coordenadoria de educação matemÁtica 9º ano 2º … · deram uma ideia para resolver meu...
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Secretaria Municipal de Educação Coordenadoria de Educação
ESCOLA: ____________________________________________________
ALUNO: _____________________________________ TURMA: ________
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EDUARDO PAESPREFEITURA DA CIDADE DO RIO DE JANEIRO
CLAUDIA COSTINSECRETARIA MUNICIPAL DE EDUCAÇÃO
REGINA HELENA DINIZ BOMENYSUBSECRETARIA DE ENSINO
MARIA DE NAZARETH MACHADO DE BARROS VASCONCELLOSCOORDENADORIA DE EDUCAÇÃO
MARIA DE FÁTIMA CUNHAMARIA SOCORRO RAMOS DE SOUZA
COORDENADORIA TÉCNICA
LÍLIAN NASSERCONSULTORIA
SILVIA MARIA SOARES COUTOVANIA FONSECA MAIA
ELABORAÇÃO
LEILA CUNHA DE OLIVEIRASIMONE CARDOZO VITAL DA SILVA
REVISÃO
CARLA DA ROCHA FARIALETICIA CARVALHO MONTEIRO
MARIA PAULA SANTOS DE OLIVEIRADIAGRAMAÇÃO
BEATRIZ ALVES DOS SANTOSMARIA DE FÁTIMA CUNHA
DESIGN GRÁFICO
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MATEMÁTICA
9º ANO
ASSUNTO PÁGINA
Equação de 2º grau –estudo do discriminante 37
Equação de 2º grau –soma e produto de raízes 41
Equação de 2º grau –composição 44
Equação de 2º grau –resolução por soma e produto
46
Triângulo retângulo –relações métricas 48
Triângulo retângulo –teorema de Pitágoras 53
Desafio 61
Tratamento da Informação – gráfico e tabela
62
ASSUNTO PÁGINA
Equacionando situações 3
Inequação de 1º grau 7
Equação de 2º grau –forma reduzida 11
Equação de 2º grau –coeficientes 16
Equação de 2º grau –verificação de raízes 17
Equação de 2º grau –incompleta 20
Equação de 2º grau –por fatoração 28
Equação de 2º grau –fórmula de Bhaskara 29
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Boas novasNossa escola vaipassar porreformas até ofim do ano.
A sala deleitura seráreformada?
Ela vai ganhar ladrilhos novos!
Disponível de peadsapiranga2007-1-seminario2.pbworks.com em 30/1/11
Uma das paredes da sala de leitura da escola que D. Áurea dirige, com 12,6m² de superfície, é azulejada com peças de cerâmica decoradas.
D. Áurea pretende mandar azulejar as outras paredes com ladrilhos numa cor lisa que combine com os decorados.
Essas peças lisas devem ter a mesma dimensão das peças decoradas.
Veja abaixo a foto da parede decorada da sala de leitura.
Observe! Os ladrilhos são quadrados.
As paredes que serão ladrilhadascom peças lisas têm umasuperfície total de 36m².
D. Áurea tem algumas dúvidas.
Quantosladrilhos serãonecessários?
Tenho que gastarmenos de R$ 400,00nessas peças decerâmica.
Foto
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Nossa! D. Áurea está muito cansada.
Vamos ajudá-la a resolver esse problema.
Equacionar? O que é isso?
Representar, matematicamente, cada situação através de uma expressão. Veja!
Sabe-se que: (consulte a página anterior)
a) a superfície com as peças decoradas mede ....... m². b) há .....ladrilhos quadrados compondo esta superfície.
Como não sabemos a medida do lado do ladrilho vamos representá-la por x.
A medida de uma superfície quadrada é determinada por: lado X lado, isto é, a medida do lado ao .............................
Como a medida do lado da peça em questão está sendo representada por ........., então a área do ladrilho é ..........A superfície da parede está composta por ........... ladrilhos, logo sua área pode ser representada por ......... x².
Como a medida da superfície da parede é .......... m² e sua representação algébrica é ........., temos a igualdade:
( I ) ........x² = ........
Equacionamos a situação. Agora, é só resolver!
Precisamos equacionar cada
situação.
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Legal! Equacionar uma situação é escrevê-la, matematicamente, utilizando uma expressão algébrica que a represente.
Sempre que quisermos representar a área de 35 quadrados usaremos a expressão .........
A equação é formada pela expressão igualada ao valor total da superfície, que, no nosso caso, é: ......................
Eu prefiro trabalhar com frações. Portanto, resolvi dessa maneira.
O lado do ladrilho deve medir .......... m.
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0,36y = 36 é o mesmo que
Então: .......... y = ................. 36y = ................. y = ...........
D. Áurea precisa comprar ............ ladrilhos de cor lisa.
E quantas peças lisas D. Áurea precisa comprar?
Sabemos que elas irãocobrir uma superfície totalde ......m².
O que queremos descobrir é o ...................... de ladrilhos que serão usados.
Logo, vamos representá-lo por y.
Se cada ladrilho tem área igual a ........ m², podemos representar a superfície total que eles ocuparão pelaexpressão algébrica .............................
Equacionando, tem-se: ( II ) ................. y = 36
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Andei pesquisando o preço de ladrilhos.
Veja!
Não podemos esquecer que D.Áurea terá que gastarmenos de R$ 400,00.
LOJA ALOJA B
Promoção
R$ 3,90cada um
Com R$ 400,00, quanto ela poderá pagar por cada ladrilho?
Vamos escrever a expressão algébrica querepresenta esta situação.
Sabe-se que são necessários ............... ladrilhos lisos para cobrir a superfície desejada.
Representando o preço de cada ladrilho por p, o preço total a pagar pelo total de ladrilhos é ............. p.
Montando a inequação, tem-se: ..............p < .............
Resolvendo: p < ..............
O preço de cada ladrilho deve ser inferior a R$ ..............................
Dessas três lojas pesquisadas, em que lojas D. Áurea poderá comprar essas peças?................................................................................................................................................................................
Opa! Não podemos igualar essaexpressão a 400, pois o gasto total teráque ser menor que 400 e não igual.
Certo, amiga! Neste caso nãousamos uma equação e simuma inequação.
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Este é Pedro. Ele faz pipas para vender.Pedro vende cada pipa por R$ 8,00.Ele gasta R$ 5,00 com material para cada pipaque faz.Se Pedro quer ganhar mais de R$ 30,00 nesta semana, quantas pipas deverá vender?
Vamos ajudar o Pedro.
Para descobrir quanto ganhará ao vender x pipas, ele deverá .................. o gasto com as pipas do dinheiro
arrecadado com a venda das pipas.
O lucro de Pedro pode ser representado por : 8........ – ............ = .................
Como ele quer ganhar mais de ................. reais., a sentença matemática que representa esta situação é ........x > ......
Resolvendo, 3x > ......... x > ........ .
Então, Pedro deve vender mais de ........ pipas esta semana para ganhar a quantia que deseja.
Se Pedro vender 15 pipas essa semana, quanto irá ganhar?
Neste caso, o valor de x será ....... 3 . ........ = ..........
Se Pedro vender 15 pipas, ele ganhará .......... reais.
Essas meninas me deram uma ideia para resolver meu problema.
Tenho que vender x pipas.Como cobro 8 reais por cada pipa, se vender todas elas, receberei ................x reais.Para fazer cada pipa, gasto ............reais, portanto, o gasto que terei para fazer todas essas pipas será de 5 .............
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Vamos fazer mais atividades queenvolvam inequações?
