Universidade de Braslia

Instituto de Cincias Exatas

Departamento de Matemtica

APLICAES DE FUNES

EXPONENCIAIS E LOGARTIMICAS

MURILO SERGIO ROBALLO

Braslia

2014

Universidade de Braslia

Instituto de Cincias Exatas

Departamento de Matemtica

APLICAES DE FUNES

EXPONENCIAIS E LOGARTIMICAS

Autor: Murilo Srgio Roballo

Orientador: Prof. Dr. Helder de Carvalho Matos

Monograa apresentada ao PROFMAT

para obteno do ttulo de Mestre em

Matemtica.

Braslia

2014

Ficha catalogrfica elaborada pela Biblioteca Central da Universidade de Braslia. Acervo 1016172.

Roba l l o , Mur i l o Serg i o . R628a Ap l i caes de f unes exponenc i a i s e l ogar tmi cas / Mur i l o Serg i o Roba l l o . - - 2014 . 68 f . : i l . ; 30 cm.

Di sser t ao (mes t rado) - Un i vers i dade de Bras l i a , Depar t amen to de Ma t em t i ca , Mes t rado Pro f i ss i ona l i zan t e em Ma tem t i ca , 2014 . I nc l u i b i b l i ogra f i a . Or i en tao : He l der de Car va l ho Ma t os .

1 . Logar tmos . 2 . Funes exponenc i a i s . I . Ma t os , He l der de Car va l ho . I I . T t u l o .

CDU 519 . 662

Deus, pois sem Ele nada disso seria possvel.

Aos meus pais Nelson e Maria Luiza pelos valores transmitidos, ensinamentos, amor

e carinho

A minha esposa Rosane, mulher da minha vida e a minha adorada lha Caroline,

paixo do pai.

DEDICO

Agradecimentos

Sociedade Brasileira de Matemtica (SBM) por intermdio, atravs do PROF-

MAT, uma melhor capacitao dos educadores no ensino da matemtica.

Aos professores da Universidade de Braslia (UnB) que participaram do curso e

contriburam para uma melhor formao dos alunos.

Ao professor Dr. Helder de Carvalho Matos, pela colaborao no desenvolvimento

desse trabalho e por todo conhecimento transmitido.

Ao professor Dr. Rui Seimetz, coordenador do PROFMAT na UnB, pela dedicao

na conduo do curso e pelos ensinamentos transmitidos.

Aos colegas de turma, principalmente, os amigos do Colgio Pdion e do Colgio

Militar de Braslia, que dividiram angstias, participaram dos momentos de estudo

coletivo e do companheirismo nos momentos mais difceis do curso.

CAPES pelo incentivo nanceiro.

Ao colaborador Rodrigo Sato, pela ajuda na formatao do trabalho escrito.

Aos familiares, pais, irmos, esposa e lha, pelo apoio, compreenso e incentivo

para que tudo desse certo.

Deus, por tornar isso possvel.

Resumo

Esse trabalho mostra, primeiramente, o surgimento de uma poderosa ferramenta

matemtica que contribuiu durante aproximadamente, trs sculos e meio para simpli-

car os clculos aritmticos: os logaritmos. Com rapidez e preciso, operaes como a

multiplicao, diviso com vrios algarismos ou uma potenciao com expoente fracio-

nrio, puderam ser realizadas utilizando-se as propriedades operatrias dos logaritmos.

Com o advento das calculadoras eletrnicas, os logaritmos perderam sua funo inicial,

mas no perderam posio de destaque no ensino da Matemtica e nas aplicaes nas

cincias modernas. Esse destaque porque a funo logartmica e sua inversa, a fun-

o exponencial, constituem uma nica maneira de se descrever, matematicamente, a

evoluo de uma grandeza, cuja taxa de crescimento (ou decrscimo) proporcional

quantidade daquela grandeza existente num dado momento.

A seguir so apresentadas inmeras aplicaes das funes exponenciais e logart-

micas que modelam fenmenos fsicos, qumicos, biolgicos, geogrcos, econmicos,

sociais e comprovam com isso a necessidade de se conhecer e interpretar tais funes.

Palavras-chave: Logaritmo, funo exponencial, funo logartmica, aplicao, mo-

delagem matemtica, nmero e.

7

Abstract

This work shows, primarily, the appearance of a powerful mathematical tool which

has contributed for approximately three and a half centuries to simplify the arith-

metical calculations: the logarithms. With speed and precision, operations such as

multiplications, divisions with several numbers or power with fractional index, could

be achieved by using logarithms operational properties. With the advent of calculators,

the logarithms have lost their initial function, but not their key role in the mathematic

teaching and its applications in the modern sciences. This outstanding position hap-

pens due to the fact that the logarithmical function and its inverse, the exponential

function, constitute a unique manner to describe, mathematically, the evolution of size

whose growth index (or decrease) becomes proportional to the amount of that former

existing grandeza in a given moment.

In sequence, several exponential functions and logarithmical uses which help shape

chemical, physical, biological, economical, social and geographical are introduced and

display the necessity to know and interpret those functions.

Keywords: logarithm, exponential function, logarithmical function, application, mathe-

matical shaping, number e.

8

Lista de Figuras

1.1 Ramo H da hiprbole. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

1.2 Faixa do ramo H positivo da hiprbole. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

1.3 rea da faixa do ramo H positivo da hiprbole. . . . . . . . . . . . . . 27

1.4 rea do segmento de reta da faixa do ramo H positivo da hiprbole. . . 28

1.5 rea do logaritmo natural. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

1.6 Grco da funo exponencial. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

1.7 Grcos das funes exponencial e logartmica para base > 1. . . . . . 34

1.8 Grcos das funes exponencial e logaritmica para 0 < base < 1. . . . 35

2.1 Montante para juros compostos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

2.2 Grco da funo P (t). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

2.3 Grco do decaimento radioativo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

2.4 Grco do resfriamento de um corpo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

2.5 Circuito eltrico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

2.6 Grco da intensidade da corrente eltrica. . . . . . . . . . . . . . . . . 49

2.7 Grco da intensidade luminosa I(x). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

2.8 Grco da funo Q(t) = B Aekt. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 522.9 Grco da logstica de crescimento. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

9

3.1 Funo presso atmosfrica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

3.2 Magnitude na escala Richter. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

3.3 Escala de Magnitude de momento. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

3.4 Funo da intensidade sonora. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

3.5 Funo pH. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

10

Sumrio

Introduo 13

1 Desenvolvimento 16

1.1 Potncias de Expoente Racional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.2 Propriedades Operatrias do logaritmo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.3 Funo Logartmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1.4 Logaritmo Natural . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

1.5 Funo Exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2 Leis de Crescimento e Decaimento Exponencial 36

2.1 Capitalizao Contnua (Juros Compostos) . . . . . . . . . . . . . . . . 37

2.2 Crescimento Populacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

2.3 Decaimento Radioativo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

2.4 Resfriamento de um corpo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

2.5 Circuito Eltrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

2.6 Intensidade Luminosa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

2.7 Curva de Aprendizagem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

11

2.8 Logstica de Crescimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

3 Aplicaes da Funo Logartmica 55

3.1 Altitude de uma localidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

3.2 Sismologia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

3.3 Nvel de Intensidade Sonora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

3.4 Clculo do pH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

4 Sugesto de Aula 63

5 Consideraes Finais 65

Referncias Bibliogrcas 67

12

Introduo

Histrico

Com o desenvolvimento da Astronomia e da Navegao, no m do sculo XVI, os

clculos aritmticos estavam se tornando extremamente trabalhosos e estenuantes. As-

sim, se tornava necessrio um mtodo que permitisse efetuar, com maior simplicidade,

multiplicaes, divises, potenciaes e extrao de razes.

