INTERPRETAÇÃO MATEMÁTICA GRÁFICA E ALGÉBRICA DOS

MOVIMENTOS DOS ORBES CELESTES COM ANIMAÇÕES NO WINPLOT

Marcelo da Silva Trindade*

Ângela Susana Jagmin Carretta**

RESUMO

Este trabalho vem sendo fruto de um projeto de pesquisa da Universidade da Região da

Campanha Bagé-RS, que se dedica ao estudo da aplicação de softwares matemáticos na

Educação Matemática além do estudo aprofundado nos softwares em questão. Sabe-se da

carência existente na aprendizagem da Matemática hoje em dia, então uma das justificativas

de empreender esforços neste trabalho, é a de encontrar meios de suprir tal necessidade, ainda

que, não se refere aqui tão somente à educação básica, mas também a cursos em nível de

graduação, onde há acadêmicos que, ou pouco entendem acerca dos conceitos da Matemática,

muitas vezes conceitos elementares, ou encontram inúmeras dificuldades para encarar certas

disciplinas como o Cálculo por exemplo. A idéia deste trabalho, que agora se estende ao mini-

curso de título citado acima, é de fornecer ao estudante, em especial ao de Matemática, mais

um aparato para que melhor compreenda sua ciência. A ferramenta em questão é um software

gratuito que plota diversos tipos de gráficos, e nos serve como um “clareador de idéias”, pois

neste podemos ver a álgebra, com todas suas funções trigonométricas, se “contorcer” em belas

curvas. Nossa proposta, em suma, é desenvolver na modalidade de mini-curso em laboratório

de informática, atividades com equações de duas e três dimensões em software de plotação

gráfica com animações de variáveis, a fim de reproduzir, ao menos simular, o movimento dos

astros do Universo e ao final chegar a um modelo matemático do Sistema Solar. Deseja-se

que o aluno de graduação, professor e demais interessados em participar, possam ter o imenso

prazer que tivemos em elaborar equações paramétricas que descrevem algébrica e

geometricamente o movimento de um orbe celeste, seja um simples elíptico como um planeta

ao redor do Sol; o epiciclo da Lua em torno do Sol; o movimento da Lua em torno do centro

da Galáxia e assim sucessivamente, onde estes girando se modelam com Matemática até onde

nossa mente puder imaginar. Trabalhar com qualquer ciência é demasiadamente gratificante,

* Graduando do Curso de Matemática da Universidade da Região da Campanha – Bolsista institucional de

projeto de pesquisa desde novembro de 2007. (marcelotrindade@urcamp.edu.br)

** Profª. Mestranda em Ensino de Ciências Exatas pela UNIVATES – Professora da Universidade da Região

da Campanha e Universidade Federal do Pampa. (angela_carretta@hotmail.com)

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desde que se colham frutos e se enxergue esta acontecer. Acredita-se firmemente na

beneficência ofertada pela informática aliada a aprendizagem matemática, e ainda mais, crê-se

que ela pode ser um agradável ponto de partida, quando bem empregada, ao despertar

motivação em “mergulhar” numa ciência. Almeja-se que o XVI EREMATSUL seja uma

oportunidade de compartilhar este trabalho. Embora resulte em um simples modelo

matemático do Sistema Solar criado com equações paramétricas 3D animadas, sem muitos

rigores físicos, pode desfrutar ou reascender no indivíduo o gosto em estudar e pesquisar,

como assim se mostra ser, sempre que encontramos significados e empregos das teorias

estudadas, sem citar o fato de que a astronomia encanta por si só.

Palavras-chave:

Softwares matemáticos – modelagem matemática – epiciclos de astros.

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1. PROPOSTA DE MINI-CURSO

Vislumbramos hoje muitas lacunas no ensino de Matemática: alunos que não dominam

conceitos básicos e elementares, não estabelecem conexões entre a Matemática e suas

aplicações, vivem no tédio de copiar do quadro e aplicar algoritmos na resolução de

exercícios e problemas, sem a menor idéia do que simplesmente executa.

