FICHA PARA IDENTIFICAÇÃO DA PRODUÇÃO DIDÁTICO-PEDAGÓGICA

Título: O uso de diferentes recursos visuais na construção dos conceitos de poliedros e polígonos: uma experiência na EJA. Autora:

Alice do Rocio Ladaminsky.

Disciplina/Área (ingresso no PDE)

Matemática.

Escola de implementação do Projeto e sua localização

CEEBJA Profa. Maria Deon de Lira.– EFM.

Município da escola

Curitiba.

Núcleo Regional de Educação

Curitiba.

Professora Orientadora

Profa. Dra. Maria Tereza Carneiro Soares

Instituição de Ensino Superior

Universidade Federal do Paraná.

Relação Interdisciplinar

Arte.

Resumo

É um desafio encontrar formas para

que estudantes da EJA - que

manifestam em situação escolar,

saberes do cotidiano, porém com

dificuldades em relacionar essa

sabedoria aos conteúdos matemáticos

- compreendam e elaborem conceitos

geométricos selecionados para serem

ensinados na etapa que corresponde

ao Ensino Fundamental. Logo, faz-se

necessário desenvolver uma

metodologia de ensino que possibilite

a superação e a incorporação do

conhecimento que o educando traz

consigo, oportunizando condições

para que ele acredite nos saberes que

possui e possa recriar esse

conhecimento, bem como ampliar seu

engajamento na aprendizagem de

geometria. Para isso, esta Unidade

Didático-Pedagógica servirá como

material de apoio para que o professor

se torne capaz de provocar nos

estudantes a capacidade de

observação, reflexão e criação. As

atividades propostas visam

especificamente a compreensão dos

conceitos de poliedros e polígonos

pelo uso de diferentes recursos

visuais.

Palavras-chave

Geometria - Dobradura/Origami- Recursos Computacionais.

Formato do Material Didático

Unidade Didática.

Público Alvo

Professores de Matemática do Ensino Fundamental da Modalidade Jovens e Adultos; Estudantes do Ensino Fundamental da Modalidade Jovens e Adultos de Matemática da Organização Coletiva; Cursistas do GTR (Grupo de Trabalho em Rede) das escolas públicas do Paraná.

1 – APRESENTAÇÃO

O ensino-aprendizagem da geometria por meio de diferentes abordagens exige

uma postura ativa tanto do professor de Matemática quanto do estudante nas aulas, e

não de um como transmissor e outro apenas como expectador.

Nessa direção, a Secretaria de Estado da Educação do Paraná (SEED-PR)

equipou os laboratórios de informática das escolas sob sua responsabilidade com

microcomputadores ligados à internet através de fibra óptica. O Portal Educacional Dia

a Dia Educação, marcou o início de um ambiente de interação entre professores e

estudantes, no sentido de facilitar o processo ensino-aprendizagem e democratizar o

conhecimento escolar nas diferentes áreas.

No contexto da Educação Matemática, as proposições são para que sejam

utilizadas as mais diversas alternativas metodológicas e recursos didáticos que sirvam

de apoio ao trabalho pedagógico do professor na abordagem dos conteúdos

matemáticos, em especial os de geometria. Entre essas alternativas, uma das mais

destacadas é a possibilidade de fazer uso das mídias tecnológicas e dos softwares

educativos - hoje disponíveis nos laboratórios informatizados da maioria das escolas

públicas do Paraná, por meio de computadores e Internet.

Por entendermos que trabalhar os conteúdos de geometria somente com a

observação do desenho de figuras no papel, restringe-se a uma análise estática das

figuras geométricas, optamos nessa Unidade Didática pelo estudo dos poliedros e

polígonos a partir da observação da trajetória humana na utilização e elaboração

desses conceitos. Nesse contexto o uso dos diferentes recursos visuais por meio da

dobradura, do computador e softwares matemáticos, é auxiliar importante para que os

conceitos geométricos sejam devidamente visualizados e compreendidos.

Tendo desenvolvido minha atividade profissional nos últimos anos como

docente da EJA, com a oportunidade de participar do PDE – Programa de

Desenvolvimento Educacional da SEED-PR., optei em produzir um material didático–

pedagógico para o ensino da Geometria no Ensino Fundamental, para estudantes

jovens e adultos, a fim de compreender melhor minha prática pedagógica e contribuir

com meus colegas, haja vista a escassez de materiais didáticos específicos para essa

modalidade de ensino, particularmente para os mais idosos. Fonseca (2007), alerta

para o fato do reduzido material de Matemática para EJA e adverte que ao tentar fazer

adaptações de metodologias produzidas para o ensino regular de matemática, estas

adaptações para os estudantes da EJA, muitas vezes não priorizam o conhecimento

matemático, que fica relegado a um segundo plano, perdendo de vista o objetivo

central que é o ensino da matemática.

Outro fator e, talvez, o mais contundente na minha escolha em produzir esta

Unidade Didática utilizando dobraduras para ensinar geometria a estudantes da EJA,

foi ter conduzido uma “Oficina de Origami” na “Semana Pedagógica” da escola em que

leciono que foi planejada e aplicada pelo nosso grupo de professores de Matemática.

Naquela oportunidade, nós professores, verificamos que esta atividade foi a

que mais repercutiu e teve a participação tanto de alunos quanto de professores de

outras disciplinas e funcionários da escola. Constatamos que os alunos jovens e

adultos gostam de fazer dobraduras, ficam concentrados durante a realização da

atividade e seus olhos brilham como os das crianças quando brincam. Foi muito

gratificante ver o encanto e a alegria que tomavam conta deles em todo o processo de

construção da dobradura, principalmente quando conseguiam terminar uma peça.

Foram confeccionadas flores, cartões, envelopes, tsurús, enfim, diversas peças,

incluindo alguns poliedros, entre eles o “prisma quadrangular ou cubo” e o “prisma

retangular ou paralelepípedo”, porém os conteúdos matemáticos não foram

contemplados em virtude do tempo escasso e da formação de muitas turmas.

Nosso grupo de professores gosta muito de trabalhar com o origami nas suas

aulas, mas ainda não dispomos de um material adequado, que direcione a prática

pedagógica dos professores utilizando dobraduras. Por outro lado, muitos dos

estudantes da Educação de Jovens e Adultos sequer sabem ligar um computador. Esta

seria uma das formas de inseri-los na linguagem das tecnologias da informação e

comunicação levando-os a compreender a tecnologia como uma ferramenta que

proporciona novas formas de apropriação do conhecimento.

Minha proposta de produzir este material didático-pedagógico a partir dos

recursos audiovisuais por meio de dobraduras e do computador tem como intenção

oferecer aos alunos jovens e adultos um material adequado às suas características e

necessidades, além da inclusão digital do estudante da EJA para que ele conheça as

novas tecnologias e, principalmente perceba a aplicabilidade dos conteúdos

matemáticos no seu dia a dia. A proposição das atividades buscam levar o educando à

compreensão e construção dos conceitos de maneira a contemplar a relação entre o

conteúdo matemático escolar e a experiência matemática vivenciada em seu cotidiano.

As Diretrizes Curriculares de Matemática (DCE) do Paraná, a Secretaria de

Estado da Educação (SEED-PR) orientam para que na prática docente da disciplina de

Matemática os conteúdos sejam abordados por meio de algumas tendências

metodológicas oriundas da pesquisa em Educação Matemática, entre elas o uso de

mídias tecnológicas e investigações matemáticas (PARANÁ, 2008).

É interessante fazer de recursos audiovisuais no ensino da Matemática porque

os conceitos matemáticos que podem ser trabalhados em sala de aula não se esgotam

e apresentam excelentes resultados. Cada aula pode ser reinventada transformando a

relação de aprender e ensinar numa relação autenticamente criativa, dialógica e

prazerosa. É possível ensinar e aprender Matemática com alegria.

Para Moreira da Costa (2007, p. 39), “O Origami como recurso para o ensino

da Matemática revela, em sala de aula, uma mudança de paradigma: é possível

aprender com alegria. No aluno, desperta o prazer de aprender e no professor,

reacende a paixão de ensinar”.

A Matemática, por muito tempo foi vista como uma disciplina difícil e que

deveria ser estudada porque constava no currículo escolar. Hoje, nós professores,

estamos buscando aplicar novas metodologias no ensino matemático para que os

estudantes percebam a Matemática como um conhecimento que faz parte de sua vida,

que precisa ser sistematizado e compreendido em sua totalidade e sempre relacionado

com a prática social dos homens.

Cabe ressaltar que esta produção didática, mesmo sendo elaborada para

aplicação na EJA, por ser a modalidade em que atuo e vou implantar o presente

Projeto de Intervenção na Escola, pode ser igualmente aplicada em todas as

modalidades de ensino.

OBJETIVOS

OBJETIVO GERAL

Disponibilizar para os professores da EJA, uma Unidade Didático-Pedagógica

que possa subsidiar no ensino de conceitos geométricos específicos, como os de

poliedros e polígonos, com o uso de diferentes recursos visuais por meio de

dobraduras de papel e do computador.

OBJETIVO ESPECÍFICO

Elaborar Unidade Didática compondo um material para a conceituação teórico-

metodológica das atividades sugeridas para a construção dos conceitos de poliedros e

polígonos.

UNIDADE DIDÁTICA

FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA

As propostas educacionais da EJA procuram defender que “o ponto de partida

para a aquisição dos conteúdos matemáticos deve ser os conhecimentos prévios dos

educandos” (RIBEIRO, 1997). Os estudantes jovens e adultos trazem consigo uma

bagagem cultural muito rica proveniente de suas experiências pessoais e coletivas,

mas nem sempre é considerado, o que prejudica a construção de novos

conhecimentos.

Essa modalidade de ensino é formada de estudantes que, por algum motivo,

não conseguiram concluir seus estudos no ensino regular e vive uma história de

exclusão. Ao retornarem aos bancos escolares, ainda encontram limitações no acesso

aos bens culturais e materiais produzidos pela sociedade. Buscam resgatar o “tempo

perdido”, porém encontram muitas dificuldades na compreensão dos conteúdos

matemáticos, principalmente os relacionados à Geometria, as quais necessitam ser

superadas para que sua participação seja mais ativa no mundo do trabalho, nas

relações com a sociedade, na política e na cultura.

De acordo com o Parecer CNE 11/2000, quando o adulto retorna aos bancos

escolares não quer somente recuperar o que deixou de aprender quando criança, mas

anseia por conhecimentos necessários para a sua realidade atual, que lhe propiciem

“desenvolver e constituir conhecimentos, habilidades, competências e valores que

transcendam os espaços formais da escolaridade e conduzam à realização de si e ao

reconhecimento do outro como sujeito.” (Parecer CNE 11/2000).

Conforme a Proposta Curricular para a Educação de Jovens e Adultos da

Secretaria de Educação Fundamental do Ministério da Educação (2002):

Aprender matemática é um direito básico de todos e uma necessidade individual e social de homens e mulheres. Saber calcular, medir, raciocinar, argumentar, tratar informações estatisticamente etc. são requisitos necessários para exercer a cidadania, o que demonstra a importância da matemática na formação de jovens e adultos. No entanto, um ensino baseado na memorização de regras ou de estratégias para resolver problemas, ou centrado em conteúdos pouco significativos para

os alunos certamente não contribui para uma boa formação matemática. Quando, porém, estimula a construção de estratégias para resolver problemas, a comprovação e a justificativa de resultados, a criatividade, a iniciativa pessoal, o trabalho coletivo e a autonomia advinda da confiança na própria capacidade para enfrentar desafios, a matemática contribui para a formação dos jovens e adultos que buscam a escola. Ou, ainda, quando os auxilia a compreender informações, muitas vezes contraditórias, que incluem dados estatísticos e a tomar decisões diante de questões políticas e sociais que dependem da leitura crítica e da interpretação de índices divulgados pelos meios de comunicação. (BRASIL, 2002, p.11).

Segundo D’Ambrósio (2001, p. 15), o professor nesse contexto tem um grande

desafio, o de “tornar a matemática interessante, isto é, atrativa; relevante, isto é, útil; e

atual, isto é, integrada no mundo de hoje”.

Sobre a importância de saber matemática, a Proposta Curricular para a

Educação de Jovens e Adultos da Secretaria de Educação Fundamental (BRASIL,

2002), traz o seguinte alerta:

É cada vez mais necessário saber matemática, pois ela está presente na quantificação do real (na contagem ou medição de grandezas) assim como na criação de sistemas abstratos que organizam, inter-relacionam e revelam fenômenos do espaço, do movimento, das formas e dos números, quase sempre associados a fenômenos do mundo físico. (BRASIL, 2002, p.12).

Um dos fatores de grande relevância no ensino da Matemática refere-se à

seleção dos conteúdos matemáticos que devem ser enfatizados dentro dos grandes

temas curriculares, mais especificamente, àqueles que contribuem socialmente e para

o desenvolvimento intelectual do jovem e do adulto.

Conforme os Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN, 1997), sobre a seleção

dos conteúdos de Matemática no Ensino Fundamental:

Há um razoável consenso no sentido de que os currículos de Matemática para o ensino fundamental devam contemplar o estudo dos números e das operações (no campo da Aritmética e da Álgebra), o estudo do espaço e das formas (no campo da Geometria) e o estudo das grandezas e das medidas (que permite interligações entre os campos da Aritmética, da Álgebra e da Geometria). (BRASIL,1997, p.38).

Os Conteúdos Estruturantes propostos nas Diretrizes Curriculares de

Matemática para a Educação Básica da Rede Pública Estadual do Paraná são:

Números e Álgebra, Grandezas e Medidas, Geometrias, Funções e Tratamento da

Informação (PARANÁ, 2008).

De acordo com os Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN, 1997), destaca-

se o papel dos conceitos geométricos no desenvolvimento do pensamento do

estudante em qualquer nível de ensino.

Os conceitos geométricos constituem parte importante do currículo de Matemática no ensino fundamental, porque, por meio deles, o aluno desenvolve um tipo especial de pensamento que lhe permite compreender, descrever e representar, de forma organizada, o mundo em que vive. (BRASIL, 1997, p. 39).

