distribuiÇÕes de probabilidade conjuntas · distribuiÇÃo normal estatística aplicada à...

DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADE CONJUNTAS

Estatística Aplicada à Engenharia

ROTEIRO

1.  Distribuições conjuntas 2.  Independência 3.  Confiabilidade 4.  Combinações lineares de variáveis

aleatórias 5.  Referências


DISTRIBUIÇÃO NORMAL




Definição: Diz-se que uma variável aleatória X tem distribuição Normal com média μ e variância σ2 (denota-se X ~ N(μ; σ2)) se sua função densidade de probabilidade f for escrita como

f(x)=1

2πσ 2exp −

1

2σ 2x −µ( )

2⎧⎨⎩

⎫⎬⎭,−∞ < x <∞.


Estatística Aplicada à Engenharia x

f(x)

µ

•  A média é um parâmetro de localização e a variância é um parâmetro de escala;

PROPRIEDADES DA NORMAL

−4 −2 0 2 4

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

x

f(x)

N(−1, 1)N(0, 1)N(1, 1)

Estatística Aplicada à Engenharia 5

•  A média é um parâmetro de localização e a variância é um parâmetro de escala;


−4 −2 0 2 4

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

x

f(x)

N(0, 1)N(0, 2)N(0, 3)



•  Pode-se obter uma normal padrão (média zero e variância um) a partir de qualquer variável aleatória X, que seja normal com média μ e variância σ2, utilizando a transformação

•  Note que o denominador corresponde ao desvio

padrão, e não à variância


Z =X −µσ

σ = σ 2


•  Diferentes probabilidades referentes a X podem ser obtidas de tabelas normais padrão simplesmente padronizando

•  A normal padrão é simétrica em torno de zero, facilitando vários cálculos. Por exemplo,


P X ≤ x( ) = P X −µσ

≤x −µσ

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ = P Z ≤

x −µµ

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

P Z > z( ) = P Z < −z( )

EXEMPLOS

•  Sejam X~N(0;1), Y~N(-2;4), V~N(6;9) e W~N(3;0,25). Calcule:

a) 

b) 

c) 

d)  Estatística Aplicada à Engenharia

P X ≤1,96( )

P Y > 0( )P 4,5 ≤V ≤ 6,5( )

P W ≤ 3,5( )

•  Através da tabela, pode-se também obter pontos zp tais que


P Z > zp( ) = p

0 zp

p


EXEMPLOS

•  Sejam X~N(0;1), Y~N(-2;4), V~N(6;9) e W~N(3;0,25). Calcule x, y, v, e w que garantem as respectivas probabilidades:

a) 

b) 

c) 

d) 


P −x ≤ X ≤ x( ) = 0,95

P Y > y( ) = 0,025

P V ≤ v( ) = 0,975

P W ≤w( ) = 0,95

DISTRIBUIÇÕES CONJUNTAS


DISTRIBUIÇÃO CONJUNTA

•  Em muitos experimentos, mais de uma variável aleatória é observada;

•  Exemplos:

•  O diâmetro (X) e a espessura (Y) de um disco moldado por injeção;

•  A espessura de um substrato (X), de uma camada ativa (Y) e de uma camada de revestimento (Z) de um produto químico;



•  Suponha que estejamos interessados em analisar probabilidades conjuntas relacionadas às variáveis aleatórias X e Y. Por exemplo, a probabilidade de X pertencer ao intervalo [a,b] e Y pertencer ao intervalo [c,d]:

•  Assim como no caso univariado, esse tipo de probabilidade será calculada de acordo com o tipo de variável aleatória;

P(a ≤ X ≤ b,c ≤ Y ≤ d)



•  Caso contínuo:

em que corresponde à função densidade de probabilidade conjunta de X e Y; •  Caso discreto: em que

P(a ≤ X ≤ b,c ≤ Y ≤ d)= f(x,y)dxdyc

d

∫a

b

∫ ,

f (x, y)

P(a ≤ X ≤ b,c ≤ Y ≤ d)= f(x,y)y=c

d

∑x=a

b

∑ ,

f(x,y)= P(X = x,Y = y).


Diâmetro

Espessura

f(x,y)

No caso do exemplo anterior, poderíamos i m a g i n a r q u e a distribuição conjunta entre Diâmetro e Espessura seria como na figura ao lado.



INDEPENDÊNCIA DE VARIÁVEIS ALEATÓRIAS


INDEPENDÊNCIA

•  É possível simplificar os cálculos relacionados a probabilidades conjuntas, dependendo das suposições do modelo de probabilidade;

•  Uma suposição bem frequente em várias situações corresponde ao caso de independência de variáveis aleatórias;

•  De uma forma mais geral, podemos considerar não apenas duas variáveis (por exemplo, X e Y), mas

X1,X

2,…,X

n.


