Instituto Superior Tcnico- 1oSemestre 2006/2007Clculo Diferencial e Integral ILEA-pB, LEM-pB, LEN-pB, LEAN, MEAer e MEMec1aFicha de exerccios para as aulas prticas: 25 - 29 Setembro de 2006N = 1; 2; :::.1. Verique que, apesar de serem verdadeiras para os primeiros naturais, as seguintes armaesso falsas.(a) n22n = n 2 para qualquer n N.(b) n36n2+ 11n 6 = 0 para qualquer n N.2. Mostre que, apesar de vericarem a propriedade hereditria, as seguintes armaes so falsas.(a) 5n + 3 mltiplo de 5 para qualquer n N.(b) sen (2n) = 1 para qualquer n N.(c) n2+ 3n + 1 par para qualquer n N.3. Verique que se tem:(a) n2+ 3n + 1 mpar para qualquer n N.(b) 1 + 2 + + n = n(n + 1)2para qualquer n N.(c) 12+ 22+ + n2= n(n + 1) (2n + 1)6para qualquer n N.(d) 13+ 23+ + n3= (1 + 2 + + n)2para qualquer n N.(e) 1 + 3 + + (2n 1) = n2para qualquer n N.(f) 12+ 32+ + (2n 1)2= 4n3n3para qualquer n N.(g)11:2 +12:3 + +1n(n + 1) =nn + 1 para qualquer n N.(h) 1:3 + 2:4 + + n(n + 2) = n(n + 1) (2n + 7)6para qualquer n N.(i) 12! + 23! + +n(n + 1)! = 1 1(n + 1)! para qualquer n N.(j) 5n4n 1 divisvel por 16 para qualquer n N.(k) 22n+ 2 mltiplo de 3 para qualquer n N.(l) n3+ (n + 1)3+ (n + 2)3 divisvel por 9 para qualquer n N.(m) 52n1 divisvel por 8 para qualquer n N.(n) n < 2npara qualquer n N.(o) 2n< n! para qualquer n N tal que n _ 4.(p) 1 + 122 + + 1n2 _ 2 1n para qualquer n N.1(q)1

1 +1

2 + +1

n > n para qualquer n N tal que n _ 2.(r) 13+ 23+ + (n 1)3< n44< 13+ 23+ + n3para qualquer n N.(s) (n!)2> 2nn2para qualquer n N tal que n _ 4.(t) n! _ 2n1para qualquer n N.(u) n2> 3 (n + 1) para qualquer n N tal que n _ 4.(v) 3n1n!< 19n2 para qualquer n N tal que n _ 4.(w) [sen nx[ _ n [sen x[ para quaisquer n N e x R.(x) (1 + a)n_ 1 + na (desigualdade de Bernoulli) para qualquer n N e qualquer a R talque a _ 1.(y) (a + b)n=nPk=0(nk) ankbkpara qualquer n N ' 0 e quaisquer a; b R.A igualdadeanterior conhecida por frmula do desenvolvimento do binmio de Newton, onde (nk) designaas combinaes de n elementos k a k, tendo-se (nk) =n!k!(nk)!. Uma propriedade importante a seguinte: n+1k

