A probabilidade de X tomar um dado valor é zero. Calcula-se a probabilidade de X estar dentro de um intervalo. Função de densidade 1. f(x) ≥ 0  +2. f(x) dx = 1 -bP(a < X < b) = f(x) dx

a  Função de distribuição

xF(x) = P(X < x) = P(-< X < x) = f(u)du

-  dF(x)/dx = f(x)

VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS

Independência Duas variáveis aleatórias contínuas X e Y são independentes se os acontecimentos X ≤ x e Y ≤ y são independentes. F(x, y) = F1(x) . F2(y)  ESPERANÇA MATEMÁTICA   +E(X) = x . f(x) dx -  VARIÂNCIA  +E[(X-)2] = (x-)2 . f(x) dx

-

COVARIÂNCIA ++

Cov (X, Y) = (x-x)(y-y) f(x,y) dxdy

--

VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS

A DISTRIBUIÇÃO NORMAL X n (, ) - X é uma variável aleatória normal com média e desvio padrão . Função densidade de probabilidade f(x) = f(x, , ) =  __= 1/( √2) . e -1/2[(x-)/2

 para: - < x < + - < < + e > 0

E (X) =   Var (X) = 2

  

VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS

A DISTRIBUIÇÃO NORMAL

VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS

A DISTRIBUIÇÃO NORMAL

VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS

012345

100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200

Estatura (cm)

Nº

de

in

div

ídu

os

Média = 150s = 10

Média = 160s = 10

012345

100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200

Estatura (cm)

Nº

de

in

div

ídu

os

Média = 150s = 20

A DISTRIBUIÇÃO NORMAL Para o cálculo de probabilidades as distribuições normais são transformadas na normal-padrão, que se encontra tabelada. X tem distribuição normal, então Z tem uma distribuição normal padrão:   X – Z = ——— n ()  

 

Função densidade de probabilidade __(z) = 1/√2 . e -z2/2

  Função de distribuição (z) = P(Z ≤ z) 

VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS

A distribuição normal como aproximação da distribuição binomial Se X b (x; n; p) com n e p próximo de 0,5  Na prática n > 20 e 0,1 < p < 0,9 Então   ___X n (np; √npq )   ___(X - np)/√npq n (0; 1) 

VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS

A distribuição normal como aproximação da distribuição de Poisson  Se X p (x, )   Com

Na prática > 20 Então

_X n (; √)  _(X - ) / √ n (0, 1) 

VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS

Aproximação da distribuição binomial à Poisson  A distribuição binomial converge para a distribuição de Poisson, quando:

n e p

mantendo-se = np constante.  Na prática:

n > 20 e p ≤ 0,05  

VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS

Coeficiente de assimetria  Terceiro momento em relação à média:  _k 3 = n . (Xi - X) 3] / [(n-1)(n-2)]  g1 = k 3 / s 3

   Simétrica g1 = 0  Assimétrica à esquerda g1 < 0  Assimétrica à direita g1 > 0

VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS

Assimetria

Normal típica Bimodal

g1>0;

Assimétrica à direita

g1>0;

Assimétrica à esquerda

Coeficiente de achatamento (curtose)  k 4 =

_ _{n (Xi - X) 4 . n(n+1)(n-1)] - 3 [(Xi - X) 2] 2 } / [(n-3)(n-2)]   g2 = k 4 / s 4

     Mesocúrtica g2 = 0  Platicúrtica g2 < 0  Leptocúrtica g2 > 0

VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS

Achatamento

Mesocúrtica

Platicúrtica

g2<0

Leptocúrtica

g2>0