TEORIA DAS PROBABILIDADES

Figura 1: Gráfico de pontos.

Figura 3: Polígono de frequências.

Figura 4: Função de distribuição de probabilidades

sobre o histograma.

A teoria das probabilidades estuda os modelos de probabilidades, definidos pela função f(x), para os diferentes

processos ou fenômenos em estudo.

1) CONCEITOS BÁSICOS 1.1) Experimento Aleatório é um experimento no qual:

i) todos os possíveis resultados são conhecidos; ii) resulta num valor desconhecido, dentre todos os resultados

possíveis; iii) pode ser repetido em condições idênticas.

1.2) Espaço Amostral é o conjunto de todos os resultados possíveis para um experimento aleatório.

É denotado por .

Pode ser:

- Discreto Finito: formado por um conjunto finito de pontos;

Infinito: conjunto infinito e enumerável de pontos;

- Contínuo formado por um conjunto não enumerável de pontos.

1.3) Um Evento é um subconjunto do espaço amostral, associado a um experimento.

É denotado por letras maiúsculas: A, B, E, . . .

a) Um Evento Complementar: o evento complementar de A é dado pelo conjunto dos pontos que pertencem ao espaço amostral, mas

não pertencem a A. É denotado por Ac.

Ac A = .

b) Dois eventos A e B são mutuamente exclusivos, ou disjuntos, se a intersecção entre eles é vazia.

A B = .

Exemplos: Um dado equilibrado é lançado e seu número observado.

O espaço amostral é: = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }.

Sejam os eventos:

A = O número observado é menor ou igual a 4, então, A = { 1, 2, 3, 4 } B = O número observado é par, B = { 2, 4, 6 } C = O número observado é ímpar, C = { 1, 3, 5 } Então, temos

A B = { 2, 4 } e A C = { 1, 3 }

B C = B e C são disjuntos

Bc = C, pois B C =

c) Evento elementar

Seja um espaço amostral finito = { 1, 2, ..., N }. Então os

elementos do espaço amostral são chamados de resultados elementares.

Um evento é dito elementar se é formado por um único elemento

do espaço amostral, por exemplo:

A1 = { 1 }.

obs: o evento elementar é dado por um subconjunto unitário.

No lançamento de um dado equilibrado, cada um dos resultados possíveis são eventos elementares:

A1 = { 1 }, A2 = { 2 }, A3 = { 3 }, A4 = { 4 }, A5 = { 5 }, A6 = { 6 }.

Assim sendo, temos que: A1 A2 A3 A4 A5 A6 =

Ou seja: ΩAi

6

1i

.

Exemplos:

i) Experimento: numa comunidade carente conta-se o número de

pessoas abaixo da linha de pobreza;

A = { 0, 1, 2, . . . , N }, N = população da comunidade

Eventos:

A1 = ninguém abaixo da linha de pobreza

A1 = { 0 }

A2 = no máximo cinco pessoas abaixo da linha de pobreza

A2 = { 1, 2, 3, 4, 5 }

ii) Experimento: Na fabricação de celulares são contados os

aparelhos produzidos até que se encontre um defeituoso;

B = { 1, 2, 3, 4, . . . }, ou ainda B = N*, N* = N – { 0 }

Eventos:

B1 = o aparelho defeituoso ocorre até o 10ª celular produzido

B1 = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 }

B2 = são produzidos no mínimo 200 aparelhos antes do celular defeituoso

B2 = { 201, 202, 203, . . . }, ou

B2 = { X N* | X > 200 }

iii) Experimento: No estudo a respeito de um tipo de câncer,

indivíduos são acompanhados e o tempo (em meses) até a ocorrência da morte é observado;

C = { t R | t 0 } ou C = { t 0 }

Eventos:

C1 = o indivíduo morre antes de completar 6 meses:

C1 = { t < 6 }

C2 = o indivíduo sobrevive pelo menos 2 anos antes de morrer

C2 = { t R | t 24 }

Obs: Este é um exemplo de um espaço amostral contínuo, ou não

enumerável

2) PROBABILIDADES EM ESPAÇOS FINITOS

2.1) Definição Clássica de Probabilidade: seja A um evento associado

a um espaço amostral finito , então

pontos de totalnúmero

a favoráveis pontos de número AA P ,

AP é a probabilidade de ocorrência do evento A e deve satisfazer:

a) 10 AP ;

b) 1ΩP ;

c) Se A e B são disjuntos, então, BABA PPP .

