fis iii - atv 02 - nav - cáculo vetorial - parte ii
TRANSCRIPT
8/8/2019 FIS III - Atv 02 - NAv - Cáculo Vetorial - Parte II
http://slidepdf.com/reader/full/fis-iii-atv-02-nav-caculo-vetorial-parte-ii 1/9
C
a p ´ ı t u
l o
2Introducao ao Calculo Vetorial - Parte II.
Calculo Diferencial
2.1 Derivada “Ordinaria”
Vamos supor que nos temos uma funcao de uma variavel, f (x ) que e derivavel e contınua no
ponto x . O que a significa para nos a derivada d f /d x ? Ela nos diz o quao “rapido” a funcao
f (x ) varia quando nos mudamos o argumento x de uma pequena quantidade, d x :
d f =
d f
d x
d x (2.1)
ou seja, se nos variarmos x numa quandia d x , a funcao f (x ) vai variar a quantia d f . Por
exemplo, e facil interpretar isso com o auxılio da Fig. 2.1. A funcao varia lentamente na 2.1a e
mais rapidamente na Fig. 2.1b, pois a derivada pode ser interpretada como a inclinacao da reta
tangente no ponto considerado.
(a) Grafico de uma funcao cuja derivada varia lenta-mente
(b) Grafico de uma funcao cuja derivada varia rapi-damente
Figura 2.1: Representacao de uma funcao derivavel em um ponto qualquer
8/8/2019 FIS III - Atv 02 - NAv - Cáculo Vetorial - Parte II
http://slidepdf.com/reader/full/fis-iii-atv-02-nav-caculo-vetorial-parte-ii 2/9
CAP ITULO 2. INTRODUC AO AO C ALCULO VETORIAL - PARTE II. 12
2.1.1 O Gradiente
Suponhamos agora que nos temos uma funcao de 3 variaveis, como exemplo podemos ter uma
funcao temperatura T (x , y ,z ) em uma sala. Vamos supor que dentro desta sala temos um aque-
cedor e um aparelho de ar condicionado em pontos diferentes e desconhecidos. Vamos supor
tambem que um dos cantos da sala esta o nosso sistema de coordendas. Como podemos imag-
inar, ao ligar os dois aparelhos, teremos para cada ponto (x , y ,z ) da sala, uma temperatura T
local ou regiao diferente. Uma pessoa dentro desta sala quer se esfriar, pois o local que ela est ae mais quente. Esta situacao levanta uma questao, em qual direcao ela deve ir para se esfriar o
mais rapido possıvel? Ou se estiver em um local frio, qual a direcao ela deve ir para se aquecer
o mais rapido possıvel? Qual e a melhor direcao para se tomar?
A suposta derivada da funcao T (x , y ,z ) nos fala o quao rapido a funcao T varia se nos
movermos um pouco a nossa posicao.Um teorema nas derivadas parciais declara que:
dT =
∂T
∂x
d x +
∂T
∂ y
d y +
∂T
∂z
d z (2.2)
Esta equacao nos mostra como T varia quando sao alteradas todas as tres variaveis por
quantidade infinitesimais, d x , d y e d z . A equacao 2.2 vem do produto escalar entre:
d T =
∂T
∂x x +
∂T
∂ y ˆ y +
∂T
∂z z
·d x x + d y ˆ y + d z z
= (∇T ) ·
d l
(2.3)
onde
∇T ≡∂T
∂x x +
∂T
∂ y ˆ y +
∂T
∂z z (2.4)
e o gradiente de T .
Interpretac˜ ao Geometrica : A equacao 2.3 pode ser reescrita de uma outra forma, pois o
gradiente tem magnitude e direc˜ ao. Para melhor entendermos geometricamente, temos que:
d T = ∇T · d l = |∇T ||d l |cosθ (2.5)
onde θ e o angulo entre ∇T e d l . O deslocamento infinitesimal possui um vetor unitario em sua
direcao. Entao podemos reescrever a equacao acima como:
d T
d l
= |∇T | · |d l |cosθ
como |d l | e unitario, vem
d T
d l = ∇T ·cosθ (2.6)
A maxima mudanca em T ocorrera evidentemente quando θ = 0. Isso e, para uma distancia
|d l | fixa, dT aumenta se movermos na mesma direcao que ∇T . Entao:
O gradiente ∇T aponta para a direc˜ ao do m´ aximo aumento da func˜ ao T .
