fÍsica | mÓdulo 3 | volume...

CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II

FÍSICA | MÓDULO 3 | VOLUME 3

ReitorProf. Antonio Joaquim Bastos

Vice-reitoraProfª. Adélia Maria C. M. Pinheiro

Pró-reitora de graduação - PROGRADProfª. Flávia Azevedo de Mattos Moura Costa

Diretor do Departamento de Ciências ExatasProf. Evandro Sena Freire

Universidade Estadualde Santa Cruz

Ministério daEducação

Ficha Catalográfica

Coordenação UAB – UESCProfª. Drª. Maridalva de Souza Penteado

Coordenação do Curso de Licenciatura em Física (EAD)Prof. Dr. Fernando R. Tamariz Luna

Elaboração de ConteúdoProfª. Msc. Fernanda Gonçalves de Paula

Instrucional DesignProfª. Msc. Marileide dos Santos de OliveraProfª. Msc. Cibele Barbosa

RevisãoProfª. Msc. Sylvia Maria Campos Teixeira

Coordenação de DesignProfª. Msc. Julianna Nascimento Torezani

DiagramaçãoJamile A. de Mattos Chagouri OckéJoão Luiz Cardeal Craveiro

Capa Sheylla Tomás Silva

FÍSI

CA

EAD

- U

ESC

Ao longo do texto você encontrará alguns boxes com orientações de estudo. A seguir descrevo o que cada uma significa e como você deve proceder diante das orientações.

PARA REFLETIR

As pausas para reflexão são pequenas provocações feitas ao longo do texto para que você interrompa por alguns minutos a leitura e pense sobre o que está sendo estudado. Não é necessário escrever nem debater com seus colegas, mas é importante que você pare para refletir sobre o que está sendo proposto antes de dar continuidade à leitura.

ATENÇÃO

Nos boxes em que há o pedido de atenção são apresentadas questões ou conceitos importantes para a elaboração de sua aprendizagem e continuidade dos estudos.

SAIBA MAIS

Aqui são apresentados trechos de textos que complementam e enriquecem o estudo que está sendo realizado.

EXERCÍCIO

Momento de debates sobre questões específicas. Cada exercício possui uma orientação específica sobre como deve ser realizado.

LEITURA RECOMENDADA/

NECESSÁRIA

São indicações de leituras que contribuem para a complementação e aprofun-damento dos estudos realizados.

ATIVIDADE

As atividades devem ser realizadas de acordo com as orientações específicas de cada uma.

VOCÊ SABIA?

Esses são boxes que trazem curiosidades a respeito da temática abordada.

UM CONSELHO

Um conselho, uma orientação feita pelo professor a respeito de algo que foi dito, auxiliando assim, na construção do conhecimento.

PARA CONHECER

Indicação e referências de autores, fontes de pesquisa, livros, websites, filmes (curtas-metragens e/ou longas-metragens) etc.

Os desafios auxiliarão na assimilação e aplicação dos conhecimetnos adquiridos. Cada um deles deve ser realizado de acordo com as orientações específicas.

PARA ORIENTAR SEUS ESTUDOS

DESAFIOS

Sumário

UNIDADE 1 - Introdução e apresentação do curso

1 AS PRIMEIRAS UNIDADES ......................................................................................19

ATIVIDADES ..............................................................................................................20

2 AS EQUAÇÕES DIFERENCIAIS .................................................................................21

2.1 PARA ENTENDER O ELETROMAGNETISMO ...................................................... 21

2.2 MECÂNICA DOS FLUIDOS ............................................................................22

2.3 MECÂNICA QUÂNTICA .................................................................................23

RESUMINDO ..............................................................................................................25

1

2UNIDADE 2 - Sequências de números reais

1 INTRODUÇÃO .......................................................................................................29

2 DEFINIÇÃO DE SEQUÊNCIAS DE NÚMEROS REAIS ..................................................... 30

3 LIMITE DE UMA SEQUÊNCIA ...................................................................................33

4 PROPRIEDADES OPERATÓRIAS DE LIMITES .............................................................. 35

ATIVIDADE 2.1 ...........................................................................................................39

5 SEQUÊNCIAS DIVERGENTES ...................................................................................39

6 SEQUÊNCIAS MONÓTONAS .....................................................................................40

ATIVIDADE 2.2 ...........................................................................................................43

