fluxo custo minimo

Fernando Nogueira Fluxo de Custo Mnimo 1

Problema de Fluxo de Custo Mnimo

The Minimum Cost Flow Problem


O Problema de Fluxo de Custo Mnimo (The Minimum Cost Flow Problem)

Este problema possui papel principal entre os modelos de otimizao em redes, uma vez que este engloba uma enorme quantidade de aplicaes e pode ser resolvido de maneira extremamente eficiente.

O Problema de Transporte, de Designao, de Caminho Mais Curto ede Fluxo Mximo (vistos anteriormente) so casos especiais do Problema de Fluxo de Custo Mnimo. A nica exceo o Problema de rvore Geradora Mnima.

A exemplo dos problemas acima (com exceo do Problema de rvore Geradora Mnima), o Problema de Fluxo de Custo Mnimo um Problema de Programao Linear, logo o Simplex pode ser utilizado para sua resoluo. Uma verso especfica do Simplex, denominada Mtodo Simplex de Redes pode ser utilizada de maneira ainda mais eficiente de que o prprio Simplex.


Algumas Consideraes

1. A rede representada por um Dgrafo (orientada) e conectada.

2. No mnimo um dos ns um n de fornecimento (origem).

3. No mnimo um dos ns um n de demanda (destino).

4. Todos os ns restantes so ns Transshipment (entreposto, intermedirio).

5. A rede possui arcos, tanto quanto forem necessrios, com capacidade suficiente para habilitar todos os fluxos gerados nosns de fornecimento para alcanar os ns de demanda.

6. O custo do fluxo atravs de cada arco proporcional a quantidade daquele fluxo, onde o custo por unidade de fluxo conhecido.

7. O objetivo minimizar o custo total de enviar o fornecimento disponvel atravs da rede para satisfazer a demanda dada (um objetivo alternativo maximizar o lucro total para fazer isto).


Exemplos de Aplicaes:

A mais importante aplicao est em planejar a operao de uma rede de distribuio de uma companhia. Este tipo de aplicao envolvedeterminar um plano para transportar bens a partir das fontes (fbricas, etc) para locais de armazenagem intermedirias (quando necessrio) e ento para os clientes (demanda).


Formulao do Modelo

Considere um Dgrafo conectado, onde nos n ns incluem-se no mnimo um n de fornecimento e no mnimo um n de demanda. As variveis de deciso (de controle) so xij = fluxo no arco (i,j). As informaes necessrias so:

cij = custo por unidade de fluxo no arco (i,j)

uij = capacidade de fluxo no arco (i,j) bi > 0 se o n i um n de fornecimento

bi = fluxo na rede gerado no n i bi < 0 se o n i um n de demanda

bi = 0 se o n i um n transshipment

A funo-objetivo :

Minimizar

Sujeito a para cada n i

e para cada arco (i,j)

== =

n

1i

n

1jijijxcZ

in

1jji

n

1jij bxx =

==

ijij ux0

=

=

inchegafluxox

insaifluxox

n

1jji

n

1jij


Em algumas aplicaes, faz-se necessrio ter um limite inferior Lij>0 para o fluxo no arco (i,j). Para evitar alteraes na formulao do modelo, utiliza-se:

com substituindo xijijijij Lxx = ijij Lx +Propriedade de Solues Inteiras

Para Problemas de Fluxo de Custo Mnimo, onde todo bi e uij so valores inteiros, todas as variveis bsicas em toda soluo bsica vivel tambm so valores inteiros.

Propriedade de Solues Viveis

Uma condio necessria para um Problema de Fluxo de Custo Mnimo ter alguma soluo vivel que , isto , o fluxo total gerado nos ns de fornecimento deve ser igual ao fluxo total absorvido nos ns de demanda. Quando este fato violado significa que os fornecimentos ou as demandas representam limites superiores ao invs de quantidades exatas. No caso do Problema de Transporte, por exemplo, um destino (origem) auxiliar criado a fim de absorver a oferta (demanda) em excesso. De maneira anloga, no Problema de Fluxo de Custo Mnimo cria-se um n de demanda (fornecimento) auxiliar para absorver o fornecimento (demanda) em excesso.

==

n

1ii 0b


Exemplo

O dgrafo abaixo ilustra uma rede de distribuio de uma companhia, onde os ns A e B so duas fbricas desta companhia, os ns D e E so dois estoques e o n C um centro de distribuio (transshipment).


