Resposta da questão 1: [B]

2 2 3

h 1,5 h 416 6

1 1Volume 6 16 .1,5 4 192 cm3 3

⇔ =

= ⋅ − ⋅ =

Resposta da questão 2: [D] Considere a figura abaixo, em que o quadrado é a base da pirâmide, é o centro da base da pirâmide e o

quadrado é a base da plataforma.

Como temos que

Além disso, sabemos que

Logo,

Sendo o vértice da torre e sabendo que considere a figura abaixo.

Aplicando o Teorema de Pitágoras no triângulo obtemos

Queremos calcular em que é o ponto médio da aresta lateral da torre, conforme a figura seguinte.

Aplicando a Lei dos Cossenos no triângulo segue

que

Como e

encontramos

Resposta da questão 3: [E] As peças descartadas são de dois tipos diferentes: 2 pirâmides congruentes e 2 prismas congruentes (ver figura abaixo).

Resposta da questão 4: [A] De acordo com as planificações, Maria poderá obter, da esquerda para a direita, um cilindro, um prisma de base pentagonal e uma pirâmide triangular. Resposta da questão 5: [D] Considere a figura, em que V é o vértice da pirâmide, O é o centro da base e M é o ponto médio da aresta AB.

Queremos calcular a medida do ângulo VMO. Sabendo que a a área lateral é o dobro da área da base,

vem que A = 2 ⋅Ab⇔ 4 ⋅ AB ⋅VM2

= 2 ⋅AB2⇔ VM = AB.

Portanto, do triângulo VOM, obtemos

cosVMO =OMVM

⇔ cosVMO =

AB2AB

⇔ cosVMO =12⇔ cosVMO = cos60°

⇔ VMO = 60°.

ABCDOPQRS

=AB 6 2 m, ⋅ ⋅= = =AB 2 6 2 2OA 6m.2 2

=PQ 19 2 m.

⋅ ⋅= = =PQ 2 19 2 2OP 19m.2 2

V =VO 24m,

VOA,

= + ⇔ = +

⇒ =

⇒ =

2 2 2 2 2 2VA VO OA VA 24 6

VA 612

VA 6 17 m.PT, T

APT,

= + − ⋅ ⋅ ⋅2 2 2 ˆPT AP AT 2 AP AT cosPAT.

= − = − =AP OP OA 19 6 13m = − = − = − = −VA 6 1ˆ ˆcosPAT cosVAO ,OA 6 17 17

⎛ ⎞= + − ⋅ ⋅ ⋅ − ⇔⎜ ⎟

⎝ ⎠

= + + ⇒ =

2 2 2

2

1PT 13 (3 17) 2 13 3 1717

PT 169 153 78 PT 400 m.

Resposta da questão 6: [B] De acordo com a lenda de Heródoto, segue que 2S H .= Por outro lado, pelo Teorema de Pitágoras, vem

h2 =H2 +a2⇔ h2 = S+a2⇔S = (h+a)(h−a). Resposta da questão 7: [C] Seja n a quantidade de sólidos de cada tipo que será colocada no interior do pote.

O volume do pote é 2

340 3 50 20000 3cm .4⋅

⋅ =

O volume de cada cubo é igual a 3 3(2 3) 24 3 cm .= O volume de cada pirâmide triangular regular é

231 4 3 3 4 3 cm .

3 4⋅

⋅ ⋅ =

O volume de cada pirâmide quadrangular regular é 2 31 ( 3) 2 3 2 3 cm .

3⋅ ⋅ =

Portanto, tem-se que n (24 3 4 3 2 3) 20000 3 30 3 n 20000 3

n 666,67.⋅ + + = ⇔ ⋅ =

⇒ ≅

Como a quantidade de espaços deve ser a menor possível, temos n 666= e, por conseguinte, o resultado pedido é 666 3 1998.⋅ = Resposta da questão 8: [B] Seja l a medida da aresta do tetraedro. Desde que as faces do tetraedro são triângulos equiláteros congruentes,

vem 3DM AM .2

= =l Por conseguinte, aplicando a Lei

dos Cossenos no triângulo AMD, temos

AD2= AM

2+DM

2− 2 ⋅AM ⋅DM ⋅cosAMD⇔

2 = 32

$

%&&

'

())

2

+ 32

$

%&&

'

())

2

− 2 ⋅ 32

⋅ 32

⋅cosAMD⇔

32

2⋅cosAMD =

2

2⇔

cosAMD = 13.

Resposta da questão 9: [A] De acordo com os dados do enunciado, podemos concluir que:DB DA 7= = e BA BC 5.= = Construindo o tetraedro, temos:

Portanto, a soma das arestas será dada por: 3 5 6 7 7 5 33.+ + + + + =

Resposta da questão 10: [B] Desde que a medida da altura de um triângulo retângulo isósceles corresponde à metade da medida da

hipotenusa, segue que o resultado é 31 1 6 3 10 30 m .3 2⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =

Resposta da questão 11: [C] Sabendo que 31m 1.000 L,= podemos concluir que a resposta é 50 25 3 1000 3.750.000 L.⋅ ⋅ ⋅ = Resposta da questão 12: [C] Sendo 1m a medida do apótema da base e p a medida do apótema da pirâmide, pelo Teorema de Pitágoras, segue que 2 2 2p 3 1 p 10 m 320cm.= + ⇒ = ≅ Portanto, tem-se que o resultado pedido é dado por

2

1 200 32024 320.