3UNIDADE 3 - Séries numéricas

1 INTRODUÇÃO .......................................................................................................49

2 DEFINIÇÃO DE SÉRIES INFINITAS ...........................................................................52

3 SÉRIES GEOMÉTRICAS ...........................................................................................53

ATIVIDADE 3.1 ...........................................................................................................56

4 PROPRIEDADES DE SÉRIES CONVERGENTES ............................................................ 57

5 CRITÉRIOS DE CONVERGÊNCIA PARA SÉRIES DE TERMOS POSITIVOS ......................... 60

ATIVIDADE 3.2 ...........................................................................................................69

6 SÉRIES ALTERNADAS .............................................................................................70

7 CONVERGÊNCIA ABSOLUTA ....................................................................................75

ATIVIDADE 3.3 ...........................................................................................................79

56

7

UNIDADE 5 - Equações diferenciais - Primeiras definições

1 INTRODUÇÃO ..................................................................................................... 101

2 CLASSIFICAÇÃO DAS EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ..................................................... 102

ATIVIDADE 5.1 ......................................................................................................... 103

3 SOLUÇÕES DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ............................................................. 104

ATIVIDADE 5.2 ......................................................................................................... 106

4 EXISTÊNCIA E UNICIDADE DA SOLUÇÃO DE UMA EDO DE 1ª ORDEM ......................... 106

ATIVIDADE 5.3 ......................................................................................................... 108

4UNIDADE 4 - Séries de Fourier

1 INTRODUÇÃO .......................................................................................................87

2 FUNÇÕES PERIÓDICAS ..........................................................................................88

ATIVIDADE 4.1 ...........................................................................................................89

3 DEFINIÇÃO DE SÉRIES DE FOURIER .......................................................................89

4 FUNÇÕES PARES E ÍMPARES ...................................................................................91

ATIVIDADE 4.2 ...........................................................................................................94

UNIDADE 6 - Métodos de resolução de EDOS de 1ª ordem

1 EQUAÇÕES COM VARIÁVEIS SEPARÁVEIS ............................................................... 113

ATIVIDADE 6.1 ......................................................................................................... 116

2 EQUAÇÕES EXATAS ............................................................................................. 117

3 FATOR INTEGRANTE ............................................................................................ 122

ATIVIDADE 6.2 ......................................................................................................... 125

4 EQUAÇÕES LINEARES .......................................................................................... 126

ATIVIDADE 6.3 ......................................................................................................... 129

5 EQUAÇÕES DE BERNOULLI E DE RICATTI ............................................................... 129

ATIVIDADE 6.4 ......................................................................................................... 131

UNIDADE 7 - Aplicações de equações diferenciais de 1ª ordem

1 DECAIMENTO RADIOATIVO ................................................................................... 138

2 LEI DE RESFRIAMENTO DE NEWTON ...................................................................... 139

3 MISTURAS .......................................................................................................... 141

4 DINÂMICA .......................................................................................................... 142

5 CIRCUITOS ELÉTRICOS ........................................................................................ 144

ATIVIDADE 7.1 ......................................................................................................... 145

Ao final desta aula, esperamos que você:

• Conheça um pouco da história do cálculo;

• sinta-se motivado a estudar o conteúdo da

disciplina;

• leia algum livro indicado na bibliografia;

• assista algum vídeo ou filme aqui indicado.

1unidade

Objetivos

INTRODUÇÃO E APRESENTAÇÃODO CURSO

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de

UNIDADE 1INTRODUÇÃO E APRESENTAÇÃO DO CURSO

“A Matemática - a idéia do infinito,

das tarefas infinitas - é como uma

torre babilônica, que apesar de

seu inacabamento, permanece

uma tarefa cheia de sentido,

aberta ao infinito; este infinito

tem por correlato o homem novo,

de metas infinitas.”

FONTE: Husserl, Edmund. A crise

da humanidade européia e a

filosofia. Porto Alegre: Edipucrs,

c1996

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de

CARO ALUNO,

Reservamos esta primeira unidade para fazer uma breve

introdução aos tópicos que serão discutidos ao longo de todo o curso.

Os temas aqui tratados são uma continuação natural dos tópicos vistos

em Cálculo Diferencial e Integral I, e têm uma enorme aplicabilidade

em nossas vidas cotidianas, como será mostrado na próxima seção.

Inicialmente gostaríamos de lhes dar algumas dicas, sugestões

e conselhos que acreditamos que podem contribuir de forma decisiva

para o seu sucesso e bom desempenho durante esta jornada.

