INPE-8877-TDI/807

MODELAGEM MATEMTICA DO COMPORTAMENTO MECNICO DO DETECTOR DE ONDAS GRAVITACIONAIS MARIO SCHENBERG

Csar Augusto Costa

Dissertao de Mestrado em Astrofsica, orientada pelos Drs. Odylio Denys de Aguiar e Nadja Simo Magalhes, aprovada em 26 de fevereiro de 2002.

INPE So Jos dos Campos 2002

523.03:520.35 COSTA, C. A. Modelagem matemtica do comportamento mecnico do detector de ondas gravitacionais Mario Schenberg / C. A. COSTA - So Jos dos Campos: INPE, 2002. 129p. (INPE-8877-TDI/807). 1.Ondas de gravidade. 2.Deteco. 3.Astrofsica. 4.Excitao por ondas. 5.Relatividade. I.Ttulo.

minha querida famlia, pelo apoio e compreenso.

3

AGRADECIMENTOSAo Odylio e Nadja, pela amizade, ateno e incentivos, os quais foram essenciais para a concretizao deste trabalho.

Aos docentes da Diviso de Astrofsica, que abriram as portas para uma nova forma de ver o Universo, ao esclarecerem algumas de minhas muitas dvidas.

Aos colegas do grupo Grviton, em especial Srgio, Luiz, Kilder, Z Melo e Carlos, que compartilharam comigo de suas experincias e conhecimentos.

Aos colegas de curso, com os quais compartilho a alegria desta conquista.

A toda a minha famlia, pelo amor, carinho e por compreenderem a importncia deste feito.

F, pela companhia, dedicao, e carinho com que suportou as minhas ausncias.

Ao Steve Merkowitz e Warren Johnson, por terem sido sempre solcitos e fornecerem informaes esclarecedoras.

A todas as amizades construdas durante estes dois ltimos anos, esperando que sejam fortalecidas a cada dia.

A todos os colaboradores do INPE, em especial os da Diviso de Astrofsicas, colegas do cotidiano, que tornam nossa presena aqui mais agradvel.

CAPES, pelo apoio financeiro, sem o qual o trabalho seria inviabilizado.

5

RESUMOO objetivo principal deste trabalho modelar matematicamente o comportamento mecnico do detector de ondas gravitacionais Mario Schenberg. So estudados os parmetros fsicos que afetam este comportamento. O modelo prev as freqncias de ressonncia do sistema, quando so acoplados ressonadores mecnicos unidimensionais de dois modos, obedecendo a configurao sugerida por Johnson e Merkowitz. Prev, tambm, como o sistema se comporta frente a um trem de onda gravitacional senoidal. Uma estimativa da contribuio das fontes de rudo ao movimento do sistema apresentada, bem como, a equao apropriada para seu clculo. O trabalho apresenta, tambm, uma reviso dos aspectos que envolvem a radiao gravitacional, sua gerao por fontes astrofsicas e sua deteco.

7

A MATHEMATICAL MODEL FOR THE MECHANICAL BEHAVIOR OF MARIO SCHENBERG GRAVITATIONAL WAVE DETECTOR

ABSTRACTThe main goal of this work is to mathematically model the mechanical behavior of the Mario Schenberg detector. The physical parameters that affect this behavior are studied. The model gives the ressonance frequencies of the system when two-mode mechanical resonators are coupled, following the arrangement suggested by Johnson and Merkowitz. It is also calculated how the system behaves under a gravitational sinewave quadrupolar force. An estimate of the noise sources contribution to the system movement is presented, as well as the equation for its calculation. This work also gives a short review on gravitational radiation, its generation by astrophysical sources and its detection.

9

SUMRIOpg.

LISTA DE FIGURAS LISTA DE TABELAS CAPTULO 1 - INTRODUO.................................................................................17 CAPTULO 2 - A RADIAO GRAVITACIONAL...............................................21 2.1. Equao de Campo de Einstein..............................................................................21 2.2. Gerao de Ondas Gravitacionais...........................................................................27 2.3. Interao das Ondas Gravitacionais com a matria.................................................31 CAPTULO 3 - FONTES ASTROFSICAS DE RADIAO GRAVITACIONAL.........................................................................35 3.1. Fontes Impulsivas..................................................................................................36 3.1.1. Supernova..........................................................................................................37 3.1.2. Espiralao e Coalescncia de Objetos Compactos.............................................42 3.1.3. Queda de Estrelas e Pequenos Buracos Negros no interior de Buracos Negros Supermassivos....................................................................................................45 3.2. Fontes Peridicas...................................................................................................45 3.2.1. Pulsares de Milissegundos...................................................................................46 3.2.2. Estrelas Binrias.................................................................................................49 3.3. Sinais Estocsticos.................................................................................................50 3.3.1. Sistemas Binrios................................................................................................51 3.3.2. Estrelas de Populao III....................................................................................52 3.3.3. Ondas Gravitacionais Primordiais........................................................................52 3.3.4. Transies de Fase..............................................................................................53 3.3.5. Cordas csmicas.................................................................................................53 CAPTULO 4 - DETECTORES DE ONDAS GRAVITACIONAIS.......................55 4.1. Interfermetros a laser...........................................................................................56 4.2. Detectores de Massa Ressonante...........................................................................59 4.2.1. Caractersticas acsticas dos materiais................................................................60 4.2.2. Detectores de Barra............................................................................................61 4.2.3. Monitoramento do modo fundamental de oscilao da barra...............................62 4.2.4. Detectores de massa ressonante esfricos............................................................65 4.2.5. Principais fontes de rudo em detectores de massa ressonante.............................65 CAPTULO 5 - O DETECTOR ESFRICO............................................................69 5.1. Modelo da Esfera Desacoplada..............................................................................7011

5.2. A Esfera Acoplada a Ressonadores........................................................................76 5.2.1. Ressonadores de um modo longitudinal..............................................................77 5.2.2. Ressonadores de dois modos longitudinais..........................................................79 5.3. Localizao dos Ressonadores...............................................................................81 5.4. Monitoramento do Sistema (Canais dos Modos)....................................................82 CAPTULO 6 - RESULTADOS PARA O DETECTOR MARIO SCHENBERG.................................................................................85 6.1. Obteno dos Parmetros......................................................................................87 6.1.1. Freqncias dos modos acoplados......................................................................92 6.2. Soluo Analtica da Equao de Movimento........................................................95 6.2.1. Autovalores e autovetores da matriz M.............................................................100 6.2.2. Expresses para , e .............................................................102 6.3. Simulao da resposta do detector a um sinal.......................................................104 6.4. Uma estimativa da contribuio das fontes de rudo aos canais dos modos...........108 CAPTULO 7 - CONCLUSES E CONSIDERAES FINAIS.........................111 REFERNCIAS BIBLIOGRFICAS....................................................................113 APNDICE A - ALGORITMOS.............................................................................119

