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Física 2 – Aula 1 – Conceitos: Estática e Dinamica do corpo rígido

Prof. Dr. Cláudio Sérgio Sartori

1

F’isica 2 Objetivos: Fornecer aos alunos os conhecimentos que o

capacitem a compreender e manipular os conceitos da mecânica clássica, para a aplicação das propriedades físicas, aos projetos de

equipamentos ou peças em geral. Proporcionar ao aluno

desenvolvimento dos procedimentos práticos da física.

Ementa: Equilíbrio Estático de um Corpo Rígido.

Sistemas de Partículas e Conservação do Momento. Cinemática dos Corpos Rígidos. Estática: Baricentro. Treliças Planas e Espaciais.

Rotação dos Corpos Rígidos. Dinâmica do Movimento de Rotação.

Vibrações Mecânicas.

Bibliografia Básica:

RESNICK, R; HALLIDAY D; WALKER, J. Fundamentos da Física,

V 1 - Mecânica. LTC, 2009.

TIPLER, Pl A; MOSCA, G. Física para Cientistas e Engenheiros. V 1. LTC, 2009.

TIPLER, Pl A; MOSCA, G. Física para Cientistas e Engenheiros. V 2.

LTC, 2009.

Bibl;iografia complementar:

BEER, F. P.; JOHNSTON JUNIOR, E. R. Mecânica vetorial para

engenheiros: cinemática e dinâmica 5ª ed. 2v. São Paulo:

Makron, 1994. HIBBELER, R. C. Dinâmica: Mecânica para Engenharia. 8.ed.

Rio de Janeiro Prentice Hall Brasil, 2004.

KRAIGE,L.G.;MERIAN,J.L. Mecânica: dinâmica. Rio de Janeiro: LTC,2004.

Resumo: Vetores

Propriedades:

1ˆˆ ii 0ˆˆˆˆ ijji

1ˆˆ jj 0ˆˆˆˆ ikki

1ˆˆ kk 0ˆˆˆˆ jkkj

CABACBA

vv

vn

AB

ˆ ; onde ABABv

(Normalização de um vetor).

kBABAjBABAiBABABA xyyxzxxzyzzyˆˆˆ

Mostre que: kjin zyxAB

ˆcosˆcosˆcosˆ

Operações com Vetores no Espaço R3:

Determinação dos ângulos x, y, z:

v

v

v

v x

x

x

x arccoscos

v

v

v

v y

y

y

y arccoscos

v

v

v

v zx

zz arccoscos

Representação dos ângulos no espaço R3:

Representação:

kvjvivv zyxˆˆˆ

ou

),,( zyx vvvv

ou OAAOv

xv : Componente x do vetor v

na direção Ox .

yv : Componente y do vetor v

na direção Oy.

zv : Componente z do vetor v

na direção Oz.

v

A

z

y

x

0 vy y

x vx

Versores:

0,0,1ˆ i 0,1,0ˆ j 1,0,0ˆ k

Módulo do vetor:

222

zyx vvvv

Exercícios

1. Encontre a decomposição de cada força

indicada, escrevendo na forma ˆ ˆx yF F i F j

. Em

seguida encontre a força resultante que atua no

corpo A.

2. Um muro está sustentado pelos cabos na

figura. Se as tensões nos cabos AB e AC forem 1200N e

1600N, respectivamente, escreva os vetores que

representam essas tensões e determine a resultante no

mancal A.



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3. Seja a estrutura abaixo:

C

(a) Encontre os pontos A, B, C.

(b) Ache os vetores:

AB B A

CB B C

(c) Normalize os vetores:

ÂB

ABn

AB

; ˆ

BC

BCn

BC

(d) Encontre as forças que atuam na

direção AB, sabendo que seus módulos são

2500AB

F N

e ÂB AB AB

F F n

(e) Encontre os ângulos que essa força faz

com os eixos.

