financiamentos matematica hp

Curso de Matemática Financeira com HP-12Cpara Banco do Brasil S/A

Planos de Amortizações de Empréstimos e Financiamentos

(6.1) Reembolso de Empréstimos sem Atualização Monetária

O processo de reembolso de um empréstimo consiste nos pagamentos das prestações em épocas determinadas. Estas prestações consistem em duas parcelas: a) as amortizações (devolução do principal emprestado). B -Os juros que corresponde ao saldo do empréstimo não reembolsado, ou seja: P= A+J (prestação será igual às amortizações mais os juros).

O termo carência designa o período que vai desde a data de concessão do empréstimo até a data que será paga a primeira prestação. Em geral, este período é negociado entre o credor e o mutuário, ou devedor. Qualquer sistema de amortização pode ou não ter carência.

Alguns dos principais e mais utilizados sistemas de amortização ou reembolso de empréstimo são: A) Sistema Francês de Amortização. B) Tabela Price. C) Sistema de Amortização Constante.(SAC). D) Sistema de Amortização Crescente. (SACRE)

(6.2) Sistema Francês de Amortização.

(Exemplo 01) Um empréstimo de $200.000,00 será pago pelo sistema francês de amortização em 4 prestações mensais postecipadas, sem período de carência. Se a taxa de juros é de 10% ao mês, Construir a planilha.Solução:Considerando que o principal será devolvido em 4 prestações iguais temos que calcular ema série uniforme que por nosso modelo básico de rendas uniformes pode der assim calculada: U=P(P/U, i%,n)=$63.094,00.O procedimento seguido na elaboração do quadro de pagamentos é o seguinte: ·(1) Cálculo da prestação:

00,094.63$=tR

2) Calculam-se os juros sobre o saldo devedor do período anterior:60,690.15$00,906.156$10,01 =⋅=⋅= −tt SDiJ

3) A amortização de cada período é calculada pela diferença entre o valor da prestação e o juros do período:

40,403.47$60,690.15$00,094.63$ =−=−= ttt JRA

- 1 -Prof. Ricardo Geraldi Silveira.


4) O saldo devedor de cada período será igual ao saldo devedor do período anterior menos a amortização do período:

40,403.47$00,906.156$1 −=−= − ttt ASDSD

Período Saldo Devedor Amortização Juros Prestaçãon ttt ASDSD −= −1 ttt JPA −= 1−⋅= tt SDiJ tP

0 $200.000,00 - - -1 $156.906,00 $43.094,00 20.000,00 $63.094,002 $109.502,60 $47.403,40 $15.690,60 $63.094,003 $57.358,86 $52.143,74 $10.950,26 $63.094,004 0 $57.358,86 $5.735,89 $63.094,00

_______________________________________________________________

(Exercício 02): No exemplo anterior, se considerarmos um período de carência de 3 meses em que serão pagos unicamente os juros devidos, construir a planilha de amortização pelo método francês


0 $200.000,00 - - -1 $200.000,00 - $20.000,00 $20.000,002 $200.000,00 - $20.000,00 $20.000,003 $156.906,00 $43.093,00 $20.000,00 $63.094,004 $109.906,60 $47.358,86 $15.690,00 $63.094,005 $57.358,86 52.143,74 $10.950,26 $63.094,006 0 57.358,86 $5.735,89 $63.094,00

O procedimento é igual ao exercício anterior. A única diferença é que, nos meses do período de carência, são pagos os juros devidos sobre o saldo devedor, ou seja: 0,10.$200.000,00=$20.000,00



(Exercício 03) - No exemplo anterior, se o período de carência os juros forem capitalizados e incorporados nas prestações, construir a planilha de amortização.Resolução:


0 $200.000,00 - - -1 $220.000,00 - - -2 $242.000,00 - - -3 $189.856,18 $52.143,82 $24.200,00 $76.343,824 $132.497,98 $57.358,98 $18.985,62 $76.343,825 $69.403,96 $63.094,02 $13.249,80 $76.343,826 0 $69.403,96 $6.940,40 $76.343,82

O empréstimo começará a ser amortizado no final do 3º mês de carência, logo o saldo devedor do empréstimo deverá ser capitalizado à taxa de 10% ao mês durante 2 períodos, ou 3 períodos a partir da data zero.

