formaÇÃo continuada para professores de...

FORMAÇÃO CONTINUADA PARA PROFESSORES DE MATEMÁTICA FUNDAÇÃO

CECIERJ / SEEDUC-RJ

COLÉGIO: ESTADUAL GETÚLIO VARGAS

PROFESSORA: RENATA DE SOUZA PESSANHA RAMOS

MATRÍCULA: 0918428-4

SÉRIE: 1º ANO DO ENSINO MÉDIO

TUTOR: BRUNO DA FONSECA MONTEIRO

PLANO DE TRABALHO SOBRE FUNÇÕES

[Renata de Souza Pessanha Ramos]

[[email protected]]

1. Introdução:

A proposta deste plano de trabalho é apresentar Funções proporcionando a contextualização

e tendo em mente a necessidade de despertar o interesse do aluno pelo conteúdo.

Para enfatizar a necessidade do estudo de Funções, iremos mostrar que nem sempre a

posição de um ponto é determinada apenas por um número, às vezes é necessária mais uma

informação. Por exemplo, a localização de uma cadeira em um cinema ou teatro é determinada por

uma letra e um número (fila G, cadeira 12). Antes da formalização do conceito de função iremos

destacar situações envolvendo funções no cotidiano. Usaremos várias estratégias para motivar o

aluno a aprender e buscar o conhecimento, tais como desafios, jogos, atividades em grupos para

facilitar a discussão e o trabalho de equipe, avaliações diversificadas, etc.

A utilização de desafios e jogos como estratégias pode ser explicada pelo simples fato que

sempre é uma atratividade para nossos alunos. Trabalho com alunos adoram competir, sempre se

empenham em Olimpíadas, torneios, show de talentos e quer maneira melhor para eles, aproveitar

uma brincadeira para o aprendizado e fixação do conteúdo.

A exposição do conteúdo será dada destacando suas origens, demonstrando sua importância

e oportunizando a participação e contribuição dos alunos.

2. Estratégias adotadas no Plano de Trabalho:

O plano está organizado em cinco aulas de 150 minutos cada da seguinte forma:

Na 1ª Aula, que tem como tema: A linguagem das funções iremos propor aos alunos que

analisem e responda algumas questões envolvendo uma promoção de uma operadora de

telefonia de celular que oferece três planos de pagamento aos seus clientes, depois

formalizaremos o conceito de função. Falaremos também das formas de representação de

uma função e plano cartesiano;

Na 2ª Aula, que tem como tema Imagem de x pela função f e Análise Gráfica iremos

apresentar a imagem de um elemento pelo diagrama de flechas, a imagem de um elemento

pela lei y = f(x) e o estudo do sinal de uma função. Falaremos também de como a linguagem

gráfica é cada vez mais utilizada como meio de comunicação. Nessa aula, iremos explanar

os conteúdos com o auxílio do livro didático e resolver os exercícios propostos pelo mesmo,

após faremos a correção na lousa dos exercícios propostos.

Na 3ª Aula, que tem como tema: Função real de variável real / Zero de uma função

/Variação de uma função iremos proceder como na aula anterior e depois os deixando

realizarem as tarefas nos pequenos grupos e ir acompanhando e tirando dúvidas durante a

aula.

Na 4ª Aula, iremos explanar sobre Funções, áreas e perímetros com papel quadriculado;

Na 5ª Aula iremos falar sobre Funções inversas iremos explanar os conteúdos com o auxílio

do livro didático e resolver os exercícios propostos pelo mesmo, após faremos a correção na

lousa dos exercícios propostos.

Atividade da aula 1:

Habilidade relacionada:

H 70 – Resolver problema que envolva variação proporcional, direta ou inversa, entre

grandezas.

H 112 – Reconhecer o gráfico de uma função a partir da sua lei de formação.

Pré-requisitos:

Matemática do ensino fundamental.

Tempo de Duração:

150 minutos.

Recursos Educacionais Utilizados:

Data show; notebook e folha de atividades.

Organização da turma:

Turma disposta em pequenos grupos (2 ou 3 alunos), propiciando trabalho organizado e

colaborativo.

Objetivos:

Trabalhar a identificação de variáveis, suas relações de interdependência.

Conceituar e exemplificar função.

