funcÃo logarÍtmica

FUNÇÃO LOGARÍTMICAJohn NEPER (1550 - 1617)

A invenção dos logaritmos ( palavra de origem grega:(logos) = tratado,arithmos (ariqmos) = números), deve-se ao matemático escocês JohnNapier, barão de Merchiston (1550-1617), que se interessoufundamentalmente pelo cálculo numérico e pela trigonometría. Em 1614, eao fim de 20 anos de trabalho, publicou a obra Logarithmorum canonis

descriptio, onde explica como se utilizam os logaritmos, mas não relata oprocesso como chegou a eles

Um ano depois, em 1615, o matemático inglês Henry Briggs(1561-1631), visitou Napier e sugeriu-lhe a utilização da base 10. ANapier agradou-lhe a ideia e resolveram elaborar as respectivastábuas dos logaritmos decimais. Com a morte de Napier é Brigs queconclui o trabalho e em 1618, publica Logarithmorum Chiliaes prima,primeiro tratado sobre os logaritmos de base 10 e faz o calculo paraos números de 1 a 20 000 e de 90 000 a 100 000

Já conhecemos as operações :adição, subtracção, multiplicação, divisão, potenciação eradiciação. Vamos agora introduzir duas novas operações: a logaritmização e aexponenciação.

Os logaritmos vêm facilitar a vida na medida que vão permitir simplificar cálculos maiscomplicados. E porque ? por que com eles vamos baixar o grau de dificuldade das operaçõestransformando:

multiplicações em adições

divisões em subtracções

potenciação em multiplicação

radiciação em divisão

Definição de logaritmo :

Chama-se logaritmo de x na base a a um número b tal que se elevarmos a ao expoente b

obtemos x:. Isto é :

Exemplo:

b será portanto o logaritmo de x na base a o que significa que b é o expoente a que deve ser

FUNCÃO LOGARÍTMICA http://www.qfojo.net/criar+/mat/logarit/log.html

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elevado a para obter x.

Exemplos:

1- log10 1000=3 pois 103 =1000

2- log3 81 = 4 já que 34 = 81

Uma nota:

Vamos tentar calcular manualmente o log210 . Como 23<10<24 o valor do log será um número entre23 e quatro logo do tipo 3,... Assim já temos a chamada característica do logaritmo (isto é a parte

inteira) podemos procurar uma primeira casa décimal , de facto 23.4=10.55 e 23.3=9.84 concluimos que aparte decimal inicia-se com 3 e log210=3,3.... mantissa ( do latim excesso).

Então o logaritmo de um número será da formma c,m onde c Z e 0<m<1

A base a é sempre um número real e positivo diferente de 1 . Qual a razão ?

Calculadora de logaritmos

Um scrip simples para calcular logaritmos

Base do logaritmo: Número: Resultado:

Propriedades e regras operatórias:


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Do exposto verifica-se que a função logarítimica é uma aplicação bijectiva do conjunto R+ ,sobre o conjunto dos reais :

Veremos mais tarde que a inversa da função logarítmica é a denominada função exponencial.

Estudo da Função Logarítmica :

Chama-se função logaritmica à função real de variável real :

A função logaritmica é uma aplicação bijectiva de R+ em R :

Observações:

Os números negativos e o zero não têm logaritmo

A função logaritmica de base a é a reciproca da exponencial de base a ou seja: y = ax

As funções logaritimicas mais usuais são as de base 10 (log. decimais) e as de base e


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=2,718281 (log. naturais).

Gráfico da função logarítmica :

a>1

0<a<1

Logaritmos decimais :

A base mais utilizada é a base 10 ou seja os logaritmos decimais é por essa razão que muitasvezes, neste caso, se omite a base

Vejamos um exemplo de como os logaritmos podem facilitar os cálculos usando as regras


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anteriormente dadas no quadro

:

Logaritmos Neperianos ou de base natural :

Estes logaritmos que tem por base o número e (base de Neeper) e escreve-se muitas vezes .

Mudança de base :

Exemplo : Determina log3 7 com aprox. de 6 decimais.

De antemão sabemos que a resposta será um número entre 1 e 2 pois 31 = 3 e 32 = 9 , e o 7 está

entre 3 e 9. Vamos mudar a base dos logaritmos para 10, log3 7 pode se escrever como . ou

mais simplesmente . Utilizando a calculadora teremos::

Claro está que se fossemos verificar a validade do resultado faríamos.

Que é um resultado aproximado como desejavamos

Antilogaritmo :

É o número que corresponde a umlogaritmo dado. Consiste no problema inverso do cálculodo logaritmo de um número.

ou o que é omesmo: consiste em elevar a base ao número obtido no logaritmo :

ver exponencial

Cologaritmo :


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Designa-se por cologaritmo de um número x ao logaritmo do seu recíproco ou inverso :

justifica a segunda parte desta igualdade

Alguns valores uteis

Equações logarítmicas :

Trata-dse de equações que à incógnita foi aplicada a operação logaritmo.

É fácil concluir que a igualdade entre os logaritmos de duas expressões implica a igualdadade ambas. (este é o principio em que se fundamenta a resolução deste tipo de equações ou oque se poderá dizer de outra maneira: aplicando o antilogaritmo)

Exemplo:

log x = log (x3+5) + 10 x = x3 +5 + log 10 x = x3+5 +1

Sistemas de Equações logarítmicas :

Como é fácil depreender trata-se de um sistema de equações em que a as) incógnita(s) estãosujeitas à operação logaritmo. A sua resolução faz-se como normalmente outros sistemas sóque tendo em atenção as propriedades dos logaritmos para efectuar as transformaçõesnecessárias. Exemplo :

A recordar...

Se a > 1Os números menores que 1 têm logaritmo negativoOs números maiores que 1 têm logaritmo positivo

Se 0 < a < 1Os números menores que 1 têm logaritmo positivoOs números maiores que 1 têm logaritmo negativo


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