E começamos com a dica mais importante de todas: NINGUÉM

APRENDE CÁLCULO APENAS LENDO! Por mais completo e didático

que seja o livro, não basta apenas ler. Você deve estudar. E o estudo

é feito sentado à mesa, com lápis e papel à mão. Sim, pois você

deve reescrever cada definição lida, verificar cada exemplo ilustrado,

demonstrar cada afirmação. A todo instante você deve interromper

sua leitura para assimilar conceitos, verificar e testar idéias, fazer uma

figura ou rascunhar um gráfico. E resolver exercícios... ah! Resolver

MUITOS exercícios. Esta tarefa diária de verificação simultânea do

que está sendo aprendido irá lhe proporcionar o desenvolvimento de

sua criatividade, suas habilidades irão se aguçar e, acima de tudo,

você será levado a participar do maravilhoso mundo da construção de

conhecimentos. Se você tiver dúvidas na resolução de algum exercício,

não desanime nem se desespere. Releia o conteúdo, consulte a

bibliografia recomendada, em algum momento você vislumbrará algo

que havia deixado passar. Com certeza você saberá apreciar estes

momentos. Caso a dúvida persista, não se esqueça de que você pode

ainda contar com seu professor, com seus tutores e também com

seus colegas. Não deixe de partilhar suas dificuldades.

Por estes motivos lhe propomos agora um desafio. Desafiamos

você, caro estudante, a mergulhar fundo conosco neste oceano imenso

dos domínios da matemática. Possivelmente, em alguns momentos,

você se sentirá perdido, no escuro, mas não perca as esperanças. Se

estiver escuro significa que você mergulhou fundo e está prestes a

desvendar os mais belos mistérios deste oceano matemático. Assuma

conosco este compromisso de aprendizagem. Faremos o possível para

que você entenda e aproveite todos os conceitos que serão discutidos.

Faça o possível você também.

LEITURA RECOMENDADA

Selecionamos dois sites sobre Educação à Distância

com dicas para você realizar um bom estudo. Não deixe de dar uma

olhadinha.

www.midiaindependente.org/

pt/blue/2008/03/415120.shtml

www.universia.com.br/ead/

materia.jsp?materia=17709

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de

1 AS PRIMEIRAS UNIDADES

Apresentaremos agora um pouco da história que permeia o

assunto da primeira e segunda unidades.

Inicialmente, gostaríamos de já lhe adiantar o que é uma

sequência de números reais. Intuitivamente, quando você lê a

palavra sequência, já imagina vários termos enfileirados. Pois uma

sequência de números reais é exatamente isso: uma lista de números

numa ordem específica. Entretanto, as sequências pelas quais nos

interessaremos são as infinitas, ou seja, uma infinidade de números

reais enfileirados. E iremos trabalhar propriedades bem interessantes

de determinadas sequências de números reais, como monotonicidade,

convergência, mas tudo a seu tempo.

O que cabe neste momento é lhe contar um pouco sobre uma

sequência para lá de especial: a sequência de Fibonacci. Você já deve

ter se deparado com esta sequência, mesmo que não tenha se dado

conta disso ainda.

A sequência de Fibonacci é dada por:

Esta sequência, descoberta por Leonardo Pisano ou Leonardo

Fibonacci, como era mais conhecido, tem a seguinte lei de formação:

o primeiro termo é 1, o segundo é 1 e cada termo seguinte, na

sequência, é obtido somando seus dois antecessores. Observe:

11

1+1=22+1=33+2=55+3=88+5=1313+8=21

e assim sucessivamente.

Embora de definição simples, a sequência de Fibonacci é cheia

de propriedades e aplicações interessantíssimas. Conceitos como o

Número de Ouro, o Retângulo Áureo e a Divisão Áurea têm

Infinitos e indivisíveis transcendem nosso entendimento finito, o primeiro por conta de sua magnitude, o segundo pela sua pequenez; imagine o que eles são quando combinados.Galileu Galilei (1564-1642)

1 1 2 3 5 8 13 21, , , , , , , ,…

SAIBA MAIS

PARA REFLETIR

Leonardo Fibonacci (1170-1240), nasci-do em Pisa (Itália), foi um dos primeiros matemáticos a difun-dir o sistema numé-rico hindu-arábico na Europa. Suas teorias matemáticas contribu-íram para o desenvol-vimento da Geometria Euclidiana e também para novos campos na Teoria dos Números.