Mais ainda:
8/8/2019 FIS III - Atv 02 - NAv - Cáculo Vetorial - Parte II
http://slidepdf.com/reader/full/fis-iii-atv-02-nav-caculo-vetorial-parte-ii 3/9
CAP ITULO 2. INTRODUC AO AO C ALCULO VETORIAL - PARTE II. 13
A magnitude |∇T | d´ a a inclinac˜ ao (taxa de aumento) pela m´ axima direc˜ ao
Exemplo 2.1
Como um exemplo de gradiente, considere a Fig.2.2a em que E e a elevac˜ ao de uma mon-
tanha acima do nıvel do mar e e uma func˜ ao de x , y em um plano horizontal. A junc˜ ao de todos
os pontos com mesma altitude definem as linhas de contorno. O gradiente da elevac˜ ao E possui
as seguintes propriedades:
1. Ele e perpendicular as linhas de contorno no ponto considerado.
2. Sua magnitude e igual a maxima taxa de variacao da elevacao no plano horizontal e
3. Ele aponta para um aumento da elevacao. Por isso a seta aponta para a curva de maior
nıvel (500m) mais proxima e nao outra.
(a) Mapa topografico de uma montanha (b) Montanha vista superior e de
perfil
Figura 2.2: Interpretacao geometrica do gradiente. Curvas de Nıvel de montanhas
Ja a Fig. 2.2b nos mostra outra montanha, sendo a parte de cima uma vista superior da
montanha e a parte de baixo uma vista de perfil.
Exemplo 2.2
Encontrar o gradiente de r =
x 2 + y 2 + z 2 (magnitude do vetor posic˜ ao):
Solucao:
∇r =∂r
∂x x +
∂r
∂ y ˆ y +
∂r
∂z z
=1
2
2x x 2 + y 2 + z 2
x +1
2
2 y x 2 + y 2 + z 2
ˆ y +1
2
2z x 2 + y 2 + z 2
z
=x x + y ˆ y + z z
x 2 + y 2 + z 2=r
r = r
Isso faz sentido? Isto diz que a direcao de aumento e radial e a taxa de aumento e igual a 1.
8/8/2019 FIS III - Atv 02 - NAv - Cáculo Vetorial - Parte II
http://slidepdf.com/reader/full/fis-iii-atv-02-nav-caculo-vetorial-parte-ii 4/9
CAP ITULO 2. INTRODUC AO AO C ALCULO VETORIAL - PARTE II. 14
Exemplo 2.3
Determine o gradiente dos seguintes campos escalares:
a) V = e −z .se n (2x ).cosh( y )
b) U = x 2 y + zx y
Solucao: Derive a funcao V em x , depois em y e depois em z , independentemente,conformepodemos ver a seguir. Depois some cada parte para obter o gradiente da funcao.
a)
∂V
∂x = 2.e −z
.cos(2x ).cosh( y )x +
∂V
∂ y = e −z
.se n (2x ).senh ( y ) ˆ y +
∂V
∂z = −.e −z
.se n (2x )cosh( y )z
Assim, o gradiente da funcao V e:
∇V =∂V
∂r = 2.e −z .cos(2x ).cosh( y )x + e −z .se n (2x ).senh ( y ) ˆ y − z .e −z .se n (2x )cosh( y )z
b)
∂U
∂x = y (2x + z )x +
∂U
∂ y = x (x + z ) ˆ y +
∂U
∂z = x y z
Assim, o gradiente da funcao U e:
∇U =∂U
∂r = y (2x + z )x + x (x + z ) ˆ y + x y z
2.1.2 O operador ∇
O gradiente tem a aparencia formal de um vetor multiplicando um escalar T, como podemos
ver na equacao a seguir:
∇T =
x ∂
∂x + ˆ y
∂
∂ y + z
∂
∂z
· T (2.7)
onde o termo entre parenteses e chamado de ”del ” e sempre e utilizado o sımbolo ∇:
∇ = x ∂
∂x + ˆ y
∂
∂ y + z
∂
∂z (2.8)
E claro, ∇ nao e um vetor, no senso comum, ele e um operador diferencial com carater
vetorial. Este operador nao e um vetor em si mesmo, mas, quando aplicado a uma funcao
escalar, por exemplo, resulta em um vetor.
8/8/2019 FIS III - Atv 02 - NAv - Cáculo Vetorial - Parte II
http://slidepdf.com/reader/full/fis-iii-atv-02-nav-caculo-vetorial-parte-ii 5/9
CAP ITULO 2. INTRODUC AO AO C ALCULO VETORIAL - PARTE II. 15
E preciso entender que o operador ∇ nao esta muliplicando T como vemos na Eq. 2.7. O
operador esta sendo aplicado a funcao escalar T (ou a qualquer funcao que esteja a sua direita).
Em outras palavras, ele e uma instrucao para diferenciar a funcao escalar T .