Através da fórmula abaixo poderemos calcular o valor das prestações

( )( )

−+⋅+⋅=11

1n

n

i

iiPU =

( )( )

82,343.76110,01

10,010,0100,000.242

3

3

=

−+⋅+⋅

O saldo devedor no final do segundo período será calculado da seguinte forma:

SD2=200.000,00(1+0,10)3=242.000,00



O Método Price de Financiamentos

Este é um caso particular do Sistema Francês de Amortização, em que a

taxa de juros é dada em termos nominais (na prática é dada em termos anuais)

e as prestações tem período menor que aquele que se refere as taxas de juros

(em geral as prestações são mensais). Neste caso, o cálculo das prestações é

feito usando as taxas proporcionais ao período a que se refere a prestação,

calculada a partir da taxa nominal.

(Exemplo 01) – Um empréstimo de $200.000,00 será pago em 3 prestações

mensais iguais sem período de carência. Se a taxa de juros for de 180% ao

ano, construir a tabela de amortização.

Resolução: Sendo os juros proporcionais, temos que: 180/12=15% ao mês. Portanto o cálculo das prestações fica:

( )( )

−+⋅+⋅=

115,01

15,015,0100,000.200$

n

n

P = $87.595,21(Valor das Prestações).


0 $200.000,00 - - -

1 $142.404,79 $57.595,00 30.000,00 $87.595,21

2 $76.170,30 $66.234,49 $21.360,72 $87.595,21

3 zero $76.170,30 $11.425,55 $87.595,21



(Exemplo 02) – Um empréstimo de $1.000,00 será pago em 3 prestações

trimestrais iguais com período de carência.de 3 trimestres. Se a taxa de juros

nominais for de 28% ao ano, construir a tabela de amortização. Os juros serão

capitalizados e incorporados ao principal durante o período de carência.

Resolução: Considerando que os juros são capitalizados durante a carência, a capitalização do principal será feita no 2º trimestre. Os juros serão igual a (i/k) = 28%ao ano/4 trimestres= 7 % ao trimestre, assim o cálculo da prestação fica da seguinte forma:

( )( )

28,230.279$107,01

07,007,0100,000.000.1$

5

5=

−+

⋅+⋅=P (Valor das Prestações).


0 $1.000.000,00 - - -

1 $1.070.000,00 - - -

2 $1.144.900,00 - - -

3 $945.812,72 $199.087,28 $80.143,00 $279.230,28

4 $732.789,33 $213.023,39 $66.206,89 $$279.230,28

5 $504.854,30 $227.935,03 $51.295,25 $$279.230,28

6 $260.963,82 $243.890,48 $35.339,80 $$279.230,28

7 0 $260.963,82 $18.267,47 $$279.230,28

Obs: Podemos observar na tabela acima que, as prestações são fixas e que as amortizações são crescentes

bem com o saldo devedor, podemos salientar também que nesta tabela pode-se inserir algumas colunas

que serão somadas nas prestações tais como: IOF e indexador aplicado ao saldo devedor com IGP-M,

INPC, variação do dólar e outros.

O Método SAC (Sistema de Amortização Constante)



Neste sistema, as amortizações são constantes e iguais ao valor do

empréstimo dividido pelo número de períodos de pagamentos, ou seja, as

prestações possuem um decréscimo constante em um certo nível. Esse

nível é calculado da seguinte forma: pega-se o valor do empréstimo e

divide pelo número de prestações a amortizar e somam-se os juros.

(Exemplo 01) – Considere os seguintes dados:

• Valor do empréstimo: $200.000,00

• Prazo do reembolso: n=4 meses sem período de carência

• Taxa de juros cobrados: i=10 % ao mês

Resolução: Cálculo das amortizações At=$200.000,00/4=$50.000,00 assim

a tabela ficará da seguinte forma:

Período Saldo Devedor Amortização Juros Prestação

n ttt ASDSD −= −1 tA 1−⋅= tt SDiJ ttt JAP +=

0 $200.000,00 - - -

1 $150.000,00 $50.000,00 $20.000,00 $70.000,00

2 $100.000,00 $50.000,00 $15.000,00 65.000,00

3 $50.000,00 $50.000,00 $10.000,00 $60.000,00

5 Zero $50.000,00 $5.000,00 55.000,00



(Exemplo 02) – Considere os seguintes dados: Construa a tabela SAC.

