POLARIZAO E ESPALHAMENTO DE ONDAS ELETROMAGNTICAS; PRINCPIO DE HUYGENS

METAExplicar aos estudantes o fenmeno de polarizao das ondas eletromagnticas, as diferenas entre vrios tipos de polarizao e as maneiras de se produzir este efeito. Discutir o espalhamento da luz e explicar alguns fenmenos naturais que se baseiam nele. Introduzir conhecimento bsico sobre ptica ondulatria, descrita atravs do princpio de Huygens.

OBJETIVOSAo fi nal desta aula, o aluno dever:Entender a descrio ondulatria da propagao de luz (atravs das frentes de onda), e o princpio de Huygens.Saber diferena entre ondas polarizadas linearmente, circularmente e elipticamente. Saber como se pode produzir uma onda polarizada.Entender o mecanismo de espalhamento da luz.Entender por que o cu azul e o pr-do-sol vermelho.

PR-REQUISITOTrigonometria bsica; aulas 05-08

Aula

9

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Introduo

Nessa aula aprofundaremos o conhecimento sobre ondas eletromagnticas, discutindo o seu efeito de polarizao. O efeito envolve considerao da direo (ou plano) em que o campo eltrico oscila durante movimento ondulatrio. Como a onda eletromagntica interage com a matria atravs do seu campo eltrico (que exerce a fora sobre partculas carregadas, como eltrons e ons), obvio que o assunto muito importante. Alm da polarizao, aprenderemos como ocorre espalhamento das ondas luminosas por molculas do ar na atmosfera, e quais so consequncias deste efeito na nossa vida cotidiana. Finalmente, comearemos a estudar a ptica ondulatria atravs da formulao do princpio de Huygens, que utiliza frentes de onda em vez de raios para descrever o movimento ondulatrio. Essa descrio ser til para explicar fenmenos ondulatrios, como interferncia e difrao, que no podem ser tratados com base na ptica geomtrica. 9.1 Ondas eletromagnticas no polarizadas e linearmente polarizadas A polarizao, j discutida nas aulas anteriores, uma caracterstica de todas as ondas transversais (sejam elas mecnicas ou eletromagnticas). No caso das ondas eletromagnticas, esta caracterstica conectada com a direo ao longo d qual o campo eltrico oscila. Fontes comuns da luz, como Sol ou lmpadas incandescentes e fluorescentes, emitem luz que no polarizada (digamos: luz natural). Nesta luz, o campo eltrico oscila aleatoriamente em todas as direes transversais possveis (figura 9.1 esquerda). Portanto, campo eltrico que oscila em qualquer determinada direo pode ser representado como uma combinao linear de duas componentes perpendiculares entre si, como mostra figura 9.1 direita. Por isso, considera-se que a luz no-polarizada tem dois graus da liberdade.

Figura 9.1: Luz natural, no polarizada. Campos eltricos oscilam no plano YZ, perpendicular a direo de propagao que est saindo do papel, em todas as direes possveis. Qualquer um desses campos representado como combinao linear das suas componentes ao longo de eixos Y e Z.

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A luz no polarizada um resultado de inmeros processos de irradiao dos tomos ou molculas que constituem a fonte e so diferentemente ligados e aleatoriamente orientados. Como consequncia, a luz resultante contm uma mistura de ondas eletromagnticas com campos eltricos que vibram em vrias direes. Situao contrria ocorre quando a luz produzida por um s tomo ou molcula. Neste caso, o campo eltrico oscila em uma s determinada direo, durante toda propagao, definindo uma onda linearmente polarizada, que j foi discutida nas aulas anteriores (figura 9.2).

Figura 9.2: Onda linearmente polarizada no plano YZ, ao longo de eixo Y. Agora, podemos perguntar se existe maneira de se produzir uma onda linearmente polarizda a partir de um feixe de onda no polarizada? A resposta positiva, e envolve a utilizao de materiais com caractersticas especiais, chamados filtros polarizadores. A construo do filtro polarizador depende, em geral, do comprimento da onda em questo. Para microondas ( de alguns centimetros) um bom filtro polarizador uma grade de fios condutores prximos e paralelos, isolados entre si e igualmente espaados. Quando uma microonda no polarizada atinge a grade, o componente do campo eltrico paralelo s grades anulado pela ao dos eltrons livres nos fios condutores, enquanto o componente perpendicular grade a atravessa sem qualquer alterao. Como resultado, um feixe de microondas na sada polarizado perpendicularmente ao plano dos fios (figura 9.3).

208

Figura 9.3: Filtro polarizador para microondas: uma grade de fios condutores paralelos. No caso da luz, o filtro polarizador mais conhecido o polaride (nome derivado da empresa Polaroid), frequentemente usado em culos de Sol. Polaride um tipo de material com propriedade de dicrosmo: absorve luz seletivamente, muito mais ao longo de uma determinada direo cristalina do que ao longo da direo perpendicular a essa (que chamada eixo polarizador). Como resultado, um polaride transmite mais de 80% da intensidade da luz polarizada ao longo de eixo polarizador, e menos de 1% da luz polarizada perpendicularmente a este eixo. Portanto, na sada obtida luz linearmente polarizada. A figura 9.4 mostra como se produz uma onda polarizada.