Dentre os aspectos que nos preocupam está a formação de professores de Matemática.

Acreditamos ser necessário empreender nos cursos de formação de Ensino Superior,

valorizando as metodologias e ferramentas de ensino adequadas ao perfil da criança e do

jovem na atualidade. Dentre tantas propostas urge valorizarmos o uso de tecnologias, há no

mercado inúmeros softwares matemáticos, inclusive gratuitos, capazes de proporcionar

entendimento, paixão em aprender, criatividade, os quais possibilitam a análise das situações

da vida real, com a interpretação e construção de gráficos por exemplo.

Conforme afirma MORAES e CUNHA:

As novas tecnologias vão, aos poucos, incorporando-se ao dia-a-dia da

sala de aula e por isso devem ser tratadas, testadas e estudadas nos cursos de

Licenciatura em Matemática. Tal prática faz com que professores e alunos se

sintam preparados e motivados para o seu uso, o que permitirá, aos futuros licenciados, uma melhor preparação para suas atividades no ensino

fundamental e médio. (2001, pg.190).

Quando se discute a relação entre Informática e Educação Matemática, surgem questões

sobre qual seria o verdadeiro papel do professor e do computador em atividades de ensino.

As experiências realizadas com tecnologias na Educação Matemática garantem que

aprender ou trabalhar com softwares matemáticos pode ser uma experiência muito agradável,

tanto para professores quanto para os alunos.

Destacamos neste trabalho a intenção de contemplar também professores de

matemática, que durante o curso de formação tiveram pouca ou nenhuma experiência com

softwares matemáticos. É preciso reconhecer que o verdadeiro papel da informática

educacional não está nas respostas que estas ferramentas de ensino podem oferecer, mas na

forma como o professor consegue configurar, em sala de aula, situações de “ensinagem”

adequadas ao momento que estamos vivendo, e isso é tarefa desafiadora.

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Ousamos afirmar que o professor que utiliza estas ferramentas, consegue em um

processo educativo, no qual sejam claros os objetivos, a metodologia e as modalidades de

avaliação utilizada, transpor barreiras e despertar o interesse do aluno. Investir em pesquisas e

buscar novas metodologias na Educação Matemática significa sensibilizar professores e

alunos da importância da participação ativa no processo de transformação que atinge a escola,

em decorrência da presença cada vez maior de computadores nas escolas.

O verdadeiro enriquecimento das atividades de ensino da Matemática se obtém através

da utilização de equipamentos de Informática. Sem dúvida, o Winplot¹ pode se constituir em

fonte propícia para o desenvolvimento de competências, habilidades e construção de

conceitos matemáticos. Utilizá-lo em toda sua potencialidade implica atribuir novos

significados aos conceitos de ensino, aprendizagem e avaliação.

Conforme afirmam Marcelo Borba e Mirim Penteado no livro Informática e Educação

Matemática:

[...] nós nos empolgamos com as mudanças que essas novas mídias

estão provocando. Esta empolgação acontece muitas vezes porque gostamos

de aprender. Aprendemos constantemente quando estudamos Matemática em

coletivos seres-humanos-com-mídas em que os computadores e as

calculadoras gráficas estejam presentes. (2007 pg.89)

Constatamos no decorrer de nossas atividades em pesquisa, que o Winplot é uma

excelente ferramenta computacional para ensinar e aprender com gráficos 2D e 3D, plotados

de maneira bastante simples. Importante destacar que ele roda em sistemas Windows

95/98/ME/XP/Vista e Linux. Disponível na versão em português, pesa apenas 1,4 Mb e pode

ser adquirido em <http://math.exeter.edu/rparris/peanut/wppr32z.exe>.

