ficha reforço nº2 funções

Professora Laurinda Barros | Matemtica 9 Ano Funes

Escola Bsica e Secundria de Vila Cova ANO LETIVO 2014/2015

FICHA DE REFORO N2 Funes outubro 2014 3 CICLO DO ENSINO BSICO 9 ANO DE ESCOLARIDADE

Nome: _______________________________________________________________________N.____Turma:____ Prof. Laurinda Barros

Resumo Terico

FUNO AFIM

A funo definida por uma expresso analtica do tipo baxy (ou baxxf ) uma funo afim.

O grfico da funo baxy constitudo por pontos que esto sobre uma reta que interseta o eixo das

ordenadas no ponto (0, b).

A chama-se o declive da reta e a b a ordenada na origem.

Conforme o valor de , a funo pode ser crescente (se 0a ), decrescente (se 0a ) ou constante (se 0a ).

Funo crescente Funo decrescente Funo constante

FUNO LINEAR

A funo linear ou de proporcionalidade direta, axy (ou axxf ), com 0a , um

caso particular da funo afim, baxy , em que 0b .

Neste caso, a constante de proporcionalidade.

No grfico de uma funo linear ou de proporcionalidade direta, todos os pontos esto sobre

uma reta que contm a origem do referencial.

FUNO DE PROPROCIONALIDADE INVERSA

Duas variveis, x e y, dizem-se inversamente proporcionais se constante (e

diferente de zero) o produto dos valores correspondentes.

0 kkyx k a constante de proporcionalidade inversa.

Considerando 2 yx , temos que x

y2

.

A funo x

x2

ou x

xf2

uma funo de proporcionalidade inversa.

O produto das coordenadas de cada ponto do grfico de f constante. A

constante de proporcionalidade inversa 2.

Uma funo do tipo 0 kx

ky

uma funo de proporcionalidade inversa, em que o nmero k a constante de proporcionalidade.

De um modo geral, todas as situaes de proporcionalidade inversa tm como grfico pontos sobre uma

hiprbole.

Nota: =

Nota: =


FUNO QUADRTICA

As funes do tipo 2axy , com 0a , so exemplos de funes

quadrticas ou do 2. grau.

curva que representa a funo chamamos parbola e ao ponto

(0, 0) vrtice da parbola.

Temos que:

Os grficos das funes do tipo 2axy , com 0a , so

parbolas com eixo de simetria coincidente com o eixo dos yy.

O vrtice de cada uma destas parbolas (ponto de interseo dela com o eixo de simetria) a origem.

Os pontos (1, a) e ( 1, a) pertencem ao grfico de 2axy .

Se 0a , a concavidade da parbola est voltada para cima e se 0a , a concavidade da parbola est voltada para baixo.

Quanto maior for o valor absoluto de a, menor a abertura da parbola. Assim, o parmetro a influencia a abertura e o sentido da concavidade da parbola.

PARA TREINAR

1. Observa o seguinte grfico onde esto representadas vrias funes.

a) Qual das seguintes retas poder representar a funo definida por

() = 2 + 1?

b) Determina (1), (0) (2).

c) Qual o objeto de f que tem por imagem -9?

d) Indica as expresses analticas que correspondem s outras retas.

2. Considere as funes definidas por:

a) Calcula (3) + (5) + (0). b) De entre as quatro funes consideradas apenas duas so funes

lineares. Quais? c) No referencial seguinte apresentam-se as representaes grficas das

quatro funes. c1) Faz a correspondncia entre cada funo e a respetiva representao

grfica. C2) Determina as coordenadas dos pontos A, B e C e calcula a rea do

tringulo ABC. Explica o teu raciocnio.

I II III

IV


3. O declive da reta representada no grfico ao lado :

a) [A] 2 [B] -2 [C] 0,5 [D] - 0,5

b) Escreve a expresso algbrica da funo.

4. De acordo com os dados da figura, determina a expresso analtica da funo

afim cuja representao a reta:

a) CB, sabendo que o tringulo [OBC] issceles;

b) CA, sabendo que a rea do tringulo [OAC] 3

2;

c) Marca no referencial a reta y = 3. Como a caracterizas?

5. Sabe-se que uma funo afim cujo grfico passa pelos pontos de coordenadas (5,1) e (3,7).

a) Determina a expresso analtica da funo .

b) Determina as coordenadas dos pontos de interseo do grfico de com os eixos coordenados.

c) Comenta a afirmao: As representaes grficas das funes e () = 2 + 5 so retas

paralelas.

d) Escreve a expresso analtica da funo cuja representao grfica uma reta que paralela

representao da e passa pelo ponto de coordenadas (1,2).