Figura 9.4: Equipamento tpico utilizado para polarizao da luz natural. O primeiro filtro, o polarizador, permite obter a luz linearmente polarizada. Como nossos olhos no conseguem diferenciar a luz natural da luz polarizada, um segundo filtro, chamado analisador, usado para verificar se a luz est polarizada. Este segundo filtro tambm um polaride, porm com o eixo polarizador perpendicular ao eixo do polarizador. Se a luz for eliminada pelo analisador, ela estava polarizada; caso contrrio, no estava polarizada. No caso geral, o eixo do analisador faz um ngulo com eixo do polarizador. Se assumimos que o eixo do analisador est paralelo ao eixo y (figura 9.5), passar pelo analisador somente o componente do campo eltrico paralelo ao eixo y : cosyE E = .

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Figura 9.5: A luz linermente polarizada (campo eltrico E

r) est atingindo o analizador,

cujo eixo polarizador est ao longo da direo do eixo y . O que passa somente a componente yE .

A intensidade da luz que incide no analisador : 20 0 max12

I c E= (aula 06), enquanto a

intensidade que sai do analisador : 2 20 max1 cos2

I c E = . Portanto, a intensidade

transmitida atravs de um analisador cujo eixo deslocado por ngulo em relao ao polarizador : 20 cosI I = (9.1) conhecida como a lei de Malus, que vale somente quando o feixe que incide sobre analisador j est linearmente polarizado. Quando 090 = (i.e., os eixos polarizadores do polarizador e do analizador so perpendiculares) nenhuma luz passa e a intensidade na sada igual a zero (figura 9.6).

Figura 9.6: Dois filtros polarizadores sobrepostos, mostrando trs situaes: quando seus eixos so paralelos ( 0 = ), inclinados sob algum ngulo ( ), e perpendiculares

( 090 = ). E o que acontece quando a luz no polarizada incide sobre um polarizador? Como os campos eltricos desta luz oscilam em todas as direes possveis, preciso fazer uma

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mdia sobre os ngulos em relao do eixo polarizador. A intensidade da luz linearmente polarizada na sada :

20 cosI I =

Utilizando a identidade trigonomtrica 2 2 2cos 2 cos sen 2cos 1 = = , podemos expressar 2cos como 2cos 1 2 (cos 2 1) = + . Segue:

01 1cos(2 )2 2

I I = +

A mdia sobre cos(2 ) igual a zero, pois metade dos ngulos positiva e outra metade negativa em relao ao eixo polarizador. Portanto, a intensidade da luz natural transmitida ( I ) atravs de um polarizador igual:

012

I I= (9.2)

onde 0I a intensidade da luz natural que incide sobre polarizador. Uma das grandes vantagens de uso dos culos com filtros polarizadores eliminao do reflexo dos objetos iluminados. A luz natural, ao ser refletida em placas de vidro, polariza-se. Os culos polarides, atuando como analisadores, no permitem a passagem da luz refletida polarizada. O mesmo ocorre com filtros polarides embutidos em mquinas fotogrficas. Assim, os reflexos podem ser eliminados (figura 9.7).

Figura 9.7: Eliminao de reflexo usando culos com filtros polarizadores. Alm da utilizao dos filtros polarizadores, existe mais uma maneira de se produzir luz linearmente polarizada a partir de um feixe de luz natural: atravs da reflexo por um determinado ngulo!

211

Pois , analisando o processo de reflexo da luz natural, observou-se que para maioria dos ngulos de incidncia, os componentes da onda luminosa com campo eltrico E

r

perpendicular ao plano da incidncia so refletidas mais acentuadamente do que as componentes com E

r paralelo a este plano. Como resultado, as ondas refletidas so

parcialmente polarizadas ao longo da direo perpendicular ao plano da incidncia. Mostra-se, a partir da anlise das equaes de Maxwell, que existe um ngulo de incidncia especfico, B , que produz uma situao em que a luz refletida 100% linearmente polarizada. Neste caso,

(1) as componentes da onda luminosa com Er

paralelo ao plano da incidncia so totalmente refratadas, e (2) as componentes com E

r perpendicular ao plano de incidncia so parcialmente

refletidas e parcialmente refratadas.

Portanto, a luz refletida linearmente polarizada ao longo da direo perpendicular ao plano da incidncia (figura 9.8). Ela bem mais fraca do que a luz incidente, porque grande parte da ltima refratada!