Trabalhamos (aluno bolsista e orientadora) em relação ao conhecimento específico da

Matemática com: a interpretação gráfica de equações explícitas, implícitas, paramétricas e

polares; no cálculo da integral e sua interpretação gráfica em 2D e 3D; a interpretação

geométrica da derivada como o coeficiente angular da reta tangente a uma determinada curva

em um ponto arbitrário; o estudo das curvas ciclóide, cardióide e hipociclóides e suas diversas

referências na natureza bem como outras curvas paramétricas; analisando e elaborando

situações didáticas para contemplar a formação continuada de professores que atuam na

Educação Básica ou freqüentam o curso de Matemática.

Esta pesquisa proporciona o estudo da Matemática inter-relacionando com diversas

áreas do conhecimento, como a astronomia, nosso exemplo foco de aplicação, onde as órbitas

¹Software livre desenvolvido pelo Professor Richard Parris, da Phillips Exeter Academy.

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dos planetas são representadas e animadas por equações paramétricas fáceis de visualizar

através do esboço gráfico do Sistema Solar, plotando o Sol, luas, estrelas, planetas, meteoros

anéis (em Saturno), e tudo em campo tridimensional.

Oferecemos este mini-curso resultante da terceira fase do projeto de pesquisa

“Softwares como fonte de aprendizagem e pesquisa acadêmica em Matemática – Softwares

livres, fase III” do núcleo de pesquisa em Educação Matemática da Universidade da Região

da Campanha – Bagé. Acreditamos que a presença de softwares matemáticos nas aulas de

Matemática visa proporcionar avanços no processo de ensino-aprendizagem, tanto em

trabalhos individuais como em grupos. Além de proporcionar motivação através das cores,

representações gráficas, revoluções e animações, exige interação maior entre professor-aluno

e um feedback imediato.

O objetivo principal desse Mini-curso é introduzir conceitos e ferramentas básicas do

programa Winplot para a Educação Básica e Ensino Superior – dependendo em que nível é

aplicado - através de estudo de equações paramétricas, polares, implícitas e explícitas; cálculo

da derivada e integral e modelos matemáticos para o Sistema Solar.

A importância da Matemática, muitas vezes fica encoberta pela dificuldade que o

docente tem de mostrar referências desta ciência na natureza, fazendo com que esta se torne

uma repetição de fórmulas desconectadas com o mundo; o uso desta ferramenta torna possível

a visualização desta ciência na vida real, proporcionando ao estudante o conhecimento da

Matemática como técnica de estudar a realidade.

É, sabe-se, importantíssimo em Matemática o estudo e perfeito entendimento de

funções, como afirma Howard Anton: “[...] função é a idéia básica subjacente a quase todas

as relações matemáticas e físicas [...]”. Como veremos, softwares como o Winplot tornam-se

peças-chave para um ideal compreendimento da Matemática e demais subseqüentes.

As imagens que seguem abaixo mostram equações matemáticas plotadas e

interpretadas no Winplot, onde o objetivo com o mesmo é realizar animação de variáveis para

se entender a fio determinada equação e correspondente gráfico 2d ou 3d.

Após breve passada por funções 2D, no âmbito tridimensional os primeiros passos do

mini-curso oferecido são dados através da familiarização com o software a partir de conceitos

mais elementares como a plotação de pontos. (Figura 01)

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Em seqüência são abordados elementos como distância entre pontos, segmentos

tridimensionais, planos tridimensionais, intersecção entre planos etc.

Equações 3D explícitas, implícitas, e paramétricas dentre outras serão elaboradas,

criadas e estudadas com o auxílio do software, que serve de facilitador para uma melhor

visualização daquilo que se almeja alcançar ou modelar com a matemática. (Figuras 02; 03;

04;)

Figura 01: Pontos 3D plotados no Winplot.

Figura 02: Equação explícita z = f(x;y).

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Após manuseio inicial com o software entramos em nosso foco: moldar e animar

equações paramétricas para descrever/simular os epicíclos dos astros de um sistema.

Precisamos voltar ao princípo, à Galileu Galilei mais precisamente e sua curva ciclóide

(Figura 05), que confecionada e animada com o Winplot nos passa a idéia incial que

precisamos para compreender a revolução dos orbes celestes.

