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Física Geral II

Prof. Dr. Edmundo Marinho do Monte edmundo@fisica.ufpb.br

Curso de Licenciatura em Matemática – UFPBVIRTUAL

Ambiente Virtual de Aprendizagem: Moodle (www.ead.ufpb.br) Site da UFPBVIRTUAL: www.virtual.ufpb.br

Site do curso: www.mat.ufpb.br/ead Telefone UFPBVIRTUAL (83) 3216 7257

Carga horária: 60 horas Créditos: 04

Ementa

Gravitação, Oscilação, Ondas, Ondas de Som, Estática e Dinâmica dos Fluidos, Temperatura,

Calor, Transferência de Calor, Teoria Cinética dos Gases, Primeira e Segunda Lei da Termodinâmica.

Descrição Este é um curso para alunos que tenham estudado mecânica newtoniana e cursado um ou mais

semestres de cálculo. O conteúdo deste curso dá ao aluno uma boa cultura de física básica, exceto por não estudarmos outras propriedades da matéria, como por exemplo, carga. Como a própria ementa nos mostra, os assuntos abordados da física básica são em bom número e em muitos casos não imediatamente relacionados. Portanto, devemos estar atentos que este é um curso que requer muita dedicação e paciência para nos adaptarmos a mudanças bruscas de assunto de um capítulo para outro. Porém, este texto foi construído para servir de guia para formação de um curso básico de física para alunos, especialmente, da licenciatura em matemática.

O propósito da unidade - Gravitação - é o de introduzir a lei da gravitação Newtoniana. Na unidade II introduziremos algumas ideias sobre oscilação. Na unidade temática III daremos algumas ideias do fenômeno ondulatório e sua introdução como modelo matemático, especialmente em uma corda. Na unidade IV daremos algumas ideias de fenômenos ondulatórios mais específicos como a propagação desses fenômenos em duas e três dimensões, tais como: ondas sonoras no ar. A mecânica dos fluidos será estudada de forma muito superficial, porém procuramos abordar os elementos essenciais. Noções de temperatura, calor e transferência de calor serão estudadas nos capítulo VI. No capítulo VII usaremos descrições macroscópicas e microscópicas para compreender as propriedades térmicas da matéria. O estudo das transformações de energia envolvendo calor, trabalho mecânico e outros tipos de energia e como essas transformações podem estar relacionadas com as propriedades da matéria chamaremos termodinâmica, no capítulo VIII estudaremos as leis da termodinâmica.

Alguns problemas resolvidos e propostos serão fornecidos com a finalidade do estudante ter uma maior compreensão da teoria fixando alguns conceitos, medidas de grandezas físicas, etc.

Objetivos

O objetivo deste curso é fornecer para o aluno uma formulação mais precisa, em termos

matemáticos, da gravitação newtoniana, oscilação, ondas, ondas sonoras, mecânica dos fluídos e da termodinâmica. Com isto, ao final deste curso o estudante deverá adquirir noções de física básica.

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Bibliografia No final deste texto será apresentada uma bibliografia básica, donde me apoiei para montar estas

notas de aula. Muitos exemplos, problemas e figuras serão retirados dessa bibliografia, além de buscar muitas vezes a internet como ponto de apoio.

Unidades Temáticas Integradas

Unidade I Gravitação

A Lei de Newton da Gravitação Universal Força Gravitacional Exercida pela Terra sobre uma Partícula A Medida da Constante Gravitacional Órbitas dos Planetas Energia Gravitacional O Campo Gravitacional Interação Gravitacional entre uma Partícula e um Objeto Extenso Teorema de Newton da Interação Gravitacional entre Distribuições Esféricas de Massa Massa Gravitacional, Massa Inercial e o Princípio de Equivalência Problemas resolvidos e propostos

Unidade II Oscilação

Movimento Harmônico Simples O Oscilador Harmônico Simples Energia do Oscilador Pêndulo Simples Pêndulo Físico e Pêndulo de Torção Oscilações Amortecidas e Oscilações Forçadas Problemas resolvidos e propostos

Unidade III Ondas

Pulsos de Onda Ondas Viajando Velocidade de Onda em uma Corda Energia em uma Onda A Superposição de Ondas Ondas Estacionárias Problemas Resolvidos e Propostos

Unidade IV Ondas de Som

Elasticidade Ondas Sonoras – Ondas Longitudinais Ondas Sonoras Estacionárias Efeito Doppler Problemas Resolvidos e Propostos

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Unidade V Estática e Dinâmica dos Fluidos

Pressão em um Fluido Empuxo Escoamento do Fluido Equação de Bernoulli Problemas Resolvidos e Propostos

Unidade VI Temperatura, Calor e Transferência de Calor

Expansão Térmica Calor e Energia Térmica Capacidade Calorífica e Calor Latente Transferência de Calor Problemas Resolvidos e Propostos

Unidade VII Teoria Cinética dos Gases

Equação do Gás Ideal O Conceito de Pressão e Temperatura do Ponto de Vista Molecular A Distribuição de Maxwell-Boltzmann Calor Específico de um Gás Processos Adiabáticos Problemas Resolvidos e Propostos

Unidade VIII 1a , 2a e 3a Leis da Termodinâmica

Primeira Lei da Termodinâmica Segunda Lei da Termodinâmica A Máquina de Carnot Entropia Terceira Lei da Termodinâmica Problemas Resolvidos e Propostos

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Unidade I - Gravitação

fig. I.1. A figura mostra a interação gravitacional entre a Lua e a Terra.

1. Situando a Temática

O propósito desta unidade temática é o de introduzir a lei da gravitação Newtoniana. Estudaremos a lei da gravitação universal formulada por Newton, a constante gravitacional G e sua medida, a aceleração da gravidade g de corpos caindo próximos à Terra, as órbitas dos planetas, a energia potencial gravitacional, a velocidade de escape, a ação gravitacional de uma massa esférica, a massa inercial e massa gravitacional com o princípio de equivalência. A fig. I.1 mostra a Lua em seu movimento orbital em volta da Terra e através da formulação Newtoniana da gravitação universal, a Lua e a Terra estão ligadas por uma força. 2. Problematizando a Temática

A alta precisão da mecânica celeste é legendária. Cálculos usando as leis de Newton do movimento e a lei de Newton da gravitação permitiu predições para o movimento de planetas, satélites e cometas. Essa abordagem teórica concorda muito precisamente com as observações astronômicas. Por exemplo, predições de posições angulares planetárias concordam com as observações com uma precisão de poucos segundos de arco, mesmo depois de um período de dez anos. A teoria da gravitação Newtoniana provou ser eficiente quando astrônomos notaram um movimento anômalo de Urano. Eles previram que esse movimento anômalo estaria sendo provocado por uma força gravitacional vinda de uma massa nas

2Gm ML TF

r

12

R Rg T

r

7

vizinhanças daquele planeta. Um novo planeta foi encontrado, Netuno. A força gravitacional é uma das quatro forças da natureza. Apesar de permear todo o nosso espaço físico, agindo sobre massas, é uma força de muito pouca intensidade quando comparada às forças fraca, forte e eletromagnética. Quando calculamos essa força entre dois prótons separados por uma distância de 15102 m obtemos um valor de 3410 N, enquanto obtemos 100 N para força eletromagnética. A principal aplicação da gravitação é na astronomia, viagens espaciais de satélites, na medicina, etc. Apesar da gravitação de Newton ser uma teoria de alta precisão, algumas observações, como o desvio do periélio de Mercúrio, não coincidem com os cálculos previstos por essa teoria. Ao contrário da gravitação formulada pela Relatividade Geral, os dados observacionais do desvio do periélio de Mercúrio vêm a ser confirmados por essa outra teoria. Atualmente, problemas fundamentais da física continuam a existir, por exemplo, como explicar a expansão acelerada do universo. Algumas tentativas estão sendo feitas, agora formulando a gravitação com teorias mais gerais do que a Relatividade Geral. 3. A Lei de Newton da Gravitação Universal

Foi Newton quem descobriu que a força interplanetária que mantém os corpos celestes em suas órbitas é a força gravitacional. A lei da gravitação universal formulada por Newton estabelece que: Uma partícula atrai uma outra com uma força diretamente proporcional ao produto de suas massas e inversamente proporcional ao quadrado da distância entre elas. A intensidade da força gravitacional entre duas massas 1m M e

2m m separadas por uma distância r é

2rGMmF eq. I.1

fig. I-2. Interação gravitacional entre duas massa. onde G é a constante universal. Seu valor em unidades internacionais ou métrica é

2211 /1067,6 kgNmG A fig. I-2 mostra a direção da força atrativa sobre cada partícula. Note que as duas forças são de igual intensidade e direções opostas, elas formam um par ação e reação. Por outro lado, a ação da força é a distância,

8

não requerendo contado entre as partículas e a atração gravitacional entre duas partículas é completamente independente da presença de outras partículas. Segue que a força gravitacional obedece ao princípio da superposição linear, isto é, a força gravitacional líquida entre dois corpos (por exemplo, Terra e Lua) é o vetor soma das forças individuais entre todas as partículas que compõem os corpos. Podemos assim usar este fato para aproximarmos os corpos celestes como partículas pontuais. 4. Força Gravitacional Exercida pela Terra sobre uma Partícula

Aproximando a Terra e um corpo próximo a ela por um ponto, a força gravitacional exercida pela Terra sobre este corpo (partícula) é

2rmGM

F T ou rr

rmGMF T

2 eq. I.2

onde r é a distância medida do centro da Terra à partícula fora da Terra. Se a partícula está dentro da Terra a força é menor. Se a partícula está na superfície da Terra em TRr , então a eq. I.2

2T

T

RmGMF eq. I.3

A corresponde aceleração da massa m é

gR

GMmFa

T

T 2 eq. I.4

Mas essa aceleração é exatamente aquela que chamamos aceleração da gravidade g. Em geral teremos a aceleração para uma distância r

grR

rGMa TT

2

2

2 eq. I.5

fig. I.4. Gráfico da aceleração em m/s 2 da gravidade versus distância radial r em metros.

TR 2 TR 3 TR

4,9

9,8

a

r

fig. I.3. Força gravitacional

entre duas partículas.

9

fig. I.5. Experimento de Cavendish.

5. A Medida da Constante Gravitacional

A constante G é muito difícil de ser medida com precisão. Isto ocorre devido às forças gravitacionais entres massas no laboratório serem pequenas e portanto os instrumentos para detectar estas forças serem extremamente sofisticados. As medidas de G são feitas com uma balança de torsão de Cavendish. O valor da constante G é determinado através da aproximação das pequenas massas das massas grandes e a comparação dos torques surgidos no cabo central de sustentação. 6. Órbitas dos Planetas

É razoável considerarmos o Sol fixo e imóvel estudando apenas o

movimento dos planetas. Se supusermos as órbitas dos planetas aproximadamente circulares

de raio r, a força gravitacional age como uma força centrípeta, tendo o Sol como o corpo central. Se a velocidade do planeta é v, a equação de movimento

22

2 vr

GMr

mvFr

mGMF s

cs eq. I.6

Temos que 2r

vT

, onde T é chamado o período da órbita. Assim o

período para órbita circular é dado por

32

2 4 rGM

Ts

eq. I.7

Mesmo as órbitas dos planetas em torno do Sol sendo aproximadamente circulares nenhuma dessas órbitas é circular. Foi Kepler que mostrou através das observações este fato. Isso é a primeira lei de Kepler:

‘As órbitas dos planetas são elipses com o Sol em um dos focos’

fig. I.6. Uma órbita elíptica de um planeta, com o Sol em um dos focos.

A segunda lei de Kepler expressa essencialmente a conservação do momentum angular do planeta em torno do Sol, já que a força gravitacional

10

fig. I.7. Lei de Kepler das áreas

é uma força central. Ela é chamada lei das áreas.

‘O segmento de reta que une o Sol ao planeta varre áreas iguais em tempos iguais’

A terceira lei de Kepler relaciona o período da órbita ao tamanho dela. Uma generalização da equação eq. I..7:

‘O quadrado do período é proporcional ao cubo do semi-eixo maior da órbita do planeta’

As três leis de Kepler são também aplicadas a satélites e a cometas. Também são aplicadas a órbitas de estrelas, como em

sistemas binários de estrelas. Por outro lado, são aplicadas a movimento de projéteis próximos da Terra.

Notamos que na nossa descrição matemática do movimento planetário não contemplamos as forças dos outros planetas muito menores do que a do Sol. Porém, num tratamento mais preciso, essas forças devem ser levadas em conta. A força líquida sobre qualquer um dos planetas é então uma função da posição de todos os outros planetas. A solução da equação do movimento envolve o problema de muitos corpos. No cálculo do movimento de um planeta é incluído o cálculo do movimento dos outros planetas. Não temos uma solução exata desse problema, apenas cálculos envolvendo análise numérica. Dessa forma as leis de Kepler descrevem uma primeira aproximação do movimento planetário. Isto resulta no desvio do periélio de alguns planetas. 7. Energia Gravitacional

Sabemos do estudo da mecânica que a força gravitacional é uma

força conservativa, isto é, o trabalho realizado por esta força para deslocar uma partícula de um ponto a outro somente depende da localização destes pontos e não do caminho entre eles. Assim podemos definir a energia potencial gravitacional

)()( 0PUrdFrUr

eq. I.7

Tomamos aqui um ponto numa distância infinita da massa central M e colocamos 0)( 0 PU . Note que esta integral pode ser calculada para

qualquer caminho, em particular numa linha reta. Então,

rGMmdxiixGMmPUrdFrU

rr

)/(0)()( 20 q.I.8

Veja que a energia potencial gravitacional cresce com a distância, de

um valor negativo para zero. Isto decorre naturalmente pelo fato da força ser atrativa. Por outro lado essa energia é mútua, de M e m, mas por exemplo se M >> m podemos dizer que a energia é apenas de m, já que praticamente M

11

não se move. Algumas vezes é desejável calcular a força da energia potencial.

Suponha que dois pontos P e Q são separados apenas por um deslocamento

infinitesimal

rd , então U(P) será diferente de U(Q) somente por uma quantidade infinitesimal,

dzFdyFdxFrdFQUPUdU zyx

)()( , assim

)(),,(

rUzU

yU

xUF .

Neste caso dizemos que

F provém de um potencial. Podemos rever este resultado em um curso básico de cálculo.

A energia total é igual a U+K, mas se M é estática, então a energia cinética K é devida apenas ao movimento de m, assim pela conservação de energia,

.21 2 const

rGMmmvKUE eq. I.9

Da eq. I.6 e eq. I.9 podemos calcular facilmente a energia para uma órbita circular:

rmGM

rmGM

rmGM

KUE sss

21

21

eq. I.10

A energia negativa E é exatamente a metade da energia potencial. Para uma órbita elíptica a energia total é também negativa. Pode-se mostrar que E é escrito como na eq. I.10, substituindo r pelo semi-eixo maior da elipse. A energia total não depende do formato da elipse e sim do seu tamanho global. Se a energia é próxima de zero, então o tamanho da órbita é muito grande. O que caracteriza as órbitas de cometas, indo além do limite do sistema solar. Se a energia é exatamente zero, então a elipse torna-se uma parábola, para distâncias infinitas e velocidade zero. Se a energia é positiva, então a órbita é uma hipérbole, o astro alcança distâncias infinitas com velocidades diferentes de zero e continua movendo-se em linha reta. Para um detalhamento sobre as órbitas dos planetas podemos estudar as curvas de potencial através da eq. I.9, calculando-se a expressão da velocidade para determinar qualitativamente: pontos de retorno e equilíbrio, níveis de energia, órbitas ligadas e não ligadas. Ou, de forma mais precisa, muito mais difícil, resolver uma equação diferencial definida pela eq. I.9 para a posição da partícula. Um objeto de massa m na superfície de um astro de massa M está sujeito a uma força da gravidade exercida por tal astro. Qual deve ser a velocidade inicial mínima aproximada que deverá ser lançado o objeto, da superfície do astro, para que ele não retorne mais? Como tal objeto escapará do astro? A velocidade correspondente é chamada velocidade de escape. No infinito a velocidade do objeto é zero e a energia potencial também. Dessa

12

forma E = 0, como a única força que realiza trabalho é a gravitacional, que é conservativa, então na superfície,

T

T

RmGMmvUKE 2

210

T

T

RGMv 2

eq. I.11

Note que estamos considerando um corpo lançado em pontos acima da superfície da Terra onde, aproximadamente, o atrito com o ar é zero e a força do Sol sobre ele tem um pequeno efeito. 8. O Campo Gravitacional Uma abordagem para descrever interações entre objetos na Terra que não estão em contato, veio com o conceito de um campo gravitacional o qual permeia nosso espaço físico. O campo gravitacional é definido como

Fm

g 1 eq. I.12

O campo gravitacional em um ponto do espaço é igual à força experimentada por uma partícula teste colocada no ponto multiplicada escalarmente pelo inverso da massa da partícula. Note que a presença da partícula teste não é necessária para o campo existir. A Terra cria o campo. Como exemplo, considere um objeto de massa m próximo a superfície da Terra. O campo gravitacional a uma distância r do centro da Terra é

rr

rmGM

mF

mg T

2

11

rr

GMg T2 eq. I.13

onde

rrr1

é o vetor unitário apontando radialmente em direção à Terra e

o sinal menos indica que o campo está na direção do centro da Terra. 9. Interação Gravitacional entre uma Partícula e um Objeto Extenso Notemos que até agora a interação gravitacional que estamos considerando é entre partículas. Porém agora temos interesse em saber como tratamos o caso de interação gravitacional entre objetos extensos. Se uma partícula de massa m interage gravitacionalmente com um objeto extenso de massa M, a força gravitacional total exercida pelo objeto sobre a partícula pode ser obtida dividindo o objeto em vários elementos de

13

massa iM para tomar o vetor soma sobre todas as forças exercidas por

todos os elementos. A energia potencial para qualquer um desses elementos é dada por ii rMGmU / , como podemos ver na fig. I.8. A energia potencial total do sistema de partículas de massa M é obtida, quando tomamos 0 iM ,

dMU Gm

r eq. I.14

Agora calculamos a força gravitacional através de drdU / para obter

rr

dMGmF 3 eq. I.15

onde

rrr

é o vetor unitário dirigido do elemento dM em direção a

partícula e o sinal menos indica que a direção da força é oposta a de

r . 10. Teorema de Newton da Interação Gravitacional entre Distribuições Esféricas de Massa

Vamos mostrar um teorema muito importante que trata da interação entre corpos extensos com simetria esférica. Os planetas, bem como outros corpos, podem ser considerados com esta simetria. Teorema: A interação gravitacional entre dois corpos que possuem distribuições de massa com simetria esférica, para pontos externos das esferas, é igual à interação gravitacional entre duas partículas localizadas nos centros dessas esferas. Prova: Podemos começar calculando a energia potencial total entre uma casca esférica, dividindo a casca em elementos de massa iM , e uma

partícula m no seu exterior,

)(

i

i

rMGmU eq. I.15

onde ir é a distância entre iM e m.

Tome um anel da casca como na fig. I.9

Tome um anel de uma casca esférica, obviamente a reunião de desses anéis nos dá a casca inteira. O anel está a uma distância Lri da partícula

m. O anel tem uma largura Rd , um raio Rsenθ e uma circunferência

m

fig. I.8. Interação entre uma partícula e um objeto extenso

de massa M.

fig. I. 9. Interação gravitacional entre duas massas esféricas.