= nk1

+ (nk) para quaisquer n; k N, com 1 _ k _ n, a qual conhecidapela lei do tringulo de Pascal. Verique ainda que se tem como consequncia da frmulaanterior:nPk=0(nk) = 2nenPk=0(nk) (1)k= 0 para qualquer n N ' 0.(z) anbn= (a b)nPk=1ankbk1para qualquer n N e quaisquer a; b R.4. Para cada n N, seja Sn = a1 + a2 + + an.(a) Mostre que, se para algum r R tivermos ak+1 ak = r com 1 _ k _ n 1, entoSn = na1 + an2para qualquer n N. (Frmula da soma dos n primeiros termos de umaprogresso aritmtica.)(b) Mostre que, se para algum r R` 1 tivermosak+1ak= r com 1 _ k _ n 1, entoSn = a11 rn1 rpara qualquer n N. (Frmula da soma dos n primeiros termos de umaprogresso geomtrica.)2Instituto Superior Tcnico- 1oSemestre 2006/2007Clculo Diferencial e Integral ILEA-pB, LEM-pB, LEN-pB, LEAN, MEAer e MEMecSolues da 1aFicha de ExercciosN = 1; 2; :::.1. (a) Para n = 1 tem-se 122 = 1 e 12 = 1. Para n = 2 tem-se 224 = 0 e 22 = 0. Noentanto, para n = 3 tem-se 326 = 3 e 3 2 = 1. Logo, a proposio: n36n2+11n6 = 0para qualquer n N, falsa.(b) Para n = 1 tem-se 136 + 11 6 = 0. Por outro lado, tem-se n36n2+ 11n 6 == (n 1) (n25n + 6) = (n 1) (n 2) (n 3). Assim, a equao n3 6n2+ 11n 6 = 0 satisfeita para n 1; 2; 3, no o sendo por exemplo para n = 4. Logo, a proposio:n36n2+ 11n 6 = 0 para qualquer n N, falsa.2. (a) Seja n N. Suponhamos agora que a proposio "5n + 3 mltiplo de 5" verdadeirapara n e mostremos que tambm o para n + 1. Em resumo:HI (hiptese de induo): 5n + 3 mltiplo de 5.Tese: 5 (n + 1) + 3 mltiplo de 5:Demonstrao (da tese):5 (n + 1) + 3 = 5n + 5 + 3 = 5n + 3. .. . mltiplo de 5 por HI+ 5.... mltiplo de 5. .. . mltiplo de 5No entanto, para n = 1, tem-se 5 + 3 = 8 o qual no mltiplo de 5. Logo, a proposio:5n + 3 mltiplo de 5 para qualquer n N, falsa.(b) Seja n N. Suponhamos agora que a proposio sen (2n) = 1 verdadeira para n emostremos que tambm o para n + 1. Em resumo:HI (hiptese de induo): sen (2n) = 1.Tese: sen (2 (n + 1) ) = 1:Demonstrao (da tese):sen (2 (n + 1) ) = sen (2n + 2) = sen (2n) =por HI 1.No entanto, para n = 1, tem-se sen (2) = 0 = 1. Logo, a proposio:sen (2n) = 1 paraqualquer n N, falsa.(c) Seja n N. Suponhamos agora que a proposio "n2+ 3n + 1 par" verdadeira paran e mostremos que tambm o para n + 1. Em resumo:HI (hiptese de induo): n2+ 3n + 1 par.Tese: (n + 1)2+ 3 (n + 1) + 1 par:Demonstrao (da tese):(n + 1)2+ 3 (n + 1) + 1 = n2+ 3n + 1. .. . par por HI+ 2n + 4. .. . par. .. . par.1No entanto, para n = 1, tem-se 12+3+1 = 5 o qual no par. Logo, a proposio: "n2+3n+1 par" para qualquer n N, falsa.Como se ver a seguir, o que se tem : n2+ 3n + 1 mpar para qualquer n N.3. (a) Vamos mostrar que n2+ 3n + 1 mpar para qualquer n N.Para n = 1 tem-se 12+ 3 + 1 = 5 o qual mpar. Logo, a proposio "n2+ 3n + 1 mpar" verdadeira para n = 1.Seja n N. Suponhamos agora que a proposio "n2+ 3n + 1 mpar" verdadeira para ne mostremos que tambm o para n + 1. Em resumo:HI (hiptese de induo): n2+ 3n + 1 mpar.Tese: (n + 1)2+ 3 (n + 1) + 1 mpar:Demonstrao (da tese):(n + 1)2+ 3 (n + 1) + 1 = n2+ 3n + 1. .. . mpar por HI+ 2n + 4. .. . par. .. . mpar.Deste modo, tem-se: (n + 1)2+ 3 (n + 1) + 1 mpar:Logo, a proposio: n2+ 3n + 1 mpar para qualquer n N, verdadeira.(b) Para n = 1 tem-se 1 = 1(1 + 1)2. Logo, a proposio verdadeira para n = 1.Seja n N.HI (hiptese de induo): 1 + 2 + + n = n(n + 1)2.Tese: 1 + 2 + + n + (n + 1) = (n + 1)(n + 2)2.Demonstrao (da tese):1 + 2 + + n + (n + 1) =por HIn(n + 1)2+ (n + 1) = n2+ 3n + 22= (n + 1)(n + 2)2.Deste modo, tem-se: 1 + 2 + + n + (n + 1) = (n + 1)(n + 2)2.Logo, tem-se: 1 + 2 + + n = n(n + 1)2para qualquer n N.(c) Para n = 1 tem-se 12= 1 = 1(1 + 1) (2 + 1)6. Logo, a proposio verdadeira paran = 1.Seja n N.HI (hiptese de induo): 12+ 22+ + n2= n(n + 1) (2n + 1)6.Tese: 12+ 22+ + n2+ (n + 1)2= (n + 1)(n + 2) (2n + 3)6.Demonstrao (da tese):12+22++n2+(n + 1)2=por HIn(n + 1) (2n + 1)6+(n + 1)2= (n + 1)n(2n + 1)6+ (n + 1)