O modelo de Programao Linear para este exemplo fica:

0xe

80x10x60xxx30xxx0xxx40xx50xxx

aSujeitox2x3xx3x9x4x2ZMinimizar

ij

CE

AB

EDDECE

EDDEAD

CEBCAC

BCAB

ADACAB

EDDECEBCADACAB

=+

=+

=+

=+

=++

++++++=


Casos Especiais (demais Problemas de Redes como Problema de Fluxo de Custo Mnimo)

contrriocasojparadesignadoise

01

xux0 ijijij

=

sujeito a:

1. Problema de Transporte

Um n de fornecimento para cada fonte

Um n de demanda para cada destino

Nenhum n Transshipment

uij =

== =

m

1i

n

1jijijxcZmin

=

= =

=

=

== demandadx

idadedisponibilsxbxx

jn

1iij

n

1jiijn

1jiji

n

1jij

( )n,...1j;m,...,1i0xux0 ijijij ==

== =

m

1i

n

1jijijxcZmin

=

= =

=

=

== demanda1x

idadedisponibil1xbxx

n

1iij

n

1jijn

1jiji

n

1jij

sujeito a:

2. Problema de Designao

Igual ao Problema de Transporte, com:

nmero de ns de fornecimento igual ao nmero de ns de demanda

bi = 1 para cada n de fornecimento

bi = -1 para cada n de demanda


sujeito a:

para cada arco (i,j)

3. Problema de Caminho Mais Curto

Apenas um n de fornecimento (origem) com fornecimento = 1

Apenas um n de demanda (destino) com demanda = 1

Todos demais ns so nsTransshipment

Todo arco permite fluxo em ambos sentidos (i j e j i), com exceo dos arcos que saem da origem e dos arcos que chegam no destino

Distncias so os custos cij e cjiuij =

== =

m

1i

n

1jijijxcZmin

=

=

=== destinoi1

destinoouorigemi0origemi1

xxn

1jji

n

1jij

ijx0


0xxn

1jji

n

1jij =

==

ijij ux0

origem,destino

m

1i

n

1jijij xZminxcZmax ==

= =

sujeito a:

para cada arco (i,j)

4. Problema de Fluxo Mximo

Apenas um n de fornecimento (origem)

Apenas um n de demanda (destino)

Todos demais ns so nsTransshipment

cij = 0 para todo (i,j)

Adicionar um arco conectando o n de demanda ao n de fornecimento (neste sentido) com: udemanda,fornecimento= e

cdemanda,fornecimento > 0 (normalmente utiliza-se cdemanda,fornecimento = 1 para simplificar clculos).

Obs: a adio deste arco auxiliar torna os ns de fornecimento e de demanda tambm ns Transshipment.


Modelo de Fluxo Mximo a partir do modelo de Fluxo de Custo Mnimo para o exemplo do Parque Seervada (cdigo Lindo).MIN TO !MAX TO !PODE USAR MAX TO OU MIN -TO

SUBJECT TO

R1) OA + OB + OC - TO = 0

R2) AB + AD - OA = 0

R3) BD + BE + BC - AB - OB = 0

R4) CE - BC - OC = 0

R5) DT - AD - BD - ED = 0

R6) ED + ET - BE - CE = 0

R7) TO - DT - ET = 0

END

!LIMITES SUPERIORES

SUB OA 5

SUB OB 7

SUB OC 4

SUB AB 1

SUB AD 3

SUB BC 2

SUB BD 4

SUB BE 5

SUB CE 4

SUB DT 9

SUB ED 1

SUB ET 6

VARIABLE VALUE

TO 14.000000

OA 3.000000

OB 7.000000

OC 4.000000

AB 0.000000

AD 3.000000

BD 4.000000

BE 3.000000

BC 0.000000

CE 4.000000

DT 8.000000

ED 1.000000

ET 6.000000


Mtodo Simplex de Rede

O Mtodo Simplex de Rede uma verso do Simplex para resolver problemas de Fluxo de Custo Mnimo.

Tcnica de Limite Superior

Esta tcnica necessria para tratar as restries do tipo .

Uma varivel no-bsica em seu limite superior xij = uij recolocada por xij = uij yij, com yij = 0 tornando-se uma varivel no-bsica. Quando yij torna-se uma varivel bsica com valores estritamente positivos , este valor pode ser entendido como um fluxo a partir do n j para o n i (prm em sentido errado no arco i j) cancelando a quantidade de fluxo previamente designada (xij = uij) do n i para o n j.

ijij ux

( )iju


Com isso, quando xij = uij recolocado por xij = uij yij, o arco real i j substitudo pelo arco reverso j i, onde este novo arco possui capacidade uji = uij (mxima quantidade de fluxo que pode ser cancelada) e custo cji = cij. Para refletir o fluxo de xij = uijatravs do arco deletado, altera-se a quantidade de fluxo da rede gerada do n i para o n j por decrementar bi por uij e incrementar bj por uij.

Se yij torna-se uma varivel que deixa a base por alcanar seu limite superior, ento yij = uij recolocado por yij = uij xij com xij= 0 como a nova varivel bsica invertendo o processo descrito acima (recolocar o arco j i por i j, etc).

Para ilustrar o processo acima, considere o exemplo dado anteriormente.