Algumas vezes acontece que uma descoberta cientca feita quase que simulta-

neamente por duas ou mais pessoas trabalhando, independentemente. Tal descoberta

fruto da necessidade humana para solucionar problemas que naquele momento se

tornam prioritrios.

Tal fato acontece com os logaritmos. John Napier (1550 1617), nobre escocs,

telogo, no era matemtico prossional, mas se interessava por certos aspectos da

matemtica, particularmente as operaes e a trigonometria e Jost Burgi (1552 1632)

suo, fabricante de instrumentos astronmicos, matemtico e inventor, cada um deles

desconhecendo inteiramente o outro, publicaram as primeiras tabelas dos logaritmos

(Tbua de logaritmos). A tbua de Napier, foi apresentada posteriormente em 1619 por

um de seus maiores admiradores, Henry Briggs (1561 1631), professor de geometria

13

em Oxford, com o ttulo Miricilogarithmorumcanonisdescriptio, que signica

uma descrio da maravilhosa regra dos logaritmos. J o trabalho de Jost Burgi foi

lanado em 1620, num livro intitulado ArithmetischeundgeometrischeProgress

Tabulen ArithmetischeundgeometrischeProgress Tabulen, que signica, Progresso

geomtrico e aritmtico tbua.

A inuncia de Napier no desenvolvimento dos logaritmos foi muito maior do que

a de Burgi, fato esse explicado devido ao seu relacionamento com professores universi-

trios.

Napier partiu das propriedades das sequncias aritmticas e geomtricas. Para

conservar prximos os termos numa progresso geomtrica de potncia inteira de um

nmero dado, necessrio tomar o nmero dado muito prximo de um. Logo, Napier

escolheu o nmero 1107 (ou 0, 9999999). Para evitar decimais Napier multiplicou onmero por 107. Isto , se N = 107(1 107)L, ento L o logaritmo do nmero N .Deve-se lembrar que Napier no tinha o conceito de base de um sistema de logaritmos,

pois, sua denio era diferente da que ns temos hoje. Foi seu colaborador Briggs

que props a Napier o uso de potncias de 10 e como Napier estava no nal da vida,

coube a Briggs, a tarefa de construir a primeira tabela de logaritmos comuns.

Durante quase quatro sculos a utilizao dos logaritmos como instrumento de

clculo, revelou-se de fundamental importncia para o desenvolvimento da cincia,

pois simplicavam, com rapidez e preciso, multiplicaes e divises em adies e

subtraes, respectivamente, utilizando-se suas propriedades operatrias, as quais sero

expostas nesse trabalho.

Recentemente, com a utilizao das calculadoras, as tbuas de logaritmos perderam

a sua utilidade como instrumento de clculo. Mas o desenvolvimento da matemtica

e das cincias em geral veio mostrar que diversos fenmenos fsicos, qumicos, biolgi-

14

cos, geogrcos e econmicos podem ser modelados a partir de funes logartmicas e

exponenciais, que sero expostas nesse trabalho.

15

Captulo 1

Desenvolvimento

1.1 Potncias de Expoente Racional

A anlise a seguir se restringe a potncias de um nmero positivo a. Se a fosse

negativo, no haveria problema para denir an e an para n N . Entretanto, comoveremos aqui, a

1nsignica

na e considerando que nmeros reais negativos no possuem

razes reais se o ndice n for par. Isso tornaria o estudo de potncias reais de expoente

racional com base negativa cheio de excees.

Seja a um nmero real positivo. Dado um inteiro n > 0, a potncia an denida

como o produto de n fatores iguais ao nmero a.

an = a a . . . a (nfatores).

Assim,

am an = a a . . . a m fatores

a a . . . a n fatores

= am+n (Propriedade fundamental)

16

em que m e n so, inteiros positivos.

Em particular se m = 0

a0 an = a0+n = an, logo, conclui-se que a0 = 1

Estendendo a noo de potncia para expoentes negativos e mantendo a validez da

propriedade fundamental deve-se ter:

anan = an+n = a0 = 1 , logo , an =1

an

Como m e n so inteiros, o nmero (m n) tambm inteiro, logo,

amn = am an = am 1an

= am

an

Evidentemente a relao fundamental vlida para o produto de vrias potncias,

como

am an ap aq = am+n+p+q

Em particular, para um produto de p fatores iguais a am, obtm-se

am am . . . am = (am)p.

Ento,

(am)p = amp

Veremos que, dados um nmero real a > 0 e um nmero inteiro q > 0, o smbolo

qa representa o nmero real positivo cuja q-sima potncia igual a a, ou seja, a

nica raiz positiva da equao xq a = 0. Portanto as armaes qa > 0 e ( qa)q = aconstituem a denio do nmero real

qa chamado raiz q-sima do nmero positivo a.

Estendendo a noo de potncia de um nmero real a > 0 para expoente fracionrio

da forma r = pq, tem-se

ar, r Q e r = pq.

17

Ento, deni-se: a1q = qa. Em particular a

1q = qa

Vericando a validez da propriedade fundamental para expoentes racionais, para

r = pq

e s = uv

, q > 0 e v > 0, p=rq e u=sv

Logo

arq = ap e as.v = au

(ar)q = ap e (as)v = au

Fazendo

(ar as)qv = (ar)qv (as)qv = arqv asqv

(ar as)qv = apv aqu

(ar as)qv = apv+qu

ar as = a pv+qvqv

= apvqv+ quqv

= apq+uv

ar as = ar+s

1.2 Propriedades Operatrias do logaritmo

Dene-se logaritmo de um nmero x > 0 na base a 6= 1 como sendo um nmero y,tal que ay = x. Pode-se escrever

loga x = y ay = x ()

Considerando os nmeros reais 0 < a 6= 1, 0 < c 6= 1, m 6= 0, u > 0 e v > 0 dessadenio decorrem as propriedades operatrias dos logaritmos

18

I) loga(u v) = loga u+ loga v

II) logauv

= loga u loga v

III) loga uv = v.logau

IV) loga b =logc b

logca

V) logam x =1m logax

Demonstrao.

I) Considerando u, v, nmeros reais positivos e 0 < a 6= 1, para mostrar que loga(u v) =logau+ logav, tomemos logau = x e logav = y, sendo x e y nmeros reais.

