4x + 2

.

Soluo 35 .

1. 3 (x 1) (x 6) .

2. x (x 1) (x + 2) (x 2) (x + 1) .

3. 4

x 12

x + 1

2

(3x 1) (3x + 1) .

4. (x + 1) (x + 2)2 .



34/115

Soluo 36 .

1. k= 2.

2. 2 (x 2)

x + 1

2

.

Soluo 37 5x2 + 30x +45.

Soluo 38 .

1. a= 11eb= 10.

2. 52

; 2

x + 52

(x 1) (x 2) .

Soluo 39 .

1. B (x) =x2 5x + 6.

2. A (x) = (x 1) (x 2) (x 3) .

Soluo 40 .

1. -

2. 4 (x + 1)3

x 12

2.

Soluo 41 a= 2eb= 1 oua= 2 eb= 1.

Soluo 42 k= 3, m= 2en= 1.

Soluo 43 a= 2, b= 3ec= 4.

Soluo 44 c= 12, 1 = 32 e 2 = 23 .

Soluo 45 .

1. m= 9.

2. (x 1) (x 2)2 (2x + 1) .

Soluo 46 a= 3eb= 0.

Soluo 47 m= 9.

Soluo 48 1e2.

Soluo 49 .1. D= R\ {1} .

2. D= R\ {3, 1} .

3. D= R\ {4, 3, 3} .

4. D= R\ {1, 0} .

5. D= R.

6. D= R.



35/115

Soluo 50 .

1. x + 1, D= R \ {1} .

2. 3(x+1)2

, D= R.

3. xx1 , D= R \ {1} .

4. x2 3, D= R.

5. x22x2

, D= R \ {1, 0} .

6. x2x

, D= R\ {2, 0} .

7. 1x1

, D= R\ {1, 4} .

8. x3(x1)(x2)

, D= R\ {1,1,2} .

9. x2

6x3x(2x1)

, D= R\0, 12

, 1 .10. (x1)(x+1)

x2 +4 , D= R\ {2, 2} .

Soluo 51 .

1. DA = R \ {2} , DB = R \ {1, 0}eDC = R \ {2} .

2. A + B= 4x3+x24x+8

x(x+1)(x2) , ABC= 3 e (

CB)

x+A = x+1

(x+2)2.

Soluo 52 .

1. 4+9y6y

, D= R\ {0} .

2. 52x2x2

2x2 , D= R\ {0} .

3. 2a2+8a+912a2

, D= R\{0} .

Soluo 53 .

1. x+1x+2

, D= R\ {2, 2} .

2. x1x+1

, D= R\ {1, 0} .

3. 6x+112x+3

, D= R\

32

, 2

.

Soluo 54 .

1. A= 1 eB= 2.

2. A= B = 1.



36/115

Soluo 55 .

1. 2x2

2xx+3

, D= R\ {3} .

2. 3x3x2

2x6 , D= R\{3} .

3. x21x2+6x+9 , D= R\ {3} .

4. 15x2

, D= R\ {0} .

5. x(x+2)3x

, D= R\ {3,2,3} .

6. 22xx(x+1)

, D= R\ {1, 0} .

7. x2 4, D= R\ {2, 2} .

Soluo 56 .

1. 3x2+3x

2 , D= R\ {1} .

2. 3x2

3x3

, D= R\ {0} .

3. 3x2

15x5x+25

, D= R\ {5, 0} .

4. x+1x1

, D= R\{3,1,4} .

Soluo 57 .

1. 4x2

2x

, D= R \ {0, 2} .

2. x(x2+2x+3)

x21 , D= R \ {1, 1} .

3. 3xx+1

, D= R \ {1, 1} .

4. 5x(x2+3)(x+1)(x+2)

, D= R \ {2, 1,0,2} .

5. 2x(x3)x+3

, D= R \ {3, 0} .

6. x4x+4

, D= R \ {4, 0, 4} .

7. x1x+1

, D= R \ {1,0,1} .

Soluo 58 .

1. 2x2

1x23x+2

, D= R\ {2,1,2} .

2. 4y

, D= R\ {3,0,3} .

3. 2, D= R\ {3, 2, 1} .

4. 2x2+7x+12

, D= R\ {4, 3, 3} .



37/115

Soluo 59 .

1. xyx+y

, D=

(x, y) R2 :y 6= x .2. 2ab

a2b, D=

(a, b) R2 :a 6=2b

.

Soluo 60 .

1. yx

, D=

(x, y) R2 :x 6=0 x +y6=0 .2. a3b

2 , D=

(a,b,c) R3 :c 6=0 a 3b6=0 a + 3b6=0 .

Soluo 61 .

1. C.S.= {1} .

2. C.S.= {4} .

3. C.S.=1

3

.

4. C.S.= {0} .

5. C.S.= {1, 3} .

6. C.S.= {1, 4} .

7. C.S.=.8. C.S.=

.

9. C.S.= {1} .

10. C.S.= {3} .

11. C.S.= {1, 1} .

12. C.S.=.13. C.S.=

-

2,

2

.

14. C.S.= {0, 8} .

15. C.S.=

32

, 0

.

16. C.S.=

12

.

17. C.S.= {2, 2} .

18. C.S.= {3, 2,2,3} .

19. C.S.=

13

, 52

.

20. C.S.=

1,1, 4

3.



38/115

21. C.S.= {0, 1} .

22. C.S.=

43

, 2

.

Soluo 62 .

1. C.S.= {(2, 1)} .

2. C.S.= {(4, 8) , (8, 4)} .

3. C.S.= {(2, 0)} .

Soluo 63 .

1. C.S.= [1, +[ .2. C.S.=

, 14 .

3. C.S.= [2, +[ .4. C.S.=

, 11

2

.

Soluo 64 .