Figura 03: Equações paramétricas e esféricas.

Figura 05: Ciclóide em três situações de relação passo-raio.

Figura 04: Tubos e superfícies de revolução.

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Os parâmetros gradativamente tornar-se-ão mais elaborados no decorrer das

explanações (Fifura 06) através das paramétricas e o princípio da ciclóide, conheceremos

então as hipociclóides, com o intuito de ter aparatos suficientes para se chegar ao primeiro

modelo da curva de uma “Lua” em relação a um “Sol” (Figura 07)

Figura 06: Hipociclóides de diversos cúspides.

Figura 07: Modelo plano da curva da Lua.

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A partir daí temos a base para construir em campo tridimensional, com equações

paramétricas, um modelo que mostra como se comportam matematicamente alguns astros no

Universo. O resultado obtido é um modelo animado espacial do Sistema Solar (Figura 08) em

caráter matemático, sendo apenas uma simulação, mas que é de grande importância para que

estudantes e profissionais da área de Matemática possam desfrutar de um melhor

compreendimento das relações equação-curva e de sua unicidade não recíproca². Neste

modelo, um Sol central é rodeado por quatro planetas, onde o terceiro possui uma lua e o que

ocupa a quarta posição é orbitado por vários pequenos astros. Em movimento³, há um jogo de

imagens sensacionais das curvas orbitais e epiciclos dos astros do sistema. Não houve neste

modelo, rigor em algumas questões físicas, embora pôde-se aplicar matematicamente algumas

leis de Johanes Kepler. Ressalta-se sempre que o programa Winplot é um plotador gráfico de

equações matemáticas, e não um software de desenho, isto implica que o que fizemos foi

modelar equações para alcançar o objetivo de esboçar um Sistema Solar.

A busca icansável pelas nossas origens é sem dúvidas, de um modo geral, parte do que

nos faz viver e querer progredir, mesmo que as vezes nem percebamos isto. Certo de que

somos mortais, estudar uma pequeníssima parcela do conhecimento já é contribuir para tal

² Unicidade não recíproca da equação-curva traduz o fato de que uma curva pode ser descrita por distintas

equações, mas uma equação determina uma e somente uma curva.

³ Chamamos de movimento o recurso de animação de variáveis oferecido pelo software Winplot.

Figura 08: Sistema Solar feito com equações paramétricas no Wnplot.

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busca. Assim, redige-se aqui as palavras do físico e astrônomo Marcelo Gleiser:

A Natureza jamais vai deixar de nos surpreender. As teorias de hoje,

das quais somos justamente orgulhosos, serão consideradas brincadeira de

criança por futuras gerações de cientistas. Nossos modelos de hoje certamente serão pobres aproximações para os modelos do futuro. No

entanto, o trabalho dos cientistas do futuro seria impossível sem o nosso,

assim como o nosso teria sido impossível sem o trabalho de Kepler, Galileu

ou Newton.Teorias científicas jamais serão a verdade final: elas irão sempre

evoluir e mudar, tornando-se progressivamente mais corretas e eficientes,

sem chegar nunca a um estado final de perfeição. Novos fenômenos

estranhos, inesperados e imprevisíveis irão sempre desafiar nossa

imaginação. Assim como nossos antepassados, estaremos sempre buscando

compreender o novo. E, a cada passo dessa busca sem fim, compreenderemos

um pouco mais sobre nós mesmos e sobre o mundo a nossa volta. (1997

pg.397)

Alguns exemplos genéricos de equações paramétricas 3D utilizadas no modelo:

x=f(a)=rcos(ma)b+c

y=g(a)=ssin(na)d+e

z=h(a)=tcos(oa)f+g

Com derivados deste trabalho, já fomos aprovados para ministrar o curso

“APLICAÇÕES DO SOFTWARE WINPLOT NO ESTUDO DA MATEMÁTICA” no X

EGEM – 10º Encontro Gaúcho de Educação Matemática, evento realizado na Universidade