Estudar o conceito de função variável e gráfico de uma função.

Metodologia adotada:

Nesta atividade queremos estimular nossos alunos a uma reflexão sobre a importância e

aplicabilidade do conteúdo no nosso cotidiano.



H 112 – Reconhecer o gráfico de uma função a partir da sua lei de formação.

Pré-requisitos:

Identificar formalmente uma função.

Tempo de Duração:

150 minutos.


Livro didático e lousa.



colaborativo.

Objetivos:

Reconhecer o domínio, o conjunto imagem e o contradomínio de uma função; determinar a

imagem de um elemento através do diagrama, da lei y = f(x) e do gráfico de uma função;

reconhecer uma função por meio de uma função gráfica.


Explanação da matéria com o auxílio do livro didático, resolução dos exercícios propostos

pelo livro em pequenos grupos para que eu possa circular entre eles tirando possíveis

dúvidas. Correção dos exercícios propostos no quadro com a participação da turma.



H 50 – Analisar crescimento/decrescimento, zeros de funções reais apresentadas em

gráficos.

Pré-requisitos:

Identificar formalmente uma função.

Tempo de Duração:

150 minutos.


Livro didático e folha de atividades.



colaborativo.

Objetivos:

Estudar o sinal de uma função a partir do seu gráfico, conhecidas as abscissas dos pontos de

intersecção com o eixo Ox; determinar o domínio e o conjunto imagem de uma função

através do gráfico.



pelo livro em pequenos grupos para que eu possa circular entre eles tirando possíveis dúvidas.

Correção dos exercícios propostos no quadro com a participação da turma e após um pequeno

trabalho avaliativo para os pequenos grupos formados.



H32 – Resolver problema envolvendo o cálculo de perímetro de figuras planas, com ou sem

malhas quadriculadas.

H33 – Resolver problema envolvendo o cálculo de área de figuras planas, com ou sem malhas.

Pré-requisitos:

Conceito de medida e unidade de medida.

Tempo de Duração:

150 minutos.


Folha de atividades, papel quadriculado e lápis.



colaborativo.

Objetivos:

Apresentar ao aluno a diferença conceitual entre perímetro e área de uma figura plana,

chamando a atenção para a independência dessas grandezas;


Atividade prática em folha de papel quadriculado buscando deixar claro para o aluno a

diferença conceitual entre área e perímetro de uma figura plana, proporcionando a observação da

independência entre as suas variações. Após atividades do livro didático e correção das mesmas na

lousa.



H 112 – Reconhecer o gráfico de uma função a partir de sua lei de formação.

H n – Estabelecer relações entre gráficos de funções.

Pré-requisitos:

Noções iniciais de funções.

Tempo de Duração:

150 minutos.


Livro didático.



colaborativo.

Objetivos:

Estudar composição e inversão de funções.



pelo livro em pequenos grupos para que eu possa circular entre eles tirando possíveis dúvidas.

Correção dos exercícios propostos no quadro com a participação da turma e após um pequeno

trabalho avaliativo para os pequenos grupos formados.

3. Avaliação:

A participação, o interesse, os questionamentos, a disciplina, a pontualidade, a frequência e

a dedicação a cada tarefa proposta ao aluno são considerados como um dos conceitos do

bimestre, chamado de Conceito Ético que varia de 0 a 1 ponto de acordo com os critérios

listados acima.

Os alunos desenvolverão trabalhos (em anexo) para serem entregues em equipes (mesma das

atividades anteriores) com o intuito de avaliar se alcançaram os objetivos propostos.

As equipes entregarão uma série de exercícios com caráter de diagnosticar se alcançaram os

objetivos e as possíveis dificuldades.

E por fim esses mesmos grupos farão um trabalho avaliativo das matérias dadas.

Todos os trabalhos somam 3 pontos e a prova bimestral vale 6 pontos.

4. Referências:

PAIVA, Manoel.

Matemática – Paiva / Manoel Paiva. – 1.ed. – São Paulo: Moderna,2009.

PAIVA, Manoel.

Matemática – 1.ed. – São Paulo: Moderna,2004.

ROTEIROS DE AÇÃO. Formação Continuada para professores de Matemática.