Temos, usando (),

logau = x ax = u e

logav = y ay = v

e assim,

ax ay = u v

ax+y = u v ()

x+ y = loga(u v)

loga u+ loga y = loga(u v)

II) Para mostrar que loga

(uv

)= loga u loga v, com 0 < a 6= 1, u e v nmerosreais positivos, considere loga u = x e loga v = y.

Usando (),

loga u = x ax = u e

loga v = y ay = v

19

Assim,

ax

ay=

u

v

axy =u

v

()

x y = loga(uv

)

loga u loga v = loga(uv

)

III) Para mostrar que loga uv = v loga u com 0 < a 6= 1, u real positivo e v real,considere loga u = x.

Usando (),

loga u = x ax = u

Assim,

(ax)v = uv

axv = uv()

loga uv = x v

loga uv = v loga u

IV) Fazendo logab = x() ax = b

logc ax = logcb

(III) x logc a = logcb

x =logc b

logc a logab = logcb

logca

V) logamx =1m loga x

20

Usando a propriedade (IV)

logam x =loga x

logaam(III)

logam x =loga x

m loga a

1.3 Funo Logartmica

Uma funo real f : R+ R chama-se funo logartmica quando caracterizadapelas seguintes propriedades:

A) f uma funo crescente, isto , x < y f(x) < f(y)B) f(xy) = f(x) + f(y) para quaisquer x, y R+Denotamos tal funo por f(x) = logb x em que o nmero b chamado base. Tra-

dicionalmente, as bases dos logaritmos mais comuns so: base 10, chamado logaritmo

decimal, pois, nossos nmeros so escritos usualmente no sistema de numerao deci-

mal e base e sendo o nmero e 2, 718281 (Nmero de Euler), chamado logaritmonatural ou logaritmo neperiano em homenagem a John Napier. Entretanto, tal de-

nominao no inteiramente apropriada, pois, como j foi visto, o logaritmo original

denido por Napier no coincide com o logaritmo natural. O logaritmo natural ser

denido mais adiante no trabalho.

As propriedades a seguir so consequncias de A e B enunciadas acima.

Propriedade 1

Uma funo logartmica f : R+ R sempre montona injetiva, isto , nmerospositivos diferentes tm logaritmos diferentes.

21

Demonstrao. Se x,y R+ so diferentes , ento ou x < y ou x > y. No primeiro

caso resulta de A que f(x) < f(y). No segundo caso tem-se f(x) > f(y). Em qualquer

hiptese, de x 6= y conclui-se que f(x) 6= f(y).

Propriedade 2

O logaritmo de 1 zero, ou seja, logb1 = 0.

Demonstrao. Por B tem-se f(1) = f(1.1) = f(1) + f(1), logo,f(1) = 0.

Propriedade 3

Os nmeros maiores do que 1 tm logaritmos positivos e os nmeros positivos

menores do que 1 tm logaritmos negativos.

Demonstrao. Como f(x) uma funo crescente, toma-se 0 < x < 1 < y. De A

resulta f(x) < f(1) < f(y), logo, f(x) < 0 < f(y).

Propriedade 4

Para todo x > 0, tem-se f(1/x) = f(x)

Demonstrao. Como x 1x

= 1, da propriedade B tem-se que f(x 1x) = f(1),

f(x) + f( 1x) = f(1) = 0. Ento, f( 1

x) = f(x).

Propriedade 5

Uma funo logartmica f : R+ R ilimitada superior e inferiormente.

Demonstrao. Dados arbitrariamente dois nmeros reais e sempre possvel

achar dois nmeros positivos x e y tais que f(x) < e f(y) > .

22

Torna-se um nmero natural n to grande que n >

f(2). Como f(2) > 0 (proprie-

dade 3), tm-se n f(2) > pela propriedade operatria III, n f(2) = f(2n). Portanto,

f(2n) > .

Agora escolhendo y = 2n, f(y) > , o que mostra que a funo ilimitada superi-

ormente.

Para provar que f ilimitada inferiormente, basta lembrar que f

(1

x

)= f(x).

Dado qualquer nmero real x, como foi provado acima, f(y) > .

Fazendo x =1

y, isto , y =

1

x, tem-se:

f

(1

x

)> f(x) > f(x) <

Propriedade 6

Uma funo logartmica no est denida para x = 0.

Demonstrao. Caso existisse f(0), para x 6= 0, teramos

f(0) = f(x 0) = f(x) + f(0), ento f(x) = 0. Assim a funo seria identicamente

nula, o que contraria a propriedade A.

Propriedade 7

Dadas as funes logartmicas f, g : R+ R, existe uma constante k > 0, tal queg(x) = k f(x), para todo x > 0.

23

A demonstrao dessa propriedade se encontra em [4].

Propriedade 8

Toda funo logartmica f sobrejetiva, isto , dado qualquer nmero real k, existe

sempre um nico nmero real positivo x tal que f(x) = k.

Observao. Por ser uma demonstrao muito longa e por no ser prioritria para o

trabalho, no ser apresentada.

Corolrio

Toda funo logartmica f : R+ R uma correspondncia biunvoca (bijeo)entre R+ e R.

Demonstrao. Qualquer funo f d origem a uma sequncia de valores. Numa

coluna esquerda, pem-se os valores de x e na outra coluna direita, os valores

correspondentes de f(x). Pela propriedade 1, x e y > 0 pertencem ao domnio de f(x),

logo, f(x) 6= f(y) e pela propriedade 7, conclui-se que para todo elemento do domnio de

f(x) existe um nico e diferente correspondente em R. Logo, toda funo logartmica

uma bijeo de R+ em R.

1.4 Logaritmo Natural

Historicamente, primeiro o padre jesuta belga Gregory Saint Vicent, em 1647, e

depois Isaac Newton, em 1660, reconheceram a relao que existe entre a rea de uma

24

faixa do grco de uma hiprbole com a denio geomtrica dos logaritmos. Embora

nenhum dos dois tenha identicado realmente essa rea com o logaritmo natural, nem

tenham reconhecido o nmero e, suas observaes pioneiras mostram a concepo

geomtrica de uma funo logartmica.

Seja H o ramo positivo do grco de uma hiprbole representada pela funo

y =1

x(veja a gura 1.1). H um subconjunto do plano constitudo pelos pontos da

forma

(x,

1

x

)e pode ser escrito por:

H =

{(x, y) : x > 0, y =

1

x

}Geometricamente o ramo H da hiprbole dado por:

Figura 1.1: Ramo H da hiprbole.

Uma faixa de hiprbole determinada xando-se dos nmeros reais positivos a, b

com a < b e tomando a regio do plano limitada pelas retas verticais x = a e x = b

pelo eixo das abcissas e pela hiprbole H.

Essa regio indicada pela notao Hba.

25

Figura 1.2: Faixa do ramo H positivo da hiprbole.

Do clculo integral, ver [1], tem-se que a rea de uma gura delimitada por uma

funo f , pelo eixo 0x e pela retas x = a e x = b a integral denida de f no intervalo

[a, b].

