Física I

2º Semestre de 2013

Instituto de Física- Universidade de São Paulo

Aula – 5 Energia Potencial e Conservação de energia

Professor: Valdir Guimarães

E-mail: valdirg@if.usp.br Fone: 3091.7104

Energia Potencial

O trabalho está associado a transferência de energia devido a uma força.

Trabalho realizado sobre uma partícula, transfere energia cinética.

Para um sistema de corpos, parte da energia transferida pode ser armazenada na forma de energia potencial.

As forças externas que atuam no sistema sãoproduzidas pela pessoa: Força de contato dasmãos sobre o haltere, força de contato dos péscom a Terra e a força gravitacional.

Destas forças, apenas a de contato sobre ohaltere pode produzir deslocamentos e realizartrabalho. Como esta força é igual a P=mg (m=massa do haltere), o trabalho é mgh.

A energia transferida para o sistema é armazenada na forma de energia potencial gravitacional.

Outro sistema que armazena energia é uma mola.

Se a mola é comprimida por uma força F2, a mola resiste com uma forçaoposta F1. Se F1=F2 não existe variação da energia cinética. O trabalhorealizado pela força F2 é armazenado na forma de energia potencialelástica. Como o deslocamento é no mesmo sentido da força, o trabalhorealizado pela força F2 é positivo.

2

1

P

P

ldFW

Energia Potencial

O trabalho está associado a transferência de energia devido a uma força.

Trabalho realizado sobre uma partícula, transfere energia cinética.

Para um sistema de corpos, parte da energia transferida pode ser armazenada na forma de energia potencial.

O Trabalho da força peso

Dois esquiadores partem de um mesmo ponto em uma colina e chegam nabase da colina, através de caminhos diferentes.

22

2

1

2

1iftotal mvmvW

Os esquiadores podem ser tomados comopartículas, portanto vale o TeoremaTrabalho-Energia Cinética.

Não depende do caminho. Apenas da altura h.

Temos a força peso e a força normal.

gntotal WWW

0

0

n

nn

W

ldFdW

mghhmgW

yymgymgW

jyixjmglFW

ldFdW

g

ifg

gg

gg

)0(

)(

)ˆˆ(ˆ

Forças conservativas

Quando voce é transportado por um elevador até o topo de um edifício de altura h, o trabalho realizado pela força peso é

WP=-mgh.

Ao retornar ao solo o trabalho realizado pela força peso é

WP=+mgh.

Se este movimento de subida e descida fosse feito através de uma escada rolante, o trabalho da força peso seria o mesmo. Ele independe do caminho seguido, dependendo apenas das

posições inicial e final.

Forças que realizam trabalho que não dependem docaminho são chamadas de Forças Conservativas.

O trabalho realizado por uma forçaconservativa sobre uma partícula éindependente do caminho percorridopela partícula de um ponto ao outro.

Uma força é conservativa se otrabalho que ela realiza sobre umapartícula é zero quando a partículapercorre qualquer caminho fechado,retornando à posição inicial.

C

ldFW 0

Integral em um Caminho Fechado

2

1

P

P

ldFW

Trabalho

Integral em um Caminho Fechado

Calcule o trabalho realizadosobre o caminho fechado deuma força F=ax.

2

1

P

P

ldFW

CCCCC

ldFldFldFldFldFW

4321

4321

dd

C

AdxdxAidxiAxldF0

2

0

12

1ˆˆ

1

42

4

0

2 0ˆˆ

C

h

C

ldFjdyiAxldF

0

2

0

32

1ˆˆ

3 ddC

AdxdxAidxiAxldF

C

ldF 0

Este é o caso da

força elástica

d

h

iAxF ˆ

Funções Energia Potencial

Esta propriedade pode ser usada para definir a FunçãoEnergia Potencial U para uma força conservativa.

Ou

UldFW

P

P

2

1

Para um deslocamento infinitesimal

2

1

12

P

P

ldFUUU ldFdU

Quando voce desce do topo de um edifício, o trabalho realizado pelagravidade diminui a energia potencial do sistema. Portanto, definimos aFunção Energia Potencial U de forma que o trabalho realizado pelaforça conservativa é igual à redução da Função Energia Potencial.