2.2) Definição Frequentista de Probabilidade: seja o evento A

associado a um experimento.

Suponha que esse experimento seja repetido n vezes e seja nA o

número de ocorrências do evento A.

A frequência relativa de A é dada por:

n

nf A

A , 10 Af .

Se n for grande, então a frequência Af se aproxima da

probabilidade de ocorrência de A, ou seja,

)( grande, para APfn A .

2.3) Definição Subjetiva de Probabilidade: Nas fundamentações clássica e frequentista, o cálculo da probabilidade independe do observador. (exemplos lançamento de um dado ou retirado de uma carta do baralho) Em algumas situações, por outro lado, a repetição do experimento simplesmente é impossível! Exemplos:

i) Numa cirurgia, muitas vezes, deseja-se saber se o paciente vai ficar bom ou o tempo até sua recuperação;

ii) O Brasil vai ser campeão mundial, em casa, na copa do mundo de futebol de 2014;

iii) Será que vai chover amanhã? Fenômenos naturais ou envolvendo pessoas normalmente são imprevisíveis e difíceis (até mesmo impossíveis) de serem reproduzidos. Nesses casos a probabilidade pode ser considerada subjetiva,

dependendo da crença do observador.

2.4) Propriedades de Probabilidade

i) Se é o espaço vazio, então:

P(vazio) = P() = 0;

ii) P(espaço amostral todo) = P() = 1;

iii) Se Ac é o evento complementar de A, então:

P(Ac) = 1 – P(A) e,

P(A) = 1 – P(Ac);

iv) Se A e B são eventos quaisquer, então:

P(AB) = P(A) + P(B) – P(AB)

3) Métodos de Contagem Quando o espaço amostral é equiprovável, ou homogêneo, o cálculo de probabilidades se resumo nas contagens dos elementos de cada um dos eventos e do espaço amostral. Desta forma, é importante o domínio de algumas técnicas de contagens.

i) Permutação: quando temos de permutar n elementos em n

posições diferentes

!P , nnn 1)2)(1(! nnnn , n! é o fatorial de n

ii) Arranjo: quando, de um total de n elementos, devemos tomar k

destes elementos e permutá-los

)1()2)(1()!(

!A ,

knnnn

kn

nkn .

iii) Combinação: quando temos de escolher k, dentre n elementos

distintos, sem considerar a ordem

)!(!

!C ,

knk

n

k

nkn

; note que

kk

knkn

,

,,

P

AC .

4) PROBABILIDADE CONDICIONAL E INDEPENDÊNCIA

Sejam A e B eventos quaisquer tais que 0AP , então a

probabilidade de B condicionada à ocorrência do evento A é definida

por

)(

)()|(

A

ABAB

P

PP

.

Lê-se: probabilidade de B dado A.

Nota: se dois eventos A e B são independentes, então a ocorrência

de um deles não altera a probabilidade de ocorrência do outro e, neste caso:

)()|( BAB PP ou )()|( ABA PP .

4.1) Regra Multiplicativa das Probabilidades: da probabilidade

condicional podemos escrever a probabilidade conjunta de A e B

por

− )()|()( AABBA PPP

ou

− )()|()( BBABA PPP

E, se A e B forem independentes, então

− )()()( BABA PPP .

Exemplos: i) Considere as informações da qualidade de um produto pela região de

procedência. O produto foi classificado como tipos A e B, sendo o tipo A de melhor qualidade.

Qualidade Região

Total S SE CO

Tipo A 52 118 54 224

Tipo B 23 42 11 76

Total 75 160 65 300

Se um fornecedor é sorteado ao acaso para verificação, qual é a probabilidade de que:

a) Seja de qualidade Tipo A?

7467.0300

224)A( P

b) Seja procedente da região S?

25.0300

75)S( P

c) Seja de qualidade Tipo B e da região CO?

0367.0300

11)COB( P

d) Seja da região S ou de qualidade Tipo A?

8233.0300

247

300

5222475)SA(

P

e) Sabendo que o fornecedor escolhido é da região SE, qual a

probabilidade de que seja de qualidade do Tipo B?