INDEPENDÊNCIA

Definição:

As variáveis aleatórias X1, X2, ..., Xn são independentes se, para quaisquer conjuntos E1, E2, ..., En, tivermos

P(X

1∈ E

1,X

2∈ E

2,…X

n∈ E

n)= P(X

1∈ E

1)P(X

2∈ E

2)…P(X

n∈ E

n).


INDEPENDÊNCIA

Exemplo 1: O diâmetro de um eixo de drives ópticos de armazenagem é normalmente distribuído com média de 0,2508 polegada e desvio padrão de 0,0005 polegada. As especificações do eixo são 0,2500 ± 0,0015. Qual a probabilidade de um eixo selecionado ao acaso obedecer às especificações?


INDEPENDÊNCIA

Resolução: Denotemos por X o diâmetro do eixo. Portanto, temos que Logo,

X ~N(0,2508;0,00052).

P(0,2485 < X < 0,2515)= P0,2485−0,2508

0,0005< Z <

0,2515−0,25080,0005

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

= P(−4,6 < Z <1,4)

= P(Z <1,4)−P(Z < −4,6)

= 0,9192−0,0000

= 0,9192Estatística Aplicada à Engenharia

INDEPENDÊNCIA

Exemplo 1 (continuação): O diâmetro de um eixo de drives ópticos de armazenagem é normalmente distribuído com média de 0,2508 polegada e desvio padrão de 0,0005 polegada. As especificações do eixo são 0,2500 ± 0,0015. Qual a probabilidade de que todos os diâmetros dos 10 eixos obedeçam às especificações? Suponha que os diâmetros sejam independentes.


INDEPENDÊNCIA

Resolução: Denotemos por Xi o diâmetro do i-ésimo eixo,

Portanto, temos que Sob a suposição de que os diâmetros são independentes, a probabilidade de todos os eixos obedecerem às especificações será

i =1,2,…,10.Xi~N(0,2508;0,00052).

P(0,2485 < X1< 0,2515,0,2485 < X

2< 0,2515,…,0,2485 < X

10< 0,2515)

= P(0,2485 < X1< 0,2515)P(0,2485 < X

2< 0,2515)…P(0,2485 < X

10< 0,2515)

= 0,9192×0,9192×…×0,9192

= 0,919210 ≈ 0,4306


INDEPENDÊNCIA

Exemplo 2: Suponha que X1, X2 e X3 representem a espessura em micrômetros de um substrato, de uma camada ativa e de uma camada de revestimento de um produto químico, respectivamente. Supondo independência e que em que As especificações para a espessura do substrato, a camada ativa e a camada de revestimento são, respectivamente, 10.000±800, 1.000±50 e 80±5. Qual a proporção de produtos químicos que atende a todas as especificações? Qual tem a menor probabilidade de atender às especificações?

Xi~N(µ

i;σ

i2), i =1,2,3,

µ1=10.000,µ

2=1.000,µ

3= 80,σ

1= 250,σ

2= 20,σ

3= 4.


INDEPENDÊNCIA

Resolução: Usando a notação da definição de independência, temos que Como as variáveis aleatórias são independentes, Após a padronização, temos que

E1= (9200;10800),E

2= (950;1050) e E

3= (75;85).

P(9200 < X1<10800,950 < X

2<1050,75 < X

3< 85)

= P(X1∈ E

1,X

2∈ E

2,X

3∈ E

3)

= P(X1∈ E

1)P(X

2∈ E

2)P(X

3∈ E

3)

= P(9200 < X1<10800)P(950 < X

2<1050)P(75 < X

3< 85).


INDEPENDÊNCIA

Resolução (continuação): Lembrando que Além disso, a espessura da camada de revestimento apresenta a menor probabilidade de atender às especificações, sendo esta 0,7888.

P(9200 < X1<10800,950 < X

2<1050,75 < X

3< 85)

= P(−3,2 < Z < 3,2)P(−2,5 < Z < 2,5)P(−1,25 < Z <1,25)

= 0,9986×0,9876×0,7888 = 0,7779.

Z ~N(0,1).


INDEPENDÊNCIA

Exemplo 3: Considere um sistema com dois componentes em série. Esse sistema opera somente se ambos os c o m p o n e n t e s e s t i v e r e m f u n c i o n a n d o . A s probabi l idades do pr imeiro e do segundo componentes funcionarem são, respectivamente, 0,9 e 0,95. Supondo que os componentes operem de forma independente, qual a probabilidade do sistema não apresentar problema?


