1

Frações Algébricas 1. Simplifique as frações algébricas.

a) 22

3

9

ba

ab

b) 24

53

24

3

ca

ca

c) 62

53

30

12

sm

sm

d) 3422

32

25

15

txyz

zyx

e) 62

2

81

9

yzt

zyt

f) 22

12

)(3

bc

bc −

g) )(15

)(452

bx

bx

+

+

h) )(2

)(822 ba

ba

−

+

2. Agora, utilizando a fatoração quando necessário, fatore as expressões e, em seguida,

simplifique as frações algébricas.

a) 3

32

+

+

b

bb

b) zx

zx

33 +

+

c) 204

252

−

−

x

x

d) 44

42

2

++

−

xx

x

e) 213

49142

−

+−

a

aa

f) 16

1232

2

−

+

c

cc

g) 546

81182

−

+−

z

zz

h) 144

142

2

++

−

dd

d

i) xxy

yy

2

442

−

+−

j) xyx

yx

+

−

2

2222

k) babaa

a

33

92

2

+++

−

Uma expressão algébrica, na forma de fração, que apresenta uma ou mais variáveis no denominador (podendo tê-las também no numerador) é chamada de Fração Algébrica.

A simplificação entre o numerador e o denominador de frações algébricas só pode ser feita entre fatores do numerador com fatores do denominador. Logo, o numerador e o denominador de uma fração devem estar na forma fatorada, para que a fração possa ser simplificada. Para relembrarmos os casos de fatoração, acompanhe:

1) Fator comum: ax + ay = a(x + y) 2) Agrupamento: ax + bx + ay + by = x(a + b) + y(a + b)= (x + y).(a + b)

3) Trinômio quadrado perfeito: a² + 2ab+ b² = (a + b)² = (a + b).(a + b)

a² - 2ab+ b² = (a - b)² = (a – b). (a - b) 4) Diferença de dois quadrados: a² - b² = (a – b).(a + b)

2

3. Efetue, apresentando a resposta na forma de uma fração algébrica:

a) bb 3

42+

b) aa 5

472

+

c) xx

3

3

1−

−

d) 3

4

9

52

+

+

− yy

e) 3

4

96

72

−

+

+− xxx

x

f) 4

4

2

22

−

+

− z

z

z

4. Calcular os seguintes produtos:

a) 32

9

4.

2

3

c

xy

x

c

b) x

a

a 3

2.

4

92

+

−

c) 22

66.

3 yx

ayax

a

yx

−

−+

d) 1

22.

2222

+

+

−

+

a

yx

yx

a

5. Calcular os seguintes quocientes: (não esqueça que a divisão “vira” multiplicação pelo inverso da 2ª fração)

a) 12

5

6

4

14

25:

28

50

y

x

y

x

b) 3

2

26

24:

13

8

a

xya

a

yx

c) 22

2

2

2

:yx

xyx

yxy

x

−

+

−

b) ba

ba

ba

baba

+

−

−

++:

222

22

Quando os denominadores das frações algébricas não são iguais, temos que primeiramente igualar os denominadores, por meio da equivalência de frações, para efetuar a adição ou a subtração.

Exemplos: bab

ab

ab

ab

ab

ab

b

b

ab

a 123233

2

3

2

3

2

3

2

==−=−

Caso os denominadores não estejam fatorados, deve-se fatorá-los, para utilizar também a equivalência de frações e efetuar a adição ou a subtração.

Exemplo:124

13

)3(4

121

)3(4

4.3

)3(4

1

3

3

)3(4

1

3

3

124

1

−

=

−

+=

−

+

−

=

−

+

−

=

−

+

− aaaaaaaa

3

6) Simplifique as seguintes funções algébricas:

7) Efetue as seguintes operações com frações algébricas e simplifique o resultado sempre que possível:

8) R$ 14.000,00 deveriam ser distribuídos igualmente a um certo número de

pessoas. Antes de a distribuição ser feita, 10 pessoas foram embora, sendo necessário distribuir apenas R$ 12.000,00 para que cada um recebesse o mesmo valor que receberia no inicio. Qual era o número de pessoas inicialmente?

9) Carlos executou um trabalho em 8 dias. Mário executou o mesmo trabalho em x dias. Juntos, eles executaram o mesmo trabalho em 3 dias. Determine o valor de x.

4

10) Resolva as equações, determinando o valor de “x” sempre que possível.

