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2a Lista de ExercíciosPotencial Elétrico - Capacitância e Dielétricos -

Corrente e Resistência - Circuitos Elétricos

1. Em um relâmpago típico, a diferença de potencialentre os pontos de descarga corona é cerca de 109V ea quantidade de carga transferida é cerca de 30C. (a)Quanta energia é liberada? (b) Se toda a energia quefoi liberada pudesse ser usada para acelerar um carro de1000kg que partiu do repouso, qual seria sua velocidadefinal? (c) Que quantidade de gelo a 0oC seria possívelderreter se toda a energia liberada pudesse ser usadapara esse fim? O calor de fusão do gelo é 3, 3× 105J/kg.

2. O campo elétrico no interior de uma esfera nãocondutora de raio R está radialmente direcionado etem módulo dado por E = Kqr/R3, onde q é a cargatotal da esfera (que é uniformemente distribuída) e r éa distância ao centro. (a) Determine o potencial V (r),supondo que V = 0 no centro da esfera. (b) Qual é adiferença de potencial elétrico entre um ponto situadona superfície da esfera e um no centro da esfera? Sendoq positivo, qual deles está no potencial mais alto?

3. Considere dois pontos A e B e uma carga pontualq de 1µC. Calcule a diferença de potencial entre essespontos nas duas situações (a) e (b) da figura 1. Vocêesperava esses resultados? Por quê?

A Bq

2m1m(a)

A

Bq

2m

1m

(b)

Figura 1: Exercício 3.

4. Considere uma carga pontual de 15nC. Detemineo raio da equipotencial que tem um potencial de 30V .Estão igualmente espaçadas as superfícies cujos potenci-ais diferem de uma quantidade constante?

5. Usando V =∫

kdq/r, calcule o potencial elétricocriado por um anel carregado, de raio R, num ponto aolongo do eixo que passa pelo centro do anel. A partirdessa expressão para o potencial, ache a componente docampo elétrico nessa direção.

6. Uma carga pontual q1 = +6e é mantida fixa naorigem de um sistema de coordenadas retangular; umasegunda carga pontual q2 = −10e é mantida fixa no pontox = 8, 6nm e y = 0. Mostre que o lugar dos pontos noplano xy para os quais V = 0 (além do infinito) é umacircunferência com centro no eixo x, como mostrado nafigura 2. Determine a posição xc do centro e o raio R da

circunferência. A interseção da superfície equipotencialde 5, 0V com o plano xy também é uma circunferência?


7. Duas grandes placas de metal, paralelas en-tre si e afastadas por uma distância igual a 1, 5cm,possuem cargas iguais e de sinais contrários sobresuas superfícies. A placa carregada negativamenteestá ligada a Terra e seu potencial é tomado comozero. Se o potencial no meio da distância entre as placasfor igual a 5, 0V , qual será o campo elétrico nesta região?

8. Seja λ a carga por unidade de comprimento distri-buída uniformemente ao longo de um segmento de retade comprimento L. Determine o potencial no ponto P dafigura 3. Use esse resultado para calcular o componentedo campo elétrico nessa direção.

L s

Pλ


9. (a) Determine a expressão VAB = VA − VB para asituação descrita na figura 4. (b) Verifique se o resultadoobtido se reduz aos valores esperados quando d = 0; a =0; q = 0.

a d aq −qA B


10. Duas cargas de 2µC estão fixas no espaço e sepa-radas pela distância de 2cm, como indicado na figura 5.(a) Qual o valor do potencial elétrico no ponto C? (b)traga uma terceira carga de 2µC, lentamente, desde o in-finito até o ponto C. Quanto trabalho deve ser realizadopara isto? (c) Qual a energia potencial da configuraçãoquando a terceira carga está no ponto C?