2625.0160

42

300/160

300/42)SE|B( P

f) Se a amostra não é de região S, qual é a probabilidade de que seja

de qualidade do Tipo A?

)COSE(

)]COA()SEA[(CO)](SE|A[

P

PP

7644.0225

172

300/)65160(

300/)54118(CO)](SE|A[

P

ii) Um aluno responde a um teste de múltipla escolha com quatro alternativas, sendo uma só correta. A probabilidade de que saiba a resposta é de 30%. Se ele não sabe a resposta, vai “chutar”.

Definindo: A = o aluno acerta a questão;

S = o aluno sabe a resposta.

a) Qual a probabilidade dele acertar a questão? P(A) = P(acertar sabendo ou acertar chutando)

P(A) = P(acertar sabendo) +P(acertar chutando)

P(A) = P(A | S) P(S) + P(A | Sc) P(Sc)

P(A) = (1.0)(0.3) + (0.25)(0.7) = 0.475

* Esse resultado é conhecido como “lei da probabilidade total ”.

Na prática a lei da probabilidade total soma as parcelas da probabilidade de um evento em todas as subpopulações.

b) Se ele acertou a questão, qual é a probabilidade de que ele realmente saiba a resposta?

632.0475.0

3.0

)A(

)AS()A|S(

P

PP

* Esse resultado é conhecido como “teorema de Bayes”.

O teorema de Bayes divide a parcela do evento, sobre a qual desejamos calcular a probabilidade, pela probabilidade total do evento

Teorema de Bayes: Seja um evento A ocorrendo sobre parcelas

disjuntas do espaço amostral .

Assim, podemos escrever A como sendo: )()()()()( 54321 EAEAEAEAEAA

em que, )]()()()()[()( 54321 EAEAEAEAEAA PP

é a probabilidade total.

O teorema de Bayes se deve ao Revendo Inglês Thomas Bayes, num trabalho publicado em 1763, e que recebe o seu nome em sua homenagem.

A

Os exercícios a seguir são para resolver em sala

iii) Sabe-se que numa população 8% das pessoas são infectadas por um

vírus causador de uma doença muito grave. Um teste para detecção do vírus é eficiente em 99% dos casos nos quais os indivíduos são

infectados, mas resulta em 2% de resultados positivos para os não

infectados (falsos positivos). a) Uma pessoa dessa população que não tem nenhum sintoma faz o teste preventivamente. Qual é a probabilidade de que essa pessoa esteja infectada? b) Sabendo que o teste dessa pessoa deu positivo, qual a probabilidade de que ela seja da fato infectada?.

iv) Uma mulher tem 1/3 de chance de ainda estar viva daqui a 30 anos e

seu marido tem 2/5 de chance. Qual é a probabilidade de, daqui a 30

anos: a) Ambos estejam vivos b) Ao menos um esteja vivo. c) Só o homem estar vivo.

v) Um dado equilibrado é lançado 12 vezes. Calcule a probabilidade de se obter: a) Dois seis. b) Quatro seis. c) Pelo menos dois seis. d) No máximo três seis.

Diagrama em árvore para o exercício (iii)

5) VARIÁVEIS ALEATÓRIAS E MODELOS DE PROBABILIDADE 5.1) Variáveis aleatórias: uma variável aleatória (v.a.) é uma

característica numérica que associa valores do conjunto dos

números reais aos eventos em Ω.

A v.a. representa uma característica individual das unidades

de uma população, que podem ser observadas através de uma amostra.

Exemplos de v.a.’s:

X = número de indivíduos abaixo da linha da pobreza numa amostra de 80 pessoas de uma comunidade;

T = tempo de sobrevida de pacientes com câncer de pulmão;

Y = número de pessoas que votam no candidato Zelão;

R = renda familiar em salários mínimos, numa amostra de pessoas de uma população rural;

W = número de nascimentos do sexo feminino de uma maternidade, no período de um dia;

Z = número de dias de estiagem até a ocorrência de chuva em São Carlos.

As variáveis aleatórias podem ser classificadas como

discretas e contínuas segundo a natureza do espaço amostral:

i) v.a.’s discretas assumem valores em espaços discretos e,

normalmente, são definidas por uma contagem;

ii) v.a.’s contínuas assumem valores em espaços contínuos e,

normalmente, são definidas por uma mensuração.