12

LISTA DE FIGURASpg

2.1. Efeito de uma onda gravitacional sobre um crculo de partculas testes ao longo de um ciclo..................................... ...........................................................................26 2.2. Sistema binrio emissor de ondas gravitacionais.......................... ...........................30 2.3. Campo de aceleraes para os dois estados de polarizao quando o ngulo de fase nulo...................................................... .......................................................32 3.1. Medidas do atraso de fase do pulsar PSR1913+16 ................................................43 3.2. Forma de onda da coalescncia de um sistema binrio formado por estrelas de nutrons................................................................................................................44 4.1. Modelo simples de um detector de ondas gravitacionais.................... .....................55 4.2. Modelo simples de um interfermetro Michelson................. ..................................57 4.3. (a) Esquema do monitoramento da amplitude complexa, (b) Esquema para aquisio dos valores de X1 e X2............................................................................62 4.4. Fontes impulsivas de ondas gravitacionais, mostrando a faixa dos possveis sinais e a regio de sensibilidade de alguns detectores............. ........................................66 5.1. Modos normais quadrupolares de oscilao da esfera............... ..............................74 5.2. Ressonador mecnico unidimensional de um modo acoplado superfcie da esfera....................................................................................................................77 5.3. Ressonador mecnico unidimensional de dois modos acoplado superfcie da esfera...................................... ..............................................................................79 5.4. Dodecaedro e icosaedro truncado.......................................................................... 81 5.5. Campos de simetria do icosaedro truncado.(1) Com relao aos hemisfrios. (2) Com relao s faces hexagonais. (3) Com relao s faces pentagonais..........82 6.1. Ajuste entre a funo j2(x), e sua expanso em srie, si (j2(x))............................... ..88 6.2. Tempo de computao do algoritmo parametros.mws...........................................89

13

6.3. Dependncia entre p1 e p2 e , para E=1,303x1011Pa............................................ ..90 6.4. Dependncia entre p1 e p2, e E, para =0,364......................................................... 90 6.5. Dependncia da freqncia com a razo poissnica, , e o mdulo de Young, E...91 6.6. Dependncia dos parmetros (R) e (R) e do fator com a razo poissnica......92 6.7. Distribuio dos ressonadores sobre a superfcie da esfera.....................................93 6.8. Freqncias dos modos acoplados............ .............................................................94 6.9. Comportamento do segundo modo normal da esfera frente ao sinal simulado......105 6.10. Amplitudes nos ressonadores R2.................. ......................................................105 6.11. Planificao do segundo modo normal da esfera, e a distribuio dos ressonadores sobre sua superfcie............ ..........................................................106 6.12. Comportamento dos canais dos modos..............................................................107 6.13. Densidade espectral da contribuio das foras de Langevin, nos canais dos modos...............................................................................................................109

14

LISTA DE TABELASpg

2.1. Expresses para os Harmnicos Esfricos Reais, Ym..............................................33 3.1. Amplitude mxima, max |h|, e freqncia caracterstica, fc, da onda gravitacional gerada pelos modos barra em estrelas de nutrons recm-formadas, para dois valores representativos dos raios equatoriais, Req.................................................. ..40 3.2. Algumas fontes binrias de ondas gravitacionais de baixa freqncia.................... ..50 4.1. Comparao entre as grandezas fsicas de alguns materiais....................................60 4.2. Alguns detectores de barra que operam sob temperatura criognica.......................64 6.1. Valores obtidos e utilizados pelo modelo..................... ..........................................87

15

CAPTULO 1 INTRODUODesde que Albert Einstein props a Teoria da Relatividade Geral, em 1916, ela tem sido submetida a testes, e em todos os que j foram realizados obteve xito. Einstein mostrou que a existncia da radiao gravitacional uma conseqncia direta de sua teoria. Assim, quando estiverem operando em seus limites de sensibilidade, os detectores de ondas gravitacionais estaro, mais uma vez, testando sua validade. Porm, mais do que testar a Relatividade Geral, a deteco de ondas gravitacionais abrir as portas para uma nova perspectiva no estudo do Universo, algo como um novo sentido, que ajudar a entend-lo melhor.

As ondas gravitacionais so perturbaes na curvatura local do espao-tempo, que viajam pelo espao-tempo velocidade da luz, e excitam os modos normais de oscilao quadrupolares de corpos elsticos, por onde passam. O monitoramento destas excitaes torna possvel a deteco direta de ondas gravitacionais, e, consequentemente, a obteno de informaes sobre fontes astrofsicas emissoras de radiao gravitacional. Os instrumentos desenvolvidos com tal funo so conhecidos como detectores de ondas gravitacionais.

Os primeiros detectores de ondas gravitacionais, com forma cilndrica, ou de barras, foram construdos nos anos 60. Desde ento, muitos avanos tm sido obtidos, e a sensibilidade dos instrumentos que esto sendo desenvolvidos est atingindo os patamares exigidos (previstos) para se captar sinais gerados por eventos astrofsicos. A idia de se construir detectores esfricos ultracriognicos tem ganhado adeptos, entre os quais destaca-se o grupo brasileiro Grviton, que trabalha na construo de seu primeiro prottipo, o detector Mario Schenberg. Instrumentos com as caractersticas do Schenberg representam a prxima gerao de detectores por massa ressonante.

Um nico detector esfrico ser capaz de determinar tanto a direo quanto as17

componentes tensoriais de uma onda gravitacional incidente. Porm, a construo do detector e monitoramento dos dados, que dele podem ser obtidos, apresentam dificuldades inerentes. O nmero de modos normais que acoplam fortemente com uma onda gravitacional (cinco, contra apenas um apresentado pelas barras) aumenta a complexidade do sistema, quando comparado com os detectores cilndricos. A necessidade de que sejam acoplados pelo menos cinco ressonadores secundrios superfcie da esfera para monitorar as oscilaes normais, geram um sistema com pelo menos uma dezena de osciladores harmnicos acoplados entre si. Tais osciladores interrelacionam-se de maneira complexa, motivo pelo qual a forma com que estas relaes acontecem merece um estudo detalhado.

O objetivo central deste trabalho a elaborao de um modelo matemtico, com a finalidade de simular o comportamento mecnico do Mario Schenberg frente excitao causada pela passagem de uma onda gravitacional. Para tanto, os parmetros fsicos que regem este comportamento foram estudados. Desta forma, pretende-se adquirir confiabilidade suficiente no instrumento, a fim de que os dados por ele obtidos possam ser repassados anlise.

Este trabalho faz, tambm, uma rpida reviso dos conceitos fundamentais que permeiam a radiao gravitacional, e compreende os trs primeiros captulos. Dando incio a esta reviso, a derivao da equao de onda, a partir das equaes de campo de Einstein, os processos geradores de ondas gravitacionais e seus efeitos sobre a matria so apresentados no Captulo 2. As caractersticas das principais fontes astrofsicas de radiao gravitacional encontradas na literatura so revistas no Captulo 3. O captulo apresenta um apanhado de informaes bsicas sobre estas fontes, com a finalidade de fornecer uma noo da sensibilidade que os detectores de ondas gravitacionais devem atingir, para obterem sucesso. Detalhes maiores sobre estas fontes e seus processos peculiares de gerao de radiao gravitacional podem ser encontrados na bibliografia referenciada. E os conceitos bsicos que envolvem a deteco de ondas gravitacionais pelos instrumentos que esto sendo projetados, so apresentados no Captulo 4.

18

O escopo principal deste trabalho envolve a utilizao e adaptao de tcnicas, desenvolvidas ao longo da ltima dcada, e destinadas, especificamente, resoluo do problema do detector esfrico. Uma descrio detalhada da tcnica utilizada para a elaborao do modelo matemtico utilizado na resoluo do problema proposto, apresentada no Captulo 5. Enquanto, o Captulo 6, mostra os resultados obtidos pela sua aplicao ao detector Mario Schenberg.