2

d/2

C

q q

d/2 d/2


11. No retângulo da figura 6, os lados têm 5, 0cm e15, 0cm de comprimento, enquanto que as cargas valemq1 = −5, 0µC e q2 = 2, 0µC. (a) Qual o valor do po-tencial elétrico nos pontos A e B? (b) Que trabalho énecessário para se mover uma terceira carga de 3, 0µC doponto B ao ponto A ao longo da diagonal do retângulo?

q1 A

B q2


12. Uma partícula de carga q é mantida fixa numponto P e uma segunda partícula de massa m commesma carga q, está inicialmente em repouso a umadistância r1 de P . A segunda partícula é, então, liberadasendo repelida pela primeira. Determine a sua veloci-dade no instante em que ela se encontra a uma distânciar2 de P . Dados: q = 3, 1µC; m = 20mg; r1 = 0, 90mm;r2 = 2, 5mm.

13. Considere duas esferas condutoras separadas, 1e 2, sendo que a segunda tem o dobro do diâmetro daprimeira. Inicialmente, a esfera menor tem uma cargapositiva q, e a maior está descarregada. Vamos suporque as esferas sejam ligadas por um fio fino e muitocomprido. (a) Qual é o valor do potencial de cadaesfera? (b) Determine as cargas finais sobre cada esfera.

14. Um campo elétrico uniforme de magnitude250V/m está na direção x poitiva. Uma carga de 12µCse desloca da origem para o ponto (x, y) = (10cm, 50cm).Calcule a variação na energia potencial desse sistemacarga-campo e a diferença de potencial na qual a cargase desloca.

15. O potencial numa região entre x = 0m e x = 6mé dado por V = a+ bx, onde a = 10, 0V e b = −7, 0V/m.Dertermine o potencial em x = 0, 3m e 6m. Determinetambém a magnitude do campo elétrico nestes trêspontos.

16. As três cargas da figura 7 estão nos vértices deum triângulo isósceles. Calcule o potencial elétrico no

ponto médio da base, considerendo q = 7, 0µC.

−q −q

q

4cm

2cm


17. Um condutor esférico tem um raio de 14, 0cm e acarga de 26µC. Calcule o campo elétrico e o potencialelétrico em r = 10, 0cm, r = 20cm e r = 14cm a partirdo centro da esfera.

18. Usando V =∫

kdq/r, (a) calcule o potencialelétrico criado por um disco carregado, de raio R,num ponto ao longo do eixo que passa pelo centro dodisco. A partir dessa expressão para o potencial, ache acomponente do campo elétrico nessa direção. Compareo valor do campo com o valor obtido por integraçãodireta. (b) Refaça os cálculos supondo que o discoesteja carregado com uma distribuição não uniformedada por σ = 5ρ em µC/m2, onde ρ é a distância deum elemento de carga sobre o disco até o centro do disco.

19. Um capacitor de placas paralelas possui placascirculares de raio igual a 8, 2cm e separação de 1, 3mm.(a) Determine sua capacitância. (b) Se aplicarmos umadiferença de potencial de 120V , qual será o valor dacarga que surgirá sobre as placas?

20. A placa e o catodo de um diodo a vácuo têma forma de dois cilindros concêntricos, com o catodoocupando o cilindro central. O diâmetro do catodoé igual a 1, 6mm e o da placa mede 18mm, sendo ocomprimento de ambos os elementos igual a 2, 4cm.Calcule a capacitância do diodo.

21. Um capacitor de 6, 0µF está ligado em sériecom outro capacitor de 4, 0µF . Uma diferença depotencial de 200V é aplicada a combinação. (a) Calculea capacitância equivalente. (b) Qual o valor da cargasobre cada capacitor? (c) Determine a diferença depotencial entre as placas de cada capacitor.

22. Resolva o problema anterior considerando que oscapacitores sejam ligados em paralelo.

23. (a) Três capacitores são ligados em paralelo.Cada um deles possue placas de área A e separaçãod entre as placas. Calcule a distância entre as placas

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de um único capacitor com placa de área A, se a suacapacitância for igual a da combinação paralela. (b)Qual será a distância se os três capacitores estiveremligados em série?