=2= (n + 1)2n2+ 7n + 66

= (n + 1)(n + 2) (2n + 3)6.Deste modo, tem-se: 12+ 22+ + n2+ (n + 1)2= (n + 1)(n + 2) (2n + 3)6.Logo, tem-se: 12+ 22+ + n2= n(n + 1) (2n + 1)6para qualquer n N.(d) Para n = 1 tem-se 13= 12. Logo, a proposio verdadeira para n = 1.Seja n N.HI (hiptese de induo): 13+ 23+ + n3= (1 + 2 + + n)2.Tese: 13+ 23+ + n3+ (n + 1)3= [1 + 2 + + n + (n + 1)]2.Demonstrao (da tese):13+ 23+ + n3+ (n + 1)3=por HI (1 + 2 + + n)2+ (n + 1)3== (1 + 2 + + n)2+ n3+ 3n2+ 3n + 1 == (1 + 2 + + n)2+ n2+ 2n + 1 + n3+ 2n2+ n == (1 + 2 + + n)2+ (n + 1)2+ n(n + 1)2== (1 + 2 + + n)2+ (n + 1)2+ 2 (n + 1) n(n + 1)2. .. .=1+2++n= [1 + 2 + + n + (n + 1)]2.Deste modo, tem-se: 13+ 23+ + n3+ (n + 1)3= [1 + 2 + + n + (n + 1)]2.Logo, tem-se: 13+ 23+ + n3= (1 + 2 + + n)2para qualquer n N.(e) Para n = 1 tem-se 1 = 12. Logo, a proposio verdadeira para n = 1.Seja n N.HI (hiptese de induo): 1 + 3 + + (2n 1) = n2.Tese: 1 + 3 + + (2n 1) + (2n + 1) = (n + 1)2.Demonstrao (da tese):1 + 3 + + (2n 1) + (2n + 1) =por HI n2+ (2n + 1) = n2+ 2n + 1 = (n + 1)2.Deste modo, tem-se: 1 + 3 + + (2n 1) + (2n + 1) = (n + 1)2.Logo, tem-se: 1 + 3 + + (2n 1) = n2para qualquer n N.(f) Para n = 1 tem-se 12= 1 = 4 13. Logo, a proposio verdadeira para n = 1.Seja n N.HI (hiptese de induo): 12+ 32+ + (2n 1)2= 4n3n3.Tese: 12+ 32+ + (2n 1)2+ (2n + 1)2= 4 (n + 1)3(n + 1)3.Demonstrao (da tese):12+32+ +(2n 1)2+(2n + 1)2=por HI4n3n3+(2n + 1)2= 4n3n + 12n2+ 12n + 33=3= 4 (n3+ 3n2+ 3n + 1) n 13= 4 (n + 1)3(n + 1)3.Deste modo, tem-se: 12+ 32+ + (2n 1)2+ (2n + 1)2= 4 (n + 1)3(n + 1)3.Logo, tem-se: 12+ 32+ + (2n 1)2= 4n3n3para qualquer n N.(g) Para n = 1 tem-se11:2 = 12 =11 + 1. Logo, a proposio verdadeira para n = 1.Seja n N.HI (hiptese de induo):11:2 +12:3 + +1n(n + 1) =nn + 1.Tese:11:2 +12:3 + +1n(n + 1) +1(n + 1)(n + 2) = n + 1n + 2.Demonstrao (da tese):11:2 +12:3 + +1n(n + 1) +1(n + 1)(n + 2)=por HInn + 1 +1(n + 1)(n + 2) =n(n + 2) + 1(n + 1)(n + 2) ==n2+ 2n + 1(n + 1)(n + 2) =(n + 1)2(n + 1)(n + 2) = n + 1n + 2Deste modo, tem-se:11:2 +12:3 + +1n(n + 1) +1(n + 1)(n + 2) = n + 1n + 2.Logo, tem-se:11:2 +12:3 + +1n(n + 1) =nn + 1 para qualquer n N.