Momento ou torque de uma força:

Definição: Definimos o momento de uma força em

relação a O como sendo o produto vetorial de F e r:

Figura 1: Momento de uma força Mo em relação a O,

O oM r F r F

ˆˆ ˆr xi yj zk

ˆˆ ˆx y zF F i F j F k

OM r F sen Fd

ˆˆ Ô x y zM M i M j M k

x z yM yF zF

y x zM zF xF

z y xM xF yF

ˆˆ ˆ

O

x y z

i j k

M x y z

F F F

Exemplo 1 – Uma força vertical de 500N é

aplicada na extremidade de uma manivela fixada a

um eixo em O. Determinar:

(a) O momento da força de 500N em relação a O

(b) a intensidade da força horizontal aplicada em A

que produz o mesmo momento em relação a O.

(c) a menor força aplicada em A que produz o

mesmo momento em relação a O.

(d) a distância a que uma força vertical de 1200N

deverá estar do eixo para gerar o mesmo momento em

relação a O.

(e) se alguma das forças obtidas nos itens anteriores

é equivalente a força original.

i k

j



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Exemplo 2 – Uma força de 800N é aplicada como

ilustrado. Determine o momento da força em relação a

B.

Exemplo 3 – Uma força de 150N atua na

extremidade de uma alavanca de 0.9m, como ilustrado.

Determinar o momento da força em relação a O.

Exemplo 4 – Uma placa retangular é sustentada por

suportes em A e em B e por um fio CD. Sabendo que a

tração no cabo é de 200N, determine o momento da

força exercida pelo fio na placa, em relação ao ponto A.

Solução:

A CAM r F

CAr

: vetor que liga de A a C.

ˆˆ0.3 0.08CAr AC i k

ˆCDF F n

ˆ

CD

CDn

CD

Exemplo 5 – Calcule o torque (módulo, direção e

sentido) em torno de um ponto O de uma força F

em

cada uma das situações esquematizadas na Figura 4. Em

cada caso, a força F

e a barra estão no plano da página,

o comprimento da barra é igual a 4.00 m e a força

possui módulo de valor F = 10.0 N.

Figura 4

Exemplo 6 – Calcule o torque resultante em

torno de um ponto O para as duas forças aplicadas

mostradas na Figura 5.

Figura 5

Exemplo 7 – Uma placa metálica quadrda de

lado igual a 0.180 m possui o eixo pivotado

perpendicularmente ao plano da página passando pelo

seu centro O (Figura 6). Calcule o torque resultante em



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torno desse eixo produzido pelas três forças mostradas

na figura, sabendo que F1 = 18.0 N, F2 = 26.0 N e F3 =

14.0 N. O plano da placa e de todas as forças é o plano

da página.

Figura 6

Exemplo 8 – As forças F1 = 7.50 N e F2 = 5.30

N são aplicadas tangencialmente a uma roda com raio

igual a 0.330 m, conforme mostra a figura 7. Qual é o

torque resultante da roda produzido por estas duas

forças em relação a um eixo perpendicular à roda

passando através de seu centro? Resolva o caso (b).

Figura 7 (a)

(b)

Exemplo 9 – Uma força atuando sobre uma

parte de uma máquina é dada pela expressão:

ˆ ˆ5.00 4.00F N i N j

O vetor da origem ao ponto onde a força é

aplicada e dado por:

ˆ ˆ0.45 0.15r m i m j

(a) Faça um diagrama mostrando r

F

e a

origem.

(b) Use a regra da mão direita para determinar

a direção e o sentido do torque.

(c) Determine algebricamente o vetor torque

produzido por essa torça. Verifique se a direção e o

sentido do torque são iguais aos obtidos no item (b).

Figura 8 - Regra da mão direita.

Em cada problema, esboce o diagrama de corpo livre.

1. Encontre as reações de apoio na barra mostrada.

Suponha peso da barra desprezível.

2. Determine a tensão na corda supondo que

não haja atrito e a polia seja ideal.

3. A peça da figura está conectada no pono A

e apoiada em B. Determine as reações de apoio e forças

de contato.



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4. Determine a força de apoio na barra da figura:

5. Um caminhão possui uma rampa de 400 lb de

peso conforme mostrado. Determine a tensão no fio que

a segura.