Regional do Noroeste do Estado do Rio Grande do Sul – UNIJUÍ– Ijuí – RS, no período de 2

à 5 de junho de 2009. Nesta mesma ocasião, fomos convidados a ministrar o mini-curso

“INTERPRETAÇÕES GRÁFICAS DE EQUAÇÕES COM USO DO WINPLOT” na II

Semana Acadêmica da Matemática da UNIPAMPA – Bagé RS, que ocorreu no período de 20

à 22 de junho de 2009. Este mini-curso teve por objetivo, tanto no X EGEM como na semana

acadêmica da Matemática da Unipampa, estudar as relações das equações com suas

respectivas curvas, analisando que mudanças gráficas ocorrem ao alterar constantes e

variáveis, através do recurso de animação do software Winplot. Em suma, foi abordado,

dentre outros ítens, o comportamento gráfico das equações paramétricas, bem como o

movimento de diversas hipociclóides.

Fomos aceitos ainda, no Congrega Urcamp Bagé 2009, com o pôster “UM MODELO

MATEMÁTICO DO SISTEMA SOLAR”.

Aliando a tecnologia e a Modelagem Matemática, duas das tendências atuais da

Educação Matemática, constata-se que é possível dispor dos softwares matemáticos como

x=f(a)=tcos(ma)b+c+scos(na)

y=g(a)=tsin(ma)d+e+usin(na)

z=h(a)=vcos(ma)f+g+wcos(na)

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uma excelente ferramenta para estudar as equações paramétricas, obtendo modelos

matemáticos para várias questões da Física, Biologia, Química... Além de proporcionar ao

expectador/estudante as belas imagens decorrentes da “Dança do Universo”, como no

exemplo do nosso modelo animado do Sistema Solar. Pois quem é que nunca se intrigou com

a beleza e o mecanismo do Universo? Ou que ao menos doou uma fração de seu tempo a

admirar o brilho e posicionamento das estrelas no escuro céu noturno? Muitas das maraviílhas

da astronomia só foram descobertas graças a engenhosidade dos cálculos matemáticos junto à

propriedades físicas, que por assim ser, podem facilmente ser reinterpretadas com o auxílio de

softwares de animação e plotação gráfica como o Winplot.

Um dos principais objetivos deste trabalho é também evidenciar a importância das

novas tendências em Educação Matemática, dentre elas elas a modelagem, e assim

demonstrar que através de equações paramétricas pode-se fazer uma representação das curvas

orbitais e/ou dos epiciclos dos movimentos dos astros de um determinado sistema e que

usufruindo dos recursos computacionais e da trigonometria se torna mais fácil compreender

de que maneira se constrõem os conceitos matemáticos e como esta Ciência se comporta com

suas várias variáveis.

Acredita -se que o XVI EREMATSUL será uma excelente oportunidade para

compartilharmos nosso trabalho na modalidade de mini-curso. Nos preocupamos neste em

gradativar os conceitos matemáticos em paralelo com o Winplot, estabelecento sequências de

manuseio para que se possa compreender a simulação criada, e que para além disso, os

participantes sejam estiamulados a criar seus próprios modelos gráficos ao trabalhar com

softwares.

As atividades descritas acima (manuseio do software e construção do modelo) serão

realizadas em laboratório de informática com o software Winplot, sendo o público alvo

acadêmicos, estudantes e professores de Matemática ou Física e demais interessados.

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Referências Bibliográficas

ANTON, H. Cálculo: Um Novo Horizonte. 8.ed.São Paulo: Bookman, 2000.

BORBA, MARCELO DE CARVALHO: Informática e Educação Matemática. 3.ed. Belo

Horizonte: Autêntica, 2007

GLEISER, MARCELO, A Dança do Universo: Dos Mitos de Criação ao Big Bang. São

Paulo: Companhia das Letras, 1997.

MORAES, D. e CUNHA, M. Formação de Professores de Matemática: Uma visão

multifacetada. CURY, Helena Noronha (org.) Porto Alegre: EDIPUCRS, 2001. 190p.

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