14

Rsen2 e assim à área da superfície do anel é dsenR22 . A massa do anel é proporcional a área dessa superfície. Como a massa total M é uniformemente distribuída sobre a área total 24R da casca, podemos escrever

dMsenR

dsenRMM i 21

42

2

2

para massa do anel.

No limite 0 iM e encontramos da eq. I.15

LdGmMsenU

2 eq. I.16

Aplicando a lei dos cossenos, cos2222 rRrRL e calculando ddL / , onde r e R são constantes, RrL como maior valor de L e

RrL como menor valor de L, teremos

)2(2

][22

RrR

GmMLrR

GmMdLrR

GmMU RrRr

Rr

Rr

rGmMU eq.I.17

Esse resultado mostra que a energia potencial é calculada como se toda a massa estivesse em seu centro. Então a força, drdU / , entre a casca e a partícula é exatamente calculada como se toda a massa estivesse no centro. A distribuição de massa esférica é uma coleção de cascas esféricas. Assim a força gravitacional entre a distribuição de massa esférica e a massa m será calculada como se toda a massa da esfera estivesse no seu centro, quando aplicado o princípio da superposição de forças. Note que este resultado permanece para uma densidade de massa não uniforme. Pela terceira lei de Newton, a distribuição de massa sente igual força. Agora se substituímos a partícula de massa m por uma distribuição de massa esférica, e indagamos sobre a força de atração gravitacional entre as distribuições de massa esférica, pelos argumentos acima é fácil ver que a força gravitacional é calculada como se as massas estivessem concentradas em um ponto. Terminando assim a prova do teorema. Se agora a partícula está dentro da distribuição esférica o cálculo procede de forma análoga, isto é, apenas os limites da última integral são trocados para rRL e rRL , para obtermos,

RGmMU eq. I.18

Note que U é constante, dessa forma quando m se move no interior da esfera nenhum trabalho é realizado sobre ela, como consequência a força gravitacional é igual a zero em qualquer ponto no interior da casca esférica. Para uma distribuição de massa esférica consideremos uma partícula dentro dessa distribuição. A força líquida que temos é devido à massa

15

contida em um raio menor do que o raio onde a partícula está, como se a massa dessa parte da esfera estivesse concentrada em seu centro. Assim, de

uma forma geral, teremos para intensidade de

F

2

)(r

rGmMF eq. I.19

onde M(r) é a quantidade de massa contida dentro da massa esférica, cujo o raio é r, calculado a partir da localização da massa m. Esta é a força gravitacional sobre uma partícula localizada dentro de uma massa esférica. 11. Massa Gravitacional, Massa Inercial e o Princípio de Equivalência Quando a massa de um corpo é medida de acordo com sua inércia, dizemos que essa massa é inercial. Isto é, quando queremos medir a massa de um corpo, comparamos a massa desconhecida com uma massa padrão, fazendo-se exercer forças uma sobre a outra e calculando as razões das acelerações obtendo a razão inversa dessas massas. De acordo com essa definição, massa é a medida de sua inércia, ou seja, a medida da oposição que o corpo oferece a qualquer mudança de seu estado de movimento. Por outro lado, quando medimos massa através de um peso padrão através de uma balança comparamos a força gravitacional que a Terra exerce sobre as massas. A massa medida dessa forma é chamada massa gravitacional. Seria razoável que a massa de um corpo tivesse a mesma medida por ambos os métodos. Sejam 1P e 2P os pesos de dois corpos, se 21 PP , teremos

2121 mmgmgm . Isto é, as massas inerciais são iguais. A igualdade dessas massas inerciais se mantém devido ao fato delas poderem cair livremente com a mesma aceleração. Por outro lado, podemos de um sistema referência acelerado simular os efeitos da gravidade. A similaridade entre os dois efeitos é chamada de princípio de equivalência. Por exemplo, se estamos num elevador fechado, em queda livre, não saberemos se estamos em um sistema acelerado ou se sujeitos a um campo gravitacional. Exercícios Resolvidos

Exemplo I. 1 Qual é a força gravitacional entre um homem de 70 kg e uma mulher de 70 kg quando estão separados por uma distância de 10m? Trate as massas como particulas.

Solução:

Nm

kgkgkgmNr

mGMF T 92

2211

2 103,3)10(

7070/.1067,6

.

Exemplo I. 2

16

As órbitas do planeta Vênus e da Terra são aproximadamente circulares quando giram em torno do Sol. O período de Venus é 0,615 anos e o da Terra é 1 ano. Mostre que os raios das órbitas são tais que .38,1 VT rr

Solução:

De fato, usamos 32

2 4 rGM

Ts

para ambos os planetas para chegarmos a

relação,

38,1)615,0(

)1(5,1

5,1

5,1

5,1

ano

anoTT

rr

V

T

V

T .

Exemplo I. 3

Sabendo-se que o raio médio orbital da Terra é m1110496,1 , calcule a massa do

Sol. Solução:

Usamos kgGT

rMrGM

T ss

302

323

22 10989,144

, onde

T= s710156,3 .

Exemplo I. 4 Um astronauta está em uma espaçonave com uma órbita circular de raio

km3106,9 ao redor da Terra. Em um ponto da órbita ele faz a nave impulsionar para frente e reduz sua velocidade. Isto coloca a nave em uma nova órbita elíptica com apogeu igual ao raio da órbita velha, mas com perigeu menor. Suponha que o perigeu da nova órbita é km3100,7 . Compare os períodos da nova e velha órbita.

Solução:

O período da órbita velha, que é circular, srGM

TT

velha33

2

104,94

,

enquanto de acordo com a terceira lei de Kepler o período da nova, que é elíptica,

saGM

TT

nova33

2

105,74

, onde

2/)100,7106,9( 33 kmkma , a sendo o semi-eixo maior. Então o período da nova órbita é aproximadamente 20% menor do que o da velha. Mesmo o astronauta diminuindo sua velocidade no apogeu, ele leva menos tempo para completar a órbita. A razão disso vem do fato que o piloto cresceu sua velocidade no perigeu e encurtou a distância em torno da órbita.

Exemplo I. 5

Sabendo-se que o periélio de Mercúrio é m9109,45 e o afélio m9108,69 encontre a velocidade de Mercúrio no periélio e no afélio.

Solução:

17

Note que no afélio e periélio as velocidades são perpendiculares ao raio assim a norma do momentum angular de cada ponto é dado por pPrmv e aa rmv . Usando a conservação de momentum angular

aapP rmvrmv

Por conservação de energia mecânica

a

Sa

p

Sp r

mGMmvr

mGMmv 22

21

21

.

Substituindo a equação anterior nesta última, obtemos facilmente,

smv p /1091,5 4 e smva /1088,3 4 .

Exemplo I. 6 Um ‘meteoróide’ está inicialmente em repouso no espaço interplanetário a uma grande distância do Sol. Devido a influência da gravidade, ele começa a cair em direção ao Sol ao longo de uma linha radial. Com qual velocidade ele colide com o Sol?

Solução: A energia do ‘meteoróide’ é

.21 2 const

rmGMmvE S

Inicialmente U = 0 e K = 0, já que v = 0 e r . Assim em qualquer tempo depois

021 2

rmGMmvE S ou

rGMv S2

, no momento do impacto,

SRr , onde mRS81096,6 . Logo smv /1018,6 5 . Essa quantidade

é chamada velocidade de escape, caso o corpo estivesse sendo lançado do Sol.

Exemplo I. 7 Qual a energia potencial gravitacional de uma partícula na vizinhança da Terra?

Solução:

Sabemos que, r

mGMrU T)(

A mudança de energia potencial entre o ponto r e o ponto sobre a superfície da Terra é então

T

TTT R

mGMr

mGMRUrUU )()(

Se TRr e zRr T é a altura acima da superfície da Terra da partícula m

gmzzR

mGMUT

T 2 .

Essa é nossa velha expressão da energia potencial gravitacional de uma partícula de massa m a uma altura z da superfície da Terra. Note que esta aproximação que fizemos vale para TT RzRr .

Exemplo I. 8

18

Uma esfera tem massa M e raio R. Encontre a força gravitacional sobre uma partícula de massa m em um raio Rr .

Solução:

A massa contida na esfera de raio r é diretamente proporcional ao volume 3/4 3r . A massa total M é distribuída sobre o volume 3/4 3R . Assim

3

3

3

3

3/43/4)(

RMr

RrMrM

e rR

GmMr

rGmMF 32

)(

Note que a força cresce diretamente proporcional ao raio r, quando r = R a força para de crescer e começa a decrescer com 2/1 r .

Exercícios Propostos

Exercício I. 1 Um satélite de comunicações tem uma órbita circular equatorial ao redor da Terra. O período da órbita é exatamente um dia, pois o satélite sempre permanece numa posição fixa relativa a rotação da Terra. Qual deve ser o raio de tal órbita geoestacionária?

Resposta: mr 71023,4 Exercício I. 2

A massa 1m de uma das esferas pequenas da balança de Cavendish é igual a 0,0100

kg, a massa 2m de uma das esferas grandes é igual a 0,500 kg, e a distância entre o centro de massa da esfera pequena e o centro de massa da esfera grande é igual a 5 cm. Calcule a força gravitacional F sobre cada esfera produzida pela esfera mais próxima.

Resposta: use a expressão da força para achar duas forças de mesmo valor e de intensidade muito pequena.

Exercício I. 3 Suponha que uma esfera pequena e uma esfera grande sejam destacadas do dispositivo da balança de Cavendish, descrita no exercício acima, e colocadas a uma distância de 5 cm entre os centros das esferas, em um local do espaço muito afastado de outros corpos. Qual é a intensidade da aceleração de cada esfera em um referencial inercial?

Resposta: 28 /1033,1 sm e 101066,2

Exercício I. 4

r

F

R

19

Uma nave está sendo projetada para levar material até Marte que tem mRM

61040,3 e massa kgmM231042,6 . O veículo explorador que

deve pousar em Marte possui peso na Terra igual a N39200 . Calcule o peso e a aceleração desse veículo em Marte. (a) a uma altura de m6106 acima da superficie de Marte. (b) e sobre a superfície de Marte. Despreze os efeitos gravitacionais das Luas de Marte que são muito pequenas.

Resposta: (a) 1940 N e 0,48 2/ sm ; (b) 15000 N e 3,7 2/ sm

Exercício I. 5 (a) Um corpo de massa m é lançado verticalmente da Terra. Qual a velocidade

mínima necessária para atingir uma altura igual ao raio da Terra?

(b) Qual a velocidade de escape desse corpo?

Despreze a resistência do ar, a rotação da Terra e a atração da Lua.

mRT61038,6 e kgM T

241097,5 . Resposta: (a) hkm /28400 e (b) hkm /40200

Exercício I. 6 Três esferas estão localizadas nos vértices de um triângulo retângulo de 045 . Determine a norma e a direção da força gravitacional resultante sobre a esfera menor exercida pela ação das duas esferas maiores. Resposta: Força de 111017,1 N e 06,14 em relação ao eixo x.

Exercício I. 7 Pesquise para encontrar uma relação entre o peso aparente e o peso real de um corpo localizado na Terra.

Exercício I. 8 Pesquise para descrever a ideia fundamental do conceito de buraco negro com base nos princípios da mecânica de Newton.

Exercício I. 9 Pesquise e responda: Quando o centro de gravidade de um sistema de partículas coincide com seu centro de massa?

Exercício I. 10 Uma barra homogênea de comprimento L e massa M, fina (sem espessura), está a uma distância h de uma partícula de massa m, ambas as massas localizadas na horizontal. Calcule a força gravitacional exercida pela barra sobre a partícula.

Resposta:

i

LhhGMmF

)(.

Exercício I. 11

20

Duas partículas cada uma de massa M estão fixadas sobre o eixo y, em y = b e y = -b. Encontre o campo gravitacional em um ponto p sobre o eixo x, a uma distância x a direita de x = 0.

Resposta:

i

bx

GMxg2

322 )(

2.

Exercício I. 12 Um projétil é lançado verticalmente para cima da superfície da Terra com uma velocidade inicial de 15 km/s. Encontre a velocidade do projétil quando ele estiver ‘muito longe da Terra’, desprezando os efeitos do ar. Se ele tivesse inicialmente uma velocidade de 8 km/s, qual a atura máxima que ele atinge? Despreze novamente os efeitos do ar. Resposta: 10 km/s e 1,05 TR .

Exercício I. 13 Uma esfera sólida de raio R e massa M é simetricamente esférica, mas não uniforme. Sua densidade ρ é proporcional à distância do centro da esfera, para

Rr . Isto é, Cr para Rr e ρ = 0 para Rr , onde C é uma constante. (a) Encontre C. (b) Encontre o campo gravitacional para Rr . (c) Encontre o campo gravitacional em r = R/2. Resposta: (a) 4/ RMC , (b) 2/ rGMg , (c) 24/ RGM .

Exercício I. 14 Pesquise sobre o fenômeno das marés em gravitação.

21

Unidade II - Oscilação

1. Situando a Temática O propósito desta unidade temática é o de introduzir algumas ideias sobre oscilação. Estudaremos o movimento harmônico simples, o oscilador harmônico simples, que pode ser modelado por um sistema acoplado massa-mola, a energia de um oscilador, o pêndulo simples e outros sistemas oscilantes, como por exemplo, o pêndulo físico. Também estudaremos as oscilações amortecidas e forças. A fig. II.1 mostra o gráfico de um sistema oscilante e uma engrenagem oscilante.

2. Problematizando a Temática Um dos assuntos de mais importância na física é aquele que estuda os fenômenos oscilantes. A oscilação está presente na natureza, como o movimento orbital de um planeta ao redor do Sol, o movimento de rotação de um CD em um computador, o movimento de vai e vem de um pistão em uma engrenagem de um automóvel, a vibração de uma corda em uma guitarra, o movimento vibratório de uma ponte ou edifício, etc. Quando estudamos em detalhes um sistema acoplado mola-massa, as equações matemáticas que se desenvolvem para descrever tal sistema são de grande importância, pois equações análogas são resgatadas na descrição de todos outros sistemas oscilantes. Dentre muitos problemas ligados a oscilação de um sistema físico, pode ser citado um problema prático que existir na mecânica de automóveis: as forças dos gases da combustão geram torque pulsante na árvore de manivelas e no volante, em regimes de baixas rotações, onde se podem detectar com mais evidência essas oscilações de torção. Essas oscilações são transmitidas através da embreagem ao sistema de transmissão do veículo. As engrenagens livres da transmissão recebem essas oscilações, gerando vibrações entre os dentes das engrenagens livres, resultando em ruídos em regimes de marcha lenta. A solução desse problema surge através de um sistema de amortecimento de molas e um volante bi-massa. Esse é um exemplo de oscilação ligada à indústria automobilística. Veja a fig. II.2 para ter uma ideia do problema.

fig. II.1. Exemplos de oscilações e osciladores.

22

fig. II.2. Exemplo de um sistema oscilante na indústria automobilística.

3. Movimento Harmônico Simples O movimento de uma partícula ou de um sistema de partículas é periódico se ele é repetido em intervalos regulares de tempo. Um movimento periódico de vai e vem de um corpo é chamado de oscilação. Existem muitos movimentos dessa natureza como, por exemplo, o movimento de um pistão, de um pêndulo, de uma corda de guitarra, etc. Um movimento é dito movimento harmônico simples (MHS) se a posição como função do tempo tem a forma

)cos( tAx eq. II.1

onde A, e são constantes. A quantidade A e chamada de amplitude do movimento, que é a distância entre o ponto médio (x = 0) e o ponto de retorno ( x = A ou x = -A); é a frequência angular, que está relacionado ao período do movimento, isto é,

2

T eq. II.2

Enquanto que a frequência do movimento,

T1

2

eq. II.3

A unidade de frequência é dada em ciclos por segundo e de frequência angular radianos por segundo. A unidade de frequência usualmente é o Hz (hertz): 1 hertz = 1 Hz = 1 ciclo por segundo. O argumento do cosseno, )2( t é chamado de fase e é dita fase

constante. Essa constante determina em que tempo a partícula alcança o

23

ponto de deslocamento máximo. Isto é, 0max t ou

maxt . O

que nos mostra que a partícula alcança o ponto de deslocamento máximo em - / , antes de t = 0. Note que )]2/([)cos( tAsentAx , pode ser

representado por uma função seno quando mudamos a fase constante. Por outro lado,

tsenAsentAtAx )(cos)cos()cos( , expressando o

MHS como uma superposição de funções senos e cossenos. Existe uma simples relação geométrica entre o MHS e MCU – movimento circular uniforme. Considere uma partícula movendo-se com uma velocidade angular sobre um círculo de raio A. Se em t = 0 a posição angular dela é , então a posição angular num tempo depois é

t , as coordenadas do ponto do círculo são )cos( tAx e )2/cos()( tAtAseny ,

donde vemos que x e y possuem MHS.

4. O Oscilador Harmônico Simples O Oscilador Harmônico Simples consiste de uma massa acoplada uma mola de massa ideal que obedece a lei de Hooke. fig. II-3. Deslocamento de uma massa ligada a uma mola de acordo com a lei de Hooke. Usando a segunda lei de Newton obtemos a equação de movimento da massa do sistema acoplado massa-mola

kxdt

xdm 2

2

eq. II.4

Podemos resolver essa equação através de equações diferenciais, mas vamos deixar para um curso de mecânica geral esses cálculos. Sabemos que, dadas as condições iniciais de eq. II.4, podemos garantir a existência da solução da equação e, nesse caso, determinar o movimento.

24

Da eq. II.1 calculando-se a primeira e segunda derivadas com relação ao tempo obtemos

xdt

xdm 22

2

eq. II.5

Assim comparando eq. II.4 e eq. II.5 concluímos que o movimento massa-mola é um MHS com uma frequência angular

mk

eq. II.6

Para as condições iniciais, t = 0, teremos, a velocidade 0vv e a posição

0xx , onde cos0 Ax e Asenmkv 0 . Daí e do fato do sistema

massa-mola ser um MHS

)()cos()cos( 00 tmksen

kmvt

mkxt

mkAx eq. II.7

que expressa o movimento em termos das condições iniciais.

5. Energia do Oscilador

A energia cinética de uma massa m em um MHS é: K = 2

21 mv ,

1 2[ ( )]2

1 12 2 2 2 2( ) ( )2 2

K m A sen t

mA sen t kA sen t

eq. II.8

Enquanto a energia potencial associada à força restauradora da mola, que é conservativa, é

)(cos21)]cos([

21

21 2222 tkAtAkkxU eq. II.9

O valor máximo para K e U é igual a 2

21 kA e o valor mínimo é 0. Quando x

= 0, K é máxima pois a velocidade é máxima nesse ponto, enquanto U = 0. Quando a massa alcança o ponto de retorno K = 0 e U é máxima, isto para um deslocamento máximo. Como a força é conservativa, E = K + U é uma constante de movimento. Note que podemos ver facilmente

2

21 kAE eq. II.10

25

fig. II. 4. Curva de potencial do MHS como função de x

Note que o deslocamento máximo e velocidade máxima podem ser dados em termos de E

kEAx 2

max e mEv 2

max eq. II.11

Vamos analisar a curva de potencial para um MHS 2

21 kxU

que podemos ver no gráfico ao lado: Note que os valores máximos para os deslocamentos dependem do valor de E mostrado no gráfico como o nível de energia. Aumentando-se a altura do nível de energia a amplitude de oscilação aumenta, visto que a distância entre os pontos de retorno aumenta.