CÁLCULO II

20 Módulo 3 I Volume 3 EAD

Introdução e apresentação do curso

relação intrínseca com a sequência que também pode ser encontrada

na natureza, na arte, na música, na arquitetura, entre outros.

Caso você não esteja fa-miliarizado com os con-ceitos de Número de Ouro, Retângulo Áureo e Divisão Áurea, pode descobrir um pouco mais sobre eles no endereço http://pt.wikipedia.org/wiki/Proporção_aurea

UM CONSELHO

ATIVIDADE

A seguinte atividade é uma apreciação de obras artístico-culturais. Seu objetivo é

despertar no aluno o fascínio pelas aplicações matemáticas no cotidiano, e motivá-lo a

continuar seus estudos. Simplesmente aprecie e se divirta com elas.

1. Caso ainda não tenha assistido o filme “O Código da Vinci”, o faça.

2. Leia o artigo http://www.confortin.com.br/arquivos/aula_02.pdf

3. Leia o livro O Universo e a Xícara de Chá, da autora K. C. Cole.

4. Aprecie as obras de Botticelli (O Nascimento de Vênus), em que Afrodite

está na proporção áurea, e de Leonardo Da Vinci (Mona Lisa), onde a mesma

proporção é usada.

5. Ouça as famosas Sinfonia nº5 e Sinfonia nº9, de Ludwig van Beethoven, onde

também estão presentes o número de ouro.

Algumas curiosidades...

• A sequência de Fibonacci foi usada no romance “O Código Da Vinci”, do escritor norte-americano Dan Brown, como código secreto.

• Na Bolsa de Valores, alguns corretores usam um software intitulado “Fibonacci” ou “Fibo” para tentar prever os preços das ações.

• Um grupo de rock da década de 80 adotou o nome “The Fibonaccis”.

Passemos agora para a próxima unidade: o estudo das séries

infinitas, que nada mais são, caros alunos, que a soma infinita dos

termos de uma sequência. Zenão de Eléa (490-425 a.C.) em seu

livro, 40 Paradoxos sobre Infinito e Contínuo, abordou problemas

envolvendo a soma de um número infinito de termos positivos que

resultavam num número finito, que é a essência da convergência de

uma série infinita de números.

Faça uma breve pausa para apreciar bem este fato. Como

somas infinitas podem ter resultados finitos? Arquimedes (287-212

a. C.) construiu vários exemplos para tentar explicar esta afirmação.

Na verdade, muitos foram os matemáticos que desenvolveram

e analisaram séries infinitas de números reais, mas foi Cauchy (1789-

1857) quem definiu de maneira mais completa e rigorosa a idéia de

convergência de séries infinitas (você verá que convergência de uma

série infinita significa que uma soma infinita tem um resultado finito).

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de

Já vimos como uma sequência infinita pode estar presente em

nossas vidas cotidianas mas, e séries infinitas? Onde são usadas e

como associá-las ao nosso cotidiano? Na verdade, nesta seção, você

terá de ter um pouco de paciência. Embora a motivação para estudá-

la seja intrigante (soma de infinitos números dando um resultado

finito), sua aplicabilidade não é tão imediata. Entretanto, as séries

infinitas constituem pré-requisito fundamental para o estudo de

Equações Diferenciais e estas, meu caro, estão presentes em todo o

nosso redor. Vejamos a seguir.

2 AS EQUAÇÕES DIFERENCIAIS

Equações diferenciais são a linguagem matemática que

descreve o comportamento de fenômenos naturais. Temos, por

exemplo, equações diferenciais que representam modelos de

natureza física, biológica e até mesmo econômica. Claro que você,

caro estudante, está interessado nos modelos físicos descritos por

equações diferenciais e, por este motivo, listaremos uma série de

situações de natureza física onde o domínio das equações diferenciais

é fundamental. Queremos que você perceba que o domínio das

equações diferenciais é o que lhe permitirá analisar, de modo científico,

todos os fenômenos ao seu redor.

2.1 PARA ENTENDER O ELETROMAGNETISMO

A Figura 1 foi retirada da web

page do European Laboratory for Particle

Physics (CERN) e trata-se do acelerador de

partículas mais poderoso do mundo: o LHC

(Large Hadron Collider), o grande colisor

de hádrons ; você já deve ter ouvido falar

do LHC, já que seus objetivos foram tão

divulgados (e por alguns até temidos) na

mídia de todo o mundo.