1. C.S.=

132

, 272

.

2. C.S.= {0, 1} .

3. C.S.= 32 .

4. C.S.= ], 2] [6, +[ .5. C.S.= R.

6. C.S.= [3, +[ .7. C.S.= ]1, +[ .



39/115

2 Geometria no Plano

2.1 Vectores no Plano

Definio 24 O referencial cartesiano ortogonalassociado a um plano constituidopor dois eixos perpendiculares entre si que se cruzam na origem. Ao eixo horizontal d-se o nome de eixo das abscissas(eixo xx ou eixo OX), onde representada a varivelindependente x. Ao eixo vertical d-se o nome deeixo das ordenadas(eixo yy ou eixoOY), onde representada a varivel dependente y. A cada um dos eixos est associado oconjunto de todos os nmeros reais (R). Os dois eixos dividem o plano em quatro regiesdenominadasquadrantes, cujos os nomes so indicados no sentido anti-horrio.Define-seponto do plano como sendo um par ordenado de nmeros reais, P = (x, y), emque a 1a coordenada se designa deabscissae a 2a coordenada se designa deordenada.

0 x

y

Eixo das Abscissas

Eixo das Ordenadas

1 Quadrante2 Quadrante


1 2-2 -1

1

2

-2

-1

P = (2,1)

0 x

y

Eixo das Abscissas

Eixo das Ordenadas



1 2-2 -1

1

2

-2

-1

P = (2,1)

Figura 1: Referencial cartesiano ortogonal

Definio 25 Umvectoru um ente matemtico que representa um movimento ou umafora, sendo caracterizado por uma direco, um sentido e um comprimento. Este re-presentado no plano atravs de um segmento de recta orientado

OP com origem no ponto

O= (0, 0)e com extremidade no ponto P= (x, y) ,ou seja,u =OP.

x

y

P=(x,y)

O=(0,0)

ur

x

y

P=(x,y)

O=(0,0)

ur

Definio 26 Um vector que tenha comprimento 1 denominado vector unitrio.

Definio 27 Umreferencial(0,e , f) diz-seortonormado(o.n.) se os vectorese ef forem perpendiculares e unitrios.

O

y

x

fur

er

ur

1u

2u

O

y

x

fur

er

ur

1u

2u

Neste referencial as coordenadas de um vectoru so (u1, u2) , sendo este definido poru =u1e +u2f ,ondeu1e eu2f so as suascomponentes.Definio 28 Considerando um referencial ortonormado dum plano e dois pontosA = (a1, a2) e B = (b1, b2), o vector

AB definido pela diferena entre os dois pontos,

isto AB= B A= (b1 a1, b2 a2) .



40/115

Definio 29 O comprimento de um vectoru = (u1, u2) num referencial o.n. pode serobtido atravs danormadeu ,que dada por:

u

=

qu21+ u

22.

Definio 30 Sejau = (u1, u2)um vector qualquer num referencial o.n.. Define-seversordeu como sendo o vector unitrio com direco e sentido deudado por:

versu =

u1pu21+ u

22

, u2pu21+ u

22

!.

Definio 31 Considerando um referencial ortonormado dum plano e dois pontosP1 = (x1, y1)eP2 = (x2, y2), adistncia de P1 a P2 dada por:

d (P1, P2) = P1P2 = q(x2 x1)2

+ (y2 y1)2

.

Definio 32 Considerando um referencial ortonormado dum plano e dois pontosP1 = (x1, y1) eP2 = (x2, y2) , define-se ponto mdio Mdo segmento de recta P1P2 comosendo o ponto cujas coordenadas so as mdias das coordenadas correspondentes aos pontosP1 eP2, isto :

M=

x1+ x2

2 ,

y1+ y2

2

.

Definio 33 Considerando um referencial ortonormado dum plano, um ponto A = (x1, y1)e um vector

u = (u1, u2) ,asoma do ponto A com o vector

u o ponto Bdado por:

B= A +u = (x1+ u1, y1+ u2) .

O

y

x

ur

1u

2u

1x

1y A

B

O

y

x

ur

1u

2u

1x

1y A

B

Definio 34 Considerando um referencial ortonormado dum plano e dois vectoresu = (u1, u2)ev = (v1, v2) ,asomadestesvectores o vector:u +v = (u1+ v1, u2 + v2) .

O

y

x

ur

vr

u v+r r

O

y

x

ur

vr

u v+r r

Definio 35 Considerando um referencial ortonormado dum plano e o vectoru = (u1, u2) ,o produto do nmero realk6=0 pelo vectoru um vector dado por:

ku = (ku1, ku2) .



41/115

Este vector tem a direco deu, sentido deu sek > 0,sentido contrrio sek < 0tal queku= |k| u .Sek= 0 ouu =0 , ento ku =0 .

O

y

x

ur

kur

O

y

x

ur

kur

Definio 36 Seu ev so dois vectores no nulos, o produto internodos vectores :u|v = u v cosu^v , ondeu^v = ^ u ,v [0o, 90o] .

Seu =0 ouv =0 , entou|v =0.Num referencial o.n., conhecidas as coordenadas dos vectoresu = (u1, u2)ev = (v1, v2)tem-se: u|v =u1v1+ u2v2.E neste caso,

cosu^v = u1v1+ u2v2u v , 0u^v90o.

2.2 Estudo da Recta

2.2.1 Equaes da recta

Definio 37 A equao de qualquer recta pode ser escrita naforma geral

Ax + By + C= 0

ondeAeBno so ambos nulos.Em particular, a recta verticalx= a pode ser representada pela forma geral

x a= 0

e a recta horizontaly= b pela forma geral

y b= 0.