6. Pêndulo Simples O pêndulo simples consiste de uma partícula sustentada por um fio inextensível de massa desprezível. Ele oscila em torno da posição de equilíbrio, como podemos ver na fig. II.5. Como a partícula e o fio estão dispostos como uma unidade rígida, o movimento pode ser considerado como uma rotação em torno de um eixo localizado no ponto de suspensão, então

22 2

2

I mgLsen

dmL mgLsen mLdt

2

2

dtdLgsen

eq. II.11

Para pequenas oscilações do pêndulo, sen (isto pode ser entendido através da série de Taylor para função senf )( sobre o ponto 0 ) a eq. II.11 torna-se,

2

2

dtdLg

eq. II.12

Veja que esta equação tem a mesma forma da eq. II.4 e, dessa forma, é um MHS, isto é,

)cos( tA eq. II.13

fig. II.5. Diagrama de um pêndulo simples.

26

com frequência angular de um pêndulo simples igual a Lg / . Enquanto o período é dado por

gLT /2/2 . Notemos que o período somente depende do

comprimento do fio e da aceleração da gravidade e não da massa da partícula e amplitude de oscilação. A energia de cinética pode ser vista como,

2222 )]([21][

21

21 tAsenmL

dtdIIK

)(21 22 tsenmgLAK eq. II.14

A energia potencial é simplesmente a energia potencial gravitacional,

)cos1()cos( mgLLLmgmghU , mas se é suficiente pequeno, levando em conta uma aproximação através da série de Taylor

para função cos)( f sobre o ponto 0 , 2

211cos , portanto

a energia potencial 2

21 mgLU

)(cos21 22 tmgLAU eq. II.15

Notemos que .21 2 constmgLAUKE . Assim E é uma constante

de movimento.

7. Pêndulo Físico e Pêndulo de Torção Nós vimos na secção anterior que o pêndulo simples comporta-se como um MHS para pequenas amplitudes de oscilação, próximas à posição de equilíbrio. Muitos outros sistemas físicos comportam-se dessa forma. Isto é, a força efetiva é usualmente proporcional ao deslocamento. Vejamos isto através da série de Taylor para uma F = F(x), onde x é o deslocamento.

...21)0()( 2

02

2

0

xdx

FdxdxdFFxF

xx

eq. II.16

Se o movimento é em três dimensões cada componente da força tem um desenvolvimento de Taylor semelhante nas respectivas direções. Podemos ter x = quando o deslocamento for angular. Para x = 0, no ponto de equilíbrio, F(0) = 0 e se o deslocamento é suficientemente pequeno os termos de ordem superior ou igual a dois podem ser desprezados quando comparados aos de primeira ordem. Assim,

xdxdFxF

x 0

)(

eq. II.17

27

Se tivermos kxxF )( , onde 0

xdxdFk vemos que a lei de

Hooke é uma aproximação geral que descreve forças para pontos próximos ao de equilíbrio. É fácil ver, analisando a derivada de F com relação a x, que podemos verificar que teremos um equilíbrio estável quando 0k (a força é restauradora), equilíbrio instável quando 0k (a força é repulsiva), enquanto x = 0 teremos um equilíbrio neutro. Um pêndulo físico consiste de um corpo sólido que está suspenso por um eixo. Sob a influência da gravidade, o corpo tem um movimento de vai e vem. Podemos ver na fig. II.6 o diagrama de um pêndulo físico. A equação de movimento é aquela para um corpo rígido,

2

2

dtdII

, por um lado MgLsen e assim

obtemos a equação de movimento para oscilações suficientemente pequenas,

2

2

dtdIMLg

eq. II.18

A solução dessa equação representa um MHS com frequência

IMgL / .

O pêndulo de torção é muito parecido com o pêndulo físico, entretanto a força de restituição (peso) é substituída por um tipo de mola espiral. Sob a suposição que o deslocamento do pêndulo de torção da posição de equilíbrio seja suficientemente pequeno, o torque é proporcional ao deslocamento angular

eq. II.19

onde é a constante de torção da mola ou fibra, com unidades Nm/rad. A equação de movimento do corpo rígido é

2

2

dtdI

eq. II.20 Que é novamente a equação de um oscilador que possui MHS, cuja frequência é dada por

I/ . Podemos ver exemplos de pêndulos de torção na figura ao lado.

8. Oscilações Amortecidas e Oscilações Forçadas Em um oscilador real, digamos um pêndulo, existem forças externas, por exemplo forças de atrito. Se o pêndulo começa a se movimentar com uma amplitude ao longo do tempo essa amplitude diminui.

fig. II.6. Diagrama de um pêndulo físico.

28

A fig. II.8 mostra o deslocamento de um oscilador com atrito. O movimento resultante é chamado de movimento harmônico amortecido. Esse movimento pode ser representado pela função

)cos(_

)2/(0 teAx tmb eq. II.21

quando a força de amortecimento bv é suficientemente pequena e x é solução da

equação diferencial, 2

2

dtxdm

dtdxbkx ,

onde 22_

4// mbmk na eq. II.21.

Quando kmb 2 em _

, teremos um amortecimento crítico, o sistema não oscila mais, retornando para sua posição de equilíbrio sem oscilar.

kmb 2 corresponde a um superamortecimento. O sistema não mais oscila também mas volta para posição de equilíbrio mais devagar do que o caso anterior. Enquanto para kmb 2 o sistema oscila com uma amplitude que diminui continuamente. Essa condição denomina-se de subamortecimento. Um amortecedor de carro é um exemplo de oscilador amortecido, bem como um dispositivo usado nas raquetes de tênis que diminui as vibrações.

Nas oscilações amortecidas, a força de amortecimento não é conservativa, a energia mecânica não é constante e diminui tendendo a zero ao passar o tempo. Vamos deduzir a taxa de variação da energia. Temos que

dtdxkx

dtdvmv

dtdEkxmvE 22

21

21

como

2

2

dtxdm

dtdxbkx

2bv

dtdE

eq. II.22

Podemos manter constante a amplitude das oscilações amortecidas se fornecemos ao sistema um empurrão no final de cada ciclo. Esta força adicional é chamada de força propulsora. Quando aplicamos uma força propulsora variando periodicamente com a um oscilador harmônico amortecido, o movimento resultante é uma oscilação forçada. A frequência da oscilação da massa é igual a

frequência da força propulsora . Veja que ._

O caso mais simples é aquele em que a força propulsora é senoidal, isto é, tsenFtF max)( .

Novamente não vamos resolver a equação diferencial, deixado para outro

fig. II.8. Linha de universo de uma partícula com

movimento harmônico amortecido.

fig. II.9. Exemplos de osciladores amortecidos

29

curso. A expressão da amplitude de um oscilador forçado em função de é

222

max

)( wbmk

FA

. Quando mk / em 2mk = 0,

maxAA .

Quando a amplitude correspondente à oscilação forçada está próxima da frequência da oscilação natural do sistema, essa amplitude atinge um pico, dizemos que ocorreu o fenômeno da ressonância. A ressonância de um sistema mecânico pode ser destrutiva. Em projetos da aviação e de engenharia este conceito é fundamental. O tratamento matemático da ressonância é deixado para um curso de mecânica geral. Exercícios Resolvidos Exemplo II. 1 Uma espécie de altofalante usado para diagnóstico médico, oscila com uma frequência de MHz7,6 . Quanto dura uma oscilação e qual é a frequência angular?

Solução:

O período T é dado por sHz

T 76 105,1

107,611

. Por outro lado

sabemos que )(/2(2 ciclorad 6107,6 ciclos/s) = 7102,4 rad/s.

Exemplo II. 2 Em um sistema acoplado verificamos que ao puxarmos a mola por um dinamômetro da esquerda para direita com uma força de 6 N, este produz um deslocamento de 0,030 m. A seguir removemos o dinamômetro e colocamos uma massa de 0,50 kg em seu lugar. Puxamos a massa a uma distância de 0,020 m e observamos o MHS resultante. Calcule a constante da mola. Calcule a frequencia, frequencia angular e o período da oscilação. Solução:

A força restauradora da mola é -6,0 N, assim mNxFk /200

030,06

.

A frequência 20mk rad/s. A frequência angular é

Hzsciclosciclorad

srad 2,3/2,3/2

/202

. O período

ciclosT /31,01

ou simplesmente 0,31 s.

Exemplo II. 3 No exemplo anterior coloque m = 0,50 kg, um deslocamento inicial de 0,015 m e uma velocidade inicial 0,40 m/s. Calcule o período, a amplitude e o ângulo de fase do movimento. Escreva as equações para o deslocamento, a velocidade e a aceleração em função do tempo.

30

Solução: O período é o mesmo pois, para um MHS, este somente depende da massa e de k .

A amplitude mv

xA 025,0)( 21

2

202

0

. O ângulo de fase é calculado por

tgxv

0

0 rad93,053 .

Agora teremos )cos( tAx = 0,025cos(20t-0,93); )93,020(50,0)( tsentAsenv ; ).93,020cos(10)cos(2 ttAa Exemplo II. 4 Na oscilação do ex.II.2 coloque x = 0,020 m. Ache a velocidade máxima e mínima atingidas pela massa que oscila. Ache também a aceleração máxima. Calcule a velocidade e a aceleração quando a massa está na metade da distância entre o ponto de equilíbrio e seu afastamento máximo. Qual a energia total, a potencial e a energia cinética nesse ponto? Solução:

Da eq. II.10 podemos expressar 22 xAmkv . A velocidade máxima

acontece quando x = 0 passando a massa da esquerda para direita e assim v = +0,40 m/s. Enquanto a velocidade mínima acontece quando x = 0 passando a massa da direita para esquerda, v = -0,40 m/s.

Temos que xmka . A aceleração máxima se dará para x = -A. Logo a = +8

2/ sm . A aceleração mínima ocorre em x = +A e assim, a = 2/8 sm . Para 2/Ax , smv /35,0 e 4a m/s.

A energia total será dada por eq. II.10, E = 0,040J. Enquanto

JkxU 010,021 2 e .030,0

21 2 JmvK

Exemplo II. 5 Um bloco de massa M preso a uma mola de constante k descreve um MHS na horizontal com uma amplitude 1A . No instante em o bloco passa na posição de

equilíbrio, uma massa m cai verticalmente sobre o bloco de uma pequena altura. Calcule a nova amplitude e o período do movimento. Solução: Note que o movimento está dependo da posição e assim usamos o método da energia. Antes da massa cair E = const.. Quando ela cai a colisão é totalmente inelástica, a energia diminui, voltando a ser constante depois da colisão.

Antes da colisão: 1112

11 21

210 A

MkvkAMvE . Enquanto o

momentum linear é .01 Mv

Durante a colisão existe conservação do momentum linear do sistema massa-bloco. A colisão dura muito pouco tempo, de forma que a massa e o bloco se encontram em

31

x = 0. Note que U = 0 e que temos somente K, porém menor do que K antes da colisão. Depois da colisão: O momentum linear é 2)( vmM e pela lei de conservação de

momentum linear 21 )( vmMMv , de onde podemos obter 2v e obtermos,

12

1

22

22 21)(

21 E

mMMv

mMMvmME

. Na verdade podemos dizer

que a energia cinética perdida é usada para elevar a temperatura do bloco. Como

mMMAAkAE

1222 21

.

O cálculo do período é k

MmT 2 . Veja que a amplitude tornou-se maior e

o período menor. Exemplo II. 6 Os amortecedores de um carro velho de 1000 kg estão completamente gastos. Quando uma pessoa de 980 N sobe lentamente no centro de gravidade do carro, ele baixa 2,8 cm. Quando essa pessoa está dentro do carro durante uma colisão com um buraco, o carro oscila verticalmente com MHS. Modelando o carro e a pessoa como uma única massa apoiada sobre uma única mola, calcule o período e a frequência da oscilação. Solução:

A constante da mola é 4105,3028,0

980

xFk . A massa da pessoa é

kggP 100/ . A massa total que oscila é m=1100 Kg. O período

skmT 11,12 . Enquanto a frequência é Hz90,0 .

Exemplo II. 7 Suponha que o corpo de um pêndulo físico seja uma barra de comprimento L suspensa em uma de suas extremidades. Calcule o período de seu movimento oscilatório. Solução: O momento de inércia de uma barra em relação a um eixo passando em sua extremidade é

2

31 MLI . A distância entre o eixo de rotação e o centro de massa é L/2. Para este

pêndulo físico,

gL

gL

MgLIT 2

32

322

2/2 . Note que o período desse

pêndulo físico é 32

do período de um pêndulo simples.

32

Exercícios Propostos Exercício II. 1 Uma massa de 400 kg está se movendo ao longo do eixo x sob a influência da força de uma mola com mNk /105,3 4 . Não existem outras forças agindo na

massa. O ponto de equilíbrio é em x = 0. Suponha que em t = 0 a massa está em x = 0 e tem velocidade de 2,4 m/s na direção positiva. Qual a frequência de oscilação, qual a amplitude e onde a massa estará em t = 0,60 s? Resposta: 1,5 Hz; 0,26 m; -0,16 m. Exercício II. 2 Uma massa m está pendurada vertivalmente acoplada a uma mola de constante k. Encontre a equação de movimento, quando levamos em conta a força da gravidade. Resposta: kmgtAx /)cos( .

Exercício II. 3 Uma molécula de hidrogênio ( 2H ) pode ser considerada um sistema de duas

massas ligadas por uma mola. O centro da mola, ou seja, o centro de massa do sistema pode ser considerado fixo e assim a molécula consiste de dois osciladores vibrando em direções opostas. A constante da mola é mN /1013,1 3 e a massa

de cada H é kg271067,1 . Suponha que a energia de vibração da molécula é

J19103,1 . Encontre a amplitude da oscilação e a velocidade máxima. Resposta: m11101,1 e sm /108,8 3 .

Exercício II. 4 Qual é o comprimento do pêndulo em um lugar cuja gravidade 2/81,9 smg ? O

pêndulo tem um período de exatamente 2 s , onde cada balanço leva 1 s. Resposta: 0,994 m.

Exercício II. 5 Um pêndulo físico consiste de uma esfera uniforme de massa M e raio R suspensa por um cabo com massa desprezível e comprimento L. Levando em conta o tamanho da bola, qual é o período de ‘pequenas’ oscilações desse pêndulo? Resposta:

2( )

2 2 2( )5

g R L

R R L

Exercício II. 6 O haltere da balança de Cavendish consiste de duas massas iguais de 0,025 kg conectadas por uma barra com massa desprezível e de comprimento 0,40 m. Quando o conjunto se movimenta, a balança gira para frente e para trás com um período de 3,8 minutos. Encontre o valor da constante de torção. Resposta: radmN /.1052,1 6 .

33

Unidade III - Ondas 1. Situando a Temática Nesta unidade temática daremos algumas ideias do fenômeno ondulatório e sua introdução como modelo matemático, especialmente em uma corda. Estudaremos os conceitos básicos como ondas transversais, longitudinais, pulsos de onda, função de onda geral, ondas em uma corda, energia de uma onda, superposição de ondas e ondas estacionárias. Nesta unidade e na próxima estudaremos as ondas mecânicas que são perturbações que se propagam em um meio. Porém na natureza não temos apenas ondas mecânicas, temos as ondas eletromagnéticas que não necessitam de meio para se propagar. Ainda existem outros fenômenos ondulatórios associados ao comportamento das partículas atômicas e subatômicas, ligados aos fundamentos da mecânica quântica.

2. Problematizando a Temática Quando estudamos o movimento de rotação de um corpo rígido, as partículas que o compõe não se movem umas com relação as outras. Diferentemente para um corpo deformável como o ar, água, cordas, sólidos elásticos, podemos estudar o movimento ondulatório desse corpo, isto é, um movimento coletivo de partículas em um corpo, mas aqui as partículas se movem relativamente umas com relação as outras e elas exercem forças, que dependem do tempo, umas contra as outras.

3. Pulsos de Onda Considere uma corda elástica como um sistema de partículas que está submetida a uma perturbação em um de seus pontos. O movimento é

fig. III.1. Exemplos de ondas.

34

transmitido de uma partícula a outra e a perturbação se propaga ao longo das linhas das partículas. Tal perturbação é chamada de pulso de onda. Dependendo da direção da perturbação, ela pode ser chamada de onda transversal ou onda longitudinal, como podemos distinguir na fig. III.2.

4. Ondas Viajando

Considere um pulso de onda transversal, como na fig. III.3, viajando ao longo de uma corda com uma velocidade v. Suponha que a forma do pulso permanece constante. Para um tempo t = 0, a forma da onda representa uma função y = f(x). Em um tempo t > 0, um tempo depois, y = f(x - vt). Note que, se a onda viaja no sentido contrário de x, y = f(x + vt), para um tempo t > 0. No caso especial de ondas harmônicas, isto é, que em t = 0, a forma da

onda é uma função seno ou cosseno. Temos

kxAy cos eq. III.1

para t = 0, onde A é chamada a amplitude da onda, k é o número de onda, não confunda com a constante de uma mola. As cristas da onda ocorrem em kx = 0, 2π, 4π, ...Os valores mínimos de y são chamados de vales da onda que ocorrem em kx = π, 3π, 5π, ...A distância de uma crista a outra é chamado comprimento de onda

k

2

eq. III.2

A onda pode ser descrita pelas seguintes expressões, viajando na direção positiva de x ou negativa de x. Isto é,

)(cos vtxkAy e )(cos vtxkAy eq. III.3

O período da onda é o tempo de sua viagem correspondente a ,

vT / eq. III.4

enquanto a frequência da onda é

fig. III.2. Exemplos de propagação de uma onda longitudinal na primeira figura e onda transversal na segunda figura.

fig. III-3. Pulso de onda em t = 0 e em t = x/v > 0,

o pico viajou uma distância vt.

35

Fig. III.5. Forças que atuam no segmento L

da corda, onde

F é a resultante.

/vf eq. III.5

A frequência angular é dada por

kvf 2 Agora teremos a função de onda,

)cos(]2)/2cos[( tkxAvtxAy eq. III.6

5. Velocidade de Onda em uma Corda A velocidade de uma onda depende da característica do meio e, às vezes, de . Vamos mostrar a velocidade de uma onda numa corda. Considere uma corda como na fig. III.4. A tensão na corda é 1F e sua densidade

é d kg/m, vamos assumir a amplitude da onda muito pequena, comparada ao tamanho da corda. Desta forma podemos dizer também que 1F = const. já que a perturbação é muito pequena. Nosso sistema de referência está se movendo para direita com velocidade do pulso. Nesse sistema, o pulso está em repouso e a corda viaja para esquerda. Cada segmento da curva viaja ao longo de um caminho tal como o pulso. Tome L da corda ao redor do caminho curvo, muito pequeno, para um muito pequeno do círculo. Note que

1

F + 2

F =

F = centripetaF

, tal que RLvdF /2

, por outro

lado a norma de

F é 1F . Temos que LR , assim a velocidade de uma onda transversal é

dFv 1 eq. III.7

Observe que, como a velocidade da onda é independente da forma, podemos pensar uma onda harmônica como uma sucessão de pulsos negativos e positivos. Se os pulsos têm mesma velocidade, todas ondas harmônicas sobre a corda tem mesma velocidade, independente do comprimento de onda. Apesar de nosso exemplo ser uma corda, o calculo da velocidade é geral. A velocidade de onda depende da força de restituição e da inércia do meio. Porém a velocidade depende da forma na maioria dos tipos de onda e assim os pulsos se tornam rasos. Um meio que proporciona

fig. III.4. Uma corda inicialmente esticada e bem ajustada entre dois pontos fixos, com tensão 1F , depois um pulso é aplicado

adquirindo uma velocidade v.