6. Determine as forças nos apoios A e B.

7. Compare as forças exercidas sobre os

pontos A e B do solo quando uma mulher de 120 lb

utiliza um sapato normal e um sapato de salto alto.

8. Determinar a tensão T no cabo de

sustentação da barra da figura, de massa 95 kg.



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9. O centro de gravidade G do carro mostrado

está indicado. A massa do carro vale 1400 kg.

Determine as forças normais em cada ponto de contato.

10. Determine as forças nos apoios A e B que

a barra de 12 lb de peso faz sobre o carregador.

11. A barra de 450 kg suporta o barril na

posição indicada. Determine as forças nos apoios

indicados.

12. Uma barra prismática AB bi-apoiada,

encontra-se em equilíbrio conforme ilustrado. Pedem-se

as reações de apoio em A e B.

3.0 m 2.0 m 2.0m

210N 140N

A B

Repita o problema 1 considerando o peso da

Barra de 150N.

13. Na figura o peso do bloco vale P = 200N. A

densidade linear da barra é = 5 kg/m. Determine o

comprimento da barra L para que fique em equilíbrio na

posição horizontal.

14. Na figura:

50 200ABP kgf Q kgf

Determine as reações no apoio A e a tensão no

fio.

15. Uma barra prismática AB bi-apoiada,

encontra-se em equilíbrio conforme ilustrado. Se o peso

da barra for 200N, encontre as reações de apoio em A e

B.

4.0 m 3.0 m 3.0m

320N 260N

A B

16. Uma força de 30 lb atua na extremidade de

uma alavanca de 3 ft, como ilustrado. Determinar o

momento da força em relação a O.

P

B C

L

3.0 m

A

300

B

Q

3.0 m 2.0 m



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17. Na estrutura indicada, a torre está amarrada

em dois suportes fixos no solo. A tensão no cabo AB é

2100 N; no cabo AC é 1800N e no cabo AD é 2300N.

Determine a força resultante no ponto A da estrutura.

18. Determine o centroide da figura plana com

densidade superficial de massa constante.

19. Determine o momento da força de 200N

aplicada no ponto C da dobradiça em relação ao ponto

A.

Dados: Estática do corpo rígido:

BA A B

e ˆBA

BAn

BA

.

2 2 2ˆˆ ˆx y z x y zF F i F j F k F F F F

arccos arccos arccosyx z

x y z

FF F

F F F

Momento de uma força BF

aplicada no ponto B

de um sólido em relação ao ponto O:

O BOB F

OB B O

20. Uma esfera homogênea e lisa repousa sobre

a inclinação A e apoia-se contra a parede B. verticais

lisas. Calcular as forças de contato em A e B.

FA = 566 N, FB = 283 N



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21. O peso da bicicleta é 29 lb com o

centro de gravidade em G. Determine as forças

normais em A e B, quando a bicicleta está em

equilíbrio.

NA = 15.91 lb, NB = 13.09 lb

22. O feixe uniforme tem uma massa de 50

kg por metro de comprimento. Determinar as

reacções nos apoios.

Ay =1864 N, By = 2840 N

23. O feixe uniforme de 500 kg é

submetido às três cargas externas mostrados.

Calcule as reacções no ponto de apoio O. O plano

xy é vertical.

Ox = 1500 N, Oy = 6100 N

MO = 7560 N.m CCW

24. Determinar a magnitude de T a tensão

no cabo de suporte e a magnitude da força exercida

sobre o pino em A para a lança da grua mostrado.

A viga AB possui 5 m com uma massa de 95 kg

por metro de comprimento.

Ax = 17.77 kN; Ay = 6.37 kN; A = 18.88 kN

T = 19.61 kN

25. Calcular as forças de reações no ponto

O de base aparafusada do conjunto de sinais de

trânsito em cima. Cada sinal de trânsito tem uma

massa de 36 kg, enquanto as massas de membros

OC e AC são de 50 kg e 55 kg, respectivamente. O

centro de massa do membro AC está em G.