Nesse mesmo documento (PCN, 1997), consta que:

[...] é importante estimular os alunos a progredir na capacidade de estabelecer pontos de referência em seu entorno, a situar-se no espaço, deslocar-se nele, dando e recebendo instruções, compreendendo termos como esquerda, direita, distância, deslocamento, acima, abaixo, ao lado, na frente, atrás, perto, para descrever a posição, construindo itinerários. Também é importante que observem semelhanças e diferenças entre formas tridimensionais e bidimensionais, figuras planas e não planas, que construam e representem objetos de diferentes formas. A exploração dos conceitos e procedimentos relativos a espaço e forma é que possibilita ao aluno a construção de relações para a compreensão do espaço a sua volta. (BRASIL, 1997, p. 49).

No entanto, dados coletados em um levantamento realizado pela Coordenação

de Educação de Jovens e Adultos (COEJA) da Secretaria de Educação Fundamental

do Ministério da Educação COEJA junto a secretarias de educação, professores e

alunos, com a finalidade de subsidiar o processo de reorientação curricular nas

secretarias estaduais e municipais, bem como nas instituições e escolas que atendem

ao público de EJA, sobre conteúdos ensinados em aulas de Matemática e que estão

divulgados em documentos curriculares recentes da EJA (BRASIL, 2002), destacam

que:

Na consulta realizada, percebeu-se claramente que conteúdos de geometria não são desenvolvidos com a devida atenção, embora contribuam decisivamente para o desenvolvimento de capacidades intelectuais como a percepção espacial, a criatividade, o raciocínio hipotético-dedutivo, além de permitirem várias relações entre a Matemática e a arte, a Matemática e a natureza etc. É preciso, portanto, incorporar a geometria aos cursos de jovens e adultos, não como um estudo estático de figuras e suas respectivas nomenclaturas, mas como um estudo dinâmico do espaço em que se vive. (BRASIL, 2002, p.23).

É preciso que o ensino da Matemática, em especial da Geometria, se torne em

um sentido mais amplo, útil e presente na vida do estudante, transformando suas

experiências e relações sociais.

Um fator relevante no ensino da Geometria é o de promover valores culturais e

estéticos, desenvolvendo a apreciação das formas encontradas na natureza, nas

construções e nas obras de arte. O estudo da Geometria com base em objetos, obras

de arte, desenhos, pinturas, entre outras, possibilita ao aluno estabelecer conexões

entre a Matemática e outras áreas do conhecimento.

Segundo (Leivas, 2009), para o desenvolvimento de um pensamento

geométrico não é suficiente ensinar as diferentes formas geométricas, seus nomes,

características e propriedades, é preciso propor atividades desafiadoras que explorem

a capacidade de observação, visualização e imaginação das formas no espaço e no

plano.

O casal van Hiele, na década de 50, nos seus trabalhos de doutorado na

Universidade de Utrecht, desenvolveu estudos idealizando uma forma inovadora a

respeito de níveis de pensamento geométrico, tais como: reconhecimento; análise;

abstração; dedução e rigor.

Em relação à importância da visualização para a compreensão de conceitos da

geometria, Kaleff (2003, p.16), afirma:

“Ao visualizar objetos geométricos, o indivíduo passa a ter controle sobre o

conjunto das operações básicas mentais exigidas no trato da geometria”. É de importância capital que o aluno consiga diferenciar o que é uma visualização plana de uma visualização espacial de um objeto. (KALEFF, 2003, P.16).

Liblik (1996), em seu trabalho de dissertação, argumenta:

Pesquisas indicam que o desenvolvimento da habilidade visual possui grande significância documentada em domínios específicos como Matemática, Ciências, Engenharia, Arquitetura e Artes (BOLETIM GEPEM, 1994). Em todas essas áreas, alguns cientistas, ao elaborarem seus conceitos desenvolvem antes da teorização formal, imagens mentais. Outros, na Arquitetura e nas Artes, como Oscar Niemayer, desenvolvem mentalmente linhas básicas e passam para o papel para explicar o que será a construção de uma cidade como Brasília, por exemplo, já que a imagem é muito mais forte que a palavra. Leonardo da Vinci (1452-1519) deixou-nos esboços de suas criações, tanto artísticas quanto científicas, que podem ser consideradas mais fortes que suas palavras escritas. (LIBLIK, 1996, p. 2).

Para Bigode (1998):

“Os primeiros passos para a aprendizagem da Geometria, um conhecimento

essencialmente visual, devem privilegiar o que se apreende com os olhos e

com as mãos. Não com os ouvidos.”(CADERNOS DA TV ESCOLA, 1998, p. 5).

Nessa concepção, a dobradura “Origami” é um material didático interessante

que possibilita ao estudante jovem e adulto construir com suas próprias mãos formas

espaciais a partir de formas planas e fazer constatações acerca do mundo geométrico.

Para Ribeiro (2009, p. 18), “[…] As atividades lúdicas são inerentes ao ser

humano, não somente no universo infantil, mas também nas vivências dos adultos”.

Rêgo, Rêgo e Gaudêncio (2004, p. 18) afirmam que:

O Origami pode representar para o processo de ensino/aprendizagem de Matemática um importante recurso metodológico, através do qual os alunos ampliarão os seus conhecimentos geométricos formais, adquiridos inicialmente de maneira informal por meio da observação do mundo, de objetos e formas que o cercam. Com uma atividade manual que integra, dentre outros campos do conhecimento, Geometria e Arte. (RÊGO E GAUDÊNCIO, 2004, p. 18).

Os efeitos produzidos através de dobraduras e recortes, com o uso de

simetrias, também são uma forma de demonstrar que Arte e Matemática estão

associadas (IMENES, 1996).

Outra ferramenta dinâmica que facilita o ensino é a Multimídia. Para o

Professor Dr. Awdry Feisser Miquelin:

O computador também oferece uma ferramenta extremamente dinâmica para o ensino, que é a Multimídia. Com esta ferramenta é possível fazer uso de recursos de escrita, movimento e som formando uma hipermídia. A forma mais comum de hipermídia é o hipertexto que utiliza links modificando a leitura tradicional, pois adiciona elementos que não exigem, necessariamente, um acompanhamento linear do texto, mas, sim, uma navegação por diferentes caminhos em seu interior. A disponibilização de links pode levar o leitor a navegar por vídeos, simulações e diferenciadas ferramentas, ou seja, com as multimídias, o grau de interatividade e flexibilidade no hipertexto é superior à leitura tradicional. (MIQUELIN, 2009, p.36).

Ainda, segundo Miquelin, a utilização dessa ferramenta tecnológica oportuniza

uma parceria entre professores e estudantes no processo ensino-aprendizagem.

A escola pode ser o lugar onde a inovação e a criatividade sejam premissas para que os sujeitos, efetivamente, estejam munidos de subsídios para serem diferenciais na sociedade. Assim, o uso das tecnologias pode potencializar

um processo crítico de aprendizagem, ou não. (MIQUELIN, 2009, p.74).

Kalinke (2004), em sua obra “Para não ser um professor do século passado”,

sobre o computador na escola, afirma:

O computador pode revolucionar a escola porque permite aquilo que procuramos há séculos, que é uma educação massificada e, ao mesmo tempo, individualizada. Esse equipamento e sua tecnologia nos permitem oferecer acesso ao saber a uma massa enorme de pessoas que até então estava à margem do processo educacional. O seu uso nos permite, contudo, que essa massificação aconteça de uma forma mais unificada e individualizada, tratando o indivíduo como único e permitindo que ele busque a informação mais útil e importante para a sua realidade, mesmo que ela seja completamente diferente daquela do seu colega de sala de aula ou escritório. (KALINKE, 2004, pg. 53).

Sobre a Internet, José Manuel Moran escreve:

[...] A Internet está se tornando uma mídia fundamental para a pesquisa. O acesso instantâneo a portais de busca, a disponibilização de artigos ordenados por palavras-chave facilitaram em muito o acesso às informações necessárias. Nunca como até agora professores, alunos e todos os cidadãos possuíram a riqueza, variedade e acessibilidade de milhões de páginas WEB de qualquer lugar, a qualquer momento e, em geral, de forma gratuita. (MORAN, 2009).

No contexto da Educação Matemática, as proposições são para que ao fazer

uso das mídias tecnológicas e dos softwares educativos (hoje disponíveis nos

laboratórios informatizados da maioria das escolas públicas do Paraná, por meio de

computadores e Internet), sejam utilizadas as mais diversas alternativas metodológicas

para que sirvam de apoio ao trabalho didático do professor na abordagem dos

conteúdos matemáticos, em especial os de geometria.

Os recursos tecnológicos na educação podem trazer uma importante

contribuição para a aprendizagem. Além de tornar o trabalho do professor mais

valorizado, que ao contrário do que se possa vir a pensar, poderá mediar o

conhecimento com maior segurança e estar mais próximo da realidade do aluno, que

fora do ambiente escolar convive com a televisão, celular, computador, internet, entre

outros.

Para Purificação (1999), quando usados adequadamente, esses recursos

tecnológicos facilitam a construção de conhecimentos geométricos de maneira

significativa.

Inúmeras são as possibilidades de uso de recursos tecnológicos nas escolas

estaduais do Estado do Paraná, como a TV Multimídia, computadores, internet e lousa

interativa, que facilitam o trabalho do professor.

No Portal Dia a dia Educação da Secretaria de Estado da Educação do Paraná

(http://www.diaadiaeducacao.pr.gov.br), para a disciplina de Matemática encontra-se o

endereço http://www.matematica.pr.gov.br onde estão disponibilizados “objetos virtuais

de aprendizagem de matemática”, os quais podem ser lidos pela TV Multimídia,

instalados nas escolas estaduais do Paraná.

Nesta perspectiva, ao se propor ensinar geometria na EJA com o uso de

diferentes recursos visuais por meio da dobradura e do computador na construção dos

conceitos de poliedros e polígonos, vislumbra-se o desejo de subsidiar o trabalho

docente no ambiente escolar e ampliar as oportunidades de engajamento dos

estudantes desta modalidade na sua aprendizagem. Para desenvolver um trabalho

significativo, pretende-se que o professor saiba aproveitar os saberes trazidos pelos

estudantes, articular os conteúdos com o cotidiano, estimular o trabalho coletivo entre

os alunos tão importante quanto à interação entre aluno e professor. É preciso provocar

nos estudantes a capacidade de observação, curiosidade, comparação, criticidade,

análise, reflexão, criação, confronto e argumentação de suas ideias, enfim, levá-los a

raciocinar, oportunizando autonomia nas tomadas de decisão necessárias a solução de

problemas tanto no interior da escola quanto na realidade social.

UNIDADE DIDÁTICA

TEMÁTICA I

Do espaço ao plano ou do plano ao espaço: o desafio de representar o real

A arte de desenhar

Oscar Ribeiro de Almeida Niemeyer Soares Filho,

nasceu no Rio de Janeiro, mais conhecido como

Oscar Niemeyer, foi um arquiteto brasileiro,

considerado uma das figuras-chave do

desenvolvimento da arquitetura moderna.

Fonte: www.arte.seed.pr.gov.br

Antes a arquitetura era caracterizada pelas linhas

retas.

Niemeyer, influenciado por Corbusier, desenvolveu

um leve traço sinuoso, usando as linhas curvas na arquitetura, proporcionando leveza

e harmonia nas construções.

O amor pelas curvas

tornou seu trabalho de arquiteto conhecido

mundialmente e como poeta imortalizou em palavras

essa paixão.

Fonte: www.arte.seed.pr.gov.br

Não é o ângulo reto que me atrai, nem a linha reta, dura, inflexível, criada pelo homem. O que me atrai é a curva livre e sensual, a curva que encontro nas montanhas do meu país, no curso sinuoso dos seus rios, nas ondas do mar, no corpo da mulher preferida. “De curvas é feito todo o universo, o universo curvo de Einstein”, Oscar Niemeyer.

Sugestão de vídeo: Vídeo 1: Curvas criadas por Oscar Niemeyer transformaram prédios em obras de arte. 11´53´´ Disponível em: http://g1.globo.com/videos/distrito-federal/t/todos-os-videos/v/curvas-criadas-por-oscar-niemeyer-transformaram-predios-em-obras-de-arte/2284348

SUGESTÃO DE OUTROS VÍDEOS INTERESSANTES PARA VOCÊ ASSISTIR Vídeo 2: Essa Casa tem História - Museu Oscar Niemeyer 12’57” Disponível em: http://www.youtube.com/watch?v=6E-B5QHJMR4 Vídeo 3: Niemeyer - curvas e muita bossa 3’17” Disponível em: http://www.youtube.com/watch?v=Wkp-CD2ASJg Vídeo 4: Niemeyer 100 Anos de uma bela vida bela 6’51” Disponível em: http://www.youtube.com/watch?v=TG_oSxb7i6o Vídeo 5: La Vida es um soplo clip 3’58” Disponível em: http://www.youtube.com/watch?v=2nMr96IOgCo

Roda de conversa

Discuta com seus colegas sobre as sensações produzidas pelas superfícies

curvas existentes nas construções do arquiteto Oscar Niemeyer. Converse sobre linhas

empregadas em seus desenhos para representar superfícies planas e curvas nas

plantas que dão origem às construções e também sobre as características de

responsabilidade social e de harmonia com a natureza presentes em sua obra.

Atividade

Identificando superfícies curvas e planas nas construções.

a) No espaço a seguir cole algumas fotografias ou recortes das obras desse

arquiteto falecido em 5 dezembro de 2012 aos 104 anos, que não tem somente

linhas curvas, por exemplo, a do Congresso Nacional. Escolha um objeto para

representar uma das construções que você encontra na foto do Congresso

Nacional em que todas as suas superfícies são retas e outro para representar uma

das construções em que as superfícies são curvas. Em uma folha de papel

contorne cada uma das faces do objeto que não tem superfície curva.

b) A cidade de Brasília foi totalmente projetada por Niemeyer para ser a capital do

Brasil. Cole abaixo fotos das construções dos palácios por ele planejados e

escolha um deles para desenhar. Faça o desenho no espaço a seguir e responda:

Você usou somente linhas curvas em seu desenho? Desenhe uma das

construções que não precisa traçar linhas curvas. Para desenhar foi necessário

traçar ângulos retos? Identifique em sua sala de aula algum objeto que não tenha

nenhuma linha curva, ele se parece com seu desenho?

c) Para a fachada do palácio da Alvorada, residência oficial do Presidente da

República, Niemeyer escolheu uma forma geométrica curva e a repetiu, porém,

como você já observou no vídeo e também na figura abaixo, em algumas partes

da fachada, apenas a metade desta forma apareceu. Em uma malha

quadriculada, como a que está representada a seguir desenhe a parte que está

faltando e recorte a figura toda. Ao dobrar a parte que você desenhou sobre a já

desenhada o que você observa? Anote suas observações.