24. Um capacitor de 100pF é carregado até atingiruma diferença de potencial de 50V , mas, logo após,a bateria que o carregou é retirada. O capacitor é,então, ligado em paralelo com um segundo capacitorque, inicialmente, está descarregado. Se a diferença depotencial cair para 35V , qual será a capacitância dosegundo capacitor?

25. Quando giramos a chave S da figura 8 para aesquerda, as placas do capacitor C1 adquirem uma dife-rença de potencial Vo. Inicialmente, C2 e C3 estão des-carregados. A chave S é, agora, girada para a direita.Quais os valores das cargas finais sobre os capacitorescorrespondentes?

VoC1 C3

C2S


26. Um determinado capacitor é submetido a umpotencial V . Havendo um aumento de 10% na energiaarmazenada, qual a porcentagem de aumento no poten-cial V ?

27. Um capacitor é carregado até que a sua energiaarmazenada seja igual a 4, 0J . Um segundo capacitordescarregado é, então, ligado ao primeiro em paralelo.(a) Se a carga se distribuir igualmente, qual será aenergia total acumulada nos campos elétricos? (b) Paraonde foi o restante da energia?

28. Uma certa substância possui uma constante dielé-trica de valor 2, 8 e uma rigidez dielétrica de 18MV/m.Se usarmos essa substância como material dielétrico aser introduzido num capacitor de placas paralelas, qualserá a área mínima que as placas do capacitor devem terpara que a sua capacitância seja de 7, 0× 10−2µF e paraque o capacitor seja capaz de resistir a uma diferença depotencial de 4, 0kV ?

29. Uma placa de cobre de espessura b é introduzidaexatamente no meio e entre as placas de um capacitorde placas planas e paralelas como é mostrado na figura9. (a) Qual o valor da capacitância depois da introduçãodas placas? (b) Se a carga for mantida entre as placas,

calcule a razão da energia armazenada antes e depois daintrodução da placa. (c) Quanto trabalho é realizadosobre a placa quando esta é introduzida?

d bCOBRE


30. Um capacitor de placas paralelas contém dois di-elétricos diferentes, como mostrado na figura 10, cadaum ocupando metade da separação entre as placas.Mostre que o valor de sua capacitância é dado por

C = 2εoAd

(

k1k2

k1+k2

)

.

k1k2

A

d


31. Um campo elétrico uniforme de magnitude3000V/m existe dentro de uma certa região. Que volumede espaço contém uma energia total igual a 1, 0×10−7J?

32. (a) Quanta carga pode ser colocada em umcapacitor com ar entre as placas antes que ele sofra umrompimento dielétrico se a área da placa é 5, 0cm2? (b)Encontre a carga máxima se o poliestireno for utilizadoentre as placas em vez do ar.

33. Uma corrente de 5, 0A percorre um resistor de10Ω durante o tempo de 4, 0min. Quantos coulombs equantos elétrons passam através da seção transversal doresistor durante este intervalo de tempo?

34. Considere uma esfera condutora isolada de10cm de raio. Um fio transporta para dentro dela umacorrente de 1, 0000020A. Um outro fio transporta umacorrente de 1, 0000000A para fora da esfera. Quantotempo levaria para a esfera sofrer um aumento de 1000Vno potencial?

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35. (a) A densidade de corrente por unidade deárea que atravessa um condutor cilíndrico de raio Rvaria de acordo com a equação J = Jo (1− r/R), onder é a distância a partir do eixo central. Desse modo,a densidade de corrente Jo é máxima no eixo r = 0 edescresce linearmente para zero na superfície r = R.Calcule a corrente em termos de Jo e da área da seçãotransversal do condutor A. (b) Suponha agora que adensidade de corrente é máxima na superfície e decrescelinearmente para zero no eixo, assim J = Jor/R. Calculea corrente.