6. A funo tem por expresso algbrica = 3 1. Determina a expresso algbrica da funo cujo

grfico uma reta:

a) Paralela ao grfico de e que passa pelo ponto de coordenadas (0,5).

b) Horizontal e que interseta o grfico de no eixo das ordenadas.

c) Com a mesma inclinao de e que passa na origem do referencial.

7. Na figura encontra-se representada uma funo afim que passa pelos pontos (2,2) e

(1,8).

a) Mostra que a expresso analtica da funo () = 2 + 6.

b) Determina o objeto cuja imagem 10.

c) Determina a imagem do objeto 4.

d) Determina as coordenadas dos pontos de interseco da reta com os eixos

coordenados.

e) Calcula a rea do tringulo [COD].

8. Na figura encontra-se representadas as funes e . Sabe-se que:

(0,2), (3

4,

3

2) (3,0).

o ponto de interseo das duas funes.

Qual das opes pode correspondente s expresses algbricas das funes

e ? Assinala a letra da opo correta.

(A) () = 2; () =2

3 + 2 (B) () =

2

3 + 2; () = 2

(C) () = 2

3 + 2; () = 2 (D) () = 3 + 2; () = 2


9. No referencial esto representadas as funes , e . Sabe-se que:

() = 3, () = + 2;

A representao grfica II paralela III.

(3

2,

1

2)

a) Estabelece a correspondncia entre as expresses e e as respetivas representaes grficas.

b) Define, atravs de uma expresso analtica, a funo .

c) Determina as coordenadas dos pontos , , e assinalados na figura.

10. Considera a funo uma funo linear sendo (3, 5) um ponto do seu grfico. Escreve uma expresso

analtica que a defina.

11. O pai do Ulisses, como sabe que o filho gosta muito de matemtica, inventou a seguinte frmula para

calcular a sua mesada () em euros:

() = 16 + 2

Onde representa o nmero de testes em que o Ulisses obtm Excelente.

a) No ms passado, o Ulisses realizou 4 testes e teve Excelente em 3 deles. Quanto recebeu de

mesada?

b) Qual o significado do valor 16 e do valor 2 na frmula?

c) Em quantos testes o Ulisses teria de ter Excelente para receber 30. Mostra como chegaste tua

resposta.

12. Completa o quadro, na situao em que x e y so duas grandezas a) Diretamente proporcionais b) Inversamente proporcionais c) Escreve uma expresso algbrica que represente

em funo de para cada uma das situaes em a) e b).

13. No referencial da figura est representada graficamente uma funo de proporcionalidade inversa, em que a varivel toma qualquer valor diferente de 0. Sabe-se que o ponto A(-3, -6) pertence ao grfico. Qual dos seguintes pares ordenados corresponde s coordenadas de um ponto do grfico da funo dada? (A) ( -2 , 9) (B) ( 0.25 , 72) (C) ( 6 , -3) (D) ( 75 , 0.25)

14. Para cada uma das seguintes funes, indica se se trata de uma proporcionalidade direta ou inversa e a respetiva constante de proporcionalidade.

a) () =3

b) () =

4 c) () =

3

4 d) () =

5

2

15. Quais das funes de seguida representadas tm constante 2 ?

() = 2 (1) () =

1

2 () =

8

4 () =

10

5

a) () b) () () c) () , () () d) todas


16. A seguir esto representadas graficamente funes do tipo =

, 0. Escreve a expresso

analtica de cada uma das funes: a)

b)

17. Um restaurante organiza eventos para grupos e faz a distribuio dos participantes por mesas com igual nmero de lugares. Um grupo constitudo por 200 participantes. a) Determina o nmero de mesas necessrias no caso de cada mesa ter 5 lugares. b) Determina o nmero de lugares em cada mesa, no caso de serem utilizadas 25 mesas. c) Representa por o nmero de mesas e c o nmero de lugares em cada mesa. Escreve uma

expresso que relacione as variveis e .

18. Sabe-se que 12 mquinas, todas com igual capacidade de produo, empacotam 2000 Kg de farinha em 4 horas.

a) Quanto tempo necessrio para que os 2000 Kg de farinha sejam empacotados por 3 dessas mquinas?

b) Quantas mquinas so utilizadas no empacotamento dos 2000 Kg de farinha, se o mesmo for feito em 6 horas?

c) Representa por o nmero de mquinas utilizadas e por t o tempo gasto no empacotamento dos 2000Kg de farinha. Escreve uma expresso que represente em funo de .

19. Numa fbrica h vrias mquinas com igual capacidade de produo. A fbrica recebeu uma encomenda de 200 peas. Para produzir as 200 peas, uma s mquina necessita de funcionar durante 8 horas.

a) Durante quanto tempo devem funcionar 5 mquinas para produzirem as 200 peas? Apresenta o resultado em horas e minutos.

b) Sabe-se que as peas foram produzidas em 2 horas. Quantas mquinas foram utilizadas?