36

fig. III.6. Pedaço ‘pequeno’ da corda

entre x e x+dx.

isto é chamado de meio dispersivo. Em contraste, para o caso de ondas harmônicas sobre uma corda, essas ondas em meio dispersivo não podem ser considerados como simplesmente uma sucessão de pulsos, pois os pulsos mudam sua forma, enquanto as ondas harmônicas não. Então nós chamaremos a velocidade do pico de um pulso de onda de velocidade de grupo, enquanto a velocidade de uma onda harmônica a velocidade de fase.

6. Energia em uma Onda Uma onda transversal em uma corda tem energia cinética, pois as partículas estão em movimento e por outro lado tem energia potencial porque um trabalho é preciso para esticar a corda. Considere um intervalo dx e a densidade de massa da corda para esse intervalo dx , assim

2)()(21

dtdydxdK eq. III.8

é a energia cinética desse pedaço de corda, onde dtdy

é sua velocidade.

Note que quando a onda passa em dx a corda estica mais com um

comprimento aproximado de 22 dydx , a corda perturbada e

invadindo a dimensão y. Então a mudança de comprimento da

corda é, dxdydxL 22 ou

]1)(211[]1)(1[ 22

dxdydx

dxdydxL

dxdxdyL 2)(

21

, para dxdy

suficientemente pequeno.

A energia potencial

dxdxdyFLFdU 2)(

21

eq. III.9

onde F é a força de tensão para esticar a corda e dU é a energia associada ao intervalo dx interpretada como o trabalho que deve ser feito contra a F. A energia total associada a dx é

dxxyFdx

tydUdKdE 22 )(

21)(

21

, enquanto a densidade de

energia da onda

22 )(21)(

21

xyF

ty

dxdE

eq. III.10

Tem-se uma onda harmônica,

37

)(])[(21 2222 tkxsenAFk

dxdE ,

em virtude de kv e Fv

)(222 tkxsenAdxdE

eq. III.11

A energia deve viajar com uma onda de velocidade v , então para

dx: vdxdt é o tempo de mover esse intervalo. Assim, para uma onda

harmônica, a potência transportada de uma onda é

)(222 tkxsenAvdxdEv

dtdEP eq. III.12

7. A Superposição de Ondas Muitos tipos de ondas obedecem ao princípio de superposição, isto é, quando duas ou mais ondas se propagam, esta propagação é independente, ou seja, uma onda se propaga como se nenhuma outra onda a perturbasse. Muito embora, se uma onda de som é muito forte, o princípio da superposição não vale mais, assim como ondas de choque. Aqui não devemos nos preocupar com esse tipo de ondas e assim o princípio da superposição continua valendo. Como primeiro exemplo, vamos considerar duas ondas propagando-se em uma mesma direção com mesma frequência e amplitude, mas fases diferentes, como ondas em uma corda, no ar, na superfície da água. As funções de onda são,

)cos(1 tkxAy e )cos(2 tkxAy ,

pelo princípio da superposição 21 yyy e usando uma identidade trigonométrica,

21cos)

21cos(2 tkxAy .

Se 0 , as ondas estão em fase, elas encontram crista com crista e vale com vale. Isto é uma interferência construtiva. Enquanto se , as cristas das ondas se encontram com vales e a interferência é destrutiva, neste caso y = 0. Se duas ondas tem amplitudes diferentes suas interferências destrutivas não darão um cancelamento total das ondas. Um outro exemplo de superposição é quando consideramos frequências diferentes, )cos( 111 txkAy e )cos( 222 txkAy , teremos

)cos(])(21cos[2

_

21 xkxkAyyy , para t = 0, 21 kkk e

38

fig. III.7. Ondas de frequências diferentes.

fig. III.8. O gráfico mostra uma superposição de

ondas dando uma amplitude modulada.

)(21

21

_

kkk . Se k <<_

k a onda y pode ser interpretada como uma onda

cujo número de onda é _

k e amplitude ])(21cos[2 xkA , sua amplitude

variando devagar com a posição. Essa amplitude é chamada de amplitude modulada. Veja a figura mostrando a superposição resultante de ondas com e diferentes. Ao passar o tempo, o padrão dessa fig. III.8 se move para direita

com velocidade de onda. Isto evolui para o fenômeno dos batimentos. Isto é o fenômeno da amplitude baixar e subir. A frequência de tais pulsos é dita frequência de batimento. O intervalo de tempo entre esses batimentos é

kvvxt /2/ e a frequência de batimento é

2121

2221 fffvkvkkvt

f batimento

.

Pela superposição de ondas harmônicas de diferentes amplitudes e freqüências, nós construímos formas de ondas complicadas. De fato, pode-se mostrar que qualquer onda periódica pode ser construída pela superposição de um número suficientemente grande de ondas harmônicas senoidais e cossenoidais. Chamamos este resultado de teorema de Fourier. Para fazermos essa composição usamos as séries de Fourier que poderemos ver

em um curso mais avançado.

8. Ondas Estacionárias Vamos considerar a superposição de duas ondas com mesmas frequências e amplitudes, mas propagando-se em direções opostas. As funções de onda e sua resultante são

)cos(1 tkxAy e )cos(2 tkxAy e

tkxAyyy coscos221 eq. III.13 y descrevendo uma onda estacionária. Essa onda viaja nem para direita nem para esquerda, seus picos permanecem fixos enquanto toda a onda cresce e decresce em harmonia. Se y acima representa o movimento de uma corda, então cada partícula da corda executa um MHS. Entretanto, em contraste ao caso de onda viajante, onde a amplitude de oscilação de cada partícula é a mesma, a amplitude de oscilação agora depende da posição com valor

kxAcos em uma posição x. Posições onde a amplitude de oscilação é máxima são:

,...2,,0 kx , onde /2k ,2/3,,2/,0 x ..... Os máximos são devidos a interferência construtiva entre as ondas. Da mesma forma para

39

amplitude zero: ,2

3,2

kx ..., ou ,...,4/3,4/ x os mínimos são

devido a interferência destrutiva entre as ondas. Os mínimos de ondas estacionárias são chamados de nodos e os máximos de antinodos. Estamos supondo até agora que uma corda é um objeto longo sem pontos finais. Existe uma condição de contorno, nos pontos extremos da corda. A deformação y deve ser zero nesses pontos em todos os tempos. Isto impõe sérias restrições sobre as ondas que podem ser geradas na corda. Note que ondas estacionárias com nodos nos extremos satisfazem essa condição de contorno. Podemos ver um exemplo a seguir:

)cos()(1 vtl

xl

Aseny , )2cos()2(2 vt

lx

lAseny

e

)3cos()3(3 vtl

xl

Aseny , onde

correspondem respectivamente os gráficos da fig. III.9, Esses possíveis movimentos da corda são ditos modos normais. Os comprimentos de onda desses

modos são: 2l, l, ,...32 l

Enquanto as frequências desses modos: l

v2

,

lv , .....

23

lv Essas frequências são chamadas

também de frequências normais, próprias ou autofrequências que, em geral, são escritas como,

lnvf2

, n = 1, 2, 3, .... mostrando que todas as autofrequências são

múltiplos da frequência fundamental lv 2/ . Em geral, qualquer movimento da corda será alguma superposição de vários modos normais, dependentes de como o movimento começou. Um exemplo de modos normais de uma corda fixa nos extremos se assemelha a uma barra numa mesma condição, como em uma ponte.

Exercícios Resolvidos Exemplo III. 1 Uma corda esticada e presa em uma das extremidades sofre uma oscilação senoidal na extremidade que não está presa com uma amplitude de 0,075 m, e uma frequência de 2 Hz. A velocidade da onda é 12 m/s. No instante t = 0 a extremidade possui um deslocamento nulo e começa a mover no sentido +y. Suponha que nenhuma onda seja refletida na extremidade presa. Ache a amplitude, frequência angular, período, comprimento, e número de onda. Escreva uma função de onda. Escreva equações

fig. III.9. Modo fundamental(G1), primeiro modo harmônico(G2),

segundo modo harmônico(G3).

40

para o deslocamento em função do tempo na extremidade da corda que é dado o pulso em um ponto situado a 3 m desta extremidade. Solução: A amplitude é aquela dada no problema, A = 0,075 m. A frequencia angular é

sradsciclosciclorradf /6,12/2/22 . O período é .5,0/1 sfT O comprimento de onda, mfv 6/ . O número de onda,

mradk /05,1/2 ou mradvk /05,1/ .

Coloque x = 0 onde se encontra a extremidade do pulso no sentido +x. A função de

onda é, )()(2),( kxtAsenxTtAsentxyy

.

Agora para x = 0: )(),0( tAsentyy e para x = 3 m: )3(),3( ktAsentyy .

Exemplo III. 2 No exemplo anterior a densidade da corda é 0,250 kg/m. Qual é a tensão na extremidade do pulso da corda para que a velocidade da onda observada seja igual a 12 m/s? Solução:

NdvFdFv 362 .

Exemplo III. 3 Uma das extremidades de uma corda está presa a um suporte fixo no topo de um poço vertical de uma mina com profundidade igual a 80 m. A corda fica esticada pela ação do peso de uma caixa com massa igual a 20 kg presa na extremidade inferior da corda. Um geólogo no fundo da mina balança a corda enviando um sinal lá em cima. Qual é a velocidade da onda transversal propagada na corda? Sabendo que um ponto da corda executa um MHS com frequência igual a 2 Hz, qual é o comprimento de onda? Solução: Despreze a variação da tensão devido ao peso da corda. A tensão F na corda é produzido pelo peso da caixa. Então NmgF 196 . A densidade é dada por

dFvkg

lmd 0250,0 . Por outro lado

ms

smfv 3,44

2/5,88

1 .

Exemplo III. 4 No exemplo III. 1 qual é a taxa de transferência de energia máxima que o pulso fornece para a corda? Ou seja, qual a potência instantânea máxima? E a média? Solução:

dtkxsenAvdxdEv

dtdEP )(222 a potência máxima é .22 dAv A

potência média é a metade da máxima.

41

Exemplo III. 5 Deduza a equação da onda em uma corda para deformações suficientemente pequenas em um ‘pequeno’ segmento da corda. Solução: A fig. III.10 mostra um segmento de corda esticada. Vamos considerar pequenos deslocamentos verticais. O segmento mede x e sua massa xdm ,

onde d é massa por unidade de comprimento. O segmento se move verticalmente na direção y e a força de tensão resultante nessa direção é,

12 FsenFsenFRy . Como é muito pequeno, tgsen e assim

12 FtgFtgFRy . Veja que a tangente do ângulo feita pela corda com a

horizontal é a deformação (declive) da curva formada pela corda. Isto é,

xytg

, onde ),( txyy . Então )( 12 FFRy . Teremos

)( 12 como a variação de declives nos extremos do segmento.

Usando a segunda lei de Newton, 2

2

2

2

tyd

xF

tyxdF

. No

limite ,0x portanto 2

2

0lim

xy

xy

xxxx

. Usando a

expressão da velocidade da onda obtemos a equação da onda:

2

2

22

2 1ty

vxy

eq. III. 14

Exercícios Propostos Exercício III. 1 A tensão em uma corda é fornecida por um objeto pendurado de massa 3 kg como mostra a figura abaixo. O comprimento da corda é l = 2,5 m e sua massa m = 50 g. Qual é a velocidade das ondas sobre a corda?

Resposta: 38,3 m/s

fig. III.10. Segmento de uma corda

42

Exercício III. 2 Mostre que a função do tipo )(),( vtxytxy satisfaz a equação de onda. Em particular verifique para a função de onda ).(),( tkxAsentxy

Resposta: Observe a eq. III.14. Exercício III. 3 Uma onda é descrita por )6285,0(002,0 txseny . Determine a amplitude,

frequência, período, comprimento de onda e velocidade da onda. Resposta: 0,002 m; 100 Hz; 0,01 s; 12,6 m; 1260 m/s.

Exercício III. 4 Uma corda de densidade linear 480 g/m está sob uma tensão de 48 N. Uma onda de frequencia 200 Hz e amplitude 4 mm viaja na corda. Qual a taxa média de transporte de energia da onda?

Resposta: 61 W.

Exercício III. 5 A função de onda para uma onda harmônica sobre uma corda é

).5,32,2()03,0(),( 11 tsxmsenmtxy Para qual direção a onda viaja?

Qual é sua velocidade? Encontre o comprimento de onda, frequência, período dessa onda. Qual o deslocamento máximo de qualquer segmento dessa corda? Qual a velocidade máxima de qualquer segmento? Resposta: Para direita,

max

2,86 , 1,59 / , 0,557 ,1,80 , 0,03 , 0,105 /

m v m s f HzT s A m v m s

Exercício III. 6 Considere duas ondas viajando em direções opostas e suas funções de onda

)(1 tkxAseny e )(2 tkxAseny . Mostre que a soma dessas ondas é

uma onda estacionária. Uma onda estacionária sobre uma corda que está fixa nos extremos é dada por )480cos()3,52(024,0),( txsentxy , daí encontre a

velocidade da onda e a distância entre os dois nodos. Resposta: smv /18,9 e a distância 6 cm.

43

fig. IV.2 Ondas sonoras provocadas por um diapasão.

Unidade IV - Ondas de Som

1. Situando a Temática Nesta unidade temática daremos algumas ideias de fenômenos ondulatórios mais específicos como a propagação desses fenômenos em duas e três dimensões, tais como: ondas sonoras no ar. Em outro curso pode-se ver a propagação de ondas de luz em um meio transparente e no vácuo. Todas essas ondas podem ser descritas graficamente por suas frentes de onda, ou seja, os locais das cristas da onda em um dado instante de tempo. De todas as ondas mecânicas da natureza, em nosso cotidiano, as m ais importantes são as ondas longitudinais que se propagam em um meio, como por exemplo, as ondas sonoras percebidas pelo ouvido humano num certo limite de frequência. Quando o tempo passa, as frentes de onda se dispersam para longe da fonte. Essa dispersão é uma característica da propagação das ondas em duas e três dimensões. Isto significa que a intensidade da onda decresce quando a frente de onda cresce em tamanho. Podemos tomar como exemplo as ondas sonoras provocadas por um diapasão.

2. Problematizando a Temática Nesta unidade discutiremos as diversas propriedades das ondas sonoras, não apenas em termos de deslocamentos, mas sim em termos de flutuações de pressão de um meio. Estudaremos as relações entre deslocamento, flutuações de pressão e intensidade e ainda algumas propriedades como interferência entre dois sons. Estudaremos também um fenômeno ondulatório chamado efeito Doppler que trata do movimento da fonte, por exemplo, sonora ou de um ouvinte se movendo no ar. Sem dúvida existe uma grande importância em estudarmos as ondas longitudinais, tais como a onda sonora, em instrumentos musicais, em aplicações tecnológicas voltadas para medicina, etc.

fig. IV.1. Ondas sonoras recebidas pelo ouvido e cérebro humano.

44

3. Elasticidade Materiais reais não são perfeitamente rígidos, quando sujeitos a uma força eles deformam. Quando uma substância deforma, sujeita a uma força, mas retorna a sua forma inicial quando removemos a força, a substância é dita elástica. Considere um cilindro de um material de tamanho L e seção transversal de área A. Se uma força F é aplicada alo longo do eixo do cilindro e isso causa uma mudança no comprimento L do cilindro, então nós definimos a tensão de dilatação e a deformação de dilatação como:

AFdilataçãotensão

LLdilataçãodeformação

Quando a tensão e a deformação sobre um corpo são suficientemente pequenas, verificamos a relação:

adeeslasticidmóduloDeformação

TensãoY

Este módulo é chamado também de módulo de Young. A tensão e o módulo são medidas em pascal, 1 pascal = 1 Pa = 1 N/ 2m . Se a tensão excede o limite de elasticidade, o material não retorna sua forma original quando a tensão é removida. Podemos também definir o módulo de cisalhamento, quando ao corpo submetemos uma tensão de cisalhamento mudando sua forma, como acontece com uma superfície de um tecido ao ser cortado por uma tesoura.

hxAF

tocisalhamendeformaçãotocisalhamentensãoS

//

Onde h é a altura do corpo, A é a área da superfície, F é a força tangente a superfície e x é o deslocamento linear que corresponde a um deslocamento angular de uma das arestas da superfície. Quando um objeto é sujeito a uma força de todos os lados, ele é sujeito a uma pressão P. Se uma força F age perpendicular a uma área A, a pressão exercida é AFP / . Essa situação aparece quando um objeto é imerso em um fluído como o ar ou água. Quando pressionado de todos os lados, o volume V de um objeto será mudado para 'V . Medimos essa mudança pelo módulo de compressão:

VVP

VVAFB

///

Onde VVV ' . Quando B é ‘grande’ dizemos que o material é mais difícil de ser comprimido. Contrariamente, a compressibilidade do material é 1/B.

45

fig. IV.4 Movimento longitudinal em uma mola.

4. Ondas Sonoras – Ondas Longitudinais Longitudinal significa que as variações de pressão do meio são paralelas a direção de propagação da onda. Nós podemos visualizar essa situação na figura IV.4. Podemos mostrar, usando a segunda lei de Newton, que a velocidade de uma onda sonora é dada por

Bv eq. IV. 1

Onde B é o módulo de compressão e ρ é a densidade de massa do meio em que o som está viajando. Como para todas as ondas vf , teremos, aproximadamente, a velocidade do som no ar como sendo 343 m/s a uma temperatura de 025 C, e 5130 m/s no ferro. Quando nós escutamos um som nós detectamos seu nível (mais agudo ou menos agudo) e sua altura. O nível de um som é sua frequência e sua altura é proporcional a intensidade de potência da onda. Humanos podem tipicamente escutar numa faixa de frequência de 20 a 20.000 Hz. A potência média por unidade área perpendicular à direção de propagação da onda sonora é a intensidade. Humanos podem detectar intensidades de uma faixa de 0I 1210 W/m 2 a 1 W/m 2 . Definimos a quantidade em decibéis,

010log10

II

eq. IV. 2

Suponha que uma onda está se propagando ao longo do eixo x de um cilindro com densidade ρ e área da secção transversal A. Um elemento de massa dm ocupa um volume dV e segue um movimento harmônico ao longo do eixo x. A energia média dE dessa massa é igual à energia cinética máxima 2

max)(2/1 vdm , onde maxv = maxx é a velocidade máxima da partícula, não a velocidade da onda sonora, e maxx é a amplitude máxima de vibração. Por outro lado, .AdxdVdm Então,

2max

2 )(21)(2/1 xAdxvdmdE

A potência é a taxa de transporte de energia, dmdEP é,

vxAP 2max

2

21 eq. IV. 3

A intensidade do som é definido como,

vxárea

potênciaI 2max

2

21 eq. IV. 4

46

A variação maxP em uma amplitude de pressão pode ser colocada como,

max maxP v x , e v

PI

2)( 2

max eq. IV. 5

5. Ondas Sonoras Estacionárias Ondas sonoras estacionárias podem ser montadas quando é refletida de volta e para frente em um recinto fechado. Em particular são montadas em uma coluna de ar, tal como em instrumento musical, composto de um tubo.