A partir da denio de integral [1], dene-se o logaritmo natural de um nmero

real positivo x como sendo a rea da faixa Hx1 , ou seja, lnx = rea de Hx1 .

Ento, para x > 1

rea Hx1 =

x1

1

xdx,

ou seja,

lnx = loge x =

x1

1

xdx. (Ver gura 1.3).

Na notao para indicar o logaritmo natural de x, e um nmero irracional, deno-

minado nmero de Euler, em homenagem ao grande matemtico suo Leonhard Euler

26

Figura 1.3: rea da faixa do ramo H positivo da hiprbole.

(1707 1783 ). No de interesse desse trabalho mas o nmero e pode ser calculado

por:

e = limn

(1 +

(1

n

))n= 1 +

1

1!+

1

2!+

1

3!+ . . .

e 2, 718281828459

Caso o leitor tenha interesse, ver [1] e [6].

Para 0 < x < 1, a rea da faixa H1x ser o logaritmo natural de x com o sinal menos

a frente

rea H1x =

1x

1

xdx = loge(x) = ln(x). (Ver gura 1.4).

Em particular; quando x = 1, H11 se reduz a um segmento de reta, portanto tem

27

Figura 1.4: rea do segmento de reta da faixa do ramo H positivo da hiprbole.

rea igual a zero. Pode-se escrever

ln(1) = 0;

ln(x) > 0 se x > 1;

ln(x) < 0 se 0 < x < 1.

No est denido ln(x) se x 6 0.

O nmero e, base dos logaritmos naturais, pode ser caracterizado pelo fato de seu

logaritmo natural ser igual a 1, ou seja, a rea He1 = 1. Escreve-se:

rea He1 =

e1

1

xdx = ln(x)|e1 = ln(e) ln(1) = 1

Observao: Pela denio do logaritmo, ln(e) = 1. (Ver gura 1.5).

28

Figura 1.5: rea do logaritmo natural.

1.5 Funo Exponencial

A partir da denio de funo logartmica possvel se denir uma funo que

inversa da funo logartmica, ou seja,

f(x) = y = logxa ay = x.

Seja a nmero real positivo diferente de 1. A funo f : R R+, com f(x) = ax, dita funo exponencial de base a .

Para quaisquer x, y R, a funo exponencial possui as seguintes propriedades:

I) f(x+ y) = f(x) f(y)

Demonstrao. f(x+ y) = ax+y = ax ay = f(x) f(y)

Pela propriedade I percebe-se que f no pode assumir o valor zero (0), a menos que

29

seja identicamente nula.

Por absurdo, se existisse algum x0 R tal que f(x0) = 0, ento, para todo x R,

f(x) = f(x0+(xx0)) = f(x0)f(xx0) = 0f(xx0) = 0, logo f seria identicamente

nula. Ento, se f no uma funo nula, no existe algum x0 R tal que f(x0) = 0.

Mas ainda, a funo f sempre positiva, f(x) > 0, para todo x R, pois,

f(x) = f(x

2+x

2

)= f

(x2

) f(x

2

)= f

(x2

)2> 0

II) f(1) = a

Demonstrao. Como a1 = a, f(1) = a.

III) x < y ax < ay, quando a > 1 ex < y ax > ay, quando 0 < a < 1.

Demonstrao. A propriedade diz que a funo exponencial crescente para a > 1 e

decrescente quando 0 < a < 1.

Da resultar que existe uma nica maneira de denir o valor de f(x) = ax quando

x irracional. Supondo que a > 1, ento ax tem a seguinte propriedade,

r < x < s com r, s Q ar < ax < as.

30

No podem existir dois nmeros reais diferentes, digamos A < B, para assumir o

valor de ax com a propriedade acima. Se existissem A e B, teramos r < x < s,r,s Q,

ento, ar < A < B < as e ento o intervalo [A,B] no conteria nenhuma potncia de

a com expoente racional, o que um absurdo, veja [5].

Portanto, quando x irracional, ax o nico nmero real cujas aproximaes por

falta so as potncias ar, r < x e cujas aproximaes por excesso so as potncias as,

x < s.

Em [1], a funo ax denida por ax = exlog a, para 1 6= a > 0.IV) A funo f : R R+, denida por f(x) = ax ilimitada superiormente.Se a > 1, ento ax cresce, indenidamente quando x > 0, ou seja, limx ax =

+. E se 0 < a < 1, ax torna-se arbitrariamente grande quando x < 0, ou seja,limx ax = +.

V) A funo exponencial contnua.

Demonstrao. Isto signica que, dado x0 R, possvel tornar a diferena |axax0 |

to pequena quanto se deseja, desde que x seja tomado sucientemente prximo de x0,

ou seja, limxx0 ax = ax0.

Mostremos primeiro que possvel tornar ah to prximo de 1 quanto desejamos,

desde que |h| seja escolhido sucientemente pequeno.

Suponhamos a > 1 e h > 0. Dado arbitrariamente > 0, queremos mostrar que,

31

tomando h pequeno, teremos ah < 1 + . Se tomamos n N tal que n > a1, teremos

n > a 1 logo, a < 1 + n.

Pela desigualdade de Bernoulli, (1 + )n > 1 +n, ento a < (1 + )n e a1n < 1 + .

Em resumo: dado > 0, existe n N tal que 1 < a 1n < 1 + . Se tomarmos h tal que

0 < h < 1n, teremos 1 < ah < a

1n < 1 + . Assim faremos ah to prximo de 1 quanto

desejamos.

Agora xado x0 R e h = x x0, teremos ax ax0 = ax0+h ax0 = ax0(ah 1).

Se x se aproximar de x0, h tende a zero, ahtende a 1 e ah 1 tende a zero. Ento

limxx0(ax ax0) = 0, ou seja, limxx0 ax = ax0, o que caracteriza a continuidade da

funo exponencial.

VI) A funo exponencial f : R R+, f(x) = ax, a 6= 1, sobrejetiva.

Demonstrao. Isto signica dizer que para todo nmero real b > 0 existe algum

x R tal que ax = b. Supondo a > 1,n N, escolheremos uma potncia arn, com

rn Q, no intervalo (b 1n , b+ 1n) de modo que |barn| < 1n , portanto limxx0 arn = b.

Escolhemos as potncias arn sucessivamente, tais que

ar1 < ar2 < . . . < arn < . . . b

Certamente, podemos xar s Q, tal que b < as. Ento a monotonicidade da

32

funo ax nos assegura que

r1 < r2 < . . . rn < . . . < s.

Assim (rn) uma sequncia crescente, limitada superiormente por s. Logo, os

rn so valores aproximados por falta de um nmero real x, tal que limxx0 rn = x. A

funo exponencial sendo contnua, ax = limxx0 arn = b, como queramos demonstrar.

Conclui-se que para todo nmero real positivo a, diferente de 1, a funo exponencial

f : R R+, dada por f(x) = ax uma correspondncia biunvoca entre R e R+,crescente se a > 1 e decrescente se 0 < a < 1, com a propriedade de transformar somas

em produtos, f(x + y) = f(x) f(y). Sua representao grca se encontra na gura(1.6).