1) Márcio e Ana querem comprar um notebook que custa um pouco mais de R$ 900,00. Márcio pode economizar, por mês, R$ 70,00 e Ana consegue economizar R$ 50,00, mensalmente.Quantos meses, no mínimo, eles devem economizar, para poder comprar esse notebook?Represente por n o número mínimo de meses em que eles devem economizar para poder comprar o notebook.
Pensando...a) Em n meses, Marcio deverá economizar .......... n.b) Em n meses, Ana deverá economizar .......... n.c) Juntos, eles deverão economizar .........n + .......n = ......... n.d) O valor total por eles guardado deverá ser .......... que 900.e) Então, 120 n ....... 900.f) Logo, n > ..........g) Eles poderão comprar o notebook, após economizar durante 7 meses? ................................h) Se eles economizarem, durante .......... meses, eles poderão comprar o notebook desejado.i) Discuta com seus colegas formas diferentes de economizar dinheiro, de modo que possam ampliar o poder de compra.
2) Uma piscina será construída num terreno com menos de 14 m de perímetro. Sabendo que, na largura, deve medir menos 1 metro que o comprimento, quais os valores possíveis para o comprimento dessa piscina?
Pensando...a) Sabemos que perímetro é o contorno do terreno, isto é, o dobro do comprimento somado ao dobro da ..........................b) Considerando o comprimento da piscina como y, a largura pode ser representada por y - ..............................................c) Então, o perímetro pode ser representado por : 2 ....... + 2 (.........– 1 ) = 2.......+ 2 ........ – ............. = .............y - ...........d) A sentença que podemos utilizar para calcular o comprimento (y) é: 4y – 2 ..........14.e) Calculando: .......... < ................ 4y < ............ y < .............f) O comprimento deve ser ............... que 4m.g) Se o comprimento da piscina for 2,5 m, sua largura deverá ser ..............m.h) Com essas medidas, o perímetro da piscina será de ............m. i) A largura da piscina poderia ser de 3m?.............. Por quê? .....................................................................................................................................................................................................................................................................................................
Aqui, também. A resolução da INEQUAÇÃO não é a solução direta do problema.
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QUESTÃO 12Carla ainda tem R$ 150,00 de seu salário. Antes de receber o próximo, ela deverá pagar uma conta no valor de R$60,00 e comprar um presente para sua amiga.
Se o preço do presente for representado por x, para resolver esta questão, Carla deverá calcular:
(A) x + 60 = 150.(B) x + 60 < 150.(C) x + 60 > 150.(D) x + 60 ≠ 150.
Vou tentar resolver esta questão da prova do 2º bimestre de 2010.
Vamos ajudar o Pedro a resolvê-la.
Pensando...a) Carla deverá gastar todo o dinheiro que possui com o pagamento da conta e com a compra do presente? ...................b) Ela deverá gastar mais ou menos que R$150,00? ...................c) Então, considerando o preço do presente como x, o gasto com a conta e o presente deverá ser ...................que 150.d) A sentença que podemos utilizar, para calcular o preço do presente, deve ser .............. + 60 .................. 150.e) A opção correta é a letra ............... 10
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Selecionamos três diferentes sentenças matemáticas, já vistas nas páginas anteriores:
(I) 35x² = 12,6.
(II) 0,36y = 36.
(III) 100p < 400
Observei que a 1ª e a 2ª sentenças são equações, mas de graus diferentes. A 2ª é uma equação de 1º grau, pois o maior expoente da incógnita é ......... Já a 1ª equação é de ........... grau, pois o maior expoente da incógnita é ..... A 3ª sentença é uma inequação.
Vejamos outras situações que podemos representar por equações de 2º grau.
1) Uma casa ocupa uma superfície quadrada de um terreno.
Na figura ao lado, está representada a superfície do terreno.
A figura mais escura mostra a área ocupada pela casa.
As dimensões assinaladas devem ser consideradas em metros.
2
2Vamos analisar os dados do problema.
a) A casa ocupa uma superfície quadrada, em que a medida do lado está representada por .............. metros.
b) A largura total do terreno pode ser representada pela expressão: x + ........ e o comprimento, também, pela expressão: ......................
Deduzindo...
a) De acordo com as medidas expressas no item b, podemos afirmar que o terreno também ocupa uma superfície ...........................
b) A área do terreno pode ser expressa pela expressão ( ..............)².
c) Sabendo que a área total do terreno é de 144m², a equação que expressa a dimensão da superfície ocupada pelo terreno é: ( .................)² = ..................
d) Desenvolvendo o quadrado da expressão, temos: x² +4........................= .............
e) Zerando-se a igualdade, a equação fica: x² + .....................- 144 = 0, isto é, (IV) x² + ....................= 0.
Esta é a forma reduzida da equação que expressa a área total desse terreno. 11
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Vamos compreender e transcrever, matematicamente, cada parte desse problema.
a) Como não conhecemos esse número, vamos representá-lo por .............b) Diferença é o resultado da operação ..........................
c) O quadrado desse número pode ser representado por ........
d) A terça parte desse nº pode ser representada por
Montando a equação, temos: x² - = 34.
Igualando-se os denominadores ............x² - x = .............Zerando a expressão, temos: ........... – .......... – ........... = 0.
Logo, essa equação de 2º grau, na forma normal, é: (V) ..........x² - x - .............. = 0.
2) A diferença entre o quadrado de um número e sua terça parte é 34.
Como posso equacionar essa
situação?
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3) Um “matemágico” apresentou o seguinte truque:
Do quadrado de um número vou retirar o
seu triplo e nada restará.
Represente este truque através de uma equação na forma normal.
Dicas:
a) Represente esse número por uma letra. ....................
b) Represente o quadrado desse número e depois o seu triplo. ....................
c) Arrume a expressão. ................
d) Se nada restou, você deve igualar a expressão encontrada no item c a ..........................
e) A equação reduzida, que representa esta situação é: (VI) x² - ...... x = 0.
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QUESTÃO 3A diferença entre o quadradode um número e essenúmero é 3,75.Como posso calcular essenúmero?
Imagem retirada em 24/6/10 de http://mundosebrae.wordpress.com/2008/10/19/abri-minha-empresa-e-agora/
Veja a dúvida de Vitor no quadrinho a seguir.
Das equações abaixo, a que ele deverá usar para calcular esse nº é:
(A) 2x - x = 3,75.(B) x² = 3,75.(C) x² -1 = 3,75.(D) x² - x = 3,75.
Pensando...
a) Diferença é o resultado de uma.........................entre dois números.
b) Esse número está representado por ................
c) O quadrado desse número é representado por ..................
d) A diferença entre o quadrado de um número e esse número é representada por ............. - ...............e) O valor numérico dessa diferença é .......................
f) Logo, a equação que representa esta situação é ................... - ........................= ........................
g) A opção correta é a letra .................
Veja esta questão da prova do 2º bimestre de 2010.
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QUESTÃO 4Após vários cálculos, os engenheiros chegaram a esta equação. Veja no quadrinho:
http://www.mwatts.com.br/construtora/monta.php?pagina=produtos.html
3x ( x – 2 ) + 3 = 7
A equação reduzida, equivalente à equação encontrada por eles, é:(A) 3x² – 6x – 4 = 0.(B) 3x² – 10 = 0.(C) 9x – 4 = 0.(D) 3x2 – 6x = 0.
Arrumando a equação...
a) 3x ( x – 2 ) + 3 = 7 3x . ................ – 3x. ............. + 3 = .....................
b) Temos, então, 3 ...........² - ........... - ............. = 0.
c) A equação reduzida é 3 ..........² - ............. - .......... = 0.
d) A opção correta é a letra ................