19

20

CAPTULO 2 A RADIAO GRAVITACIONALOs primeiros ensaios sobre a possibilidade de existncia da radiao gravitacional foram feitos por Heaviside, em forma de um apndice, no seu livro Electromagnetic Theory, publicado em 1893. Menos de uma dcada depois outras duas publicaes abordaram o assunto, uma de 1900, assinada por H. A. Lorentz, e outra de 1905, de autoria de H. Poincar [1]. Porm, a primeira derivao da equao de onda gravitacional a ter expresso na comunidade cientfica foi a apresentada Kniglich Preussichen Akademie de Wissenschaften, de Berlim, em junho de 1916, por Albert Einstein, o qual assinou uma segunda publicao em janeiro de 1918 sobre o mesmo tema.

Publicado alguns meses depois de sua Teoria da Relatividade Geral, o primeiro artigo de Einstein sobre radiao gravitacional restringia-se emisso de ondas gravitacionais fracas (e linearizadas), que se propagam em um espao-tempo plano. O segundo tratava da derivao quadrupolar da radiao gravitacional [2,3].

Nos anos seguintes, Weyl e Eddington refinariam o trabalho inicial de Einstein at que, na metade da segunda dcada do sculo passado, a teoria linearizada das ondas gravitacionais estaria completamente entendida [4,5].

2.1. EQUAO DE CAMPO DE EINSTEIN

ordem, representadas pelas chamadas equaes de campo de Einstein, e dadas por

R

c

21

!

1 Considerando-se a constante cosmolgica

R

1 g 2

8 G T c4

,11 g 2 8 G4

com o tensor momento-energia, T

Na Relatividade Geral, a mtrica g

descreve o campo gravitacional, que se relaciona , por meio de equaes diferenciais de segunda

(2.1)

0 , em R

R

g

T

.

representa a constante de gravitao universal e c representa a velocidade da luz no vcuo.

Em espaos que apresentem curvaturas acentuadas, o clculo do tensor de Riemann,1 0 ) (

R

, e, consequentemente, o do tensor de Ricci, envolve complicadas equaes no-

lineares, onde o Princpio de Superposio no vlido. Contudo, pode-se supor uma3 2

situao em que a contrapartida espacial de T

forma que sua massa M esteja imersa em um campo gravitacional fraco, ou seja, em um espao-tempo aproximadamente plano. Comprovada esta situao, torna-se apropriado3 2

escrever o tensor g9 8

como uma deformao na mtrica de Minkowski,

simplificado, obtendo-se

termos de ordem quadrtica envolvendo a perturbao, os quais podem ser ignorados,

R

g

,

3 Admitindo-se a existncia de um fundo de radiao gravitacional (background) gerado por fontes de carter estocstico (vide Seo 3.3), deve ser acrescentada mais uma parcela referente a esta B perturbao, e a mtrica torna-se: g h OG h B , onde h background eh OG onda gravitacional .e d e d

22

2 aplicada aqui a conveno de soma de Einstein, onde R g

R

y

x

w

s

u

t

v

u

t

s

r

q

,p

,

,

i

h

g

`

f

e

d

a

`

onde a conexo afimY

1 2

d

a

Y

`

c

a

`

Y

X

xW

x

`

c

b

`

W

V

U

T

R

S

P

R

Q

numericamente pequenas ( hP

1 ). Assim, o clculo do tensor de Ricci pode ser

,

h

h

h

O h 2 , e O h 2 representa os

I

H

I

H

G

F

E

D

C

B

A

assumindo a forma g

@

1 0 0 07

0 1 0 0

0 0 1 0

&

'

e R g$ #

&

% 6 5 "

onde R

R

denotam, respectivamente, o tensor e o escalar de Ricci.2 G

esteja confinada em um raio r, de tal

0 0 0 1

,

(2.2)

4

h

3

, sendo que a deformao h

possu componentes

(2.3)

pode ser obtida eliminando-se as ambiguidades, a partir da aplicao da condio| {

(gauge) de Lorentz, a qual assume hz

solues da Equao 2.1, ou seja, os campos so invariantes sob estas transformaes, mantendo suas caractersticas inerentes. Portanto, a utilizao das mesmas no altera os resultados fsicos do problema, e a Equao 2.1 assume a forma 16 G c4

As equaes 2.5a e 2.5b representam equaes tensoriais de onda, cujas solues tm a

forma h

A

geometria do espao-tempo, em uma direo qualquer, z, com velocidade, c, frequncia

angular,

kc , e nmero de onda, k, s quais d-se o nome de ondas gravitacionais.

x

4

Lembrando que h

onde

2

2 0

2

h

0 ,

2

o operador D'Alambertiano.

e ik

z

ct

,

ou, no vcuo, onde T

0 , tem-se

, e denotam ondas monocromticas, que se propagam na

h

2~

h

T

,

h

. 23

}

|

y

x

y

x

w

u

v

v

onde h hu

h

. Alm disto, uma forma mais compacta da equao de campo

r

q

t

s

r

q

p

o

n

h

h

1 2

h ,

,

0 . Tais transformaes no alteram as

l

k

j

O fato da equao de campo possuir o termo

i

h

g

f

levando-se em conta que hf

1 , linearizando-se, desta forma, a equao de campo.4

g possibilita definir-se um h 2

tal que

m

(2.4)

(2.5a)

(2.5b)

Definido o tensor de Einstein, 1 g 2

a Equao 2.1 pode ser ser escrita como c

4

T

8 G

G

Tal representao (eq. 2.7) permite compar-la Lei de Hooke, P Eh , onde P, E e h representam, respectivamente a presso aplicada, o mdulo de elasticidade do meio (mdulo de Young) e a deformao linear. Por analogia, pode-se concluir que o espao no infinitamente rgido, como prope a Fsica Newtoniana, mas sim extremamente rgido ( log E 42.7 , no SI) [6,7]. Assim, durante a passagem de uma onda

gravitacional a estrutura do espao-tempo oscila segundo a perturbao h

conveniente adotar-se o referencial da onda (ct', x', y', z'), com a finalidade de

simplificar a anlise do tensor perturbao, h

que o tensor perturbao torne-se transverso e sem trao (gauge TT), ou seja, a direo da oscilao evidencia-se perpendicular ao vetor da onda, tem ao nula no eixo do tempo e a amplitude da oscilao alterna-se nos demais eixos perpendiculares. Para se

obter a forma TT para a perturbao necessrio que se defina um tensor P atuar como um operador de projeo, o qual expresso como [8]

Tal operador projeta vetores em um plano ortogonal ao vetor unitrio n , que por sua vez escolhido de forma que sua direo coincida com a direo de propagao da onda. Fazendo com que esta coincida com a direo z do sistema de referncia da onda, tem-se24

P

n n

G

R

R ,

(2.6)

.

(2.7)

t .

. A escolha deste referencial possibilita

, que

.

(2.8)

Esta pode ser expressa em sua forma matricial como

Ao adotar-se esta configurao, o tensor de Riemann assume a forma 1 TT h . 2 ij ,00

ou, em particular, 1 h 2 1 h 2

as amplitudes dos estados independentes de polarizao da onda gravitacional, os quais

chamaremos + (mais) e x (xis),

e25

representam os ngulos de fase

A e

onde h xx

h yy h

A e

i

t

Rx0 y0 R y 0x 0

t

z c

z c

Rx 0x 0

Ri0 j0

R y0y0

t

hTT

0 0 0 hxx 0 h yx 0 0

0 hxy h yy 0

0 0 0 0

.

z c

,

h

P P

h

P

TT

P P

h

, e a forma TT da perturbao obtida pela relao 1 P 2

h

.