O trabalho realizado por uma força conservativa nãodepende do caminho, mas apenas dos pontos extremos docaminho.

Energia Potencial Gravitacional

Para a força gravitacional, temos:

Integrando, temos

jmgF ˆ

Para um deslocamento infinitesimal

2

1

2

1

y

y

U

U

mgdydU

ldFdU

mgdykdzjdyidxjmgdU )ˆˆˆ()ˆ(

mgyUU 0

Energia Potencial Gravitacional próximo da superfície da Terra.

Genericamente

U2=mgy

U1=U0

U0 é uma constante arbitrária, a ser definida convenientemente.

1212 mgymgyUU

Energia Potencial Elástica

Se voce aplica uma força sobre o bloco ao ladoe o desloca da posição x=0 até a posição x1, Otrabalho realizado pela mola é negativo.

Se voce permite que o bloco volte a posiçãoinicial, o trabalho da força da mola é positivo.

O trabalho total realizado pelas forças namola é nulo.

Integrando, temos

1

0

1

0

x

x

U

U

kxdxdU

ldFdU

kxdxidxikxdU )ˆ()ˆ(2

2

1kxU

U0 é uma constante arbitrária, aser definida convenientemente.Podemos escolher U0= 0 (paraelongação nula da mola).

ikxF

com

UU

xx

U

x

1

1

0

0

0

0

Força mola F=-kx

2

0

2

1012

1

2

1kxkxUU

Podemos definir a energia potencial elástica:

Energia Potencial

Considere o sistema constituido pelo jogador debasquete (m= 110kg), o aro e a Terra. Suponhaque a energia potencial do sistema seja zeroquando o jogador está no solo. Encontre aenergia potencial total quando o jogador estádependurado no aro.

Suponha que o centro de massa do jogadorpassou de 80 cm do solo, para 130 cm quandodependurado.

A constante elástica do aro é 7,2 kN/m.

22

2

)15.0()/7200(2

1)50.0()/8.9()110(

2

1

mmNmsmkgU

kxmgyUUU

total

cmelgtotal

mNxmNmNmNUtotal .102,6.620.81.539 2

2

1

P

P

ldFUW

ldFdU

dl

dUF

Relação energia potencial e força

Conservação da Energia Mecânica

Definimos a energia mecânica de um sistema como sendo asoma da energia cinética com a energia potencial do sistema.

sistsistmec UKE

A energia mecânica de um sistema de partículas é conservada(Emec=constante) se o trabalho total realizado por todas asforças externas e por todas as forças internas não-conservativasfor nulo.

ncmecext WEW

0

0

nc

ext

W

W 0 UKEmecpara

Exemplos

Próximo à borda da laje de um prédio de 12 mde altura, uma bola é chutada com umarapidez inicial de 16 m/s a um ângulo de 60°.Desprezando a resistência do ar, encontre (a)a altura máxima atingida pela bola e (b) suarapidez ao tocar o solo.

Tomamos a bola + Terra, como o sistema.

ncmecext WEW

Como não existem forças externas ao sistema, Wext= 0. Como não existem forças internas não-conservativas, Wnc= 0. Portanto, a Energia Mecânica do sistema se conserva.

00 mecE

0 sistsistmec UKE

altolaje mecmec EE

altoaltolajelaje mgymvmgymv 22

2

1

2

1

vlaje=16m/s

ylaje=0

valto= vlajecosθ

mg

v

g

vvy

lajealtolaje

alto 8,92

)cos1(

2

2222

solomecmec EElaje

solosololajelaje mgymvmgymv 22

2

1

2

1ylaje=0

vlaje=16m/s

ysolo= -12 m sololajesolo gyvv 222 smgyvv sololajesolo /2222

altoaltolajelaje UKUK

solosololajelaje UKUK

ExemplosUm pêndulo consiste de bola de massa mpresa a um fio de comprimento L. A bolaé largada do repouso, com o fio fazendoum ângulo θ0. Quando passa pelo pontoinferior,

(a) qual a rapidez da bola

(b) a tensão no fio.