20. Um tratador de animais tem a seu cargo a alimentao de 80 aves e um saco com 25Kg de comida para as alimentar durante 10 dias. Para quantos dias dar o mesmo alimento se forem adquiridas mais 20 aves?

21. Uma representao grfica de uma funo a parbola representada no referencial da figura. O ponto A (-2, 1) pertence ao grfico de f. a) Representa a funo f analiticamente.

b) Calcula:

i. (0,5) ii. (2

3)

c) Determina um nmero positivo tal que () = 9.


22. Considera as funes , e , tais que: () = 22; () = 32 e () = 0,52 A seguir esto representadas graficamente trs funes do tipo = 2 , 0 entre elas as funes f, g e h, mencionadas anteriormente. Faz corresponder cada uma das funes dadas a um dos grficos. Justificando devidamente.

I II III

23. A funo quadrtica que contem os pontos (0,0) e (2,8) : a) () = 2 + 8 b) () = 22 c) () = 22 d) () = 2

24. Na figura seguinte, esto representadas, num referencial, uma reta e uma parbola. A reta r, que representa graficamente a funo , intersecta o eixo no ponto de abcissa 2 e o eixo no ponto de ordenada 2. A parbola representa graficamente a funo g definida por () = 2 .

a) Mostre que a reta r representada pela equao = 2.

b) Determine as coordenadas dos pontos A e B, pontos de interseco dos grficos das funes e .

25. Na figura seguinte, esto representados, num referencial cartesiano parte do grfico da funo e o tringulo retngulo [OAB]. Sabe-se que:

A funo uma funo quadrtica definida por () = 2 , sendo a um nmero positivo;

O ponto pertence ao grfico da funo e tem coordenadas (3,4);

O ponto B pertence ao eixo das abcissas

a) Determina a expresso analtica da funo f.

b) Determina a rea do tringulo [OAB].

26. Uma fbrica produz tapetes para a indstria automvel. Uma das mquinas dessa fbrica (a mquina A) produz 6 tapetes por hora e leva 12 horas a fabricar todos os tapetes encomendados por uma certa empresa. Seja o nmero de tapetes produzidos, por hora, por uma outra mquina (a mquina B). O

que representa a expresso 72

, no contexto da situao descrita?

(Adaptado da Prova Final 3 - Ciclo - 2013, 1 chamada)


27. Na figura seguinte, esto representadas, num referencial cartesiano de origem O, partes dos grficos de duas funes, e , bem como o trapzio retngulo [ABCD]. Sabe-se que:

os pontos A e D pertencem ao eixo das ordenadas

a funo f definida por () =1

2.

a funo g definida por () = 22 . o ponto B pertence ao grfico da funo g e tem abcissa 2 o ponto C pertence ao grfico da funo f e tem abcissa 4

a) Identifica, usando letras da figura, dois pontos com a mesma ordenada.

b) Determina a rea do trapzio [ABCD]. Mostra como chegaste tua resposta.

(Adaptado do Exame nacional 2014)

28. Na Figura, esto representadas, num referencial cartesiano, partes dos grficos de duas funes, f e g Sabe-se que: a funo uma funo quadrtica definida por () = 2 , sendo

a um nmero positivo a funo g uma funo de proporcionalidade inversa o ponto B pertence ao grfico da funo f e ao grfico da funo g e

tem coordenadas (3,5) o ponto C pertence ao grfico da funo g e tem coordenadas (c;

1,5), sendo c um nmero positivo a) Determina as expresses algbricas de () e ().

b) Qual o valor de ( 3) ? (A) - 9 (B) 9 (C) - 5 (D) 5

c) Qual o valor de ? Mostra como chegaste tua resposta. (Adaptado Teste intermdio- Maro 2014)

29. No referencial cartesiano da Figura 3, esto representadas partes dos grficos de duas funes, f e g, e

um trapzio [ABCE] Sabe-se que: a funo f definida por () = . a funo g definida por () = 32 . o quadriltero [ABCD] um retngulo. os pontos A e B pertencem ao eixo das abcissas. o ponto D pertence ao grfico da funo g. os pontos E e C pertencem ao grfico da funo . os pontos A e E tm abcissa igual a 1.

a) Determina a medida da rea do trapzio [ABCE]. Mostra como chegaste tua resposta.

b) Qual das expresses seguintes define a funo cujo grfico simtrico do grfico da funo g ao eixo das abcissas?