Definio 38 O declive de uma rectano vertical a medida do nmero de unidadesque a recta sobe (ou desce) verticalmente para cada unidade de deslocamento horizontal, da

esquerda para a direita. Considerando dois pontos (x1, y1) e (x2, y2) de uma recta, o seudeclivem dado por:

m= y

x =

y2 y1

x2 x1, x2 6=x1.

0

y

x1x 2x

2y

1y

2 1y y y =

2 1x x x =

0

y

x1x 2x

2y

1y

2 1y y y =

2 1x x x =



42/115

Sem positivo, ento a recta cresce da esquerda para a direita; sem=0, ento a recta horizontal; sem negativo, ento a recta decresce da esquerda para a direita. O declive noest definido para rectas verticais.

x

y

m=0

m>0

m


43/115

Definio 42 Define-sengulo(no sentido positivo)de duas rectasde declivesm1em2respectivamente, como sendo o ngulo [0o, 90o[tal que:

tg = m2 m1

1 + m1m2.

0

y

x

1 2

1 1tg m =

2 2tg m =

0

y

x

1 2

1 1tg m =

2 2tg m =

Definio 43 Duas rectas distintas no verticais so paralelasse e s se os seus declivesforem iguais, isto , m1 =m2.

x

y

m1

m2m1=m2

Defi

nio 44 Duas rectas distintas no verticais so perpendicularesse e s se os seusdeclives forem inversos negativos entre si, isto , m1 = 1m2 .

x

y

m1

m2

m1=-1/m2

Exemplo 30 Determine a equao reduzida da recta que passa pelo ponto (2, 1)e que :

1. paralela recta2x 3y= 5;

2. perpendicular recta2x 3y= 5.

Resoluo:

1. A recta2x 3y= 5 pode ser escrita na sua forma reduzida como

2x 3y= 5 3y= 2x + 5 y= 23

x 5

3,

onde o seu declive dado porm= 23

.

A recta que passa no ponto (2, 1)e paralela recta dada tambm tem o declive 23 e

definida pela seguinte equao:

y + 1= 2

3(x 2)

y=

2

3x

4

3 1

y=

2

3x

7

3.

2. Calculando o inverso negativo do declive da recta dada, pode-se determinar o declivede uma recta perpendicular a essa:

m= 123

= 3

2.

Assim, a recta que passa pelo ponto (2, 1) e perpendicular recta dada tem aseguinte equao:

y + 1= 3

2(x 2) y= 3

2x + 3 1 y= 3

2x + 2.



44/115

Definio 45 A distncia de um ponto P =(x1, y1) a uma rectade equao reduziday= mx + b dada por:

d= |y1 mx1 b|

1 + m2.

Se a recta for definida pela equao geralAx + By + C= 0, ento:

d= |Ax1+ By1+ C|

A2 + B2.

Exemplo 31 Determine a distncia do ponto P= (2, 3) recta8x + 15y + 27= 0.

Resoluo: A distncia dada por

d= |8 (2) + 15 (3) + 27|

82 + 152=

34

17 =2.

Definio 46 A mediatrizde um segmento de rectaAB o lugar geomtrico dos pontosdo plano que esto mesma distncia do ponto A=(x0, y0)e do ponto B=(x1, y1) .Nesse

caso um ponto X= (x, y)est na mediatriz se e s se

d (X, A) =d (X, B)q

(x x0)2

+ (y y0)2

=

q(x x1)

2+ (y y1)

2.

A BM

Mediatriz

A BM

Mediatriz

Propriedade 4 A mediatriz de um segmento de rectaABtem as seguintes propriedades:

1. eixo de simetria deAB;2. passa pelo ponto mdio deAB;

3. perpendicular aAB.

Exemplo 32 Escreva a equao da mediatriz do segmento de rectaAB,ondeA = (1, 1)eB= (2, 3) .

Resoluo: Sendo Mo ponto mdio deAB, M=

122

, 1+32

=

12

, 1

eAB= A B=

= (3, 4) . Sendo mo declive da rectaAB, m= 43

. Como a mediatriz perpendicular rectaAB,tem declive 3

4,sendo a sua equao da formay= 3

4x +b. Alm disso, passa pelo

ponto M.Assim, 1= 3

4 1

2

+b 1 = 3

8 +b b=1+ 3

8 b= 11

8.Uma equao damediatriz deAB: y= 34

x + 118

.

Definio 47 Abissectrizde duas rectas a recta que passa pelo vrtice do ngulo formadopor estas e que o divide ao meio.

Exemplo 33 A bissectriz dos quadrantes pares a rectay= x.

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

x

y

y=-x



45/115

2.3 Cnicas

O primeiro estudo sistemtico das cnicas deve-se a Apolnio (260-200 a.c.). Este estudouas cnicas como resultado de seces feitas por um plano num cone e num duplo cone debase circular. Foi Apolnio que atribuiu s cnicas as designaes ainda hoje utilizadas elipse, parbola e hiprbole.

Definio 48 Uma superfcie cnica de revoluo a superfcie gerada pela rotao com-pleta de uma recta (geratriz) em torno de outra recta (eixo), formando com esta sempre omesmo ngulo, at completar uma revoluo (volta completa). Ao ponto comum geratriz eao eixo chama-se vrtice. chamada decnicatoda a linha que se obtm como intersecode um plano que no passa pelo vrtice (plano secante) com uma superfcie cnica, as quaisvamos estudar de uma forma mais aprofundada. Quando o plano que intersecta a superfciecnica passa pelo vrtice, a seco obtida uma cnica degenerada (um ponto, uma recta ouum par de rectas concorrentes). Este tipo de cnicas no ser estudado.

Ren Descartes (1596-1650) generalizou a utilizao das cnicas e identificou-as como equaesdo 2o grau. Mas nem todas as equaes do 2o grau representam cnicas.