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Você percebeu que ...uma equação de 2º grau, na forma normal, é formada por umpolinômio reduzido e organizado em ordem decrescente dosexpoentes da incógnita e igualado a .....................?
Listando as equações de 2º grau que vimos, neste caderno, até o momento, tem-se:
(I) 35x² = 12,6 que, na forma normal, é: ...........................
(IV) x² + 4x – 140 = 0.
(V) 3x² - x - 102 = 0.
(VI) x² - 3x = 0.
Observei que as equações (I) e(VI) não possuem todos ostermos como as equações (IV) e(V).Elas são equações de 2º grau?
As equações (IV) e (V) são equações de 2º grau completas. Já as equações (I) e (VI) são incompletas e os coeficientes dos termos que não aparecem são iguais a zero.
Coeficientes?????????O que quer dizer?
A forma geral de uma equação de 2º grau é determinada por:
ax² + bx + c = 0, podendo variar a incógnita ( x, y, z, n...).As letras a, b e c representam os valores constantes que acompanham cada termo.
O a representa o número que multiplica o termo em x².
O b representa o número que multiplica o termo em x.
O c representa o número que multiplica o termo em x0. Como todo número elevado a zero é igual a ............ e
1 x c= ................., então, no terceiro termo, só aparece o valor constante.16
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Observando a equação 4x² + x - 32 = 0, podemos afirmar que: a = ....... , b = ....... e c = ................
O coeficiente b não aparece!?
Ah! O número que multiplicado a x que resulta no próprio x só pode ser o ...................
Determine os coeficientes nas equações de 2º grau abaixo:
35x² - 12,6 = 0 a = ........... , b = .......e c = .............. x² + 4x – 140 = 0 a = ......, b = ........ e c = ..........
3x² - x - 102 = 0 a = ........ , b = ........e c = ............. x² - 3x = 0 a = ........ , b = ............ e c = ..............
Lembra do problema sobre o terreno e a casa?
Revendo... 2
2
Será que o lado (x) da superfície quadrada,ocupada pela casa, mede 12 m?
Vamos pensar....
a) A área total do terreno é ............... m².
b) A equação, na forma normal, que representa essa situação é: ..........................................c) Se x = 12, basta substituir o x por 12 na equação.
Sendo assim: ...........² + 4 . ......... – 140 = ........... + .......... – 140 = ...............
O valor encontrado foi zero? .......................
Então, o valor de x pode ser 12 ? ...................... 17
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.........² + 4 . .......... – 140 = ............ + ............ – 140 = ............
O valor encontrado foi zero? ..............
O valor de x pode ser 10? ..................
Assim, a medida do lado da superfície quadrada ocupada pela casa é de ........m.
Tente agora x = 10.
Lembra desse problema?
A diferença entre o quadrado de um número e sua terça parte é 34.
Agora, a dúvida do personagem é outra. Veja!
Esse número pode ser 6?
Pensando...
a) A equação de 2º grau que representa esta situação é: .............................
b) O número envolvido está representado por ......... na equação.
c) Substituindo a incógnita por 6, temos:
3 . ........² - .......... - 102 = ............. - ........... - 102 = ............
d) O que você descobriu?
...........................................................................................................
E do “matemágico”, você lembra? Do quadrado de um número vou
retirar o seu triplo e nada restará.
Utilizando a equação de 2º grau: reduzida ........................, que representa esta situação, verifique se esse nº pode ser 9, 3, zero ou -3.
O que descobriu?
Desses números, dois servem. Mas isto é possível?
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A equação de 2º grau, em geral, possui 2 raízes.
Duas raízes?????O que são raízes?
Raízes são os valores da incógnita que tornam a equação verdadeira. Veja!
Na equação x² - 3x = 0, descobrimos que x pode ter dois valores: x = ......... e x = ..............
Qual é o número cujo quadrado é 49?
É 7, claro! Pense bem! Sabemos que 7² é 49. E quanto é (-7) ao quadrado?
Essa me pegou!!!!!Se x² = 49, então x = ...... ou x = - .....
Ah!
Então 7 e -7 são as ....... daequação x² - 49 = 0.
O melhor vem agora!Vamos descobrir como calcularas raízes dessas equações ...
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Pensando...
a) Se o nº desconhecido for representado por x, então o quadrado desse nº será representado por ................
b) A representação do quádruplo do quadrado de um nº é ...................
c) A igualdade que representa a questão proposta por Marina é ............ = .............
d) A equação reduzida que se obtém é ............................
e) Esta equação é de 2º grau? ................. Por quê? ....................................................
f) A equação é completa ou incompleta? ........................... Por quê? ........................................................................
g) Como 4x² = 64, então x² = .........................
1. Marina e Júlio são jovens inteligentes. Cada um, porém, vive tentando provar que é mais esperto que o outro.
A foto mostra um dos momentos da última discussão que tiveram.
Você que se acha tão bom, diz aí...Qual é o nº cujo quádruplo do quadrado é 64?
Calma!!!!!Possopensar?????
Se um número ao quadrado é 16, então esse nº é É isso aí! São dois números: ....... e .......
Reparou que esses nos são opostos?
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2. A área do quadrado ao lado é 144. Qual é a medida do lado desse quadrado? y
a) A área desse quadrado pode ser representada por ..................
b) A equação de 2º grau é ...........................
c) As raízes dessa equação são: y = ........... e y = ..............
d) A medida do lado desse quadrado pode ser qualquer um dos valores encontrados para y? .....................
e) Justifique sua resposta. ...........................................................................................................................................
3. Vamos encontrar o número que o ”matemágico” propôs nas atividades anteriores.
Do quadrado de um número vou
retirar o seu triplo e nada restará.
a)Descobrimos que a equação reduzida é: .....................................
b)Vimos também que ela é uma equação de 2º grau incompleta, pois o coeficiente ......é igual a zero.
Como podemos resolver essa equação?
www.gfunchal.com.br/.../2010/03/duvida.jpg- retirado em 21/5/10
Lembrando...
a) Fatorando a expressão x² - 3x, temos: x ( .............) = 0.
É um produto: x multiplica a diferença x - ........ .
Discuta com seus colegas e verifique se é possível encontrar um produto zero multiplicando-se dois números que não sejam nulos.
Se o produto de 2 valores é zero, pelo menos um desses valores tem que ser ................
Retirado de portalsaofrancisco.com.br em 22/5/10
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Então, x é zero ou x – 3 é zero...
Já descobrimos um dos valores de x, isto é x = ...
E em x – 3 = 0, qual seria o valor de x ?
Se x – 3 = 0, então x = ............
As raízes dessa equação são x = ......... e x = ..........
O número pensado pelo matemágico pode ter sido ..........ou ............
4. Uma empresa produz n peças por hora. Sabe-se que o quadrado de n é igual ao seu quádruplo.
Quantas peças esta empresa produz?
Pensando...
a) Podemos representar o quadrado de n por ..............
b) Podemos representar o quádruplo de n por ....................
c) Igualando-se as expressões, temos: ........... = ..................
d) A equação reduzida, formada por essas expressões, é: ............................
e) Fatorando-se a expressão, temos: n ( .......... - ............) = 0.
f) As raízes dessa equação são: n = .......... e n = ...............
g) Os dois valores de n respondem à questão proposta? .......................
h) Justifique sua resposta.
