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EXPERIMENTO I I

LUZ POLARIZADA E ÂNGULO DE BREWSTER

1. FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA A luz é uma radiação eletromagnética – ela consiste de campos elétricos e magnéticos oscilantes, assim como ondas de rádio ou microondas. Todas essas ondas têm a mesma natureza e velocidade, elas diferem apenas em freqüência e, portanto em comprimento de onda. As ondas luminosas (visíveis) se encontram na faixa de 1014 a 1015 Hz. Visível Raios-X Microondas Ultravioleta Infravermelho

1020 1019 1018 1017 1016 1015 1014 1013 1012 1011 Figura 1 – Espectro eletromagnético Campos elétricos e magnéticos e direção de propagação na radiação eletromagnética A teoria eletromagnética mostra que a luz e todas as demais radiações eletromagnéticas são ondas transversais, sendo as direções de vibração dos campos elétrico e magnético perpendiculares à direção de propagação. z B y E

S

x Figura 2 – Vetores E, B e S em uma onda eletromagnética senoidal propagando-se no sentido x.

O vetor de Poynting indica a direção de propagação da onda e mede a quantidade de energia transportada por unidade de tempo e por unidade de área. Para uma onda plana eletromagnética.

S = E x B µ0

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Um observador fazendo medida enquanto a onda o ultrapassa, mede o valor médio

do vetor de Poynting, S = EmBm/2µ0. Como Em = c Bm, S é proporcional a Em2. O valor

médio do vetor de Poynting é a intensidade da onda eletromagnética, que , portanto, é proporcional ao quadrado da amplitude. Note que a intensidade é a quantidade média de energia por unidade de tempo que atravessa uma determinada área. Onda polarizada e onda não polarizada As ondas transversais, representadas na figura 2 possuem a característica adicional de serem plano-polarizadas. Isto significa que as vibrações do vetor E são paralelas entre si, em todos os pontos ao longo da onda. Em cada um desses pontos, o vetor vibratório E e a direção de propagação determinam um plano, chamado plano de oscilação: em uma onda plano-polarizada, todos esses planos são paralelos. Uma onda de rádio produzida por uma antena é dita polarizada, pois possui um plano de oscilação que é definido pela geometria da antena.

Já uma fonte de luz convencional, tal como uma lâmpada, emite campos elétricos e magnéticos cujos planos de oscilação variam em intervalos de tempo muito curtos. Dizemos, então, que esses planos não possuem orientação definida e que a luz dessas fontes são não-polarizadas. Na verdade a luz emitida por uma fonte convencional é uma composição de um enorme conjunto de ondas com planos de oscilação os mais diversos. Fazendo uma analogia, é como se os átomos responsáveis pela emissão nesta faixa de freqüência funcionassem como diminutas antenas, mas cada qual com sua orientação particular. O resultado é uma onda não-polarizada. Como qualquer fonte real de luz contém um tremendo número de moléculas, orientadas ao acaso, a luz emitida é uma mistura de ondas linearmente polarizadas em todas as possíveis direções transversais. A figura 3 mostra os esquemas de representação de luz linearmente polarizada (a) e luz não-polarizada (b)

(a) (b)

Figura 3 – Diagrama esquemático de (a) luz plano-polarizada (b) luz não-polarizada. Polarizadores Existem dispositivos óticos construídos de forma a polarizarem a luz que passa através deles. Eles funcionam basicamente de duas formas distintas: polarização por reflexão e por absorção. O filme dicróico, utilizado neste experimento, é um exemplo de polarizador que funciona por absorção. Este material é formado por moléculas orientadas que absorvem a luz polarizada num determinado plano definido relativamente à própria molécula. O efeito é semelhante à antena tipo dipolo-elétrico que, na posição vertical, somente é excitada por ondas que estejam com o campo elétrico no plano vertical. O truque para se conseguir fabricar este material está em conseguir que todas as moléculas que o