Em geral podemos colocar para o tubo aberto nas extremidades:

Lv

nf n 2 , n = 1, 2, ... eq. IV. 6

Em um tubo que apenas uma das extremidades é aberta somente os harmônicos impares estão presentes,

Lv

nf n 4 , n = 1, 3, ... eq. IV. 7

6. Efeito Doppler Quando escutamos um som de um objeto em movimento notamos que sua altura varia conforme o movimento desse objeto. Na verdade, tanto a fonte sonora como o ouvinte podem se mover relativamente um em relação ao outro. Este efeito é chamado de efeito Doppler. Vamos inicialmente supor um ouvinte A se movendo, com velocidade 0v se aproximando de uma fonte F. A frequência da onda sonora é Ff e comprimento de onda Ffv / . As cristas das ondas que se aproximam do ouvinte se movem com uma velocidade de propagação em relação ao ouvinte igual a 0vv . Assim,

0 0 0(1 )0 /

v v v v vf fFv f vF

eq. IV. 8

Note que quando o ouvinte se aproxima da fonte, 00 v ele ouve um som

com uma frequência mais elevada, isto é, uma altura mais elevada do que ouvida por um ouvinte em repouso. Contrariamente, quando o ouvinte se

fig. IV.3 Na primeira parte mostra-se do primeiro ao terceiro harmônico para um tubo aberto nas extremidades, enquanto na segunda parte da figura mostra-se o

mesmo para um tubo aberto em das extremidades.

47

afasta da fonte teremos 00 v e ele ouve o som mais baixo.

Se supusermos fonte e ouvinte em movimento teremos uma expressão geral incluindo todas as possibilidades do movimento da fonte e do ouvinte:

00

v vf fFv vF

eq. IV. 9

Exercícios Resolvidos Exemplo IV. 1 Seres humanos podem ouvir numa faixa de frequências de 20 a 20.000 Hz. Para qual faixa de comprimento de onda no ar corresponde esta faixa de frequências, considerando a velocidade do som é de 340 m/s. Solução:

mfv 17

11 e m

fv 017,0

22

Exemplo IV. 2 A corda de um piano vibra a uma frequência de 261,6 Hz, quando excitada em seu modo fundamental. Qual são as frequências do primeiro, segundo e terceiro modo harmônico dessa corda? Solução:

Usando a eq. IV.6, Lvnfn 2

, 6,2612

11 Lvf Hz, 12 2 ff , 13 3 ff e

14 4 ff .

Exemplo IV. 3 Um diapasão vibra a uma frequência de 462 Hz. Uma corda de um violino desafinado vibra a 457 Hz. Qual o lapso de tempo entre os dois batimentos? Solução:

512 fffb Hz, logo .2,0/1 sfTb

Exemplo IV. 4 Um longo tubo é fechado em um dos extremos e aberto em outro. Se a frequência fundamental do som nesse tudo é de 240 Hz, qual é o comprimento do tudo? Assuma a velocidade do som no ar 340 m/s. Solução:

Da eq. IV.7, Lvnfn 4

, para n = 1,

logo teremos, L 0,35 m.

Exemplo IV. 5 A uma distância de 5 m de uma fonte sonora, o nível de um som é de 90 dB. Qual a distância que a fonte tem de estar para que o nível do som caia para 50 dB ? Solução: Vamos imaginar uma onda esférica,

48

21

1 4 rP

áreapotênciaI

, analogamente, 2

2

21

1

2

rr

II

2

11 log10

II

= 90 dB 0

1

II

10 9 e 0

2

II

10 5

Logo teremos, 2r 500 m.

Exemplo IV. 6 Uma sirene do corpo de bombeiros soa a uma frequência de 300 Hz. Um bombeiro escuta e vai ao encontro dessa fonte sonora a uma velocidade de 20 m/s. Qual a frequência da onda sonora escutada pelo bombeiro? Solução:

318300)340201()1(

/000

0

FF

fvv

fvvvvv

f

Hz

Exercícios Propostos Exercício IV. 1 O módulo de compressão do cobre é 210 /1014 mN e densidade 3/8920 mkg .

Qual a velocidade do som no cobre? Resposta: 3960 m/s Exercício IV. 2 Suponha uma fonte sonora irradiando uniformemente em todas as direções. Por quanto decibeis o nível de som decresce quando a distância da fonte duplica? Resposta: Aproximadamente 6 dB. Exercício IV. 3 Qual o nível de intensidade em decibéis de um som cuja intensidade é

27 /104 mW ? Qual é a amplitude de pressão desta onda sonora? Assuma a

velocidade do som no ar 340 m/s. Resposta: 44 dB.

Exercício IV. 4 Uma sirene de um carro de polícia emite um som em uma frequência de 1200 Hz. Sobre a condição da velocidade do som no ar ser de 340 m/s, que frequência você escutará se a sirene se aproxima a uma velocidade de 30 m/s? Que frequência você escutará quando a sirene se afasta a uma velocidade de 30 m/s? Resposta: 1316 Hz e 1103 Hz.

Exercício IV. 5 Um navio usa um sistema de sonar para detectar objetos submersos. O sistema emite ondas sonoras na água e mede o intervalo de tempo que a onda refletida (eco) leva para retornar ao detector. Determine a velocidade das ondas sonoras na água e ache o comprimento de onda de uma onda com frequência igual a 262 Hz. Resposta: 1480 m/s e 5,65 m.

49

Exercício IV. 6 Suponha que a buzina de um trem emite uma onda sonora de uma frequência de 440 Hz quando o trem com uma velocidade de 30 m/s se aproxima de um observador parado. Em que frequência o observador escuta esta buzina. Resposta: 484 Hz.

49

50

Unidade V - Estática e Dinâmica dos Fluidos

1. Situando a Temática Os fluidos desempenham um papel muito importante em nossas vidas, desde o ar que respiramos à água que bebemos. A matéria se encontra em três fases: líquido sólido e gasoso, os fluidos são gases e líquidos. Os fluidos circulam em nosso corpo e estão presentes na atmosfera terrestre, que junto com outros fatores ambientais são responsáveis pelo clima de nosso planeta. Nesta unidade temática daremos algumas ideias de mecânica dos fluidos.

2. Problematizando a Temática Nesta unidade discutiremos algumas propriedades dos fluidos. Iremos começar estudando conceitos básicos da estática dos fluidos, em situações que envolvem equilíbrio, ou seja, estudando os fluidos em repouso, conceitos tais como: densidade, pressão empuxo, tensão superficial, etc. Para tal estudo iremos usar como base as leis de Newton. Por outro lado, o estudo dos fluidos em movimento é muito mais complexo, a dinâmica dos fluidos na verdade é uma das partes da mecânica mais difíceis de estudar. Vamos utilizar alguns modelos idealizados e princípios tais como as leis de Newton, conservação de energia, para podermos visualizar um movimento de um fluido e suas propriedades em um caso realístico. Mesmo assim iremos tratar fluidos de uma forma conceitual, deixando para um curso mais avançado este tópico da mecânica.

3. Pressão em um Fluido Quando uma força age normal à área A da superfície de um fluido, a pressão sobre essa superfície é definida por

AFP eq. V. 1

fig. V.1. Atmosfera terrestre é uma camada essencialmente gasosa – um fluido. Na segunda parte da figura podemos ver a água – um fluido em movimento escoando em um grande tubo .

51

A pressão é medida em 1 N/ 2m = 1 pascal (Pa), ou em lb/in 2 ou psi, isto é, libras por polegada quadrada, onde 1 psi = Pa3109,6 e um milímetro de Hg ou torr, 1mmHg = 1 torr ou milibar, 1 mbar = 210 Pa e 1 torr = 133 Pa. A pressão da atmosfera ao nível do mar é medida em atm, 1 atm = 1,01 510 Pa = 14,7 psi. Note que a pressão é uma grandeza escalar, em um fluido em repouso a pressão é a mesma em todas as direções para um dado ponto. Definimos a densidade de massa por,

Vm

eq. V. 2

quando a massa m ocupa um pequeno volume V. A densidade da água é 1000 kg/m 3 . A pressão em um líquido pode ser calculada quando consideramos um recipiente aberto como da fig. V. 2. Considere um cilindro imaginário de fluido de altura h e área A. Temos a pressão atmosférica para baixo 0P e empurrando para cima do

cilindro está a pressão P. Essa parte do fluido está em equilíbrio e assim cimabaixo FF . O peso do fluido é mg, dessa forma, ,0 mgAPPA onde

m = ρV = ρAh, onde V = Ah. Então,

ghPP 0 eq. V. 3 A pressão devido ao fluido somente é gh e ela depende unicamente da

profundidade abaixo da superfície, não da forma ou tamanho do recipiente. Podemos ilustrar isto na fig. V. 3, A mudança de pressão ao longo da altura do cilindro é dada por 0PP . Notamos que se aumentarmos a pressão 0P , a pressão P aumenta de um

valor igual. Esta conclusão nos leva ao princípio de Pascal: a pressão aplicada a um fluido no interior de um recipiente é transmitida sem diminuição a todos os pontos do fluido e para as paredes do recipiente. Líquidos são virtualmente incompressíveis, assim sua densidade não muda com a profundidade o que podemos usar esta hipótese na (eq. V. 3). A pressão em um gás pode ser deduzida usando o mesmo raciocínio. Mas como os gases são mais compressíveis a densidade é função da profundidade e nós devemos levar em conta isso no cálculo da massa do cilindro. Isso é feito por considerar finas camadas do gás e integrar para encontrar a massa total no cilindro. Como para líquidos a pressão cresce com a profundidade, mas não de forma linear.

4. Empuxo Quando um objeto é imerso em um fluido ele sofre uma força de empuxo para cima já que a pressão no fundo do objeto é maior do que no

fig. V.2. Cilindro imaginário

de fluido dentro do recipiente.

fig. V.3. A pressão P é a mesma em cada caso.

52

topo. Daí pode-se enunciar o principio de Arquimedes: Qualquer objeto parcialmente ou completamente imerso em um fluido sofre um empuxo para cima por uma força igual ou equivalente ao deslocamento de fluido. Considere uma porção de água dentro de um recipiente contendo água, como mostrado na fig. V. 4. A água acima da porção atua para baixo sobre a porção com o seu peso. A água em baixo do pedaço empurra para cima a porção. Como a porção de água está em equilíbrio,

012 WFF A força de empuxo,

WFFFE 12 eq. V. 4

Aqui W é o peso do fluido deslocado pelo objeto. Se o peso do objeto é maior do que W, o objeto afunda. Se o peso do objeto é menor do que W quando ele é totalmente imerso, ele flutuará na superfície.

5. Escoamento do Fluido Podemos visualizar o movimento de um fluido através das linhas de corrente. Uma linha de corrente descreve o caminho seguido por uma partícula do fluido. A velocidade do fluido em qualquer ponto é tangente à linha de corrente em um ponto. Quando as linhas de corrente estão mais juntas, o fluido segue mais rápido. Vamos considerar a seguir as seguintes hipóteses: - Escoamento é estacionário - a velocidade não depende do tempo. - Escoamento é laminar é aquele que se dá suavemente, contrariamente ao escoamento turbulento que se dá de forma caótica. Este último caso é muito

complicado e estudamos o primeiro por enquanto. - O fluido é incompressível, como um líquido. - A temperatura do fluido é constante. - Atrito é desprezado, isto é, o fluido tem viscosidade zero. Suponha o escoamento de um fluido através de um tubo cuja área de secção transversal decresce de 1A para 2A , como mostra a fig. V. 5,

Nestas seções retas, as velocidades do fluido são 1v e 2v , respectivamente. Durante um pequeno intervalo de tempo dt, o fluido que estava em 1A se desloca a uma distância 1v dt de modo que um cilindro imaginário de fluido com altura 1v dt e volume dtvAdV 111 se escoa para o interior do tubo através de 1A . Durante este mesmo intervalo de tempo, um cilindro com volume dtvAdV 222 se escoa para fora do tubo através de 2A .

Vamos supor o fluido incompressível, ρ constante. A massa dtvAdm 111 flui para dentro do tubo e a massa dtvAdm 222 flui para

fig. V.4. Recipiente com água

e um volume selecionado.

fig. V.5. Escoamento de um fluido em um tubo.

53

fora do tubo. No escoamento estacionário, a massa total no tubo permanece constante. Assim teremos a equação de continuidade,

2211 vAvA eq. V. 5

A conservação de massa no escoamento de um fluido incompressível é expressa pela equação da continuidade, para duas seções retas 1A e 2A ao longo de um tubo de escoamento, as velocidades de escoamento são relacionadas pela eq. V. 5. O produto Av é a vazão volumétrica, a taxa com que o volume do fluido atravessa a seção reta do tubo

AvdtdV

eq. V. 6

6. Equação de Bernoulli Podemos deduzir uma relação importante entre a pressão, a velocidade e a altura no escoamento de um fluido. Essa relação chama-se equação de Bernoulli. Vamos deduzir esta equação que relaciona a pressão p com a velocidade v e a altura h para um escoamento estacionário de um fluido. Considere um líquido escoando através de um tubo como mostra a fig. V. 6. Quando o líquido se move uma distância dx na parte mais baixa do tubo e um volume dV num tempo dt, o trabalho realizado pela pressão 1P sobre o líquido é dVPdxAPdxFdW 1111111 . Nesse tempo a pressão 2P na parte superior do tubo realiza um trabalho

dVPdW 22 . O trabalho resultante é, dVPPdWdWdW )( 2121 . Por outro lado, levando em conta as

forças conservativas que atuam numa massa dm do líquido,

)()(21)( 12

21

2221 hhdmgvvdmUKdVPPdW .

Usando dVdm / obtemos, 2 2

1 2 2 1 2 1

2 22 1 2 1

1( ) ( ) ( )2

1 ( ) ( )2

dW dV dm dmP P v v g h hdV dV dV dV

v v g h h

ou seja,

22221

211 2

121 ghvPghvP eq. V. 7

Como os pontos 1 e 2 são arbitrários no tubo,

.21 constghvP eq. V. 8

Esta é a chamada equação de Bernoulli.

fig. V.6. Tubo de escoamento e trabalho resultante

realizado sobre o líquido se movendo da região mais baixa para uma região mais alta.

54

Exercícios Resolvidos Exemplo V. 1 Um submarino tem uma janela de área 0,10 m 2 . Qual a força exercida sobre a janela pela água do mar cuja densidade é 1030 kg/m 3 a uma profundidade de 5000 m ? Solução:

ghAPAF 5,0510 6 N

Exemplo V. 2 Calcule a velocidade média de sangue na aorta de raio 1 cm quando a taxa de fluxo é 5 l/min. Solução: fluxo = Av, scm

cmscm

Afluxov /27

)1(1)

605000( 2

3

Exemplo V. 3 Um balão de ar quente tem um volume de 2,20 10 3 m 3 . Ele está cheio de ar quente a uma densidade de 0,96 kg/m 3 . Qual a carga máxima que ele pode elevar, quando ele está rodeado com ar frio de densidade 1,29 kg/m 3 . Solução: A massa de ar frio deslocada pelo balão é 1,29 kg/m 3 2,20 10 3 m 3 = 2,8410 3 kg. O peso desse ar frio é g2,84 10 3 , a força de empuxo sobre o balão. Essa força deve suportar o peso do ar quente e a carga, notando que estamos desprezando as outras partes que compõem o balão. O peso do ar quente é g0,96 2,20 10 3 = g 2,1110 3 . Logo o peso da carga pode ser no máximo g2,84 10 3 - g2,1110 3 = g730 = 7154 N. A carga máxima é de 730 kg.

Exemplo V. 4 Um recipiente é parcialmente preenchido com água. Óleo de densidade 750 kg/m3é derramado no topo da água e ele flutua sobre a água sem se misturar. Um bloco de madeira de densidade 820 kg/m3 é inserido no recipiente e ele flutua na interface dos dois líquidos. Qual a porcentagem do volume do bloco que está imerso na água? Solução: O volume xV está dentro da água e o volume Vx)1( está no óleo. Logo teremos,

VgxxVgVg água )1(0 , onde a densidade da água é 1000 kg/m3,

10028

0

0

água

x

Exemplo V. 5 Um bloco de gelo de densidade 917 kg/m3 flutua na água do mar de densidade 1030 kg/m3 . Se a área da superfície do gelo é de 20 m 2 e ele tem 0,20 m de espessura, qual é a massa de um urso pesado que pode permanecer sobre o gelo sem que ele vá para baixo da superfície da água? Solução: m g m g m gurso águagelo , 342,020 mV

VVm geloáguaurso 452 kg.

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Exemplo V. 6 Um sifão é um aparato para remover líquido de um reservatório. A saída C deve ser mais baixa que a entrada A e o tubo deve inicialmente ser cheio com líquido. A densidade do líquido é ρ. (a) Com que velocidade o fluido sai em C? (b) Qual é a pressão em B? Qual a altura máxima H que o sifão pode ascender? Solução: (a) Compare a superfície, onde a pressão atmosférica p 0 e a velocidade é

aproximadamente zero, com o ponto C. )(20)2/1()(0 2

00 dhgvvpdhgp

(b) Compare a superfície com o ponto B: )()2/1()( 2

0 Hdhgvpdhgp De (a), )(0 Hdhgpp

(c) Quando H é máximo, a velocidade e pressão vão para zero, assim comparando a superfície e o ponto B vem,

)(00)(00 Hdhgdhgp

Ou

0pgH 8,91000

1001,1 50

g

pH

= 10,3 m

Exercícios Propostos Exercício V. 1 Qual a profundidade de água ( 3/1000 mkg ) e do mercúrio ( 3/600.13 mkg ) que é

requerido para produzir uma pressão de 1 atm? Resposta: 10,3 m e 0,76 m. Exercício V. 2 Um macaco hidráulico consiste de um grande cilindro de área A conectado a um cilindro de área menor a. Ambos os cilindros são preenchidos com óleo. Quando a força f é aplicada ao cilindro menor, a pressão resultante é transmitida para o cilindro grande, aque então exerce uma força F para cima. Suponha um carro de peso 12.000 N respousando sobre o cilindro grande de área 0,10 2m . Qual é a força que deve ser aplicada ao cilindro menor de área 0,002 2m para suportar o carro? Resposta: f = 240 N Exercício V. 3 Qual é a força resultante agindo sobre uma superfície de uma barragem de altura h e largura ?

Resposta: 2

2hgF

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Exercício V. 4 Um cientista deseja determinar a densidade de uma amostra de óleo extraída de uma planta. Coloca-se água em um tubo de vidro em forma de U aberto em ambas as extremidades. Daí é derramada uma pequena quantidade de óleo sobre a água em um dos lados do tubo e medidas as alturas mostradas no desenho. Qual é a densidade de óleo em termos da densidade da água e alturas?

Resposta: águah

h

2

1

Exercício V. 5 A densidade do ouro é 33 /103,19 mkg e a densidade da água do mar é

33 /1003,1 mkg . Enquanto o caçador de tesouros puxa para cima da água um

artefato de ouro, a tensão na linha é de 120 N. Qual deverá ser a tensão no fio quando ele puxa o objeto fora da água, isto é, no ar? Resposta: 127 N

Exercício V. 6 Um bloco de madeira de peso específico 0,8 flutua na água. Qual a fração do volume do bloco que está submerso? Resposta: Se V é o volume do bloco e xV é o volume submerso, x = 0,8.