Figura 1.6: Grco da funo exponencial.

33

A sua injetividade decorre da sua monotonicidade. Se a > 1, por exemplo, ento

x > y ax > ay e x < y ax < ay, portanto x 6= y ax 6= ay.Observa-se da denio das funes logartmicas f(x) = logxa e exponencial f(x) =

ax e devido a bijetividade de ambas, que so funes inversas, pois, o domnio R+ da

funo logartmica o conjunto imagem da exponencial e o domnio R da exponencial

o conjunto imagem da logartmica.

Gracamente, pode-se observar que os grcos so simtricos em relao a reta

bissetriz dos quadrantes mpares. Ver guras (1.7) e (1.8).

Os grcos esto representados abaixo, nos dois casos:

Figura 1.7: Grcos das funes exponencial e logartmica para base > 1.

34

Figura 1.8: Grcos das funes exponencial e logaritmica para 0 < base < 1.

35

Captulo 2

Leis de Crescimento e Decaimento

Exponencial

Muitas vezes uma quantidade fsica varia com o tempo e a magnitude dessa quanti-

dade no instante t pode ser expressa por q(t). Sua derivada q(t) a taxa de variao de

q(t) em relao ao tempo. Em vrias aplicaes essa taxa diretamente proporcional

magnitude da quantidade no tempo t, isto ,

q(t) = k q(t), ()

em que k uma constante real.

Em problemas aplicados costuma-se expressar a equao acima em termos de dife-

renciais. Assim, q(t) = dydte y = q(t). Logo, substituindo em ()

dy

dt= ky dy = kydt

36

Dividindo-se ambos os membros por y

1

ydy = kdt

Integrando-se ambos os membros,1

ydy =

kdt

e admitindo y > 0,

ln y = kt+ b

para alguma constante b. Segue que

y = ekt+b = ekt eb.

Se y0 denota o valor inicial de y, ento para t = 0,

y0 = e0 eb = eb

e assim a soluo y = ekt eb pode ser escrita como

y(t) = y0ekt.

Essa funo a lei de crescimento exponencial se k > 0 e a lei de decaimento expo-

nencial se k < 0. Tal funo o modelo matemtico que mais se aproxima da realidade

quando a situao expressa uma grandeza cuja taxa de crescimento (ou decrscimo)

proporcional quantidade daquela grandeza existente num dado momento.

A seguir sero apresentadas aplicaes dessas leis.

2.1 Capitalizao Contnua (Juros Compostos)

Um capital c0, empregado a uma taxa anual de i%, render, ao nal de um ano,

juros no valor de

c0i100. Fazendo = i

100, decorrido um ano, o novo capital c ser

37

c = c0 + c0, c = c0(1 + ), ou seja, no nal de um ano, o capital ser o valor do ano

anterior multiplicado pela constante 1 + . O montante acumulado ao nal de cada

ano ser:

Primeiro ano: M = c0(1 + )

Segundo ano: M = c0(1 + )(1 + ) = c0(1 + )2

Terceiro ano: M = c0(1 + )2(1 + ) = c0(1 + )

3

.

.

.

.

.

.

.

.

.

t-simo ano: M(t) = c0(1 + )t

em que = i100e t devem se referir ao mesmo perodo de tempo. Por exemplo, se t o

nmero de anos, i deve ser a taxa anual; se t for o nmero de meses de uma aplicao

nanceira, i deve ser a taxa de juros mensal.

Se tomamos uma frao

1ndo ano, o capital c0, empregado mesma taxa de juros,

render

c0nde juros, de modo que, decorrida a frao

1ndo ano, o capital c se transforma

em

c1 = c0 +c

n= c0

(1 +

n

)Prosseguindo assim, se dividirmos o ano em n partes iguais e, depois de decorrido

cada um desses perodos de

1ndo ano, capitalizarmos os juros rendidos, reinvestindo

sucessivamente mesma taxa, ao nal de um ano, obteremos um capital maior, ou

seja, c0(1 +

n

)n.

Logo, parece que se dividirmos um ano em um nmero cada vez maior de intervalos

de tempo, poder se aumentar ilimitadamente o capital. Ento, fazendo n tender a

innito,

c = c0 limn

(1 +

n

)n(2.1.1)

38

Usando

n

= 1x, se n, x e substituindo em (2.1.1), tem-se:

c = c0 limx

(1 +

1

x

)x= c0 lim

x

[(1 +

1

x

)x].

Como e = limx(1 + 1x)x, o capital em um ano de aplicao ser, c = c0e

.

O mesmo raciocnio vlido se considerarmos o capital c0 aplicado durante t anos,

mesma taxa de i%. Dividindo t anos em n partes iguais, resgatando e reinvestindo n

vezes, ao nal de t anos obteramos c0(1 + t

n

)n. Fazendo n crescer indenidamente,

M(t) = c0 limn

(1 +

t

n

)n,

M(t) = c0 et

que o montante da aplicao do capital c0, durante t anos, a uma taxa de i% ao ano,

= i100, de juros compostos acumulados continuamente.

A funo M(t) representada pelo grco abaixo.

Figura 2.1: Montante para juros compostos.

Comparando-se os dois modelos de juros compostos apresentados,M(t) = c0(1+)t

39

e M(t) = c0et, o segundo modelo aquele que mais se aproxima do que realmente

aconteceria.

Por exemplo, tomando-se c0 = 1000, i = 1% ao ms calcula-se o montante em um

ano de aplicao.

Pelo primeiro modelo, o montante real ser:

M(12) = 1000(1 + 0, 01)12 1126, 82

Pelo segundo modelo:

M(12) = 1000 e0,0112 = 1000 e0,12

Usando e 2, 71828, M(12) 1127, 49.Caso a capitalizao seja feita diariamente, teremos:

M = 1000

(1 +

0, 01

30

)1230 1127, 47

Caso a capitalizao seja feita por hora, teremos:

M = 1000

(1 +

0, 01

30 24)123024

1127, 49

Quanto menor o intervalo de tempo da capitalizao, ou seja, quanto mais prximo

da continuidade, mais o modelo neperiano se aproxima do real.

2.2 Crescimento Populacional

O crescimento populacional sob condies ideais outro fenmeno que exibe um

crescimento exponencial.

40

Quando dizemos que uma populao cresce taxa de i% ao ano, isto signica

que ela aumenta, a cada ano,

i100

= do seu valor. Seja P0 a populao num certo

momento. Ao nal de t anos seu valor ser

P (t) = P0(1 + )t.

Em geral, a populao envolve um nmero muito grande de indivduos, sejam os

habitantes de uma cidade ou pas ou as bactrias de uma certa colnia. Em vista disso,

razovel considerar a populao p(t) como uma funo que varia continuamente com

o tempo. Ento, a variao da populao ao longo do tempo proporcional a prpria

populao. Logo, usando-se o modelo neperiano para expressar tal populao, obtemos

P (t) = P0ekt, em que k a taxa de crescimento exponencial.

