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Fluidos Viscoelásticos
Profa. Mônica F. [email protected]
Sala 153-L, R 1174
http://naccache.usuarios.rdc.puc-rio.br/Cursos/FNNIP.html
Fluidos viscoelásticos
• Fluidos estruturadosw têm condição natural de repouso que representa um
estado de energia mínimaw quando ocorre deformação, forças termodinâmicas
tendem a fazer com que este estado sejarestabelecido
w movimento a partir do repouso representa um armazenamento de energia
• Possuem comportamento elástico e viscoso• Deformação depende da história da tensão• Pequenas deformações: viscoelasticidade linear• Grandes deformações: efeitos não-lineares• Altos valores de viscosidade extensional
Profa. Mônica F. Naccache, PUC-Rio
• Muitos fenômenos ocorrem devido àscaracterísticas elásticas
• Elasticidade é importante em:w Escoamentos dependentes do tempow Escoamentos em desenvolvimento
(aceleração e desaceleração)w Escoamentos em geometrias complexas
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Parâmetros adimensionais
• Número de Deborah e número de Weissenberg: comparação entre um tempo característico do escoamento eo tempo característico do fluido
• Def.:
€
De ≡ λt f
Wi ≡ λti
λ: tempo fluidotf : tempo característico do escoamentoti : tempo característico de deformação do fluido
€
(=1/ ˙ γ c )
Ex.: Escoamento num tubo
€
De =λ
L /VWi = λ ˙ γ w ≈ λ
VD
⇒ De ≈Wi DL
Wi,De<<1: • forças elásticas são desprezíveis• modelo FNP é satisfatório
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Viscoelasticidade linear
• Estudo do comportamentoviscoelástico a baixas deformações
• As deformações tem que ser pequenaso suficiente tal que a estrutura do material permaneça não perturbada aolongo da história do escoamento.
€
γ ou ˙ γ ( )
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Viscoelasticidade linear
• Objetivos: w Entender a estrutura de equilíbrio dos materiais e
determinar suas principais características em termos de peso molecular, distribuição de peso molecular, flexibilidade das cadeias, etc. Relacionar a estrutura com a resposta mecânica.
w Determinar efeitos (qualitativos) da elasticidade e o seuimpacto no comportamento do escoamento. Por exemplo, dados de viscosidade complexa podem ser usadas para obtero tempo característico do fluido – Método empírico de Cox-Merz:
€
λ =G'G''ω
=η''η'ω
G’: módulo armazenamentoG’’: módulo de perdaη’: viscosidade dinâmicaη’’: rigidez dinâmicafrequência ω (rd/s) – em esc.
simples, ≈ taxa deformaçãocaracterística do escoamento
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Modelos mecânicosComponente elástico: mola (armazenamento de energia)
€
σ =Gγ
€
σ =η ˙ γ =ηγ 0dHdt
=ηγ 0δ(t)
γ =σηt
Componente viscoso: amortecedor (dissipação de energia)
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Modelo de Maxwell
€
γ = γ a + γ b
˙ γ = ˙ γ a + ˙ γ b =τµ
+˙ τ G
⇒ τ +µG
˙ τ = µ˙ γ
€
τ = µ˙ γ
€
τ =Gγ
•Dois parâmetros•Viscosidade constante (inconsistente com obsexperimentais)•Não prevê tensões normais em escoamentos de cisalhamento•Não obedece ao princípio da objetividade
ga gb
t
•Amortecedor:
•Mola:
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Resposta do fluido de Maxwell a uma deformação constante
€
γ = γ 0H( t)
⇒ t > 0 ˙ γ = 0⇒ dσdt
+Gησ = 0
dσσ
= −Gηdt⇒σ =σ 0e
−(G /η ) t
€
Taxa de decaimento da tensão em t = 0 :dσdt
= −σ0Gηe−(G /η )t
Tempo de relaxação do fluido : tempo no qual a tensão decairia a zero se a taxa fosse cte
tR = λ =ηG
Casos limite :Material viscoso - G →∞⇒ λ →0Material elástico - η→∞⇒ λ →∞
σ +ηG!σ =η !γ
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ga gb
t
• Exemplos de valores de tempos de relaxação
Fluido η(Pa.s) λ(s) G(Pa)
água 10-3 10-12 109
óleo 0.1 10-9 108
sol. polimérica
1 0.1 10
polímerofundido
105 10 104
vidro >1015 105 >1010
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Parâmetros reológicos
Forma integral do modelo de Maxwell
• Expressa a idéia de que os fluidosviscoelásticos tem memória evanescente, poissão mais influenciados pela cinemática maisrecente
• Integrando a eq. diferencial e considerando!γ finito para t→−∞ :
σ =ηλ−∞
t∫ e
−t−t 'λ
%
&'
(
)*!γ (t ')dt '
ηλe−t−t 'λ
%
&'
(
)*:
Módulo de relaxação. A tensão depende da taxa de deformação em t e nos instantes anteriores, o mód. Relax. Atua como um fator peso: “fading memory”, i.e., fluidolembra melhor da história mais recente
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Modelo de Maxwell
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Tempo de relaxação adimensional
G’ e G’’ – Modelo Maxwell
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Ajuste com modelo de Maxwell com 1 tempo de relaxação: inadequado paradescrever o comportamento de fluidos reais. Desenvolvimento de outros modelos, como o modelo de Maxwell generalizado
Ajuste com modelo de Maxwell com 5 tempos de relaxação
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Modelo de Maxwell Generalizado
- Superposição de modelos de Maxwell: - Espectro de tempos de relaxação e viscosidades
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• A memória é governada pelo máximotempo de relaxação. Num escoamentocisalhante em que as taxas de deformação são << 1/lmax a memórianas maiores deformações édesprezível e não contribui para a tensão.
σ =ηk
λke−t−t 'λk
"
#$
%
&'
!γ (t ')k=1
∞
∑−∞
t∫ dt '
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Modelo de Maxwell Generalizado
• A derivada no tempo é substituída pela derivada convectada
• O modelo satisfaz os princípios de determinismo, ação local e objetividade
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Modelo de Maxwell 3D
Modelo de Kelvin-Voight
• Elementos elástico e viscoso emparalelo
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τ =G γ +η0Gλ!!γ
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
Modelo de Jeffreys
⌧ + ✓1⌧̇ = ⌘��̇ + ✓2 ˙̇�
�
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3 parâmetros reológicos: tempo de relaxação, tempo de retardo e viscosidade
Modelo de White-Metzner
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τ +η( !γ )G!τ =η( !γ ) !γ
- Tempo de relaxação dependente da taxa de deformação
- Viscosidade dependente da taxa de deformação
Aplicações das equaçõesconstitutivas
Profa. Mônica F. Naccache, PUC-Rio
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Aplicações das equaçõesconstitutivas