................................................................................................................................................................................................
i) Essa empresa produz ............... peças por hora.22
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Veja como é fácil resolver esta questão da prova do 2º bimestre de 2010!
QUESTÃO 9
As raízes da equação 3x² + 15x = 0 são
(A) -3 e -5.
(B) 0 e -5.
(C) 0 e 5.
(D) 3 e 5.
Calculando...
a) 3x² + 15x = 0 3......... ( ..................) = 0
b) Então: ........... = 0 ou ( .................)= 0.
c) Se 3x = .......... ........... = 0
d) Se ( .................) = 0 x = ................
e) Os valores encontrados para x são ......... e ..................
f) A opção correta é a letra ................
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5. Sendo a equação 3w² + 5w = 0, determine a provável localização de sua raiz não nula na reta numérica abaixo.
-6 -5 - 4 -3 -2 -1 0 +1 +2 +3 +4 +5 +6 +7
A B C D E
e) Para determinar a localização de um nº fracionário na reta numérica, basta representá-lo na forma decimal, isto é, dividir o numerador pelo .................................
• Neste caso, o quociente, com uma casa decimal, é ..............
• Sendo assim, a localização dessa raiz, na reta numérica, pode ser determinada pela letra ............
As equações das atividades 3, 4 e 5 (Calculando...) são incompletas porque o coeficiente ..... é zero.Você reparou que há algo em comum nesse caso quanto às raízes? Discuta com seus colegas e escreva o que descobrirem.
Resolvendo...
a) 3w² + 5w = w( ....w + .......)= 0
b) Então, w = .......... ou 3w + ....... = ...............
c) Temos: 3w + ......... = ...... 3w = ....... w =
d) As raízes da equação são w = ......... e w =
A raiz não nula é um nº ...................................
............................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................
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A questão abaixo é da prova do 2º bimestre de 2010. Vamos resolvê-la juntos e fixar a localização de pontos na reta.
QUESTÃO 1Na reta numérica abaixo, há quatro valores assinalados pelas letras A, B, C e D. Qual delas pode estar indicando a
localização do número 1,2?(A) A.(B) B.(C) C.(D) D.
Pensando...
a) Nesta reta numérica, o espaço entre 0 e 1está dividido em ......... partes iguais, bem como o espaço entre 1 e 2.
b) Cada traço menor da reta representa um .................., isto é 0,1.
c) Veja! A letra A está indicando o segundo tracinho após o zero. Então ele indica o nº .......................
d) A letra B encontra-se no ................. tracinho após o zero. Logo, B indica o nº ..............
e) A letra C encontra-se no segundo tracinho após o .............. Logo, C indica o nº ................
f) A letra D encontra-se no ............. tracinho após o um. Logo, D indica o nº .................
g) Sendo assim, a opção que responde à pergunta da questão é a letra .......................
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Vamos resumir o que estudamos sobre equações de 2º grau até aqui. Recorra às páginas anteriores se precisar.
As equações de 2º grau podem ser completas ou incompletas.
a) Em ax² + bx + c = 0, se a 0, b 0 e c 0, podemos afirmar que é uma equação de 2º grau ...............................
b) Porém, se b = 0 então, a equação será ................... e suas raízes serão ...............
c) Ou se c = 0, a equação será também .................... e uma de suas raízes será .......
Se a for zero...d) Que termo não vai aparecer na equação? .................
Portanto, essa não será uma equação do 2º grau.
e) Discuta com seus colegas e complete o item f.
f) A equação será de ............. grau.26
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I) Monte uma equação de 2º grau onde a = 3, b = -1 e c = 7. ................................
II) Na equação my² + 5y – 2 = 0, qual deve ser o valor de m para que ela seja de 2º grau? ......................
III) Em ( p – 3 )w² - 5w + 4 = 0, qual deve ser o valor de p para que a equação seja de 2º grau?
Para que a equação seja de 2º grau é necessário que o coeficiente ........... não seja zero.
p – 3 .......... → p ≠ ..............
IV) Em 2z² - ( n – 2 ) z + 5 = 0, determine n de modo que as raízes sejam simétricas ou opostas.
De acordo com o que vimos, na página 22, para que as raízes sejam opostas, o coeficiente ......... deve ser zero.
n – 2 = ......... → n = ...............
V) Em 2z² - 3 z + ( k + 1 ) = 0, determine k de modo que uma de suas raízes seja zero.
De acordo com o que vimos nas páginas 23 e 24, para que uma das raízes seja zero, o coeficiente ...... deve ser zero.
k + 1 = ......... → k = ................
Para treinar um pouco, faça o que se pede abaixo.
Muito fácil!!!!!!!!!
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A expressão x² - 4x + 4 é um trinômio quadrado perfeito.
x² - 4 x + 4 ↓ ↓ ↓ x 2 . 2 . x 2
Determine as raízes das equações abaixo.
Como x² - 4x + 4 = ( ..............)², então:
( ..........)² = 25 → ( .............) =
Temos:
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Como podemos resolver esta equação?
A equação éx² - 4x + 4 = 25.
Como assim?Vou mostrar-lhe. Veja!
Ah!!!!!!!!!!!!!!!!Lembrei do esquema que a professora nos mostrou no ano passado!
As raízes dessa equação são ......... e ...................
Podemos fatorar.
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a) x² - 2x + 1 = 9 b) x² - 6x + 9 = 49
( ...... - .......)² = 9 (....... - .......)² = 49
(........ - ......) = ............ (........ - ......) = ............
(........ - ......) = ............ (........ - ......) = ............
x = ......... ou x = ......... x = ......... ou x = .........
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Mas se a expressão algébrica não for um quadrado perfeito?
Veja! A forma reduzida dessaequação que acabamos detrabalhar é:x² - 4x - 21 = 0.Existe outra forma de resolvê-la?
Podemos usar a fórmula de Bhaskara...
Recolhida em 25-5-10 de loversofmath.blogspot.com
Você sabia que:
o nome Bhaskara, para a fórmula de resolução da equação de 2º grau, só se estabeleceu no Brasil por volta de 1960?
até o final do século XVI não se usava uma fórmula para resolver essa equação porque não se representavam por letras os coeficientes de uma equação?
Fórmula de Bhaskara?
Bhaskara nasceu em 1114, na Índia, numa terra chamada Vijalavida (da qual sedesconhece, atualmente, a localização) e morreu em 1193. Bhaskara escreveu oSiddhanta Siromani, aos 36 anos, em 1150. O seu manuscrito está dividido em quatropartes – Lilavati (A Bela) sobre aritmética; Bijaganita sobre a álgebra, Goladhyayasobre a esfera, ou seja sobre o globo celeste e Grahaganita sobre a matemática dosplanetas. O seu livro foi usado em toda a Índia, substituindo a maior parte dos textosutilizados até então.
fonte:http://www.malhatlantica.pt/mathis/india/bhaskaraii.htm(adaptado) 29
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ção.
Considerando a equação de 2º grau como: ax² + bx + c = 0, onde a 0,
a) subtraindo-se c de ambos os membros da equação ax² + bx + c - c = 0 – c, tem-se ax² + bx = ..............
b) multiplicando-se os dois membros da equação por 4a ( ax² + bx ) . 4a = -c . 4a, tem-se 4a²x² + 4abx = ...............
c) adicionando-se b² a ambos os membros 4a²x² + 4abx + b² = -4ac + b², tem-se 4a²x² + 4abx + b² = ....................
Que legal!!!!!!!!!!Com esse processo, transformamos o 1º membro num trinômio quadrado perfeito!