Exercício V. 7 Uma mangueira de jardim tem diâmetro interno de 2 cm e joga água a uma velocidade de 1,2 m/s. Qual será a velocidade que sai a água em um bocal de mangueira de 0,5 cm? Resposta: 4,8 m/s.

Exercício V. 8 Um grande reservatório é cheio com água. Um pequeno buraco é feito no lado do tanque a uma profundidade h abaixo da superfície da água. Qual a velocidade que a água sai do buraco? Resposta: ghv 2

Exercício V. 9 Um bombeiro usa uma mangueira de diâmetro interno de 6 cm para liberar 1000 L de água por minuto. Um bocal é conectado a mangueira a fim de jogar água para cima para alcançar uma janela 30 m acima do bocal. (a) Com que velocidade deve a água deixar o bocal? (b) Qual é o diâmetro interno do bocal? (c) Qual a pressão dentro da mangueira é requerida? Resposta: 24,2 m/s; 0,03 m; 2,7 atm.

57

Unidade VI - Temperatura, Calor e Transferência de Calor

1. Situando a Temática Calor é uma das formas de energia mais fáceis que o homem pode detectar em seu meio ambiente, pois temos a sensação de frio, quente, suamos, tomamos líquidos quando sentimos calor, vemos o motor de um carro esquentar, tomamos banho de água aquecida por um chuveiro elétrico ou uma caldeira, etc. Os conceitos de calor, temperatura e transferência de calor são fundamentais, além de nosso cotidiano, na física, na engenharia e nos processos industriais. Nestes últimos podemos citar as máquinas térmicas, as quais têm como base a transferência de energia produzida pela diferença de temperatura.

2. Problematizando a Temática Calor é uma forma de energia, ele é a energia cinética e potencial do movimento aleatório das moléculas, átomos, elétrons e outras partículas. Hoje em dia o calor é chamado de energia térmica. Entretanto no passado os cientistas não tinham uma ideia clara do que era o calor. Propôs-se ser um fluido, chamado fluido calórico. O primeiro experimento que veio a dar uma evidência do calor como uma forma de energia, foi o experimento de Rumford, que mostrou que a energia mecânica perdida no atrito é convertida em calor. Nesta unidade vamos definir temperatura, incluindo escalas de temperatura e métodos para determinar a temperatura. Depois vamos discutir como as dimensões e o volume de um corpo, se alteram com a variação de temperatura. Passamos a estudar o conceito de calor, o qual descreve a transferência de energia produzida pela diferença de temperatura, calculando a taxa dessa diferença. O objetivo desta unidade é mostrar como os conceitos de temperatura e calor se relacionam, com objetos macroscópicos, deixando para as unidades seguintes os aspectos microscópicos. Esta unidade também servirá de base conceitual para estudarmos a termodinâmica: a qual estuda a energia interna dos sistemas – energia térmica - e como essa energia é transferida de um sistema a outro.

fig. VI.1. Temperaturas em nosso planeta. Na segunda parte da figura podemos ver o calor intenso da superfície solar.

58

3. Temperatura Temperatura, do nosso cotidiano, é a medida de como alguma coisa está quente. Na verdade veremos que a temperatura é proporcional a energia cinética média dos átomos em uma substância. O calor é a energia que flui entre dois objetos devido à diferença de temperatura. Se dois objetos estão em contato eles deverão, após um certo tempo, ter a mesma temperatura. Dois objetos em uma mesma temperatura estão em equilíbrio térmico. Esta é a base para podemos ter uma medida física de temperatura e para construirmos um termômetro usamos: Se um corpo A está em equilíbrio térmico com um corpo C e um corpo B está em equilíbrio térmico com o corpo C, então A está em equilíbrio térmico com B. Muitas vezes esta afirmativa é chamada de lei zero da termodinâmica. Para associarmos um número à medida de temperatura, arbitrariamente toma-se 273,15 K como sendo o ponto triplo da água. Este ponto ocorre quando coexistem as fases: líquido, sólido e vapor da água. Essa escala de temperatura é chamada Kelvin ou absoluta. Nessa escala, 0 K é o zero absoluto, o ponto em que classicamente os átomos param de se movimentar. Um termômetro padrão é feito com uma quantidade pequena de gás contido em um frasco. A pressão do gás é proporcional a sua temperatura numa escala Kelvin e ele é calibrado de forma que o ponto triplo da água seja 273,15 K. Em uma escala Kelvin a água ferve a 1 atm numa temperatura de 373,15 K, isto é, 100 K acima do ponto triplo. A escala de temperatura Celsius é definida como

15,273 KC TT eq. VI. 1 Assim o zero absoluto está a uma temperatura degelo da água está a

C015,273 ou 0 K, e o ponto de ebulição da água é de 0100 C ou 373 K. A escala Fahrenheit é definida por

03259

CF TT eq. VI. 2

4. Expansão Térmica Quando a temperatura de um sólido ou líquido aumenta, os átomos vibram de forma mais intensa, tendendo a expandir. Algumas exceções existem, como por exemplo a água que contrai entre 00 C e 04 C. Se um corpo está a uma temperatura 0T e tem um comprimento 0L , quando ele

passa a ter uma temperatura T,

TLL 0 eq. VI. 3

onde é o coeficiente de dilatação térmica.

59

A área e o volume de um corpo também variam com a variação de temperatura,

TAA 02 eq. VI. 4 onde 000 LLA a uma temperatura 0T e 1 .

De forma similar para um pequeno cubo de lado 0L , o volume 300 LV

varia para um volume V, com a mudança de temperatura. Então, para um coeficiente de dilatação volumétrica 3 ,

TVV 03 eq. VI. 5

5. Calor e Energia Térmica A energia interna, também chamada energia térmica de um sistema é o movimento aleatório de átomos e moléculas do sistema e está associada à energia cinética e potencial desse sistema. Quando um sistema a uma temperatura T é colocado em uma vizinhança em que a temperatura é diferente, a energia é transferida para dentro ou para fora do sistema. Calor é a energia transferida entre um sistema e suas vizinhanças por causa das diferenças das temperaturas. O fluxo de calor Q > 0 quando o fluxo é para dentro do sistema e Q < 0 quando o calor vai para fora do sistema. O calor tem como unidade o Joule. Temos que 1 cal = 4,186 J e 1 Btu = 252 cal. Note que a energia interna de um sistema muda se calor é adicionado ao sistema ou se um trabalho é realizado sobre ele. Enquanto pressão, volume e temperatura são propriedades de um sistema, calor e trabalho não são.

6. Capacidade Calorífica e Calor Latente Quando calor é adicionado a uma substância, ela se aquece a menos que ela mude de fase ( por exemplo gás, líquido ou sólido). A diferença de temperatura T depende da massa da substancia, do calor adicionado e da espécie do material. A quantidade de calor requerida para aumentar a temperatura de uma substância para C01 é chamada a capacidade calorífica. A quantidade de calor necessária para aumentar a temperatura de de um 1g de uma substancia é chamado de calor específico c. Se Q é o calor que causa à massa m um aumento na temperatura de T , então

,/ TmQc TmcQ eq. VI. 6

Note que o calor específico da água, c = 1 cal/g. C0 é muito maior do que muitas das outras substâncias. As fases da matéria são sólido, líquido e gás (ou vapor). Um gás em contato com a forma líquida da mesma substância é dito um vapor. Energia deve ser adicionada a uma substância de maneira a mudar o estado da

60

matéria. A energia que deve ser adicionada ou removida para causar a transição de sólido para líquido em 1 kg de um dado material é chamada de calor latente de fusão fL . Se a transição for de líquido para gás

similarmente teremos calor latente de vaporização vL .

7. Transferência de Calor Quando dois sistemas ou objetos interagem e estão a temperaturas diferentes, a energia térmica fluirá daquele mais quente para o mais frio. Ao pegarmos uma panela quente no fogo podemos queimar nossa mão, já que o

calor da panela pode passar para nossa mão que está a uma temperatura mais baixa. Existem três mecanismos de transferência de calor que veremos a seguir. Se aquecermos uma barra de metal, por condução, os átomos começam a vibrar mais intensamente e transmitir isto de forma aleatória. Os metais possuem muitos elétrons livres que podem contribuir para a condução do calor. Considere uma barra de um material de área de secção transversal A e espessura x . Uma face é mantida a

uma temperatura 1T e a outra face a uma temperatura 2T como mostra a fig. VI. 2. Experimentalmente a energia térmica Q que flui na barra num tempo t é )/( xTkAQ , onde 12 TTT e k é a condutividade térmica do

material. Podemos escrever para o fluxo de calor na barra para uma mudança de temperatura T

dxdTkA

dtdQH eq. VI. 7

A transferência de energia térmica por movimento de material é chamada de convecção. A convecção natural resulta do fato de quando um gás ou líquido é aquecido ele expande e ascende carregando energia térmica com ele. Esse processo é que determina de forma geral o tempo climático. Esse também é o mecanismo para circulação da água nos oceanos, rios e lagos, essencial para vida. Todos os objetos emitem radiação eletromagnética, e essa radiação carrega energia. A potência radiada de uma superfície de área A a uma temperatura T é dada pela lei de Stefan-Boltzmann,

4ATeP eq. VI. 8

A emissividade e, que depende da natureza da superfície, está entre 0 e 1 e não tem dimensão. A constante KmW 28 /1057,5 , com a

temperatura sendo expressa em K. Quando a temperatura aumenta, as

fig. VI.3. Transferência de calor por radiação,

convecção e condução.

fig. VI.3. Barra de um certo

material aquecida a duas temperaturas diferentes.

61

frequências de radiação aumentam seus valores. Se um objeto está a uma temperatura T e em sua vizinhança a temperatura é 0T , a taxa de energia

perdida é 40

4( TTAeP ).

Exercícios Resolvidos Exemplo VI. 1 Em qual temperatura na escala Fahrenheit é lida: (a) a mesma na escala Celsius; (b) a metade da escala Celsius; (c) duas vezes aquela da escala Celsius? Solução:

CF TT em 3259

CF TT , então FTF040 . O restante se faz de forma

análoga.

Exemplo VI. 2 Ouro derrete a uma temperatura de 1064 0 C e entra em ebulição a 2660 0 C. Expresse essas temperaturas em Kelvin. Solução: Use a equação 273 KC TT para calcular as temperaturas em kelvin e não em

gruas Kelvin.

Exemplo VI. 3 Uma barra de aço tem 12 m de comprimento quando instalada num portão a 23 0 C. De quanto seu comprimento muda quando sua temperatura muda de -32 0 C para 55 0 C? Para o aço C05 /101,1 .

Solução: mTLL 011,00

Exemplo VI. 4 Um reservatório de 200 3cm feito de vidro é preenchido com mercúrio. Qual volume de mercúrio que transborda quando a temperatura aumenta para 30 0 C? Solução: O volume de mercúrio crescerá por

303030 08,130200/1018,0 cmCcmCTVV HgHg

O volume do reservatório de vidro crescerá por 30306

0 20,030200/101133 cmCcmCTVV vidrovidro

A diferença 0,88 cm 3 é o volume que transborda.

Exemplo VI. 5 Uma luva de latão de diâmetro interno 1,995 cm a 20 0 C está sendo mal colocada em um eixo de diâmetro 2,005 cm. Para qual temperatura deve a luva ser aquecida para ajustar ao eixo? C06 /109,1 .

Solução:

0

0

00 L

LLLLTTLL

= 263 C0 TTT 0 283 C0

62

Exemplo VI. 6 Um nova engrenagem é composta por um pistão que contém 0,60 kg de aço, com calor específico 0,11 kcal/kg. 0 C e 1,2 kg de alumínio (calor específico = 0,214 kcal/kg . 0 C ). Quanto de calor é requerido para aumentar a temperatura do pistão de 20 0 C para a temperatura de 160 0 C? Solução:

TcmTcmQ alalaçoaço 45,19 kcal.

Exemplo VI. 7 Enquanto uma pessoa dorme ela tem uma taxa de metabolismo de aproximadamente 100 kcal por hora. Essa energia flui do corpo como calor. Suponha que a pessoa mergulha em um tanque com 1200 kg de água a uma temperatura de 27 0 C. Se o calor flui para água, de quanto a temperatura da água aumenta ao passar 1h? Solução: Temos que o calor perdido pela pessoa em uma hora é igual ao calor ganho pela água em uma hora. Então teremos,

08,27)27(11200100 TTTcm águaágua0 C. Logo a água

aumenta 0,08 0 C.

Exemplo VI. 8 Uma bala de chumbo de 4 g vai a uma velocidade de 350 m/s e se choca com um bloco de gelo a uma temperatura de 0 0 C. Se o calor gerado pelo atrito derrete o gelo, quanto de gelo é derretido? O calor latente de fusão do gelo é de 80 kcal/kg e seu calor específico é 0,5 cal/g. 0 C. Solução: A energia cinética perdida pela bala é igual a energia ganha pelo gelo. Daí teremos,

gmLmvm gelofgelob 17,021 2 .

Exemplo VI. 9 Uma barra de cobre de 24 cm de comprimento tem uma área de seção transversal de 4 cm 2 . Um dos extremos é mantido a 24 0 C e o outro a uma temperatura de 184 0 C. Qual é a taxa de fluxo de calor na barra? O condutividade do cobre é 397 W/m 0 C. Solução:

WxTkA

tQH 106

24,024184104397 4

, onde W é a unidade de

potência e o sinal indica a direção do fluxo com relação ao eixo x.

Exercícios Propostos Exercício VI. 1 Expresse as temperaturas abaixo nas outras escalas. 98 o C, -40 0 F e 77 K. Resposta: 371 0 F e 208 K; -40 0 C e 233 K; -196 0 C e -321 0 F

63

Exercício VI. 2 Para manter inteira uma laje de concreto, muitas vezes é colocada madeira entre as fendas. As variações de temperatura entre o inverno e verão são de -10 0 C e 35 0 C. Se a laje tem um comprimento de 10 m na temperatura do inverno, quanto aumenta o comprimento no verão? 10 5 / 0 C.

Resposta: 4,510 3 m. Exercício VI. 3 Rebites de alumínio são usados na construção de aviões e são confeccionados maiores do que os buracos e levados ao resfriamento por gelo seco (CO 2 ) a -78 0 C

antes de serem colocados nos buracos. Quando eles são deixados no lugar à temperatura de 23 0 C eles se ajustam perfeitamente. Se um rebite a -78 0 C está inserido em um buraco de 3,2 mm de diâmetro, qual será o diâmetro do rebite a 23 0 C? Para o alumínio, 2,4 10 5 / 0 C.

Resposta: 3,21 mm.

Exercício VI. 4 Um tanque de gasolina de um caminhão tem 25 gal a uma temperatura de 23 0 C. Depois expoem-se o tanque de aço e a gasolina ao sol a temperatura de 35 0 C. O coeficiente do volume de expansão para a gasolina é de 96 10 5 / 0 C que é maior do o do aço 1,110 5 / 0 C e assim alguma gasolina transborda o tanque. Qual a quantidade de gasolina que transbordou? 1 gal = 3,785 L. Resposta: 0,28 gal.

Exercício VI. 5 A oitenta gramas de latão, calor específico 0,092 cal/g. 0 C, a 292 0 C, é adicionado 200 g de água, calor específico 1 cal/g 0 C, a 14 0 C, em um tanque isolado de capacidade calorífica desprezível. Qual a temperatura final do sistema? Resposta: 23,9 0 C

Exercício VI. 6 A 160 g de água a 10 0 C é adicionado 200 g de ferro (c = 0,11 cal/g 0 C) a 80 0 C e 80 g de mármore (c = 0,21 cal/g 0 C) a 20 0 C. Qual é a temperatura final da mistura? Resposta: 18,6 0 C.

Exercício VI. 7 Um coletor solar colocado sobre um telhado de uma casa consiste de uma folha de plástico preto de área 5 m 2 e por baixo está uma bobina de cobre pelo qual passa a água por dentro dos tubos dela. A intensidade de luz solar no coletor é de 1000 W/m 2 . A água circula através da bobina e se aquece a 38 0 C. Supondo que toda a energia solar aquece a água, a que taxa, em litros por minuto, a água circula através da bobina? Resposta: 1,87 l/min.

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Exercício VI. 8 Quantos cubos de gelo devem ser adicionados a uma vasilha contendo 1 litro de água em ebulição à temperatura de 100 0 C, desde que a mistura resultante alcance uma temperatura de 40 0 C? Suponha que cada cubo de gelo tem uma massa de 20 g e que a vasilha e o ambiente não trocam calor com a água. Resposta: aproximadamente 25 cubos de gelo.

Exercício VI. 9 Duas lajes de espessura L 1 e L 2 e área A, estão em contanto com suas superfícies a

temperaturas T 1 e T 2 . Qual a temperatura na interface entre as duas lajes? Qual é a

taxa do fluxo de calor? Resposta:

1221

212121

LkLkTLkTLkT

, 2211

12

//)(kLkL

TTAH

Exercício VI. 10 A superfície do sol tem uma temperatura de 5800 K e o raio do sol é cerca de 7 10 8 m. Calcule a energia total radiada pelo sol a cada dia, supondo a emissividade 1. Resposta: 1,75 10 25 J.

65

Unidade VII - Teoria Cinética dos Gases

1. Situando a Temática Até agora tratamos as propriedades da matéria em termos de energia térmica sob o ponto de vista macroscópico, estudando a pressão, o volume e a temperatura. Entretanto, um gás é composto de átomos ou moléculas. A pressão de um gás deve estar relacionada com as colisões das suas molécula com o recipiente que o contém. A capacidade de um gás em ocupar um recipiente – volume - deve estar ligada à liberdade de movimento das moléculas. Por outro lado, a temperatura e a energia térmica de um gás devem estar relacionadas à energia cinética destas moléculas. A descrição macroscópica está intimamente relacionada com a descrição microscópica. Por exemplo, a pressão atmosférica é igual a 10 5 Pa em condições normais. Para produzir esta pressão, cerca de 10 32 moléculas colidem com anteparos na terra.

2. Problematizando a Temática Nesta unidade, usaremos descrições macroscópicas e microscópicas para compreender as propriedades térmicas da matéria. Daremos enfoque ao estudo dos gases ideais. Esses gases não são reais mas devido à complexidade das propriedades em um caso realístico optamos por começar com este caso mais simples. Gases assumem papel importante no tratamento de processos termodinâmicos. Aqui seguiremos as seguintes hipóteses: - o número de moléculas é ‘grande’. - o gás é diluído, isto é, tende ocupar os espaços. - as moléculas são tratadas como objetos pontuais. - as moléculas obedecem as leis de Newton.

fig. VII.1. Nesse processo, a pressão em um gás aumenta e o volume diminui. Isto é, a colisão de suas moléculas deve aumentar, sua energia cinética aumenta e diminui a liberdade de movimento

das moléculas.

66

- as moléculas se movem aleatoriamente. - as moléculas não interagem, exceto quando colidem. - supomos as colisões elásticas. Denominamos variáveis de estado as variáveis que indicam o estado do material, como volume, massa, temperatura e pressão. A relação entre essas variáveis pode ser expressa através de uma equação chamada: equação de estado.