Figura 9.8: Polarizao da luz atravs da reflexo. Como se determina esse ngulo especfico, B ? Em 1812, o cientista ingls Sir David Brewster percebeu que quando o ngulo de incidncia B , os raios refletidos e refratados so perpendiculares (figura 9.8). Neste caso, o ngulo de refrao igual a:

212

0 02 180 90 2B B

= =

Aplicando a lei de Snell:

1 2 2 2sin sin sin 2B Bn n n = =

segue:

1 2sin cosB Bn n = Portanto, o ngulo B determinado pela equao:

21

tg Bnn

= , i.e., 21

arctgBnn

=

(9.3)

e depende da razo entre os ndices de refrao do meio da refrao ( 2n ) e do meio da incidncia ( 1n ). A equao (9.3), que, alis, pode ser deduzida a partir das equaes de Maxwell, chama-se lei de Brewster. O ngulo P chamado ngulo de Brewster. 9.2 Luz circularmente ou elipticamente polarizada Alm de poder ser linearmente polarizada, a luz pode estar circularmente ou elipticamente polarizada tambm. Estes tipos de polarizao podem ser entendidos atravs da superposio especfica de duas ondas linearmente polarizadas. Como j foi mencionado na aula 06, as ondas eletromagnticas obedecem ao princpio de superposio. Isso significa o seguinte: se duas ondas passam ao mesmo instante ( t ) pelo mesmo ponto do espao ( rr ), a onda resultante ter seu campo eltrico ( E

r) e

magntico ( Br

) definidos como a soma dos campos eltricos ( 1 2,E Er r

) e magnticos

( 1 2,B Br r

) das ondas individuais:

1 2

1 2

( , ) ( , ) ( , )

( , ) ( , ) ( , )

E r t E r t E r t

B r t B r t B r t

= +

= +

r r rr r r

r r rr r r (9.4)

Vamos primeiro analisar superposio de duas ondas com as mesmas amplitudes, que se propagam na direo positiva do eixo z , uma polarizada ao longo do eixo x e outra ao longo do eixo y . Vamos tambm supor que estas duas ondas esto em fase (figura 9.9). A superposio dessas ondas define uma onda resultante com campo eltrico igual a

x yE E E= +r r r

.

213

Figura 9.9: Superposio de duas ondas linearmente polarizadas e em fase. O resultado

uma onda tambm linearmente polarizada. fcil ver que o resultado da superposio tambm uma onda linearmente polarizada, cujo plano de polarizao est inclinado em relao ao plano XZ ou YZ por um ngulo de 045 . A amplitude do campo eltrico resultante 2 vezes maior do que as amplitudes dos campos eltricos das ondas originais (veja figura 9.9). Podemos generalizar esse caso e alegar que a superposio de quaisquer duas ondas em fase e linearmente polarizadas, quaisquer que sejam planos de polarizao delas, resulta em uma onda linearmente polarizada, porm com plano de polarizao alterado. Agora, o que aconteceria se somarmos duas ondas linearmente polarizadas, com a mesma amplitude, mas que no esto em fase? Veremos que assim geramos uma situao bem diferente! Vamos primeiramente considerar o caso quando a diferena de fase de um quarto de ciclo, isto , de 090 . Esse ngulo equivalente ao atraso de um quarto de ciclo ( 4T ) entre duas ondas idnticas (a primeira solta em 0t = e outra em 4t T= ), ou equivale diferena de caminhos entre elas igual a 4 (refresque sua memria sobre essas coisas que foram consideradas na aula 05). Ento, teremos duas ondas que se propagam na direo positiva do eixo z , uma polarizada ao longo do eixo x e outra polarizada ao longo do eixo y , mas de tal maneira que o valor do campo eltrico xE

r mximo

quando o valor de yEr

igual a zero e vice-versa. Como as funes seno e cosseno so

defasadas por um ngulo de 090 , podemos representar a variao do campo eltrico ao

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longo do eixo x com uma funo seno, e a variao do campo eltrico ao longo do eixo y com uma funo cosseno, como foi ilustrado na figura 9.10.

Figura 9.10: Superposio de duas ondas linearmente polarizadas, com a mesma amplitude 0E e uma diferena de fase igual a

090 . A superposio das ondas na figura 9.10 resulta em uma onda cujo campo eltrico E

r

no oscila ao longo de uma direo fixa durante o movimento, mas muda a direo descrevendo uma trajetria que se assemelha ao movimento helicoidal. Se ns ficarmos na frente da onda e projetarmos o vetor ( )E t

r durante o movimento em um plano,

perceberemos que esse vetor tem comprimento fixo (no oscila), e gira com velocidade constante descrevendo um crculo! Digamos que esta onda circularmente polarizada. Se o sentido de movimento do ( )E t

r horrio, a onda denominada

dextrgira, no caso contrrio levgira (sempre em relao ao observador que est na frente da onda, i.e., a onda se aproxima do observador). Quando a diferena de fase entre as ondas individuais diferente de 090 , ou as ondas possuem amplitudes diferentes, o resultado uma onda cujo campo eltrico gira descrevendo uma elipse, em vez de um crculo. Digamos que esta onda elipticamente polarizada. Finalmente, como se produz uma onda eletromagntica circularmente ou elipticamente polarizada? No caso das ondas com frequncias nas faixas de ondas de rdio e microondas, essa polarizao feita pelas duas antenas perpendiculares com circuitos eltricos projetados de tal maneira a produzir uma diferena de fase apropriada entre as ondas emitidas. No caso das ondas luminosas, utilizam-se materiais com propriedade de

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birrefringncia, aqueles que possuem dois diferentes ndices de refrao ao longo de dois eixos cristalinos perpendiculares entre si ( 1 2 1 2, ;n n n n ). Neste tipo de materiais a luz polarizada ao longo de um desses eixos viaja com velocidade 1 1v c n= , enquanto a luz polarizada ao longo de outro eixo viaja com velocidade 2 2v c n= . A diferena entre as velocidades 1v e 2v faz com que as duas ondas que incidiram no material em fase saiam do material com uma diferena de fase induzida (uma atrasada em relao outra). Quando o material birrefringente possui espessura apropriada para produzir uma diferena de fase de 090 (i.e., diferena dos caminhos igual a 4 ), o cristal converte a luz linearmente polarizada em luz circularmente polarizada. O cristal assim chamado de placa de um quarto de onda. Exemplos de cristais birrefringentes so alumina (Al2O3) e calcita (CaCO3).