36. Um fio condutor tem um diâmetro de 1, 0mm,um comprimento de 2, 0m e uma resistência de 50mΩ.Qual é a resistividade do mateiral?

37. Um condutor, cuja extensão é de 4m e cujodiâmetro é 6mm, tem uma resistência de 15mΩ. Se umad.d.p. de 23V for aplicada em suas extremidades, qualserá a corrente através do condutor e a densidade decorrente? Você pode identificar o material do qual estecondutor é feito?

38. Um fio de nicromo (liga níquel-cromo-ferro) tem1, 0m de comprimento e 1, 0mm2 de área de seção trans-versal. Ao aplicarmos uma d.d.p. de 2, 0V entre assuas extremidades, ele transporta uma corrente de 4, 0A.Sendo a condutividade de um material definida como oinverso de sua resistividade, calcule a condutividade donicromo.

39. Dois condutores são feitos do mesmo materiale têm o mesmo comprimento. O condutor A é sólidoe tem 1, 0mm de diâmetro. O condutor B é um tubooco de diâmetro interno de 1, 0mm e diâmetro externode 2, 0mm. Quanto vale a razão entre as resistênciasmedidas entre as suas extremidades?

40. Uma barra de alumínio quadrada tem 1, 3mde comprimento e 5, 2mm de aresta. (a) Calcule aresistência entre as duas extermidades. (b) Qual deveráser o diâmetro de uma barra de cobre circular com 1, 3mde comprimento, se a resistência das barras for a mesma?

41. Um cabo elétrico consiste em 125 fios de umcondutor delgado, sendo que cada um tem uma resis-tência de 2, 65µΩ. A mesma d.d.p. é aplicada entreas extremidades de cada fio e resulta numa correntetotal de 0, 75A. (a) Calcule a corrente em cada fio. (b)Determine a diferença de potencial que foi aplicada. (c)Qual é a resistência do cabo?

42. Quando uma d.d.p. de 115V é aplicada atra-vés de um condutor cujo comprimento mede 10m ecujo raio é de 0, 30mm, a densidade de corrente é iguala 1, 4×104A/m2. Determine a resistividade do condutor.

43. Um estudante pegou seu rádio portátil de 9, 0V e

7, 0W e o deixou ligado das 9h às 14h. Que quantidadede carga passou através dele?

44. Um resistor cilíndrico, de raio igual a 5, 0mm e decomprimento igual a 2, 0cm é feito de um material cujaresisitividade é de 3, 5× 10−5Ωm. Quais são a densidadede corrente e a diferença de potencial quando a potênciadissipada é de 1, 0W?

45. Uma esfera pequena que tem uma carga q giraem um círculo na extremidade de um fio isolante. Afreqüência angular de rotação é ω. Qual é a correntemédia representada por esta carga em rotação?

46. A quantidade de carga que atravessa uma super-fície de área 2, 00cm2 varia no tempo de acordo comq = 4t3 + 5t + 6, com t em segundos e q em coulomb.Calcule a corrente e a densidade de corrente atravésdesta área no instantne de tempo de 1, 0s.

47. Suponha que a corrente num condutor diminuaexponencialmente com o tempo de acordo com a equaçãoI(t) = Ioe

−t/τ , onde Io é a condição inicial e τ é umaconstante com dimensões de tempo. Considere um pontode observação fixo dentro do condutor. (a) Quantacarga passa por este ponto entre t = 0 e t = τ? (b)E entre t = 0 e t = 10τ? (c) Quanta carga deve terpassado se esperarmos t → ∞?

48. Uma d.d.p. de 0, 9V é mantida em um fio detungstênio de 1, 50m de comprimento que tem uma áreade seção transversal de 0, 6mm2. Qual é a corrente no fio?