3. Equação do Gás Ideal Um mol é definido como 231002,6 de partículas, que podem ser

elétrons, átomos, moléculas, etc. Nós dizemos que 12 g de carbono é um mol de carbono. O carbono tem 6 prótons e 6 nêutrons. A massa atômica do carbono é 12. Isto significa que 12 g de carbono contém 231002,6 átomos, chamado número de Avogadro. Moléculas são agrupamentos de átomos, a massa molecular é a soma das massas atômicas da molécula. Experimentalmente é encontrado que a pressão, volume e temperatura absoluta (K) de um gás ideal obedecem aproximadamente a seguinte equação de estado, chamada lei dos gases ideais:

nRTpV eq. VII. 1 onde n é o numero de mols do gás e R = 8,31 J/K, a constante dos gases ideais.

4. O Conceito de Pressão e Temperatura do Ponto de Vista Molecular Vamos deduzir uma expressão para a pressão devido a um gás ideal. Considere N moléculas contidas em um recipiente (cubo) de lado L, com os limites alinhados aos eixos x, y, z. Uma molécula movendo-se ao longo de x com velocidade xv colidirá elasticamente com uma parede e vem de volta com uma velocidade - xv . Seu momentum mudará de xmv para - xmv , uma resultante de -2 xmv . Depois de bater na parede, a

molécula volta numa direção oposta e bate na parede oposta e volta a bater na primeira parede uma segunda vez. Ela viaja uma distância 2L na direção x e isso gasta um tempo 2L/ xv , tempo entre as colisões com a primeira

parede. A força exercida sobre a molécula pela parede, pela secunda lei de Newton:

F’ = L

mvvL

mvtempomudança

momentummudança x

x

x2

/22

.

Pela terceira lei de Newton, a força exercida sobre a parede pela molécula é F = -F’. A força total exercida sobre a parede é a soma das forças exercidas por cada molécula,

F )...( 221 Nxx vv

Lm

.

67

Mas o valor médio de 2xv para N moléculas é

)...(1 221

2Nxxx vv

Nv . Então,

FL

Nmvx 2

Se uma molécula tem componentes da velocidade zyx vvv ,, , então pelo

teorema de Pitágoras, 2222zyx vvvv , e os valores médios estão relacionados por 2222zyx vvvv

Como o movimento é aleatório, 2xv = 2

yv = 2zv =

31 2v

A força total sobre a parede é,

F = )(3

2

LvmN

A pressão sobre a parede é

p = 2L

FAF , )

21)((

32 2vm

VNp eq. VII. 2

Isto é utilizado para definir a constante de Boltzmann, 231038,1 Bk J/K, onde R = N A Bk . A lei do gás ideal e a eq. VII. 2 nos leva a

)21(

32 2vmk

TB

eq. VII. 3

Este resultado nos diz que a temperatura absoluta de um gás é proporcional à energia cinética molecular.

2xv = 2

yv = 2zv =

31 2v , assim

m21 2

xv = m21 2

yv = m21 2

zv =31

( m21 2v ) =

21 TkB

Esta última equação ilustra o chamado teorema da equipartição da energia que nos diz que cada grau de liberdade de um gás contribui com

uma quantidade de energia 21 TkB para energia interna total. Um grau de

liberdade é um movimento independente que pode contribuir para energia total do sistema. Por exemplo, o grau de liberdade de uma molécula está associado com a rotação e vibração da molécula A energia interna total de n mols de um gás monoatômico com 3 graus de liberdade é

nRTTNvmTNE23k

23)

21(k B

2B eq. VII. 4

A eq. VII. 3 pode ser resolvida para encontrarmos a raiz quadrada da velocidade quadrada média molecular,

68

MRTmTv /3/3k B2 eq. VII. 5

Onde BAkNR e mNM A = massa molar em gramas e m = massa de

uma molécula. Note que essa raiz quadrada da velocidade quadrada média é uma velocidade média, e que algumas moléculas se movem com mais ou menos velocidade. Nessa discussão supomos as moléculas como partículas pontuais. Se formos mais realistas podemos supor as moléculas como esferas de diâmetro d e assim possível calcular ao livre caminho médio entre as colisões das moléculas. Isto é, a distância média percorrida entre duas colisões sucessivas. Usando uma abordagem estatística nos leva a

pNdRT

VNd A22 2/2

1

eq. VII. 6

5. A Distribuição de Maxwell-Boltzmann As moléculas em um gás se propagam em uma ampla faixa de velocidades. Usando-se métodos da mecânica estatística podemos chegar ao número de partículas dN em um gás com velocidade entre v e v + dv, dN = Nf(v)dv, onde

Tkmv

B

Bevk

mvf 2/223

2

)2

(4)(

eq. VII. 7

f(v) é a função de distribuição de Maxwell-Boltzmann, N é o número de partículas do gás de massa m. A fig. VII. 2 mostra a função de distribuição

para três temperaturas. Note que a unidade de f(v) é s/m. A velocidade mais provável é aquela que corresponde ao pico da distribuição, onde df/dv = 0. O resultado é

MRT

mTk

v Bmp

22 eq. VII. 8

Onde M = N A m é a massa molar. Através da distribuição podemos calcular também a velocidade

média,

MRT

mTk

dvvvfv B

88

)(0

eq. VII. 9

fig. VII.2. Função de distribuição para

temperaturas, 1T > 2T > 3T .

69

A velocidade quadrada média é dada por,

MRT

mTk

dvvfvv B 33)(

0

22

eq. VII.10

6. Calor Específico de um Gás

O calor específico molar de um gás é a quantidade de calor necessária para aumentar a temperatura de um mol por 1 o C. Considere 1 mol de um gás ideal monoatômico a volume constante. A energia interna do gás é dada, para n = 1, E = 3/2 RT. Teremos o calor específico, vC , a volume constante, n ,ETCv n = 1; .2/3/ RTECv Então, a

volume constante para este gás monoatômico,

RC v 23

eq. VII.11

Caso o gás não seja monoatômico e tem f graus de liberdade, cada grau de liberdade contribui com ½ R T para a energia interna e assim C v =

fR/2. O gás se expande quando calor é adicionado a um recipiente que o

contém e o volume não é mantido constante. Imagine um gás contido em um cilindro, dentro tem um pistão com um peso em cima, como mostra a fig. VII. 3. O pistão mantém uma pressão constante sobre o gás. Como o gás expande, ele puxa o pistão para cima e realiza um trabalho sobre ele. Se a área da base do pistão é levantada uma distância dx, o trabalho realizado pelo gás é dW = Fdx = PAdx = FdV, onde o volume cresce dV = Adx e P = F/A. Usando conservação de energia, dQ = dE + dW = dE + pdV Daí podemos escrever dQ/dT = dE/dT + dW/dT = dE/dT + pdV/dT. O calor específico molar é então, pC dQ/dT. Da lei dos gases ideais

dE/dT = 3R/2. Logo, para um gás monoatômico,

25

23 RRRC p eq. VII.12

Para um caso geral, isto é, para um gás ideal qualquer,

vp CCR eq. VII.13

Para um gás diatômico teremos RCv 25

e RC p 27

.

fig. VII. 3. Cilindro com

um pistão interno e um peso em cima do pistão.

70

7. Processos Adiabáticos Um processo adiabático em um gás é aquele em que nenhum calor é trocado para fora ou para dentro do recipiente que contém este gás. Este processo pode ser obtido mudando o volume rapidamente ou por manter o recipiente bem fechado de forma que somente uma quantidade muito pequena de calor pode ser trocada. Se o volume do gás cresce por dV, o trabalho realizado pelo gás sobre um pistão imaginário é dW = pdV. O calor absorvido é zero e assim a mudança de energia do gás é dE = -dW = -pdV, onde dE pode ser expressa

em termos de mudança de temperatura. Daí encontramos p

dpVdV

,

onde

v

p

v

v

CC

CCR

e da equação anterior encontramos uma equação que

relaciona p com V

.constpV eq. VII.14 e

).(1 adiabáticaconstTV eq. VII.15 Podemos estudar os gráficos de p versus V para o caso adiabático sem fluxo de calor, isto é, Q = 0 e constpV . Para o caso isotérmico pV = nRT = const. Exercícios Resolvidos Exemplo VII. 1 Um compressor de ar usado para fazer pinturas em automóveis tem um tanque de capacidade 0.40 m 3 que contem ar a uma temperatura de 27 0 C a 6 atm. Quantos mols de ar têm no tanque? Solução:

molesRTpVn 5,97

30031,84,010013,16 5

Exemplo VII. 2 Um pequeno vaso de de volume V contém um gás ideal a 300 K e 5 atm. Esse vaso é conectado a um vaso de volume 6V que contém o mesmo gás a uma pressão de 1 atm e 600 K. A temperatura de cada vaso é mantida constante.Qual será a pressão final em cada vaso, após a mistura? Solução:

1

111 RT

Vpn e 2

222 RT

Vpn

71

No final ppp 21 e 1

1'1 RT

pVn e 2

2'2 RT

pVn e assim '2

'121 nnnn ,

note que 216 VV , logo, p = 5,3 atm.

Exemplo VII. 3 22106 moléculas de um gás ideal são armazenados em um tanque de 0,5 atm a

37 0 C. Determine a pressão em pascal e a temperatura em Kelvin, o volume do tanque e a pressão quando a temperatura aumenta para 152 0 C. Solução:

33101,5 mp

RTNN

pnRTV

A

, então,

atmpVnR

Tp

Tp 69,01

2

2

1

1 .

Exemplo VII. 4 O melhor vácuo que se atinge no laboratório é cerca de 18105 Pa a uma

temperatura de 293 K. Quantas moléculas possui por centímetro cúbico desse vácuo? Solução:

333 /102,11240 cmmTR

pNVN

pRT

NN

pnRTV A

A

.

Exemplo VII. 5 O gás hélio com massa molar 4 g a 330 K tem raiz quadrada da velocidade quadrada média molecular é 1350 m/s. Qual a raiz quadrada da velocidade quadrada média molecular do oxigênio com massa molar 32 g a essa temperatura? Solução:

A relação entre as velocidades do oxigênio e hélio é: 35,0/3/3

He

O

mRTmRT

Assim, raiz quadrada da velocidade quadrada média molecular do oxigênio é igual a 0,35 da do hélio, isto é, 0,35 1350 m/s = 472,5 m/s.

Exemplo VII. 6 Gás argônio tem um diâmetro de aproximadamente 10101,3 m e é usado em um

recipiente de laboratório, mantido a uma temperatura de 300 K. Qual a pressão que devemos empregar para evacuar o gás de forma que o livre caminho médio seja de 1cm. Solução:

pNdRT

VNd A22 2/2

1

, atmp 15103

Exemplo VII. 7 Uma sala está bem isolada e possui 120 m 3 de ar. O ar da sala está a uma temperatura de 21 0 C. Quanto de calor devemos adicionar ao ar de forma que a temperatura aumente de 1 0 C.

72

Solução:

TnCQ v , onde: RTpVn , RCv 2

5 , logo 51006,2 Q J

Exemplo VII. 8 Dois mols de ar, vC = 5R/2, a uma temperatura de 300 K, estão contidos em um

pistão pesado dentro de um cilindro de volume 6 L. Se o 5,2 kJ de calor é adicionado ao ar, qual será o volume resultante de ar? Solução:

TnCQ p , onde RCC vp KTTTnRQ 389)(721

212

22 nRTpV e 11 nRTpV , teremos LVTTV 8,71

1

22

Exemplo VII. 9 Durante a compressão de uma máquina de combustão interna, a pressão muda adiabaticamente de 1 para 18 atm. Supondo que o gás é ideal e tem 4,1 , por

qual fator a temperatura muda? Qual o fator de mudança do volume? Solução:

1

/1

1

222211 13,0 V

ppVVpVp

Usando que ,nRTpV encontramos uma relação entre as temperaturas.

12 3,2 TT .

Exercícios Propostos Exercício VII. 1 Um motorista começa uma viagem em uma manhã fria quando a temperatura é de 4 0 C. Em um posto, ele checa a pressão no pneu de 32 psi + 15 psi (1 atm), onde 15 psi é a pressão atmosférica. Depois de rodar o dia todo, a temperatura do pneu subiu para 50 0 C. Supondo que o volume é constante, qual a pressão que o ar do pneu tem aumentado? Resposta: 54,8 psi

Exercício VII. 2 A temperatura e pressão padrão de um um gás é definida como 0 0 C ou 273 K e 1 atm ou 1,013 10 5 Pa. Qual o volume que um mol de gás ideal ocupa? Resposta: 22,4 L. Exercício VII. 3 Quantas moléculas tem em 1 cm 3 de hélio a uma tempertura de 300 K? Resposta: 2,410 19

73

Exercício VII. 4 Qual a raiz quadrada da velocidade quadrada média molecular de uma molécula de nitrogênio no ar a uma temperatura de 300 K? A massa atômica do nitrogênio é 14. Resposta: 517 m/s

Exercício VII. 5 Estime o livre caminho médio de uma molécula de ar a 273 K e uma pressão de 1 atm, supondo que ela é uma esfera de diâmetro 410 10 m. Estime também o tempo médio entre as colisões para uma molécula de nitrogênio sob essas condições. (use a velocidade do exercício VII.4) Resposta: 5,210 8 m

t = 10 10 s

Exercício VII. 6 4 mols de argônio estão contidos em um cilindro a uma temperatura de 300 K. Quanto de calor deve ser adicionado para aumentar a temperatura a 600 K a volume constante? E a pressão constante? Resposta: 1,510 4 J e 2,5 10 4 J.

Exercício VII. 7 O gás hélio a uma temperatura de 400 K e 1 atm é comprimido adiabaticamente de 20 para 4 L. Qual a temperatura final e pressão? Resposta: 1170 K e 14,6 atm

73

74

Unidade VIII - 1a , 2a e 3a Leis da Termodinâmica

1. Situando a Temática O estudo das transformações de energia envolvendo calor, trabalho mecânico e outros tipos de energia e como essas transformações podem estar relacionadas com as propriedades da matéria é chamado de termodinâmica. A termodinâmica é a descrição do comportamento de sistemas físicos em termos de parâmetros macroscópicos. Este assunto constitui parte indispensável dos fundamentos da física, química e da biologia e suas aplicações são, por exemplo: nas máquinas de combustão, nos refrigeradores, nos processos bioquímicos, na atmosfera terrestre, nas estrelas, etc. A aplicação da termodinâmica mais importante consiste na conversão de uma forma de energia em outra, especialmente a conversão de calor em outras formas de energia. Essas conversões são governadas pelas leis da termodinâmica. A primeira lei estabelece conservação de energia e a segunda nos diz a respeito de quanto se atinge a eficiência máxima na conversação do calor em trabalho. Quando nós baixamos a temperatura de um sistema, diminuímos os movimentos aleatórios térmicos e assim diminuímos sua desordem, este fato está relacionado com a terceira lei da termodinâmica.

2. Problematizando a Temática Apesar de a termodinâmica descrever o comportamento de sistemas em termos de parâmetros macroscópicos na prática, processos microscópicos são irrelevantes. Por exemplo, num motor de automóvel, o comportamento de combustão dos gases pode ser estudado com quantidades macroscópicas como temperatura, pressão, densidade e quantidade de calor. Nesta unidade estudaremos um sistema termodinâmico, aquele que interage, ou troca energia, com suas vizinhanças ou ambiente de formas diferentes, mediante troca de calor ou por trabalho mecânico. Quando ocorrem variações no estado do sistema termodinâmico, chamamos de processo termodinâmico. Um exemplo de sistema termodinâmico é quando temos

fig. VIII.1. Processos termodinâmicos no sol e geleiras.

75

uma vasilha com água submetida ao calor de uma chama de um fogão de cozinha. Ocorre transferência de calor por condução da chama para a vasilha. À medida que a água é aquecida e chega ao seu ponto de ebulição, empurra a tampa da vasilha e esta sofre um deslocamento. O estado da água mudou de líquido para gasoso. Muda o estado do sistema quando mudamos o volume, temperatura e pressão da água. Não podemos construir uma máquina que possa converter completamente uma quantidade de calor em energia mecânica. A explicação disso está nos sentidos dos processos termodinâmicos dados pela segunda lei da termodinâmica que veremos nesta unidade, também estudaremos a situação em que um sistema recebe calor enquanto realiza trabalho dando uma variação da energia interna, que tem a ver com a primeira lei da termodinâmica.

3. A Primeira Lei da Termodinâmica Um sistema termodinâmico pode trocar energia sob forma de calor e de trabalho com suas vizinhanças. Quando o calor é fornecido para o sistema, Q > 0; quando o calor é transferido para fora do sistema, Q < 0. Quando o trabalho é realizado pelo sistema, W > 0; quando o trabalho sobre o sistema, W < 0. Pode haver uma troca simultânea sob forma de calor e de trabalho, por exemplo, o calor é fornecido para o sistema e o trabalho é realizado pelo sistema, ou então, o calor é transferido para fora do sistema e o trabalho é realizado sobre o sistema. Quando um sistema à pressão p se expande de um volume V 1 para um volume V 2 este realiza um trabalho

2

1

V

V

pdVW eq. VIII. 1

Considere um gás à pressão p em um cilindro conectado a um pistão. Se o gás empurra o pistão o move de uma pequena distância dx, o gás realiza um trabalho dW = Fdx. Como F = PA, teremos, dW = PAdx. Nesse processo, o volume do gás cresce por dV = Adx, então,

pdVdW eq. VIII. 2 O trabalho total realizado em um processo é igual à área embaixo da curva que representa o processo no diagrama p-V, como na eq. VIII. 1. Existem infinitos caminhos pelos quais um sistema pode ir de um estado a outro. Alguns caminhos ou processos são do tipo isotérmico (temperatura constante), isobárico (pressão constante), isocórico (volume constante) e adiabático (nenhum calor flui para fora). Em qualquer processo termodinâmico, o calor fornecido para o sistema e o trabalho realizado pelo sistema, além de dependerem do estado inicial e do estado final, dependem também do caminho, ou o conjunto de estados intermediários através dos

76

quais o sistema evolui. Quando o trabalho realizado por um sistema, ou sobre um sistema depende do caminho de um estado a outro, não faz sentido falar de trabalho em um sistema. Da mesma forma, o calor adicionado ao sistema quando ele vai de um estado a outro depende do caminho seguido, assim não faz sentido falar de calor em um sistema. Entretanto, um sistema tem uma energia interna. Para um gás ideal vimos que a energia interna depende unicamente da temperatura e da quantidade de gás. Para um gás monoatômico

.2/3nRTE Mudanças na energia interna dependem somente dos estados inicial e final do sistema e assim independe do caminho. A energia interna de um sistema isolado permanece constante. Ao adicionarmos calor ao sistema, a energia interna do sistema pode aumentar ou o sistema pode realizar trabalho em sua vizinhança. Ou então ambos podem ocorrer. Quando aplicamos a conservação de energia obtemos a equação

dWdEdQ eq. VIII. 3 Essa equação representa a conservação de energia – a primeira lei da termodinâmica. Se o calor é adicionado ao sistema, dQ > 0; se removido, dQ < 0. Se a energia interna cresce, dE > 0 e se a energia interna decresce dE < 0. Quando o sistema realiza trabalho sobre sua vizinhança, dW > 0. Quando é realizado sobre o sistema, dW < 0. Lembramos que num processo adiabático o calor não flui nem para dentro nem para fora do sistema, Q = 0. Se o processo é isocórico, W = 0. Se o processo é isobárico, W = p(V 2 - V 1 ).