(h) Para n = 1 tem-se 1:3 = 3 = (1 + 1) (2 + 7)6. Logo, a proposio verdadeira paran = 1.Seja n N.HI (hiptese de induo): 1:3 + 2:4 + + n(n + 2) = n(n + 1) (2n + 7)6.Tese: 1:3 + 2:4 + + n(n + 2) + (n + 1) (n + 3) = (n + 1) (n + 2) (2n + 9)6.Demonstrao (da tese):1:3 + 2:4 + + n(n + 2) + (n + 1) (n + 3) =por HIn(n + 1) (2n + 7)6+ (n + 1) (n + 3) == (n + 1) [n(2n + 7) + 6 (n + 3)]6= (n + 1) (2n2+ 13n + 18)6= (n + 1) (n + 2) (2n + 9)6.Deste modo, tem-se: 1:3 + 2:4 + + n(n + 2) + (n + 1) (n + 3) = (n + 1) (n + 2) (2n + 9)6.Logo, tem-se: 1:3 + 2:4 + + n(n + 2) = n(n + 1) (2n + 7)6para qualquer n N.(i) Para n = 1 tem-se 12! = 12 = 1 1(1 + 1)!. Logo, a proposio verdadeira para n = 1.Seja n N.HI (hiptese de induo):12! + 23! + +n(n + 1)! = 1 1(n + 1)!.4Tese:12! + 23! + +n(n + 1)! +n + 1(n + 2)! = 1 1(n + 2)!.Demonstrao (da tese):12! + 23! + +n(n + 1)! +n + 1(n + 2)!=por HI 1 1(n + 1)! +n + 1(n + 2)! == 1 n + 2 n 1(n + 2)!= 1 1(n + 2)!.Deste modo, tem-se:12! + 23! + +n(n + 1)! +n + 1(n + 2)! = 1 1(n + 2)!.Logo, tem-se:12! + 23! + +n(n + 1)! = 1 1(n + 1)! para qualquer n N.(j) Para n = 1 tem-se 514 1 = 0 divisvel por 16. Logo, a proposio verdadeira paran = 1.Seja n N.HI (hiptese de induo): 5n4n 1 divisvel por 16.Tese: 5n+14 (n + 1) 1 divisvel por 16.Demonstrao (da tese):5n+14 (n + 1) 1 = 5:5n4n 5 = 5 (5n4n 1).... divisvel por 16 por HI. .. . divisvel por 16+ 16n.... divisvel por 16. .. . divisvel por 16.Deste modo, tem-se: 5n+14 (n + 1) 1 divisvel por 16.Logo, tem-se: 5n4n 1 divisvel por 16 para qualquer n N.(k) Para n = 1 tem-se 22+ 2 = 6 mltiplo de 3. Logo, a proposio verdadeira paran = 1.Seja n N.HI (hiptese de induo): 22n+ 2 mltiplo de 3.Tese: 22n+2+ 2 mltiplo de 3.Demonstrao (da tese):22n+2+ 2 = 4 (22n+ 2) 6 = 4 22n+ 2