,

e h xy h yx h

Ento, as componentes transversais de

n0 0 ,

nj

kj

.

(2.9)

h

so projees representadas por

(2.10)

(2.11)

(2.12a)

(2.12b)

(2.12c)

i

t

z c

so

Uma onda gravitacional no tem efeito sobre um nico ponto. Em outras palavras, a perturbao no gera aceleraes absolutas, s relativas. Ento, necessrio utilizar-se, por exemplo, de um crculo de massas de teste para mostrar o efeito de cada uma das polarizaes, apresentados na Figura 2.1.

Fig. 2.1. Efeito de uma onda gravitacional sobre um crculo de partculas testes ao longo de um ciclo. A direo de propagao perpendicular ao plano do papel e aponta para o observador.

Nota-se que as polarizaes apresentadas pela radiao gravitacional so separadas por um ngulo espacial de 45o, enquanto no caso da radiao eletromagntica este ngulo de 90o. O campo eletromagntico tambm possui dois estados de polarizao

independentes descritos no plano, cada qual invariante sob uma rotao

plano xy, e sua quantizao baseia-se no fton, uma partcula com massa nula e spin

S 1 (onde, S 360 o

conclui-se que os estados de polarizao so invariantes sob rotao 180 no plano xy (Figura 2.1). Ento, a partcula a ele associada o grviton, que tambm possui massa nula possui spin S 2 .

respectivos, e,

, a frequncia angular da onda.

de 360 no

). Aplicando-se a mesma anlise ao campo gravitacional,

26

2.2. GERAO DE ONDAS GRAVITACIONAIS

Similarmente radiao eletromagntica, a radiao gravitacional produzida por cargas aceleradas, sendo que, no caso gravitacional, as cargas so dadas pelas massas. Ao considerar-se um sistema gerador de ondas gravitacionais, para um observador localizado em um ponto longe o suficiente do mesmo, a Equao 2.5a apresenta solues com a forma [8] 4G 4 rc '

Supondo-se que as aceleraes relativas internas do sistema so pequenas, torna-se vlida, tambm, a aproximao2" !

t

Ento, neste caso, 2G rc4' &

2(

t

#

2

)

%

hij

0

xi x j d 3 x

$

#

2

%

T ij

0 i

v vj

T 00 x i x j d 3 x

T 00

2 0c

v2 0 2

no-relativstica ( vi

c ), obtm-se, por uma aproximao Newtoniana, que

(2.14a)

(2.14b)

2c 2 T ij d 3 x .

(2.15)

,

(2.16)

27

denota o tempo retardado. Ao admitir-se que a fonte possui densidade de repouso

0

,e

radiao gravitacional, x

o sistema de coordenadas adotado e o termo

onde r a distncia entre o ponto em que deseja-se estimar h

h

t

T

t

r 3 d x , c

(2.13)

e a fonte geradora da t r c

onde o termo entre parntese definido como o momento quadrupolar I ij da densidade de energia da fonte.

Quando se opta por adotar o gauge TT para ajustar a forma da perturbao ( h ij ) necessrio, para que seja mantida a consistncia das relaes, que o momento quadrupolar siga o mesmo padro. Para tanto, pode-se, inicialmente, tomar o momento quadrupolar reduzido, definido por

TT

ij4

Supondo-se um vetor d transverso direo r que liga o observador fonte, definido6

como d i

T

P ij d j , pode ser obtida a forma TT do momento quadrupolar, expressa como P ij P lm I lm . 28

E, portanto, 2 G TT r t 4 I ij r c c5 8 @ 9 7

hij

TT

Uma onda gravitacional carrega energia, que utilizada para deformar o espao-tempo. Ento, a Equao 2.7 deve ser modificada quando h a presena de radiaoC B A

gravitacional, no vcuo ( T 8 GD

c8

que, por sua vez pode ser representado segundo seu termo espacial

B

A

onde t

corresponde ao tensor momento-energia carregado pela onda gravitacional,

B

A

4

7

B

A

G

7

I ij

TT

P il P jm I lm

.

t

0

5

3

2

1

0

I ij

T 00 x i x j

2 3 xk d x .

(2.17)

(2.18)

(2.19)

0 ), assumindo a forma

(2.20)

28

E, sabendo-se que o fluxo de energia dado por F c t 00 [9], chega-se a c3 h2 h2 16 GW e b d c b a ` Y X

FOG

ou c3 TT TT h h 32 G ij ijh g g f ` Y

A Equao 2.23b indica que se I ij 0 haver fluxo de radiao gravitacional, sendo esta a condio necessria e suficiente para que um sistema fsico emita ondas gravitacionais. De 2.23b pode-se deduzir a luminosidade da fonte, chegando-se a 1 G TT TT I I 5 c 5 ij ij y u t

Como exemplo da gerao de radiao gravitacional, pode-se supor um sistema composto por duas massas pontuais, M1 e M2, em rbita circular com raio a, uma em torno da outra, sendo a1 e a2 as distncias respectivas entre as massas e o centro de massa (0) do sistema, como mostra a Figura 2.2 [10].

x

w

LOG rv

2

FOG d

.

29

s

r

r

q

p

i

FOG

W

V

S

U

T

S

R

I

G

t00

c2 h2 h2 16 G

.

F

E

Calculando o valor do tensor t

Q

P

onde G

OG

refere-se a como a energia carregada pela onda contribui para a mtrica local. , atravs das expresses 2.3, 2.6 e 2.21, obtm-se

F

E

I

H

G

F

E

t

c4 OG G , 8 G

(2.21)

(2.22)

(2.23a)

G TT TT I ij I ij 2 5 8 r c

(2.23b)

(2.24)

Fig. 2.2. Sistema binrio emissor de ondas gravitacionais.

I zz 0 ,

2.25 em 2.24, obtm-se 32 G 5 c5

fcil perceber que o fator G c5 torna o valor numrico da luminosidade, no espectrod

gravitacional, bastante reduzido ( log G c5

mostrar que sob condies especiais, esta emisso pode ter um valor expressivo. Pode-se

LOG

6 orb

onde

orb

t , sendo

orb

2

a

4

I xy I yx

1 2 a sin 2 2

constante ,

a velocidade angular orbital. Substituindo-se as equaes

I xx

I yy

1 2 a cos2 2

2 sistema, e que M 1 a1 M 2 a2 2

a2 . Ento,

constante ,

52.6 , no SI). Contudo, possvel

30

Tem-se que M 1 a1 M 2 a2

a , onde a a1 a2 e

M1M2 , a massa reduzida do M1 M2

(2.25a)

(2.25b) (2.25c)

(2.26)

supor um sistema no-composto cujas dimenses estejam prximas ao raio de Schwarzchild, [7]r Sch c 2 , 2Gg

2.26 fica5 32 c v 5 G cq o

6

LOG

.

Nota-se que sistemas com caractersticas semelhantes s sugeridas para obter-se 2.28 fazem com que o fator, que outrora reduzia a luminosidade, seja invertido. Desta forma, fontes cujas dimenses aproximem-se de seus raios gravitacionais ( r Sch ) convertem uma quantidade considervel de energia em forma de energia gravitacional. Uma viso mais detalhada dos sistemas astrofsicos com estas caractersticas ser apresentada no Captulo 3.