O grco abaixo representa a funo P (t).

Figura 2.2: Grco da funo P (t).

41

2.3 Decaimento Radioativo

Os tomos de uma substncia radioativa (rdio, urnio, plutnio, etc) possuem uma

tendncia natural a se desintegrarem, emitindo partculas e transformando-se em outra

substncia menos radioativa com o passar do tempo.

Isso acontece de tal maneira que num determinado instante, a quantidade de matria

que se desintegra proporcional massa da substncia original presente no corpo

naquele instante.

Cada substncia radioativa tem sua constante de desintegrao que determinada

experimentalmente a partir da meia vida da substncia, que o tempo necessrio para

que metade da massa de um corpo formado por aquela substncia, se desintegre.

Como a desintegrao se processa continuamente ao longo do tempo, a massa M(t)

no instante t , uma lei de decaimento exponencial, dada por

M(t) = M0et,

em que M0 a massa no momento inicial.

Para se calcular a meia vida, basta se considerar M(t) = Mo2. Logo,

M02

= M0et0

1

2= et0

ln1

2= ln et0

ln 2 = t0t0 =

ln 2

em que t0 a meia vida de uma substncia cuja taxa de desintegrao .

A funo M(t) representada pelo grco da gura (2.3).

Uma tcnica usada para determinar a idade de fsseis ou artefatos antigos a

Datao por carbono (Mtodo do Carbono 14).

42

Figura 2.3: Grco do decaimento radioativo.

O dixido de carbono, CO2, existente no ar, contm alm do istopo estvel (12C),

o istopo radioativo (

14C). As plantas absorvem o dixido de carbono do ar, o que

signica que a razo entre as massas de

14C e 12C em uma planta viva (ou em um animal

que se alimente dessa planta) o mesmo que no ar. Quando uma planta ou animal

morre deixa de absorver CO2, a massa de12C continua a mesma aps a morte, mas a

massa do carbono-14 diminui exponencialmente devido ao decaimento radioativo, o que

faz com que a razo entre as massas de

14C e 12C tambm diminua exponencialmente.

razovel supor que a razo R0 entre as massas de14C e 12C na atmosfera se

manteve praticamente constante nos ltimos milhares de anos, logo, a razo entre as

massas de

14C e 12C em uma amostra de um fssil ou de um artefato, dada por

R(t) = R0ekt. Como a meia vida do carbono

14C de 5570 anos, comparando-se R(t)

com R0 possvel estimar a idade da amostra.

43

Exemplo. Num castelo ingls existe uma velha mesa redonda de madeira que muitos

armavam ser a famosa Tvola Redonda do Rei Arthur, que viveu no sculo V. Por

meio de um contador Geiger (instrumento que mede radioatividade), constatou-se que

a massa de

14C existente hoje na mesa 0,894 vezes a massa de 14C, M0, que existe

num pedao de madeira viva com o mesmo peso da mesa, logo, M0 tambm a massa

de carbono

14C que existia na mesa quando ela foi feita h t anos. Ou seja, MM0

= 0, 894

e calculando-se a taxa de desintegrao do 14C,

=ln 2

5570= 0, 0001244

Usando M = M0et, obtemos que t = ln(0, 894)

0, 0001244= 901 anos.

Se a mesa fosse mesmo a Tvola Redonda, deveria ter mais de 1500 anos.

2.4 Resfriamento de um corpo

A lei de resfriamento de Newton arma que, a diferena de temperatura, T0 t0,entre um objeto e o meio ambiente que o contm, decresce com uma taxa de variao

proporcional a essa prpria diferena. Logo, uma lei de decaimento exponencial,

anloga a lei da desintegrao radioativa, que pode se expressar por

T (t) = t0 + (T0 t0)ekt

em que t0 a temperatura ambiente, T0 a temperatura do objeto no momento em que

foi colocado no ambiente, k uma constante, que depende do material que constitui o

44

objeto e T (t) a temperatura do objeto no instante t.

Observa-se que depois de muito tempo que o objeto foi colocado nesse ambiente,

sua temperatura tende a se igualar com a temperatura do ambiente, t0. Ou seja,

limt

T (t) = limt

[t0 + (T0 + t0)ekt]

limt

T (t) = limt

[t0 +

T0 t0ekt

]Como ekt , T0t0

ekt 0, logo, limt T (t) = t0.O grco da gura (2.4) representa a funo T (t).

Figura 2.4: Grco do resfriamento de um corpo.

Exemplicando o modelo matemtico de resfriamento de um corpo, suponha que

uma xcara de caf , inicialmente a 60C, seja colocada num ambiente de temperatura

20C. Vinte minutos depois, a temperatura do caf passa a ser de 30C. Deseja-se

calcular a temperatura do caf 50 minutos aps o caf ser servido.

45

Utilizando-se a funo T (t) = t0 + (T0 t0)ekt e substituindo-se as informaes:

T (t) = 20 + 40 ekt

T (20) = 20 + 40 e20k = 30.

Logo,

e20k =1

4 e10k = 1

2.

Calculando T (50):

T (50) = 20 + 40.e50

= 20 + 40(e10k)5

= 20 + 40.

(1

2

)5T (50) = 21, 25C.

A tendncia que para tempos maiores que 50 minutos a temperatura do caf se

aproxime da temperatura ambiente de 20 C.

T (60) 20, 62

T (80) 20, 15

T (100) 20, 03.

2.5 Circuito Eltrico

Ao aplicar certa tenso eltrica E num elemento condutor de eletricidade (ver gura

2.5 ), produz-se uma corrente eltrica de intensidade I. Essa intensidade I no atinge

46

um valor xo imediatamente. Todo circuito tem um certo coeciente de auto indutncia

L, assim, se aplicarmos ao circuito uma fora eletromotriz E, ele reagir com uma fora

contra eletromotriz de intensidade LdIdt, de modo que a fora eletromotriz resultante

ser F (t) = E LdIdt.

Figura 2.5: Circuito eltrico.

Pela Lei de Ohm, tem-se

F = RI RI = E LdIdtt

em que R a resistncia do circuito.

RI = E L dIdT

LdI

dt= E RI

LdI + (RI E)dt = 0

Fazendo dI = dx x = I e dt = dy y = t, temos

Ldx+ (Rx E)dy = 0

47

Sendo

L = M = Px e Rx E = N = Py

My = 0

Nx = R

Nx My

M=R

L= Py = 0, = e

RLdy = e

RLy

LeRLydx+ e

RLy(Rx E)dy = 0

My = L.eRLy.R

L

Nx = R.eRLy

=

Le

RLydx = Lxe

RLy + g(y)

y = LxeRLy.R

L+ g(y) = Rxe

RLy EeRL y

g(y) = EeRL y

g(y) =

EeRL ydy = EeRL y. L

R

f = LxeRLy EL

ReRLy = k

LxeRLy = k +

EL

ReRLy

LxeRLy = k +

EL

ReRLy

ELRe0 = k k = EL

R

LIeRLt =

EL

ReRLt EL

R=E

R

(eRLt 1

)I =

E

R

(1 eRL t

)Resolvendo a equao diferencial acima e sabendo-se que I(0) = 0, obtm-se

I(t) =E

R

(1 eRtL

)que a funo que descreve a intensidade da corrente ao longo do tempo enquanto o

circuito esta ligado.