• Valor do empréstimo: $9.000,00• Prazo do reembolso: n=6 meses sem período de carência• Taxa de juros cobrados: i=2 % ao mês• IOF: 2% sobre o valor das amortizações• IGP-M: 1% sobre o saldo devedor nos 6 meses.

Resolução: Cálculo das amortizações: 00,500.1$6

00,000.9$ ==tA

A Tabela SAC com IOF e IGP-M

períodoSaldo

DevedorAmortização Juros IOF

IGP-

MPrestação

n ttt ASDSD −= −1 tA 1−⋅= tt SDiJ tI gtIgtItItJtAtP +++=

0 $9.000,00 - - - - -

1 $7.500,00 $1.500,00 $180,00$30,0

0

$90,0

0$1.800,00

2 $6.000,00 $1.500,00 $150,00$30,0

0

$75,0

0$1.755,00

3 $4.500,00 $1.500,00 $120,00$30,0

0

$60,0

0$1.710,00

4 $3.000,00 $1.500,00 $90,00$30,0

0

$45,0

0$1.665,00

5 $1.500,00 $1.500,00 $60,00$30,0

0

30,00$1.420,00

6 zero $1.500,00 $30,00$30,0

0

$15,0

0$1.575,00

Obs: A determinação do custo efetivo deste financiamento será calculada da seguinte forma: Determine a taxa interna de retorno do fluxo de caixa que representa a equação abaixo:



( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0

1

00,575.1

1

00,420.1

1

00,665.1

1

00,710.1

1

00,755.1

1

00,800.100,000.9

654321=

++

++

++

++

++

+−=

iiiiiiP

O custo efetivo será o valor da TIR: i = 2,97%



O Método SACRE (Sistema de Amortização Crescente)

Alguns financiamentos do Sistema Financeiros de Habitação adotam o

sistema SACRE, em que correspondem as médias aritméticas das prestações do

sistema Francês e SAC. Estes sistemas mistos são basicamente Sistemas de

Amortização com Prestações em Progressão Aritmética Crescente (SAPPA). Os

reembolsos podem ser calculados pelas seguintes fórmulas:

1. Valor da Prestação:

( )( )( )

Pin

q

ii

i

qPR

n

n⋅

+⋅+

⋅+

−+

−⋅= 1

1

11

11

2. Valor da razão da progressão aritmética que corresponde ao decréscimo das

prestações:n

Piqr

⋅⋅=

3. Valor das prestações no período t, (t>1): rRR tt −=+1

4. Onde:

P = Valor do empréstimo no inicio do período

Rt = Valor da primeira das n prestações decrescentes

O valor de q = coeficiente variável por tipo de plano.

O valor de r = razão da progressão que corresponde ao decréscimo do valor das prestações sucessivas

Obs: Neste esquema, dependendo do valor de q, o sistema adotado pode resultar no sistema Francês (q=0) ou no sistema SAC no caso q=1, o valor de q deve ser especificado contratualmente.

Um caso particular muito utilizado é denominado Sistema de Amortização Misto no qual, q = ½. Neste sistema, as prestações corresponder a média aritmética devido a ponderação ½ das prestações calculadas para o sistema Francês e SAC nas mesmas condições de financiamentos.



(Exemplo 01) – Considere os seguintes dados: Construa a tabela SACRE

• Valor do empréstimo: $12.000,00• Prazo do reembolso: n=6 meses sem período de carência• Taxa de juros cobrados: i=2 % ao mês• Considere q = ½. (previsto no contrato)

Resolução:Antes de construir a tabela de amortizações devemos primeiro calcular os seguintes valores:

Valor da Prestação:( )

( )( )

15,191.200,000.1202,06

12/1

02,002,01

102,01

50,0100,000.12

6

61 =⋅

+⋅+

⋅+

−+

−⋅=R

Valor da razão da progressão aritmética que corresponde ao decréscimo das

prestações: 206

00,000.1202,02/1 =⋅⋅=r

Valor das prestações no período t, (t>1): rRR tt −=+1

Agora temos condições de montar a tabela SACRE.