2.3. INTERAO DAS ONDAS GRAVITACIONAIS COM A MATRIA

Como visto anteriormente, uma onda gravitacional deforma o espao-tempo e, para isto, fornece energia para o mesmo. Ento, quando uma onda gravitacional passa ela produz um campo de densidade de foras, [11]2

sobre um determinado material, localizado em uma posio xi, representada em um sistema de referncia arbitrariamente escolhido ( conveniente que se escolha um cuja origem coincida com o centro de massa do detector em questo e com o mesmo tempo31

w

w

jv

t2

x

u

t

s

r

f

x, t

y

OG i

1 2

h ij t

xj ,

n

m

l

k

j

i

como, por exemplo, tomando a 2 r Sch . Fazendoh

f

p

e

r Sch

2 GM c2

M

(2.27)

M 2 e

v r Sch , a Equao

(2.28)

(2.29)

Fig. 2.3. Campo de aceleraes para os dois estados de polarizao quando o ngulo de fase nulo. prprio do laboratrio). Tais foras esto relacionadas ao efeito de mar causado pela onda gravitacional, cujo campo de aceleraes referente s polarizaes mostrado na Figura 2.3.

Pode-se representar este campo de densidade de foras como um gradiente de um| { z

potencial escalar,

x , t , assumindo a forma

A Equao 2.30 mostra que existe uma dependncia espacial quadrtica entre o campo de fora gravitacional e o potencial escalar. Uma alternativa para contornar as dificuldades na resoluo do problema, decorrentes desta dependncia, a utilizao de uma representao adequada, onde a mesma possa ser separada em partes radiais e angulares. Os harmnicos esfricos aparecem com uma soluo conveniente. O produtox j x k pode ser expresso em termos de harmnicos esfricos Ylm de ordem l e grau m .

Sendo que apenas os harmnicos esfricos com l=0 e l=2 que representam os modos monopolares e quadrupolares, respectivamente podem ser excitados por uma onda gravitacional em qualquer que seja a teoria mtrica de gravitao considerada [12]. A Teoria da Relatividade Geral (TRG) prev que somente os modos multipolares, a partir32

j,k

~

f OG x , t i}

i

x, t

i

1 x j h jk t xk 4

.

(2.30)

dos quadrupolares, so excitados5 por ondas gravitacionais. Neste trabalho, a ateno ser voltada aos modos quadrupolares.

Aos harmnicos esfricos quadrupolares so associados m=-2,..,2 modos normais de

oscilao, os quais so denotados por Y 2m

,

. Tais harmnicos esfricos so

representados por nmeros complexos [13], mas, quando convenientemente combinados conduzem aos harmnicos esfricos reais, agora denotados simplesmente por

Ym

,

, com m=1,..,5. As expresses para os harmnicos esfricos reais, bem como

as combinaes necessrias para obt-los encontram-se na Tabela 2.1, nos sistemas de coordenadas cartesianas e esfricas. TABELA 2.1. EXPRESSES PARA OS HARMNICOS ESFRICOS QUADRUPOLARES REAIS, YmHarmnico Esfrico YmY1 Y2 Y3 Y4 Y5

Dependncia linear em Y2m

Coordenadas Cartesianasr2

Coordenadas Esfricas

2

3

Sob esta representao, pode-se obter uma expresso para o potencial escalar que depende apenas das amplitudes h+ e hx e da direo de propagao, dada por [11]

5

Devido s Leis de Conservao e ao fato de no existirem massas negativas, no existem monopolo nem dipolo gravitacional, na TRG. 33

m

15

r,t

hm t Y m

r2

,

,

Y 20

15 16

3z r 2 r 3

2

2

15 16

3 cos

2

1

1

1 Y 2 2

Y 21

15 2xz 16 r2

15 sin 2 cos 16

1

1 i Y 21 Y 2 2

15 2yz 16 r2

15 sin 2 sin 16

2

1 i Y2 2

Y 22

15 2xy 2 16 r

15 2 sin sin 2 16

1 Y Y2 2 22

15 16

x

2

y

2

15 2 sin cos 2 16

(2.31)

onde as amplitudes esfricas hm(t), correspondem ao campo gravitacional local, e so denotadas por [14] 1 2 1 cos 2

interessante frisar que ao ajustar-se o eixo x do sistema referencial do laboratrio para que aponte para o sul, e o eixo z para que coincida com o znite local, a distncia zenital

e azimutal de uma possvel fonte ser dada pelos valores dos ngulos

respectivamente. Porm, preciso na determinao da localizao de uma fonte restringe-se a um nico hemisfrio, portanto, fontes distintas em posies opostas numa mesma direo permanecero indistinguveis [8].

h5 t,

h t

1 3sin 2 2

.

34

h4 t, ,

h t

1 sin 2 cos h t sin sin , 2

h3 t, ,

h t

1 sin 2 sin h t sin cos , 2

h2 t, ,

h t

1 1 cos 2 2

sin 2 h t cos cos2 ,

h1 t, ,

h t

cos2 h t cos sin 2 ,

(2.32a)

(2.32b)

(2.32c)

(2.32d)

(2.32e)

e ,

CAPTULO 3 FONTES ASTROFSICAS DE RADIAO GRAVITACIONALAlguns sistemas astrofsicos aparecem como fortes candidatos a serem observados no espectro das ondas gravitacionais, por possurem as caractersticas mencionadas na Seo 2.2. Tais fontes so caracterizadas basicamente pela amplitude h nas duas

polarizaes h

luminosidade LOG, que denota a taxa de energia que o sistema converte em radiao gravitacional. Presumindo-se uma fonte que irradia ondas gravitacionais isotropicamente, da Equao 2.25, obtm-se a relao

2 LOG 4 r F OG .

E, por sua vez o fluxo de radiao gravitacional que banha um detector alojado em um laboratrio situado na Terra dado por [15]2

Eventos ocorridos a distncias mais prximas que o centro do aglomerado de galxias de

Virgo, que correspondam a h 10

aproximado de 0,3Wm

2

. Isto corresponde a cerca de 1020 vezes o fluxo apresentado

por fontes astrofsicas tpicas em rdio [6]. Porm, verifica-se que somente eventos de curta durao podem liberar energia suficiente para atingir tais valores. Assim, mostra-se til uma classificao para as fontes astrofsicas de radiao gravitacional baseada em seus comportamentos temporais. Elas costumam ser classificadas em trs grupos distintos, que implicaro mtodos diferenciados de processamento e extrao do sinal.

O primeiro grupo abrange as fontes impulsivas, ou sinais bursts, e ocupa uma larga35

10 Hz

21

, e na freqncia de 1 kHz , apresentam um fluxo

FOG 30

2

h

2

hx

2

e pelo fluxo FOG detectado na Terra, ou ainda pela

(3.1)

f3

h 10 20

2

Wm

2

.

(3.2)

regio do espectro das ondas gravitacionais. Seus representantes caracterizam-se pela curta durao dos eventos geradores de radiao gravitacional, e por possurem poucos ciclos coerentes. Este grupo envolve eventos como a coalescncia de sistemas binrios formados por objetos compactos e a formao de buracos negros e estrelas de nutrons atravs de supernovas.

O segundo grupo composto pelas chamadas fontes de banda fina, ou de sinais contnuos, ou ainda denominadas fontes peridicas. Este grupo inclui estrelas de nutrons axi-assimtricas (no simtricas axialmente), em particular pulsares com altas taxas de rotao, estrelas de nutrons que esto acretando matria, e sistemas binrios distantes da coalescncia. Normalmente, estas fontes apresentam-se mais fracas do que as impulsivas, porm, a possibilidade de se integrar o sinal ao longo do tempo apresentase como uma vantagem, no que diz respeito a extrao de sinal do rudo.