. .. . mltiplo de 3 por HI. .. . mltiplo de 3 6.... mltiplo de 3. .. . mltiplo de 3.Deste modo, tem-se: 22n+2+ 2 mltiplo de 3.Logo, tem-se: 22n+ 2 mltiplo de 3 para qualquer n N.(l) Para n = 1 tem-se 13+ (1 + 1)3+ (1 + 2)3= 36 divisvel por 9. Logo, a proposio verdadeira para n = 1.Seja n N.HI (hiptese de induo): n3+ (n + 1)3+ (n + 2)3 divisvel por 9.5Tese: (n + 1)3+ (n + 2)3+ (n + 3)3 divisvel por 9.Demonstrao (da tese):(n + 1)3+ (n + 2)3+ (n + 3)3= (n + 1)3+ (n + 2)3+ n3+ 9n2+ 27n + 27 == n3+ (n + 1)3+ (n + 2)3

+(9n2+ 9n + 27) = n3+ (n + 1)3+ (n + 2)3

. .. . divisvel por 9 por HI. .. . divisvel por 9+ 9

n2+ n + 3

.... divisvel por 9. .. . divisvel por 9.Deste modo, tem-se: (n + 1)3+ (n + 2)3+ (n + 3)3 divisvel por 9.Logo, tem-se: n3+ (n + 1)3+ (n + 2)3 divisvel por 9 para qualquer n N.(m) Para n = 1 tem-se 52 1 = 24 divisvel por 8. Logo, a proposio verdadeira paran = 1.Seja n N.HI (hiptese de induo): 52n1 divisvel por 8.Tese: 52n+21 divisvel por 8.Demonstrao (da tese):52n+21 = 5252n1 = 25 (52n1) + 24 = 25 52n1

. .. . divisvel por 8 por HI. .. . divisvel por 8+ 24.... divisvel por 8. .. . divisvel por 8.Deste modo, tem-se: 52n+21 divisvel por 8.Logo, tem-se: 52n1 divisvel por 8 para qualquer n N.(n) Para n = 1 tem-se 1 < 21. Logo, a proposio verdadeira para n = 1.Seja n N.HI (hiptese de induo): n < 2n.Tese: n + 1 < 2n+1.Demonstrao (da tese):n + 1 2. Logo, a proposio verdadeira para n = 2.Seja n N tal que n _ 2.HI (hiptese de induo):1

1 +1

2 + +1

n > n.Tese:1

1 +1

2 + +1

n +1

n + 1 > n + 1.Demonstrao (da tese):1

1 +1

2 + +1

n +1

n + 1>por HI

n +1

n + 1 =

n(n + 1) + 1

n + 1>

n2 + 1

n + 1 ==n + 1

n + 1 = n + 1. Deste modo, tem-se:1

1 +1

2 + +1

n +1

n + 1 > n + 1.Logo, tem-se:1

1 +1

2 + +1

n > n para qualquer n N tal que n _ 2.(r) Para n = 1 tem-se 0 < 14 < 1. Logo, a proposio verdadeira para n = 1.Seja n N.HI (hiptese de induo): 13+ 23+ + (n 1)3< n44< 13+ 23+ + n3.Tese: 13+ 23+ + (n 1)3+ n3< (n + 1)44< 13+ 23+ + n3+ (n + 1)3.Iremos ver primeiro que 13+23+ +(n 1)3+n3< (n + 1)44. E a seguir mostraremos que(n + 1)44< 13+ 23+ + n3+ (n + 1)3.7Demonstrao (da tese):13+23+ +(n 1)3+n3 2nn2.Tese: [(n + 1)!]2> 2n+1(n + 1)2.Demonstrao (da tese):[(n + 1)!]2= (n!)2(n + 1)2>por HI 2nn2(n + 1)2>n2>2 2n2 (n + 1)2= 2n+1(n + 1)2. Deste modo,tem-se: [(n + 1)!]2> 2n+1(n + 1)2.Logo, tem-se: (n!)2> 2nn2para qualquer n N tal que n _ 4.(t) Para n = 1 tem-se 1! _ 20. Logo, a proposio verdadeira para n = 1.Seja n N.HI (hiptese de induo): n! _ 2n1.Tese: (n + 1)! _ 2n.Demonstrao (da tese):(n + 1)! = n! (n + 1)_por HI 2n1(n + 1) _n1 2n12 = 2n.Deste modo, tem-se: (n + 1)! _ 2n.Logo, tem-se: n! _ 2n1para qualquer n N.(u) Para n = 4 tem-se 42= 16 > 15 = 3 (4 + 1). Deste modo, tem-se: 42> 3 (4 + 1). Logo,a proposio verdadeira para n = 4.Seja n N tal que n _ 4.HI (hiptese de induo): n2> 3 (n + 1).Tese: (n + 1)2> 3 (n + 2).Demonstrao (da tese):8(n + 1)2= n2+ 2n + 1 >por HI 3 (n + 1) + 2n + 1 >n>1 3 (n + 1) + 2 + 1 = 3 (n + 2). Deste modo,tem-se: (n + 1)2> 3 (n + 2).Logo, tem-se: n2> 3 (n + 1) para qualquer n N tal que n _ 4.(v) Para n = 4 tem-se 3414!= 2724 = 5448 < 5748 = 1916 = 1942. Deste modo, tem-se: 3414!< 1942.Logo, a proposio verdadeira para n = 4.Seja n N tal que n _ 4.HI (hiptese de induo): 3n1n!< 19n2.Tese:3n(n + 1)!