O objetivo do LHC é explicar a

origem das partículas elementares, através

de um experimento que consiste em aumentar progressivamente a

potência da circulação dos prótons, até chegar num momento crucial:

as primeiras colisões de partículas a velocidade próxima à da luz,

quando devem ser recriados os instantes posteriores ao Big Bang, o

que dará informações importantíssimas sobre a formação do universo.

Figura 1 - Fonte: http://lhc-machine-outreach.web.cern.ch/lhc-machine-outreach/lhc_in_pictures.htm

CÁLCULO II



Mas o que tudo isso tem a ver com equações diferenciais

mesmo? Acontece que a tecnologia segundo a qual funciona o LHC

se baseia no Eletromagnetismo. O Eletromagnetismo figura dentre os

mais importantes ramos da Física e as suas leis estão profundamente

presentes no nosso cotidiano: nos celulares, televisores, computadores,

nos radares, entre outros. Mais fundamentalmente até, as reações

moleculares e atômicas, responsáveis pela formação de sólidos e

líquidos, são de natureza elétrica. Agora a questão que você deveria

estar esperando: todo tipo de fenômeno eletromagnético pode ser

formulado a partir das leis fundamentais do Eletromagnetismo,

que são as Leis de Maxwell, também conhecidas como Equações

de Maxwell? Sim, as leis fundamentais do Eletromagnetismo são

equações diferenciais! A saber:

Equações de Maxwell:

SAIBA MAIS

Leia um pouco mais sobre o

LHC na web Page do CERN:

http://public.web.cern.ch/

public/

James Clerk Maxwell (1831 — 1879) físico e matemático que ficou conhecido por formular a teoria moderna do ele-tromagnetismo, que une eletricidade, o magnetis-mo e a óptica.

SAIBA MAIS

Div E q( ) =

Div B( ) = 0

Rot E Bt

( ) + ∂∂

= 0

Rot B Et

j( ) + ∂∂

=

E:=campo elétrico, B:=campo magnético,

q:=densidade de carga elétrica e, j:=densidade de corrente elétrica.

Mas não é apenas no eletromagnetismo que as equações

diferenciais exercem papel fundamental.

2.2 MECÂNICA DOS FLUIDOS

A Figura 2 foi retirada da web Page da NASA (National

Aeronautics and Space Administration), um órgão do governo norte-

americano que, como você deve saber, tem por objetivo, além de

ser pioneira na exploração espacial, fazer descobertas científicas e

conduzir pesquisas aeronáuticas. Um dos centros de pesquisa da

NASA, o LaRC (Centro de Pesquisas Langley), conduz as pesquisas

sobre aviação, onde os cientistas desenvolvem fuselagens e estudam

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de

Figura 2 - Fonte:http://www.nasa.gov/centers/dryden/images/

content/314080main_ED08-0053-07_full.jpg

como as camadas das aeronaves/espaçonaves

se comportam quando atravessam a atmosfera

da Terra e de outros planetas. O LaRC também

se concentra em segurança aeronáutica,

tecnologias de veículos aeroespaciais e

tecnologia de aeronaves silenciosas. Pois bem,

acontece que o estudo da aerodinâmica de uma

aeronave é uma das aplicações tecnológicas

mais evidentes da Mecânica dos Fluidos. E

você não vai ficar surpreso de saber que uma

das equações fundamentais da Mecânica dos

Fluidos, que descrevem o escoamento dos

fluidos, são as Equações de Navier-Stokes,

novamente, equações diferenciais.

Entretanto, as aplicações de Mecânica dos Fluidos não se

restringem apenas ao desenvolvimento de aeronaves. As Equações

de Navier-Stokes também são usadas para prever o clima, correntes

marítimas, propagação de fumaça em incêndios, fluxo sanguíneo,

dentre outras coisas. E você gostará de saber que, em conjunto com

as Equações de Maxwell, elas são usadas na modelagem de problemas

de magnetodinâmica.

As aplicações são inúmeras.

2.3 MECÂNICA QUÂNTICA

Figura 3 - Fonte: http://www.nasa.gov/centers/goddard/news/

topstory/2008/smallest_blackhole.html

SAIBA MAIS

Saiba mais sobre as pes-

quisas aeronáuticas da

NASA no endereço

http://www.aeronautics.

nasa.gov/

“Quanto mais se estuda a física quântica, mais misteriosa e fantástica ela se torna. A física quântica, falando de uma maneira bem simples, é uma física de possibilidades. São questões pertinentes de como o mundo se sente com relação a nós. Se existe uma diferença entre o modo do mundo nos sentir e como ele realmente é. Já parou para pensar do que os pensa-mentos são feitos?” A frase acima foi tirada do filme “Quem somos nós?”. Assista-o.