5.2) Função de probabilidade e função densidade: a função de probabilidade e a função densidade são funções que associam probabilidades a uma v.a.

a) A função de probabilidade, denotada por p(x), é uma função

que associa probabilidades diretamente aos possíveis valores de uma v.a. discreta X, sendo definida por:

p(x) = P(X = x)

Exemplo: Considere os nascimentos, independentes, de três crianças e seja a v.a. que conta o número de nascimentos do sexo feminino nesses

3 nascimentos: Espaço amostral: Ω = {(FFF), (FFM), (FMF), (MFF), (FMM), (MFM), (MMF), (MMM)}

Neste caso o espaço amostral é equiprovável, pois cada um de seus elementos tem mesma probabilidade. Considerendo que P(F) = P(M) = 1/2, e que os nascimentos são

independentes, temos que:

P(FFF) = P(F)×P(F)×P(F) = 1/8.

Obs: O mesmo vale para todos os demais elementos de Ω, resultando

P(FFF) = P(FFM) = P(FMF) = P(MFF) = P(FMM) =

P(MFM) = P(MMF) = P(MMM) = 1/8

Associando a este espaço amostral a v.a.

X = número de crianças do sexo feminino dentre os três nascimentos, temos:

Tabela: Função de probabilidade para uma v.a. discreta

Elementos de Ω Valores de X Probabilidade p(x) (FFF) 3 1/8

(FFM), (FMF), (MFF) 2 3/8 (FMM), (MFM), (MMF) 1 3/8

(MMM) 0 1/8

Desta forma, a função p(x) = P(X = x), dada pela tabela acima,

associa as probabilidades aos possíveis valos de X.

b) A função densidade, denotada por f(x), associa

probabilidades a intervalos de valores de uma v.a. contínua X,

sendo dada pela área1 abaixo de sua curva (ver figura):

A função densidade recebe, ainda, os nomes: função densidade de probabilidade ou função distribuição de probabilidade (fdp).

Nota: Um exemplo de função densidade de uma v.a. contínua será visto

mais adiante. 1 A operação matemática que calcula a área sob a curva de uma função f(x) é a integral:

P(a X b) = b

a

dxxf )( .

5.3) Principais modelos discretos de probabilidade: o modelo binomial.

Seja X uma v.a. discreta, porém, para a definição do modelo

binomial é que necessário que, antes, seja definido o que um ensaio de Bernoulli.

Ensaios de Bernoulli são ensaios (ou experimentos) nos quais temos

apenas dois resultados possíveis:

sim/não;

presença/ausência;

ocorre/não ocorre;

pertence/não pertence;

0 ou 1.

Ao realizarmos um ensaio de Bernoulli estamos interessados em

apenas um apenas um dos resultados ao qual chamaremos de sucesso

sendo que, a não ocorrência do evento de interesse vamos chamar de fracasso.

Por exemplo, a característica de interesse pode ser:

a presença de uma doença;

um hábito de comportamento ou de consumo;

uma característica física;

um defeito ou falha ;

o resultado de uma medição classificado por um ponto de corte.

etc...

Para um ensaio de Bernoulli temos associadas as seguintes

probabilidades:

p = P(sucesso) e (1 – p) = P(fracasso)

A observação individual desta característica de interesse para os elementos da amostra caracteriza realizações independentes de

ensaios de Bernoulli.

O modelo binomial é caracterizado pela realização de n ensaios

independentes com apenas dois resultados possíveis (sucesso e

fracasso), para os quais P(sucesso) = p é constante.

Seja a v.a. X que conta os sucessos num número fixo de ensaios independentes de Bernoulli.

Então, X tem distribuição binomial com parâmetros n e p.

Notação: X binomial(n; p).

A função de probabilidade binomial é dada pela fórmula:

P(X = x) =

x

n px (1 – p)n – x, x = 0, 1, 2, ..., n.

Exemplos: i) Considere o exemplo dos nascimentos, independentes, de três crianças e seja a v.a. que conta o número de nascimentos do sexo feminino nesses 3 nascimentos:

Podemos notar que o sexo tem apenas dois resultados possíveis: masculino e feminino.