O terceiro grupo composto pelo stochastic background, ou fontes estocsticas. Estes sinais so provenientes, por exemplo, do efeito integrado de fontes peridicas fracas em nossa Galxia, de sinais impulsivos oriundos de grandes distncias, ou ainda, de processos cosmolgicos ocorridos nos primeiros instantes do Universo.

Caracterizam-se por uma distribuio aleatria de sinais, cuja extrao do sinal imerso no rudo instrumental de um detector extremamente laboriosa.

Neste captulo sero descritas algumas fontes representativas de cada um dos trs grupos.

3.1. FONTES IMPULSIVAS

Este grupo de fontes pode ser subdivido em duas classes: normais, que apresentam umh ij nulo antes do evento e seu valor retorna a zero aps o trmino do mesmo, e comTT

memria, quando h ij inicialmente nulo, e, aps o evento, mantm um valor constante

TT

no-nulo

h ij .

TT

36

Uma fonte impulsiva tem freqncia caracterstica,

f c , dependente do tempo de

durao,

c

, do fenmeno gerador, dada por1

e que representa a freqncia onde ocorre o pico na distribuio espectral. A amplitude caracterstica, h c , que se refere amplitude da onda que banha um detector, na freqncia f c , pode ser estimada ao considerar-se que o pulso aproximadamente gaussiano, obtendo-se [16]1 2& %

onde 10Mpc representa a distncia ao Aglomerado de Galxias Virgo (assumindo2

H 0 100 kms 1 Mpc 1 , para a constante de Hubble), e radiao gravitacional.1 1 0

Os valores tanto da quantidade de energia emitida em forma de ondas gravitacionais quanto da freqncia caracterstica dependem de propriedades inerentes ao sistema. Portanto, diferentes tipos de eventos astrofsicos preenchem diferentes regies do espectro, cada um deles com diferentes formas de onda. Ento, faz-se necessria uma rpida explanao sobre os mais importantes candidatos deteco, pertencentes a este grupo, e suas caractersticas fundamentais.

3.1.1. Supernova

Acredita-se, com um alto grau de confiana, que uma supernova do tipo II seja proveniente do colapso gravitacional de estrelas massivas e evoludas em objetos compactos como uma estrela de nutrons ou um buraco negro. Supernovas do tipo I, por sua vez, so decorrentes de exploses nucleares ocorridas na superfcie de uma37

)

'

M c$

2

(

#

"

!

hc 2,7 10

fc

2

,c

(3.3)

20

E OG

1 kHz fc

1 2

10 Mpc r

,

(3.4)

E OG a energia convertida em

estrela an branca em um sistema binrio, sobre a qual a companheira deposita material, sendo que a an branca pode, ou no, colapsar para uma estrela de nutrons.

A taxa de ocorrncia observacional destes eventos em nossa galxia de uma do tipo I e uma do tipo II a cada 40 anos. Enquanto que, se a distncia de rastreio ampliada ao aglomerado de Virgo, a taxa de ocorrncia destes eventos sobe para um por ano eventos ano r 3 [16].6 5 4 3

A energia mxima que pode ser liberada por uma supernova

E OG 0.3 Mc8

2

mas, normalmente, apenas uma pequena frao desta energia emitida em ondas gravitacionais durante e pouco tempo aps o colapso. E, mesmo que a maior parte desta energia seja convertida em radiao gravitacional, a Equao 3.4 prev resultados comoA @

h c 109

ondas com amplitudes bastante pequenas, minimizando as chances de deteco. Um indicador de detecbilidade destes fenmenos mais importante que a quantidade de energia irradiada em forma de ondas gravitacionais a razo sinal-rudo, dada porS NB

onde h N f c corresponde amplitude do rudo na freqncia f c . Portanto, ao reduzirse o valor de h N f c a nveis menores que hc torna-se possvel a deteco de ondas gravitacionais oriundas de fontes distantes.D E D E

Ruffini e Wheeler listaram alguns dos processos que contribuem para a gerao de radiao gravitacional em uma supernova [17]:

1) A imploso inicial da estrela deve ser assimtrica, quanto maior o coeficiente de assimetria maior ser o momento quadrupolar da fonte;

D

C

7

,

(3.5)

20

para r 10 Mpc . Isto mostra que mesmo eventos desta natureza produzem

hc hN f c

,

(3.6)

38

2) Fragmentao do ncleo em grandes pedaos devido rotao e ao alto grau de achatamento durante o colapso. O achatamento, decorrente de um colapso assimtrico, pode excitar os modos da estrela de nutrons, ou do buraco negro formado a partir da supernova;

3) rbitas subseqentes de um pedao em torno do outro. Fragmentos orbitandoG F

entre si geram um valor memria;

h ij

TT

0 , caracterizando um sinal impulsivo com

4) Coalescncia e coliso dos pedaos, criando uma cadeia de eventos e fazendo com que mais momento angular seja carregado para fora do sistema pelas ondas gravitacionais;

5) O surgimento de estrela(s) de nutrons fora do ncleo ou nos pedaos.

Considerando uma estrela de nutrons recm-formada com alta taxa de rotao, e modelada como um elipside axi-assimtrico, Lai e Shapiro mostraram que a amplitude caracterstica da onda gravitacional durante a evoluo de um esferide de Maclaurin para um elipside de Dedekind dada (com 20% de preciso) por [18]

sendo R e M o raio e a massa da estrela, respectivamente, e r a distncia entre a fonte e o detector.

Durante o colapso gravitacional podem ocorrer instabilidades dinmicas axi-assimtricas que acarretam deformaes na estrela recm-formada, achatando-a e fazendo com queU T

esta perca massa e momento angular. Tais instabilidades afetam os modos eY Y X W V

chamados de modos barra, que so comumente parametrizados por

K e U representam, respectivamente, a energia cintica de rotao e a energia potencial39

R

Q

R

S

Q

R

Q

P

hc 1,8 10I H

22

10 Mpc R

M 10 M

3 4

r f2 , 10 km

1

(3.7)

2i

,

K U , onde

TABELA 3.1. AMPLITUDE MXIMA E FREQNCIA CARACTERSTICA DA ONDA GRAVITACIONAL GERADA PELOS MODOS BARRA EM ESTRELAS DE NUTRONS RECM-FORMADAS, PARA DOIS VALORES REPRESENTATIVOS DOS RAIOS EQUATORIAIS

Req max |h| VL max |h| GL max |h| AV f c (Hz)

10 km (5 6)x10-19

20 km (2 3)x10-19 (4 5)x10-21 (2 3)x10-22 (1100 1300)

(8 9)x10-21 (4 5)x10-22 (3000 3500)

Fonte: Houser [19]. A massa do ncleo adotada M 1,4 M . As amplitudes mximas so obtidas atravs da considerao de fontes localizadas na Via Lctea (VL), no Grupo Local (GL), e no Aglomerado de Virgo (AV). Os limites inferior e superior devem-se aos valores adotados para o parmetro de energia inicial i ~ 0,28 e i ~ 0,34, respectivamente.v w

pelo(s) brao(s) espiral(is) [20]. Tanto a durao do evento quanto a amplitude e ap

freqncia caracterstica do sinal gravitacional so sensveis ao parmetro

objetos com freqncias de rotao elevadas, esperado que durante a fase elipsoidal jacobiana, a amplitude caracterstica pode ser estimada por [15]3 4t u v