4a²x² + 4abx + b²
↓ ↓ ↓
2ax 2 . 2ax . b b
Para entender melhor esta fórmula, sigamos os passos abaixo.
Logo, 4a²x² + 4abx + b² = ( ......................)²
d) tem-se, então, a igualdade: (.................)² = b² - 4ac
e) extraindo-se a raiz quadrada dos dois membros, encontramos: 2ax + b =
Agora, é só isolar o x!
f) subtraindo-se b dos dois membros , temos: 2ax + b – b = -b, isto é, 2ax = -b
g) dividindo-se ambos os membros por 2a tem-se x =
.
. .
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Esta equação na forma reduzida é x² - 4x - .......... = 0. Então, a = ........ , b = ......... e c = .............
Substituindo na fórmula:
Já sei!!!! A fórmula de Bhaskara é:
x = Vamos usar essa fórmula na equação que resolvemos pela fatoração?
Boa ideia!Podemoscomparar osresultadosdepois.A equação é x² - 4x + 4 = 25.
Como precisamos dos coeficientes a, be c para aplicar na fórmula, vamos colocar a equação na forma reduzida.
Vamos calcular o radicando primeiro?
O radicando é chamado de discriminante da equação e pode ser representado por ∆.
Como ∆ = b² - 4 . a . c , então nesta equação: ∆ = ......² - 4 . ..... . .........
Calculando ∆ = ......... + ....... , logo ∆ = ...........
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A 1ª raiz é
A 2ª raiz é
Agora, é só calcular x.Como , temos agora 2 cálculos para fazer.
Ah! É aí que surgem as duas raízes. Uma será oresultado da expressão quando somamos a raiz. Aoutra será o resultado da expressão quandosubtraímos a raiz.
Veja!!! As raízes são as mesmas queachamos pela fatoração.Mas esse processo não é mais longo?
Com a prática, faremos rapidinho.
E com o processo de Bhaskara, não precisamos “descobrir” o quadrado perfeito.
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Posso usar essa fórmula para resolver as incompletas também?
Claro! É só substituir por zero o coeficiente do termo que não aparece. Gostei! Estou ansiosa para começar
a resolver outras situações que envolvam equações de 2º grau.
1. A piscina de um clube, cuja superfície retangular mede 21m², será cercada por medida de segurança.
A representação gráfica dessa piscina está na figura abaixo.
Como você pode ver, suas medidas, em metros, estão registradas por expressões algébricas.
y
2y + 1Quantos metros de cerca serão necessários para margear toda piscina?
a) Para descobrir o que o problema pede, precisamos conhecer as medidas dos lados da piscina. Logo, precisamos conhecer o valor de ...........
Vamos equacionar o problema.
b) A área de um retângulo é calculada multiplicando-se os ............... desse retângulo.
c) Logo, ( .................) . ......... = 21.
d) Fazendo o produto, tem-se: ..........y² + ..........= 21. e) A equação de 2º grau reduzida é ..............................= 0.
f) Os coeficientes são: a = ........ , b = .........e c = ...... g) O discriminante dessa equação é: ∆ = .....² - 4 . ..... . .....→ ∆ = .......
h) Aplicando os valores conhecidos na fórmula, tem-se:
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i) Calculando as raízes:
A 1ª raiz é
A 2ª raiz é
j) As raízes da equação são ......... e .............
k) As duas raízes servem para o problema? .............................................................................................................................
l) Utilizando a raiz possível, discuta com seus colegas e determine as medidas dos lados dessa piscina.
2y + 1 = ........ e y = ........
m) Para determinar quantos metros de cerca serão necessários, é preciso calcular o ................. desse retângulo.
n) O perímetro do retângulo é obtido ........................... todos os seus lados.
o) O perímetro desse retângulo é ............ metros.
p) Serão necessários ............. metros de cerca para margear essa piscina.
Retomando...
Esse exercício foi muito legal!Vamos fazer outros.
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2. Veja a notícia desse telejornal:
Nesta madrugada, os termômetrosregistraram a temperatura de wgraus, a mais baixa dos últimos anosem nossa cidade. Inferior a zerograus.
Esta temperatura citada na reportagem é uma das raízes da equação: 2w² + 8w – 42 = 0.Calcule e determine a temperatura noticiada no telejornal.
Pensando e resolvendo...
a) Os coeficientes da equação são: a = ........... , b = .......... e c = ......................
b) Calculando ∆ = b² - 4ac, tem-se: ∆ = ..........² - 4 . .......... . .............→ ∆ = ..........+ ........... ∆ = ...............
A 1ª raiz é
A 2ª raiz é
d) Calculando as raízes:
e) As raízes desta equação são: .......... e .........
f) A temperatura noticiada é ........ graus.
c) Substituindo os valores conhecidos na fórmula de Bhaskara, tem-se:
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3. Um campinho de futebol acaba de ser construído. Ele ocupa uma superfície de 360m². Foram comprados 150m de tela para cercá-lo.
Com base nas informações da figura do terreno, determine o que se pede.
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...
x - 9
x + 9
A) Quais são as representações das dimensões desse campo de futebol?
a) A expressão algébrica que representa a área desse terreno é: ( ..................) . ..............) = ............ - ...............
a) A equação que se obtém é: ............ - ............. = 360.
c) A equação reduzida é: ......... - .......... = 0.Veja! Esta é uma equação incompleta, pois ......... = 0.
d) Escolha o processo que preferir e resolva a equação.
e) As raízes da equação são: .......... e .............
f) A raiz que se aplica ao problema é ....................
g) As medidas dos lados do terreno são: ........... e ...................
B) Verifique se os 150m de tela serão suficientes para cercar o campo de futebol e justifique sua conclusão.
.....................................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................................... 36
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Agora, serão propostas três equações de 2º grau para que você as resolva. Preste atenção a cada ∆ e relacione com as raízes encontradas. Você fará uma incrível descoberta.
I). Determine as raízes de x² - 6x + 9 = 0.
a) Os coeficientes são: a = .......... , b = .......... e c = ......
b) Calculando ∆ = ......² - 4 . ..... . ..... → ∆ = .....
c) Usando a fórmula de Bhaskara, tem-se:
O ∆ é igual a ............
As raízes são .........d) Calculando as raízes:
A 1ª raiz é
A 2ª raiz é
II). Resolva a equação: x² - x - 6 = 0.
a) Os coeficientes são: a = ...... , b = ...... e c = .......
b) Calculando ∆ = ........² - 4 . .... . .........→ ∆ = ........
c) Usando a fórmula de Bhaskara, tem-se:
d) Calculando as raízes:
A 1ª raiz é
A 2ª raiz é
O ∆ é igual a ........., nº .....................
As raízes são ...................
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III). Quais são as raízes de x² - 2x + 10 = 0.
a) Os coeficientes são: a =......, b = ........ e c = .........
b) Calculando ∆ = ........² - 4 . ...... . ...... → ∆ = ........
c) Usando a fórmula de Bhaskara, tem-se:
O ∆ é igual a ........., um nº .......................
Qual é a raiz quadrada de -36?
Quando elevamos um nº ao quadrado, o resultado é sempre um nº ..........................................
Veja!
6² = 6 x 6 = ..... e (-6)² = (-6) x (-6) = ......A raiz quadrada de -36 não é um nº real.
Logo, as raízes dessa equação não são nos
reais.
Percebeu que há uma relação entre ∆e as raízes?
a) As raízes são reais e iguais quando ∆ é .............
b) As raízes são reais e diferentes quando ∆ é ......................
c) As raízes não são reais quando ∆ é ...................................