Palácio da Alvorada - Brasília

FONTE: jornaldachapada.com. br

TEMÁTICA II

Das formas na natureza às formas criadas pelos homens: o visto e o representado

A arte de visualizar

O homem criou objetos de arte e ornamentação a partir da observação

das formas encontradas na natureza.

A forma do sol, da lua, da estrela do mar,

dos caracóis, dos favos de mel, das flores, frutas e

das legumes são

alguns exemplos de

superfícies curvas, e

quando o homem tentou

desenhar algumas delas, FONTE: Acervo particular

como por exemplo, a

estrela do mar ou os favos de mel, traçou linhas retas

FONTE: PR., Seed e curvas.

FONTE DAS IMAGENS: PR., Seed.

Favos de Mel

1 2 3

Imagens disponíveis em:

1. http://www.matematica.seed.pr.gov.br/modules/galeria/uploads/3/049casulohx.jpg

2 http://www.publicdomainpictures.net/view-image.php?image=322&picture=macro-do-favo-de-mel

3. http://www.matematica.seed.pr.gov.br/modules/galeria/detalhe.php?foto=147&evento=3

Ao longo da história do homem estes desenhos foram sendo cada vez mais

simplificados dando origem ao que denominamos formas geométricas, porém, na

natureza e em boa parte dos desenhos feitos pelos homens não encontramos formas

geométricas, elas são uma invenção dos matemáticos

Pintura rupestre de Lérida, Espanha.

Pintura rupestre de Lérida, Espanha, uma das mais antigas encontradas, cerca de

8300 mil anos a.C., que representa uma dança num ritual de fertilidade.

http://www.arte.seed.pr.gov.br/modules/galeria/detalhe.php?foto=293&evento

As imagens dos objetos reais em vídeos são representações muito próximas

dos objetos existentes na natureza e criados pelos homens, mas, o que ocorre quando

tentamos desenhar estes objetos?

Sugestão de vídeo: Geometria no cotidiano 9’49”

Disponível em: http://www.youtube.com/watch?v=_7yXoZnSTBM

Acesso em: 2012-12-12

Roda de conversa

Discuta com seus colegas sobre as semelhanças e as diferenças entre as

formas observadas na natureza, os desenhos feitos pelo homem e a visualização de

formas geométricas. Converse sobre as características das formas geométricas que

aparecem no vídeo e o uso que o homem fez da forma geométrica imaginada como

uma figura fechada com o menor número de linhas retas possível.

Atividades

Simplificando as formas da natureza: a invenção das figuras geométricas

a) No espaço a seguir cole fotografias e recortes que mostrem o uso da figura

geométrica plana mais simples que aparece no vídeo. Nas ilustrações que você

recortou você consegue visualizar uma figura geométrica plana formada de três

linhas retas e os pontos onde estas linhas se encontram?

b) Construa uma malha composta por 10 figuras geométricas planas formadas por

apenas três linhas retas.

c) Observe objetos da sala de aula que tenham superfícies curvas e retas. Faça um

quadro separando objetos com superfícies retas dos objetos com superfícies

curvas. Desenhe em cada uma das colunas um objeto de cada tipo.

TEMÁTICA III

As figuras nas artes visuais são geométricas?

É possível visualizar formas geométricas na obra de Tarsila do Amaral?

Tarsila do Amaral, artista brasileira, nasceu em 1o. de

setembro de 1886, no Município de Capivari, interior do Estado

de São Paulo. Por meio de linhas curvas e retas, diferentes

formatos do corpo humano e paisagens foram representados

por ela em suas obras. Procure perceber a relação entre a arte

e os elementos geométricos em seus quadros.

Tarsila do Amaral Manto Vermelho, 1923

www.arte.seed.pr.gov.br

Tarsila do Amaral A negra, 1923.

www.arte.seed.pr.gov.br

Tarsila pintou esta tela em Paris. Seu pai era fazendeiro e essa negra fez parte

de sua infância. As negras, em sua grande maioria, eram filhas dos escravos que

trabalhavam nas fazendas e eram as amas-secas, hoje conhecidas como babá,

amamentavam e cuidavam das crianças dos fazendeiros.

TELAS DE TARSILA DO AMARAL

Fonte: http://www.revistaea.org/img/aa4.jpg http://movebr.wdfiles.com/local--files/galeria:tarsila-do-amaral/central_brasil.jpg http://portaldoprofessor.mec.gov.br/fichaTecnicaAula.html?aula=15056 Acesso em: 12-12-11

Sugestão de sítio: Para saber mais sobre a biografia da artista Tarsila do Amaral.

Disponível em: http://www.tarsiladoamaral.com.br/

Acesso em: 12-12-11

Roda de Conversa

Discuta com seus colegas sobre as semelhanças e as diferenças entre as

pessoas, os objetos e as formas que os representam em cada um dos quadros de

Tarsila do Amaral.

Converse sobre o modo como Tarsila representou as formas humanas, ela as

reproduziu fielmente? Ela utilizou linhas retas? Em qual dos quadros a pintora não usou

linhas curvas?

Atividade

A deformação das pessoas e dos objetos nas obras de arte

a) Faça um quadro para cada uma das duas obras de Tarsila que representam

paisagens urbanas. Em cada quadro organize duas colunas, em uma delas

escreva o nome de objetos tridimensionais que foram representados por meio de

retas e na outra o nome de objetos tridimensionais que foram representados com

desenhos de curvas. Quais os objetos com superfícies planas e os objetos com

superfícies curvas que são parecidos?

b) Reproduza de cada quadro que representa paisagens urbanas uma das figuras

formada por três linhas retas. Essas linhas se cruzam?

Aldemir Martins e suas formas geométricas distorcidas.

Aldemir Martins, artista

nascido em Ingazeira, um distrito

do município de Aurora no estado

do Ceará, faleceu no dia 6 de

fevereiro de 2006 na cidade de

Buenos Aires. Além de pintor,

Aldemir Martins também era ilustrador e escultor, muito conhecido aqui no Brasil e

também no resto do mundo por seus trabalhos.

Em suas obras as formas geométricas estão presentes de forma distorcida e a

aplicação das cores de forma livre e expressiva, por exemplo, permitia que pintasse o

gato de vermelho, azul, amarelo, transcendendo o mundo real. Uma maneira de

experimentar e ousar no campo da criação e subjetividade, que ampliou o repertório

visual e conceitual e a capacidade de abstração.

Sugestão de vídeo: Aldemir Martins e algumas obras. - 2’49”

Disponível em: http://www.youtube.com/watch?v=YsxdyfKD208 Acesso em: 12-12-08

http://oestranhomundo.wordpress.com/category/uncategorized/

http://cultura.culturamix.com/arte/obras-de-aldemir-martins

http://maniacolorida.blogspot.com.br/2010/05/aldemir-martins-em-sala-de-aula.html

http://www.arte.seed.pr.gov.br/modules/galeria/fotos.php?evento

c) Nas obras de Aldemir Martins os traços do artista aproximam-se aos traços

infantis, soltos, livres, distorcidos, as cores e a temática de seus

quadros apresentam-se de forma muito atrativa. Identifique nas figuras pintadas

pelo artista o uso de linhas que não são curvas. Reproduza-as nesse espaço.

TEMÁTICA IV

As marcas que identificam um artista: Volpi e os padrões geométricos nas

artes visuais

As bandeirinhas e seu formato geométrico: as composições de Volpi

Fonte: http://portaldoprofessor.mec.gov.br/fichaTecnicaAula.html?aula=7983

http://www.saopaulo.sp.gov.br/patrimonioartistico/sis/fl/imagem/artistas/Volpi.jpg

Alfredo Volpi nasceu na Itália e veio para o Brasil com um ano de idade, em

1897, com os pais que emigraram para São Paulo. Gostava, desde pequeno, brincar

com as tintas criando novas cores.

No início Volpi representava cenas da natureza e foi criando sua própria

linguagem na pintura, culminando com produções mais intelectuais.

Suas obras caracterizam-se pela repetição de formas geométricas,

alternâncias das cores e pelo estilo abstrato geométrico.

Começou a representar formas geométricas e fazer trocas cromáticas a partir

dos anos 70.

Sugestão de vídeo: Imagens das obras de Volpi 2’17”

Disponível em: http://www.youtube.com/watch?v=0mEXg_GF3dg

Acesso em: 12-12-08.

Roda de conversa

Discuta com seus colegas sobre a forma do objeto que inspirou Volpi e que se

tornou “marca registrada” de seus quadros. Quantas linhas retas são necessárias para

desenhar essa forma? Converse sobre os ângulos que podem ser vistos nessa figura

que tem dois ângulos retos, dois menores que o reto e um ângulo maior que o reto.

Atividades

a) As artes visuais apresentam representações de objetos tridimensionais no

plano: elas são bidimensionais.

As diferentes composições observadas nos quadros de Volpi foram inspiradas em

um objeto tridimensional, mas ao serem pintadas na tela elas lembram algumas

figuras geométricas bidimensionais. Em cada um dos quadros observe como Volpi

trabalha com as cores e verifique se as formas geométricas que podem ser

visualizadas todas tem o mesmo formato. Verifique também se tem o mesmo

número de lados e de ângulos.

Anote suas considerações no espaço abaixo.

Adaptação da aula disponível em: http://portaldoprofessor.mec.gov.br/fichaTecnicaAula.html?aula=20747 Acesso em: 12-12-12

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b) Brincando de quebra-cabeça com as obras do artista Alfredo Volpi.

Acesse o site: Jogo online – Organize os quadros no quebra-cabeça.

http://www.arteducacao.pro.br/artistas_internacionais/volpi/jogo/jogo.htm

Acesso em: 12-12-09.

c) Dobrando papéis é possível representar formas geométricas?

Dobre uma folha de papel e recorte para representar uma bandeirinha com o

mesmo número de lados das que aparecem nos quadros de Volpi. Cole-a no

espaço a seguir.

d) Fazendo arte com as formas geométricas.

As obras de Volpi tinham como característica a repetição das cores e das formas

no estilo abstrato geométrico.

Alfredo Volpi Grande Fachada Festiva

Fonte: www.eco.ufrj.br

Disponível em: http://www.arte.seed.pr.gov.br/modules/galeria/detalhe.php?foto=348&evento Acesso em: 12-12-11

Quantas cores diferentes foram utilizadas por Volpi ao pintar este quadro? Todas

as figuras geométricas são desenhadas com linhas retas? Todas tem o mesmo

número de lados? Quais as semelhanças entre as formas geométricas utilizadas

para representar portas e janelas?

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TEMÁTICA V

O ponto das Artes Visuais não é o ponto geométrico: a obra de Kandinsky

Wassily Wassilyevich Kandinsky nasceu na Rússia em 4 de dezembro de

1866 e faleceu na França em 14 de dezembro de 1944). Foi um importante pintor,

teórico, músico e professor russo, sendo considerado o pioneiro da pintura abstrata.

Seus primeiros quadros exibiam figuras humanas e objetos naturais. Os

contornos tornaram-se aos poucos mais imprecisos, os rostos perderam sua definição

e as formas tornaram-se apenas vagas referências de algo existente no mundo real.

"Enquanto a arte não dispensar o objeto, ela será meramente descritiva", falou

Kandinsky.

Fonte: http://pt.wikipedia.org/wiki/Ficheiro:VassilyKandinsky.jpeg

http://portaldoprofessor.mec.gov.br/fichaTecnicaAula.html?aula=16018

O ponto, para a geometria, não tem dimensões e é utilizado para indicar um

lugar. É apenas um sinal gráfico de referência.

Na linguagem visual, como neste quadro de Kandinsky, apesar do ponto ser o

sinal mais simples de representação, ele aparece como se fosse um círculo de

diferentes dimensões.

Uma pessoa, vista pela janela de um avião, ou uma estrela no céu, vista por

uma pessoa na terra, parecerão ser um ponto e inclusive poderão ser representadas

por pontos. Pontos visuais ou geométricos podem ser utilizados para a representação

de diferentes objetos.

Sugestão de vídeo: Matemática e a Arte – Kandinsky

Apresentação do trabalho de investigação dos alunos do 4º ano

da EB1 de Outiz sobre Kandinsky e a arte abstrata.

Categoria: Educação

Licença de atribuição Creative Commons (reutilização permitida)

Disponível em: http://www.youtube.com/watch?v=YtFTfxX5lkw 5’44”

Enviado em 12 Dez2012

Roda de Conversa:

Discuta com seus colegas as diferenças entre ponto na linguagem visual e

ponto geométrico e o uso de pontos para representar diferentes objetos.

Atividade

Pontos e linhas visualizados na obra de Kandinski

Linha Transversal, 1923 Composição IV, 1910 Estudos com linhas e planos, já apresentando Início do abstracionismo, mas ainda com alguns alguma ligação com seus estudos em música. elementos reconhecíveis.

Adaptação da aula disponível em: http://portaldoprofessor.mec.gov.br/fichaTecnicaAula.html?aula=1973 Acesso em: 12-12-11

a) Nas obras de arte, também é possível identificar o traçado de linhas que, apesar

de terem o formato de retas e curvas, não são retas e curvas geométricas por

serem desenhadas com diferentes espessuras. Identifique nos dois quadros quais

as linhas retas e curvas que mais favorecem a ideia de linhas geométricas.

b) Ao riscar uma folha de papel com um lápis as linhas que aparecem podem ter

diferentes formatos. Essas linhas podem nos dar a idéia de linhas geométricas?

Por quê?

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c) As retas geométricas são representadas por letras minúsculas do nosso alfabeto,

sendo comum representar retas por r, s, t, letras do final do alfabeto. E as linhas

curvas também podem ser assim representadas?

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d) Ao tocar o grafite do lápis numa folha de papel para colocar um ponto final em

uma frase, podemos ter a idéia de um ponto geométrico? E ao cruzar duas linhas?

