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Funes de Primeiro Grau Definio: Toda funo polinomial representada pela frmula matemtica f(x) = m.x + n ou y = m.x + n, com m, n e m 0, definida para todo x real, denominada funo de primeiro grau. O valor "m" chamado de coeficiente angular e o valor "n" de coeficiente linear. (0, n) o ponto de interseco da reta com o eixo OY. Zeros da funo: Denomina-se zero ou raiz da funo f(x) = m.x + n o valor que anula a funo, isto , f(x) = 0. Coeficiente Angular ou Declividade: Denomina-se coeficiente angular ou declividade da reta r o nmero real m que expressa a tangente trigonomtrica de sua inclinao , ou seja,

m = tan

Se = 0o ento tan = 0, logo m = 0.

Se 0o < < 90o ento tan > 0, logo m > 0.

Se 90o < < 180o ento tan < 0, logo

m < 0.

Se = 90o ento tan no definida, logo m no definido.

Estudo dos sinais/ comportamento: Uma funo f(x) = m.x + n :

Crescente, se m > 0; Decrescente, se m < 0.

Exemplo 1: Construa o grfico das seguintes funes:

(a) f(x) = x + 3 (b) f(x) = -2x + 4 (c) f(x) = 5

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Exemplo 2: Utilizando as funes acima, determine os valores reais de x os quais: (i) f(x) = 0 (ii) f(x) > 0 (ii) f(x) < 0

Aplicaes

Exemplo 3: Num modelo linear de oferta e procura, as quantidades ofertadas e demandadas so, respectivamente, funes lineares do preo:

qd = 24 p e qs = - 20 + 10p Pede-se o preo e a quantidade de equilbrio. Esboce o grfico da situao.

Lista de Exerccios Funo linear

1) Determine o ponto de interseco dos grficos das funes f(x) = 3x + 2 e g(x) = x + 8.

2) Faa o grfico das funes abaixo. (a) f(x) = -x/2 +4 (b) y = 3 2

3) Classifique as seguintes funes em crescente/decrescente: (a) f(x) = 2x 1 (b) g(x) = -4 + x (c) h(x) = -2x + 1

4) Dada a funo f(x) = 2x k, determine o valor de k, de modo que f(1) = 4.

5) Sendo a funo f(x) = ax + b com a, b e a 0, determine os valores de a e b de

modo que f(3) = 4 e f(-1) =2.

6) A equao de demanda de um certo bem qd = 14 2p e a equao de oferta e qo = - 10 + 6p. Determine o ponto de equilbrio.

7) Suponha que o faturamento f (em milhares de reais) de uma empresa descrita pela

funo f = 10 + 2p, onde p (em milhares de reais) a quantia gasta em propaganda. (a) Determine o domnio da funo de acordo com o contexto do problema. (b) Qual ser o faturamento quando nada gasto em propaganda? (c) Qual ser o faturamento quando forem gastos R$ 5 000,00 em propaganda? (d) Quanto foi gasto em propaganda se o faturamento foi de R$ 18 000,00? (e) Desenhe o grfico de f e descreva o comportamento do faturamento na medida que o

gasto com propaganda aumenta. 8) Alex vendedor em uma loja de programas de computado, e seu salrio composto

de um valor fixo de R$ 900,00 mais uma comisso de R$ 10,00 por programa vendido. Bruno vendedor na loja concorrente, e recebe um fixo de R$ 440,00 mais R$ 30,00 por programa vendido.

(a) Escreva uma expresso para o salrio recebido, em funo do nmero de programas vendidos, para cada vendedor.

(b) Desenhe o grfico das duas funes encontradas na letra (a).

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(c) No ms de agosto, Alex venceu 19 programas. Quanto recebeu de salrio? (d) No mesmo ms, Bruno recebeu salrio de R$ 1220,00. Quantos programas ele

vendeu? (e) Em setembro Alex e Bruno venderam a mesma quantidade de programas, mas

Bruno recebeu salrio maior que Alex. Quantos programas cada um vendeu? 9) Uma empresa de aluguel de automveis cobra uma taxa de aluguel de R$ 40,00

mais R$ 0,15 por quilometro rodado. A empresa concorrente cobra R$ 50,00 mais R$ 0,10 por quilmetro rodado.

(a) Para cada empresa, obtenha uma expresso para o custo do aluguel do carro em funo da distncia percorrida.

(b) Num mesmo plano cartesiano, desenhe o grfico de cada uma das funes. (c) Ao planejar o aluguel de um automvel, como decidir qual empresa mais

adequada?

