ICT 320 – Tecnologia de Informação

Aplicada a Geoestatística

Aula 3 – Conceitos probabilísticos: Função

de densidade de probabilidade

Eng. de Minas Edmo da Cunha Rodovalho Prof. Msc. / ICT – UNIFAL-MG

Experimento Aleatório

Todo experimento, que repetido em condições idênticas, pode apresentar resultados diferentes.

Ponto Amostral

É um resultado possível de um experimento aleatório.

Um resultado no lançamento de um dado : 5

Teor de cobre de uma amostra tomada aleatoriamente : 2,5%

Espaço Amostral ( Ω )

Conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento aleatório.

Ω = 1, 2, 3, 4, 5, 6 Ω = X є IR | 0 ≤ X ≤ 100%

Evento

É um subconjunto do espaço amostral.

A= 2, 4, 6 A representa o evento de sair um número par no lançamento de um dado de 6 faces.

A um dado evento qualquer A, pode-se associar um número entre O e 1, chamado de probabilidade do evento A ocorrer, P(A), e que representa as chances de ocorrência deste evento. P(A) é dado por:

possíveis resultados de número

A evento ao favoráveis resultados de número

)(

)()(

n

AnAP

n

nfAP

n lim)(

Quando o experimento é repetido n vezes, tem-se:

Onde: nf é o número de experimentos em que o evento A ocorreu n é o número de vezes em que se repete o experimento.

Quando o experimento é repetido n vezes, tem-se:

Onde: nf é o número de experimentos em que o evento A ocorreu n é o número de vezes em que se repete o experimento.

É uma variável que pode assumir a priori qualquer resultado possível em um

experimento aleatório.

As variáveis aleatórias podem ser quantitativas ou qualitativas.

Para se referir a uma variável aleatória de forma geral será utilizada uma letra

maiúscula.

Um valor específico que a variável aleatória pode assumir será representado

por letra minúscula.

P(Z>z)

V.A. Quantitativa

Associa à cada elemento da população um valor numérico para uma

característica a ser analisada.

As variáveis aleatórias quantitativas podem ser discretas ou

contínuas.

V. A. Discreta

Em um dado experimento pode assumir, a priori, qualquer valor

dentro de um conjunto finito ou uma seqência infinita de valores.

Exs.: - uma v. a. binária em que 0 e 1 indicam se o valor de uma

variável está acima ou abaixo de um dado valor fixo.

- número de veículos que chegam a uma estação dentro de um

intervalo de tempo.

V, A. Contínua

Em um dado experimento pode assumir, a priori, qualquer valor

dentro de um dado intervalo pertencente ao seu espaço amostral.

Ex.: tempo de ciclo de um equipamento

Função massa de probabilidade de uma v. a. discreta X - p(x)

p(x) associa a cada valor possível de X assumir, a probabilidade de

sua ocorrência, ou seja: p(x) = P(X = x)

Função massa do somatório de pontos no lançamento de 2 dados

0.000

0.028

0.056

0.084

0.112

0.140

0.168

0.196

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

X

p(x

)

ix

ixp 1)(

Função densidade de probabilidade de uma v. a. contínua X - f(x)

A função densidade de probabilidade (fdp) associa um valor f(x) a cada

valor x de uma v. a. contínua X, tal que a probailidade de X estar entre x

e x+dx (dx infinintesimal) é dado por f(x).dx.

Propriedades de f(x)

área sob a curva entre a e b

Função massa de probabilidade de uma v. a. discreta X - p(x)

p(x) associa a cada valor possível de X assumir, a probabilidade de

sua ocorrência, ou seja: p(x) = P(X = x)

Função massa do somatório de pontos no lançamento de 2 dados

0.000

0.028

0.056

0.084

0.112

0.140

0.168

0.196

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

X

p(x

)

ix

ixp 1)(

Função densidade de probabilidade de uma v. a. contínua X - f(x)

A função densidade de probabilidade (fdp) associa um valor f(x) a cada

valor x de uma v. a. contínua X, tal que a probailidade de X estar entre x

e x+dx (dx infinintesimal) é dado por f(x).dx.

Propriedades de f(x)

área sob a curva entre a e b

Função de repartição, ou Lei de repartição ou Funçào de distribuiçào

acumulada de uma variável aleatória X - F(x)

)()( xXPxF

Para uma variável discreta X

xt

ii

i

ttXPxXPxF )()()(

Para uma variável contínua X

tdttfxXPxF

x

)()()(

Propriedades de F(x)

1. F(x) é uma função não decrescente.

2. Quando x → -∞ F(x) → 0

x → ∞ F(x) → 1

3. P(a ≤ X < b) = F(b) – F(a)

)()(

)( .4 ' xFdx

xdFxf

b

a

dxxfaFbFbXaP )()()()( .5

Histogramas

Tipos

Frequência Simples

→ Função massa ou densidade

Frequência Relativa

Frequência Acumulada Simples

→ Função ou lei de Repartição

Frequência Acumulada Relativa

A forma do histograma é sensível ao número de classes.

Sugestões para o cálculo do número de classes K

1. Critério de Sturges

2.

3.

n é o número de dados.

205 k

O agrupamento em classes simplifica o cálculo do histograma

acumulado crescente. Para se obter um histograma de frequência

acumulado mais rigoroso, ele deveria ser construído ponto a ponto

da seguinte forma:

1. Ordenar crescentemente todos os valores de X medidos.

2. Atribuir a cada valor Xi do conjunto ordenado, o valor

para a sua respectiva função de repartição.

1n

i

Para o caso de um histograma de frequências relativas, pode-se

dizer que quando os intervalos de classes são iguais, as alturas são

proporcionais a f(x) e que a área compreendida entre dois valores x1

e x2 fornece a probabilidade da variável X assumir um valor entre

eles.

O número de trens carregando minério que chegam a um porto de exportação em um dado intervalo de tempo é uma variável aleatória que segue a seguinte distribuição de probabilidade:

Exercício Proposto

valoresdemaisospara

xparax

e

xp

x

0

... ,1,0 !)(

onde λ é a taxa média de chegada (número médio de chegada por unidade de

tempo).

Admitindo-se que λ seja igual a 6,5 trens por hora, pede-se:

a) Calcular a probabilidade de chegada de 3 trens no intervalo de uma hora.

b) Calcular a probabilidade de chegada de até 3 trens no intervalo de uma

hora.