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e) Os pontos geométricos são representados por letras maiúsculas do nosso

alfabeto, sendo comum utilizar as letras iniciais, por exemplo: A, B, C,…

Use uma régua para traçar uma linha reta e nela marque alguns pontos.

f) A letra O é utilizada para representar o ponto central de um círculo. Use um

compasso para traçar uma linha curva fechada, marque o ponto onde foi fincado o

compasso, um ponto sobre a curva, dois dentro dela e três fora dela.

FONTE: PR., Seed

TEMÁTICA VI

A arte de dobrar papéis e representar objetos e formas no espaço

FONTE: Mundo das tribos

Desde muito pequenos já fazíamos nossas artes. Quantos de nós, em nossa

infância, quando chovia, corríamos e arrancávamos uma folha de caderno para fazer

um barquinho e ficávamos radiantes quando o via deslizar pelas águas? E, quando a

professora saía da sala de aula, quantos aviãozinhos foram vistos voando e saindo

pelas janelas livres e soltos? Lembra-se dos sapinhos de papel que saltitavam e faziam

surgir em seu rosto um sorriso e causar-lhe muita alegria? Tudo era muito divertido, e

esses brinquedos eram construídos com uma simples folha de papel retirada de nossos

cadernos.

Na verdade, ao construir esses brinquedos de papel, estávamos fazendo

dobraduras e criando uma arte, porque dobrar papéis é uma arte.

Da mesma forma com que você construía esses brinquedos por meio de

dobraduras, no Ensino de Matemática faremos uso das dobraduras como recurso

metodológico para que você amplie seus conhecimentos geométricos formais,

adquiridos por meio da observação de objetos e suas formas no mundo.

Roda de conversa

Discuta com seus colegas sobre os conhecimentos que você tem sobre

dobraduras. Você já fez dobraduras? Quais os tipos de dobraduras que você

conhece? Nelas você consegue visualizar formas geométricas? Elas são planas ou

espaciais? Suas superfícies são curvas ou planas?

Atividade I

Dobradura: é a arte de construir objetos com papel.

a) Você recebeu uma folha de papel. Com ela faça uma dobradura qualquer. Que

objeto você construiu? Cole sua dobradura neste espaço.

b) Ao dobrar essa folha de papel com as mãos, aparecem linhas nessas dobras?

Essas linhas são retas ou curvas?

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c) Por meio das dobraduras podemos criar objetos. Você sabe qual é o nome da

técnica de dobrar um papel que é considerada arte e faz com que se torne uma

forma?

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Atividade II

Origami: a arte milenar que encanta pela magia de dobrar uma folha de papel e

representar objetos e formas no espaço.

Acreditam os estudiosos que o Origami, a arte de dobrar papéis é tão antigo

quanto o surgimento da primeira folha de papel na China, acontecimento este ocorrido

há aproximadamente 1800 anos, por meio da maceração de cascas de árvores e

restos de tecidos. No Japão, o papel foi introduzido pelos monges budistas coreanos,

em torno do ano de 610 e os japoneses desenvolveram a sua própria tecnologia

usando fibras vegetais extraídas de plantas nativas: o kozo para papel resistente,

o gampi para os nobres e mitsumata, para os mais delicados. O papel tipicamente

japonês ficou conhecido como washi e sobre ele podia-se escrever ou usá-lo para

várias finalidades, inclusive para o origami. Provavelmente o origami seja de origem

chinesa, porém foram os japoneses que desenvolveram de forma tão extraordinária

esta técnica de dobradura, sendo considerado patrimônio cultural do país do sol

nascente, como é conhecido o Japão.

A arte de dobrar papel, também denominada em espanhol papiroflexia, hoje

em dia é muito divulgada no mundo inteiro por meio da internet e de livros

especializados.

No início, o uso do papel somente era acessível apenas à nobreza como um

artigo de luxo, em festas religiosas e na confecção dos moldes de quimonos. Não era

feito registro algum das dobraduras e as formas de confeccioná-las eram passadas

oralmente de pais para filhos. Somente em 1797, com a publicação do livro

“Senbazuru Orikata”, que significa – como dobrar mil garças – a população começou a

ter mais contato com esta arte. A partir de 1876, no Japão, o Origami começou a fazer

parte integrante do currículo escolar.

A origem da palavra “Origami” surgiu em 1880, da união de duas palavras em

japonês , “ori” que vem do verbo “oru” que significa dobrar e “gami” vem de

“kami” que significa papel e quando ditas juntas o “k” é substituído por “g”, ou seja,

“origami.”

Na sua forma mais tradicional não há uso de cortes e colagens de módulos.

O momento mágico do origami é transformar uma simples folha de papel, que

é tridimensional, em outros objetos de forma também tridimensional. É possível

acrescentar movimento, som e volume nas peças confeccionadas, valorizando-as e

proporcionando-lhes mais beleza.

O origami tem sido utilizado no ensino básico da geometria. Possibilita o

desenvolvimento da capacidade motora e criativa do indivíduo.

Atualmente

Atualmente o origami é largamente divulgado no Japão entre todas as faixas

etárias, seguindo as tradições seculares. Não é uma arte exclusivamente praticada por

japoneses, há adeptos em todo o mundo. Por exigir concentração, estimular a

imaginação e desenvolver a destreza manual ajuda muito no desenvolvimento

intelectual das crianças.

Formas mais comuns

Tsuru (ave-símbolo do Origami), também conhecido como grou ou cegonha,

significa boa sorte, felicidade e saúde. O sapo representa o amor e a fertilidade e a

tartaruga, a longevidade.

Agora que você já conhece um pouco sobre a origem do Origami, que somente

em 1797, com a publicação do livro “Senbazuru Orikata”, que significa – como dobrar

mil garças - a população começou a ter mais contato com esta arte, vamos conhecer a

“Lenda do Tsuru” e a importância dessa ave na cultura japonesa?

A lenda do Tsuru

Uma história que teve origem em decorrência ao desastre das bombas

atômicas que atingiram as cidades de Hiroshima e Nagasaki

FONTE: Como fazer origami

http://www.matematica.seed.pr.gov.br/modules/conteudo/conteudo.php?conteudo=217

http://www.comofazerorigami.com.br/origami-de-tsuru/

A lenda do Tsuru, uma das mais belas lendas do povo japonês, surgiu em

meio ao desastre das bombas atômicas, sofrido pelas cidades de Hiroshima e

Nagasaki. A primeira explosão de uma bomba atômica na história da humanidade

aconteceu no dia 6 de agosto de 1945, no centro da cidade de Hiroshima e no dia 9 de

agosto na cidade de Nagasaki.

Segundo a lenda, um jovem camponês ao avistar uma ave cair aos seus pés

após sofrer um golpe de flecha ficou comovido com a dor do animal, removeu a flecha,

pôs a ave para voar novamente e disse: “Tome cuidado com os caçadores!”. A ave

bateu as asas e voou para longe.

À noite, ao retornar para casa, o jovem encontrou uma bela moça em sua porta

que disse: “Bem vindo à sua casa, eu sou a sua esposa”, disse a mulher. Surpreso, o

rapaz falou: “Eu sou muito pobre e não posso sustentá-la.” A mulher respondeu

apontando um pequeno saco. “Não se preocupe, eu tenho muito arroz, estava até

fazendo o seu jantar.”

Mesmo surpreso, ele aceitou o convite. Conta-se que ao longo do tempo

jamais faltou alimento na casa, pois aquele saco estava sempre cheio. Um dia a

mulher solicitou ao seu marido que construísse um quarto de costura, porém pediu que

ele nunca entrasse no mesmo. Durante sete dias ela permaneceu trancada costurando

no quarto.

Ao sair do quarto após este período ela encontrava-se muito magra e disse ao

marido: “Pegue essa peça de roupa, e vai vendê-la no mercado por um alto preço”.

No dia seguinte, o marido foi para a cidade e vendeu a roupa por uma grande

quantidade de moedas. Tal fato se repetiu por inúmeras vezes.

Muito curioso, o marido entrou no quarto para saber como sua esposa

costurava. Para surpresa, no lugar de sua esposa estava a ave que ele havia salvado,

sentada à máquina, costurando roupas com suas próprias penas, em vez de linhas. A

ave, como notou a presença do rapaz, disse: “Eu sou a ave que você salvou. Queria

recompensá-lo me tornando sua esposa, mas agora você descobriu a minha

verdadeira forma e não posso ficar mais aqui.”

Assim, com mais uma roupa pronta em suas mãos, ela disse: “Eu deixo isto

para você lembrar-se de mim”. Dito isto, a ave voou para longe deixando apenas uma

lágrima.

Diz a lenda que o Tsuru vive mil anos e tem o poder de conceder desejos.

Os japoneses acreditam até hoje que a pessoa que dobrar mil Tsurus e fizer

seu desejo a cada um deles, depositando toda a sua fé e esperança, verá o seu desejo

realizado. Em função dessa lenda, o pássaro se tornou símbolo de esperança.

O Tsuru e a História de Sadako

Em virtude da destruição de Hiroshima em 1945, as pessoas que

sobreviveram adquiram muitas doenças. Sadako Sassaki, que na época tinha dois

anos de idade quando ocorreu a explosão, foi diagnosticada aos 12 anos com leucemia

em decorrência dos efeitos da Bomba Atômica.

Um amigo, ao visitá-la no hospital, levou-lhe alguns papéis coloridos e dobrou

um pássaro (TSURU) e disse-lhe que se tratava de um pássaro que era sagrado no

Japão, que vive mil anos e tinha o poder de conceder desejos. Se uma pessoa

dobrasse mil Tsurus e fizesse o seu pedido a cada um deles, este seria atendido.

Sadako começou a dobrar Tsurus e a pedir para se curar. Mas sua doença

agravava-se a cada dia. Então Sadako começou a pedir pela Paz Mundial. Ao morrer

em 25 de outubro de 1955, até esta data havia dobrado 964 Tsurus. Seus amigos

conseguiram dobrar os Tsurus restantes a tempo do seu funeral.

Porém seus amigos não se contentaram e queriam muito mais, desejavam

pedir por todas as outras crianças que também foram atingidas e estavam prestes a

morrer. Uniram-se e formaram um clube para angariar dinheiro para a construção do

“Monumento da Paz das Crianças”, o qual foi inaugurado em 5 de Maio de 1958, no

Parque da Paz de Hiroshima.

Muitas foram as contribuições, totalizando mais de 3000 escolas do Japão e

de outros nove países.

O Dia da Paz é comemorado em 6 de Agosto e na oportunidade são enviados

de todas as partes do mundo Tsurus de papel para o Parque da Paz de Hiroshima.

Esta é a mensagem esculpida na base do monumento de Sadako, a qual

todas as crianças querem propagar pelo mundo.

Este é o nosso Grito

Esta é a nossa oração:

Paz no Mundo.

“Sadako, onde você estiver, saiba que sua mensagem está sendo conhecida no

mundo todo, e esperamos que também seja cumprida”.

Sugestão de vídeo: Japan Red Crowned Cranes Dance – Dança do Tsuru 3’58”

Disponível em: http://www.youtube.com/watch?v=-o4xsvE1p-g

Acesso em: 12-12-11

Roda de conversa

Discuta com seus colegas sobre o que compreenderam da lenda do Tsuru.

Você entendeu a mensagem que esta história traz? Para seus colegas, a

mensagem foi a mesma? Há outras mensagens diferentes da sua?

Atividade III

Dobrando papel e dando forma e movimento ao Tsuru que bate as asas

FONTE: (source):

http://geekiest.net/post/Beautiful-Wallpapers-from-Microsoft.aspx

http://oqueemeuenosso.blogspot.com.br/2012/05/papel-de-parede-wallpaper-do- windows.html

É a ave sagrada do Japão, considerada símbolo de saúde sorte, paz,

felicidade, prosperidade e longevidade.

Conhecida também por grou ou cegonha, sua figura talvez seja a mais popular

e tradicional dos origamis.

Para os origamistas, a figura do Tsuru é a mais perfeita possível, pois sua

base - a base do pássaro - serve para a criação de inúmeras outras figuras de papel,

desde animais até plantas.

Era costume antigamente pendurar estas aves de papel no teto, para distrair

as crianças, especialmente os bebês. Eram oferecidas também em templos e altares

juntamente com as orações, para se pedir proteção.

Acredita-se que originalmente elas tinham apenas a função decorativa e só

mais tarde foram associadas às orações.

Muito utilizada em comemorações festivas, fazendo-se presente nos enfeites e

nas embalagens.

Origami: Tipos de Papel

À princípio, qualquer papel serve para fazer dobraduras. Cabe a cada um pesquisar e

selecionar o mais apropriado ao modelo feito. Quando for escolher o tipo de papel, procure observar a

sua espessura, os papéis grossos demais quebram ao serem vincados. Os papéis muito finos ou moles

não podem ser dobrados ou desdobrados muitas vezes, pois rasgam-se facilmente e não têm a rigidez

necessária.

Papel japonês: não é nem muito grosso de nem muito mole, perfeito para fazer origami. Estão

disponíveis em mais de 500 cores, alguns até mesmo coloridos em degrade. Pintar o papel antes de

dobrá-lo também pode produzir um ótimo efeito na peça. Para deixar a peça mais rígida, pode-se dar um

banho de cola branca no papel e dobrar após a evaporação.

Papéis Japoneses para Origami: geralmente são feitos artesanalmente, usado técnicas e materiais

especiais. Encontrados em pouquíssimas lojas no Brasil, são produzidos especialmente para fazer

Origami. Mais macios que os demais, dão um efeito diferente às peças, apresentando uma infinidade de

cores e texturas. Porém, são mais caros que os fabricados no Brasil. Os industrializados, também em

grande quantidade, tem um preço menor.

Papel Espelho: é o 2° papel mais usado. Colorido de um lado e branco de outro, pode ser facilmente

encontrado em qualquer papelaria, porém raramente cortados em tamanhos menores que o padrão

(15 cm x 15 cm).

Papel de Presente ou Fantasia: estampados de um lado e branco de outro, são excelentes para

valorizar ou estilizar uma peça. Nesse caso, também existe uma grande quantidade de papéis

importados, de alta qualidade com estampas lindíssimas.