Propriedade 5 As cnicas so curvas definidas por equaes do 2ograu emxeyde tipo:

Ax2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F= 0 Equao Geral

ondeAeCno so ambos nulos.Em particular, as equaes do tipo

Ax2 + Cy2 + Dx + Ey + F= 0 (B= 0)

definem cnicas em que os eixos de simetria so paralelos aos eixos coordenados.

Propriedade 6 Considerando = B2 4AC, as cnicas dividem-se em trs grandes grupos:

1. Elipse ou Circunferncia, caso < 0;

2. Parbola, caso = 0;

3. Hiprbole, caso > 0.

Para cada caso, sempre possvel passar da equao geral para a respectiva equao reduzida.



46/115

2.3.1 Elipse e Circunferncia

Se o plano secante intersecta todas as posies da geratriz e oblquo em relao ao eixo, alinha obtida uma elipse.

Se o plano perpendicular ao eixo, a elipse obtida uma circunferncia.

Definio 49 Uma elipse um conjunto de pontos P do plano em que a soma das dis-tncias de P a dois pontos fixos F1 e F2 (chamados focos da elipse), designadas d1 e d2respectivamente, constante e maior que a distncia entreF1 eF2.

1F 2F

2d1d

P

1 2 2 (constante)d d a+ =

vrtice vrtice

vrtice

vrtice

centro

c

a

b

eixo menor

eixo maior

1F 2F

2d1d

P

1 2 2 (constante)d d a+ =

vrtice vrtice

vrtice

vrtice

centro

c

a

b

eixo menor

eixo maior

Equao Reduzida da Elipse

Considerando uma elipse de centro (c1, c2)em que os focos esto na recta y =c2, paralelaao eixo xx(caso a > b), ou na recta x = c1, paralela ao eixo yy(caso b > a), obtem-se aseguinte equao reduzida da elipse:

(x

c1 )2

a2 + (y

c2 )

2

b2 =1 .

Propriedade 7 A elipse tem as seguintes caractersticas:

1. simtrica em relao s rectasy= c2 ex= c1;

2. a soma das distncias do ponto Paos focos dada pord1+ d2 =2a;

3. a distncia entre os focos (distncia focal) 2cea > c;



47/115

4. centro da elipse: (c1, c2) ;

5. vrtices: (c1 a, c2)e(c1, c2 b) ;

Focos sobre a rectay = c2 (a > b) Focos sobre a rectax = c1 (b > a)

a2

=b2

+ c2

b2

=a2

+ c2

Focos: (c1 c, c2) Focos: (c1, c2 c)Eixo maior: 2a Eixo maior: 2bEixo menor: 2b Eixo menor: 2a

Excentricidade: e= ca

,onde0 < e < 1 Excentricidade: e= cb

,onde0 < e < 1Directrizes: x= c1 ae ex= c1+

ae

Directrizes: y= c2 be ey= c2+ b

e

y

x0 1c

2c

1F 2F2y c=

ab

c

y

x0 1c

2c

1F 2F2y c=

ab

c

y

x0 1c

2c

1F

2F

1x c=

a

b

c

y

x0 1c

2c

1F

2F

1x c=

a

b

c

Definio 50 Umacircunferncia um conjunto de pontos do plano equidistantes de ummesmo ponto (centro).

x

y

1c

2c

r

x

y

1c

2c

r

Equao da CircunfernciaA circunferncia um caso particular da elipse, cuja excentricidade (desvio do centro) nula. Considerando a equao reduzida da elipse e tomando a = b = r, obtem-se a equaoreduzida da circunferncia de centro (c1, c2)e raio r:

(x c1)2

r2 +

(y c2)2

r2 =1 (x c1)2 + (y c2)2 =r2 .

2.3.2 Parbola

Se o plano secante paralelo apenas a uma posio da geratriz, a linha obtida uma parbola.



48/115

Definio 51 Umaparbola um conjunto de pontos P do plano em que a distnciad1dePa um ponto fixoF(chamado foco da parbola) igual distnciad2 dePa uma rectafixaD(chamada directriz da parbola).

F

1d

2d P

1 2d d=

D

vrtice

centro

12p

F

1d

2d P

1 2d d=

D

vrtice

centro

12p

Equao Reduzida da Parbola

Considerando uma parbola de vrtice (c1, c2) em que o foco est na recta y = c2 ou narectax = c1, obtem-se uma das seguintes equaes reduzidas da parbola:

x c1 =p (y c2)2 ou y c2 =p (x c1)

2.

Propriedade 8 A parbola tem as seguintes caractersticas:

1. simtrica em relao recta que passa pelo foco e perpendicular directriz;

2. a distncia do ponto Pao foco ou directriz dada pord1 =d2 = 14p ;

3. a distncia do foco directriz 12p ;

4. vrtice: (c1, c2) ;

5. a excentricidade da parbola (que indica a razo das distncias de qualquer um dospontos ao foco e directriz) e= 1;

Foco sobre a rectay = c2

Foco:

c1+ 14p

, c2

Directriz: x= c1 14p

p > 0 p < 0

voltada para a direita voltada para a esquerda

x

y

1c

2c F

D

x

y

1c

2c F

D

x

y

1c

2cF

D

x

y

1c

2cF

D



49/115

Foco sobre a rectax = c1

Foco:

c1, c2+ 14p

Directriz: y= c2 14p

p > 0 p < 0

voltada para cima voltada para baixo

x1c

y

2c

F

Dx

1c

y

2c

F

D

x1c

y

2c

F

D

x1c

y

2c

F

D

2.3.3 Hiprbole

Se o plano secante paralelo ao eixo, a linha obtida uma hiprbole.

Definio 52 Uma hiprbole um conjunto de pontos P do plano em que o mdulo dadiferena das distncias de P a dois pontos fixos F1 e F2 (chamados focos da hiprbole),designadasd1 ed2 respectivamente, constante e menor que a distncia entreF1 eF2.