49. Uma certa torradeira tem um elemento aquecedorfeito de um fio de resistência de nicromo. Quando atorradeira é ligada primeiramente a 120V (e o fio estáa uma temperatura de 20oC), a corrente inicial é de1, 80A. Contudo, a corrente começa a diminuir à medidaque o elemento resistivo se aquece. Quando a torradeiraatinge uma temperatura operacional final, a correntecaiu para 1, 53A. (a) Encontre a potência fornecidaquando a torradeira está a sua temperautra operacional.(b) Qual é a temperatura final do elemento aquecedor?

50. Um carro elétrico é projetado para utilizarum conjunto de baterias de 12, 0V com um total dearmazenagem de energia de 2, 00× 107J . (a) Se o motorelétrico utiliza 8, 00kW , qual é a corrente no motor?(b) Se o motor elétrico utiliza 8, 00kW quando o carrose desloca a uma velocidade constante de 20, 0m/s, quedistância o carro percorre antes de ficar sem combustível?

51. O cobre e o alumínio estão sendo consideradospara uma linha de transmissão de alta voltagem quedeve carregar uma corrente de 60A. A resistênciapor unidade de comprimento é de 0, 15Ω/km. Calculepara cada opção do material do cabo: (a) a densi-dade de corrente e (b) a massa por metro de cabo. As

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densidades do cobre e do alumínio são 8960 e 2700kg/m3.

52. Na figura 11, que valor terá R se a corrente nocircuito tiver 1, 0mA? Considere ε1 = 2, 0V ; ε2 = 3, 0V ;r1 = r2 = 3, 0Ω. Qual a taxa na qual a energia térmicaaparece em R?

R

r1r2

E1 E2


53. A corrente em um circuito de uma única malhatem 5, 0A. Quando uma resistência adicional de 2, 0Ω éinserida em série, a corrente cai para 4, 0A. Qual era aresistência no circuito original?

54. Uma bateria solar gera uma d.d.p. de 0, 10V ,quando um resistor de 500Ω é conectado a ela, e umad.d.p. de 0, 15V , quando o resistor é substituído porum outro de 1000Ω. Quais são a resistência e a fem

da bateria solar? A área da bateria é de 5, 0cm2 e aintensidade da luz é de 2, 0mW/cm2. Qual é a eficiênciada bateria ao converter a energia luminosa em calor,tendo o resistor externo 1000Ω?

55. Na figura 12, calcule o valor da corrente em cadaum dos resistores e a d.d.p. entre os pontos a e b. Con-sidere: ε1 = 6, 0V ; ε2 = 5, 0V ; ε3 = 4, 0V ; R1 = 100Ω eR2 = 50Ω.

R1

R2

E1

E2 E3

a b


56. Duas lâmpadas, uma de resistência R1 e a outrade resistência R2 (R2 < R1) estão ligadas: (a) emparalelo e (b) em série. Qual é a lâmpada mais brilhanteem cada caso?

57. (a) Calcule a intensidade das três correntes queaparecem no circuito da figura 13. (b) Calcule Vab. Con-sidere R1 = 1, 0Ω; R2 = 2, 0Ω; ε1 = 2, 0V e ε2 = ε3 =4, 0V .

R1

R1

R1

R2

E1E2

E3

b

a R1


58. Na figura 14, (a) calcule a potência que aparececomo energia térmica em R1, R2 e R3. (b) Calcule aspotências fornecidas por ε1 e ε2. Suponha que ε1 = 3, 0V ;ε2 = 1, 0V ; R1 = 5, 0Ω; R2 = 2, 0Ω e R3 = 4, 0Ω.

E1 E2R1

R2R3


59. A figura 15 mostra uma bateria ligada a um resis-tor uniforme Ro. Um contato deslizante pode mover-seatravés do resistor de x = 0 até x = 10cm à esquerda.Ache uma expressão para a potência dissipada no resis-tor R como função de x. Faça o gráfico da função paraε = 50V ; R = 2000Ω e Ro = 100Ω.