Papel Metalizado: oferece uma vantagem: permite dobrar ou moldar a peça com maior facilidade. Uma

desvantagem, entretanto, é que neste tipo de papel os vincos ficam mais evidentes, deixando marcas

indesejadas no modelo pronto. Sua face brilhante torna certos modelos bem atrativos, porém seu

manuseio requer cuidados especiais por ser um papel muito delicado. É tratado quimicamente e depois

recoberto com uma camada de pó metálico (alumínio, estanho, bronze, etc.), adquirindo assim, o

aspecto de folha metal.

Papel Dobradura: É o papel mais usado para fazer Origami, pois como o nome da já diz, é próprio para

se dobrar. A melhor marca deste papel é a Spiral, a melhor opção para substituir o Papel Japonês

original.

Tamanhos: Para peças simples, o Papel (quadrado) pode ter a medida padrão universal de 15x15. Para

peças mais complicadas, use papel 25x25. No entanto, dependendo da habilidade de quem vai dobrar, a

escolha do tamanho é pessoal. Outros formatos como retângulos, triângulos e até mesmo papéis

circulares, podem ser utilizados para dobrar peças.

http://www.animeforces.com/?page=noticias&materia=s&id=40 Acesso em: 12-12-11.

a) Agora é a sua vez de fazer a ave-símbolo do origami!

Você tem algumas opções para confeccionar o Tsuru, as quais estão relacionadas

a seguir. Escolha o melhor jeito e faça o seu.

Opção 1: Passo a passo do Tsuru, Grou ou Cegonha.

Papel recomendado: Papel Dobradura 15cm x 15cm.

Fonte: http://www.matematica.seed.pr.gov.br/modules/conteudo/conteudo.php?conteudo=217

http://oficinadoorigami.blogspot.com.br/2011/03/tsuru-grou-ou-cegonha.html

Opção 2:

Acesse o sítio abaixo, assista o vídeo e descubra como, a partir da dobradura de uma

folha quadrada de papel, você pode dar forma ao Tsuru.

Sugestão de vídeo: Tsuru que "voa" 9’47”

Disponível em: http://www.youtube.com/watch?v=omGUi_UlM2E Acesso em: 12-12-14

Opção 3: Passo a passo por meio de um diagrama.

Se esta for sua escolha para a confecção de origami, é preciso saber o código

que possibilite a construção e a transmissão de mensagens. Trata-se de um conjunto

de sinais convencionais, desenhos que representam a folha de papel a ser dobrada,

setas, linhas e regras, que permitem a leitura e a construção de modelos “planos e

tridimensional’’.

http://www.comofazerorigami.com.br/diagrama-origami-de-tsuru/

DIAGRAMA

http://www.comofazerorigami.com.br/origami-de-tsuru-que-bate-as-asas/

Opção 4:

Se ainda tiver alguma dúvida na confecção do Tsuru, assista aos vídeos

acessando os seguintes sites:

http://www.youtube.com/watch?feature=player_embedded&v=lKikjNZCRbE

http://www.youtube.com/watch?feature=player_embedded&v=VP_9ZRnI00A

b) Acesse o sítio a seguir e escolha uma peça de origami para construir junto com o

professor e seus colegas.

Disponível em: www.comofazerorigami.com.br/ Acesso em: 12-12-10.

c) Concluída a dobradura, você e seus colegas montem móbiles contendo, em cada

um, cinco dobraduras. Façam um resumo da história da dobradura e confeccionem

um cartaz para ser fixado em local apropriado na escola, juntamente com os

móbiles, com o intuito de divulgar o trabalho realizado pela turma.

Atividade III

a) De posse de uma folha quadrada igual a que você recebeu para construir o

Tsuru, o que observa quanto sua superfície? O quadrado é uma figura plana ou

espacial? Justifique sua resposta.

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b) Com um transferidor meça a medida desses ângulos internos. Como eles são

denominados?

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c) O primeiro passo que você executou para construir o Tsuru foi a dobra da folha

em duas partes iguais por meio de uma linha reta denominada diagonal. Quais

foram as figuras formadas? Elas são iguais? Como são seus lados? Quantos

são os seus lados? Quantos ângulos internos foram formados a partir desta

nova dobradura?

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d) Com um transferidor meça a medida desses ângulos internos. Como eles são

denominados?

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e) Observando a natureza, você consegue relacionar alguma coisa que possui esta

forma? E na sua casa? Em sua sala de aula ou escola, você identifica coisas

que tenham esta forma? Quais?

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f) No segundo passo a passo, você dobrou novamente a figura pela metade, por

meio de uma diagonal. Quais são as figuras obtidas com esta nova

dobradura? São iguais as anteriores? Por quê? Quantos são os seus lados?

E quantos são os ângulos formados?

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g) Com um transferidor meça a medida desses ângulos internos. Como eles são

denominados?

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h) Ao realizar estas dobraduras você consegue observar semelhanças entre as

figuras obtidas? E diferenças?

Relacione no espaço abaixo as semelhanças e diferenças observadas nas

figuras.

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TEMÁTICA VII

O Origami no Ensino da Matemática.

O Origami, durante séculos, era somente praticado como atividade artística.

Objeto de estudos científicos, pesquisadores perceberam que por meio de dobraduras

podiam ser estudados movimentos e processos na natureza e na ciência, como por

exemplo, o batimento das asas de um pássaro. Na área educacional, a geometria vê a

dobradura uma grande aliada no processo de aprendizagem, uma vez que, os

estudantes têm um contato direto com o papel, podendo dobrar, desdobrar, recortar

etc.

“Embora tenha a forma quadrada, a folha de papel não é um quadrado.

Um quadrado tem lados, mas não tem superfície, como aquele que é

feito com canudinhos para beber refrigerante. A folha por sua vez, tem

lados e superfície”. (...) Dá prazer transformar uma folha de papel em

um objeto tridimensional... opa...a folha de papel é um objeto

tridimensional, afinal, tem comprimento, largura e espessura. Então

pode ser, “transformar um objeto tridimensional, em outro

tridimensional”. (GENOVA, 2009, p.9).

Carlos Genova, em seu livro intitulado Origami, dobras, contas e encantos,

ensina de uma forma lúdica e bastante simples, “leis matemáticas” que ditam as

precisões da dobradura. Para ele, origami é um ótimo recurso para aulas de

geometria. Ao dividir uma folha quadrada de papel em “n” regiões retangulares com a

mesma medida, dividir um ângulo reto em inúmeras regiões angulares com a mesma

medida possibilidade a construção de alguns poliedros, polígonos regulares, e outras

peças de ornamentação por dobras.

Tomoko Fuse, origamista japonesa, diz: "Todo origami começa quando pomos

as mãos em movimento. Há uma grande diferença entre conhecer alguma coisa

através da mente e conhecer a mesma coisa através do tato”.

Nos Parâmetros Curriculares Nacionais – Matemática – consta:

“Sem saber medir, calcular, raciocinar, argumentar ou lidar com informações estatisticamente, dão dá para ser cidadão, A matemática não trata de ‘verdades eternas”. Ela é dinâmica, sempre pronta para incorporar novos saberes. Os conceitos geométricos são parte importante no ensino fundamental. Por meio deles, o aluno desenvolve um tipo de pensamento que permite compreender, descrever e representar de forma organizada o mundo em que vive. Atividades geométricas contribuem para o avanço de procedimentos de estimativa visual, de comprimentos, de ângulos e de outras propriedades das figuras, sem usar instrumentos de desenho ou medida. Isto pode ser feito com origami, recortes, modelagem etc. (BRASIL, PCNs)”.

É importante trazer para a aula de matemática do ensino fundamental da EJA,

a ferramenta “dobraduras”. Além de desenvolver a concentração e a coordenação

motora, as aulas, por serem mais dinâmicas e participativas, oportunizam as interações

estudante-estudante e as interações professor-estudante, facilitando a troca de

informações e argumentações na construção coletiva dos conceitos de poliedros e

polígonos, na constituição de um significado matemático.

O pedagogo alemão Friedrich Froebel foi o primeiro a utilizar a papiroflexia

como ferramenta na educação. Este fato ocorreu na Europa, em 1837, na primeira

escola de jardim da infância (kindergarten). Para ele, a criança deve começar

dobrando o papel e reconhecer os princípios da geometria euclidiana (geometria em

duas e três dimensões), baseada nos postulados de Euclides de Alexandria.

No Brasil, o uso pioneiro do Origami no Ensino Fundamental é atribuído a

Yachiyo Koda que ofereceu por diversas vezes oficinas a educadores e professores

brasileiros por intermédio da Aliança Cultural Brasil e Japão. A arte-educadora

Lena Aschenbach mais conhecida como "Lena das dobraduras" especializou-se em

Origami, e entre suas obras está o livro "Histórias e atividades pedagógicas com

Origami"

O pai do Origami moderno é o japonês Akira Yoshizawae, autor da simbologia

atual de instruções de como dobrar os modelos (Sistema Yoshizawa – Randlett, 1956).

Desde a invenção do papel este sistema é a mais importante contribuição para o

Origami por permitir a difusão internacional das várias criações. Para Yoshizawa o

Origami é uma filosofia de vida.

Atualmente pessoas do mundo todo se dedicam ao Origami, seja no

desenvolvimento de figuras cada vez mais complexas, como no estudo matemático das

várias dobras. Nos dias de hoje os japoneses utilizam esta forma de arte no seu Projeto

Espacial.

Ao dobrarmos e desdobrarmos uma folha de papel por meio de vincos é

possível executar verdadeiros atos geométricos ao construirmos retas, ângulos e

figuras geométricas como os poliedros e polígonos.

Além de facilitar o reconhecimento e análise das propriedades de figuras

geométricas, permite a visualização e o raciocínio espacial, a exploração dos conceitos

de tamanho, forma e medida, incentiva à escrita matemática e motiva os alunos para o

estudo dos conteúdos geométricos.

Explorando a dobradura na construção de conceitos de polígonos e poliedros.

De acordo com Rêgo, Rêgo e Gaudêncio (2003):

O Origami pode representar para o processo de ensino/aprendizagem de Matemática um importante recurso metodológico, através do qual os alunos ampliarão os seus conhecimentos geométricos formais, adquiridos inicialmente de maneira informal por meio da observação do mundo, de objetos e formas que os cercam. Com uma atividade manual que integra, dentre outros campos do conhecimento, Geometria e Arte. (RÊGO, RÊGO e GAUDÊNCIO, 2003, p. 18).

Utilizando dobradura o estudante consegue familiarizar-se com as formas

geométricas, movimentos de transformação e muitas linhas retas de simetria dentro de

uma mesma figura. De maneira lúdica e prazerosa, vai construindo conceitos

geométricos e revendo conceitos de Geometria Plana Euclidiana Plana e Espacial. Ao

dobrar o papel, constrói linhas retas, ângulos, polígonos, poliedros, figuras

bidimensionais e tridimensionais, sem utilizar régua, compasso, tesoura e cola.

Sugestão de vídeo: Vamos dobrar? - Como fazer um quadrado de uma folha

retangular. 1’36”

Disponível em: www.youtube.com/watch?v=hE6-RW5O74U Acesso em: 12-12-13

OBS: Para realizar a próxima tarefa, solicitar que os alunos acessem o Diagrama

que se encontra disponível do site:

http://euler.mat.ufrgs.br/~ensino2/alunos/05/quadrado.html

Acesso em 12-12-13

Atividade I

Como obter um quadrado a partir de um retângulo de papel?

Para realização desta tarefa serão necessários uma folha de papel A4

retangular, uma régua milimetrada, um transferidor e seguir as seguintes orientações:

1. Dobre a folha até que chegue ao lado oposto do retângulo.

2. Dobre o retângulo que restou e abra a primeira dobra que foi feita e

obterá um quadrado.

3. Pinte com lápis de cor o quadrado obtido por meio da dobradura.

http://portaldoprofessor.mec.gov.br/fichaT

OBS: Os lados e os ângulos devem ser iguais, pois o quadrado é a base de

praticamente todas as figuras que queiramos trabalhar.

a) Você obteve um quadrado fazendo uma dobradura a partir de uma folha sulfite A4

retangular. Quantos lados tem a forma inicial da figura e quantos lados tem a forma

final da figura obtida? Qual a medida dos lados de cada figura? Utilize uma régua

milimetrada para medir os lados das figuras.

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b) Observando os lados das duas figuras, o que você pode dizer sobre eles? E sobre

os ângulos?

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c) Usando o transferidor, diga qual é a medida dos ângulos de cada figura.

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d) Existem diferenças e semelhanças entre o retângulo inicial e o quadrado obtido?

Quais são as diferenças observadas?

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e) Olhe sua sala de aula e escolha dois objetos que tem a forma semelhante à do

retângulo e dois objetos que tem a forma semelhante à do quadrado. Escreva seus

nomes.

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f) No quadrado podem ser identificados elementos geométricos como lados, vértices

e ângulos internos. No espaço abaixo desenhe um quadrado de 15 cm de lado e

identifique cada um desses elementos geométricos e suas respectivas medidas.

g) Agora que você já conhece as dimensões do quadrado construído no exercício

anterior, calcule o perímetro e a área desse quadrado. Descreva as operações

que você realizou para encontrá-los e construa um conceito para perímetro e área

do quadrado.

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h) Qual a relação que existe entre os quadrados e os retângulos?

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i) Na geometria, um polígono é uma figura plana limitada por uma linha poligonal

fechada. A palavra "polígono" advém do grego e quer dizer muitos (poly) e ângulos

(gon). Para Euclides, conhecido como o “Pai da Geometria”, polígono era uma

figura limitada por linhas, sendo que estas linhas deveriam ser retas.

O quadrado e o retângulo são polígonos? Justifique sua resposta.

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j) De quantas maneiras diferentes podemos dividir um quadrado em duas partes

iguais (de mesma forma e tamanho), utilizando dobraduras? Como são chamadas

as novas figuras que se formam? Qual a relação existente entre elas? Faça essa

dobradura, cole-a no espaço abaixo e identifique seus elementos geométricos.

k) De quantas maneiras distintas podemos dividir um quadrado de papel em quatro

partes iguais, usando dobraduras? Quais são as novas figuras que se formam?

Cole a dobradura no espaço abaixo e identifique seus elementos geométricos.

Atividade II

“Transformar um objeto tridimensional, em outro tridimensional”.

“Embora tenha a forma quadrada, a folha de papel não é um quadrado.