Como vimos na Parte I desta introducao, podemos fazer tres tipos de multiplicacao com um
vetor:
1. A multiplicacao por um escalar a :
a A
2. A multiplicacao por um outro vetor, B , atraves do produto escalar
A ·B
3. A multiplicacao por um outro vetor, B , atraves do produto vetorial:
A ×B
Analogicamente, existem tres ”multiplicacoes” ou vias para se usar o operador ∇
1. Em uma Funcao Escalar T
∇T
que nada mais e do que o Gradiente;
2. Em uma Funcao Vetorial v , atraves do produto escalar
∇ ·v
que e conhecido como Divergente.
3. Em uma Funcao Vetorial v , atraves do produto vetorial
∇ ×v
que e conhecido como Rotacional.
Ate o momento ja estudamos o Gradiente (seccao 2.1.1) e vimos algumas de suas aplicacoes.
Nas seccoes 2.1.3 e 2.1.4 respectivamente, falaremos sobre o Divergente e o Rotacional.
2.1.3 O Divergente
Da definicao de ∇ nos contruımos o divergente, porem aplicando o produto escalar. Seja v =
(x , y ,z ) uma funcao vetorial definida e diferenciavel em todos os pontos (x , y ,z ) numa dada regiao
do espaco (isto e, v define um campo vetorial derivavel) , entao o divergente de v e:
∇ ·v =
x ∂
∂x + ˆ y
∂
∂ y + z
∂
∂z
·
v x x + v y ˆ y + v z z
=∂v x
∂x +∂v y
∂ y +∂v z
∂z (2.9)
E preciso observar que o Divergente de uma funcao vetorial resulta em um escalar (reveja Eq.
1.18 para melhor entender o resultado acima) e que so e possıvel aplicar o Divergente em uma
8/8/2019 FIS III - Atv 02 - NAv - Cáculo Vetorial - Parte II
http://slidepdf.com/reader/full/fis-iii-atv-02-nav-caculo-vetorial-parte-ii 6/9
CAP ITULO 2. INTRODUC AO AO C ALCULO VETORIAL - PARTE II. 16
Funcao Vetorial. Aplicar o Divergente em uma funcao escalar nao possui sentido matematico.
Assim o divergente resulta em
∇ ·v =∂v x
∂x +∂v y
∂ y +∂v z
∂z (2.10)
Em muitos livros o Divergente de um vetor e escrito como divv .
Interpretac˜ ao Geometrica : O nome Divergente e bem escolhido. O divergente ∇ ·v e a
medida do quanto a funcao vetorial 1 espalha ou diverge de um ponto escolhido. A Figura 2.3a
mostra que a divergencia de um campo vetorial em um ponto P e positiva porque o vetor diverge
(ou se “espalha” a partir de) em P . Na Figura 2.3b um campo vetorial tem divergencia negativa
(ou convergencia) em P e na Figura 2.3c, um campo vetorial tem divergencia zero em P .
(a) Fonte (b) Sumidouro (c) Nulo
Figura 2.3: Ilustracao da divergencia de um campo vetorial em P ; a) Divergencia positiva ou fonte; b)Divergencia negativa ou sumidouro; c) Divergencia zero.
Exemplo 2.4
Suponha que na Figura 2.4 a func˜ ao vetorial e A =r = x x + y ˆ y + z z . Calcule o seu divergente.
Solucao: Deriva-se a funcao A em x somente no coeficiente do vetor unitario x . Analoga-
mente se faz em y e z . Assim, teremos:
∇ · A =∂
∂x (x )+
∂
∂ y ( y )+
∂
∂z (z )
= 1+1+1
∇ · A = 3 (2.11)
Como esperado, a divergencia de A e positiva. Este resultado e muito util se guardar, pois
facilita em muitos calculos futuros.
Figura 2.4: Exemplo de campo divergente
1Lembrando que aqui e uma funcao vetorial e nao um vetor. Ou seja, ha um vetor/seta para cada ponto
diferente no espaco, porem na figura nao e possıvel desenhar todos os pontos com setas.
8/8/2019 FIS III - Atv 02 - NAv - Cáculo Vetorial - Parte II
http://slidepdf.com/reader/full/fis-iii-atv-02-nav-caculo-vetorial-parte-ii 7/9
CAP ITULO 2. INTRODUC AO AO C ALCULO VETORIAL - PARTE II. 17
Exemplo 2.5
Determine a divergencia do seguinte campo vetorial: P = x 2 y z x + xz z
Solucao:
∇ ·P =∂
∂x (P x )+
∂
∂ y (P y )+
∂
∂z (P z )
=∂
∂x (x 2 y z )+
∂
∂ y (0)+
∂
∂z (xz )
= 2x y z + x
2.1.4 O Rotacional ∇×
Da definicao de ∇ nos contruımos o rotacional, porem aplicando o produto Vetorial. Seja v =
(x , y ,z ) uma funcao vetorial definida e diferenciavel em todos os pontos (x , y ,z ) numa dada regiao
do espaco (isto e, v define um campo vetorial derivavel), entao o rotacional de v e:
∇ ×v =
x ˆ y z ∂
∂x ∂
∂ y ∂
∂z
v x v y v z
= x
∂v z
∂ y −∂v y
∂z
+ ˆ y
∂v x
∂z −∂v z
∂x
+ z
∂v y
∂x −∂v x
∂ y
(2.12)
Note que no desenvolvimento do determinante, os operadores
∂
∂x +
∂
∂ y +
∂
∂z
devem preceder v x ,v y ,v z , ou seja, aqui os operadores que “multiplicam” as funcoes, devem na
verdade se aplicarem a elas. Os termos entre parenteses na Equacao 2.12 nada mais sao do que
os determinantes de 2a
ordem.