ANEXOS:

Material para ser passado com o auxílio do projetor na aula 1:

Introdução às Funções

Comece pelo que já sabe Uma operadora de telefonia celular fez uma promoção que oferece três opções de

plano de pagamento aos seus clientes.

1. Cite uma característica dos planos mensais A e B que não aparece no plano de recarga C.

2. Qual seria o plano mais econômico para uma utilização de 20 minutos por mês?

3. Determine o custo de 30 minutos de ligações por mês em cada plano oferecido pela operadora. Compare os valores encontrados.

4. Qual seria o plano mais econômico para utilizar 60 minutos de ligações por mês?

5. Pensando nas respostas anteriores, podemos afirmar que o custo de cada plano

depende do tempo utilizado? Justifique sua resposta.

6. Que fatores devem ser considerados para a escolha do plano com o melhor custo-benefício? Comente com os colegas.

1. A noção intuitiva de função

A noção de função está presente em muitas situações do cotidiano. Trata--se de um conceito

matemático que possibilita analisar como duas grandezas envolvidas em determinado fato ou

fenômeno se relacionam. As situações a seguir apresentam algumas noções relacionadas à ideia de

função.

Situação 1. A Companhia Espírito Santense de Saneamento (Cesan) cobra as seguintes tarifas para

o fornecimento de água residencial padrão.

Tarifas de água por faixas de consumo Faixa de consumo em m3 Tarifa em RS|| por m3

Tarifas de água por faixas de consumo

Faixa de consumo em m3 Tarifa em RS|| por m3

Até 15 1,76

De 16 a 30 3,49

Acima de 30 3,89

De acordo com a tabela, a tarifa a ser paga depende da faixa de consumo de água, ou seja, a

tarifa está em função da faixa de consumo.

Situação 2. O comprimento C de um círculo depende de seu raio r. Diz-se que C é uma função de r.

A fórmula matemática que permite calcular o valor de C é dado por C = 2 𝝅 r. Essa é a lei de

correspondência que faz cada valor positivo de r corresponder a um único valor de C.

2. A definição de função

Dada duas variáveis x e y, em que x é a variável independente e y a variável dependente de x,

se para cada valor de x é possível associar um único valor de y, então y está em função de x.

Uma função ƒ é uma lei que faz cada elemento x de um conjunto A corresponder a um único

elemento y de um conjunto B.

De acordo com a definição, é possível estabelecer a seguinte relação que, nesse momento, é

denominada relação ƒ.

Todos os elementos de N p estão associados a algum elemento

de N.

Cada elemento de N p está associado a um único elemento de N.

Essa relação ƒ é uma função que leva cada elemento dos números pares a um único elemento do

conjunto dos números naturais.

Relação que transforma ou produz

Suponha que exista uma máquina que aceita na entrada números naturais e como saída é

produzido o triplo desses números. O número que sai depende do número que entra. Assim, a

máquina representa uma função ƒ que, a partir de x, produz y. Também pode ser dito que representa

uma função ƒ que transforma cada número x em um número y tal que y = 3x.

Entrada

x 0,1,2,3,4,5,6,7,8,..

Saída

y ou

f(x) 0, 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, ...

3. Função e gráfico

Plano cartesiano

O sistema cartesiano é formado por duas retas reais perpendiculares entre si e que se cruzam

no ponto zero. Esse ponto é denominado origem do sistema cartesiano e é frequentemente

denotado por O. Cada reta representa um eixo e são nomeados por Ox e Oy. Sobrepondo um

sistema cartesiano e um plano, obtém-se um plano cartesiano, cuja primeira vantagem é associar a

cada ponto do plano um par de números reais. Assim, um ponto A do plano corresponde a um par

ordenado (m, n) com m e n reais.

O eixo horizontal Ox é chamado de eixo das abscissas e o eixo vertical Oy, de eixo das

ordenadas. Esses eixos dividem o plano em quatro regiões chamadas quadrantes.

Para localizar os pontos no plano cartesiano utiliza-se a intersecção de retas paralelas aos

eixos Ox e Oy. Analise os pontos no plano cartesiano abaixo.

A origem O corresponde ao par ordenado (0, 0).

O par ordenado (2, 4) corresponde ao ponto A. Observe que a primeira coordenada é obtida

no eixo Ox e a segunda coordenada, no eixo Oy .