Vou sempre calcular o ∆ antes de resolver a equação. Assim, já sei que tipo de raízes vou encontrar.
Agora eu sei porque ∆ se chama discriminante. Ele permite determinar quantas e de que tipo são as raízes de uma equação de 2º grau.
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1. A equação 2y² - y + 8 = 0 possui raízes ............., porque ∆ = ......., isto é, um nº .................
2. De que tipo são as raízes da equação: z² + 4z + 4 = 0? Justifique sua resposta.
......................................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................................
3. Sabendo que a equação x² - 2x + (m – 1) = 0 tem raízes reais e iguais, qual é o valor de m?
a)Para que as raízes sejam iguais, ∆ = ...................
b) Então, b² - 4ac = .................................
c) Substituindo os coeficientes, tem-se:
.............² - 4 . .......... . ( m – 1 ) = .......... → ......... - ...........m + ............ = ............. - ........m = ........→ m = ......
d) O coeficiente m tem, como valor, ..........
4. Determine o valor de k para que a equação 2w² - w - k = 0 tenha raízes reais e diferentes.
a) Para que as raízes sejam reais e diferentes, ∆ > .............
b) Então, b² - 4ac ..............c) Substituindo os coeficientes, tem-se:
.........² - 4 . .......... . ( -k ) > .......... → ........ + ........ > ........ → ........k > ....... k ......... ou .............
d) O valor de k deve ser ............................. 39
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QUESTÃO 8
A equação 3x² - 2x + 4 = 0 possui
(A) uma raiz nula, pois o discriminante ∆ é negativo.
(B) duas raízes reais e diferentes, pois o discriminante ∆ é positivo.
(C) duas raízes reais e iguais, pois o discriminante ∆ é zero.
(D) duas raízes não reais, pois o discriminante ∆ é negativo.
Dica:
∆ = b² - 4ac
Imagem retirada em 26/6/10 de: http://autorretratosam.blogspot.com/2010/01/amor.html
Calculando...
a) Observando-se a equação, temos a = .............., b = ............ e c = ...........
b) Então, ∆ = ..........² - 4 . .......... . ......... ∆ = ......... – .............
c) O valor de ∆ = ..............
d) ∆ é um número ..................
e) Esta equação possui duas raízes ...........................
f) A opção correta é a letra .............................
Aproveite e resolva esta questão da prova do 2º bimestre de 2010!
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Fiz uma experiência e descobri algo incrível.
Mostre para nós!
Acompanhem o meu raciocínio.
Através da fórmula de Bhaskara, as raízes podem ser encontradas assim:
Se somarmos as raízes, temos:
Como os denominadores são iguais, podemos colocar a soma toda sobre o mesmo denominador.
Como as raízes quadradas são simétricas, podemos eliminá-las.
Temos, então:
Quer dizer que a soma das raízes é igualà divisão do coeficiente ...... (com o sinaltrocado: -b) pelo coeficiente ....... ?
É isso aí! Vamos testar?
Lembra da equação; 2w² + 8w – 42 = 0 que resolvemos na página 36?
O problema do telejornal! As raízes que encontramos foram ......... e ..............
Verificando...
a) w1 + w2 = -7 + ............ = ................
b) De acordo com a equação 2w² + 8w – 42 = 0, Não é que deu certo!
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Descobriu mais alguma coisa?
Sim! Veja que legal!
Agora, vamos multiplicar as raízes.
Como, no numerador, há um produto da soma pela diferença, temos:
Lembrete:Ao elevarmos ao quadrado uma raiz quadrada, o resultado é o próprio radicando.
Retirando os parênteses:
Simplificando:Nossa! O produto das raízes é igual à divisão do coeficiente ........ pelo coeficiente .......
Vamos testar com a mesma equação?2w² + 8w – 42 = 0
Verificando...
a) w1 . w2 = ( -7 ) . .............. = ...................
b) De acordo com a equação 2w² + 8w – 42 = 0,
Adorei isso! Acho que essas descobertas vão nos ajudar bastante.
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Legal! Que tal fazer alguns exercícios para treinar um pouco?
1. Assinale o par de números que são as raízes de uma equação de 2º grau, em que a soma dessas raízes é -7 e o produto é 12.
( ) 2 e 6 ( ) -8 e 1 ( ) -3 e -4
2. Determine a soma (S) e o produto (P) das raízes das equações:
a) x² - 5x – 2 = 0 → (S) = ....... (P) = ...........
b) 4y² + 4y + 1 = 0 → (S) = ......... (P) = .........
3. Se a soma das raízes da equação x² + ( 2k – 3)x + 2 = 0 é igual a 7, determine o valor de k.
Pensando e resolvendo...
A soma das raízes é: ................... = ..............
Então: - 2k + 3 = ........... → - 2k = .......... → k = ..............
O valor de k deve ser ...........
4. Na equação 4y² - 7y + 3p = 0, o produto de suas raízes é -3. Determine o valor de p.
a) O produto das raízes é: = ..................
b) Então: 3p = ................. → p = .............
c) O valor de p deve ser ...................
5. Numa equação de 2º grau, a soma de suas raízes é 5 e o produto dessas raízes é – 14. Sabendo que o coeficiente a
é 1, então essa equação é ............................= 0. 43
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Nossa! Montamosuma equação noexercício 5?
Será que podemos compor equações a partir das raízes?
Como acham que a professora faz tão depressa tantas equações para resolvermos?
6. Escreva uma equação de 2º grau que tenha raízes 3 e 7.Para ficar mais fácil, faremos a = 1.
a) A soma das raízes é .................
b) O produto das raízes é .................
c) Utilizando os coeficientes, podemos afirmar que a soma das raízes é:
d) Logo,
e) Utilizando os coeficientes, podemos afirmar que o produto das raízes é:
f) Logo,
g) Se a = ........, b = ........... e c = ........., então: a equação será: ..........................................= 0.
A minha última descoberta foi amais incrível!Através da soma e do produto,podemos achar as raízes deequações de 2º grau simples!
Como assim?É mesmo?
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Veja como é fácil resolver esta questão da prova do 2º bimestre de 2010!
QUESTÃO 11Paulo está fazendo uma pesquisa.Precisa de uma equação cujas raízes sejam 5 e -3.
Das equações abaixo, qual delas atende à questão de Paulo?
(A) x² - 8x + 15 = 0.(B) x² + 8x - 15 = 0.(C) x² - 2x - 15 = 0.(D) x² + 2x + 15 = 0.
a) A soma das raízes é ................
b) O produto das raízes é ..................
c) Utilizando os coeficientes, podemos afirmar que a soma das raízes é:
d) Logo,
e) Utilizando os coeficientes, podemos afirmar que o produto das raízes é:
f) Logo,
g) Se a = ............., b = ........... e c = ............, então: a equação será: ...........................= 0.
h) A opção correta é a letra ........................
Calculando...
Considerando a = 1
....
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Vamos brincar um pouco.Diga 2 nos que somados dêem 7 e cujo produto seja 10.
Mas para a somaser 7, só podemser .... e .......
Os nos inteiros que têm produto 10 são: 1 e ....., 2 e ......, -10 e ......., -5 e .......
Vocês entenderam!!! Treinem mais com as atividades abaixo.
Descubra os dois números inteiros que atendam às condições propostas a seguir.
a) Que nos somados dão 7 e multiplicados resultam em 12? ...........
b) Os números inteiros cujo produto é 15 e a soma é -8 são ........e ..........
c) Determine dois números inteiros cujo produto seja -20 e cuja soma seja 1. .............................
d) Os números inteiros cujo produto é -12 e a soma é -4 são .......... e ..........
