fluxo maximo a custo minimo

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Fluxo Máximo a Custo Mínimo

Min Cost Max Flow

Universidade Federal de Campina GrandeCentro de Engenharia Elétrica e InformáticaDepartamento de Sistemas e Computação

Programa de Educação Tutorial (PET)

Demontiê Junior([email protected])

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Introdução

Conceitos importantes

Apresentação e análise do algoritmo

Exemplo de implementação

Considerações Finais

Agenda

Introdução


Algoritmo de Bellman-Ford

Redes de fluxo




2CST – Fluxo Máximo a Custo

Mínimo – Demontiê Junior

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Introdução





Introdução

Caracterização do Problema: Encontrar os caminhos de menor custo

que geram o fluxo máximo de uma rede.

Utiliza algoritmos de fluxo máximo e de

menor caminho de origem única.

Cada aresta tem dois atributos: peso e

capacidade



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Introdução





Introdução

Motivação: Aplicável a vários problemas reais.

Exemplo (variação: fluxo a custo mínimo):

“Saber a quantia mínima em dinheiro que um grupo de amigos precisa dispor para se deslocar entre duas cidades. O transporte será feito por aviões, que seguem determinados trechos (existe apenas um vôo para cada trecho durante todo o período do passeio, mas o tempo do vôo é desprezível). Todos os vôos tem a mesma capacidade, e cada um tem seu custo por pessoa.”



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Introdução





Introdução

Objetivos:

Apresentar um algoritmo para resolução do problema de Fluxo Máximo a Custo Mínimo

Mostrar a importância do conhecimento desse tipo de algoritmos para a resolução de problemas reais



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Conceitos Importantes

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Introdução





Contextualizando...

O que é um grafo?

Dois tipos de elementos: vértices e arestas

De maneira mais formal, grafos são tuplas do tipo G = <V, E>:

V é o conjunto finito, não vazio, de vértices

E é o conjunto finito de arestas

Se Ǝ e = {v, w} | e ∈ E, então, dizemos que

e é incidente a v e w, bem como v e w são adjacentes



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Introdução





Menor caminho de origem única

Em que consiste?

Encontrar os menores caminhos entre um vértice inicial e todos os outros vértices de um grafo

Utiliza grafos valorados

Algoritmos mais famosos:

Dijkstra

Bellman-Ford

Floyd-Warshall



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Introdução





Algoritmo de Bellman-Ford

Bellman-Ford(G, w, s)for ∀u ∈ V[G] do

d[u] ← ∞

π[u] ← NIL

d[s] ← 0

for i 1 to |V[G]| - 1 dofor ∀(u, v) ∈ E[G] do

if d[v] > d[u] + w(u,v) then

d[v] ← d[u] + w(u,v)

π[v] ← ufor ∀(u, v) ∈ E[G] do

if d[v] > d[u] + w(u, v) then

return FALSE

return TRUE

Relaxamento

Inicia as variáveis

Checa a presença

de ciclo negativo



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Introdução





Redes de fluxo

O que são redes de fluxo?

Cada aresta tem uma capacidade (fluxo máximo nessa aresta)

Possui dois vértices especiais: fonte (f) e sovedouro (s)

∀v ∈ V, existe um caminho entre f e s

passando por v



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Introdução





Redes de fluxo

Exemplo:

F

V

X

W

Y

S

16

13

10 4

12

9

14

4

7

20



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Introdução





Considere c(e) a função capacidade de e, e ∈ E

A rede residual de uma rede R é um grafo R = <V, Eresidual>, tal que:

∀e ∈ E, Ǝ uma eresidual cuja capacidade

é cresidual

cresidual(e) = c(e) – fluxo(e)

12CST – Fluxo Máximo a Custo Mínimo –

Demontiê Junior

Rede residual

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Introdução





Rede residual

Rede residual após um fluxo de 4 no caminho FXYS

F

V

X

W

Y

S

16

9

10 4

12

9

10

0

7

20



4

4

4

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Introdução





Algoritmo de fluxo máximo

Ford-Fulkerson

Rede residual

Caminho expandível

(*) capacidade do arco de menor capacidade de p

Ford-Fulkerson(G, s, t)for ∀e ∈ E[G] do

fluxo[e] ← 0

while exisitr um caminho expandível p na rede residual doaumentar f (*) ao longo de p

return f



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Introdução






“Por que não encontrar os menores caminhos com Dijkstra e, simplesmente, sair distribuindo o fluxo?”

Temos que gerar, sempre, a rede residual, para que não seja encontrado um fluxo diferente do máximo

Quando geramos a rede residual, temos que modificar, também, os custos das arestas

Algumas vezes invertemos o custo de uma aresta

Dijkstra não funciona bem com pesos negativos



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Introdução





Exemplo

CST – Fluxo Máximo a Custo Mínimo –

Demontiê Junior

17


F

V

X

W

Y

S

16

13

12

9

14

4

2020

20

1

20

20

20

20

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Exemplo


Demontiê Junior

18


F

V

X

W

Y

S

16

13

12

9

14

4

2020

20

1

20

20

20

20

ERRADO

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Exemplo


Demontiê Junior

19


F

V

X

W

Y

S

16

13

12

9

14

4

2020

20

1

20

20

20

20

CORRETO

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20CST – Fluxo Máximo a Custo Mínimo –

Demontiê Junior

MinCostMaxFlow(G, s, t)for ∀e ∈ E[G] do

fluxo[e] ← 0

redeResidual ← Gcusto ← 0

while exisitr um caminho entre F e S (rodar Bellman-Fordpara encontra menor caminho F S (*)) do

atualizar custoaumentar fluxo ao longo do caminho cgerar rede residual, modificando o custo das arestas

return fluxo, custo

O algoritmo

(*) o Bellman-Ford roda em cima da rede residual

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Analisando o algoritmo

Análise do Bellman-Ford

Ordem de complexidade: (|V|.|E|)

Análise do Ford-Fulkerson

Ordem de complexidade: O(E.|f*|)

Na implementação de Edmonds-Karp, utilizando busca em largura: O(V.E²)



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Analisando o algoritmo

Análise do Fluxo Máximo a Custo Mínimo

MinCostMaxFlow = O(V.E²)



MinCostMaxFlow(G, s, t)for ∀e ∈ E[G] do

fluxo[e] ← 0

redeResidual ← Gcusto ← 0

while exisitr um caminho entre F e S (rodar Bellman-Fordpara encontra menor caminho F S (*)) do

atualizar custoaumentar fluxo ao longo do caminho cgerar rede residual, modificando o custo das arestas

return fluxo, custo

O(E)

O(|f*|.E.V)

O(E)

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Introdução





Exemplo de Implementação

Código Java que responde ao exemplo citado



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Prof. Jorge Figueiredo, notas de aula 6 e 10;

CORMEN, THOMAS H., Introduction To Algorithms 2.ed. MIT PRESS, 2001

http://www.slideshare.net/rafaelspereira/fluxo-a-custo-mnimo-1828149

http://courses.csail.mit.edu/6.854/06/scribe/s12-minCostFlowAlg.pdf


Demontiê Junior

24

Referências
















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Introdução






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Dúvidas?

fluxo maximo a custo minimo

Technology