A Figura 3, retirada da web Page

da NASA, trata do menor buraco negro já

encontrado no universo. Você, com certeza,

já ouviu falar dos buracos negros, seja num

programa de televisão ou mesmo numa

reportagem de alguma revista. Assim como

também já deve ter ouvido falar do brilhante

físico inglês Stephen Hawking.

Embora possamos ter a idéia

equivocada de que buracos negros são

CÁLCULO II



“grandes aspiradores de matéria”, em 2004

Hawking descobriu, levando em consideração

os princípios da Mecânica Quântica, que a

superfície do buraco negro poderia apresentar

flutuações quânticas que permitiriam que as

informações contidas no interior do buraco

“escapassem”. Hawking usou princípios da

Mecânica Quântica para reconhecer tal fato.

Embora na maioria das vezes a Mecânica

Quântica seja eficiente para descrever

fenômenos microscópicos (por exemplo, as

reações químicas e a estrutura periódica dos elementos, são regidas

pelas leis da Mecânica Quântica), seus efeitos específicos também

são de vital importância para percepções em escalas macroscópicas,

como é o caso do estudo de buracos negros.

A formalização desta teoria é creditada,

dentre outros, ao físico ganhador do prêmio

Nobel Erwin Schrödinger, que propôs a

Equação de Schrödinger, equação diferencial

que representa, para a Mecânica Quântica,

o que a Segunda Lei de Newton representa

para a Mecânica Clássica. A Equação de

Schrödinger é mais um belo exemplo da

importante aplicabilidade das equações

diferenciais em todo universo ao nosso redor.

SAIBA MAIS

Stephen William Hawking (Oxford, 8

de janeiro de 1942) é um físico

teórico inglês.

Doutor em cosmologia, é um dos

mais consagrados físicos teóricos

da atualidade. Hawking foi pro-

fessor lucasiano de matemáti-

ca na Universidade de Cambrid-

ge (posto que foi ocupado por Isaac

Newton). Depois de atingir a idade

limite para o cargo, tornou-se pro-

fessor lucasiano emérito daquela

universidade.

Fonte (Figura): http://commons.wikimedia.org/wiki/

File:Stephen_Hawking.StarChild.jpg

SAIBA MAIS

Erwin Rudolf Josef Alexander

Schrödinger (1887 —1961) foi

um físico teórico austríaco famoso

por suas contribuições à Mecânica

Quântica, especialmente a Equação

de Schrödinger, pela qual recebeu

o Nobel de Física em 1933. Propôs

o experimento mental conhecido

como o Gato de Schrödinger.

Fonte (Figura): http://pt.wikipedia.

org/wiki/Ficheiro:Erwin_

Schr%C3%B6dinger.jpg

SAIBA MAIS

Saiba mais sobre buracos negros no site HowStuffWorks (Como Tudo Funciona)http://ciencia.hsw.uol.com.br/buracos-negros1.htm

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RESUMINDO

Listamos aqui apenas alguns eventos modelados por equações

diferenciais; na verdade a sua aplicabilidade é enorme. Você modelará, fazendo

uso de equações diferenciais, problemas de dinâmica populacional, datação por

carbono 14 (usado por exemplo para descobrir a hora da morte), problemas em

economia, concentração de misturas (por exemplo, sal e água), resfriamento de

corpos, estudo de circuitos elétricos, dentre muitos outros.

Esperamos que, com essa aula introdutória, tenhamos conseguido

motivá-lo a desenvolver um bom curso de Cálculo II, de maneira séria e

consciente do importante papel que esses conceitos farão na sua vida. Em alguns

momentos, por se tratarem de objetos matemáticos um pouco complexos, você

poderá se sentir desmotivado ou mesmo desanimado, mas tente sempre se

lembrar para onde o seu esforço em entender estes conceitos o levarão, o que

você será capaz de fazer (e entender) a partir do momento que compreender

os objetos estudados. Você terá aprendido a mais bela linguagem que existe,

a linguagem que descreve os fenômenos da natureza ao seu redor. E essa

satisfação não tem preço.

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Suas anotações

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