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compõem estejam orientadas da mesma maneira. Suponhamos então que uma luz não polarizada emitida por uma lâmpada passe por um polarizador como o que vocês têm no laboratório. Somente as componentes do campo elétrico das ondas que chegam ao filme orientadas na direção de polarização (isto é, perpendicular ao plano em que as moléculas absorvem) não serão absorvidas. Luz natural incidente Vibrações verticais parcialmente absorvidas Vibrações horizontais Absorvidas Luz transmitida Linearmente polarizada Figura 4 – Luz linearmente polarizada transmitida por um cristal dicróico Luz muito intensa pode danificar os polarizadores que funcionam por absorção, pois, a intensidade que foi absorvida é dissipada no filme e, portanto, este se aquece. Portanto, deve-se evitar focalizar a luz nos polarizadores. A figura 5 representa luz não polarizada incidindo sobre uma placa de um material polarizador. A placa possui uma direção característica de polarização, indicada pela linha continua. A placa transmite apenas os componentes dos trens de onda cujos vetores elétricos vibram paralelamente a essa direção e absorve aqueles cujos vetores elétricos vibram normalmente aos primeiros. A luz emergente será, portanto, plano–polarizada. P1

Figura 5 – Uma placa polarizadora P1 produz luz plano-polarizada quando é iluminada com luz não polarizada. A linha continua cruzando o polarizador indica a direção característica de polarização. Na figura 6, a placa polarizadora (ou polarizador) está contida no plano da página e o sentido de propagação é para dentro da mesma. A seta E representa o plano de vibração de um trem de onda, escolhido ao acaso, incidente sobre a placa. O vetor E pode ser

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substituído por dois vetores componentes Ex e Ey, um perpendicular à direção de polarização e o outro paralelo à mesma. Apenas o segundo será transmitido, pois a placa absorverá o outro vetor componente. y θ E x Figura 6 – Um trem de ondas E é equivalente a dois trens de onda componentes Ex e Ey. Lei de Malus Coloque no trajeto luminoso uma segunda placa polarizadora P2 (geralmente chamada, quando usada deste modo, de analisador), como se vê na figura 7. Sendo Em a amplitude da luz plano-polarizada que incide em P2, a amplitude da luz que o atravessa será Em cosθ, onde θ é o ângulo formado pelas direções de polarização de P1 e P2. A luz transmitida será máxima quando θ=0 e nula quando θ=90°, ou seja, quando o polarizador e o analisador estiverem cruzados. P2 θ Em cos θ Em

P1

Figura 7 – O analisador transmite apenas a componente da luz linear paralela à sua direção de transmissão Como a intensidade da luz é proporcional ao quadrado da amplitude do campo elétrico conclui-se que a intensidade de uma luz transmitida através do polarizador varia com o ângulo θ de acordo com a expressão:

I α Em2 cos2θ → I = Im cos2θ

0nde Im é o valor máximo da intensidade da luz transmitida. Este valor ocorre quando são paralelas as direções de polarização de P1 e P2, isto é, quando θ=0 ou 180°. Esta é a Lei de

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Malus, ela exprime, precisamente, a ausência de simetria existente em torno da direção de propagação, apresentada pelas ondas transversais plano-polarizadas. Polarização circular e elíptica O estado de polarização da luz pode sofrer outras modificações ao passar através de cristais que, embora homogêneos sejam anisotrópicos. Isto é, cristais nos quais a velocidade de propagação da onda luminosa não é a mesma em todas as direções do cristal. Cristais com essa propriedade são chamados birrefringentes. Este termo se refere ao fato do cristal possuir dois eixos com diferentes índices de refração. Assim, um feixe de luz que esteja polarizado com o vetor de polarização na direção do eixo de maior índice de refração (eixo lento) se propaga no cristal com uma velocidade menor do que a de um feixe que esteja polarizado na direção do eixo de menor índice (eixo rápido). Isto ocorre porque a velocidade da luz no meio é dada por c/n, onde c e n são a velocidade da luz no vácuo e o índice de refração, respectivamente. Luz plano-polarizada (a) 45° x (b) x 1 2 y 3 (c) 4 6