Como pode ser percebido pela anlise da Tabela 3.1, e pela Equao 3.8, supernovas que resultam em estrelas de nutrons com altas taxas de rotao podem aparecer como fontes intensas de radiao gravitacional. Mas, como foi apresentado no incio desta seo, estes eventos raramente ocorrem nos limites de nossa galxia. Ento, para que alguns destes eventos possam ser detectados no decorrer de um ano, a sensibilidade dos40

s

u

t

u

t

s

hc 2,7 10r q

f

i

14 62h

da massa e do momento angular, respectivamente, podem ser expelidos

20

10 Mpc R

M 1,4 M

r f 10 km

1 5

.

f

e

d

c

b

a

`

gravitacional [19]. Modelos que utilizamg

i

0,28 mostram que 4 21

e

i

. Em

(3.8)

Levando-se em conta que os colapsos gravitacionais podem tambm formar buracos negros, o tempo de durao destes eventos pode ser estimado com mais preciso. Assumindo-se que o tempo caracterstico, associado emisso de radiao gravitacional, dado pelo tempo que a onda gravitacional leva para viajar uma distncia d 2 r Sch , em uma regio em um campo gravitacional intenso, obtm-se d c

c

4GM 3 c

.

A Equao 3.9 implica (por 3.3) que ondas gravitacionais produzidas neste tipo de evento devem ter freqncia caracterstica c 8 GM

3

freqncias na faixa de kiloHertz.

A amplitude caracterstica da onda gravitacional emitida no colapso gerador de um buraco negro tambm depende de quo assimtrico o colapso. Mas, tanto o grau de assimetria quanto a freqncia de ocorrncia deste tipo de colapso no so completamente conhecidos. Estima-se que a taxa de formao de buracos negros com baixa massa de, aproximadamente, 1/3 da taxa de formao de estrela de nutrons

[16]. Assim, colapsos que gerem buracos negros com massa da ordem de 10 6 M

tm ocorrncia prevista em ncleos galcticos e a uma taxa de poucos por ano dentro do Universo observado. J a amplitude caracterstica pode ser estimada por [15]1 2

41

hc 5 10

21

1 kHz fc

10 Mpc r

10

3

Assim, buracos negros com massas M

fc

1,3 10 4

M M

detectores atuais deve atingir h 10y x

22

.

(3.9)

.

(3.10)

10 M

devem irradiar energia gravitacional em

s

,

(3.11)

Ento, colapsos ocorridos nos limites do aglomerado de Virgo apresentariam umak

amplitude da ordem de 10

21

na Terra.

Por ser impossvel se obter informaes aps o colapso atravs do espectro eletromagntico (a menos da existncia de disco de acreo), o que se sabe destes objetos puramente terico. O advento da astrofsica de ondas gravitacionais poder trazer informaes jamais obtidas sobre tais objetos.

3.1.2. Espiralao e Coalescncia de Objetos Compactos

Existem inmeros sistemas binrios espalhados nas variadas escalas do Universo. Alguns destes sistemas devem ser formados por objetos compactos como estrelas de nutrons e buracos negros. E, se seus componentes estiverem bastante prximos um do outro, o sistema coalescer rapidamente por perder energia pela emisso de radiao gravitacional. Isto foi provado por Taylor e Hulse, quando utilizaram-se da emisso de ondas gravitacionais para explicar o decaimento do perodo orbital do pulsar binrio PSR1913+16 [21]. Este pulsar, estudado desde 1975, apresenta uma taxa de decaimento do perodo orbital consistente com as predies da Teoria da Relatividade Geral, para as r q p o n m

emisso de ondas gravitacionais dl

dt

2,4 10t

12

. Segundo esta taxa de

decaimento, o sistema ir coalescer daqui a 3,5 10 8 anos [8]. A Figura 3.1 mostra o decaimento do perodo da rbita expressa pelo atraso de fase em segundos. A linha curva refere-se ao previsto pelo Relatividade Geral, e a linha horizontal pontilhada corresponde ao atraso nulo.

As observaes do pulsar binrio PSR1913+16 forneceram informaes sem precedentes sobre as ondas gravitacionais. Os parmetros orbitais do sistema binrio, incluindo as massas do pulsar e de sua companheira, puderam ser determinados. Outras interessantes aplicaes dos dados tm tambm sido exploradas, como por exemplo, a determinao

42

k

j

i

Para colapsos axissimtricos, o valor de

h

g

f

e

d

onde

E GW M c a eficincia da converso de energia em radiao gravitacional.

2

provavelmente no excede 7 10

4

[6].

Fig. 3.1. Medidas do atraso de fase do pulsar PSR1913+16 [8,21].

do limite superior para a densidade de energia de um fundo de ondas gravitacionais de freqncia muito baixa.

Sistemas binrios compactos emitem ondas gravitacionais peridicas, cujas freqncias varrem o espectro atingindo seus valores mximos quando esto prximos coalescncia, sendo [16]

(i) f max 1 kHz , para estrelas de nutrons e;u v z

(ii) f max

10 kHz , para buracos negros em que o maior tem massa M1. M1 Mx w

J a amplitude caraterstica da onda na fase de espiralao [15]1 2 ~ }

43

~

M

|

{

hc 4,1 10y

22

M M

1 3

100Mpc r

100Hz fc

1 6

,

(3.12)

onde M e so, respectivamente, a a massa total e massa reduzida do sistema.

Lai e Shapiro mostraram que a interao gravitacional entre duas estrelas de nutrons pode causar instabilidades hidrodinmicas, que aceleram significativamente a coalescncia dos objetos quando estes se encontram suficientemente prximos um do outro. O modelo, que leva em conta a hidrodinmica dissipativa do sistema, prev reduo no tempo de coalescncia e aumento da amplitude h em sistemas com viscosidade no-nula, como mostra a Figura 3.2 [22].

Fig. 3.2. Forma de onda da coalescncia de um sistema binrio formado por estrelas de nutrons, onde D I . A linha grossa corresponde viscosidade nula. Na linha

fina assume-se uma viscosidade cintica vc 0,5 M r considera-se massas pontuais [1].

1 2

. Na linha pontilhada

A taxa de ocorrncia deste tipo de sistema muito pequena. Uma estimativa mais otimista foi apresentada por Tutukov e por Yamaoka. Utilizando-se de modelos de evoluo estelar, mostraram que a taxa a uma distncia de 200Mpc gira em torno de 100/ano (considerando-se H 0 66 kms 1 Mpc 1 ) [23,24].

44

3.1.3. Queda de Estrelas e Pequenos Buracos Negros no interior de Buracos Negros Supermassivos

Observaes recentes do indcios da existncia de buracos negros supermassivos

M 10 M

6

no centro das galxias. Um exemplo provvel NGC 3115, cujos sinais

seu interior [25]. Existe, portanto, a possibilidade de que os mesmos sofram acreo de matria, aumentando suas dimenses em escalas de tempo da ordem de 108 anos [16]. Alguns objetos podem orbitar prximos o suficiente, a tal ponto de transferirem matria, ou mesmo podem mergulhar dentro dos buracos negros, ou ainda serem espalhados pela forte acelerao do campo gravitacional (efeito catapulta). Em um raio r 10 Mpc temos uma probabilidade considervel de que existam galxias que apresentem estas caractersticas.