[A] 1

32 [B] () =

1

32 [C] () = 3

2 [D] () = 32

(Adaptado do Exame Junho 2013)


30. Na figura seguinte, est representada, num referencial cartesiano de origem O, parte do grfico da funo , bem como o retngulo [OBAD] Sabe-se que: o ponto B pertence ao eixo das ordenadas a funo uma funo de proporcionalidade inversa os pontos A e C pertencem ao grfico da funo o ponto D pertence ao eixo das abcissas e tem abcissa 5 o ponto C tem coordenadas (2, 4)

a) Qual de o valor de (2) ?

b) Determina a expresso algbrica de ().

c) Determina o permetro do retngulo [OBAD]. Apresenta a resposta na forma de dzima. Apresenta todos os clculos que efetuares.

(Adaptado da Prova Final 3 ciclo 2014, 2 chamada)

31. As grandezas e , apresentadas na tabela ao lado, so inversamente proporcionais.

a) Determina o valor de . Apresenta todos os clculos que efetuares. b) Escreve em funo de .

(Adaptado da Prova Final 3 ciclo 2014, 1 chamada)

32. No referencial cartesiano da figura seguinte, esto representadas partes dos grficos de duas funes, e , e um quadrado [OABC]. Sabe-se que: o ponto O a origem do referencial.

a funo definida por () =10

, ( > 0).

o grfico da funo uma reta que passa na origem do referencial.

o ponto A pertence ao eixo das abcissas. o ponto C pertence ao eixo das ordenadas. o ponto B pertence ao grfico da funo . o ponto P pertence ao grfico da funo e ao grfico da funo

e tem abcissa 5 a) Determina a expresso algbrica de ().

b) Em qual das opes seguintes esto as coordenadas de um ponto que pertence ao grfico da funo ?

[A] (50, 2) [B] (20, 2) [C] (50,1

2) [D] (20,

1

2)

c) Qual a medida exata do comprimento do lado do quadrado [OABC]? (Adaptado da Prova Final 3 - Ciclo - 2013, 2 chamada)

33. Na figura ao lado, esto representados, num referencial cartesiano, os pontos A e B e partes dos grficos de duas funes, e . Sabe-se que: o ponto O a origem do referencial. a funo uma funo de proporcionalidade direta. a funo uma funo de proporcionalidade inversa. o ponto A pertence ao grfico de e tem coordenadas (8; 6). o ponto B pertence ao grfico de e ao grfico de e tem abcissa igual a

4. Determina as expresses algbricas de () e ().

O nico lugar onde o sucesso vem antes do trabalho no dicionrio.

Albert Einstein
http://pensador.uol.com.br/autor/albert_einstein/


Solues 1. a) grfico I b) (1) = 3; (0) = 1; (2) = 3 c) = 5 ; d) II: = 2 + 1; III: = 2; IV: = 2 2. a) (3) + (5) + (0) = 9 11 + 0 = 2 b) II e IV c1) I: (); II: (); III: (); IV: ()

c2) A(0,4) C(0,3) D(3,0) =3

2.

3. a) (D) b) = 1

2 + 2

4. a) C(0,3) B(3,0) reta CB: = + 3; b) C(0,3) A(1,0) reta Ca: = 3 + 3

5. a) = 3 + 16 ; b) (16

3, 0) (0,16) c) Falsa, porque as retas no tem o mesmo declive. d) = 3 + 5.

6. a) = 3 + 5; b) = 1; c) = 3. 7. b) () = 10 = 2; c) (4) = 2; d) (0,6) 8. (C)

9. a) I: (); III: () b) () = 3 + 5 c) (2,0); (5

3, 0) ; (0,2); (0,5)

10. = 5

3

11. a) 22 b) o valor da mesada do Ulisses se no tirar nenhum excelente. c) 7 excelentes. 12.

a)

6,4 8 5 32

0,4 0,5 0,3125 2

b)

10 8 5 2

0,4 0,5 0,8 2

c) alnea a): =1

16 e alnea a): =

4

13. (A) 14. Proporcionalidade direta: b) e d) ; Proporcionalidade inversa: a) e c) 15. (C)

16. a) =0,05

; b) =

1

17. a) 40 mesas; b) 8 lugares c) = 200.

18. a) 16 horas; b) 8 mquinas; c) =48

19. a) 1,6 horas ou 1h36min; b) 4 mquinas 20. 8 dias

21. a) () =1

42; b) i)

1

16 ii)

1

9 c) = 6

22. Grfico I: (); Grfico II: (); Grfico III: () 23. (C) 24.

25. a) () =3

162 b) rea=6

26. Representa o numero de horas necessrias para a mquina B fabricar todos os tapetes encomendados. 27. a) A e B ou D e C. b) [] = 18

28. a) () =5

92 () =

15

; b)[D] c) = 10

29. de horas necessrias para a mquina B fabricar todos os tapetes encomendados.

30. a) [] = 4 b) () =8

c) [] = 13,2

31. a) = 25 b) =300

32. a) () =2

5; b)[D] c) = 10

33. () =3

4 () =

12

;

ficha reforço nº2 funções

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