Z z

Figura 8 – (a) luz plano-polarizada incide sobre uma placa de quarto de onda fazendo ângulo de 45° com os dois eixos principais; (b) Duas ondas plano-polarizadas ortogonais entre si e defasadas de 90°; (c) As amplitudes do vetor resultante no plano xy em várias posições do eixo z. Com o passar do tempo, o vetor gira em sentido anti-horário.

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Se um feixe de luz plano-polarizada, de freqüência angular ω (=2πυ), incide normalmente sobre uma placa do cristal, tal que o plano de polarização faz um ângulo de 45° com relação aos dois eixos principais (figura 8(a)), a componente vertical (digamos que seja na direção do eixo lento) se atrasa em relação à componente que viaja ao longo do eixo rápido. Se a espessura do cristal é tal que o atraso chegue ao equivalente a um quarto do comprimento de onda teremos o que se chama de placa de quarto-de-onda (λ/4). O resultado é que a componente vertical do feixe tem um atraso de fase de 90 graus em relação à componente horizontal (figura 8(b)). Matematicamente, o feixe que deixa a placa de λ/4 possui componentes vertical e horizontal descritos por Ey = E1 cos (ωt + π/2) = E1 sen (ωt) Ex = E2 cos (ωt) Estas duas componentes (vibrando em planos ortogonais e defasadas entre si de 90°) representam as projeções sobre dois eixos perpendiculares de um vetor, que gira com freqüência angular ω em torno da direção de propagação. Se as amplitudes E1 e E2 forem iguais, a luz é dita circularmente polarizada (figura 8 (c)). Se as amplitudes forem diferentes a luz será elipticamente polarizada. A intensidade de uma luz circularmente polarizada que passa por um analisador (polarizador) não deve apresentar dependência com o ângulo de rotação do analisador. Polarização por reflexão

Figura 9 Representação esquemática da reflexão no ângulo de Brewster.

O processo de reflexão é um dos métodos com os quais se podem selecionar, em parte ou totalmente, as vibrações em uma particular direção de um feixe de luz natural. Quando a luz natural atinge uma superfície refletora verifica-se que existe uma reflexão

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preferencial para as ondas em que o vetor campo elétrico vibra perpendicularmente ao plano de incidência (O plano de incidência é o que contém o raio incidente e a normal à superfície).

Para certo ângulo particular de incidência, conhecido como ângulo de Brewster (ou ângulo de polarização), φB, a luz refletida é linearmente polarizada perpendicularmente ao plano de incidência (o campo elétrico da luz refletida é perpendicular ao plano de incidência). Esse é o caso ilustrado na figura 9. Para ângulos de incidência diferentes do ângulo de Brewster, o campo elétrico da luz refletida tem os componentes paralelo e perpendicular ao plano de incidência. No entanto, para ângulos próximos ao ângulo de Brewster o componente perpendicular é maior do que o componente paralelo. David Brewster, em 1812, notou que quando o ângulo de incidência se torna igual a φB, os raios refletido e refratado são perpendiculares entre si. Veja a figura 10. n n’ 900 φ’ φB Figura 10 Relação entre o ângulo de Brewster (φB) e os índices de refração dos meios (n, n’) Quando isso ocorre, o ângulo de refração φ’, torna-se o complemento de φB, de modo que sen φ’ = cos φB. Usando a lei de Snell, n sen φB = n’ sen φ’, onde n e n’ são os índices de refração dos meios, obtemos n sen φB = n’ cos φB e

Tg φB = n’ / n 2. OBJETIVOS DO EXPERIMENTO

Verificar a Lei de Malus. Analisar o estado de polarização da luz que chega ao analisador. Determinar aproximadamente o índice de refração de um filtro de vidro fume através da medida do ângulo de Brewster. 3. APARATO EXPERIMENTAL