Um quadrado tem lados, mas não tem superfície, como aquele que é

feito com canudinhos para beber refrigerante. A folha por sua vez, tem

lados e superfície”. (...) Dá prazer transformar uma folha de papel em

um objeto tridimensional... opa... a folha de papel é um objeto

tridimensional, afinal, tem comprimento, largura e espessura. Então

pode ser, “transformar um objeto tridimensional, em outro

tridimensional”. (GENOVA, 2009, p.9).

Geometria Espacial: Como obter o cubo

com módulo simples?

F comofazeremcasa.net

Para a confecção de um cubo, em um perfeito esquema de cores é necessário

papéis coloridos. A quantidade de cores que você tiver em papel será a quantidade de

cores que terá seu cubo. Observe o diagrama abaixo e verifique como ele pode ficar,

portanto escolha suas cores preferidas, misture-as e faça diversos cubos diferentes.

Você também pode fazer um cubo somente de uma cor.

Para cada cubo são utilizados seis módulos. Quatro módulos serão

encaixados na horizontal e a seguir os outros dois outros módulos também serão

encaixados, fechando a base e a face superior do cubo.

Nenhuma ponta dos módulos fica solta, todas elas se encaixam nas faces de

módulos vizinhos. É preciso tomar muito cuidado para confeccionar os módulos todos

do mesmo tamanho porque o encaixe só é possível se os módulos forem todos iguais,

isto é, os módulos simétricos não encaixam entre si.

Importante é que os vincos devem estar perfeitos e firmes para que a estrutura

do cubo fique perfeita.

Há modelos de cubos com outras variações de cores e modos de encaixe.

Sugestão de vídeos: Cubo modular - A montagem ocorre em duas partes no mesmo endereço. Disponível: http://www.youtube.com/watch?v=McgLr8nRNcY

Diagrama: Passo a passo da construção do cubo colorido.

Disponível em: www.comofazerorigami.com.br/origami-de-cubo-modular/ Acesso em: 12-12-13

DIAGRAMA DO CUBO

Atividade III Relembrando os Poliedros de Platão

Fonte: educadores.diaadia.pr.gov.br

Para a realização da próxima atividade é necessário assistir os seguintes vídeos. Sugestão de dois vídeos: Poliedros de Platão.

1o. Disponível em: http://www.youtube.com/watch?v=TiJD0y3RLvY 5’03”

2o. Disponível em: http://www.youtube.com/watch?v=a-J-wMRoQAQ 2’11”

Acessados em: 12-12-14

a) Observe o poliedro que você construiu por meio da dobradura “origami modular”.

Como são as superfícies das faces deste poliedro? Quantas são as suas faces?

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b) Acesse o link: http://www.youtube.com/watch?v=BsDeXYngnus . No vídeo são

apresentadas as principais características dos polígonos e poliedros. Quais são

essas características? Construa conceitos para polígono e poliedro.

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c) O cubo que você construiu usando dobraduras – Origami Modular - é um sólido

de Platão. Você conhece outra denominação para identificá-lo? Qual?

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d) Sendo o cubo um poliedro (poli = várias) e (edros = faces), suas faces são formadas

por polígonos. Qual é o nome desse polígono? Quantas são as faces que compõem

o cubo? E quantos são seus vértices e arestas? De cada vértice partem quantas

arestas?

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e) Vamos supor que este mesmo poliedro, o cubo, que também é denominado de

“prisma quadrangular”, tivesse a medida da aresta da base 3 cm, quais seriam as

medidas da largura e da altura?

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f) Quando são conhecidas as dimensões de um poliedro é possível calcular o seu

volume. Desenhe um prisma quadrangular (cubo) de 2cm de lado no espaço

abaixo e calcule o volume deste sólido geométrico. Descreva a operação que

você realizou para encontrar o volume. Após, elabore um conceito para volume de

prisma quadrangular.

g) Agora, pegue o cubo que você construiu por meio da dobradura, meça a medida

do lado com uma régua milimetrada e calcule o seu volume.

TEMÁTICA VIII

Aprendendo Geometria Plana com o Software GeoGebra

Existem vários programas de geometria dinâmica que podem ser utilizados no

Ensino da Geometria Plana. Como nossa intenção é facilitar o trabalho do ensino da

Geometria Plana em uma escola estadual do Paraná, escolhemos o software

matemático GeoGebra (aglutinação das palavras Geometria e Álgebra), que se

encontra disponível no Paraná Digital, livre, com linguagem simples e totalmente

gratuita. É disponível para todos os que a queiram utilizar. Trata-se de um recurso

tecnológico que pode ser usado para explorar os conteúdos de maneira significativa,

eficaz e que permite construções de figuras geométricas além da visualização da figura

construída. Torna o estudo dinâmico porque os recursos de animação permitem que

os estudantes façam construções com pontos, vetores, retas, segmentos de retas,

seções cônicas e funções, movam e consigam observar de diferentes ângulos as

figuras geométricas, além de permitir a colocação de equações e coordenadas nestas

construções. As construções que podem ser movimentadas e alteradas e ainda assim

retornar à posição e à forma iniciais é uma das vantagens desse programa de

computador.

Possibilita também trabalhar com variáveis numéricas, raízes, pontos extremos

de funções e ainda derivar a integrar funções. É capaz de apresentar, ao mesmo

tempo, representação geométrica e algébrica para um mesmo objeto. Além de ter uma

quantidade superior de recursos em relação a alguns softwares de geometria dinâmica

não é preciso ter domínio de todas as ferramentas do programa.

O GeoGebra foi desenvolvido pelo austríaco prof. Dr. Markus Hohenwarter

para ser utilizado em ambiente escolar. O projeto foi iniciado em 2001, na Universität

Salzburg, e tem prosseguido em desenvolvimento na Florida Atlantic University.

Destina-se ao ensino de Geometria, Álgebra e Cálculo em Educação Matemática nas

escolas de Educação Básica e de Ensino Superior.

O Download pode ser feito no site: <http://www.geogebra.org> e visto em

diversos idiomas. Basta clicar na janela de idiomas que aparece ao lado do nome

GeoGebra e escolher uma das opções. Nas escolas estaduais do Estado do Paraná

este aplicativo se encontra instalado nos Laboratórios de Informática, funcionando na

plataforma Linux.

Já existe o software matemático GeoGebra 3D para o ensino da Geometria

Espacial, que também é um excelente aplicativo e que facilita consideravelmente a

exploração dos conteúdos matemáticos e a compreensão do aluno. O mesmo ainda

não se encontra disponível no Paraná Digital, mas o Download encontra-se na

Internet.

Sugestão de vídeo: Curso do software GeoGebra I do Youtube 4’42”

Disponível em: http://www.youtube.com/playlist?list=PL4Setj2LURCLy9YOyqTK-DpiG1BT1DGUW

É composto de doze vídeo-aulas que abordam a instalação do software, noções

básicas sobre uso das ferramentas, objetos e suas propriedades, linhas poligonais e

polígonos, funções e comandos do software.

Orientações:

Ao acessar o sítio você encontrará os vídeos com todas as orientações sobre

o software matemático GeoGebra. O passo a passo da construção dos polígonos

encontra-se no 6o. Vídeo: GeoGebra – polígonos, que é o que nos interessa no

momento.

É importante que você assista aos vídeos para conhecer todas as ferramentas

que o aplicativo lhe oferece, porém se acessar diretamente o 6o. Vídeo mesmo assim

terá condições de construir os polígonos.

Atividade I

Ambientando-se com o software GeoGebra

Agora é a sua vez.

No Laboratório de Informática, acesse o software matemático Geogebra que

se encontra instalado no computador, conheça sua interface e teste as ferramentas

disponíveis que serão utilizadas na construção das figuras geométricas planas.

Explore as ferramentas que o aplicativo disponibiliza e compartilhe com seus

colegas e o (a) professor (a) suas descobertas.

Procedimentos para a construção dos polígonos sem medida específica:

1. Abrir o software (programa) GeoGebra.

2. No menu Exibir clicar em Malhas para que a mesma, se estiver visível, fique oculta.

3. Clicar no Menu Opções, selecionar Rotular e após Menos para a criação de novos

objetos.

4. Selecionar a ferramenta Polígono regular e clicar em dois pontos (lugares) da área de

trabalho. Ao surgir uma caixa de diálogo, provavelmente surge com o número, que é o

número de lados da figura geométrica plana (polígono) que será construída. Por

exemplo, se o número for 4, a figura será o quadrilátero. Para construir um triângulo é

necessário eliminar o 4 e digitar 3, e assim sucessivamente para todas as outras figuras .

5. Após, selecionar a ferramenta Polígono regular. Clicar em dois pontos (lugares) da área

de trabalho e quando aparecer uma caixa, verificar o número que aparece. Se for o

número de lados do polígono que será construído, clicar em Aplicar, caso contrário

apagar o número e digitar o número do polígono escolhido. Clicar em Aplicar e surgirá

o polígono. Use o mesmo procedimento para construir outros polígonos.

6. Caso os polígonos fiquem enormes, selecionar a ferramenta Mover, clicar sobre um dos

pontos em azul, segurar o mouse pressionado e arrastá-lo para diminuir o tamanho.

7. Caso os polígonos fiquem um sobre o outro, selecionar a ferramenta Mover, em seguida

clicar no meio da figura, segurar o mouse pressionado e quando aparecer uma mãozinha

arrastá-la até o lugar pretendido.

8. Para colorir o polígono, com o botão direito do mouse sobre ele selecionar

Propriedades. Em seguida selecionar a guia cor e escolher a cor de sua preferência.

Selecionar a guia Estilo e aumentar o preenchimento para 10. O mesmo procedimento é

realizado para pintar todos os outros polígonos.

9. Para inserir um texto, como por exemplo, o nome do polígono construído, clicar com o

botão direito do mouse sobre o polígono e selecionar Renomear. Apagar o texto que

aparecer na caixa, digitar o nome do polígono que foi construído e clicar em Aplicar. Para

nomear todos os outros polígonos adotar o mesmo procedimento.

O software matemático dinâmico Geogebra também permite que sejam

construídos polígonos com medidas determinadas, regulares e irregulares. Neste

material didático-pedagógico optamos em trabalhar com a construção do quadrado

sem medida específica, um polígono regular. São inúmeras as formas de explorar os

conteúdos matemáticos e na Internet existem manuais, tutoriais, vídeos, enfim muito

material explicativo e com atividades que podem ser consultados a qualquer momento

e desenvolvidos em sala de aula.

Trata-se de um aplicativo de fácil entendimento e que não requer pleno

conhecimento do mesmo, porém é necessário planejar criteriosamente as aulas para

que o ensino aprendizagem dos conteúdos matemáticos seja significativo.

É importante que o aluno não receba tudo pronto por parte do professor e vá

descobrindo o caminho para a realização das atividades na busca da construção do

conhecimento.

Atividade II

1. Após ter assistido o 6o. Vídeo: Geogebra – polígonos construa um polígono com

quatro lados de mesma medida.

OBS: Se tiver alguma dúvida, siga o “Passo a passo” do quadro

“Procedimentos para a construção dos polígonos sem medida específica”,

editado no início desta atividade.

a) Como é denominado o polígono que você construiu?

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b) Quantos são os lados e vértices deste polígono?

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c) Quantas diagonais podem ser traçadas neste polígono?

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d) Supondo que o lado do polígono mede 8 cm, qual é o seu perímetro? Como

você encontrou esta medida?

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e) Existe uma superfície interna neste polígono. Quanto mede esta superfície? O

que representa esta medida? Como você a encontrou?

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f) No aplicativo GeoGebra existe um ícone “ângulo” para marcar as medidas dos

ângulos internos sobre os vértices das figuras geométricas. Utilize esta função

para medir os ângulos do polígono que você construiu clicando sobre os seus

vértices no sentido horário. Quanto mede cada um deles? Como são

denominados estes ângulos?

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g) Usando o Geogebra, verifique o valor da soma dos ângulos internos deste

polígono?

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h) Na janela de Álgebra do software Geogebra, ao movimentarmos os vértices do

quadrado, as medidas dos ângulos se alteram, mas o que acontece com a soma

dos ângulos? Mova um dos pontos e observe o que acontece com essa soma.

Anote suas observações. O que você conclui quanto a soma das medidas dos

ângulos internos do quadrado?

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i) Com todas as informações obtidas sobre o quadrado, escreva uma definição

para este polígono, citando as propriedades geométricas observadas durante as

construções.

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2. Agora que você já sabe construir figuras planas com o Geogebra, aplique seus

conhecimentos na construção dos outros polígonos, seguindo o mesmo roteiro

de procedimentos e responda as perguntas, conforme foi feito na atividade 1.

ORIENTAÇÕES PARA O PROFESSOR

Apresentação Caro (a) colega professor (a):

Sabemos que ser educador (a) da EJA é gratificante, mas também um desafio.

Desafio este que consiste em acolher jovens e adultos, os quais historicamente foram

excluídos do ambiente escolar, por diversos motivos e não tiveram o privilégio de

concluir os estudos básicos na idade apropriada.

A educação, direito de todos e dever do Estado e da família, será promovida e

incentivada com a colaboração da sociedade, visando ao pleno desenvolvimento da

pessoa, seu preparo para o exercício da cidadania e sua qualificação para o trabalho.

(Constituição Federal, art.205).

De acordo com o Parecer 11/2000 do Conselho Nacional da Educação, quando

o adulto retorna aos bancos escolares não quer somente recuperar o que deixou de

aprender quando criança, mas anseia por conhecimentos necessários para a sua

realidade atual que lhe propiciem “desenvolver e constituir conhecimentos, habilidades,

competências e valores que transcendam os espaços formais da escolaridade e

conduzam á realização de si e ao reconhecimento do outro como sujeito”. (Parecer

CNE 11/2000).

Alfabetizar na EJA envolve também a afetividade, o gosto e a responsabilidade.

Nesta perspectiva é fundamental que o professor da EJA dedique atenção aos

fracassos, aos saberes e fazeres que os estudantes jovens e adultos trazem consigo. É

importante que tenha a consciência da valorização do outro, do conhecimento que este

aluno possui e das suas experiências de vida. Este acompanhamento exige do

professor (a) muita dedicação e uma busca incessante de práticas pedagógicas,

didáticas e metodológicas para o trabalho com os estudantes jovens e adultos. O

diálogo e a reflexão tem que estar presentes nas aulas por meio de uma linguagem

simples e acessível.