9.3 Espalhamento da luz

Algum de vocs j se perguntou por que o nosso cu azul, o Sol parece amarelo e o pr-do-sol vermelho? Bom, veremos que todas estas aparncias ocorrem por conta da maneira em que a luz proveniente do Sol interage com as partculas da atmosfera. Quando olhamos os objetos e percebemos suas cores, isso no ocorre porque eles emitem a luz com aquela cor. porque estes objetos refletem (ou dispersam) a luz de uma determinada cor associada a um comprimento de onda. Uma folha, por exemplo, utiliza todas as cores para fazer a fotossntese menos o verde, pois esta refletida. Por isso ns vemos a folha com cor verde. Uma camisa vermelha exibe essa cor por que a tinta da camisa absorve todos os componentes da luz branca, exceto o componente vermelho que est refletido. A mesma coisa acontece quando a luz solar atinge a atmosfera. A luz sofre reflexo das molculas do ar, bem como das pequenas partculas de poeira ou outros resduos. S que este processo no chamamos de reflexo, mas utilizamos outro termo: espalhamento da luz. Como funciona esse espalhamento? Quando um feixe de luz incide sobre um tomo ou molcula, o campo eltrico oscilante proveniente do feixe exerce uma fora sobre as partculas carregadas (eltrons). Essas cargas comeam a vibrar com a mesma frequncia do campo eltrico, produzindo radiao eletromagntica com exatamente a mesma frequncia que emitida em direes diversas. Portanto, a luz primeiramente absorvida pelas molculas e depois re-emitida em todas as direes. Como consequncia, cada molcula do ar funciona como uma nova fonte de luz, que espalha ou desvia a luz incidente para outras direes. Nesse processo no h troca de energia entre molculas e luz, isto , a luz espalhada muda somente sua direo de propagao e no seu comprimento da onda ou frequncia. O espalhamento , portanto, elstico, e denominado como espalhamento Rayleigh. Esse tipo de espalhamento ocorre sempre quando a luz interage com as partculas com tamanho menor do que o seu comprimento de onda (que o caso das molculas de ar, usualmente oxignio e nitrognio).

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OK. E o que tudo isso tem que ver com a cor do cu? Bem, o espalhamento um processo que no ocorre todas as vezes quando a luz interage com a molcula. s vezes no acontece nada, e luz passa pela molcula sem ser espalhada. O processo , portanto, probabilstico e descrito por alguma probabilidade de ocorrncia (alias como todos os processos no mundo dos tomos, descritos pela mecnica quntica). Mostra-se que a probabilidade das molculas espalharem a luz depende da frequncia da luz: cores distintas so espalhadas em quantidades diferentes, isto , a intensidade das cores espalhadas no a mesma. Essa intensidade proporcional frequncia elevada quarta potncia (ou equivalentemente, inversamente proporcional ao comprimento da onda elevada quarta potncia): intensidade da luz espalhada: I 4f (ou 4 ) Portanto, as componentes da luz branca com frequncias maiores so bem mais espalhadas do que componentes com frequncias menores. Levando em conta que a luz azul tem um comprimento de onda mdio de 400 nm e a luz vermelha de 700 nm, podemos estimar a razo entre intensidades das cores azul e vermelha espalhadas:

4 4azul

vermelho

400 700 9,4700 400

I nmI nm

= =

Ento, molculas de ar espalham a cor azul quase 10 vezes mais do que cor vermelha! A luz vermelha muito mais frequentemente transmitida e continua em sua direo original. Esta situao ilustrada na figura 9.11.

Figura 9.11: Espalhamento da luz pelas molculas de ar; a cor azul muito mais espalhada do que outras cores.

Quando olhamos para cu, nossos olhos percebem os raios da luz espalhada, e como ela consiste predominantemente da luz azul, ns vemos o cu com esta cor! Por causa disso, o cu azul!

217

Figura 9.12: Explicao da aparncia azul do cu: no olhando diretamente para o Sol, ns percebemos a luz espalhada pelas molculas presentes no ar, e esta consiste

predominantemente das frequncias que correspondem cor azul.

Agora, algum pode perguntar por que no vemos o cu com cor violeta se a luz violeta tem comprimento de onda menor que a luz azul, e, portanto se dispersa mais? A resposta a seguinte: porque no h suficiente luz ultravioleta. O Sol produz muito mais luz azul que violeta. Onde no h atmosfera (como no espao interestelar, ou na Lua), os raios do sol no sofrem disperso, logo eles percorrem uma linha reta do Sol at o observador. Se os astronautas no olharem diretamente para o Sol, eles vem um cu negro (figura 9.13)!