1F 2F

2d1d

P

1 2 2 (constante)d d a =

vrtice

centro

eixo no transverso

eixo transverso

1A

2A

c b

a

1F 2F

2d1d

P

1 2 2 (constante)d d a =

vrtice

centro

eixo no transverso

eixo transverso

1A

2A

c b

a

Equao Reduzida da Hiprbole

Considerando uma hiprbole de centro (c1, c2)em que os focos esto na recta y= c2 ou narectax = c1, obtem-se uma das seguintes equaes reduzidas da hiprbole:

Focos sobre a recta y = c2 Focos sobre a rectax = c1(xc1 )

2

a2

(yc2 )2

b2 =1

(yc2 )2

b2

(xc1 )2

a2 =1



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Propriedade 9 A hiprbole tem as seguintes caractersticas:

1. simtrica em relao recta que passa pelos focos;

2. o mdulo da diferena das distncias do ponto Paos focos dado por |d1 d2 |= 2a;

3. a distncia entre os focos (distncia focal) 2c

ec > a;

4. centro da hiprbole: (c1, c2) ;

5. c2 =a2 + b2 ;

6. Assimptotas: y= c2 ba (x c1)ey= c2+ ba

(x c1);

Focos sobre a rectay = c2 Focos sobre a rectax = c1Vrtices: (c1 a, c2) Vrtices: (c1, c2 b)

Focos: (c1 c, c2) Focos: (c1, c2 c)Eixo transverso: 2a Eixo transverso: 2b

Eixo no transverso: 2b Eixo no transverso: 2aExcentricidade: e= c

a,ondee > 1 Excentricidade: e= c

b,ondee > 1

Directrizes: x= c1 ae ex= c1+ a

e Directrizes: y= c2 be ey= c2+

be

1F 2F

ba

y

x1c

2c

0

2y c=

1F 2F

ba

y

x1c

2c

0

2y c=

1F

2F

b

a

y

x0

2c

1c

1x c=

1F

2F

b

a

y

x0

2c

1c

1x c=

Exemplo 34 Considere a cnica definida pela equao 2x2 +y2 4x 4y= 0. Determinea sua equao reduzida, identifique o tipo de cnica e represente-a graficamente.

Resoluo:

2x2 +y2 4x 4y= 0 2x2 4x + y2 4y= 0 2 x2 + x + y2 4y +4= 4 2 x2 + x + 1 + y2 4y +4= 4 2 2 (x + 1)2 + (y 2)2 =2

2(x+1)2

2

+ (y2)2

2

= 2

2 (y2)22 (x + 1)2 =1. Equao reduzida da hiprbolevertical de centro (1, 2) , onde

a= 1 eb=

2.

-8 -6 -4 -2 2 4 6 8

-8

-6

-4

-2

2

4

6

8

x

y

( )( )

2

221 1

2

yx

+ =

-8 -6 -4 -2 2 4 6 8

-8

-6

-4

-2

2

4

6

8

x

y

( )( )

2

221 1

2

yx

+ =



51/115

2.4 Exerccios Propostos

Exerccio 65 Em que quadrantes se encontram os pontos(x, y)tais quex y > 0?

Exerccio 66 Considere o ponto A= (3, 1) .Indique as coordenadas dos pontos simtricosaAem relao:

1. origemO;

2. ao eixo yy;

3. ao eixo xx.

Exerccio 67 Num referencial o.n., considere os pontosA= (3, 2)eB= (2, 1) .

1. Calcule as coordenadas deAB;

2. Determine a norma e o versor deAB;

3. Indique o valor lgico da seguinte afirmao: "A distncia deAa B maior do que4".

Exerccio 68 Determine as coordenadas do pontoPdo eixoxxque equidistante dos pontosA= (0, 5)eB= (2, 2) .

Exerccio 69 Calcule a distncia do ponto P = (3, 4) ao ponto mdio do segmento derectaAB,ondeA= (1, 2)eB= (5, 4) .

Exerccio 70 Num referencial o.n., considere o ponto A = (1, 1)e os vectoresu = (1, 2)e

v = (0, 3) .

1. Calcule as coordenadas dos seguintes objectos: A+ u eu 2v . Represente-os noplano.

2. Determine o coseno deu^v .Exerccio 71 Considere a rectarcuja equao dada porx +y + 10= 0.

1. Indique o declive e a ordenada na origem der;

2. Determine a abcissa do ponto dercuja ordenada 5.

Exerccio 72 Escreva uma equao da recta que passa pelos pontosA = (3, 0)eB = (0, 2) .

Exerccio 73 Escreva a equao reduzida da rectas que passa pelo ponto P = (1, 1)e quetem a direco do vectoru = (1, 2) .Exerccio 74 Considere o ponto A = (2, 3) e a recta r definida pela equao15x 3y + 27= 0.

1. Indique a equao reduzida da recta paralela rectarque passa pelo ponto A;

2. Determine a distncia do ponto A rectar;

3. Escreva a equao reduzida da mediatriz do segmento de rectaAB,ondeB= (1, 2) .



52/115

Exerccio 75 Determine o ponto de interseco das rectas2x +y 4= 0 ex +y + 1= 0.

Exerccio 76 Determine o centro, os focos, os vrtices e as directrizes da elipse cuja equaoreduzida x

2

4 +

(y+1)2

3 =1. Represente-a graficamente.

Exerccio 77 Mostre que a equao 4x2

+3y2

8x+12y

32= 0 representa uma elipsee calcule as coordenadas do seu centro, dos focos e dos vrtices; escreva as equaes das

directrizes.