48

Figura 2.6: Grco da intensidade da corrente eltrica.

A funo I(t) est representada gracamente na gura (2.6).

Em particular, num circuito em que E = 10, L = 10 e R = 2, aps 10 segundos

de ligado, a intensidade da corrente ser

I =10

2 (1 e0,210)

I = 5 (

1 1e2

).Usando e 2, 7.

I = 4, 31A.

2.6 Intensidade Luminosa

As plantas aquticas so encontradas a at alguns metros de profundidade da su-

perfcie de lagos e oceanos. Isso explicado pelo fato da intensidade de luz I diminuir

49

exponencialmente com a profundidade x.

Segundo a lei de Bouger Lambert, constatou-se que a taxa de variao da in-

tensidade luminosa determinada profundidade x, isto dIdx, proporcional a prpria

intensidade luminosa.

Logo, obtm-se a funo I(x) = I0ekx, em que k o coeciente de absoro da

gua, que depende do comprimento de onda da luz e da densidade da gua.

O grco de I(x) est representado abaixo

Figura 2.7: Grco da intensidade luminosa I(x).

50

2.7 Curva de Aprendizagem

possvel se obter uma relao entre a ecincia com o qual um indivduo realiza

uma tarefa e o tempo de treinamento ou experincia na atividade considerada.

Por exemplo, a produtividade de um operrio na linha de montagem de uma fbrica,

cresce rapidamente nos primeiros treinamentos. Mas a taxa de crescimento dessa pro-

dutividade diminui com o tempo e o nvel de produtividade do funcionrio aproxima-se

de um certo nvel xo devido s limitaes do trabalhador e da mquina.

Devido a essa caracterstica, o grco da funo Q(t) = BAekt chamado curvade aprendizagem. Na funo A, B e k so constantes positivas e Q(t) o nvel de

aprendizado no instante t.

Para traar o grco, observe que

Q(0) = B A

Q(t) = kAekt

Como A e k so constantes positiva, Q(t) > 0 para todo valor de t. Portanto, Q(t)

uma funo crescente de t.

Observa-se tambm que:

= limt

Q(t) = limt

(B Aekt)

= limt

B limt

Aekt

= B

e assim Q(t) = B uma assntota horizontal da funo. Isto , a medida que t

cresce ilimitadamente o valor de Q(t) cresce e se aproxima do nmero B.

Restringindo-se o domnio da funo ao intervalo [0,), o grco de Q(t) repre-sentado na gura (2.8).

51

Figura 2.8: Grco da funo Q(t) = B Aekt.

2.8 Logstica de Crescimento

O grco da funo Q(t) =B

1 + Aekt, em que A, B e k so constantes positivas

chamado curva logstica (ou sigmoidal).

Observa-se pela funo que para pequenos valores de x, a curva cresce rapidamente

mas, para valores grandes de x, passa a crescer mais lentamente, aproximadamente

de uma assntota horizontal, como a curva de aprendizado. Essa assntota representa

um nvel de saturao da grandeza representada e chamada de capacidade de

suporte da grandeza.

Assim, por exemplo nos modelos de populao a capacidade de suporte o nmero

mximo de indivduos que o ambiente pode suportar. A populao se estabilizaria num

nvel compatvel com o que o ambiente capaz de oferecer para sobrevivncia dessa

52

populao. Modelos que descrevem a propagao de boatos e epidemias so outros

exemplos da aplicao da curva logstica.

A seguir sero calculados alguns elementos usados na construo do grco da

funo Q(t).

Q(0) =B

1 + Ae0=

B

1 + A

Q(t) =A ekt (k) B

(1 + Aekt)2=

ABkekt

(1 + Aekt)2

Como Q(t) > 0 para qualquer valor de t, a funo monotonicamente crescente.

Vericando-se se h um ponto de inexo:

Q(t) =ABk2ekt(Aekt 1)

(1 + Aekt)3

igualando-se Q(t) = 0, obtm-se apenas uma raiz:

Aekt 1 = 0

ekt =1

A

ln ekt = ln(

1

A

)kt = lnA

t =lnA

k

Sinal de Q(t)

Ento para t = lnAk, h um ponto de inexo (de para cima para para baixo).

No h assntotas verticais, pois, Q(t) existe para qualquer valor de t > 0.

limt

Q(t) = limt

B

1 + Aekt=

B

1 + A 0 = B

53

Logo, a reta y = B uma assntota horizontal. O grco est representado na

gura (2.9).

Figura 2.9: Grco da logstica de crescimento.

54

Captulo 3

Aplicaes da Funo Logartmica

3.1 Altitude de uma localidade

A presso atmosfrica a uma altura h, em relao ao nvel do mar, o peso de uma

coluna vertical de ar cuja base horizontal, tem altura h e rea igual a 1.

Prova-se, segundo a Lei de Boyle, que a presso a uma altitude h dada por

p(h) = p0eh, em que p0 a presso atmosfrica ao nvel do mar e uma constante.

A partir do clculo da presso atmosfrica p, usando-se um barmetro, possvel

se determinar a altura h.

55

Tem-se:

p = p0eh p

p0= eh

ln

(p

p0

)= ln eh

ln

(p

p0

)= h

h = 1

ln

(p

p0

)

h(p) =1

ln

(p0p

)A funo h(p) apresenta domnio (0, p0] e conjunto imagem [0,+). Seu grcoest representado abaixo.

Figura 3.1: Funo presso atmosfrica.

56

3.2 Sismologia

A primeira escala utilizada para quanticar o nvel de energia liberada por um

sismo, foi desenvolvida em 1935 pelos sismlogos Charles Richter e Beno Gutemberg.

Tal escala cou conhecida como Escala de Magnitude Local ou Escala Richter.

Como a energia liberada (E) por um terremoto um nmero muito grande, utilizou-

se uma escala logartmica de base 10 e o terremoto quanticado por um nico nmero,

chamado magnitude.

A magnitude na Escala Richter dada por

M =2

3log(

E

E0)

em que E0 uma energia liberada por um pequeno terremoto e usado o valor E0 =

104,4J como referncia.

O grco dessa funo apresentado abaixo.

Figura 3.2: Magnitude na escala Richter.

Hoje em dia se utiliza uma outra escala, tambm logartmica de base 10, porm mais

precisa que a escala de Richter. a Escala de Magnitude de Momento (MMS)

57

que leva em conta a rea de ruptura da falha geolgica onde ocorrem o terremoto e o

deslocamento mdio dessa rea.

O smbolo da escala de magnitude do momento Mw, em que w signica o trabalho

mecnico realizado. Mw um nmero adimensional denido por

Mw =2

3log(M0) 10, 7

em que M0 o momento ssmico.