20

⋅ ⋅⋅ =

Resposta da questão 13: [E]

Cálculo da altura da Pirâmide: mm8h106h 222 =⇒=+ Volume da peça como diferença do volume da pirâmide e o volume da parte oca. peça pirâmide

2peça

3peça

V V 78

1V 12 8 783

V 306mm

= −

= ⋅ ⋅ −

=

Resposta da questão 14: [B] O volume do tetraedro regular de aresta 6cm=l é dado

por 3 3

32 6 2 18 2cm .12 12

= =l

Resposta da questão 15: [A]

( )

2original

2 2novo novo

novo original

1V a h3

1 1V 1,3a 0,7h V 1,183 a h3 3

V 1,183 V 18,3%maior

= ⋅ ⋅

= ⋅ ⋅ → = ⋅ ⋅ ⋅

= ⋅ →

Resposta da questão 16: [D]

PirâmideArea da base AlturaV .

3×

=

22 2

1 2

H(2L)L H L H2V e V 2 .3 3 3

× ⎛ ⎞× ×= = = × ⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠

2 1V 2 V= × (O dobro do volume inicial).

Resposta da questão 17: [E] Supondo que quadriláteros irregulares e trapézios sejam polígonos distintos, tem-se que as possibilidades são: triângulos, quadrados, trapézios, quadriláteros irregulares e pentágonos, conforme as figuras abaixo.

Resposta da questão 18: [C] A área total de cada tetraedro é igual a 2 2 2L 3 1 3 3 dm .⋅ = ⋅ =

Resposta da questão 19: [B]

A aresta da base da pirâmide tem a mesma medida do raio da circunferência.

Logo, temos 2

21 6.r . 3 .h .r .6 3 h 123 4

= π ⇔ = π

Resposta da questão 20: [B]

V = (AB.H)

3→ V = (100.100.100)

3→ V = 106

3m3

1000 m3 → 72 dias

106

3m3 → x dias

x = 24.000 dias ≈ 66 anos Resposta da questão 21: [A]

Alateral = 4.Atriângulo

Alateral = 4.b .h2

= 4.8 . 52

Alateral

= 80m2 → 80 lotes

80 lotes +10 lotes = 90 lotes

Resposta da questão 22: [C]

Atetraedro = 4.l2 34

= l2 3

Atetraedro retirado = 3.19.l2 34

=l2 312

Como são 4, então : 4.Atetraedro retirado= 4.l2 312

=l2 33

Aacrescentado = 4.19.l2 34

=l2 39

Asólido = l2 3 − l

2 33

+l2 39

=7.l2 39

AsólidoAtetraedro

=

7.l2 39l2 3

=79

Resposta da questão 23: [C]

V = (AB.H)

3→ V = (122.8)

3→ V = 384 cm3

Vágua = AB.h→ l2.h = 384→102.h = 384

h = 3,84 cm Resposta da questão 24: [A]

Vprisma = Ab.h =AB( )

23

4. AB( ) =

AB( )33

4

Vtetraedro =Ab.h3

=13.AB( )

23

4

!

"

####

$

%

&&&&

. MB( ) =MB( ). AB( )

23

12

Vsólido = Vp −Vt =AB( )

33

4−MB( ). AB( )

23

12=3 AB( )

33

12−MB( ). AB( )

23

12=AB( )

23 3.AB−MB( )12

Vtetraedro =13.VSólido ⇒

MB( ). AB( )23

12=13.AB( )

23 3.AB−MB( )12

!

"

####

$

%

&&&&

⇒MB = 3.AB−MB3

⇒

⇒ 3.MB = 3.AB−MB⇒ 4.MB = 3.AB⇒MB = 3.AB4

Resposta da questão 25: [B]

VPirâmide =Área da base× Altura

3.

l = 45.h →

54.l = h

720 = l2 × h3

→ 2160 = l2.54.l

1728 = l3→ l =12m

Resposta da questão 26: [D] Vtotal = Vprisma +Vpirâmide

Vtotal = Abase.h+Abase.h3

Vtotal =100.60.40+100.60.30

3Vtotal = 240.000+ 60.000

Vtotal = 300.000 cm3 = 300 dm3

Vmédio =30020

=15 dm3

ano

Resposta da questão 27: [D] y2 = h2 + x2

1792 =1372 + x2

1792 −1372 = x2

x2 =13272

Abase = 2x . 2x

Abase = 4x2

Abase = 4.13272

Abase = 53088m2

Resposta da questão 28: [A] Sejam o vértice da pirâmide, o centro da base, M o ponto médio de uma das arestas da base e l a medida da aresta da base da pirâmide.

Como a área da base é igual à metade da área lateral,

segue que Sabendo que

e que o apótema da base é dado por

do Teorema de Pitágoras, aplicado no

triângulo encontramos:

Portanto, o volume da pirâmide é dado por

e o inteiro

pedido é Resposta da questão 29: [A]

Abase =20.20.sen120˚

2=100 3

Altura :CD2=AD2+AC2−2AD.AC.COS120˚

CD= 400+400−2.20.20.12=20 3

CD=BD=BC=20 3

BD2=AD2+H2→ 20 3( )2=202+H2→H=20 2

VPirâmide=Área da base×Altura

3=100 3.20 2

3=2000 63

Resposta da questão 30: [A] 130+ 220

5=H4→H = 280 cúbito =145,6m

V O

⋅ ⋅ = ⇔ =ll l21 3 33 VM VM 3.

2 2=VO 6cm

=l 3OM ,2VMO,

⎛ ⎞= + ⇔ = + ⎜ ⎟

⎝ ⎠

⇔ =

⇒ =

ll

l

l

22 2 2 2 2

2

3VM VO OM ( 3) 62

9 3644.

⋅⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ≅l 2 2

31 3 3 1 3 4 3VO 6 83,04cm ,3 2 3 2

83.