Funes de Segundo Grau Definio: Chama-se funo de segundo grau ou funo quadrtica toda funo definida de em por:

f(x) = ax + bx + c, com a, b, c e a 0 Zeros da funo: Denominam-se zeros ou razes da funo f(x) = ax + bx + c os valores que anulam a funo, isto , f(x) = 0.

Tais valores so obtidos utilizando a frmula de Bskara. Para fazer referncia a essas razes, costumamos utilizar os smbolos x'e x".

Na forma fatorada a funo escrita assim: f(x) = a(x x')(x x").

Vrtice da parbola: As coordenadas do vrtice de f(x) = ax + bx + c so: abxv 2

e

ayv 4

. Outra forma da calcular as coordenadas do vrtice (sem a necessidade de

decorar frmulas) achar suas razes x'e x" e calcular o ponto mdio, pois xV = (x'+ x")/2. Para encontrar yV basta substituir xV na funo f. Estudo de sinais/ Comportamento: O comportamento da funo quadrtica f(x) = ax + bx + c (a, b, c e a 0) estudado atravs da anlise do coeficiente "a":

a > 0, concavidade voltada para cima. A funo decrescente no intervalo ]-, xV] e crescente no intervalo [xV, +[

a < 0, concavidade voltada para baixo. A funo crescente no intervalo ]-, xV] e

decrescente no intervalo [xV, +[

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Os valores onde f(x) > 0 (f positiva), f(x) < 0 (f negativa) dependem da concavidade e das razes da funo e alguns casos sero analisados no exemplo a seguir. Na lista de exerccios IV h outros casos. Exemplo 4: O grfico de uma funo f do 2 grau corta o eixo das abcissas para x = 1 e x = 5. O ponto de mximo de f coincide com o ponto de mnimo da funo g, de em ,

definida por 634

92)( 2 xxxg . A funo f pode ser definida por:

(ii) y = -x + 6x + 5 (iii)y = -x - 6x + 5 (iv) y = -x - 6x - 5 (v) y = -x + 6x - 5 (vi) y = x - 6x + 5

Lista de Exerccios Funo quadrtica

1) Esboar os grficos das funes f(x) = x 6x + 8, g(x) = x 2x + 3, h(x) = x - x + 1, m(x) = -2x + 7x 3, determinando:

(a) as razes; as coordenadas do vrtice; (b) a forma fatorada de cada funo; (c) se a concavidade para cima ou para baixo. (d) a classificao de yv (valor mnimo ou mximo da funo); (e) o intervalo onde a funo crescente e decrescente; (f) interseco da curva com o eixo y; (g) os intervalos onde a funo positiva, negativa ou nula.

2) Sabe-se que o lucro total de uma empresa dado, pela frmula L = R C, em que L o lucro total, R a receita total e C o custo total da produo. Numa empresa que produziu x unidades, verificou-se que R(x) = 6000x x e C(x) = x - 2000x. Nessas condies, qual deve ser a produo x para que o lucro da empresa seja mximo?

3) Construa os grficos de cada par de funes num mesmo plano de coordenadas. Determine as coordenadas dos pontos de interseco das duas curvas. (a) y = x - 6x + 8 e y = x + 2 (b) y = x - x + 2 e y = -x + 3x + 2 4) O lucro L com as vendas de um certo produto dado pela funo L(x) = -200x2 + 2000x 3800, onde x o preo de venda, L e x so dados em reais. (a) Determine os zeros da funo. Qual o seu significado? (b) Determine o preo da venda que resulta em um lucro de R$ 1100,00. (c) Determine o preo da venda que resulta no maior lucro. 5) A funo demanda por uma certa marca de DVD dada por p = d(x) = 0,01x 0,2x + 8 e a correspondente funo de oferta dada por p = s(x) = 0,01x + 0,1x + 3, onde p expresso em dlares e x medido em unidades de milhar.

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(a) Determine a quantidade e o preo de equilbrio. (b) Para qual valor de s(x) a funo oferta tem valor mnimo?

6) Considere as parbolas de equaes 23 xxy e 4 xy (grfico abaixo). Determine a lei da funo do primeiro grau cujo grfico passa pelos pontos de interseo dessas parbolas.

7) Esboce o grfico da funo f(x) = x2. A partir dela, na mesma janela grfica, esboce os grficos das funes abaixo, citando as transformaes efetuadas:

g(x) = x2 2 ; h(x) = (x 1)2; l(x) = -2(x 1)2 + 1.