Exerccio 78 Escreva a equao reduzida da circunferncia e represente-a graficamente:

1. de centro (1, 3)e raio 2;

2. de centro (0, 2)e raio

2;

3. que passa pelos pontos(1, 2) , (0, 1)e(9, 4) .

Exerccio 79 Represente a parbola dada pela equao x =2 (y + 1)2 +1, apresentandoo respectivo foco e directriz.

Exerccio 80 Escreva a equao reduzida da parbola cujo vrtice o ponto (5, 4) e cujadirectriz y= 8. Indique as coordenadas do foco.

Exerccio 81 A equao 9y2 16x2 + 64x+ 54y+ 161 = 0 representa uma hiprbole.Determine o seu centro, focos, vrtices e assimptotas.

Exerccio 82 Identifique as seguintes cnicas e faa um esboo do seu grfico:

1. 4x2 + 9y2 16x + 18y 11= 0;

2. 25x2 36y2 100x 72y 836= 0;

3. y2 4y 12x 8= 0.

Exerccio 83 A Terra move-se volta do Sol com uma rbita elptica e o Sol ocupa um dosfocos. O comprimento do eixo maior 14957000km e a excentricidade 0, 0167.Determinea que distncia a Terrafica do Sol, quando esta se situa no vrtice mais prximo do Sol.

Exerccio 84 O tecto de uma igreja tem30metros de largura e a forma de uma semi-elipse.No centro da igreja a altura de 16metros e as paredes laterais tm de altura 10metros.Determine a altura da igreja a5metros de uma das paredes laterais.

10m 10m

30m

5m 5m

16m

10m 10m

30m

5m 5m

16m



53/115

Exerccio 85 A figura representa o esquema de uma ponte que se apoia no solo em A eB. AOB um arco de parbola de eixo de simetria OD.Sabemos que d (A, B) = 80 m ed (O, D) =120m. Tomando por unidade1 metro e considerando o referencial ortonormadode origemOcujo semieixo positivo das abcissas OC.

E O C

A B

S

T

D

E O C

A B

S

T

D

Determine:

1. Uma equao da parbola que contm o arco AOB;

2. As coordenadas dos pontos da parbola cuja distncia ao solo 90m;

3. A altura do poste [AS] ,sabendo queST tangente parbola com declive1.

Exerccio 86 Os cabos de suspenso da ponte (na figura) esto presos a duas torres quedistam 480 m e tm 60 m de altura. Os cabos tocam a ponte no centro. Determine aequao da parbola que tem a forma dos cabos.

y

xO

( )240,60

y

xO

( )240,60



54/115

2.5 Solues

Soluo 65 No1o e3o quadrantes.

Soluo 66 .

1. (3, 1) .

2. (3, 1) .

3. (3, 1) .

Soluo 67 .

1.

AB= (1, 3) .

2.AB

=

10eversAB=

10

10 , 3

10

10

.

3. Falso.

Soluo 68 P=

174

, 0

.

Soluo 69 7.

Soluo 70 .

1. A +u = (0, 3)eu 2v = (1, 4) .

0 x

y

1 2

1

2

-2

-1

3

-3

-4

A u+r

2u vr r

0 x

y

1 2

1

2

-2

-1

3

-3

-4

A u+r

2u vr r

2. cosu^v = 25

5 .

Soluo 71 .

1. m= 1eb= 10.

2. x=

15.Soluo 72 2x 3y 6= 0.

Soluo 73 y= 2x + 3.

Soluo 74 .

1. y= 5x + 7.

2. d=

2613

.

3. y= 3x 4.



55/115

Soluo 75 (5, 6) .

Soluo 76 Centro: C = (0 1) , Focos: F1 = (1, 1) e F2 = (1, 1) , Vrtices:

A1 = (2, 1) , A2 = (2, 1) , B1 =

0, 1

3

eB2 =

0, 1 +

3

,Directrizes: x= 4ex= 4.

-3 -2 -1 1 2 3

-3

-2

-1

1

2

3

x

y

F1 F2CA2 A1

B1

B2

Soluo 77 Centro: C = (1 2) , Focos: F1 = (1, 0) e F2 = (1, 4) , Vrtices:

A1 = 1 + 2

3, 2 , A2 = 1 + 2

3, 2 , B1 = (1, 2) e B2 = (1, 6) , Directrizes:y=

10ey= 6.

Soluo 78 .

1. (x + 1)2 + (y 3)2 =4.

-4 -3 -2 -1 0 1 2

1

2

3

4

5

6

x

y

2. x2 + (y + 2)2 =2.-2 -1 0 1 2

-4

-3

-2

-1

xy

3. (x 5)2 + (y 1)2 =25.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

6

x

y



56/115

Soluo 79

-3 -2 -1 1 2 3

-3

-2

-1

1

2

3

x

y

F

x=9/8

Soluo 80 y 4= 116

(x 5)2 eF= (5, 0) .

Soluo 81 Centro: C = (2 3) , Focos: F1 = (3, 3) e F2 = (7, 3) , Vrtices:V1 = (1, 3)eV2 = (5, 3) ,Assmptotas: y + 3= 43(x 2)ey + 3=

43

(x 2).

Soluo 82 .

1. Elipse de equao reduzida: (x2)2

32 +

(y+1)2

22 = 1, coma = 3, b= 2 ec =

5.Centro:

C= (2,

1) ,Vrtices: A1 = (1, 1) , A2 = (5, 1) , B1 = (2, 3)eB2 = (2, 1) .

-1 1 2 3 4 5 6

-3

-2

-1

1

2

x

y

CA1 A2

B1

B2

F1 F2

2. Hiprbole de equao reduzida: (x2)2

62

(y+1)2

52 = 1, com a = 6, b = 5 e c = 61.Centro: C= (2, 1) ,Vrtices: V1 = (4, 1)eV2 = (8, 1) .