Figura 9.13: Sem atmosfera ns veramos o cu com cor preta, pois no haveria efeito de disperso da luz.

Por que o Sol parece amarelo? Porque no caminho para nossos olhos, muita luz violeta e azul so retiradas devido ao espalhamento. As outras cores que permaneceram no feixe, juntamente, tm aparncia de amarelo. No espao interestelar, olhando diretamente ao Sol, ele pareceria branco, pois nenhuma componente sua seria retirada devido ausncia de molculas da atmosfera. Finalmente, por que o pr-do-sol parece avermelhado? Porque o feixe de luz solar j passou uma grande distncia atravs da atmosfera e sofreu muitos processos de

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espalhamento. Nestes processos as componentes da luz com frequncias maiores foram bastante retiradas. At chegar aos nossos olhos, sobreviveram somente componentes com frequncias menores, i.e., com a cor predominantemente vermelha (figura 9.14).

Figura 9.14: O pr-do-sol vermelho porque aos nossos olhos chega luz sem as componentes azuis, retiradas atravs de muitos processos de espalhamento.

9.4 Princpio de Huygens

At este momento analisvamos a propagao da luz com o auxlio da ptica geomtrica, que se baseia na utilizao de raios. Mesmo usando essa descrio simplificada, conseguimos explicar vrios efeitos ondulatrios, e derivar, por exemplo, leis da reflexo e refrao das ondas eletromagnticas. Porm, nem todos os efeitos ondulatrios so de alcance da ptica geomtrica. Interferncia e difrao, que estudaremos na ltima aula, so exemplos mais bvios. Para que estes fenmenos pudessem ser analisados, foi preciso desenvolver algum mtodo mais geral, que levasse em conta explicitamente a natureza ondulatria da propagao das ondas. Em 1678 o cientista holands Christian Huygens formulou um principio que permite a construo geomtrica de uma nova frente de onda a partir do conhecimento da frente de onda em um instante anterior. Ele descobriu que todos os pontos de uma frente de onda podem ser considerados como fontes pontuais de ondas secundrias, que se espalham na frente com uma velocidade igual velocidade de propagao da onda. A nova frente de onda em um instante posterior determinada pela construo de uma superfcie que tangencie as ondas secundrias. O princpio de Huygens ilustrado na figura 9.15. fcil se convencer que a forma da frente de onda permanece constante desde que o meio seja isotrpico e que no haja nenhum obstculo na trajetria da onda (figura 9.16).

219

O princpio de Huygens especialmente til quando uma onda encontra um obstculo no seu caminho. Nesse caso o princpio permite prever o comportamento ondulatrio complexo depois do encontro. A figura 9.17 esquerda mostra a passagem de uma onda plana atravs de uma fenda estreita. De acordo com Huygens, a fenda pode ser considerada como uma fonte pontual de ondas secundrias, de modo que a onda atrs da fenda j no plana, mas sim esfrica. Para uma abertura mais larga, o que temos de

Figura 9.15: Ilustrao de aplicao do princpio de Huygens para a construo de uma nova frente de onda no instante t t+ , a partir do conhecimento da posio da frente de onda no instante anterior t . Vamos supor que a velocidade da onda v , portanto, depois do intervalo de tempo t , ela se deslocou a uma distncia v t . Na curva que descreve a frente de onda no instante t (curva azul) escolhem-se vrios pontos (representados na figura com cor vermelha). Depois disso, constroem-se diversas circunferncias com centros nos pontos vermelhos, e com raios v t , que so ondas secundrias. A envoltria dessas ondas secundrias fornece a nova frente da onda, no instante t t+ .

Figura 9.16: Aplicao do princpio de Huygens no caso da propagao de uma onda plana (esquerda) e uma onda circular ou esfrica ( direita). Se a velocidade de propagao a mesma em todas as direes (meio homogneo e isotrpico), ento as novas frentes de onda permanecem com a mesma forma como as velhas. Uma onda plana continua ser uma onda plana, e a onda esfrica continua a ser esfrica.

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fazer divid-la em partes pequenas, e considerar cada uma como uma fonte pontual. A onda atrs do obstculo resulta da sobreposio das ondas esfricas emitidas por todo o conjunto dessas fontes pontuais, como a figura 9.17 direita mostra.

Figura 9.17: Aplicao do princpio de Huygens no caso quando uma onda plana encontra obstculos em forma de uma fenda pequena ( esquerda) ou uma fenda maior ( direita). O princpio de Huygens permite tambm descrever os processos de reflexo e de refrao das ondas numa superfcie que separa dois meios. No texto a seguir, vamos considerar uma onda plana que incide sobre uma superfcie de separao entre dois meios, nos quais as velocidades de propagao das ondas so diferentes. Suponhamos que a velocidade da onda no meio 1 (parte de cima nas figuras abaixo) igual a 1v (ndice de refrao 1n ) e no meio 2 (em baixo) igual a 2v (ndice de refrao 2n ). A figura 9.18 representa a reflexo da onda incidente sobre a interface entre os dois meios. O que nos interessa a relao entre os ngulos de incidncia i e de reflexo

r (ambos contados a partir da normal da superfcie).