Ox = 0, Oy = 1736 N,

MO = 7460 N.m CW



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26. Três cabos estão ligados ao anel de

junção C. Determinar as tensões nos cabos de AC e

BC causada pelo peso do cilindro de 30 kg .

TAC = 215 N, TBC = 264 N

27. A localização do centro de gravidade

da caminhonete de 3600-lb está indicado para o

veículo sem carga. Se uma carga cujo centro de

gravidade se encontra atrás do eixo traseiro é

adicionado ao caminhão, determinar o peso da

carga para que as forças normais e sob as rodas

dianteiras e traseiras sejam iguais.

WL = 550 lb.

28. Um bloco colocado sob a cabeça do

martelo como mostrado facilita muito a extração

do prego. Se uma força de 50 lb é necessária para

puxar o prego, calcular a força de tensão T no

prego e a magnitude da força A exercida pela

cabeça de martelo sobre o bloco. As superfícies de

contato em A são suficientemente áspera para

evitar escorregamento.

T = 200 lb, A= 188.8 lb



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Cinemática da Partícula (Revisão)

Vetor Posição: ˆˆ ˆr x i y j z k

Vetor velocidade média mv

:

m

rv

t

Vetor Velocidade instantânea: dr

vdt

Vetor aceleração média: m

va

t

Vetor Aceleração instantânea: dv

adt

Aplicação: Lançamento Oblíquo:

Eixo x: MU: 0 0xx x v t

Eixo y: MUV: 2

0 02y

ty y v t g

0yyv v g t

Decomposição da velocidade inicial 0v

:

0 0 0 0cosx y

v v v v sen

Tempo de subida: 0y

s

vt

g

Alcance: 2

0 2m

vx sen

g

Altura máxima: 0

2

2

y

vh

g

Movimentos curvilíneos e MCU

Movimento

Curvilíneos

MCU

e v a

perpendiculares

Aceleração resultante

2 2

R cp Ta a a

R cpa a

Aceleração tangencial

T

dva

dt

0Ta

Aceleração centrípeta e Força centrípeta 2

2

cp cp cp

va a R F m a

R

Cinemática dos Corpos Rígidos

Movimentos:

Translação.

Rotação sobre um eixo fixo.

Movimento Geral sobre um plano

Movimento sobre um ponto fixo

Movimento Geral qualquer.



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Translação

B A BAr r r

B Av v

B Aa a

Rotação sobre um eixo fixo

01 2 360rev rad

dr

vdt

dsv s BP BP r sen

dt

dv r sen

dt

v r sen

Velocidade angular: k

Como o ângulo entre r

e

é , lembrando da

propriedade do módulo do produto vetorial:

r r sen r sen v

v r

dv d d dr

a a r rdt dt dt dt

da r v

dt

Aceleração angular: d

dt

ˆ ˆ ˆk k k

a r r

Rotação de um corpo rígido

Sendo k

ˆv r v k r

Como k r v r

a r r

ˆ ˆ â k r k k r

2ˆ ˆ â k r k k r

ˆ ˆk k r

u v w u w v u v w

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆk k r k r k k k r

ˆ ˆk k r r

2â k r r

Aceleração tangencial:

ˆT Ta k r a r

Aceleração normal 2 2

N Na r a r

Exercícios 1. Uma polia está conectada por cabos

inextensíveis conforme mostra a figura. O movimento

da polia é controlado pelo cabo C o qual tem uma

aceleração constante de 9 in/s2 e uma velocidade

inicial de 12 in/s, ambas para a direita.Determine:

(a) o número de revoluções executados pela

polia em 2 s.

(b) a velocidade e a mudança na posição do

corpo B após 2s.

(c) a aceleração do ponto D da polia interior no

instante t = 0s.



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Solução:

2. O movimento de um corpo é dado por:

3 29 15t t t t SI .

Determine a posição angular, a velocidade

angular e a aceleração angular nos instantes:

(a) t = 0 s (b) t =3s.

3. No problema anterior, determine a posição

angular e a aceleração nos instantes em que a

velocidade angular se anula.

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