- Banco ótico - Fonte de Luz: lâmpada fixa em um Housing contendo uma lente colimadora - Fonte de alimentação para a lâmpada - Diafragma (abertura circular variável) - Polarizador fixo

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- Polarizador rotativo com marcação angular - Placa de um quarto de onda - Detector de luz: Luxímetro digital (medidor de intensidade luminosa) - Filtro absorvedor de Infravermelho - Régua milimetrada - Espectroscópio com montagem de lâmpada de 6V e filtro de vidro fume

4. PROCEDIMENTO EXPERIMENTAL 4.1 Verificação da Lei de Malus Detector Polarizador Polarizador Filtro Diafragma Fonte ajustável Figura 11 – Diagrama da montagem experimental para verificação da Lei de Malus

Para a verificação da lei de Malus proceda da seguinte forma: - Coloque sobre o banco ótico a lâmpada, o diafragma, o filtro absorvedor de

infravermelho, o polarizador fixo, o polarizador rotativo e o detector, nesta seqüência; - Ligue a lâmpada à fonte e ligue o medidor de intensidade luminosa (luxímetro); - Ligue a fonte e regule a voltagem, não excedendo 12V; - Posicione o polarizador rotativo bem próximo ao detector e gire-o até encontrar o

máximo de intensidade luminosa. - Ajuste a abertura do diafragma para que o feixe de luz passe completamente pelo

polarizador. Ajuste a posição do detector para que a luz preencha por completo a sua área útil. É importante colocar o filtro de infravermelho, uma vez que os polarizadores não funcionam na faixa do infravermelho, mas o detector é capaz de medir radiação infravermelha próxima (não deveria, mas mede!).

- Varie o ângulo do polarizador até completar um giro de 180 graus anotando, para cada ângulo escolhido, o valor da intensidade luminosa.

- Retire o filtro infravermelho e repita o experimento. - Analise os dados obtidos utilizando gráficos. Faça o gráfico da intensidade transmitida

versus ângulo do analisador (veja o item “Uso do computador” mais à frente). Interprete a diferença nos resultados com e sem filtro.

- Ajuste a expressão teórica aos dados obtidos, ou seja, verifique quão bem a teoria se aproxima do experimento comparando os resultados teóricos com os experimentais em um único gráfico.

4.2 Polarização circular e elíptica - Ajuste o polarizador e analisador de forma a obter um mínimo de transmissão

(polarização cruzada).

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- Mantenha o filtro de infravermelho na trajetória do feixe e insira também um filtro vermelho antes dos dois polarizadores.

- Coloque então uma placa de λ/4 entre o polarizador e o analisador. - Gire a placa até atingir um mínimo na transmissão. - Analise agora o estado de polarização da luz que deixa a placa Para isso, gire o

analisador da mesma forma como você fez para a verificação da lei de Malus. - Gire, a seguir, a placa de 90 graus e determine novamente o estado de polarização da

luz. - Gire o polarizador (o primeiro na trajetória do feixe) de 45 graus e determine mais uma

vez o estado de polarização. - Determine o grau de elipticidade da polarização da luz. - Repita essas medidas retirando o filtro vermelho. Explique porque os resultados diferem

e qual a função do filtro vermelho. - Antes de prosseguir, deixe a lâmpada desligada para que ela esfrie. Enquanto isso,

discuta com seus colegas de grupo a melhor forma de analisar os seus dados. 4.3 Determinação do índice de refração utilizando o efeito de polarização por reflexão Observações qualitativas da polarização por reflexão

Podemos utilizar o efeito de polarização por reflexão para determinarmos o índice de refração de um filtro de vidro. Nesta parte do experimento você verificará que as reflexões produzem luz polarizada e que o ângulo no qual a luz refletida é totalmente polarizada (conhecido como ângulo de Brewster) pode ser utilizado para calcular o índice de refração do material refletor.