Ah, então começando pelo produto, fica mais fácil!Veja o esquema que fiz.
Se o produto de 2 números for:
positivo, estes números têm sinais ..................
negativo, estes números têm sinais .................
Se os 2 números têm:
sinais iguais, a soma é o resultado da adição de seus módulos com o mesmo sinal desses números;
sinais diferentes, a soma é o resultado da ............ de seus módulos com o sinal do número com ............. módulo.46
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O que é mesmo o módulo de um número?
É o valor quantitativo desse número independente do seu sinal. Lembrei! O módulo de -3 é 3, o
módulo de 7 é 7, o módulo de -12 é 12...
Mas como vamos usar isso para descobrir as raízes de uma equação de 2º grau?
Vamos pensar um pouco e determinaras raízes das equações propostas naspróximas atividades.
Utilizando a soma e o produto das raízes, determine essas raízes nas equações abaixo.
I) x² - 6x + 8 = 0.
a) O produto das raízes é
b) A soma das raízes é
c) Os números cujo produto é ...... e a soma é ....... são .......... e ............
Então, as raízes da equação são ......... e .........
II) z² - z - 6 = 0.
a) O produto das raízes é
b) A soma das raízes é
c) Os números, cujo produto é ......... e a soma é ........., são ..........e ............ Sendo assim, as raízes da equação são .......... e ...........
Agora, temos mais formas pararesolver equações de 2º grau.É só escolher. 47
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Tiago é o engenheiro responsável pela restauração de uma casa antiga.
Imagem adaptada de http://www.portalsaofrancisco.com.br/alfa/maio/dia-do--cartografo.php, em 01/6/10
Acho melhor colocar uma sustentação neste
telhado.
SUSTENTAÇÃO
Vou desenhar esse triângulo retângulo
separadamente para calcular direitinho.
O triângulo ABC é retângulo em Â.
é a altura relativa à hipotenusa.
B
A C
H
B C H
a) Um triângulo é chamado de retângulo quando possui um ângulo .............. (mede 90°).
b) Os seus lados possuem nomes especiais.
i) O lado oposto ao ângulo reto é chamado de ..................
ii) Nas figuras acima, a hipotenusa é o lado .................
iii) Os lados que formam o ângulo reto são chamados de ......................
iv)Nas figuras acima, os catetos são os lados e ..............
v) A hipotenusa é o .............. lado de um triângulo retângulo.
c) O segmento perpendicular que liga a hipotenusa ao vértice oposto a ela é chamado de altura, que, no desenho, é o segmento ..................
Um segmento é perpendicular quando forma 90° com outro segmento, com uma reta etc...
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Observando-se o triângulo retângulo, com a altura relativa à hipotenusa traçada, podemos ver três triângulos.
São eles:
► triângulo BAC
►triângulo BHA
►triângulo ............
Será que esses triângulos são semelhantes?
Sabemos que a soma dos ângulos internos de um triângulo é sempre ..................
Vamos observá-los separadamente.
Somando as medidas de seus ângulos:
a1 + b + h = 180°
Como h = ...........
a1 + b + 90° = 180° → a1 + b = ............
Então a1 = 90° - ...........
a1
b ha2
h c
Somando as medidas de seus
ângulos:
a2 + c + h = 180°
Como h = ...........
a2 + c + 90° = 180° → a2 + c = ........
Então a2 = 90° - ..........
a1 + a2
Somando as medidas de seus ângulos:
a1 + a2 + b + c = 180°
Como a1 + a2 = ...........
90° + b + c = 180° → b + c = .........
Então b = 90° -....... e c = 90° - ........
Concluindo...
# Se a1 = .......... e c = ..........., logo a1 = ...... # Se a2 = .......... e b = .........., logo a2 = ........
Esses triângulos são semelhantes? ................49
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Já sei que, ao traçar a altura relativa à hipotenusa, num triângulo retângulo, obtenho três triângulos retângulos ...............................Agora, vou verificar as relações que posso obter com as medidas de seus lados.
Relações métricas num triângulo retângulo
Nomeando as medidas dos segmentos que compõem o triângulo retângulo...
a
c b
n mhSão elas:
a → a medida da hipotenusa.
.... → a medida do cateto maior.
.... → a medida do cateto menor.
....→ a medida da altura.
A altura divide a hipotenusa em duas partes (m e n), que são as projeções ortogonais dos catetos.
m → é a medida da projeção ortogonal de b.
n→ é a medida da .......................................
A 1ª relação, eu descobri. Se somar as medidas das projeções dos catetos obtenho a ......................................
Então, a = .... + .... . ( I )
Glossário
Ortogonais – linhas que formam, entre si, ângulos retos.
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Comparando os dois triângulos maiores...
Como os triângulos ABC e AHC são semelhantes, complete a igualdade com os lados correspondentes.
a
cb
b
m
h Multiplicando meios e extremos...
b . b = a . .... → ..... = .......... ( II )
Comparando o triângulo maior com o menor...
a
cb
c h
n
Como os triângulos ABC e AHB são semelhantes, complete a igualdade com os lados correspondentes.
Multiplicando meios e extremos...
c . c = a . ...... → ...... = ...... ( III )
A 2ª e a 3ª relações são parecidas.Descobri que o quadrado da medida do catetoé igual ao produto da medida da .................pela medida de sua projeção.
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Comparando os triângulos menores...
b
m
hc h
n
Como os triângulos ABH e AHC são semelhantes, complete a igualdade com os lados correspondentes.
Multiplicando meios e extremos...
h . h = ...... . ...... → ...... = ...... ( IV )
Na 4ª relação, descobri que o quadrado da medida da altura é igual ao produto das ...........................................
Comparando os dois triângulos maiores novamente...
a
cb
b
m
h
Agora, vamos correlacionar os dois maiores lados de cada triângulo e completar a igualdade com os lados correspondentes.
Multiplicando meios e extremos...
a . ....... = ....... . c → ...... = ...... ( V )
Nesta 5ª relação, descobri que o produto da medida da hipotenusa pela medida da altura é igual ao produto das medidas dos ....................Esta relação é que vai me ajudar a resolver o problema da viga no telhado. 52
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H5 m
4 m3 mx
Retomando o projeto...
De acordo com as medidas da figura à esquerda, complete e calcule a medida do comprimento da viga de sustentação.
a) Considerando as representações das medidas dos elementos de um triângulo retângulo...
a = ...... b = ...... c = ...... h = ......
b) Utilizando a 5ª relação...
ah = bc → ...... . x = ...... . .......
c) O valor de x é ..............
d) A viga de sustentação deve medir ........... m.
E o Teorema de Pitágoras?Não vamos ver?
Você sabia que...
Pitágoras é conhecido pelo famoso teorema que leva seu nome, mas era também filósofo e astrônomo, além de matemático?
Pitágoras foi o fundador de uma escola grega denominada, em sua homenagem, de Pitagórica, cujos
princípios foram determinantes para a evolução geral da Matemática e da Filosofia Ocidentais?
Imag
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Foram desenvolvidas mais de 350 demonstrações do Teorema de Pitágoras.
A próxima atividade se utiliza de um processo com base numa dessas demonstrações.
c
b
b c
b
c
c b
aa
a
a
Nesta figura, vemos dois quadrados:
Um claro de lado a.
Um composto de figuras escuras e do quadrado claro, de lado ( b + c ).
Vamos achar a área do quadrado claro.