Interpretac˜ ao Geometrica: O nome Rotacional e bem escolhido, porque ∇×v e a medida do
quanto a funcao vetorial v “rotacional”o ponto aplicado. A Figura 2.3 e 2.4 sao contra exemplos
de Rotacional e seus valores sao zero, porem na Figura 2.5 temos um Rotacional bem ilustrado.
Este rotacional aponta na direcao do eixo Z.
Figura 2.5: Ilustracao do Rotacional de um campo vetorial.
8/8/2019 FIS III - Atv 02 - NAv - Cáculo Vetorial - Parte II
http://slidepdf.com/reader/full/fis-iii-atv-02-nav-caculo-vetorial-parte-ii 8/9
CAP ITULO 2. INTRODUC AO AO C ALCULO VETORIAL - PARTE II. 18
Exemplo 2.6
Suponha que a func˜ ao vetorial esbocada na Fig. 2.5 seja a func˜ ao A = − y x + x ˆ y . Calcule o
seu rotacional:
Solucao:
∇ ×v =
x ˆ y z ∂
∂x ∂
∂ y ∂
∂z
− y x 0
= x
∂0
∂ y −∂x
∂z
+ ˆ y
∂(− y )
∂z −∂0
∂x
+ z
∂x
∂x −∂(− y )
∂ y
= (0)x + (0) ˆ y + (1+1)z
= 2z
2.2 Segundas derivadas e o Laplaciano ∇2
O Gradiente, o divergente e o rotacional sao somente a primeira derivada que nos podemos fazer
com o operador ∇. Aplicando o operador por duas vezes nos podemos contruir mais 5 formas
de segunda derivadas. Seja T uma funcao escalar e seu gradiente ∇T e um vetor, logo sendo um
vetor, podemos aplicar sobre ele o divergente e o rotacional.
1. O divergente do gradiente : ∇ · (∇T )
∇ · (∇T ) =
x ∂∂x
+ ˆ y ∂∂ y
+ z ∂∂z
·
∂T ∂x
x + ∂T ∂ y
ˆ y + ∂T ∂z
z
=∂2T
∂x 2+∂2T
∂ y 2+∂2T
∂z 2(2.13)
A equacao 2.13, que pode ser escrito da forma curta como ∇2T e chamado de Laplaciano
de T
2. O rotacional do gradiente: ∇ × (∇T )
O Rotacional do gradiente e sempre igual a zero (0).
∇ · (∇T ) = 0 (2.14)
Este e um importante fato que nos usaremos repetidamente.
O Divergente ∇ ·v e sempre um escalar , entao poderemos tomar o seu gradiente.
3. O gradiente do divergente : ∇(∇ ·v
Por alguma razao, este caso ocorre raramente nas aplicacoes fısicas. Note que ∇(∇ ·v nao
e o mesmo que o Laplaciano de um vetor.
8/8/2019 FIS III - Atv 02 - NAv - Cáculo Vetorial - Parte II
http://slidepdf.com/reader/full/fis-iii-atv-02-nav-caculo-vetorial-parte-ii 9/9
CAP ITULO 2. INTRODUC AO AO C ALCULO VETORIAL - PARTE II. 19
4. O divergente do rotacional : ∇ · (∇ ×v
O divergente do rotacional possui o mesmo resultado do rotacional do gradiente, isto e,
sempre igual a zero (0):
∇ · (∇ ×v ) = 0 (2.15)
5. O divergente do gradiente :Como voce pode checar pela aplicacao do operador ∇, temos que:
∇ × (∇ ×v ) = ∇(∇ ·v )− ∇2v (2.16)
A equacao 2.16 nao nos tras nada de novo, pois o primeiro termo do lado direito nada
mais e que o gradiente do divergente (item 3 acima) e o segundo termo e o Laplaciano (de
um vetor). Esta equacao e frequentemente utilizada para definir o laplaciano de um vetor,
simplesmente isolando o ultimo termo da direta.
2.3 Exercıcios
Os exercıcios estao em um arquivo a parte.