O grco de Mw apresentado abaixo

Figura 3.3: Escala de Magnitude de momento.

3.3 Nvel de Intensidade Sonora

A altura de um som, experimentada pelo ouvido humano, baseia-se no nvel de

intensidade.

O nvel de intensidade sonora, N , medido em decibis (dB), em homenagem a Ale-

xander Graham Bell, denido em escala logartmica pelo fato de que o ser humano

58

possui a peculiaridade de que sua sensibilidade varia linearmente enquanto que o es-

tmulo respectivo varia exponencialmente. O nvel de intensidade sonora N dado

por:

N = 10 log

(I

I0

)em que I e I0 so intensidades sonoras, em w/m

2, que queremos comparar. Nor-

malmente escolhe-se I0 = 1012w/m2 que a intensidade sonora mais baixa da faixa

audvel para um ser humano.

O grco da funo N(I) dado abaixo

Figura 3.4: Funo da intensidade sonora.

3.4 Clculo do pH

Os qumicos usam um nmero denotado por pH (potencial hidrogninico)

para descrever quantitativamente a acidez, neutralidade ou basicidade de uma soluo

59

aquosa.

O termo pH foi introduzido em 1909, pelo bioqumico Peter Lauritz Sorensen

(1868 1939) com o objetivo de facilitar seus trabalhos no controle da qualidade decervejas.

Por denio, pH = log[H+], em que [H+] a concentrao dos ons hidrognio,em mols por litro, na soluo.

Se o pH menor que 7 indica que a soluo cida. Quanto mais prximo de zero,

mais cida a soluo.

Se o pH = 7, a soluo neutra.

Se o pH maior que 7, indica a alcalinidade da soluo. Quanto mais distante de

7, mais bsica a soluo.

A tabela abaixo informa o pH de algumas substncias.

Substncia pH

Vinagre 2

Refrigerante tipo cola 2,5

Sumo da laranja 3,5

Cerveja 4,5

Caf 5

Leite 6,5

gua pura 7,0

Sangue 7,4

gua do mar 8,0

Sabonete 9 a 10

Soda Custica cola 13,5

60

A funo pH possui domnio (0, 1), conjunto imagem (0,+) e o grco est re-presentado abaixo.

Figura 3.5: Funo pH.

61

Captulo 4

Sugesto de Aula

Para que os alunos conheam as aplicaes das funes exponenciais e logartmicas,

despertando assim a curiosidade de saber em que situaes tais funes possam ser

empregadas, sugiro que o professor aps apresentar o logaritmo com suas propriedades

operatrias, explicar a funo logartmica e a funo exponencial, com seus respectivos

grcos, possa fazer a seguinte aula: que os alunos, em sala de aula, pesquisem sobre

essas funes apresentando cada um deles, pelo menos, trs aplicaes delas nas diversas

reas do conhecimento. Tal pesquisa pode ser feita em livros, enciclopdias, pela

internet, ou outro meio. Aps apresentar essas aplicaes, cada aluno ir propor um

exemplo de cada uma delas e resolver esses exerccios, entregando em seguida ao

professor. Na aula seguinte o professor ir resolver no quadro, apresentando para toda

a turma, alguns dos melhores exerccios propostos pelos alunos, discutindo cada um

deles, e mostrando os grcos das funes.

Dessa forma cada aluno poder vislumbrar a importncia dessas funes e a partir

dos problemas propostos conhecer seus modelos matemticos e seus grcos, tendo

62

uma noo do comportamento dessas funes.

63

Captulo 5

Consideraes Finais

No decorrer da evoluo humana, devido s necessidades momentneas ou para dar

asas a sua criatividade e genialidade, o homem procurou desenvolver ferramentas ma-

temticas que propiciassem novos conhecimentos ou que saciassem tais necessidades.

Foi assim com a criao das tbuas de logaritmos, que propiciou um avano extraordi-

nrio nos estudos sobre astronomia no sculo XVI e simplicou os clculos aritmticos

nos trs sculos seguintes.

Com a necessidade do homem tentar prever a relao que existe entre duas ou mais

grandezas, pde-se modelar tal relao por uma frmula matemtica que expressasse,

de forma precisa ou prxima disso, essa relao, podendo o homem tomar a melhor

deciso em cada caso.

Com o auxlio das funes logartmicas e exponenciais, foi possvel modelar ou

dimensionar vrios fenmenos que at ento no eram de domnio do conhecimento

humano. Tal capacidade de tentar entender ou explicar esses fenmenos faz com que

o homem torne a sua existncia mais adequada, melhorando sua relao com o meio

64

ambiente em que vive.

Fenmenos fsicos como: o resfriamento de um corpo, a intensidade da corrente

eltrica num circuito, a variao da intensidade luminosa, o clculo da altitude em

funo da presso atmosfrica e o clculo do nvel da intensidade sonora; qumicos,

como o decaimento da massa de materiais radioativos e o clculo do pH das substncias;

biolgicos, como a previso do crescimento de populaes; econmicos, como o clculo

de juros contnuos, a modelagem de situaes de aprendizagem e logstica; e geogrcos,

como, por exemplo, a quanticao de abalos ssmicos, j no so mais um mistrio

para o homem, pois, com o auxlio das funes estudadas, pode-se prever com certa

preciso cada um desses fenmenos.

Toda ferramenta matemtica apresentada nesse trabalho continuar sendo usada

por novas geraes de cientistas para descrever fenmenos que ainda no so de dom-

nio humano ou fenmenos que no foram descobertos. Tudo isso, com o objetivo de

melhorar a qualidade de vida da Humanidade.

65

Referncias Bibliogrcas

[1] VILA, Geraldo, Clculo 1 - Funes de uma varivel, Livros tcnicos e cien-

tcos Editora S.A., 1991.

[2] BOYLER, Carl B., Histria da Matemtica , So Paulo, 1991.

[3] HOFFMANN, Laurence D. e Bradley, Gerald L., Trad. Ronaldo

Srgio de Biasi, Clculo um curso moderno e suas aplicaes, 10

o

edio. Edi-

tora LTC, So Paulo, 2010.

[4] LIMA, Elton Lages , Logaritmos ,Coleo do Professor de Matemtica, SBM,

Rio de Janeiro, 1991.

[5] LIMA, Elton Lages , Nmeros e Funes reais ,Coleo do PROFMAT. SBM,

Rio de Janeiro, 2013. 1 edio.

[6] SWOKOWSKI, Earl W. Trad Alfredo Alves de Farias, Clculo com

geometria analtica , EVolume 1 Editora Makron books, 1995.

[7] TAN, S. T., trad Edson de faria, Matemtica Aplicada administrao e

economia, Ed. Pioneira Thowson Learning, 2001.

[8] Em http://wikipedia.org/wiki/le:EscalaRichter. Acesso em 19 de janeiro de 2014.

66

[9] Em http://wikipedia.org/wiki/le:pH. Acesso em 19 de janeiro de 2014.

67