Muito fácil! Como o lado doquadrado claro é a, então sua áreaé ...................
Experimente outra forma de achar a área do quadrado claro, usando o quadrado maior.
Só se calcularmos a área do quadrado grande e tirar a área desses 4 triângulos retângulos escuros...
Mas como se calcula a área deum triângulo retângulo?
Veja a figura ao lado.Opa! Não é que o triângulo retângulo é metade de um retângulo?
Se a área de um retângulo é lado x lado, a do triângulo retângulo é ................................, isto é, metade do produto dos catetos.
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Utilizando a dedução do nosso amigo, vamos calcular.
a) Se o lado do quadrado grande é ..............., a área da figura toda é ( ............)².
b) Desenvolvendo esse quadrado ...
( b + c )² = ......... + 2 . ......... + .......... = ..........+ ........... + ............
c) A área de cada triângulo retângulo é:
b
c
d) A área dos 4 triângulos é:
Agora, é só tirar a área dos ..................... da área total da figura.
...........+ ........+ ......... - .......... = ......... + ..........
Igualando a 1ª fórmula do quadrado claro comesta, temos: .........² = ......... + ...........Olha a fórmula do Pitágoras aí, minha gente!
Também podemos mostrar o Teorema de Pitágoras usando as relações que encontramos. Veja.
Na soma: b² + c², substituímos o b e o c pelas expressões que deduzimos:
b² = .............. e c² = ................
A soma ficará: ............ + .............
Para simplificar essa expressão, podemos colocar o ............. em evidência (fator comum).
Temos a seguinte igualdade:
b² + c² = a ( m + ...........)
Como m + n =.........., então...
........... + ............... = a²A soma dos quadrados dos catetos é igual ao ....................................................................... 55
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Estou ansioso para fazer essasatividades e utilizar essas fórmulasque deduzimos!!!!!!
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Com base nas representações dasmedidas do triângulo retânguloabaixo, complete o quadro com asrelações entre essas medidas.
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Oi, amigos! Sou treinador de um time de futebol da minha comunidade.Gosto de mostrar diversas jogadas para que os jogadores conheçam boasestratégias de jogo. Esta abaixo é uma delas. Vejam!
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Imagem adaptada de: http://www.google.com.br/ em 4/6/10
Determinando as distâncias dosjogadores 1, 2 e 3, nesse momento, épossível ver que suas posiçõesformam um triângulo retângulo e que adistância entre o jogador 1 e a bola é a................... relativa à hipotenusa dessetriângulo.
1. De acordo com as representações das medidas de um triângulo retângulo, podemos dizer que:
a distância entre os jogadores 2 e 3 é a
a distância entre os jogadores 1 e 2 é ........................
a distância entre os jogadores 1 e 3 é .........................
a distância entre o jogador 1 e a bola é .......................
a distância entre o jogador 2 e a bola é .......................
a distância entre o jogador 3 e a bola é ........................a
c b
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A distância do:►jogador 2 até a bola é de 3,2m.►do jogador 3 até a bola é de 1,8m.
2. Qual é a distância entre os jogadores 2 e 3?
Como a = m + ...... então a = ...... + ......... → a = ...........
A distância entre os jogadores 2 e 3 é ..............
3. Qual é a distância, em metros, entre os jogadores 1 e 2 ?
Utilizando o formulário, b² = .....................
Aplicando os valores conhecidos, temos:
b² = ......... . ......... → b² = .......... b = ...........
A distância entre os jogadores 1 e 2 é .................
4. Determine a distância entre os jogadores 1 e 3.
Utilizando o formulário, c² = .............
Aplicando os valores conhecidos, temos:
c² = ........... . ........... → c² = .......... c = ..............
A distância entre os jogadores 1 e 2 é ...................
5. Escolha a fórmula adequada e determine a distância entre o jogador 1 e a bola. 58
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http://cursinhotriu.wordpress.com/category/matematica/
Determine a medida x da figura ao lado.
Como a² = .........+ ...........
então, 13² = ..........+ ............
x² = ......... → x = ...........
A medida x é ...............
12m 13m
x
B)
C) Observe o triângulo ao lado e determine as medidas m, a, b e c.
a
c b
9 m12
1. Conhecemos o valor de h = .......... e n = ............
2. Com esses valores podemos usar a fórmula: h²= ..... . ...... e descobriremos
o valor de ..............
3. Sendo assim, ..........² = .......... . 9 ...........m = 144 m = ..............
4. Como conhecemos os valores de m e n, podemos calcular o valor de ..........., usando a fórmula: a = ............ + ...........
5. Calculando a: a = ......... + ........... a = ...............
6. Como conhecemos os valores de a e n, podemos calcular o valor de ......, usando a fórmula: ..........² = ........... . ............
7. Calculando c: c² = .......... . ............. c² = ............. c = ...........
8. Como conhecemos os valores de a e c, podemos calcular o valor de ......, usando a fórmula: ........² = .......² + ........².
9. Calculando b: ..........² = b² + ..........² b² = ............. - ........... b² = ......... b = .................
10.Descobrimos que:
a = .............
b = .............
c = .............
m = ............ 59
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Resolva, agora, esta questão da prova do 2º bimestre de 2010.
Calculando...
a)A largura, o comprimento e a ripa do portão formam um triângulo .........................b)Os catetos desse triângulo medem .............. e ........... metros.c)A medida da hipotenusa está representada por ......................d)Para calcular a medida da ripa, podemos usar o Teorema de ............................., que é a² = .............................e)Sabemos que a = ........... ,b = ........... e c = ...............f)Temos a equação ............. = .......................g)Então, x² = ..................... x² = .................h)Logo, x = .......................i)A opção correta é a letra .....................
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Jorge quer cercar seu terreno, cuja forma e algumas de suas dimensões estão representadas na figura abaixo.
18m
32m
12m13m
O perímetro desse terreno é .......... m.
1. Trace uma paralela à altura pelo outro vértice superior da figura.
2. As medidas que você deverá encontrar estão assinaladas como x, y e z na figura a seguir.
32m
12m13m
18m
x y
z
3. Calcule primeiro x, depois y e, por último, o valor de z. Assim, ficará mais fácil.
...........................................................................................
...........................................................................................
...........................................................................................
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REGIÕES EXTENSÃO em km²(aprox.)
Norte 3 870 000
Nordeste 1 558 000
Sudeste 925 000
Sul 576 000
Centro-Oeste 1 606 000
Um estudo feito sobre as regiões do Brasil gerou um gráfico com a população de cada região do Brasil (com valores aproximados em milhões) e uma tabela coma a extensão de cada região (com valores aproximados em km²).De acordo com esses dados, complete os itens a seguir.
1. A região mais populosa é ......................, com aproximadamente .................... milhões de habitantes.2. A região de maior superfície é .................... , com aproximadamente ........................................km² .3. A população da região .................... é de, aproximadamente, 16 milhões de habitantes.4. A extensão da região sudeste é de, aproximadamente, ......................................km² .5. Se dividirmos o nº de habitantes pela superfície total de uma região, obtemos o nº de habitantes por .............
Sendo assim, há ........................... habitantes/km², aproximadamente, na região sudeste.6. Na região norte há ............... habitantes/km², aproximadamente.7. Logo, comparando a distribuição da população, nessas duas regiões, há, aproximadamente, o dobro de habitantes na
região ................... em relação à região ..............................8. A população brasileira está igualmente distribuída pelo seu território? .................................................................................9. Discuta com seus colegas e justifique sua resposta. ............................................................................................................. 62
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