-10 -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 1 0 12 14

-10

-8

-6

-4

-2

2

4

6

8

10

x

y

C V1 V2 F1 F2

3. Parbola de equao reduzida: x + 1= (y2)2

12 ,comp= 1

12.Vrtice: V= (1, 2) .

-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8

-8

-6

-4

-2

2

4

6

8

10

12

x

y

V

F



57/115

Soluo 83 7 353 609.1 km.

Soluo 84 14.472m.

Soluo 85 .

1. y= 340

x2.

2. P1 = (20, 30)eP2 = (20, 30).

3.83.33.

Soluo 86 y= x2

960.



58/115

3 Funes Reais de Varivel Real

3.1 Definio

O mdico, telogo, astrnomo e matemtico suo Leonhard Euler (1707-1783) desenvolveutrabalhos em quase todos os ramos da Matemtica, com destaque para a Anlise - estudosdos processos infinitos - desenvolvendo a ideia de funo. Foi tambm o responsvel pelaadopo do smbolo f (x)para representar uma funo de x.O conceito de funo um dos mais importantes em toda a Matemtica. O uso de funespode ser encontrado em inmeras situaes da vida corrente; por exemplo, na tabela depreos de uma loja, onde a cada produto corresponde um determinado preo, ou no preo aser pago numa conta de luz, que depende da quantidade de energia consumida. Na anlisecientfica de fenmenos em Fsica, Biologia ou Economia por exemplo, h a necessidade douso de funes.O conceito bsico de funo surge quando nos deparamos com a necessidade de estabele-cer uma correspondncia entre dois conjuntos de objectos que faa a associao de todo

o elemento do primeiro conjunto a um nico elemento do segundo. Para se poder definiruma funo necessrio comear por apresentar os conceitos de produto cartesiano e decorrespondncia.

Definio 53 Dados dois conjuntos no vaziosXeY,define-seproduto cartesianoentreX e Y, denotado por X Y,como o conjunto de todos os pares ordenados da forma (x, y)ondexX eyY.Simbolicamente escrevemos:

X Y={(x, y) :xX yY} .Observao 4 SeX possuimelementos eYpossuinelementos, ento X Ypossuim nelementos.

Exemplo 35 Dados os conjuntos X =

1,0, 12

e Y = {2, 0}, defina os produtos carte-

sianosX YeY X.

Resoluo:X Y=

(1, 2) , (1, 0) , (0, 2) , (0, 0) ,

12

, 2

,

12

, 0

eY X=

(2, 1) , (2, 0) ,

2, 1

2

, (0, 1) , (0, 0) ,

0, 1

2

.

Observao 5 O produto cartesiano deRporR o conjunto

R R = R2 ={(x, y) :x, y

R} .

Definio 54 Qualquer subconjunto deX Ydiz-se umacorrespondncia(ourelao)deXparaY.

Exemplo 36 Relativamente ao produto cartesiano do exemplo anterior

X Y=

(1, 2) , (1, 0) , (0, 2) , (0, 0) ,

1

2, 2

,

1

2, 0

,

indique algumas correspondncias deXparaY.

Resoluo:R1 ={(1, 2) , (1, 0) , (0, 2)}, R2 =

(1, 0) , 12 , 0ouR3 =

.



59/115

Definio 55 SejamXeYconjuntos no vazios. Umafuno (ouaplicao) fdefinidaemXcom valores emY(ou, uma funo f deXemY) uma correspondncia que a cadaelementoxX faz corresponder um nico elemento yY.Simbolicamente escrevemos:

xX1yY :y = f (x) . habitual representar-se a funo fcomo:

f: X Yx 7 y= f (x)

Observao 6 Para que exista uma funo de X em Y, exige-se que a cada x X estejaassociado um nico y Y, podendo no entanto existir y Yque no esteja associado anenhum elemento pertencente ao conjunto X.

Exemplo 37 Observando os seguintes diagramas, indique, justificando quais das relaesso funes:

1

2

3

4

1

2

3

4

5

6

X Y1R

1

2

3

4

1

2

3

4

5

6

X Y1R

1

3

5

7

-1

0

1

2

3

X Y2R

1

3

5

7

-1

0

1

2

3

X Y2R

2

4

6

8

0

1

4

3

5

X Y

6

9

3R2

4

6

8

0

1

4

3

5

X Y

6

9

3R

Resoluo:R1 no uma funo, pois o elemento 1do conjunto Xno est associado a nenhum elemen-to do conjunto Y.R2no uma funo, pois o elemento 5do conjuntoXest associado a mais de um elementodo conjunto Y.R3 uma funo, pois todo o elemento do conjunto X est associado a somente um elementodo conjunto Y.

Definio 56 A cada elemento xX d-se o nome deobjecto; se um elemento xX es-tiver associado a um elementoyY,diz-se quey aimagemdex, denotando-sey = f (x).Como xeytm valores que variam nos conjuntosXeY, recebem o nome devariveis. Avarivelx chamada varivel independentee a varively chamadavarivel depen-dente, pois o valor deydepende do valor dex.

Chama-se expresso analticade uma funo a uma expresso que traduza a regra queassocia os objectos s respectivas imagens, representando-se porf (x).

Definio 57 Sejafuma funo qualquer deXemY (f: X Y). O conjunto ondefestdefinida,X, o conjunto de partida(oudomnio)de fe representa-se porDf; o conjuntoY o conjunto de chegada(oucodomnio) de f; ao conjunto f (X)Yd-se o nomedeconjunto das imagens(oucontradomnio) de fe representa-se porD

0

f ouCDf.

Observao 7 Para caracterizar uma funo necessrio definir o seu domnio (Df), oseu contradomnio

D

0

f

e uma lei ou expresso y = f (x) que relacione cada elemento do

domnio a um e s um elemento do contradomnio.