INDEPENDÊNCIA

Resolução: Denotemos por Ci o evento em que o componente i está funcionando, i=1, 2. Para o sistema operar, ambos os componentes devem estar funcionando. Assim, como os componentes funcionam de forma independente, a probabilidade do sistema funcionar será P(C

1∩C

2)= P(C

1C2)= P(C

1)P(C

2)= 0,9×0,95 = 0,855.


INDEPENDÊNCIA

Exemplo 4: E se os componentes estivessem em paralelo? Em outras palavras, o sistema estará operacional se pelo menos um dos componentes estiverem funcionando. A probabilidades do primeiro e do segundo componentes funcionarem são, respectivamente, 0,9 e 0,95. Supondo que os operem de forma independente, qual a probabilidade do sistema não apresentar problema?


INDEPENDÊNCIA

Resolução: Denotemos por Ci o evento em que o componente i está funcionando, i = 1, 2. Para o sistema operar, pelo m e n o s u m d o s c o m p o n e n t e s d e v e e s t a r funcionando. Assim, como os componentes funcionam de forma independente, a probabilidade do sistema funcionar será

P(C1∪C

2)= P(C

1)+P(C

2)−P(C

1C2)

= P(C1)+P(C

2)−P(C

1)P(C

2)

= 0,9+0,95−0,9×0,95 = 0,995.


INDEPENDÊNCIA

Resolução 2: Denotemos agora Ci’ como sendo o evento em que o componente i falha, i = 1, 2. Nesse caso, também podemos calcular a probabilidade do sistema funcionar fazendo Observe que, nesse exemplo, o sistema falha apenas se todos os componentes falharem.

P(C1∪C

2)=1−P(C

1'C

2')=1−P(C

1')P(C

2')

=1−0,1×0,05 = 0,995.


CONFIABILIDADE


CONFIABILIDADE

Definição: Confiabilidade é o nome que se dá a probabilidade de um componente não falhar ao longo do tempo de sua missão;

•  Suponha que ri denote a confiabilidade de um componente i em um sistema que consiste em k componentes, e que r denote a probabilidade do sistema não falhar ao longo do tempo da missão;

•  r pode ser chamado de confiabilidade do sistema;


CONFIABILIDADE

•  A confiabil idade de um sistema em série corresponde a

•  A confiabilidade de um sistema em paralelo

corresponde a

r = r1r2!r

k;

r =1−(1− r1)×(1− r

2)×!×(1− r

k).


CONFIABILIDADE

Exemplo 5: O sistema mostrado na figura a seguir opera somente se houver um caminho de componentes funcionais da esquerda para a direita. A probabilidade de cada componente funcionar é mostrada na figura. Suponha que cada componente funcione i n d e p e n d e n t e m e n t e d o s d e m a i s . Q u a l a probabilidade do sistema operar?


CONFIABILIDADE

Exemplo 5:

C3 0,95

C1 0,92

C2 0,90

C4 0,99


CONFIABILIDADE

Resolução: Denotemos por B o evento em que o subsistema de componentes em paralelo C2 e C3 esteja funcional. Assim, para o sistema operar, é necessário que C1, B e C4 estejam funcionando em série.

C3 0,95

C1 0,92

C2 0,90

C4 0,99

Bloco B Estatística Aplicada à Engenharia

CONFIABILIDADE

Resolução: A probabilidade do subsistema B estar operacional é Portanto, como cada componente funciona de forma independente dos demais, a probabilidade do sistema funcionar será

P(C1∩B∩C

4)= P(C

1)×P(B)×P(C

4)

= 0,92×0,995×0,99 = 0,906246.

P(B)= P(C2∪C

3)=1−(1−P(C

2))×(1−P(C

3))

=1−0,1×0,05 = 0,995.


CONFIABILIDADE

Exemplo 6: O sistema mostrado na figura a seguir opera somente se houver um caminho de componentes funcionais da esquerda para a direita. A probabilidade de cada componente funcionar é mostrada na figura. Suponha que cada componente funcione i n d e p e n d e n t e m e n t e d o s d e m a i s . Q u a l a probabilidade do sistema operar?


CONFIABILIDADE

Exemplo 6:

C1 0,92

C3 0,80

C5 0,90

C7 0,99

C4 0,90

C2 0,90

C6 0,95

C8 0,98


CONFIABILIDADE

Resolução: Denotemos por Bi o evento em que o subsistema de componentes em paralelo do Bloco i esteja funcional. Assim, para o sistema operar, é necessário que C1, B1, B2, C7 e C8 estejam funcionando em série.