Fig. 12. Representação esquemática de um espectroscópio (visto de cima). Na figura a luz passa por um prisma, mas no experimento a luz é refletida por um filtro de vidro. Usaremos um aparelho chamado espectroscópio para medir o ângulo no qual a luz refletida pelo filtro de vidro é totalmente polarizada. O instrumento (veja Fig. 2) consiste de um colimador, C, com uma fenda S1, uma mesa giratória M e um telescópio, T, cuja posição angular em relação à mesa M é ajustável. A mesa tem uma escala dividida em graus e uma escala para leitura de décimos de graus. A largura da fenda é ajustada por meio de um parafuso micrométrico. A luz da fonte S ilumina a fenda S1 colocada no plano focal da lente L1 (há um parafuso no colimador que permite fazer o ajuste do foco). Os raios paralelos emergentes do colimador incidem sobre o filtro de vidro (na Fig. 2 os raios

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incidem sobre um prisma), parte é refletida e parte é transmitida. A luz refletida ou transmitida (depende da posição do telescópio) é focalizada no plano FF' e examinada com uma lente de aumento denominada ocular Lo. Tanto a mesa M quanto o telescópio T podem ser travados em relação à base do instrumento. Para medir um ângulo, por exemplo, o ângulo D na Fig. 2, o telescópio deve ser colocado nas duas posições e a diferença na leitura da escala da mesa M fornece diretamente o ângulo. O instrumento no laboratório tem precisão de 0,1o. Antes de medir o ângulo de Brewster, faça as seguintes observações qualitativas: - Coloque um filtro no suporte do espectroscópio e posicione-o de forma que a luz seja

refletida obliquamente no vidro. Observe a luz refletida diretamente (sem passar pelo telescópio T). Depois, observe diretamente a luz refletida tendo à frente dos seus olhos uma placa polarizadora (polarizador). Gire o polarizador, observe e anote o que acontece. Gire agora a mesa do espectroscópio (e, portanto, a placa de vidro) de forma que a incidência da luz, e conseqüentemente a reflexão, seja quase normal. Observe novamente a luz refletida com o polarizador à sua frente, gire-o, observe e anote os resultados.

Existe um ângulo de incidência da luz que faz com que a luz refletida seja

totalmente polarizada. Se você bloquear a luz refletida com o polarizador, sua visão não será ofuscada pela reflexão e você será capaz de enxergar o que está atrás do vidro (esta é uma técnica muito comum em fotografia, quando se deseja eliminar reflexos).

- Tente eliminar a luz refletida pelo filtro de vidro, utilizando o polarizador, e enxergar o

que se encontra atrás do filtro.

Mesmo quando o ângulo de incidência não é igual ao ângulo de Brewster, a luz refletida é parcialmente polarizada. Isso pode ser verificado com o auxílio de um polarizador sem a utilização do espectroscópio.

- Observe, com o polarizador, o reflexo da luz de uma lâmpada do teto do laboratório em

uma bancada do laboratório. Medida do ângulo de Brewster de um filtro de vidro

Siga o procedimento abaixo para medir o ângulo de Brewster do filtro de vidro e calcular o seu índice de refração. - Coloque um filtro no suporte existente na mesa M do espectroscópio. Ligue a lâmpada à

fonte de tensão e certifique-se de que a tensão é de, no máximo, 6 V. Ligue a fonte de tensão.

- Prenda a mesa M à base do instrumento e certifique-se que o telescópio T está solto em relação à base. Gire T olhando através da ocular até encontrar a luz que atravessou a fenda e foi refletida pelo filtro de vidro.

- Ajuste o foco do colimador C. - Posicione uma placa polarizadora (polarizador) entre a ocular e seus olhos e, observando

a luz refletida, gire o polarizador. Observe que há uma posição do polarizador na qual a intensidade luminosa que chega aos seus olhos é mínima.