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Exemplo 38 Considere a funo f: X Yrepresentada pelo diagrama seguinte:1

-3

3

2

0

1

9

4

6

X Yf

1

-3

3

2

0

1

9

4

6

X Yf

Determine:

1. O domnio def;

2. O codomnio def;

3. f (1) ;f (3) ;f (3)ef (2) ;

4. O contradomnio def;5. A expresso que definef.

Resoluo:

1. Df =X = {3,1,2,3};

2. Y={0,1,4,6,9};

3. f (1) =1, f (3) = f (3) =9 ef (2) =4;

4. D

0

f ={1,4,9};5. f (x) =y = x2.

Definio 58 A funo f diz-se umafuno real de varivel real(f.r.v.r.)quando, quero domnio quer o contradomnio, so subconjuntos do conjunto dos nmeros reais(R) ,isto, Df ReD0f R.

f: Df R Rx 7 y= f (x)

Observao 8 O domnio de uma funo real de varivel real, se no especificado, o

maior conjunto de valores deRpara os quais a sua expresso analtica tem sentido, isto , o conjunto de todos os valores atribuveis varivel independentexrelativamente aos quaisas operaes indicadas emf (x)so possveis.

Exemplo 39 Considere a funo real de varivel realf (x) = 1x

. Determine o seu domnioe o seu contradomnio.

Resoluo:Df = R\ {0} ,pois no existe a diviso por zero; D

0

f = R\ {0}, poisy = 1x x= 1

ye portanto

ytambm no pode ser zero.



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Exemplo 40 Considere as seguintes funes reais de varivel real, indicando para cada umao seu domnio:

1. f (x) = 5x+1

;

2. f (x) =

2x

4;

3. f (x) =

x23x

.

Resoluo:

1. Como x+1 o denominador, este no poder ser nulo (no existe diviso por zero).Portanto,x + 16=0 x6= 1.Logo, Df = R\ {1} .

2. Como

2x 4s possvel emRse2x 40 x2, ento Df = [2, +[ .3. Analisando o numerador,

x 2 s possvel em R se x 2 0

x 2.

Relativamente ao denominador,3 x s possvel emR se 3 x 0 x 3.Mas alm disso,

3 x tambm est em denominador e portanto

3 x 6= 0

3 x6=0 x6=3. Juntando as duas condies deve ter-sex < 3.Logo,Df ={x R :x2 x < 3}= {x R :2x < 3}= [2, 3[ .

3.2 Representao Grfica

O grfico de uma funo permite ver, muito facilmente, toda a evoluo da funo. Porisso, cada vez mais no mundo actual importante possuir algumas competncias relativas leitura e interpretao de grficos. Os grficos esto presentes, por exemplo, nos exameslaboratoriais, nas sondagens, nas aces da bolsa de valores, etc....

Definio 59 Seja f : Df R R uma funo real de varivel real de domnio Df.O grfico de uma funo no plano o conjunto de pares ordenados (x, y) R2 tais que

y= f (x)exDf.Simbolicamente escrevemos:

Gf =

(x, y) R2 :xDf y= f (x)

.

Propriedade 10 Dado o grfico cartesiano de uma funo f : Df R R,pode-se dizerque:1. A projeco da curva sobre o eixo xxd-nos o domnio da funo;

2. A projeco da curva sobre o eixo yyd-nos o contradomnio da funo;

3. Toda a recta vertical (r) que passa por um ponto do domnio da funo, intercepta ogrfico da funo em, no mximo, um ponto (P).



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Exemplo 41 Considere a funo f: Df R Rcom a seguinte representao grfica:6

x

y

1 4

2

y = f(x)

r

P

6

x

y

1 4

2

y = f(x)

r

P

Determine o domnio e o contradomnio def.

Resoluo: Df = [1, 4]eD0

f = [2, 6] .

Exemplo 42 Justifique que a seguinte representao grfica no uma funo.

0 x

y

2-2

2

-2

x = 0

0 x

y

2-2

2

-2

x = 0

Resoluo:Este grfico no representa uma funo pois ao considerar, por exemplo, a recta verticalx= 0, esta intersecta o grfico em dois pontos diferentes. Ou seja, para o mesmo xexistem

doisycorrespondentes. Por exemplo: f (0) = 2 ouf (0) =2, o que contraria a definiode funo.

Observao 9 Para construir o grfico de uma funo f,basta atribuir valores do domnio varivelxna sentena matemtica que define a funo e calcular os valores correspondentesda varively.

Exemplo 43 Construa o grfico da funo f: R Rtal quef (x) = x2

.

Resoluo:Como Df = R, podem-se escolher alguns valores reais para a varivel x. Constri-se a

seguinte tabela:x y= f (x) = x

2

2 22

= 1

1 12

= 12

0 02

=0

12

12

2 = 1

4

1 12



63/115

Colocam-se os pontos(2, 1) ,

1, 12

, (0, 0) ,

12

, 14

e

1, 12

no plano e conclui-se que

o grfico da funo uma recta que passa pelos cinco pontos encontrados.

210-1-2

2

1

-1

-2

x

y

-1/2

1/2

1/2

1/4

( )2

xxfy ==

210-1-2

2

1

-1

-2

x

y

-1/2

1/2

1/2

1/4

( )2

xxfy ==

3.3 Transformaes do grfico de uma funo

Consideremos a funof : Df R R,uma funo real de varivel real qualquer, e b umaconstante real positiva (b > 0) .Pretende-se comparar o grfico da funo f com o grfico de uma outra funo g, cujosgrficos tm a mesma forma bsica. Neste caso diz-se que g uma transformao dafunof.Vejamos os tipos bsicos de transformaes:

g (x) = f(x + b)- Deslocamento horizontal de

funções - conceitos básicos e exercícios

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