Simplifique as expressões fatorando o numerador e o denominador: 11) __x2 – 144____ = (x + 12)(x – 12) = x – 12 x2 + 24x + 144 (x + 12)2 x + 12 12) __x2 +22x + 121 = (x + 11)2 = x + 11 x + 11 x + 11 13) x2 - 100 = ( x – 10)(x + 10) = x + 10 x – 10 x – 10 14) x2 + 5x = x.( x + 5) = x x + 5 x + 5 15) 4x – 8 = 4.(x - 2) = 4 x – 2 x – 2 16) 5x + 10 = 5.(x + 2) = 1 10x + 20 10.(x + 2) 2 17) a2 – ab = a.( a – b) = a a – b a – b 18) x2 + 3x = x.(x + 3) = x 4x + 12 4.(x + 3) 4

“Escuto e esqueço; vejo e

recordo; faço e entendo.”

Tao Te King

5

19) 7c – 21 = 7.(c – 3) = 7 c2 – 6c + 9 (c – 3)2 c - 3 20) x2 – 16x + 64 = (x – 8)2 = x – 8 x2 – 64 (x – 8)(x + 8) x + 8 21) m2 – 25 = (m – 5)(m + 5) = m - 5 m2 + 10m + 25 (m + 5)2 m + 5 22) 4x2 – 4x + 1 = (2x – 1 )2 = 2x – 1 4x2 – 1 (2x – 1)(2x + 1) 2x + 1 23) x2 + 6x + 9 = (x + 3)2 = x + 3 x + 3 x + 3 24) a3 – ab2 = a.(a2 – b2) = a.(a – b)(a + b) = a – b a.( a + b) a.(a + b) a(a + b) 25) a2 + ab – ac – bc = a.(a + b) – c.(a + b) = (a + b)(a – c) = a + b a2 – ac a.(a – c) a.(a – c) a 26) 9x2 – 6x + 1 = (3x – 1)2 = 3x – 1 9x2 – 1 (3x – 1)(3x + 1) 3x + 1 27) x2 + 5x + ax + 5a = x.(x + 5) + a.( x + 5) = (x + 5)(x + a) = x + a 2x + 10 2.(x + 5) 2.( x + 5) 2 28) 7a – 7b + am – bm = 7(a – b) + m(a – b) = (a – b)(7 + m) = 7 + m a2 – 2ab + b2 (a – b)2 (a – b)2 a – b 29) x3 – x2 + 6x – 6 = x2.(x – 1) + 6.(x – 1) = (x – 1)(x2 + 6) = x2 + 6 7x5 – 14x4 + 7x3 7x3.(x2 – 2x + 1) 7x3. (x – 1)2 7x3 .(x – 1) 30) 4a2 – 9b2 = (2a – 3b)(2a + 3b) = 2a – 3b 4a2 + 12ab + 9b2 (2a + 3b)2 2a + 3b 31) x2 + 4x + 3 = (x + 1)(x + 3) = x + 1 x2 + 6x + 9 (x + 3)2 x + 3 32) x2 – 6x + 8 = ( x – 2)(x – 4) = x – 4 x2 – 4 (x – 2)(x + 2) x + 2 33) x2 + x – 6 = (x – 2)(x + 3) = x + 3 x2 – 4x + 4 (x – 2)2 x – 2 34) x2 – 5x + 4 = (x – 1)(x – 4) = x – 4 x2 – 2x + 1 (x – 1)2 x - 1 35) 3x2 – 18x + 27 = 3.(x2 – 6x + 9) = 3.(x – 3)2 = x - 3 3x2 – 9x 3x. (x – 3) 3x.(x – 3) x 36) 4x2 + 20x + 25 = (2x + 5)2 = 2x + 5 4x2 – 25 (2x – 5)(2x + 5) 2x – 5

6

37) xy2 – 2xy = xy.(y – 2) = xy y2 – 4 (y – 2)(y +2) y +2 38) x2 – 4x + 4 = (x – 2)2 = x – 2 xy – 2y y.(x – 2) y 39) a2 – 2ab + b2 = (a – b)2 = a – b 2a – 2b 2.(a – b) 2 40) a2 – b2 = (a – b)(a + b) = a – b a2 + 2ab + b2 (a + b)2 a + b

41) Ache o mínimo múltiplo comum (mmc) de: a) (x²-9) e (x²+6x+9)

b) (x²+x), (x²-x) e (x³-x)

c) (x²-4), (x²-4x+4) e (x²+4x+4)

42) Simplifique:

a)

b)

c)

d)

43) Efetue:

a)

b)

44) Efetue as multiplicações:

a)

b)

7

c)

d)

e)

45) Efetue as divisões:

a)

b)

c)

d)