(Barcelos, 2007), em seu livro sobre a formação de professores para a EJA,

argumenta que:

Na educação de Jovens e Adultos é fundamental que tenhamos sensibilidade para perceber que estamos frente a grupos que são portadores de um imenso repertório de saberes. São grupos carregados de sabedoria. É esta sensibilidade que nos proporcionará abertura para escutar e valorizar os saberes da vida e da experiência de cada homem e mulher em processo de retorno á escola. Tal atitude nada mais é que o exercício da solidariedade. É a construção de conhecimento a partir do reconhecimento do outro. É tomar o ato educativo como uma possibilidade de construção solidária de conhecimento, em contraposição ä forma burocrática e bancária em que um ensina e outro aprende. (BARCELOS, 2007, p. 96).

Ao explorar as possibilidades tecnológicas digitais e de informação,

disponíveis: TV multimídia, lousa interativa, internet, softwares, vídeos e sites, além da

leitura de textos científicos, entre outros, como recursos pedagógicos de apoio no

ensino da Geometria, busca-se tornar o estudo mais dinâmico e reflexivo, oportunizar

as pesquisas interativas e discussões sobre os conteúdos da Matemática e familiarizar

com o computador aqueles que ainda não o utilizam com frequencia para fins

educacionais.

A partir destas considerações, esta Unidade Didática foi planejada de forma a

contemplar atividades de Geometria por meio de diferentes recursos visuais ao

estudante da EJA que podem significar a possibilidade, não só de ampliação e

compreensão do conhecimento, mas principalmente de construção de conceitos de

poliedros e polígonos.

Caro colega professor, em especial da EJA, após conhecer esta Unidade

Didática, analisá-la e avaliá-la, pode emitir seu parecer com relação à relevância da

mesma no processo ensino aprendizagem de Matemática da EJA, bem como

contribuir para a melhoria deste material.

Desde já agradecemos sua cooperação nos colocando à sua disposição para

esclarecimentos, dúvidas, críticas e sugestões.

Alice do Rocio Ladaminsky

alicerocio@gmail.com

AVALIAÇÃO

Transformações tecnológicas e econômicas vêm ocorrendo no mundo

globalizado num ritmo acelerado, o que exige mudanças na educação. A sociedade

precisa de cidadãos capazes de analisar, interpretar criticamente e tomar decisões

conforme as informações recebidas diariamente.

Para tanto, as mudanças exigidas na educação também se estendem aos

métodos avaliativos. Não adianta adotar novas estratégias de ensino se a avaliação é

realizada de forma tradicional. A ação avaliativa não deve se reduzir a um único

instrumento, a um só momento ou a uma única forma.

A avaliação quando feita de forma contínua, possibilita ao professor, durante

todo o desenvolvimento das atividades, fazer observações quanto ao envolvimento e

participação individual dos alunos e nas discussões no coletivo, a relação aluno-aluno e

as produções escritas e comentários do aluno, observando a compreensão, análise,

síntese, julgamento, interferência e interpretação, bem como a existência dos

conhecimentos prévios para fins de investigação da aprendizagem significativa.

Ao apresentar a proposta de trabalho para a turma é importante que o

professor deixe claro os critérios de avaliação, para que os alunos tenham ciência do

que precisam desenvolver e quais objetivos terão de ser alcançados.

TEMÁTICA I - DO ESPAÇO AO PLANO OU DO PLANO AO ESPAÇO: O DESAFIO

DE REPRESENTAR O REAL

Tempo para desenvolvimento da Temática I – 4h/a.

Conforme o desenvolvimento da turma, a mesma poderá levar mais ou menos aulas.

INTRODUÇÃO

1. Leitura do texto: A arte de desenhar.

Questionar sobre a principal característica das construções do arquiteto

Oscar Niemeyer.

Refletir sobre a Geometria e sua relação com a natureza.

2. Apresentar o Vídeo 1:Curvas criadas por Oscar Niemeyer transformaram

prédios em obras de arte.

3. Roda de conversa sobre o vídeo: Neste momento é importante que os

alunos, no grande grupo, comentem com os colegas sobre o vídeo que

assistiram e discutam as questões levantadas nesta atividade.

4. Foram sugeridos outros vídeos interessantes sobre as obras e vida do

arquiteto Oscar Niemayer, que podem ser apresentados nesta aula ou em

outra oportunidade.

OBJETIVOS

Reconhecer, ler e interpretar distintas representações das formas

bidimensionais e tridimensionais nas construções arquitetônicas.

Compreender a ideia de ângulo.

Identificar simetria nas figuras geométricas.

Levar o aluno a explorar o mundo das formas, relacionando as formas

planas com as formas espaciais, analisando e interpretando as formas

construídas pelo homem e as criadas pela natureza.

CONTEÚDOS DESENVOLVIDOS

Ângulo

Linhas retas e curvas

Figuras simétricas

Superfícies planas e curvas

METODOLOGIA

O professor pode iniciar a aula conversado com os alunos sobre as inúmeras

formas geométricas regulares e irregulares que existem ao nosso redor.

Desde os princípios básicos da Geometria Euclidiana (ponto, reta, plano,...),

até os dias atuais grandes transformações ocorreram na Geometria dos objetos, das

casas, das artes, arquiteturas novas e arrojadas que surgem desafiando todas as

formas da Geometria clássica.

Enfatizar que a Geometria é tida como uma das partes da Matemática e que os

primeiros estudos das formas originais e básicas geométricas foram realizados pelos

matemáticos Tales, Pitágoras, Platão, Heron, Euler, entre outros. Se formos analisar

historicamente, no tempo de Pitágoras, a Matemática era relacionada a quatro áreas do

conhecimento, sejam elas: Aritmética, Geometria, Música e Astronomia.

Hoje, comumente a definimos como a parte da Matemática que estuda formas

curvas, planas e espaciais, bem como suas superfícies e volumes.

Logo em seguida, apresentar o Vídeo 1: Curvas criadas por Oscar Niemeyer

transformaram prédios em obras de arte.

Na “Roda de Conversa” deixe que os alunos discutam sobre as questões

levantadas e interfira quando necessário, buscando sempre trabalhar os conteúdos

geométricos de forma a levar o aluno a observar a beleza desafiadora da Geometria,

relacionando-a com o meio em que ele vive de forma a provocar uma nova visão de

tudo que está ao seu redor.

É importante evidenciar o interesse do arquiteto Oscar Niemeyer pelos traços

sinuosos, característicos de suas obras conhecidas internacionalmente. Nos seus

projetos utilizava formas curvas muito elegantes que proporcionam leveza, harmonia,

graça e elegância nas suas construções. Os edifícios parecem que estão suspensos

no ar.

Atentar sobre o cuidado com a responsabilidade social que o arquiteto Oscar

Niemeyer tinha ao planejar suas construções. Para ele, as construções antes de

serem belas, deveriam contribuir para se viver melhor na cidade.

RECURSOS

Laboratório de Informática/Sala de aula com TV Pendrive/Sala com Lousa

Interativa, folha de atividades, papel sulfite, lápis, caneta, régua, cola, tesoura, fotos ou

recortes das obras do arquiteto Oscar Niemayer, revistas, data show, computador.

TEMÁTICA II - DAS FORMAS NA NATUREZA ÀS FORMAS CRIADAS PELOS

HOMENS: O VISTO E O REPRESENTADO

Tempo para desenvolvimento da Temática II –4h/a.

Conforme o desenvolvimento da turma, a mesma poderá levar mais ou menos aulas.

INTRODUÇÃO

Leitura do texto: A arte de visualizar.

Apresentar o Vídeo: Geometria no cotidiano 9’49”

Roda de conversa sobre o vídeo: Neste momento é importante que os

alunos, no grande grupo, comentem com os colegas sobre o vídeo que

assistiram e discutam as questões levantadas nesta atividade.

OBJETIVOS

Reconhecer, ler e interpretar as diferentes formas geométricas presentes

na natureza e na arquitetura das construções.

Identificar as estruturas triangulares na natureza e nas construções.

Criar formas geométricas complexas a partir de outras mais simples na

malha quadriculada.

Investigar e reconhecer poliedros platônicos.

Desenvolver a visão espacial e coordenação motora.

CONTEÚDOS DESENVOLVIDOS

Formas geométricas planas – polígonos.

Formas geométricas espaciais - Sólidos ou Poliedros de Platão.

Teorema de Pitágoras.

METODOLOGIA

O professor pode iniciar a aula falando sobre os objetos de ornamentação e

dos desenhos criados pelo homem para representar coisas existentes ao seu redor.

Enfatizar que as formas geométricas não são encontradas na natureza, elas

foram inventadas pelos matemáticos por meio de desenhos a partir das formas

encontradas na natureza.

Quanto a Platão (seu verdadeiro nome era Aristóteles), um filósofo grego que

viveu entre os séculos V e IV a.C., falar que, pelo que se sabe por meio da história, seu

primeiro contato com os sólidos regulares teria sido provocado por Arquitas, na Itália.

Arquitas era um matemático grego, estadista e filósofo que trabalhou na média

harmônica e o problema da duplicação do cubo. Para Platão o universo era formado

por um corpo e uma alma ou inteligência e concebia o mundo como

sendo construído por quatro elementos básicos: a Terra, o Fogo, o Ar e a Água.

Estabelecia uma associação mística entre estes e os sólidos desta forma: o tetraedro

ao Fogo, o hexaedro a Terra, o octaedro ao Ar e o icosaedro à Água. O quinto e último

sólido regular, o dodecaedro, para Platão, representava o símbolo do Universo.

RECURSOS

Laboratório de Informática/Sala de aula com TV Pendrive/Sala com Lousa

Interativa, folha de atividades, papel sulfite, lápis, caneta, régua, cola, tesoura, fotos ou

recortes de revistas, data show, computador.

TEMÁTICA III - AS FIGURAS NAS ARTES VISUAIS SÃO GEOMÉTRICAS?

IDENTIFICAÇÃO DE FIGURAS GEOMÉTRICAS NAS OBRAS DE

TARSILA DO AMARAL E ALDEMIR MARTINS.

Tempo para desenvolvimento da Temática III – 4h/a.

Conforme o desenvolvimento da turma, a mesma poderá levar mais ou menos aulas.

INTRODUÇÃO

Leitura dos textos:

Texto 1 - É possível visualizar formas geométricas na obra de Tarsila do

Amaral?

Texto II - Aldemir Martins e suas formas geométricas distorcidas.

Apresentar o sítio: http://www.tarsiladoamaral.com.br/

Apresentar o vídeo: Aldemir Martins e algumas obras. – 2’49”

Roda de conversa sobre a pesquisa realizada no site de Tarsila do

Amaral e da apresentação do vídeo das obras de Aldemir Martins. Neste

momento é importante que os alunos, no grande grupo, comentem com

os colegas as semelhanças e diferenças observadas nas obras destes

dois artistas.

OBJETIVOS

Conhecer a vida e obras dos artistas.

Identificar os aspectos visuais dos quadros e identificar as figuras

geométricas nas obras de Tarsila do Amaral e Aldemir Martins.

Identificar superfícies planas e superfícies curvas nas obras.

Conhecer, comparar e identificar sólidos geométricos observando suas

formas e identificando cada um: cilindro, cubo, paralelepípedo, esfera,

cone e pirâmide.

Estabelecer relações entre figuras espaciais e suas representações no

plano.

Identificar e traçar as figuras tridimensionais e nomeá-las.

Desenvolver habilidades de percepção visual e espacial e a utilização de

instrumentos para desenhar sólidos geométricos.

CONTEÚDOS DESENVOLVIDOS

Figuras bidimensionais e tridimensionais

Superfícies planas e curvas.

Representação das figuras espaciais no plano.

METODOLOGIA

Uma sugestão para esta atividade é levar os alunos no Laboratório de

Informática e formar grupos com o máximo de quatro alunos, para que eles realizem as

tarefas. É importante propor que cada grupo registre o que aprendeu com a atividade e

compartilhe com o grande grupo suas considerações, num momento apropriado

designado pelo professor. Os registros serão feitos nas folhas de atividades que o

professor entrega aos grupos.

O professor também pode apresentar as formas geométricas planas e as não

planas com seus respectivos nomes. Logo depois pode questionar os alunos sobre:

a. Quais figuras geométricas são reconhecidas nos quadros dos dois artistas?

b. Que semelhanças e diferenças são percebidas entre as figuras que aparecem

nas obras dos dois artistas?

RECURSOS

Laboratório de Informática, folha de atividades, papel sulfite, lápis, caneta,

régua, computador.

RECURSOS COMPLEMENTARES

http://www.brasilescola.com/matematica/poligonos.htm

http://www2.ucg.br/design/da2/solidosgeometricos.pdf

TEMÁTICA IV – AS MARCAS QUE IDENTIFICAM UM ARTISTA: VOLPI E OS

PADRÕES GEOMÉTRICOS NAS ARTES VISUAIS.

Tempo para desenvolvimento da Temática IV – 3h/a.

Conforme o desenvolvimento da turma, a mesma poderá levar mais ou menos aulas.

INTRODUÇÃO

Leitura do texto: As bandeirinhas e seu formato geométrico: as composições

de Volpi.

Apresentação do vídeo: Imagens das obras de Volpi 2’17”

Roda de conversa sobre o vídeo: Neste momento é importante que os alunos,

no grande grupo, comentem com os colegas sobre a leitura do texto e do

vídeo que assistiram discutindo as questões levantadas nesta atividade.

OBJETIVOS

Conhecer, comparar e identificar as obras de Alfredo Volpi.

Identificar as formas bidimensionais.

Estabelecer relações dimensionais das figuras planas (altura e comprimento).

Reconhecer as possibilidades de geometrização das formas da natureza,

permitindo a criação de figuras e retratos utilizando as formas geométricas.

Estabelecer relações entre figuras geométricas e suas representações no plano.

Utilizar de instrumentos para reproduzir figuras geométricas desenvolvendo

habilidades de percepção visual e espacial.

Compreender o conceito de sequência.

Compreender o conceito de simetria.

CONTEÚDOS DESENVOLVIDOS

Formas bidimensionais.

Dimensões de figuras planas.

Composição de figuras geométricas.

Representação de objetos tridimensionais no plano.

Sequência de figuras geométricas.

Simetria de figuras geométricas.