O ponto C corresponde ao par ordenado (24, 23); 24 é chamado de abscissa e 23 de

ordenada do ponto C.

Os pontos E e F estão sobre o eixo das abscissas e, portanto, têm ordenadas iguais a zero:

E(-2, 0) e F(

,0).

Os pontos D(0, -5) e B(0, 3) têm abscissas iguais a zero, pois estão localizados sobre o eixo

das ordenadas.

O plano cartesiano é o contato imediato entre a geometria e a álgebra. Nele há uma

correspondência entre pontos do plano e pares ordenados de números reais, de modo que todo ponto

no plano tem seu correspondente par ordenado, assim como um par ordenado tem um ponto

correspondente no plano. Dessa forma, problemas geométricos podem ser interpretados

algebricamente e problemas algébricos podem ser interpretados geometricamente.

Material para a aula 3: Folha de atividades – trabalho.

1) Dada a função f(x) = 3x + 5, determine ( ) ( )

.

2) Considere f: IR → IR dada por f(x) = 3x – 2 e determine o número real x de modo que f(x) = 0.

3) Determine o domínio das seguintes funções reais:

4) Localize os pontos A (-4,-2); B (-2,6); C (1,4); D (-2,-5); E (-3,-3); F (4,0); G (0,-6); H (2,5); I (0,3) no

plano cartesiano.

5) Um quadrilátero tem por vértices os pontos R (1,2); S (1,-3); T (4,-3) e V (4,0). Desenhe esse quadrilátero no plano cartesiano e dê o seu nome.

6) No plano cartesiano, encontre os pontos A (4,0), B (0,4), C (-4,4), D (-8,0), E (-4,-4) e F (0,-4), e

responda: a) Qual a figura geométrica formada pelos pontos ABCDEF? b) A figura é regular? c) Qual sua área?

7) Localize no plano os pontos A (-5,2); B (0,2); C (0,0) e D (-5,0). Supondo que cada unidade de

comprimento dos eixos x e y corresponda a 1 cm, pede-se: a) o nome do quadrilátero ABCD; b) o perímetro desse quadrilátero; c) a área do quadrilátero; d) a área do triângulo ADC.

8) Partindo da origem de um plano cartesiano, encontre o tesouro marcando um X no final do percurso

descrito: ande 20m para a direita, 10m para cima, 30m para a esquerda e 25m para baixo. Onde está o tesouro?

9) No plano cartesiano abaixo, dê os pares ordenados de cada ponto:

COLÉGIO ESTADUAL GETÚLIO VARGAS Trabalho Avaliativo de Matemática NOTA: Profª : Renata Aluno(a):__________________________________________________ nº: ____ Ensino Médio 1ºBimestre 1º ano Turma:_______ Data:__________

Material para a aula 4: Folha de atividades .

Atividade 1

1. Pegue uma folha de papel quadriculado, desenhe e pinte três retângulos diferentes, de

maneira que cada um deles contenha 24 quadradinhos inteiros. Observe se os retângulos

desenhados pelos seus colegas são iguais aos seus.

2. Considere como unidade de perímetro (u.c.) o lado de um quadradinho desta folha e, como

unidade de área (u.a.), a área de um quadradinho. Preencha a tabela com as áreas e os

perímetros de cada retângulo desenhado anteriormente.

3. Desenhe e pinte no papel quadriculado três figuras quaisquer que possuam área 12 u.a. e

preencha a tabela com seus perímetros.

4. Comparando as tabelas preenchidas nos itens b e c, o que você pode observar com relação

a área das figuras e dos retângulos desenhados? E com relação aos perímetros? Discuta

sobre isso com seus colegas.

5. Agora, desenhe e pinte três figuras quaisquer que tenham perímetro 30 u.c e descubra as

suas áreas registrando esses valores na tabela abaixo.

6. Os desenhos dos seus colegas são iguais aos seus? E as áreas das figuras desenhadas por

eles? Converse com seus colegas o que vocês podem concluir a partir disso.

7. A partir das discussões anteriores, você saberia dizer se dada uma das medidas (área ou

perímetro) é possível determinar a outra? Pergunte o que seus colegas pensam sobre isso e

troquem opiniões.

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