CINEMÁTICA • Estudo das leis dos movimentos independentemente das causas

que os produzem. • O repouso e o movimento de um corpo são conceitos relativos:

• corpo está em movimento se a sua posição relativa a outro objecto varia com o tempo;

• corpo está em repouso se a sua posição relativa a outro objecto não varia com o tempo.

• Exemplos:

(A)

O observador A verifica que o carro se afasta dele. O observador B verifica que o observador A se afasta dele. • Para descrever o movimento torna-se assim necessário

definir um sistema de referência ou um referencial: 3 eixos ortogonais e uma origem

• A trajectória do movimento depende também do referencial adoptado para o estudar:

B

O

Sol

Terra Lua O´

Trajectória da lua relativamente à Terra

Trajectória da lua relativamente ao Sol

Z

Y

X

Z´

Y´

X´

O movimento relativo dos dois referenciais OXYZ e O´X´Y´Z´ permite conciliar as diferentes trajectórias da lua observadas na Terra e no Sol

Paradoxo de Zeno e Elea (495-435 aC)

• A corredora vai percorrendo metade do percurso que falta para chegar à árvore.

• A corredora nunca mais chega até à árvore pois falta sempre percorrer uma fracção do percurso. O intervalo de tempo total necessário é infinito !!

• Para os gregos antigos a descrição matemática do movimento era problemática.

• O paradoxo surge porque se parte do princípio de que a soma de um número

infinito de termos é infinito.

• Como resolver o paradoxo? O percurso é efectuado com uma velocidade constante, v.

Logo, para cada uma dos percursos tem-se ( )( ) ( ) ( )

v

xt

t

xv i

ii

i ∆=∆⇒

∆∆

=

Como ( ) ( ) ( ) ( ) ( )nn44321

2

Lx;......;

2

Lx;

8

Lx;

4

Lx;

2

Lx =∆=∆=∆=∆=∆

Somando todos os intervalos de tempo

( ) ( ) ( ) ( )

−=

++++=∆++∆+∆+∆=∆nnn321

2

11

vL

2

1...

81

41

21

vL

t.....tttt

tomando o limite n→∞ conclui-se que v

Lt =∆ resolvendo-se o paradoxo.

L L/2

L/4 L/8

Movimento Curvilíneo

• Partícula descreve uma trajectória curvilínea no espaço

s - deslocamento ao longo da trajectória curvilínea relativamente a

um ponto arbitrário Os sA=OsA sB=OsB

r - vector-posição: define a posição da partícula na trajectória através de um sistema referencial XYZ com origem no ponto O

rA = OA= xA i + yA j + zA k

rB = OB= xB i + yB j + zB k

∆s - deslocamento ao longo da curva ∆s= AB

∆r - deslocamento ∆r = rB - rA = AB

=(xB - xA )i + (yB - yA ) j + (zB - zA ) k

=∆x i + ∆y j + ∆z k

• Velocidade média

)rv(ktz

jt

itx

tr

tt

rrv med

^^^

AB

ABmed

y ∆∆∆

∆∆

∆∆

∆∆ ++==

−−

=

^ ^ ^

^ ^ ^

^ ^ ^

^ ^ ^

^ j

Z

X

Y

k ^

^ i

rB rA

A B

∆∆∆∆r

∆∆∆∆s

Os

s

tA tB

O

• Velocidade instantânea ( v )

dtrd

tr

limvlimv0t

med0t

=∆

=∆

=∆∆

→→

Conclui-se que Tuv ou seja a velocidade instantânea, v , num dado ponto é um vector tangente à trajectória nesse ponto.

^z

^y

^x

^^^

kvjviv

kdtdz

jdtdy

idtdx

dtrd

v

++=

++==

2z

2y

2x vvvvv ++==

1t2t1t

1t1r

tt1r

v

2t2r

t2t2r

v

3tr

ttr

v

011med

02med

3

03

33med

∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆

<<

=−

=

=−

=

=−

=

ûT é o versor da tangente à trajectória no ponto considerado

=

=

=

dtdz

v

dtdy

v

dtdx

v

com

z

y

x

A

B1

B2

B3

vmed2 vmed3

vmed1

v

∆r1 ∆r2

∆r3

uT ^

t1

t2

t3

t0

Por outro lado e usando o deslocamento ao longo da trajectória (∆s):

∆

∆=

∆=

∆=

∆∆

∆∆

∆∆

∆∆

∆∆

→→→→ ts

sr

ts

srr

0t0t0t0tlimlimlim

tlimv

Logo

• Aceleração média (a velocidade pode variar em módulo e em

direcção)

vdtds =

Velocidade escalar

dsrd

limsr

0s=

∆ ∆∆

→

T^u

pois ∆s 0 quando

∆t 0

pois à medida que ∆s se aproxima de zero

rds ≈∆ e rd é a T^u

T^uvv =

^ j

Z

X

Y

k ^

^ i

A B

tA tB

O

vA

vB vB

∆v = vB - vA

amed

^z^y^xmed k

t

vj

t

vi

t

v

tv

a∆

∆∆

∆∆

∆∆∆ ++==

• Aceleração instantânea ( a )