C1 0,92

C3 0,80

C5 0,90

C7 0,99

C4 0,90

C2 0,90

C6 0,95

C8 0,98

Bloco 1 Bloco 2 Estatística Aplicada à Engenharia

CONFIABILIDADE

•  Pode ocorrer de se querer saber a respeito do tempo de vida de um sistema;

•  Considere um sistema com k componentes, e que o tempo de vida do componente i seja denotado pela variável aleatória Xi, i = 1, 2, ..., k. Suponha independência entre as variáveis;

•  O tempo de vida T de um sistema dependerá da forma como seus componentes estão dispostos;


•  No caso em que o sistema for em série, a distribuição do tempo de vida do sistema será o mínimo dos tempos dos componentes:

•  No caso em que o sistema for em paralelo, a distribuição do tempo de vida do sistema será o máximo dos tempos dos componentes

P(T ≤ t)=1−P(T > t)

=1−P(X1> t,!,X

k> t)

=1−P(X1> t)×!×P(X

k> t);

P(T ≤ t)= P(X1≤ t,!,X

k≤ t)

= P(X1≤ t)×!×P(X

k≤ t);

CONFIABILIDADE


CONFIABILIDADE

Exemplo 7: Considere um sistema com três componentes operando em série. Suponha que o tempo de vida (em dias) de cada componente seja exponencialmente distribuído com a mesma taxa de falha λ= 0,01. Assuma também q u e o s c o m p o n e n t e s f u n c i o n a m o u f a l h a m independentemente. a)  Qual o tempo médio de vida de cada componente? b)  Qual o tempo médio de vida do sistema? c)  Qual a probabilidade do tempo de vida do sistema ser

superior a 400 dias? d)  Responda os itens acima supondo que o sistema

funcione em paralelo.


COMBINAÇÕES LINEARES DE VARIÁVEIS ALEATÓRIAS


COMBINAÇÕES LINEARES DE V.A.’S

•  O estudo relacionado ao tempo de vida de sistemas (em série e/ou paralelo) é apenas um exemplo de transformações de variáveis aleatórias (independentes);

•  Um outro tipo de transformação de variáveis aleatórias muito comum, e que será abordado com frequência, corresponde à combinação linear de variáveis aleatórias;

•  A suposição de independência também será comum aqui;



Definição: Sejam X1, X2, ..., Xn variáveis aleatórias com média

e variância Dizemos que, para c1, c2, ..., cn constantes, corresponde a uma combinação linear de variáveis aleatórias.

Y = c1X1+c

2X2+!+c

nXn

E(Xi)= µ

iV(X

i)=σ

i2, i =1,…,n.



•  A média de Y será

•  Se X1, X2, ..., Xn forem independentes, a variância de Y será

•  Se X1, X2, ..., Xn forem normais e independentes, então Y também terá distribuição normal;

E(Y)= c1µ1+c

2µ2+!+c

nµn;

V(Y)= c12σ 2

1+c

22σ 2

2+!+c

n2σ 2

n;



Exemplo 8: Considere o estudo de uma peça fabricada em que as variáveis aleatórias X1 e X2 representam, respectivamente, o comprimento e a largura da p e ç a . S u p o n h a q u e a s v a r i á v e i s s e j a m independentes e normalmente distribuídas com E ( X 1 ) = 2 c m e V ( X 1 ) = 0 , 0 1 c m 2 , E ( X 2 ) = 5 c m e V(X2)=0,03cm2. Denote por Y o perímetro da peça. a)  Qual a distribuição do perímetro? b)  Qual a probabilidade do perímetro ser superior a

15 cm?



Exemplo 9: Uma montagem em cadeia consiste em quatro componentes em sequência. Sabe-se que os comprimentos (em polegadas) Xi dos componentes são X1 ~ N(2,0; 0,0004), X2 ~ N(4,5; 0,0009), X3 ~ N(3,0; 0,0004) e X4 ~ N(2,5; 0,0001). Suponha que os compr imentos dos componentes se jam independentes. As especificações do planejamento sobre o comprimento do sistema montado são 12,00 ± 0,10. Determine a fração de montagens conformes (montagens que se enquadram nesses limites de especificação).


REFERÊNCIAS


BIBLIOGRAFIA RECOMENDADA

•  Montgomery, D. C. (LTC) Estatística Aplicada e Probabilidade para Engenheiros

•  Pinheiro, J. I. D et al. (Campus) Probabilidade e Estatística: Quantificando a Incerteza


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