METODOLOGIA

O professor pode começar a aula reforçando que a característica marcante nas

obras de Volpi são as cores, o estilo abstrato geométrico e que as bandeirinhas

multicoloridas são suas preferidas, as quais são repetidas várias vezes e identificam

as suas obras.

É importante comentar sobre as linhas que compõem suas obras, se retas ou

curvilíneas, predominância de cores, quais as figuras geométricas que mais utiliza em

seus quadros.

Nesse momento é propício perguntar como pode ser chamada a repetição de

uma mesma forma geométrica. Pedir que os alunos construam um conceito para

sequência e que citem exemplos.

Comentar que uma sequência pode ser composta de outros elementos, como

por exemplo, números, cores, e que pode ser finita ou infinita.

O professor pode falar sobre simetria e pedir que os alunos identifiquem se as

bandeirinhas de Volpi são simétricas.

RECURSOS

Laboratório de Informática, folha de atividades, papel sulfite, lápis, caneta,

régua, computador.

TEMÁTICA V - O PONTO DAS ARTES VISUAIS NÃO É O PONTO

GEOMÉTRICO: A OBRA DE KANDINSKI

Tempo para desenvolvimento da Temática V – 3h/a.

Conforme o desenvolvimento da turma, a mesma poderá levar mais ou menos aulas.

INTRODUÇÃO

Leitura do texto: Kandinski

Apresentar o Vídeo: Matemática e a Arte – Kandinsky 5’44”

Roda de conversa sobre o vídeo: Neste momento é importante que os

alunos no, grande grupo, comentem com os colegas sobre o vídeo que

assistiram e discutam as questões levantadas nesta atividade.

OBJETIVOS

Conhecer um pouco da história e obras do artista Kandinski.

Identificar ponto, linha e plano e associar esses três entes fundamentais

da Geometria.

CONTEÚDOS DESENVOLVIDOS

Ponto, linha e plano.

METODOLOGIA

O professor pode iniciar a aula indagando os alunos qual é a ideia que eles

tem de ponto, linha e plano. Solicitar que eles citem exemplos de coisas/objetos de

seu cotidiano que lembrem cada um desses elementos geométricos.

Após, é recomendável falar sobre os conceitos de cada um deles, enfatizando

como são representados e devidamente identificados.

É importante explicar aos alunos que a Geometria tem seu início com as

noções (ideias) de ponto, de reta e de plano. São entes primitivos e não existe

definição para eles. São conceitos que apreendemos através de nossas observações e

experiências. Com nossos sentidos, formamos ideias, temos impressão, imaginamos o

significado de ponto, reta e plano.

A seguir, falar sobre as diferentes formas de linha existentes: linhas retas,

curvas abertas e fechadas; poligonais abertas, fechadas e mistas. É interessante

mostrar imagens ou solicitar que eles pesquisem na Internet essas imagens.

SUGESTÃO DE LINKS

1 – Foto de grãos de areia, encontrada no link:

http://pt.wikipedia.org/wiki/Ficheiro:Third_beach_sand.jpg

2 – Foto de uma linha férrea, encontrada no link:

http://pt.wikipedia.org/wiki/Ficheiro:Schienenstrang.JPG

3- Foto de bloco de casas na Itália, encontrada no link:

http://pt.wikipedia.org/wiki/Ficheiro:Firenze-apartment-building-0899.jpg

RECURSOS

Laboratório de Informática/Sala de aula com TV Pendrive/Sala com Lousa

Interativa, folha de atividades, papel sulfite, lápis, borracha, compasso, caneta, régua,

tesoura, computador.

TEMÁTICA VI - A ARTE DE DOBRAR PAPÉIS E REPRESENTAR OBJETOS E

FORMAS NO ESPAÇO.

Tempo para desenvolvimento da Temática VI – 6h/a.

Conforme o desenvolvimento da turma, a mesma poderá levar mais ou menos aulas.

INTRODUÇÃO

Leitura do texto 1 : A arte de dobrar papéis.

Roda de conversa sobre a leitura: Neste momento é importante que os

alunos, no grande grupo, comentem com os colegas sobre a leitura

realizada e vídeo e discutam as questões levantadas nesta atividade.

Construção de dobradura com tema livre.

Leitura do texto 2: Origami: a arte milenar que encanta pela magia de

dobrar uma folha de papel e representar objetos e formas no espaço.

Leitura do texto 3: A lenda do Tsuru.

Apresentação do vídeo: Japan Red Crowned Cranes Dance

Dança do Tsuru 3’58”

Roda de conversa: Neste momento é importante que os alunos, no

grande grupo, comentem com os colegas sobre a leitura realizada e

vídeo e discutam as questões levantadas nesta atividade.

Confecção de peças de origami conforme modelos.

OBJETIVOS

Desenvolver a concentração e a coordenação motora.

Desenvolver a capacidade criativa.

Ouvir histórias e realizar dobraduras com tema livre.

Conhecer a história da origem da dobradura e do origami.

Conhecer a “Lenda do Tsuru” – Ave símbolo do Origami.

Conhecer os diferentes tipos de papel utilizados para fazer dobraduras.

Construir o Tsuru usando dobradura.

Conhecer e construir outros tipos de dobraduras.

Montar um móbile de dobraduras.

CONTEÚDOS DESENVOLVIDOS

Formas geométricas planas e espaciais.

Linhas retas.

Diagonal.

Superfícies planas e curvas.

Triângulos e sua classificação.

Ângulos.

Simetria de figuras geométricas.

METODOLOGIA

No Laboratório de Informática, o professor pode iniciar a aula conversando

com os alunos sobre suas experiências com dobraduras na infância. Distribuir folhas de

papel sulfite para que eles construam livremente suas dobraduras.

Na sequência o professor solicita que os alunos acessem o sítio:

http://www.comofazerorigami.com.br/origami-de-tsuru/ no qual existe grande

diversidade de sugestões de atividades de dobraduras que podem ser feitas pelos

alunos. Pode ser escolhida, de comum acordo com a turma, uma dobradura para que

professor a alunos construam juntos.

A seguir, cada aluno escolhe um modelo de dobradura para fazer e quando

concluídas, a turma monta um mólibe com cinco peças cada um.

Uma sugestão é expor os móbiles para a comunidade escolar.

Nas atividades que envolvem dobraduras é recomendável observar a

dificuldade quanto a coordenação motora e atenção que os alunos podem apresentar,

pois alguns deles não conseguem acompanhar a sequência das dobraduras e se

apavoram. Solicite aos alunos que têm mais facilidade que façam dupla com eles, pois

é uma ótima estratégia para ter ajuda na atividade e atingir seu objetivo.

RECURSOS

Laboratório de Informática/Sala de aula com TV Pendrive/Sala com Lousa

Interativa, folha de atividades, papel sulfite branco/colorido e papel espelho colorido.

TEMÁTICA VII - O ORIGAMI NO ENSINO DA MATEMÁTICA

Tempo para desenvolvimento da Temática VI – 5h/a.

Conforme o desenvolvimento da turma, a mesma poderá levar mais ou menos aulas.

INTRODUÇÃO

Leitura do texto: O origami no ensino da matemática.

Apresentação do Vídeo: Vamos dobrar? - Como fazer um quadrado de uma

folha retangular. 1’36”

Atividade I

Como obter um quadrado a partir de um retângulo de papel?

Diagrama:

Acesso ao site: http://euler.mat.ufrgs.br/~ensino2/alunos/05/quadrado.html

Atividade II

Como obter o cubo com módulo simples?

Sugestão de vídeos: Cubo modular - A montagem ocorre em duas partes no

mesmo endereço.

Disponível: http://www.youtube.com/watch?v=McgLr8nRNcY

Diagrama: Passo a passo da construção do cubo colorido.

Disponível em: www.comofazerorigami.com.br/origami-de-cubo-modular/

Atividade III

Relembrando os Poliedros de Platão.

Sugestão de dois vídeos: Poliedros de Platão

1o. Disponível em: http://www.youtube.com/watch?v=TiJD0y3RLvY 5’03”

2o. Disponível em: http://www.youtube.com/watch?v=a-J-wMRoQAQ 2’11”

OBJETIVOS

Trabalhar com as definições de retângulo e quadrado.

Identificar as diferenças e semelhanças entre o retângulo e o quadrado.

Identificar elementos de uma figura geométrica plana.

Decomposição de figuras planas.

Identificar eixos e planos de simetria.

Utilizar instrumentos de medição – régua e transferidor

Reconhecer e identificar os Poliedros de Platão e seus elementos.

Construir conceitos de poliedros e polígonos.

Produzir poliedros modulares e estudar seus elementos – Origami

Modular.

Calcular área e volume do cubo.

Planejamento de estratégia.

Usar termos geométricos em um contexto.

CONTEÚDOS DESENVOLVIDOS

Figuras planas - Polígonos: retângulo e quadrado.

Elementos dos polígonos: aresta, vértice e ângulo.

Ângulos nos polígonos.

Medida de comprimento e ângulos.

Conceitos de perímetro e área de polígonos.

Figuras simétricas.

Figuras espaciais - Poliedros de Platão.

Elementos dos poliedros: face, aresta e vértice.

Planificação de poliedros.

METODOLOGIA

O professor pode iniciar a aula fazendo o comentário de que nas aulas

anteriores os alunos construíram alguns conceitos sobre polígonos por meio de

observação das formas geométricas existentes ao seu redor. Os polígonos são figuras

planas e para seu estudo foi suficiente usar o desenho geométrico para seu

entendimento.

Continuar falando que nas próximas aulas mais de dois polígonos iguais serão

unidos para formar sólidos geométricos, denominados poliedros e que o recurso

metodológico para a aprendizagem e construção dos conceitos de poliedros e

polígonos será a dobradura de papéis.

Para a realização das tarefas o professor pode seguir as instruções que se

encontram detalhadas nas próprias atividades. São diagramas e vídeos que podem

ser acessados no computador, as etapas são apresentadas passo a passo, o que

facilita o trabalho do professor e dos alunos.

Para esta Unidade Didática foi escolhido o cubo para ser confeccionado. Existe

na Internet uma variedade de sites que explicam passo a passo a confecção dos outros

poliedros, nos quais podem ser explorados inúmeros conteúdos matemáticos.

Vale a pena conhecê-los, informar para seus alunos e utilizar em suas aulas.

Recomenda-se o uso do Papel Dobradura 15cm x 15cm pela diversidade de

cores. É o papel mais usado para fazer Origami, pois como o nome da já diz, é próprio

para se dobrar. A melhor marca deste papel é a Spiral, a melhor opção para substituir o

Papel Japonês original. Pode ser encontrado já cortado no tamanho certo em algumas

papelarias. As peças ficam muito bonitas e coloridas conforme a composição de cores

escolhidas.

RECURSOS

Laboratório de Informática/Sala de aula com TV Pendrive/Sala com Lousa

Interativa, folha de atividades, papel sulfite branco/colorido, Papel dobradura colorido

15cm x 15cm, régua, transferidor e computador.

TEMÁTICA VIII - APRENDENDO GEOMETRIA PLANA COM O SOFTWARE

GEOGEBRA

Tempo para desenvolvimento da Temática VII – 4h/a.

Conforme o desenvolvimento da turma, a mesma poderá levar mais ou menos aulas.

INTRODUÇÃO

Leitura do texto: Aprendendo geometria com o software Geogebra

Apresentar o Vídeo: Curso do software Geogebra I do Youtube 4’42”

OBJETIVOS

Explorar o software Geogebra.

Testar conjecturas durante a resolução de problemas e validar a

consistência das construções.

CONTEÚDOS DESENVOLVIDOS

Geometria dinâmica.

Construção de polígonos.

METODOLOGIA

É recomendável que o professor procure conhecer e explorar o software

para descobrir o que ele oferece antes de apresentá-lo à turma.

Dividir os estudantes em duplas e apresentar o Geogebra.

Peça que os alunos assistam os vídeos explicativos sobre o funcionamento do

Geogebra, uma ferramenta para trabalhar com geometria.

Deixe que os alunos explorem o Geogebra para que conheçam melhor o

software.

Mostre as janelas geométrica (no canto direito) e algébrica (esquerdo) e suas

principais possibilidades - construa elementos simples na janela geométrica, como um

ponto ou um segmento, e explique que o que se vê na janela algébrica são os atributos

dos objetos desenhados. Chame a atenção para as muitas possibilidades, como exibir

os eixos de coordenadas na janela geométrica. Incentive a turma a usar o programa

livremente.

Peça que os alunos façam quadriláteros no computador e expliquem o

processo. Eles podem ter criado quatro pontos e os ligado com segmentos de reta ou

ter utilizado o botão "polígonos", entre outras possibilidades. Discuta as vantagens de

cada opção.

A seguir, falar sobre as diferentes formas de linha existentes: linhas retas,

curvas abertas e fechadas; poligonais abertas, fechadas e mistas. É interessante

mostrar imagens ou solicitar que eles pesquisem na Internet essas imagens.

Peça que os alunos construam conceitos sobre os polígonos.

Orientações obtidas no sítio: http://revistaescola.abril.com.br/fundamental-2/sete-

respostas-software-geogebra-639050.shtml

RECURSOS

Laboratório de Informática: Computadores com o Geogebra.

REFERÊNCIAS

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adultos/Valdo Barcelos. 2. ed. – Petrópolis, RJ:Vozes, 2007.

BIGODE, A.J.L. Perspectivas para o ensino da Geometria do século XXI. Matemática hoje é feita assim. Disponível em< http://www.matematicahoje.com. br/telas/autor/artigos/artigos_view.asp?cod=36. Acesso em 22 de agosto de 2012.

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Educação Básica. Parecer nº 11/2000 - Diretrizes Curriculares Nacionais para a

Educação de Jovens e Adultos. Relator: Carlos Roberto Jamil Cury.

BRASIL. Ministério da Educação/Conselho Nacional de Educação/Câmara de

Educação Básica. Resolução CNE/CEB nº 1 de 5 de julho de 2000. Estabelece as

Diretrizes Curriculares Nacionais para a Educação de Jovens e Adultos.

BRASIL. Ministério da Educação. Secretaria de Educação Fundamental. Proposta Curricular para a educação de jovens e adultos: segundo segmento do ensino fundamental: 5ª a 8ª série, 2002. 240 p.: il.: v. 3.

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