Como o interesse está no nascimento de crianças do sexo feminino, então, o evento caracterizado como sucesso será exatamento o

nascimento do sexo feminino. Logo, a v.a. X = número de bebês do sexo feminino dentre os três

nascimentos tem distribuição binomial com parâmetros n = 3 e p = 1/2. Ou seja:

X binomial(3; 0.5).

e, a sua fnção de probabilidade é definida como:

P(X = x) = xx

x

35.015.0

3, x = 0, 1, 2, 3.

Assim, as probabilidades para cada um dos possíveis valores de X

sãocalculadas por:

P(X = 0) = 8

15.05.015.0

0

3 3030

;

P(X = 1) = 8

3)5.0(35.015.0

1

3 3131

;

P(X = 2) = 8

3)5.0(35.015.0

2

3 3232

;

P(X = 3) = 8

15.05.015.0

3

3 3333

.

Resolvendo as frações, temos:

125.0)3()3(,3

375.0)2()2(,2

375.0)1()1(,1

125.0)0()0(,0

XPpx

XPpx

XPpx

XPpx

Gráfico da função de probabilidade:

ii) Suponha que uma característica genética é determinada por um par de genes, sendo D o gene dominante e d o gene recessivo. Assim

sendo, DD é dominante puro; Dd é híbrido e dd recessivo puro. Sabe-

se, ainda, que essa característica é determinada pelo gene recessivo. Uma família na qual os pais são ambos híbridos tem quatro filhos, determine:

a) A distribuição de probabilidade e os seus parâmetros. Qual é a probabilidade de que: b) três dos filhos tenham a característica genética; c) no máximo dois dos filhos tenham a característica.

Com os dois pais híbridos, ou seja, ambos Dd, temos as seguintes

possibilidades de cargas genéticas para os filhos:

Considerando, ainda, P(D) = P(d) = 1/2, temos as seguintes

probabilidades associadas:

4

1

2

1)(

2

1

2

12)(

4

1

2

1)(

2

2

2

= ddP

= DdP

= DDP

Filho Dominante puro Hibrído Recessivo puro

DD Dd dd

probabilidade 1/4 1/2 1/4

a) Como a característica genética é determinada pelo gene recessivo, ela só vai se manifestar se o filho for dd. Assim sendo,

teremos uma probabilidade igual a 0.25 de que um filho apresente a característica.

Seja a v.a. X = número de filhos com a característica genética dentre

os quatro irmãos.

Então, X tem distribuição binomial com parâmetros n = 4 e p = 0.25.

X binomial(4; 0.25).

e, a sua fnção de probabilidade é dada por:

p(x) = P(X = x) = xx

x

475.025.0

4, x = 0, 1, 2, 3, 4.

b) Probabilidade de que três filhos apresentem a característica.

1375.025.0

3

4)3(

XP

0469.0)75.0()0156.0(4)3( XP

c) Probabilidade de que, no máximo dois filhos tenham a

característica.

)2()1()0()2( XPXPXPXP

ou, ainda,

)4()3(1)3(1)2( XPXPXPXP

Como 0039.0)4( XP , então:

9492.00039.00469.01)2( XP

6. Principais modelos contínuos: a distribuição Normal. Uma v.a. X tem distribuição normal ou Gaussiana, com

parâmetros e 2 se a sua f.d.p. for:

,e2

1 222

xxf x , e 02 .

Notação: X normal( ; 2) ou X N( ; 2).

As principais características da distribuição normal são:

i) X tem média e variância 2;

ii) é uma função simétrica em torno de : f( – k) = f( + k);

iii) a função muda sua curvatura nos pontos ( – ) e ( + );

iv) tem o conhecido formato de sino com probabilidade de

aproximadamente 95% entre ( – 2) e ( + 2) (ver figura).

A função de distribuição acumulada F(x) do modelo normal não pode

ser determinada algebricamente, o que dificulta o cálculo das probabilidades, pois

F(x) = P(X x)

No entanto, o resultado a seguir vem facilitar as coisas: Resultado: a transformação a seguir padroniza a v.a. normal

XZ .

Fazendo com que Z tenha média igual a 0 e variância igual a 1.

Com este resultado, basta construir uma única tabela de probabilidades para a distribuição normal padronizada que teremos as probabilidades para uma v.a. normal qualquer.