E

xRo

R


60. Um capacitor de 1, 0µF e energia inicialmente ar-mazenada de 0, 50J é descarregado através de um resistorde 1, 0MΩ. (a) Qual a carga inicial do capacitor? (b)Qual o valor da corrente através do resistor no momentoem que a descarga se inicia? (c) Determine VC , a volta-gem através do capacitor, e VR, a voltagem através doresistor em função do tempo. (d) Expresse a taxa de ge-ração de energia térmica no resistor em função do tempo.

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61. Um capacitor C inicialmente descarregado étotalmente carregado por uma fem de valor constanteem série com um resistor R. (a) Mostre que a energiafinal armazenada no capacitor é metade da energiafornecida pela fem. (b) Por integração direta de i2Rsobre o tempo de carga, mostre que a energia térmicadissipada pelo resistor também é metade da energiafornecida pela fem.

62. Uma bateria tem uma fem de 15, 0V . A voltagementre os terminais da bateria é de 11, 6V quando elaestá fornecendo 20, 0W de potência para um resistor decarga externo R. Determine o valor de R e o valor daresistência da bateria.

63. No circuito da figura 16, a chave S fivou abertapor muito tempo. Ela é, então, subitamente fechada.Determine a constante de tempo (a) antes de a chave serfechada e (b) após a chave ser fechada. (c) Se a chavefor fechada em t = 0, determine a corrente na chave comofunção do tempo.


RESPOSTAS

1. 3× 1010J ; 7, 75km/s; 9× 104kg

2. −qr2

8πεoR3 ; −q8πεoR

3. VAB = 4, 5× 103V4. 4, 5m6. xc = −4, 8nm; R = 8, 1nm; Não.7. 667N/C

8. −λ

4πεoln

(

sL+s

)

; λ4πεo

Ls(L+s)

9. qd2πεoa(a+d)

11. −7, 8× 105V ; 0, 6× 105V ; 2, 5J12. 2, 48km/s

13. V1 = V2; q1 = q/3; q2 = 2q/314. −0, 3mJ15. 10V , −11V , −32V ; 7N/C na direção +x16. −12MV19. 144pF ; 17, 3nC20. 0, 551pF21. 2, 4µF ; 480µC; 80V ; 120V22. 10µF ; 1200µC; 800µC; 200V23. d′ = d/3; d′ = 3d24. 43pF25. q1 = C1C2+C1C3

C1C2+C2C3+C3C1

C1Vo;

q2 = q3 = C2C3

C1C2+C2C3+C3C1

C1Vo

26. 4, 88%27. 2, 0J28. 0, 63m2

29. εoAd−b ;

dd−b ;

−q2b2εoA

31. 2, 51l32. 13, 3nC; 272nC33. 1200C; 7, 5× 1021

34. 5, 6ms35. JoA/3; 2JoA/336. 1, 96× 10−8Ωm38. 2, 0× 106 (Ωm)

−1

41. 6, 00mA; 1, 59× 10−8V ; 21, 2nΩ42. 8, 21× 10−4Ωm43. 14kC45. qω

2π47. 0, 632Ioτ ; 0, 99995Ioτ ; Ioτ48. 6, 43A49. 184W ; 461oC50. 667A; 50, 0km51. 5, 32 × 105A/m2 e 1, 01kg/m para o cobre. 3, 27 ×105A/m2 e 0, 495kg/m para o alumínio52. 990Ω; 9, 4× 10−4W53. 8Ω54. 1000Ω; 300mV55. i1 = 50mA; i2 = 60mA; Vab = 9V56. r2; r157. ramo esquerdo: 0, 67A para baixo; ramo central:0, 33A para cima; ramo direito: 0, 33A para cima; 3, 3V

59. 50kW(

x2000+10x−x2

)2

, x em cm

60. 1mC; 1mA; VC = 1000e−t; VR = −1000e−t

62. 6, 73Ω; 1, 97Ω63. 1, 50s; 1, 00s; 200µA+ (100µA) e−t/1,00s

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