A forma de onda emitida por uma estrela ou um pequeno buraco negro que ricocheteia, ou mergulha em um buraco negro supermassivo pode ser modelada com bastante preciso utilizando-se formalismo de perturbao. A freqncia e a amplitude caracterstica da onda gerada, segundo este modelo, so dadas, respectivamente, por [16] 108 M M121

onde M1 a massa do buraco negro supermassivo e M2 a massa do corpo em queda.

3.2. FONTES PERIDICAS

As ondas gravitacionais originrias de sistemas peridicos so caracterizadas pelo45

hc

M2 2 10 2r

M2 M

10Mpc r

fc

1 20M 1

10 4 Hz e

,

observacionais sugerem a existncia de um buraco negro com massa M

2 109 M

no

(3.13)

(3.14)

podemos citar estrelas de nutrons axi-assimtricas (especialmente pulsares com perodos de rotao na faixa de milissegundos), sistemas binrios distantes da coalescncia, e estrelas pulsantes que oscilam entre as configuraes prolata e oblata.

3.2.1. Pulsares de Milissegundos

Um pulsar axi-assimtrico emite radiao gravitacional em duas vezes sua freqncia de rotao ( f c 2f orb ). Se o pulsar estiver precessionando, ento ele pode estar emitindo tanto na freqncia de rotao como no seu dobro.

Os pulsares de milissegundos so caracterizados pela alta taxa de rotao e pelo baixo campo magntico superficial ( 10 8 G contra 1012 G para pulsares ordinrios).

Normalmente, os pulsares novos possuem perodos na ordem de segundos, porm, no h nada que proba um pulsar de nascer com alta taxa de rotao (acredita-se que o pulsar de Crab tenha nascido com um perodo de 16ms) [26]. O discurso padro de que pulsares de milisegundos sejam pulsares velhos que diminuram seus perodos de rotao pela acreo de matria despejada por uma companheira.

A taxa de acreo limitada pela presso de radiao da estrela acressora, e supe-se ser necessrio em torno de 108 anos para um pulsar acretar matria suficiente para diminuir seu perodo para a ordem de milisegundos. Isto implica uma companheira de baixa massa ( M 1 M ), visto que uma companheira de massa significantemente maior evoluiria rapidamente, e no haveria tempo suficiente para que uma estrela de nutrons atingisse uma taxa de rotao maior.

A acreo de matria na estrela de nutrons produz raios-X que tm sido detectados. Recentemente, tm sido diretamente observados pulsares de milissegundos em sistemas LMXB (sistemas binrios com baixa massa emissores de raios-X), dando suporte experimental hiptese de aumento da taxa de rotao por acreo de matria [27].

conjunto discreto de freqncias (

f pequeno). Como exemplos de fontes peridicas

46

A questo da baixa intensidade do campo magntico dos pulsares de milissegundos permanece um mistrio. possvel que a acreo de matria acarrete a reduo do campo, mas nem todas as observaes de pulsares de milissegundos sustentam esta hiptese.

Desvios de simetria nestes objetos podem ser produzidos por diversos fatores, entre eles:

1) A histria de formao da estrela de nutrons. possvel que o colapso tenha sido assimtrico, causando deformidades no objeto remanescente.

2) O campo magntico da estrela pode ser suficientemente intenso, exercendo presso magntica para distorc-la significativamente.

3) O perodo de rotao maior que o perodo crtico6.

A amplitude caracterstica depende da polarizao da onda, que, por sua vez, est ligada orientao do plano de rotao do pulsar em relao ao plano do cu, e pode ser estimada pela expresso1 2

onde e so os ngulos entre o plano de rotao e a linha de visada. Utilizando-se do formalismo para movimentos no-relativsticos, obtm-se

6

O perodo crtico de rotao depende da estrutura da estrela e da dependncia entre a temperatura e a viscosidade, e corresponde ao perodo mximo que o objeto pode ter para que seja mantida a simetria. 47

h0

2 1 cos

2

I xx I yy r

f

2

hc

2 3

h0

, ,r

2

h0

, ,r

2

1 2

,

(3.15)

(3.16a)

r

onde I xx e I yy so as componentes do momento quadrupolar ao longo dos eixos principais no plano equatorial da estrela de nutrons e , o ngulo entre o eixo de rotao e a linha do sinal [16]. Assim, 3.15 nos d2

onde I zz o momento de inrcia da estrela em relao ao seu eixo de rotao, eI xx I yy I zz

sua elipcidade no plano equatorial. Tal valor de difcil estimativa, no havendo modo

de determin-lo observacionalmente. Estimativas tericas prevm valores entre 10

10

2

, variando de acordo com a velocidade de rotao e a existncia de fenmenos

ssmicos na estrela (os starquakes, ou estrelamotos, que so provenientes de

acomodaes do material estelar). Estrelas de nutrons com massas M 1,4 M

possuem I zz 0,3 3,0 10 45 gcm2 , dependendo da equao de estado destas massas [16].

So conhecidas, atualmente, algumas estrelas de nutrons que acretam matria em sistemas binrios, apresentando desta forma assimetria axial. A energia irradiada sob a forma de ondas gravitacionais e de raio-X devem ser proporcional taxa de acreo e, consequentemente, a amplitude caracterstica das ondas gravitacionais proporcional raiz quadrada do fluxo em raio-X [15]

48

hc 7,7 10

20

I zz 10 gcm45 2

h0

4

I xx I yy

f

2

cos

(3.16b)

fc 1kHz

10kpc r0

,

(3.17)

(3.18)

6

e

onde FX representa o fluxo em raio-X recebido na Terra.

Se uma estrela est reduzindo o valor do seu perodo de rotao devido a emisso de ondas gravitacionais, a amplitude mxima recebida na Terra ser dada por [16]1 2

Introduzindo valores observacionais para pulsares de milissegundos na Equao 3.20, chegou-se a um dos melhores candidatos a observao, o pulsar PSR1957+20, que

apresenta P 1,6 ms , P 1,6 10 [7,27].

20

e r 1,5 kpc , conduz a um h max 1,6 10

3.2.2. Estrelas Binrias

Sistemas binrios emitem radiao gravitacional com freqncias extremamente baixas e so as fontes de ondas gravitacionais mais estudadas. possvel, utilizando-se de medidas da massa e de parmetros orbitais, estimar a distncia entre as estrelas e, desta forma, calcular com preciso a emisso de ondas gravitacionais. Verbunt calculou a densidade numrica de alguns sistemas binrios que apresentam perodos curtos [28]. A Tabela 3.2 mostra alguns sistemas binrios, com as respectivas massa M e m, a freqencia orbital, e a amplitude aproximada da onda gravitacional

Excentricidades na rbita geram ondas geram linhas espectrais igualmente espaadas com harmnico dominante na freqncia (assim como os pulsares de milissegundos) igual ao dobro da freqncia orbital, e que apresentam amplitude caracterstica

1,6 10 erg s

h max

4G f I 4 c r

2

E OG38 1

1 f cr

49

hc 2 10

27

300 Hz fc

1 2

FX 10 8 ergcm 2 s1

1 2

,

(3.19)

(3.20)

27

TABELA 3.2. ALGUMAS FONTES BINRIAS DE ONDAS GRAVITACIONAIS DE BAIXA FREQNCIAnumrica 2x10-4pc-3

Tipo WUMa

d (pc) 15 15 45 100

M M 0.6 0.3 0.3 0.04 0.4 0.03 4,0 1.4 0.06

m M 0.3 0.1 0.6 0.6 1.4 1.4 1.4 1.4 1.4

Variveis Cataclsmicas Duplas Degeneradas (AM CVn) LMXB (Pb