Despreze a resistência do ar.

ncmecext WEW

Como não existem forças externas ao sistema, Wext= 0. A tensão no fio éuma força interna não-conservativa, mas como esta força é perpendicular àtrajetório, Wnc=WT= 0. Portanto, a Energia Mecânica do sistema se conserva.

0 sistsistmec UKEifmec EEE 0

)cos1( 0 Lh

Pi

Pf U0

ffii mgymvmgymv 22

2

1

2

1

yi=Lcosθ0, vi=0 e yf= L

)cos1(2 0

2 gLv f

)cos1(2 0 gLv f

L

vmmamgT

f

cp

2

)]cos1(2[)( 0

2

ggmL

vgmT

f

)cos23( 0mgT

No ponto final

Rapidez final

Tensão no fio

iiff

if

KUKU

EE

Exemplos

Um bloco de massa 2kg, em uma superfície sem atrito é empurrado 30 cmcontra uma mola (K= 500N/m). O bloco é liberado e a mola se descomprime.O bloco desliza e sobe um plano sem atrito, com ângulo de 45°. Qual é aaltura final atingida pelo bloco sobre a rampa, ao parar.

sistsistmec UKE

Sistema: elementos da figura + Terra

ncmecext WEW

Como não existem forças externas aosistema, Wext= 0. Não existem forçasinternas não-conservativas, Wnc= 0. Portanto,a Energia Mecânica do sistema se conserva.

0 mecE fi EE

sistsistmec UKE

2222

2

1

2

1

2

1

2

1fffiii kxmgymvkxmgymv

vi=0, yi=0, vf=0, e xf= 0

fi mgykx 2

2

1m

mg

kxy i

f 51,02

2

fi EE

fmolapffimolapii UUKUUK __

Exemplos

O carrinho em uma montanha russa parte de uma altura H. Quando eleestá entrando no loop, cai um saco de areia sobre ele, que reduz avelocidade em 25%. Considere que o loop tem metade da altura inicial edespreze os atritos. O carrinho conseguirá completar o loop?

ncmecext WEW

Wext= 0 e Wnc= 0 e a Energia Mecânica do sistema se conserva.

2

2

21

2

12

1

2

1mgymvmgymv

2

22

14 mvRmg Rgv 82 Rgvv 875,075,0 22

21 EE

P1

P2

P3

Rgvv 875,075,0 22

3

2

32

2

22

1

2

1mgymvmgyvm

Rmgmvvm 22

1

2

1 2

3

2

2

RgRgRgv 5,04875,0 22

3

0nF

32 EE

O carrinho não completa o loop !!!

R

vmmgF

topo

n

2

gRvtopo 2

para completar o loop !!!

22

3 topovv como

P1

P2

P3

Um trenó está deslizando no plano com uma rapidez inicial de 4,0 m/s. Se o coeficiente de atrito cinético for 0,14, que distância o trenó percorrerá?

Wext= 0 e Wnc 0. Portanto, a Energia Mecânica do sistema não se conserva.

0 ncmecext WEW

0 mgxKWUK cnc

0)(2

1 22 mgxvvm cif

2

2

1ic vgx m

g

vx

c

i 8,52

2

mgxxfW ccnc

Uma criança com 40 kg desce por umescorregador de 4 m de altura, cominclinação de 30°. O seu coeficiente deatrito cinético é 0,35. Partindo dorepouso no topo, qual é a suavelocidade ao chegar na base?

Wext= 0 e Wnc 0. Portanto, a

Energia Mecânica do sistema

não se conserva.

0 ncmecext WEW

0 atnc WUKWUK

222

2

1)(

2

1fif mvvvmK

mghUUU if

sincos

hmgsfW ccat

0fU

mghUi

0 atWUK

2

2

1fmvK mghU

sincos

hmgW cat

)sin

cos1(22

cf ghv

0sin

cos2

1 2

h

mgmvmgh cf