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- Nosso objetivo é encontrar o ângulo de incidência no qual a luz refletida pelo filtro está totalmente polarizada, ou seja, o ângulo de Brewster (θB). Nesse ângulo, com o polarizador na posição de mínima intensidade, não chegará luz aos seus olhos. Para encontrar esse ângulo, solte a mesa M em relação à base do espectroscópio, gire-a de alguns graus (dessa forma, você está alterando o ângulo de incidência da luz), prenda a mesa novamente, gire o telescópio T até encontrar a luz refletida, posicione o polarizador entre a ocular e seus olhos e gire-o até encontrar a intensidade mínima. Se no novo ângulo de incidência, a intensidade mínima for menor do que no primeiro, você se aproximou de θB. Se, ao contrário, a intensidade mínima for maior do que no primeiro ângulo de incidência, você se afastou de θB.

- Para encontrar θB, lembre-se que ele é único, ou seja, só há um ângulo de incidência no qual a luz refletida é totalmente polarizada. Quando estiver perto de θB faça variações pequenas no ângulo de incidência (~ 2o deve ser suficiente). Finalmente, depois que você encontrou a posição do telescópio correspondente a θB, lembre-se que o zero da escala da mesa M é arbitrário. Portanto, para que você possa fazer uma medida precisa você deve medir diferença de posição angular. Uma forma de fazê-lo é medir a posição angular de T em θB e no ângulo em que a luz transmitida pelo filtro é observada por T (telescópio alinhado com o colimador). A relação entre θB e o ângulo obtido a partir dessa diferença é trivial.

Em um meio fracamente absortivo, existe uma relação simples entre ΘB e o índice

de refração (n): ΘB = arctan (n)

- Determine, a partir de sua medida de ΘB, o índice de refração do filtro de vidro fume e

compare com valores tabelados (veja, por exemplo, o livro do Halliday). 5. USO DO COMPUTADOR Você poderá fazer uso do computador para checar quão próxima a teoria está dos seus dados experimentais. Esperamos obter uma curva de intensidade versus ângulo relativo entre os polarizadores do tipo I0 cos2 θ. Esta função, entretanto, assume que o alinhamento para o que convencionamos de θ = 0 é perfeito. Se isso não for verdade a expressão teórica não se ajustará. Precisamos também saber o melhor valor que se ajusta à intensidade I0. E, se existir uma intensidade de fundo, ou seja, uma intensidade que independa da orientação dos polarizadores? Bem, para incluir tudo isso é necessário considerar a expressão teórica que ajustará os dados da seguinte forma:

I(θ) = If + I0 cos2 (θ – θ0)

Introduza esta função no computador e procure obter os valores de If, I0 e θ0 que melhor ajustam os seus dados. Procure entender o significado de cada um destes parâmetros (sua origem e importância) e verifique se o ajuste é satisfatório.

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6. SUGESTÃO PARA LEITURA Você encontra os temas envolvidos neste experimento nas seguintes referências: Nível básico: Física 4, 4a edição. D. Halliday, R. Resnick e K. S. Krane, LTC (Rio de Janeiro, 1996). Capítulo 48 Polarização. Aqui se encontra essencialmente tudo que você precisa para fazer esse experimento. Fundamentos de Física 4, Ótica e Física Moderna, 4a edição. D. Halliday, R. Resnick e J. Walker, LTC (Rio de Janeiro, 1995). Capítulo 38 Ondas Eletromagnéticas; Seção 38-7 Polarização. Essa seção trata somente de polarização linear. Capítulo 39 Ótica Geométrica; Seção 39-4 Polarização por reflexão. Nível intermediário: Optics, E. Hecht, 4th edition. Addison Wesley, San Francisco (2002). Capítulo 8. Polarization. Para aqueles que preferirem, há uma edição portuguesa desse livro: Óptica, E. Hecht, 2a. edição. Fundação Calouste Gulbenkian, Lisboa (2002).