2

2

0tmed

0t dt

rd

dt

vd

t

vlimalima ==

∆=

∆=

∆∆

→→

^z

^y

^x

^z^y^x

kajaia

kdt

dvj

dt

dvi

dtdv

dtvd

a

++=

++==

==

==

==

2

2z

z

2

2yy

2

2x

x

dt

zddt

dva

dt

yddt

dva

dt

xddt

dva

com

2z

2y

2x aaaaa ++==

• Conhecendo a aceleração a(t) podem-se determinar por integração a velocidade e a posição em qualquer instante t :

∫∫∫ +=⇔=⇔=⇔=t

to

t

t

v

v ooo

dtavvdtavddtavddtvd

a

∫ ∫∫∫

++=⇔=⇔=⇔=

t

t

t

too

t

t

r

r o ooo

dtdtavrrdtvrddtvrddt

rdv

a aceleração é sempre dirigida para a concavidade da curva pois a velocidade varia na direcção de curvatura da trajectória

• Movimento com aceleração constante

( )oo

t

to ttavdtavv

o

−+=+= ∫

( ) ( )2ooo

t

to ttattvdtvrr

o

−+−==− ∫

Conclui-se que

dtavv

dtavv

dtavv

t

tzozz

t

tyoyy

t

txoxx

o

o

o

∫

∫

∫

+=

+=

+=

dtdtavzz

dtdtavyy

dtdtavxx

t

t

t

tzozo

t

t

t

tyoyo

t

t

t

txoxo

o o

o o

o o

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

++=

++=

++=

v está sempre no plano definido por vo e a

r - ro encontra-se no

plano definido por vo e a

O movimento com aceleração constante ocorre sempre num

plano

• Tipos de movimento (independentemente em cada uma das coordenadas x, y ou z):

i) a=0 => v=constante => movimento uniforme ii) a=constante => movimento uniformemente variado

a v > 0 => movimento uniformente acelerado (a velocidade aumenta ao longo do tempo) a v < 0 => movimento uniformente retardado (a velocidade diminui ao longo do tempo)

• Se se conhecer a dependência da aceleração no tempo,

a = f(t) , é possível calcular a velocidade da partícula:

Exemplos de aplicação:

• Movimento uniforme : v=constante=v => a = 0

( )oo

t

to

t

to t-txdtxdtxx

oo

vvv +=+=+= ∫∫

• Movimento uniformemente acelerado ou retardado: a = constante=a

( )oo

t

to

t

to t-tvdtvdtvv

oo

aaa +=+=+= ∫∫

( )[ ] ( ) ( )2oooo

t

tooo

t

to tt

2t-tvxdtttvxdtvxx

oo

−++=−++=+= ∫∫a

a

• Exemplo: Movimento de um Projéctil

(movimento curvilíneo de um corpo sujeito à aceleração

constante da gravidade)

( ) ( )^

^o

^o

^oy

^oxo

oo

jgga

jsenvicosvjvivv

s0t0r

−==

α+α=+=

==

( )

( ) ( )( )^o

^o

^^oy

^oxoo

jtgsenvicosv

jtgjvivttavv

−α+α=

−+=−+=

vx vy

( )[ ] ( )[ ] ^t

0o

^t

0o

^t

tyo

^t

txo

^^

jdttgsenvidtcosv

jdtvyidtvxjyixroo

−α+

α=

++

+=+=

∫∫

∫∫

Y

X

vo

vA

g

1) Escolher sistema de eixos 2) Definir a posição inicial ro 3) Definir a velocidade inicial vo 4) Definir a aceleração a

g

α

A

g v

vx

vy

P

B y

x

( )

( )

−α=

α=

2o

o

gt21

tsenvy

tcosvx

Equação da trajectória de um projéctil:

( ) ( )( )α

−α=⇒α

=22

o

2

o cosv2

gxtgxy

cosvx

t

No ponto mais alto (ponto A) tem-se vy=0 (velocidade horizontal) :

( ) ( )g

senvt0tgsenv oAAo

α=⇒=−α

a altura máxima que o projéctil atinge é então

( ) ( ) ( ) ( ) 2oo

oAmax g

senvg

21

g

senvsenvttyh

α−

αα===

( )g2

senvh

22o

maxα

=

O tempo necessário para o projéctil atingir o solo (tempo total de trânsito) é calculado considerando y=0 :

( ) ( )A

oB

2BBo t2

g

senv2ttg

21

tsenv0 =α

=⇒−α=

corresponde a duas vezes o tempo para atingir a altura máxima (tA)

Trajectória do projéctil é uma parábola

O alcance do projéctil correponde ao valor de xB :

( ) ( ) ( )

( )g

2senvx

g

senv2cosvtcosv)tt(x

20

max

ooBoB

α=

⇓

αα=α==

Qual a orientação da velocidade inicial para a qual o alcançe é máximo?

( )º45º9020

g

2cosv20

d

xdmaxmax

max20max =α⇒=α⇒=

α⇒=

α

Os resultados anteriores para o movimento do projéctil são válidos se:

1) O alcance é suficientemente pequeno para se poder desprezar a curvatura da superfície terrestre;

2) A altitude é suficientemente pequena para que a variação da aceleração da gravidade com a altura seja insignificante;

3) A velocidade inicial é suficientemente pequena para que a resistência não seja importante.