Figura 9.18: Aplicao do princpio de Huygens no caso da reflexo das ondas.

221

As retas AB e AB correspondem posio da frente da onda num instante 0t e algum tempo mais tarde, 0t t+ . Ao analisar os tringulos ABB e AAB, podemos concluir o seguinte: (1) ambos os tringulos so tringulos retngulos (a frente de onda sempre perpendicular aos raios), (2) ambos tm a hipotenusa AB comum, e (3) AA = BB porque AA = 1v t e BB = 1v t tambm. Portanto, os tringulos tm as hipotenusas e um dos dois catetos iguais. Pelo teorema de Pitgoras conclumos que os outros catetos tambm so iguais, o que significa que os tringulos ABB e AAB so congruentes. Portanto, os ngulos BAB e ABA devem ser iguais. Percebam que esses ngulos so iguais aos ngulos i e r , respectivamente, pois so ngulos com catetos perpendiculares. Daqui segue que: i r = isto , o ngulo de reflexo igual ao ngulo de incidncia, que a j conhecida lei de reflexo. Essa lei consequncia direta do fato de que a onda se propaga sempre no mesmo meio, com a mesma velocidade. Se isso no fosse verdade, as distncias percorridas por diferentes partes da onda seriam diferentes e a distncia AA seria diferente do que BB. precisamente isso que acontece no caso da refrao das ondas quando as velocidades nos dois meios no so iguais. A figura 9.19 est ilustrando essa situao.

Figura 9.19: Aplicao do princpio de Huygens no caso da refrao das ondas. Vamos considerar os tringulos retngulos ABB e AAB. Estes tringulos no so congruentes porque BB = 1v t e AA = 2v t . Porm, podemos expressar os catetos

222

AA e BB em termos dos ngulos e que eles formam com a hipotenusa comum AB: AA = AB cos BB = AB cos

Portanto, AA cosBB cos

= .

Por outro lado, 2 21 1

AABB

v t vv t v

= =

.

Igualando o lado direito de ambas, segue: 21

coscos

vv

=

Como 12 = , 22

= e cos( ) sin2 = para qualquer ngulo , o resultado

:

2 2

1 1

sinsin

vv

=

Sabendo que o ndice de refrao do meio definido como n c v= , a ltima frmula pode ser escrita como:

2 21 1

sinsin

nn

= , ou 1 1 2 2sin sinn n =

onde 1 e 2 so ngulos de incidncia e refrao, e 1n e 2n ndices da refrao dos dois meios. a conhecida lei de Snell. No final, deve ser ressaltado que as leis de reflexo e de refrao acima derivadas aplicam-se s ondas de qualquer natureza, incluindo ondas da luz. A ptica ondulatria, baseada na aplicao de princpio de Huygens, mais geral do que ptica geomtrica. Isso quer dizer que todos os fenmenos explicados pela ptica geomtrica tambm podem ser explicados pela ptica ondulatria. O inverso no vale: alguns fenmenos que podem ser explicados pela ptica ondulatria, no podem ser explicados pela ptica geomtrica.

Bibliografia consultada

Alonso, M. S. e Finn, E. J., Fsica, Ed. Edgard Blucher Editora, So Paulo, 1999. Young, H. D. e Freedman, R. A. Fsica IV tica e Fsica Moderna, Pearson Education do Brasil (qualquer edio).

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Serway, R. A. e Jewett, J. W. Princpios de Fsica, vol. 4, editora Thomson (qualquer edio).

Questes

1. Como podemos observar, as ondas de rdio so quase sempre polarizadas e a luz visvel quase sempre no polarizada. Por qu?

Resposta As ondas de rdio so produzidas por oscilao das cargas em antenas. Esta oscilao realizada ao longo de um eixo bem definido (eixo de antena) e, portanto, produz onda eletromagntica, cujo campo eltrico oscila ao longo do mesmo eixo durante a propagao. Isto , a onda de rdio linearmente polarizada. Por outro lado, a luz visvel usualmente criada por muitos processos que no so relacionados entre si (emisso de muitos tomos ou molculas nos corpos quentes, diferentemente ligados e orientados no espao). Portanto, a onda de luz branca consiste da superposio de muitas ondas polarizadas, que no final resulta em uma onda no polarizada.

2. Quando o ngulo entre duas direes polarizadoras girado de 0 a 45, a intensidade do feixe transmitido cai para a metade de seu valor inicial. O que acontece com a energia que no transmitida? 3. Por que as ondas sonoras no so polarizadas?

Resposta So ondas longitudinais, nos quais oscilao sempre ocorre ao longo da direo de propagao. Para esse tipo de ondas no tem sentido se definir polarizao.

4. Luz no-polarizada incide sobre duas placas polarizadoras orientadas de tal modo que nenhuma luz transmitida. Colocando-se entre elas uma terceira placa polarizadora, poder a luz ser transmitida? Em caso afirmativo, explique como.