Período Saldo Devedor Amortização Juros Prestaçãon ttt ASDSD −= −1 ttt JPA −= 1−⋅= tt SDiJ rPP tt −=+1

0 $12.000,00 - - -

1 $10.048,85 $1.951,15 $240,00 $2.191,15

2 $8.078,68 $1.970,17 $200,98 $2.171,15

3 $6.098,10 1.989,58$ $161,57 $2.151,15

4 $4.079,73 $2.009,37 $121,78 $2.131,15

5 $2.050,17 $2.029,56 $81,59 $2.111,15

6 zero $2.050,15 $41,00 $2.091,15



(Exemplo 02) – Considere os seguintes dados: Construa a tabela SACRE

• Valor do empréstimo: $10.000,00• Prazo do reembolso: n=6 meses sem período de carência• Taxa de juros cobrados: i=2,50 % ao mês• IOF: 1,50% ao ano (taxa proporcional ao mês: 0,1250%), sobre o saldo

devedor no mês anterior em cada período.• TR: 0,25% ao mês em média sobre o saldo devedor no mês anterior em

cada período.• Considere q = ½. (Sistema Misto)

Resolução:Antes de construir a tabela de amortizações devemos primeiro calcular os seguintes valores:Valor da Prestação:

( )( )

( )

08,866.100,000.10025,06

12/1

02,0025,01

1025,01

50,0100,000.10

6

61 =⋅

+⋅+

⋅+

−+

−⋅=R

Valor da razão da progressão aritmética que corresponde ao decréscimo das

prestações: 83,206

00,000.10025,02/1 =⋅⋅=r

Valor das prestações no período t, (t>1): rRR tt −=+1

PeríodoSaldo

DevedorAmortizaçã

oJuros IOF TR Prestação

Prestação c/ Imposto

n ttt ASDSD −= −1 ttt JPA −= 1−⋅= tt SDiJ tI trI rPP tt −= −1 totalttotal IPP +=

0 $10.000,00 - - - - -

1 $8.383,92 $1.616,08 $250,00$12,5

0$25,0

0$1.866,08 $1.903,58

2 $6.748,27 $1.635,65 $209,60$10,4

8$20,9

6$1.845,25 $1.876,69

3 $5.092,56 $1.655,71 $168,71 $8,44$16,8

7$1.824,42 $1.849,73

4 $3.416,28 $1.676,28 $127,31 $6,37$12,7

3$1.803,59 $1.822,69

5 $1.718,93 $1.697,35 $85,41 $4,27 $8,54 $1.782,76 $1.795,57

6 0,03 $1.718,96 $42,97 $2,15 $4,30 $1.761,93 $1.768,38



Obs: As amortizações foram feitas em relação à prestação sem incorporar o indexador (TR). Se a TR for incorporada nas amortizações, ocorrerá em saldo devedor no 5º período menor que a amortização no último período.

Custo Efetivo de Financiamentos

Normalmente sobre os financiamentos incide uma série de custos

adicionais, como o imposto sobre operações financeiras, comissão, taxa de

administração, referencial etc. Estes encargos aumentam o custo do

financiamento, tornando indispensável o cálculo do custo efetivo de forma

a permitir comparações entre as diversas fontes de financiamento, assim na

tabela do exercício anterior poderemos calcular o custo efetivo do referido

financiamento.

Para efetuar este cálculo, determina-se a taxa interna de retorno do

financiamento, usando uma calculadora financeira ou lançando mão de

métodos numéricos, ou seja, interpolação linear. Assim determina-se uma

taxa que faz com que o valor presente da equação financeira seja igual a

zero, da seguinte forma:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0

1

38,768.1

1

57,795.1

1

69,822.1

1

73,849.1

1

69,876.1

1

58,903.100,000.10

654321=

++

++

++

++

++

+−=

iiiiiiP

Esta equação representa o fluxo de caixa dos pagamentos no

financiamento na tabela do exercício anterior. Com o uso da HP-12C

calcula-se o valor do custo efetivo deste financiamento que será igual a

2,88% ao mês.

Bibliografia: (1): Samanez, Carlos Patrício – Matemática Financeira – Aplicações à Análise de Investimentos/ Carlos Patrício Samanez – São Paulo: Makron Books, 1994.(2): Hazzan, Samuel – Matemática Financeira / Samuel Hazzan, José Nicolau Pompeo. 5 a.Edição, São Paulo – Saraiva: 2001.(3): Puccini, Abelardo de Lima – Matemática Financeira / Abelardo de Lima Puccini. 5a. Ed., Rio de Janeiro – JC Editora, 1995. (4): Samanez, Carlos Patrício – Matemática Financeira – Aplicações à Análise de Investimentos/ Carlos Patrício Samanez. 2a. Edição – São Paulo: Makron Books, 1999.


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