Suponha que xAB tenha tornado-se uma varivel que deixa a base em alguma iterao por alcanar seu limite superior (xAB = 10).

xAB recolocado por xAB = 10 yAB, com yAB = 0 tornando-se a nova varivel no-bsica. Ento o arco A B substitudo pelo arco B A (com yAB como sua quantidade de fluxo) com capacidade uBA = 10 e custo cBA = -2. bA decrementado de uAB (bA = bA uAB), bA = 50 10 = 40 e bB incrementado de + uAB (bB = bB + uAB), bB= 40 + 10 = 50. A rede fica:


Correspondncia entre solues Bsicas Viveis e rvores Geradoras Viveis

Uma soluo bsica vivel possui (n-1) variveis bsicas para uma rede com n ns, onde cada varivel bsica xij representa o fluxo atravs do arco i j. Estes arcos so referidos como arcos bsicos (similarmente, os arcos correspondendo para as variveis no-bsicas xij = 0 ou yij = 0 so denominados arcos no-bsicos).

Uma propriedade fundamental que arcos bsicos nunca formam ciclos. Portanto, qualquer conjunto de n-1 arcos que no contm ciclos formam uma rvore Geradora.

Solues bsicas viveis podem ser obtidas resolvendo rvores Geradoras como:


1)Para arcos que no pertencem a rvore Geradora (arcos no-bsicos), colocar as variveis correspondentes (xij ou yij) igual a zero.

2)Para arcos que pertencem a rvore Geradora (arcos bsicos), resolver para as variveis correspondentes (xij ou yij) o sistema de equaes lineares fornecido pelas restries dos ns.

Para ilustrar este procedimento, considere a rede anterior que resulta em recolocar xAB = 10 por xAB = 10 yAB. Uma rvore Geradora para esta rede :


=+

=+

=+

=+

=++

60xxx30xxx0xxx

50xy40xxy

EDDECE

EDDEAD

CEBCAC

BCAB

ADACAB

Substituindo xAB = 10 yAB nas restries dos ns, fica:

V.B.

xAD = 40

xBC = 50

xCE = 50

xDE = 10

V.N.B.

yAB = 0

xAC = 0

xED = 0


Uma vez que a soluo satisfaz a restrio de no-negatividade

e tambm a restrio de capacidade mxima dos arcos

a rvore Geradora uma rvore Geradora Vivel e portanto tem-se uma soluo vivel. A rede com os fluxos fica:

0xij

80xCE


Selecionando a varivel que entra na base

O mtodo Simplex (tradicional) seleciona a varivel que entra na base escolhendo dentre as variveis no-bsicas, a que melhore a funo-objetivo com melhor taxa (de crescimento no caso de maximizao e de decrescimento no caso de minimizao).

No exemplo, as variveis no-bsicas so yAB, xAC, e xED.

Escolhendo xAC inicialmente implica em adicionar o arco A C. Adicionar um arco no-bsico para uma rvore Geradora sempre cria um ciclo, onde o ciclo neste caso AC-CE-DE-AD.

Se xAC entra com um fluxo , ocasionar um fluxo adicional de nos arcos de mesmo sentido de AC e um decrscimo de nos arcos de sentido oposto ao de AC. Arcos que no pertencem ao ciclo gerado no so alterados. Os custos so multiplicados por de maneira anloga ao fluxo. A rede fica:


O incremento total no custo Z fica:

Z = cAC + cCE + cDE(-) + cAD(-)

Z = 4 + - 3 - 9 = -7


Fazendo = 1, resulta na taxa que Z varia quando xAC acrescido.

Z = -7

Uma vez que o objetivo minimizar Z, est parece ser uma boa taxa de decrescimento em Z.

Faz-se necessrio computar as mesmas taxas para as demais variveis no-bsicas.

Para yAB a rede fica:

Z = -2 + 9 + 3 +1(-) + 3(-) = 6 = 6 para = 1.


Para xED a rede fica:

Z = 2 + 3 = 5 = 5 para = 1.

Resumindo:

===

=1xse51yse6

1xse7Z

ED

AB

AC


Assim, o valor negativo para xAC impe que esta varivel entre na base.

Encontrando a Varivel Bsica que deixa a base

Uma vez que xAC a varivel que entra na base, o fluxo no arco AC deve ser aumentado o mximo possvel at que uma das variveis bsicas alcancem seu limite inferior (0) ou seu limite superior (uij). Retomando a rede adicionada do arco AC.


Os 5 arcos em questo so:

xAD = 40 - e uAD =

xDE = 10 - e uDE =

xCE = 50 + e uCE = 80

xAC = e uAC =

xBC = 50 (constante) e uBC =

Aumentando =10 resulta em xDE = 0, portanto, a varivel que deixa a base xDE.

A rvore Geradora resultante :


O resultado timo se no existe nenhuma varivel no-bsica com coeficiente negativo. Faz-se necessrio testar.


A tabela abaixo mostra as variveis no-bsicas (arcos no-bsicos), os ciclos criados e seus coeficientes.

A varivel xED possui o menor coeficiente negativo, indicando, portanto, que a soluo ainda pode ser melhorada.

Outra iterao necessria. O leitor dever realizar as iteraes restantes. A prxima figura mostra o resultado final.


Soluo Final

fluxo custo minimo

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