Resposta Sim. Passando pelo primeiro polarizador, a luz natural sai linearmente polarizada ao longo do eixo polarizador, com alguma intensidade 0I . Se a segunda placa estiver com eixo perpendicular primeira, nenhuma luz aparecer depois da segunda placa, pois, segundo a lei do Malus, a intensidade seria 2 00 cos 90 0I I= = . Porm, se colocarmos uma nova placa entre a primeira e a segunda, com eixo polarizador

224

inclinado pelo ngulo em relao a primeira placa, na sada da nova placa apareceria luz polarizada ao longo de novo eixo, com intensidade 21 0 cosI I = . Esta luz incidiria agora sobre terceira placa no sob ngulo de 2 , como no primeiro caso, mas sob o ngulo 2 em relao ao eixo polarizador. Portanto, na sada do terceiro polarizador apareceria a luz com intensidade no zero:

2 2 2 2 21 0 0cos ( 2 ) cos cos ( 2 ) cos sinI I I I = = = .

5. Descreva com suas palavras o princpio de Huygens. 6. Ondas sonoras podem ser refletidas? E refratadas? O princpio de Huygens pode ser aplicado a ondas sonoras? 7. Por que o Universo visto pelos astronautas na rbita da Terra escuro?

Exerccios

1. Um feixe de luz no polarizada incide sobre duas placas polarizadoras superpostas. Qual dever ser o ngulo entre as direes de polarizao das placas a fim de que a intensidade do feixe transmitido seja um tero da intensidade do feixe incidente?

Resposta A intensidade da luz no polarizada que incide sobre a primeira placa 0I . Na sada da primeira placa luz linearmente polarizada, com intensidade 1 0 2I I= (veja frmula 9.2). Ela ento incide sobre segunda placa, cujo eixo polarizador faz um ngulo com eixo polarizador da primeira placa. Na sada da segunda placa, a intensidade da luz :

2 202 1 cos cos2

II I = =

Fazendo 02 3II = 20 0 cos

3 2I I = 02arccos 35,3

3 = =

2. Trs placas polarizadoras esto superpostas. A primeira e a terceira esto cruzadas; a direo de polarizao da placa do meio faz 45 com as direes de polarizao das outras duas. Que frao da intensidade de um feixe inicialmente no polarizado transmitida por este sistema de placas?

Resposta Intensidade da luz que incide sobre primeira placa: 0I

Intensidade entre a primeira e a segunda placa: 01 2II =

225

Intensidade entre a segunda e a terceira placa: 2 0 2 002 1 cos (45 ) cos (45 )2II I= =

Intens. depois da terceira placa: 2 0 0 2 0 2 003 2 cos (90 45 ) cos (45 ) cos (45 )2II I= =

4 030

1 cos (45 ) 0,1252

II

= =

3. Um feixe de luz polarizada incide sobre duas placas polarizadoras. A direo de polarizao da primeira placa faz um ngulo com a direo de vibrao da luz enquanto a direo de polarizao da segunda placa perpendicular a esta mesma direo de vibrao. Se 10% da intensidade incidente transmitida por este sistema, qual o valor de ?

Resposta Antes da primeira placa, a luz polarizada tem intensidade 0I . Depois da primeira placa, a intensidade 21 0 cosI I = . Depois da segunda placa, a intensidade

2 2 22 1 0cos ( 2 ) cos sinI I I = = . Ento:

2 2 2 2 2 42

0

0,10 sin cos (1 cos ) cos cos cosII

= = = =

Efetuando a substituio da varivel: 2cos t = , chegamos a equao simples quadrtica 4 2 0,1 0t t + = , cujas duas solues determinam dois ngulos possveis:

019,6 = ou 070 = 4. Deseja-se girar em 90 a direo de polarizao de um feixe de luz polarizada fazendo-a passar atravs de uma ou mais placas polarizadoras. Qual o nmero mnimo necessrio de placas? Justifique sua resposta.

Resposta: 2 placas 5. Numa praia, a luz , de modo geral, parcialmente polarizada devido s reflexes na areia e na gua. Numa praia particular, em determinado dia, prximo ao pr-do-sol, a componente horizontal do vetor campo eltrico 2,3 vezes maior do que a componente vertical. Um banhista em p coloca seus culos de sol polarizadores; os culos eliminam o componente horizontal do campo. (a) Que frao da intensidade luminosa recebida antes da colocao dos culos atinge agora os olhos do banhista? (b) O banhista, ainda usando os culos, deita-se de lado. Que frao da intensidade luminosa recebida antes da colocao dos culos atinge agora seus olhos?

Resposta

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a) A intensidade da luz dada pela equao: 20 0 max12

I c E= , onde o quadrado da

amplitude de campo eltrico pode ser escrito como soma dos quadrados de suas componentes horizontal ( horE ) e vertical ( verE ):

2 2 2max hor verE E E= + . Como

hor ver2,3E E= , segue: 2 2 2

0 0 ver ver 01 1(2,3 ) 6,292 2 ver

I c E E c E = + = . A

intensidade da luz que atinge olho do banhista depois dele colocar os culos

polarizadores : 20 ver12

I c E= , pois a luz que ele recebe tem somente a componente

vertical. A frao , portanto: 0

1 0,1596,29

II

= = .

