FUNÇÃO ALGÉBRICAProfessora: Cristiane Borges

FUNÇÃO ALGÉBRICA Definição: É uma função obtida por um número finito de operações algébricas sobre a função identidade e a constante. Essa operações algébricas incluem adição, subtração, multiplicação, divisão, potenciação, radiciação. As funções polinomiais e racionais são tipos especiais das algébricas, um exemplo desta são:

1

13)(

4

22

x

xxxf

Função Constante

Uma função cuja imagem consiste de um único número é chamada de função constante. Assim, se f(x)=c e se c for um número real qualquer, então f será uma função constante e seu gráfico será uma reta paralela ao eixo x, a uma distancia de c unidades desse eixo.

Função Identidade

É uma função definida por f(x)=x. Seu gráfico é uma reta que divide ao meio o primeiro e terceiro quadrante.

Toda função P(x) = anxn + an-1xn-1 + ... + a2x2 + a1x + a0 é considerada uma função polinomial.Exemplo: f(x)=5x5−6x+7.

Uma função racional, y = f(x), é uma função que pode ser expressa como uma razão (quociente) de dois polinômios P(x) e Q(x).

FUNÇÃO ALGÉBRICA DO 1º GRAU

Definição:

Chama-se função polinomial do 1º grau (Função linear) a qualquer função f dada por uma lei da forma f(x)= ax+ b.

Na função f(x)= ax+ b, o número a é chamado de coeficiente de x e b é um termo constante.

Veja alguns exemplos de funções polinomiais do 1º grau:

f(x)= 5x- 3, onde a=5 e b=-3.

f(x)= -2x- 7, onde a=-2 e b=-7.

Gráfico

O gráfico de uma função do 1º grau, y= ax+ b é uma reta oblíqua aos eixos Ox e Oy.

Exemplo: Vamos construir o gráfico da função f(x)= -x+ 4.

a) Para x=0, temos y= -0+ 4= 4,portanto o ponto é (0,4).

b) Para y=0, temos 0= -x+ 4, x=4, portanto o ponto é (4,0). Marcamos os pontos (0,4) e (4,0) no plano cartesiano e ligamos por

uma reta.

APLICAÇÕES DE UMA FUNÇÃO DO 1º GRAU

1) Na produção de peças, uma fábrica tem um custo fixo de R$ 16,00 mais um custo variável de R$ 1,50 por unidade produzida. Sendo x o número de peças unitárias produzidas, determine:

a) A lei da função que fornece o custo da produção de x peças;

b) Calcule o custo de produção de 400 peças.

2) Um motorista de táxi cobra R$ 4,50 de bandeirada mais R$ 0,90 por quilômetro rodado. Sabendo que o preço a pagar é dado em função do número de quilômetros rodados, calcule o preço a ser pago por uma corrida em que se percorreu 22 quilômetros?

RESOLUÇÃO:1) a) f(x) = 1,5x + 16

b) f(x) = 1,5x + 16 f(400) = 1,5*400 + 16 f(400) = 600 + 16 f(400) = 616

O custo para produzir 400 peças será de R$ 616,00.

2)

f(x) = 0,9x + 4,5 f(22) = 0,9*22 + 4,5 f(22) = 19,8 + 4,5 f(22) = 24,3

O preço a pagar por uma corrida que percorreu 22 quilômetros é de R$ 24,30.

FUNÇÃO ALGÉBRICA DO 2º GRAU

Definição:

Uma função polinomial do 2º grau ou função quádratica é definida por f(x)= ax² + bx + c.

O gráfico da função quadrática é apresentado abaixo é a forma de U caraterística é chamada de parábola. Toda parábola é simétrica em relação a um eixo que chamamos de eixo de simetria ou simplesmente eixo da parábola. O ponto onde a parábola intercepta o eixo é conhecido como vértice.

Exemplo: Vamos construir o gráfico da função y= x² + x.

Primeiro atribuímos a x alguns valores, depois calculamos o valor correspondente de y e, em seguida, ligamos os pontos assim obtidos. se   a > 0, a parábola tem a concavidade voltada para cima; se   a < 0, a parábola tem a concavidade voltada para baixo; 

x y

-3 6

-2 2

-1 0

-1/2 -1/4

0 0

1 2

2 6

Obs: As raízes de f(x)= ax² + bx + c são obtidas através da Fórmula de Bhaskara.

Exemplo: Determine as coordenadas do vértice da parábola descrita pela função f(x) = 2x2 – 4x + 6.

Solução: Analisando a função f(x) = 2x2 – 4x + 6, obtemos:

a= 2, b= -4 e c= 6. Seque que:

EXERCÍOS DE APLICAÇÃO

Exercício: Uma bala é atirada de um canhão e descreve uma parábola de equação y = -9x2 + 90x. Determine a altura máxima atingida pela bala do canhão, sabendo que y é a altura em metros e x é o alcance, também em metros.

Solução: Como a parábola possui equação y = – 9x2 + 90x, podemos constatar que sua concavidade está voltada para baixo e que a altura máxima atingida pela bala de canhão corresponde à coordenada y do vértice, uma vez que o vértice é ponto maximo absoluto. Assim, para determinar a altura máxima atingida pela bala do canhão, basta determinar o valor y do vértice.

Temos que: a = – 9, b = 90 e c = 0. Portanto, a altura máxima atingida pela bala de canhão é de 225 metros como mostra o cálculo abaixo.

po

Exercício 1: A empresa de telefonia celular OLA oferece um serviço de plano mensal para seus clientes com as seguintes características:

Para um total de ligações de até 50 minutos o cliente paga o valor fixo de R$40 reais.

Se os minutos forem excedidos, cada minuto de excesso será cobrado pelo valor de R$ 1,50 (além dos R$ 40,00 fixo).

Determine o valor pago por um cliente que utilizou o celular por 74 minutos em um mês.

Exercício 2: Um motorista de táxi cobra R$ 3,50 de bandeirada (valor fixo) mais R$ 0,70 por quilômetro rodado (valor variável). Determine o valor a ser pago por uma corrida relativa a um percurso de 18 quilômetros.

Exercício 3: Construa o gráfico das seguintes funções:

a) f(x)= x + 2

b) f(x)= -2x + 3

c) f(x)= -x² + 10x - 14

Exercício 4 : Uma função do 2º grau nos dá sempre:

a) Uma retab) Uma hipérbolec) Uma parábolad) Uma elipse

Exercício 5: Um projétil é lançado verticalmente, para cima e sua trajetória é uma curva de equação  s = - 40 t2 + 200t, onde s é o espaço percorrido, em metros, em t segundos. Encontre a  altura máxima atingida por esse projétil, em metros.