Exemplos:

i) Seja uma va X com distribuição normal com média 220 e variância

16, ou seja, X N(220; 16). Calcular as probabilidades abaixo:

a) P(X 225)

P(X 225) = 25.14

220225

4

220

ZP

XP = 0.8943

b) P(210 X 228)

P(210 X 228) =

4

220228

4

220

4

220210 XP

00.250.2 ZP

50.200.2 ZPZP 0.9773 – 0.0062 = 0.9711

c) Qual o valor de k tal que P(X k) = 0.01?

P(X k) =

4

220

4

220 kXP = 0.01,

Da tabela temos que 33.24

220

k k = 210.38

d) Quais os valores k1 e k2 simétricos em torno de , tal que

P(k1 X k2) = 0.95?

P(k1 X k2) =

4

220

4

220 21 kZ

kP = 0.95,

Da tabela temos que

4

220

4

220 21 kZP

kZP = 0.025,

e,

96.14

2201 k

k1 = 212.16

Como k1 e k2 simétricos em torno da média, então

96.14

2202 k

k2 = 227.84

ii) Suponha que a renda de uma população (em s.m.) tenha

distribuição 0.36 4;N . Qual a probabilidade de que:

a) Uma pessoa escolhida ao acaso desta população tenha renda

inferior a 2.87sm?

b) Uma pessoa escolhida ao acaso desta população tenha renda

superior a 5.05sm?

c) Qual a proporção de pessoas com renda entre 2.8 e 5.2

sm’s?

a) P(X < 28.7)

P(X < 28.7) = 88.16

407.28

ZPZP = 0.0301

b) P(X > 50.5)

P(X > 50.5) = 75.116

405.50

ZPZP = 0.0401

c) P(28 < X < 52)

P(28 < X < 52) = 0.20.20.20.2 ZPZPZP

= 0.9773 – 0.0228 = 0.9545

iii) O tempo até a falha dos televisores da marca X-View tem

distribuição normal com média 35 mil horas ( 4 anos) e

desvio padrão de 2.675 mil horas ( 3.7 meses). A empresa

deseja fixar a garantia do produto de forma que, no máximo

5% dos televisores apresentem problemas abaixo desse limite.

a) Encontre o limite de garantia L?

P(X < L) = 0.05

05.0675.2

35

LZP 645.1

675.2

35

L

)675.2()645.1(35 L

L = 30.6 mil horas ( 3.5 anos)

b) Os diretores da companhia traçam um plano de ação para

reduzir a variabilidade do processo de produção. De quanto

deve ser reduzido o desvio padrão do processo para que,

mantido o limite obtido em (a), o percentual de itens abaixo

do limite garantia caia pela metade?

P(X < 30.6) = 0.025

025.0*

356.30

ZP 96.1

*

356.30

96.1*

4.4

* = 2.245 mil horas ( 3.1 meses)

Definição:

Seja Z o quantil 100% da distribuição N(0, 1), então, Z é tal

que

P(Z Z) =

Principais quantis da distribuição Normal

Quantil Z

= 0.01 1% Z0.01 = –2.33

= 0.025 2.5% Z0.025 = –1.96

= 0.05 5% Z0.05 = –1.645

= 0.95 95% Z0.95 = 1.645

= 0.975 97.5% Z0.975 = 1.96

= 0.99 99% Z0.99 = 2.33

Obs: 1) Note que Z = – Z(1–), por exemplo Z0.025 = – Z0.975;

2) No programa R os quantis da normal são obtidos pelo

comando: qnorm(), 0 1.

iv) Um produto é vendido em pacotes de um quilograma, sendo

que a distribuição do peso dos pacotes é normal com média

1005g e desvio padrão 12g.

a) Qual a probabilidade de que um pacote saia com peso 15g

abaixo da média?

b) Num fardo com 12 pacotes, qual é a probabilidade de no

máximo 2 estejam abaixo de 990g?

c) Um fiscal informou o produtor de que são aceitos apenas

5% dos pacotes com peso abaixo de 995g. De quanto deve

diminuir a variabilidade para que esse limite seja atendido?

d) Como o processo não permite o ajuste na variabilidade, a

opção seria aumentar a média para atender a especificação.

De quanto deve ser a nova média?

e) Com a nova média obtida no item anterior, de quanto se

espera seja o aumento na perda do empacotador em uma

tonelada do produto.