Em basicamente todas as máquinas térmicas encontramos processos que são caminhos fechados em um diagrama p-V. Suponha, por exemplo, um sistema que vai de um ponto (p 1 ,V 1 ) a um ponto (p 2 ,V 2 ) ao longo de um caminho I como mostra a fig. VIII. 2. Para completarmos o ciclo retornamos pelo caminho II. O trabalho realizado ao longo do caminho I é positivo e igual à área abaixo da curva I. O trabalho realizado ao longo do caminho II é negativo e igual a área abaixo da curva II. Então o trabalho resultante realizado por cada ciclo completo é a área pintada da fig. VIII. 2.

4. Segunda Lei da Termodinâmica Podemos enunciar a segunda lei da termodinâmica de várias formas equivalentes, que veremos ao longo desta secção. Ela descreve o sentido da realização de um processo termodinâmico natural, mas essencialmente ela

fig. VIII.2. Um processo cíclico no diagrama p-V.

77

diz respeito sobre a eficiência máxima disponível na conversão de calor em trabalho. A segunda lei da termodinâmica, do ponto de vista histórico, nos diz que: (a) Segundo Kelvin-Planck: É impossível construir uma máquina cíclica que converte completamente energia térmica de um corpo mais frio para um corpo mais quente sem qualquer efeito sobre seu ambiente. (b) Segundo Clausius: É impossível construir uma máquina cujo único efeito é transformar energia térmica de um corpo mais frio para um corpo mais quente sem qualquer efeito sobre seu ambiente. Um aparato que transforma parcialmente calor em trabalho é uma máquina de calor. Uma máquina utiliza uma substância de trabalho, por exemplo, a mistura de gasolina e ar num motor de automóvel. A maioria das máquinas usa um processo cíclico no qual a substância de trabalho retorna ao mesmo estado em intervalos periódicos. O funcionamento de uma máquina pode ser visto na fig. VIII. 3. Uma quantidade de calor Q é removida do reservatório quente. Uma parte desse calor vai para o reservatório frio e a outra parte é transformada em trabalho para vizinhança. Então Q quente = Q frio

+ W. A eficiência de uma máquina de calor é definida como:

quenteQWe eq. VIII. 4

Este último representa a fração de quenteQ que é convertida em trabalho.

5. A Máquina de Carnot De acordo com a segunda lei da termodinâmica, nenhuma máquina de calor pode ter uma eficiência de 100 %. Por exemplo, perdemos calor por atrito. A máquina de calor mais eficiente possível é uma máquina idealizada chamada máquina de Carnot. O material que é trabalhado é submetido a um processo reversível, o que em máquinas reais isto não é possível. O ciclo de Carnot utilizando-se um gás ideal é visto na fig. VIII. 4.

fig. VIII.3. Esquema de funcionamento de uma máquina térmica.

fig. VIII.4. O ciclo de Carnot.

78

As curvas AB e DC são isotérmicas e as curvas CA e BD são adiabáticas. Se as temperaturas indicadas na fig. VIII. 4 são aquelas dos reservatórios frio e quente, pode-se mostrar que a eficiência da máquina de Carnot é

quente

frio

TT

e 1 eq. VIII. 5

O ciclo de Carnot é constituído de duas isotérmicas reversíveis e dois processos adiabáticos. Para melhor entendimento, em um ciclo de Carnot podemos usar como substância de trabalho um gás ideal dentro de um reservatório com um embolo móvel, consistindo das seguintes etapas: O gás se expande isotermicamente a quenteT absorvendo calor quenteQ . O gás

se expande adiabaticamente até que a temperatura abaixa para frioT . Daí ele

é comprimido isotermicamente na temperatura frioT botando para fora frioQ .

Finalmente completando o ciclo o gás é comprimido adiabaticamente retornando ao seu estado inicial na temperatura quenteT . Observe que as

temperaturas usadas nesta secção devem ser em Kelvin e que estes resultados valem para outras substâncias de trabalho. Agora podemos enunciar a segunda lei da termodinâmica do ponto de vista da máquina de Carnot, adaptando as versões de Kelvin-Planck (a) e Clausius (b) vista nesta unidade. A saber: (a) Uma máquina de Carnot transforma calor em trabalho sem qualquer efeito sobre seu ambiente. (b) Uma máquina de Carnot transforma calor de um reservatório frio para um reservatório quente sem qualquer efeito sobre seu ambiente.

6. Entropia Os processos termodinâmicos que acontecem na natureza são todos irreversíveis, são aqueles que apenas ocorrem em um sentido. Por exemplo, o fluxo de calor que ocorre de uma panela quente para sua mão ocorre de forma irreversível, isto é num só sentido, da panela para sua mão. A segunda lei da termodinâmica nos diz qual o sentido que seguem estes processos termodinâmicos. Por simplicidade, muitas vezes supomos os processos reversíveis, o que temos na verdade é uma situação ideal e que acontece tão próximo quanto quisermos ao estado de equilíbrio termodinâmico ou mecânico. De fato, não teremos fluxo de calor nem realização de trabalho na vizinhança do sistema, pois no equilíbrio não ocorre nenhuma mudança no estado do sistema. Num processo reversível o fluxo de calor entre dois corpos que possuem uma diferença de temperatura infinitesimal pode ser invertido fazendo-se somente uma pequena variação em uma temperatura ou na outra. O fluxo de calor faz a desordem de um sistema aumentar porque ocorre um aumento de velocidade média de cada molécula e assim o estado aleatório ou grau de desordem aumenta.

79

A entropia nos fornece uma forma de quantificar esta desordem. Uma temperatura elevada corresponde a um movimento muito aleatório. A medida que aumentamos a temperatura com o fornecimento de calor há um aumento no movimento das moléculas e em seu estado aleatório. Porém quando a substância já está quente, a mesma quantidade de calor fornecido produz um aumento menor ao movimento das moléculas, que já está elevado. Portanto, o quociente Q/T caracteriza de modo adequado o crescimento da desordem quando o calor flui para o interior do sistema. A equivalência entre um ciclo reversível arbitrário e uma coleção de ciclos de Carnot nos leva, para um processo reversível, ao teorema de Clausius: A integral de dQ/T em torno de qualquer ciclo é zero,

0 TdQ

eq. VIII. 6

A mudança de calor nessa equação é positiva se o calor flui dentro do sistema e negativa se flui fora. A prova desse teorema é simples e se baseia no fato que um ciclo qualquer pode ser considerado como pequenos ciclos de Carnot. Da máquina de Carnot temos que,

frio

quente

frio

quente

TT

QQ

ou 0frio

frio

quente

quente

TQ

TQ

.

Com o resultado do teorema podemos fazer analogia com o estudo da mecânica de Newton, onde, para forças conservativas podemos definir uma nova quantidade, chamada de energia potencial, assim definirmos uma nova variável de estado para um processo reversível: a entropia S,

TdQdS e )()( 0

0

AST

dQASA

A eq. VIII. 7

As unidades de entropia são, cal/K e J/K. Para um gás ideal em expansão, pode ser mostrado que a mudança de entropia de um ponto 1 a 2 é

)ln()ln(1

2

1

212 V

VnR

TT

nCSS v eq. VIII. 8

O fluxo de calor em um reservatório quente para um reservatório frio pode nos levar a um aumento de entropia. Isto sugere que expressemos a segunda lei da termodinâmica em termos de mudança de entropia. Para conseguirmos isto vamos generalizar o teorema de Clausius, eq. VIII. 6 – A integral de dQ/T para qualquer processo irreversível é menor ou igual a zero.

0 TdQ

eq. VIII. 9

Suponha que um sistema em um estado A sofre um processo irreversível e o

80

traz até o estado B. Imaginemos algum processo que nos leva de volta até o estado A. Como podemos ver na fig. VIII. 5.

Para o ciclo completo temos que, 0 TdQ

, ou

0 A

B

B

A TdQ

TdQ , porém, por definição de entropia, eq.

VIII. 7, A

B TdQ

= S(A) – S(B), logo obtemos a entropia para

um processo irreversível:

B

A TdQASBS )()( eq. VIII. 10

No caso particular de um sistema isolado que não há fluxo de calor entre o sistema e a vizinhança, dQ = 0, assim

a eq. VIII. 10 se torna,

0)()( ASBS eq. VIII. 11 Podemos ver através da eq. VIII. 11 que a entropia de um sistema isolado nunca decresce – ela cresce ou fica constante. Microscopicamente, o aumento da entropia de um sistema significa o aumento da desordem do sistema. Assim a segunda lei da termodinâmica pode ser reformulada em termos de entropia: Processos em um sistema isolado sempre tendem a aumentar a desordem desse sistema. No caso especial de um processo reversível os aumentos e diminuições de entropia são iguais. Portanto podemos afirmar que quando todas as variações de entropia que ocorrem em um processo são adicionadas, a entropia ou aumenta ou permanece constante.

7. Terceira Lei da Termodinâmica Esta lei foi formulada por Nernst e afirma que: independentemente de todas as variáveis macroscópicas que descrevem o sistema, a entropia de um sistema no zero absoluto de temperatura é uma constante universal igual a zero. Isto pode ser explicado assim: Quando baixamos a temperatura de um sistema sua desordem diminui, pois decresce o movimento térmico aleatório das moléculas do sistema. Do ponto de vista clássico, no zero absoluto, isto é, -273,15 0 C = 0 K, o ponto zero da escala de temperatura Kelvin, os movimentos térmicos param completamente e o sistema tende a ficar no estado mínimo de desordem, isto é, o estado mínimo de entropia. Acredita-se que não podemos chegar experimentalmente ao zero absoluto, embora temperaturas da ordem de 710 K tenham já sido atingidas. Dessa forma podemos enunciar a terceira lei da termodinâmica de seguinte forma: é impossível se atingir o zero absoluto com um número finito de processos termodinâmicos.

fig. VIII.5. Um processo irreversível

em I e um reversível em II.

81

Exercícios Resolvidos Exemplo VIII. 1 Nos processos: adiabático, isocórico, isobárico e isotérmico, calcule as quantidades W (trabalho), E (energia interna) e Q (quantidade de calor).

Solução: Num processo adiabático não ocorre transferência de calor nem para dentro nem para fora do sistema. Loto 0Q , assim pela primeira lei da termodinâmica

WE . Se o sistema realiza trabalho sobre as vizinhanças W é positivo e E

diminui. Se as vizinhanças realizam trabalho sobre o sistema W é negativo e assim E aumenta.

No processo isocórico temos um volume constante para um sistema termodinâmico. Este não realiza trabalho sobre as vizinhanças do sistema. Logo W = 0, logo, QE . Neste processo toda a energia adicionada em forma de calor

permanece dentro do sistema, contribuindo para o aumento da energia interna. Para um processo isobárico a pressão permanece constante para o sistema. Em geral, nenhuma das quantidades W, E e Q é igual à zero. Entretanto,

)( 122

1VVppdVW

V

V .

Em um processo isotérmico a temperatura permanece constante. Neste caso a trasferência de calor para o sistema deve ser dada de forma bem lenta para que o equilíbrio térmico se estabeleça. Novamente, em geral, nenhuma das quantidades W,

E e Q é igual a zero. Especialmente, para um gás ideal, 0E , assim, WQ . Quando um gás com densidade pequena sofre uma expansão livre, sua

temperatura permanece constante, este gás é um gás ideal. Portanto, podemos concluir que a energia interna de um gás ideal depende apenas da sua temperatura e não do volume e da pressão. Exemplo VIII. 2 Um gás se expande a uma pressão constante de 3 atm de um volume de 2 L para 5 L. Qual o trabalho que foi realizado? Solução:

JVVppdVWV

V912)( 12

2

1

Exemplo VIII. 3 Um mol de um gás ideal inicialmente a ,1p V 1 , T1 está submetido a um ciclo

como mostra a fig. VIII. 6. Calcule o trabalho total realizado pelo gás e o calor total adicionado durante o ciclo. Solução:

,0ABW 0CDW , 11111 4)3(2 VpVVpWBC ,

11111 2)3( VpVVpWDA

112 VpWWWWW DACDBCAB , que é o trabalho total.

fig. VIII.6. Ciclo ABCDA.

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Veja que: VpEWEQ , como o gás volta ao seu estado

original a mudança de energia interna é zero, 0E . Portanto, 112 VpQ .

Exemplo VIII. 4 Dois mols de um gás ideal a 600 K são comprimidos até triplicar a pressão. Qual o trabalho feito pelo gás? Solução:

31ln60031,82lnln

1

2

1

22

1

2

1

ppnRT

VVnRT

VnRTdVpdVW

V

V

V

V

= J4101,131ln60031,82

Exemplo VIII. 5 O motor de uma carreta consome 10 kJ de calor e realiza um trabalho mecânico em cada ciclo de 2 kJ. O calor é obtido pela queima de combustível com calor de combustão L = 50 kJ/g. Qual é a eficiência térmica deste motor? Qual é a quantidade de calor que deixa a máquina em cada ciclo? Qual a quantidade de combustível que é queimada em cada ciclo? Solução:

20,0100002000

quenteQWe , a quantidade de calor que é deixada pela máquina

é 8000 J, isto é, JQQQW friofrioquente 8000 . A quantidade de

combustível queimada é gmmLQquente 20,0 .

Exemplo VIII. 6 Uma casa de força de uma usina opera entre 490 0 C e 38 0 C. Qual é a eficiência máxima possível sob estas condições? Solução:

e maxcalor

frio

TT

1 = 0,59. Lembre que as temperaturas são em Kelvin.

Exemplo VIII. 7 A máquina de uma caldeira produz vapor a uma temperatura de 500 0 C. A máquina joga o vapor na atmosfera a qual possui uma temperatura de 20 0 C. Teoricamente, qual a eficiência desta máquina? Solução:

e maxcalor

frio

TT

1 = 0,62. Assim, somente 62% do calor pode ser convertido em

trabalho.

Exemplo VIII. 8 Três mols de um gás ideal é expandido vagarosamente, (processo reversível), de 0,02 para 0,06 m 3 . Qual é a variação na entropia do gás? Solução:

KJVVnRdV

Tp

TdQS

V

V/4,27ln

1

22

1

83

Exemplo VIII. 9 Uma máquina ideal do tipo de Carnot opera entre um reservatório quente a 360 K e um frio a 270 K. Ela absorve 600 J de calor por ciclo no reservatório quente. Qual o trabalho realizado pela máquina em cada ciclo? Se a mesma máquina opera num sentido inverso como um refrigerador, qual o coeficiente de performace do refrigerador de Carnot, CarnotK ?

o trabalho realizado para cada ciclo de forma que remova 1200 J de calor do reservatório frio a cada ciclo? Solução:

25,03602701 e , por outro lado, JW

QWquente

15025,0

Para o refrigerador de Carnot: O coeficiente de performace do refrigerador de Carnot CarnotK é

T frio /(T quente - T frio ) = 270 K /(360 K – 270 K) = 3. Para um refrigerador, sem ser

necessariamente de Carnot, W

QK frio

eperformanc .

Exercícios Propostos Exercício VIII. 1 Um gás ideal sofre uma expansão isotérmica de (p 1 ,V1 ) a (p 2 ,V 2 ), a uma

temperatura T fixa, enquanto o volume desse gás passa de V 1 para V 2 . Qual o

trabalho realizado pelo gás? Resposta:

1

2lnVVnRTW

Exercício VIII. 2 Você quer tomar um soverte que contém 900 calorias e depois gostaria gastar essa energia subindo uma escada. Até que altura você deverá atingir? Considere que sua massa é de 60 kg e que imaginamos uma eficiência igual de 100%, na conversão da energia vinda do sorvete em trabalho mecânico, o que na realidade não é verdade. Resposta: 6,41 m Exercício VIII. 3 A fig. VIII. 8 mostra um diagrama p-V de um processo cíclico iniciando em um ponto A e percorrendo um caminho no sentido anti-horário. O trabalho realizado é W = - 400 J. Porque o trabalho realizado é negativo? Calcule a variação de energia interna e o calor trocado durante o processo. Resposta: 0E e Q = -500 J.

fig. VIII.7. Um processo cíclico no diagrama p-V.

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fig. VIII.8. Diagrama p-V mostra

processos termodinâmicos.

Exercício VIII. 4 Na fig. VIII.8 temos um diagrama p-V indicando vários processos . No processo AB, 150 J de calor são fornecidos ao sistema e no processo BD 600 J de calor são fornecidos ao sistema. Encontre a variação da energia interna o processo AB, a variação da energia interna no processo ABD e a variação da energia interna no processo ACD. Considere p 1 = 810 4 Pa, p 2 = 310 4 Pa, V 1= 210 3 m 3 , V 2 = 510 3 m 3 .

Resposta: E AB =150 J; E ABD = 510 J; E ACD = 510 J.

Exercício VIII. 5 Uma grama de água (1cm 3 ) se transforma em 1671 cm 3 quando ocorre o processo de ebulição a uma pressão constante de 1 atm. O calor de vaporização para esta pressão e de L V =2,25610 6 J/kg. Calcule o trabalho realizado pela água quando

ela se transforma em vapor e o aumento da sua energia interna. Resposta: 169 J; 2087 J.

Exercício VIII. 6 Um mol de gás ideal em um cilindro ajustado a um pistão é feito para expandir suavemente, isto é, para que tenhamos um processo reversível, de um volume inicial de 10 3 cm 3 = V para um volume 2V. O cilindro está em contato com um reservatório quente e no processo de expansão a temperatura do gás se mantém constante. Qual a variação de entropia do gás? Resposta: 1,38 cal/K.

Exercício VIII. 7 Um mol de um gás ideal está inicialmente contido em uma garrafa isolada de volume V = 10 3 cm 3 . Um tubo conectado à garrafa esvazia-a para uma outra de mesmo volume. Se primeira garrafa é esvaziada bruscamente, isto é, o processo é irreversível, qual é a variação de entropia do gás? Resposta: 1,38 cal/K.

Exercício VIII. 8 Um reservatório de calor a uma temperatura de 400 K é brevemente colocado em contato térmico com um reservatório a uma temperatura de 300 K. Se 1 cal de calor flui do reservatório mais quente para o mais frio, qual a variação de entropia do sistema (ambos os reservatórios)? Resposta: 8,310 4 cal/K

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Exercício VIII. 9 Uma pedra de massa 80 kg desce uma montanha de altura 100 m e para em baixo. Qual é o aumento de entropia da (pedra + ambiente)? Suponha que a temperatura do ambiente, colina mais ar, é de - 3 0 C. Resposta: 69 cal/K.

Exercício VIII. 10 Qual a variação de entropia de 1 kg de água quando ela é aquecida de 0 0 C para 100 0 C ? Resposta: 1,3 10 3 cal/K.

Exercício VIII. 11 O calor latente de fusão de uma substância é L F e sua temperatura é de T. Qual a

variação de entropia da massa m quando a substância derrete? Resposta:

TmLS F

Observação: Estas notas de aula foram baseadas na bibliografia abaixo, algumas figuras e exercícios foram adaptados dessa bibliografia. Também algumas figuras vieram da internet.

Bibliografia:

HALLIDAY, David, RESNICK, Robert, WALKER, Jearl, Fundamentos de Física, V.2, Ed. LTC. OHANIAN, Hans C. . Physics, New York, London. YOUNG, Hugh D., FREEDMAN Roger A., SEARS E ZEMANSKY – Física II, Addison-Wesley. TIPLER, Paul e MOSCA, Gene. Physics for scientists and engineers, United States Naval Academy, Oakland University. BROWNE, Michael. Physics for Engineering and Science, McGraw-Hill, USA.