b) 0,841

6. Um feixe de luz que se propaga na gua, de ndice de refrao 1,33, incide sobre uma placa de vidro, de ndice de refrao 1,53. Para que ngulo de incidncia a luz refletida ficar totalmente polarizada? (Resposta: ngulo de Brewster, de 49) 7. Quando a luz vermelha, no vcuo, incide sobre um determinado bloco de vidro, com o ngulo de Brewster, o ngulo de refrao 32. (a) Qual o ndice de refrao do vidro? (b) Qual o ngulo de Brewster? Dica: Combine a lei de Snell e a lei de Brewster. (Resposta: (a) 1,6; (b) 58) Resumo da aula Polarizao uma caracterstica importante das ondas eletromagnticas, e envolve a determinao da direo ao longo da qual o campo eltrico oscila durante a propagao. Fontes comuns de luz produzem ondas no polarizadas (luz natural), que contm muitos campos eltricos oscilando em todas as direes possveis (no plano perpendicular a direo de propagao da luz). A luz linearmente polarizada possui uma nica direo determinada ao longo da qual o campo eltrico oscila. Um feixe de luz no polarizada pode ser convertido em um feixe de luz linearmente polarizada se o primeiro atravessar materiais com propriedade de dicrosmo. Estes materiais absorvem luz seletivamente, i.e., absorvem totalmente os componentes de luz com campo eltrico polarizado ao longo de um determinado eixo cristalino, e deixam parcialmene passar os componentes com campo eltrico polarizado ao longo da direo perpendicular a essa

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(que chamada eixo polarizador). Na sada obtida luz linearmente polarizada, com intensidade:

012

I I=

caso a luz no polarizada com intensidade 0I incidisse no material polarizador. Quando a luz linearmente polarizada com mesma intensidade 0I incide sobre material polarizador, a intensidade da luz na sada :

20 cosI I =

onde o ngulo entre direo de polarizao da luz incidente e o eixo polarizador do material (lei do Malus). Existe mais uma maneira de produzir a luz linearmente polarizada a partir da luz no polarizada: atravs da reflexo. Mostra-se que a luz refletida sempre parcialmente polarizada: contm mais componentes de onda com campo eltrico perpendicular ao plano da incidncia do que as componentes com campo paralelo a este plano. A polarizao linear realizada completamente quando o ngulo de incidncia igual ao ngulo de Brewster B :

2

1

arctgBnn

=

igual a razo entre os ndices de refrao do meio da refrao ( 2n ) e do meio de incidncia ( 1n ). Alm da polarizao linear, existem mais dois tipos de polarizao: polarizao circular e polarizao elptica. A primeira ocorre quando o campo eltrico da onda efetua um movimento helicoidal durante a propagao, de tal maneira que a sua projeo no plano perpendicular em relao direo da propagao executa um movimento circular. No segundo caso, a projeo do campo eltrico descreve uma elipse no plano, de vez de um crculo. Um feixe de luz linearmente polarizado pode ser convertido em um feixe circularmente ou elipticamente polarizado ao atravessar os materiais com propriedade de birrefringncia. Esses materiais possuem dois ndices de refrao diferentes ao longo de dois eixos cristalinos mutuamente perpendiculares. Os componentes da luz polarizadas ao longo destes eixos propagam-se atravs do material com velocidades diferentes, e esse fato causa uma diferena de fase entre eles na sada do material. Se esta diferena igual a 090 , a luz na sada circularmente polarizada. Outra diferena de fase produz a luz elipticamente polarizada. Processo de espalhamento elstico da luz ocorre sempre quando a luz incide sobre partculas cujo tamanho menor do que o seu comprimento da onda (espalhamento de Rayleigh). Isso o caso quando a luz solar interage com as molculas presentes na nossa atmosfera. Nesse processo a luz primeiramente absorvida pelas molculas, e depois reemitida com mesmo comprimento da onda, mas com direo de propagao diferente. A intensidade da luz espalhada depende da sua frequncia: componentes de luz com frequncias maiores (como azul) so muito mais espalhadas do que os componentes com frequncias menores (como vermelho). Como consequncia deste fato, o cu azul e o pr-do-sol vermelho.

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O princpio de Huygens oferece construo geomtrica de uma nova frente da onda a partir de conhecimento da frente da onda em um instante anterior. Ele afirma que todos os pontos de uma frente da onda podem ser considerados como fontes pontuais de ondas secundrias que se espalham na frente com uma velocidade igual velocidade de propagao da onda. A nova frente da onda em um instante posterior determinada pela construo de uma superfcie que tangencie as ondas secundrias. Este princpio constitui uma base da ptica ondulatria, usada para descrever e explicar fenmenos de incidncia das ondas nos obstculos, bem como a interferncia e difrao. Concluso Essa aula foi dedicada ao estudo de trs assuntos importantes: (1) polarizao das ondas eletromagnticas, (2) espalhamento elstico da luz e (3) o princpio de Huygens. Com este estudo, enriquecemos nosso entendimento das propriedades das ondas eletromagnticas e dos efeitos que elas causam. Assim, estamos prontos para enfrentar os ltimos assuntos neste curso: interferncia e difrao. Informaes sobre a prxima aula

A prxima aula a ltima do curso. Ser dedicada ao estudo dos efeitos ondulatrios provocados pelas ondas eletromagnticas: so interferncia e difrao.